Kutatua mfumo wa usawa mbili za mstari. Mifumo ya usawa wa mstari

Wacha tuangalie mifano ya jinsi ya kutatua mfumo wa usawa wa mstari.

4x + 29 \mwisho(safu) \kulia.\]" title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Ili kutatua mfumo, unahitaji kila moja ya usawa wake. Uamuzi tu ulifanywa sio kuandika tofauti, lakini kwa pamoja, kuchanganya na brace curly.

Katika kila moja ya kukosekana kwa usawa wa mfumo, tunahamisha vitu visivyojulikana kwa upande mmoja, vinavyojulikana hadi vingine na ishara tofauti:

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Baada ya kurahisisha, pande zote mbili za ukosefu wa usawa lazima zigawanywe kwa nambari iliyo mbele ya X. Tunagawanya usawa wa kwanza kwa nambari nzuri, kwa hivyo ishara ya usawa haibadilika. Tunagawanya ukosefu wa usawa wa pili na nambari hasi, kwa hivyo ishara ya ukosefu wa usawa lazima ibadilishwe:

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Tunaashiria suluhisho la kukosekana kwa usawa kwenye mistari ya nambari:

Kwa kujibu, tunaandika makutano ya ufumbuzi, yaani, sehemu ambayo kuna kivuli kwenye mistari yote miwili.

Jibu: x∈[-2;1).

Katika usawa wa kwanza, hebu tuondoe sehemu. Ili kufanya hivyo, tunazidisha pande zote mbili muhula kwa neno na kiashiria cha chini kabisa cha kawaida 2. Inapozidishwa na nambari chanya, ishara ya ukosefu wa usawa haibadiliki.

Katika usawa wa pili tunafungua mabano. Bidhaa ya jumla na tofauti ya misemo miwili ni sawa na tofauti ya miraba ya misemo hii. Upande wa kulia ni mraba wa tofauti kati ya maneno mawili.

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Tunahamisha zisizojulikana kwa upande mmoja, zinazojulikana hadi nyingine na ishara tofauti na kurahisisha:

Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa nambari iliyo mbele ya X. Katika usawa wa kwanza, tunagawanya kwa nambari hasi, kwa hivyo ishara ya usawa inabadilishwa. Katika pili, tunagawanya kwa nambari nzuri, ishara ya usawa haibadilika:

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Ukosefu wa usawa wote una ishara "chini ya" (haijalishi kwamba ishara moja ni madhubuti "chini ya", nyingine ni huru, "chini ya au sawa"). Hatuwezi kuashiria suluhisho zote mbili, lakini tumia sheria "". Kidogo ni 1, kwa hivyo mfumo unapunguza usawa

Tunaashiria suluhisho lake kwenye mstari wa nambari:

Jibu: x∈(-∞;1].

Kufungua mabano. Katika usawa wa kwanza -. Ni sawa na jumla ya cubes ya maneno haya.

Katika pili, bidhaa ya jumla na tofauti ya maneno mawili, ambayo ni sawa na tofauti ya mraba. Kwa kuwa hapa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, ni bora kuifungua kwa hatua mbili: kwanza tumia formula, na kisha tu kufungua mabano, kubadilisha ishara ya kila neno kinyume chake.

Tunasonga haijulikani kwa mwelekeo mmoja, unaojulikana kwa mwingine na ishara tofauti:

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Zote mbili ni kubwa kuliko ishara. Kwa kutumia kanuni ya "zaidi ya zaidi", tunapunguza mfumo wa kukosekana kwa usawa kwa usawa mmoja. Nambari kubwa kati ya hizo mbili ni 5, kwa hivyo,

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Tunaashiria suluhisho la ukosefu wa usawa kwenye mstari wa nambari na kuandika jibu:

Jibu: x∈(5;∞).

Kwa kuwa katika mifumo ya algebra ya usawa wa mstari hutokea sio tu kama kazi za kujitegemea, lakini pia wakati wa kutatua aina mbalimbali za equations, usawa, nk, ni muhimu kusimamia mada hii kwa wakati unaofaa.

Wakati ujao tutaangalia mifano ya kutatua mifumo ya usawa wa mstari katika kesi maalum wakati moja ya kutofautiana haina ufumbuzi au ufumbuzi wake ni nambari yoyote.

Jamii: |

tazama pia Kutatua tatizo la upangaji la mstari kwa michoro, aina ya Canonical ya matatizo ya upangaji ya mstari

Mfumo wa vizuizi kwa shida kama hii ni pamoja na ukosefu wa usawa katika anuwai mbili:
na kazi ya lengo ina fomu F = C 1 x + C 2 y ambayo inahitaji kukuzwa.

Wacha tujibu swali: ni jozi gani za nambari ( x; y) ni ufumbuzi wa mfumo wa kutofautiana, yaani, kukidhi kila usawa wakati huo huo? Kwa maneno mengine, ina maana gani kutatua mfumo graphically?
Kwanza unahitaji kuelewa ni suluhisho gani la usawa wa mstari mmoja na haijulikani mbili.
Kutatua usawa wa mstari na mambo mawili yasiyojulikana inamaanisha kubainisha jozi zote za thamani zisizojulikana ambazo ukosefu huo unashikilia.
Kwa mfano, ukosefu wa usawa 3 x – 5y≥ jozi 42 za kuridhisha ( x , y) : (100, 2); (3, -10), nk. Kazi ni kupata jozi zote kama hizo.
Wacha tuzingatie usawa mbili: shoka + kwa≤ c, shoka + kwa≥ c. Moja kwa moja shoka + kwa = c inagawanya ndege katika nusu-ndege mbili ili kuratibu za pointi za mmoja wao kukidhi usawa. shoka + kwa >c, na ukosefu mwingine wa usawa shoka + +kwa <c.
Kwa kweli, wacha tuchukue hoja na kuratibu x = x 0; kisha hatua iliyolala kwenye mstari na kuwa na abscissa x 0, ina mpangilio

Wacha kwa uhakika a< 0, b>0, c>0. Pointi zote na abscissa x 0 amelala juu P(kwa mfano, nukta M), kuwa na y M>y 0 , na pointi zote chini ya uhakika P, pamoja na abscissa x 0, kuwa y N<y 0 . Kwa sababu ya x 0 ni hatua ya kiholela, basi kutakuwa na pointi kila wakati upande mmoja wa mstari ambao shoka+ kwa > c, kutengeneza ndege ya nusu, na kwa upande mwingine - pointi ambazo shoka + kwa< c.

Picha 1

Ishara ya usawa katika nusu ya ndege inategemea namba a, b , c.
Hii inamaanisha mbinu ifuatayo ya utatuzi wa mifumo ya usawa wa mstari katika viambishi viwili. Ili kutatua mfumo unahitaji:

Kwa kila ukosefu wa usawa, andika mlinganyo unaolingana na ukosefu huu wa usawa.
Tengeneza mistari iliyonyooka ambayo ni grafu za kazi zilizobainishwa na milinganyo.
Kwa kila mstari, tambua ndege ya nusu, ambayo hutolewa na usawa. Ili kufanya hivyo, chukua hatua ya kiholela ambayo haiko kwenye mstari na ubadilishe kuratibu zake kwa usawa. ikiwa usawa ni kweli, basi nusu ya ndege iliyo na hatua iliyochaguliwa ni suluhisho la usawa wa awali. Ikiwa usawa ni wa uongo, basi nusu-ndege upande wa pili wa mstari ni seti ya ufumbuzi wa usawa huu.
Ili kutatua mfumo wa kukosekana kwa usawa, inahitajika kupata eneo la makutano ya ndege zote za nusu ambazo ni suluhisho la kila usawa wa mfumo.

Eneo hili linaweza kugeuka kuwa tupu, basi mfumo wa kutofautiana hauna ufumbuzi na haufanani. Vinginevyo, mfumo unasemekana kuwa thabiti.
Kunaweza kuwa na nambari isiyo na kikomo au idadi isiyo na kikomo ya suluhisho. Eneo hilo linaweza kuwa poligoni iliyofungwa au isiyo na mipaka.

Hebu tuangalie mifano mitatu inayofaa.

Mfano 1. Tatua mfumo kwa picha:
x + y - 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

zingatia milinganyo x+y–1=0 na –2x–2y+5=0 inayolingana na ukosefu wa usawa;
Wacha tutengeneze mistari iliyonyooka iliyotolewa na milinganyo hii.

Kielelezo cha 2

Hebu tufafanue ndege za nusu zilizoelezwa na kutofautiana. Wacha tuchukue hatua ya kiholela, acha (0; 0). Hebu tuzingatie x+ y- 1 0, badala ya uhakika (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. Hii ina maana kwamba katika nusu-ndege ambapo uhakika (0; 0) uongo, x + y – 1 ≤ 0, i.e. nusu ya ndege iliyo chini ya mstari ni suluhisho la usawa wa kwanza. Kubadilisha hatua hii (0; 0) kwa pili, tunapata: -2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. katika nusu-ndege ambapo uhakika (0; 0) uongo, -2 x – 2y+ 5≥ 0, na tuliulizwa wapi -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, kwa hiyo, katika nusu nyingine ya ndege - katika moja juu ya mstari wa moja kwa moja.
Wacha tupate makutano ya ndege hizi mbili za nusu. Mistari ni sawa, hivyo ndege haziingiliani popote, ambayo ina maana kwamba mfumo wa kutofautiana huu hauna ufumbuzi na haufanani.

Mfano 2. Tafuta suluhu za kielelezo kwa mfumo wa ukosefu wa usawa:

Kielelezo cha 3
1. Hebu tuandike milinganyo inayolingana na ukosefu wa usawa na tutengeneze mistari iliyonyooka.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Baada ya kuchagua uhakika (0; 0), tunaamua ishara za usawa katika nusu-ndege:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, i.e. x + 2y- 2 ≤ 0 katika nusu-ndege chini ya mstari wa moja kwa moja;
0 - 0 - 1 ≤ 0, i.e. y –x- 1 ≤ 0 katika nusu-ndege chini ya mstari wa moja kwa moja;
0 + 2 =2 ≥ 0, i.e. y+ 2 ≥ 0 katika nusu-ndege juu ya mstari wa moja kwa moja.
3. Makutano ya hizi nusu-ndege tatu itakuwa eneo ambalo ni pembetatu. Sio ngumu kupata wima za mkoa kama sehemu za makutano ya mistari inayolingana

Hivyo, A(–3; –2), KATIKA(0; 1), NA(6; –2).

Wacha tuchunguze mfano mwingine ambao kikoa cha suluhisho la mfumo sio mdogo.

Ufafanuzi 1 . Seti ya pointi katika nafasi R n , ambayo viwianishi vyake vinakidhi mlingano A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, kuitwa ( n - 1 )-dimensional hyperplane in n- nafasi ya dimensional.

Nadharia 1. Hyperplane inagawanya nafasi zote katika nafasi mbili za nusu. Nafasi ya nusu ni seti ya convex.

Makutano ya idadi ya mwisho ya nafasi za nusu ni seti ya convex.

Nadharia 2 . Kutatua usawa wa mstari na n haijulikani

A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b

ni moja ya nafasi nusu ambayo nafasi nzima imegawanywa na hyperplane

A 1 X 1 + A 2 X 2 +…+a n x n= b.

Fikiria mfumo wa m usawa wa mstari na n haijulikani.

Suluhisho la kila usawa katika mfumo ni nafasi fulani ya nusu. Suluhisho la mfumo litakuwa makutano ya nafasi zote za nusu. Seti hii itafungwa na laini.

Kutatua mifumo ya usawa wa mstari

yenye vigezo viwili

Wacha mfumo wa m usawa wa mstari na vigezo viwili.

Suluhisho la kila usawa litakuwa mojawapo ya nusu-ndege ambayo ndege nzima imegawanywa na mstari wa moja kwa moja unaofanana. Suluhisho la mfumo litakuwa makutano ya ndege hizi za nusu. Tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa picha kwenye ndege X 1 0 X 2 .

37. Uwakilishi wa polyhedron convex

Ufafanuzi 1. Imefungwa mbonyeo kuweka mdogo R n kuwa na nambari yenye kikomo pointi za kona, inaitwa convex n-dimensional polyhedron.

Ufafanuzi 2 . Convex iliyofungwa isiyo na mipaka imewekwa R n kuwa na idadi finyu ya sehemu za kona huitwa eneo la polihedra mbonyeo.

Ufafanuzi 3 . Kundi la AR n inaitwa bounded ikiwa ipo n-mpira wa sura iliyo na seti hii.

Ufafanuzi 4. Mchanganyiko wa mstari wa laini wa alama ni usemi ambapo t i , .

Nadharia (nadharia juu ya uwakilishi wa polyhedron convex). Sehemu yoyote ya polihedroni mbonyeo inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa mbonyeo wa sehemu zake za kona.

38. Mkoa wa ufumbuzi unaokubalika wa mfumo wa usawa na usawa.

Wacha mfumo wa m milinganyo ya mstari na ukosefu wa usawa na n haijulikani.

Ufafanuzi 1 . Nukta R n inaitwa suluhisho linalowezekana la mfumo ikiwa kuratibu zake zinakidhi usawa na usawa wa mfumo. Seti ya suluhisho zote zinazowezekana inaitwa eneo linalowezekana la suluhisho (PSA) la mfumo.

Ufafanuzi 2. Suluhisho linalowezekana ambalo kuratibu zake sio hasi huitwa suluhisho linalowezekana la mfumo. Seti ya suluhu zote zinazowezekana huitwa kikoa cha upembuzi yakinifu (ADA) cha mfumo.

Nadharia 1 . ODR ni sehemu ndogo iliyofungwa, mbonyeo, iliyo na mipaka (au isiyo na mipaka). R n.

Nadharia 2. Suluhisho linalokubalika la mfumo ni suluhisho la kumbukumbu ikiwa na tu ikiwa hatua hii ni sehemu ya kona ya ODS.

Nadharia 3 (nadharia ya uwakilishi wa ODR). Ikiwa ODS ni seti iliyo na mipaka, basi suluhisho lolote linalowezekana linaweza kuwakilishwa kama mseto wa mstari wa mbonyeo wa sehemu za kona za ODS (katika mfumo wa mchanganyiko wa mstari wa mbonyeo wa suluhu za usaidizi wa mfumo).

Nadharia 4 (nadharia juu ya uwepo wa suluhisho la msaada wa mfumo). Ikiwa mfumo una angalau suluhisho moja linalokubalika (ADS), basi kati ya suluhisho zinazokubalika kuna angalau suluhisho moja la kumbukumbu.

Kuna "X" tu na mhimili wa x pekee, lakini sasa "Y" zinaongezwa na uwanja wa shughuli unapanuka hadi kwenye ndege nzima ya kuratibu. Zaidi katika maandishi, maneno "usawa wa mstari" inaeleweka kwa maana ya pande mbili, ambayo itakuwa wazi katika suala la sekunde.

Mbali na jiometri ya uchambuzi, nyenzo zinafaa kwa shida kadhaa katika uchambuzi wa hesabu na modeli za kiuchumi na hesabu, kwa hivyo napendekeza kusoma hotuba hii kwa uzito wote.

Ukosefu wa usawa wa mstari

Kuna aina mbili za usawa wa mstari:

1) Mkali ukosefu wa usawa:.

2) Ulegevu ukosefu wa usawa:.

Je, maana ya kijiometri ya tofauti hizi ni nini? Ikiwa equation ya mstari inafafanua mstari, basi usawa wa mstari hufafanua nusu-ndege.

Ili kuelewa habari ifuatayo, unahitaji kujua aina za mistari kwenye ndege na uweze kuunda mistari iliyonyooka. Ikiwa una shida yoyote katika sehemu hii, soma msaada Grafu na mali ya kazi- aya kuhusu utendaji wa mstari.

Wacha tuanze na usawa rahisi zaidi wa mstari. Ndoto ya kila mwanafunzi masikini ni ndege ya kuratibu ambayo hakuna chochote:

Kama unavyojua, mhimili wa x unatolewa na equation - "y" daima ni (kwa thamani yoyote ya "x") sawa na sifuri.

Hebu tuzingatie usawa. Jinsi ya kuelewa kwa njia isiyo rasmi? "Y" daima ni (kwa thamani yoyote ya "x") chanya. Kwa wazi, usawa huu unafafanua nusu ya juu - baada ya yote, pointi zote zilizo na "michezo" nzuri ziko hapo.

Katika tukio ambalo usawa sio mkali, kwa nusu ya juu ya ndege kwa kuongeza mhimili wenyewe huongezwa.

Vile vile: kukosekana kwa usawa kunakidhiwa na pointi zote za nusu-ndege ya chini; usawa usio mkali unafanana na mhimili wa chini wa nusu ya ndege.

Hadithi sawa ya prosaic iko kwenye mhimili wa y:

- ukosefu wa usawa unabainisha nusu ya ndege inayofaa;
- ukosefu wa usawa unabainisha nusu-ndege sahihi, ikiwa ni pamoja na mhimili wa kuratibu;
- ukosefu wa usawa unabainisha nusu ya ndege ya kushoto;
- ukosefu wa usawa unabainisha nusu ya ndege ya kushoto, ikiwa ni pamoja na mhimili wa kuratibu.

Katika hatua ya pili, tunazingatia usawa ambapo moja ya vigezo haipo.

"Y" haipo:

Au hakuna "x":

Ukosefu huu wa usawa unaweza kushughulikiwa kwa njia mbili: tafadhali zingatia mbinu zote mbili. Njiani, hebu tukumbuke na tuunganishe vitendo vya shule na kutofautiana, tayari kujadiliwa darasani Kikoa cha Kazi.

Mfano 1

Tatua usawa wa mstari:

Inamaanisha nini kutatua usawa wa mstari?

Kutatua usawa wa mstari kunamaanisha kupata nusu-ndege, ambao pointi zao zinakidhi usawa huu (pamoja na mstari yenyewe, ikiwa usawa sio mkali). Suluhisho, kwa kawaida, mchoro.

Ni rahisi zaidi kutekeleza mchoro mara moja na kisha kutoa maoni kila kitu:

a) Tatua ukosefu wa usawa

Mbinu ya kwanza

Njia hiyo inawakumbusha sana hadithi na shoka za kuratibu, ambazo tulijadili hapo juu. Wazo ni kubadilisha usawa - kuacha kigeu kimoja upande wa kushoto bila vibadilishi vyovyote, katika kesi hii kutofautisha "x".

Kanuni: Katika kukosekana kwa usawa, masharti huhamishwa kutoka sehemu hadi sehemu na mabadiliko ya ishara, wakati ishara ya kukosekana kwa usawa. haibadiliki(kwa mfano, ikiwa kulikuwa na ishara "chini ya", basi itabaki "chini ya").

Tunahamisha "tano" kwa upande wa kulia na mabadiliko ya ishara:

Kanuni CHANYA haibadiliki.

Sasa chora mstari wa moja kwa moja (mstari wa alama za bluu). Mstari wa moja kwa moja umechorwa kama mstari wa nukta kwa sababu ukosefu wa usawa kali, na pointi za mstari huu hakika hazitajumuishwa kwenye suluhisho.

Nini maana ya ukosefu wa usawa? "X" daima ni (kwa thamani yoyote ya "Y") chini ya . Kwa wazi, taarifa hii imeridhika na pointi zote za nusu ya kushoto ya ndege. Ndege hii ya nusu, kwa kanuni, inaweza kuwa kivuli, lakini nitajizuia kwa mishale midogo ya bluu ili nisigeuze mchoro kuwa palette ya kisanii.

Mbinu ya pili

Hii ni mbinu ya ulimwengu wote. SOMA KWA MAKINI SANA!

Kwanza tunachora mstari wa moja kwa moja. Kwa uwazi, kwa njia, ni vyema kuwasilisha equation katika fomu.

Sasa chagua sehemu yoyote kwenye ndege, sio ya moja kwa moja. Katika hali nyingi, doa tamu ni, bila shaka. Wacha tubadilishe kuratibu za nukta hii kwa usawa:

Imepokelewa usawa wa uongo(kwa maneno rahisi, hii haiwezi kuwa), hii ina maana kwamba uhakika haukidhi usawa.

Kanuni kuu ya kazi yetu:
hairidhishi usawa, basi YOTE pointi za nusu-ndege iliyotolewa usiridhike usawa huu.
- Ikiwa sehemu yoyote ya nusu ya ndege (isiyo ya mstari) inaridhisha usawa, basi YOTE pointi za nusu-ndege iliyotolewa kuridhisha usawa huu.

Unaweza kujaribu: hatua yoyote ya kulia ya mstari haitakidhi usawa.

Je! ni hitimisho gani kutoka kwa jaribio la uhakika? Hakuna mahali pa kwenda, usawa ni kuridhika na pointi zote za nyingine - kushoto nusu ya ndege (unaweza pia kuangalia).

b) Tatua ukosefu wa usawa

Mbinu ya kwanza

Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa:

Kanuni: Pande zote mbili za ukosefu wa usawa zinaweza kuzidishwa (kugawanywa) na HASI nambari, yenye ishara ya ukosefu wa usawa KUBADILIKA kwa kinyume (kwa mfano, ikiwa kulikuwa na ishara "kubwa kuliko au sawa", itakuwa "chini ya au sawa").

Tunazidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa:

Hebu tuchore mstari wa moja kwa moja (nyekundu), na kuteka mstari imara, kwa kuwa tuna usawa zisizo kali, na mstari ulionyooka kwa wazi ni wa suluhisho.

Baada ya kuchambua usawa unaosababishwa, tunafikia hitimisho kwamba suluhisho lake ni ndege ya chini ya nusu (+ mstari wa moja kwa moja yenyewe).

Tunaweka kivuli au kuashiria ndege inayofaa ya nusu na mishale.

Mbinu ya pili

Hebu tuchore mstari ulionyooka. Wacha tuchague sehemu ya kiholela kwenye ndege (isiyo ya mstari), kwa mfano, na tubadilishe viwianishi vyake kwa usawa wetu:

Imepokelewa ukosefu wa usawa wa kweli, ambayo ina maana kwamba uhakika unakidhi ukosefu wa usawa, na kwa ujumla, pointi ZOTE za nusu-ndege ya chini zinakidhi ukosefu huu wa usawa.

Hapa, kwa hatua ya majaribio, "tunapiga" ndege ya nusu inayotaka.

Suluhisho la tatizo linaonyeshwa na mstari mwekundu na mishale nyekundu.

Binafsi, napendelea suluhisho la kwanza, kwani la pili ni rasmi zaidi.

Mfano 2

Tatua usawa wa mstari:

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Jaribu kutatua tatizo kwa njia mbili (kwa njia, hii ni njia nzuri ya kuangalia suluhisho). Jibu mwishoni mwa somo litakuwa na mchoro wa mwisho tu.

Nadhani baada ya vitendo vyote vilivyofanywa katika mifano, italazimika kuwaoa; haitakuwa ngumu kutatua usawa rahisi kama, nk.

Wacha tuendelee kuzingatia kesi ya tatu, ya jumla, wakati anuwai zote mbili zipo katika ukosefu wa usawa:

Vinginevyo, neno huru "ce" linaweza kuwa sufuri.

Mfano 3

Tafuta nusu-ndege zinazolingana na ukosefu wa usawa ufuatao:

Suluhisho: Mbinu ya suluhisho la ulimwengu wote na ubadilishaji wa nukta inatumika hapa.

a) Wacha tutengeneze equation kwa mstari wa moja kwa moja, na mstari unapaswa kuchorwa kama mstari wa alama, kwani usawa ni mkali na mstari wa moja kwa moja hautajumuishwa katika suluhisho.

Tunachagua sehemu ya majaribio ya ndege ambayo si ya mstari fulani, kwa mfano, na kubadilisha viwianishi vyake katika ukosefu wetu wa usawa:

Imepokelewa usawa wa uongo, ambayo ina maana kwamba pointi na pointi ZOTE za nusu-ndege fulani hazikidhi usawa. Suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa ndege nyingine ya nusu, tunavutiwa na umeme wa bluu:

b) Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa. Kwanza, hebu tutengeneze mstari wa moja kwa moja. Hili si gumu kufanya; tunayo uwiano wa moja kwa moja wa kisheria. Tunachora mstari kwa kuendelea, kwani usawa sio kali.

Hebu tuchague hatua ya kiholela ya ndege ambayo sio ya mstari wa moja kwa moja. Ningependa kutumia asili tena, lakini, ole, haifai sasa. Kwa hivyo, itabidi ufanye kazi na rafiki mwingine. Ni faida zaidi kuchukua hatua na maadili madogo ya kuratibu, kwa mfano,. Hebu tubadilishe viwianishi vyake katika ukosefu wetu wa usawa:

Imepokelewa ukosefu wa usawa wa kweli, ambayo ina maana kwamba pointi na pointi zote za nusu-ndege iliyotolewa zinakidhi ukosefu wa usawa . Ndege ya nusu inayotaka imewekwa alama na mishale nyekundu. Kwa kuongeza, suluhisho linajumuisha mstari wa moja kwa moja yenyewe.

Mfano 4

Pata nusu-ndege zinazolingana na ukosefu wa usawa:

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili, sampuli ya takriban ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo.

Wacha tuangalie shida ya kinyume:

Mfano 5

a) Imepewa mstari ulionyooka. Bainisha ndege ya nusu ambayo hatua iko, wakati mstari wa moja kwa moja yenyewe lazima uingizwe katika suluhisho.

b) Kupewa mstari ulionyooka. Bainisha nusu-ndege ambayo uhakika iko. Mstari wa moja kwa moja yenyewe haujumuishwa katika suluhisho.

Suluhisho: Hakuna haja ya kuchora hapa na suluhisho litakuwa la uchambuzi. Hakuna ngumu:

a) Wacha tutunge polynomial msaidizi na tuhesabu thamani yake kwa uhakika:
. Kwa hivyo, usawa unaotaka utakuwa na ishara "chini ya". Kwa hali, mstari wa moja kwa moja umejumuishwa kwenye suluhisho, kwa hivyo usawa hautakuwa mkali:

b) Wacha tutunge polynomial na tuhesabu thamani yake kwa uhakika:
. Kwa hivyo, usawa unaotaka utakuwa na ishara "kubwa kuliko". Kwa hali, mstari wa moja kwa moja haujumuishwa katika suluhisho, kwa hiyo, usawa utakuwa mkali:.

Jibu:

Mfano wa ubunifu wa kujisomea:

Mfano 6

Kupewa pointi na mstari wa moja kwa moja. Kati ya alama zilizoorodheshwa, pata zile ambazo, pamoja na asili ya kuratibu, ziko upande mmoja wa mstari uliopewa.

Kidokezo kidogo: kwanza unahitaji kuunda usawa ambao huamua nusu ya ndege ambayo asili ya kuratibu iko. Suluhisho la uchambuzi na jibu mwishoni mwa somo.

Mifumo ya usawa wa mstari

Mfumo wa usawa wa mstari ni, kama unavyoelewa, mfumo unaojumuisha ukosefu kadhaa wa usawa. Lol, vizuri, nilitoa ufafanuzi =) Hedgehog ni hedgehog, kisu ni kisu. Lakini ni kweli - ikawa rahisi na kupatikana! Hapana, kwa umakini, sitaki kutoa mifano yoyote ya jumla, kwa hivyo wacha tuelekee moja kwa moja kwenye maswala muhimu:

Inamaanisha nini kutatua mfumo wa usawa wa mstari?

Tatua mfumo wa usawa wa mstari- hii inamaanisha pata seti ya pointi kwenye ndege, ambayo inakidhi kwa kila mmoja usawa wa mfumo.

Kama mifano rahisi zaidi, fikiria mifumo ya ukosefu wa usawa ambayo huamua robo za kuratibu za mfumo wa kuratibu wa mstatili ("picha ya wanafunzi maskini" iko mwanzoni mwa somo):

Mfumo wa kukosekana kwa usawa hufafanua robo ya kwanza ya kuratibu (juu kulia). Kuratibu za hatua yoyote katika robo ya kwanza, kwa mfano, na kadhalika. kuridhisha kwa kila mmoja usawa wa mfumo huu.

Vile vile:
- mfumo wa kukosekana kwa usawa unabainisha robo ya pili ya kuratibu (juu kushoto);
- mfumo wa usawa hufafanua robo ya tatu ya kuratibu (chini kushoto);
- mfumo wa kukosekana kwa usawa unafafanua robo ya nne ya kuratibu (chini kulia).

Mfumo wa usawa wa mstari unaweza kuwa hauna suluhu, yaani kuwa yasiyo ya pamoja. Tena mfano rahisi zaidi:. Ni dhahiri kabisa kwamba "x" haiwezi kwa wakati mmoja kuwa zaidi ya tatu na chini ya mbili.

Suluhisho la mfumo wa kutofautiana inaweza kuwa mstari wa moja kwa moja, kwa mfano:. Swan, crayfish, bila pike, akivuta mkokoteni kwa njia mbili tofauti. Ndiyo, mambo bado yapo - suluhu ya mfumo huu ni mstari ulionyooka.

Lakini kesi ya kawaida ni wakati ufumbuzi wa mfumo ni baadhi eneo la ndege. Eneo la suluhisho Labda sio mdogo(kwa mfano, kuratibu robo) au mdogo. Eneo la ufumbuzi mdogo linaitwa mfumo wa suluhisho la poligoni.

Mfano 7

Tatua mfumo wa usawa wa mstari

Katika mazoezi, katika hali nyingi tunapaswa kukabiliana na usawa dhaifu, hivyo watakuwa ndio wanaoongoza ngoma za pande zote kwa somo lililobaki.

Suluhisho: Ukweli kwamba kuna tofauti nyingi sana haipaswi kutisha. Kuna tofauti ngapi kwenye mfumo? Ndio, kadiri unavyopenda. Jambo kuu ni kuambatana na algorithm ya busara ya kuunda eneo la suluhisho:

1) Kwanza tunashughulika na usawa rahisi zaidi. Ukosefu wa usawa hufafanua robo ya kwanza ya kuratibu, ikiwa ni pamoja na mpaka wa shoka za kuratibu. Tayari ni rahisi zaidi, kwani eneo la utafutaji limepungua kwa kiasi kikubwa. Katika mchoro, tunaashiria mara moja ndege za nusu zinazolingana na mishale (mishale nyekundu na bluu)

2) Ukosefu wa pili rahisi zaidi ni kwamba hakuna "Y" hapa. Kwanza, tunajenga mstari wa moja kwa moja yenyewe, na, pili, baada ya kubadilisha usawa kwa fomu , mara moja inakuwa wazi kwamba "X" zote ni chini ya 6. Tunaweka alama ya nusu ya ndege inayofanana na mishale ya kijani. Kweli, eneo la utaftaji limekuwa ndogo zaidi - mstatili kama huo sio mdogo kutoka juu.

3) Katika hatua ya mwisho tunatatua kukosekana kwa usawa "kwa risasi kamili": . Tulijadili algorithm ya suluhisho kwa undani katika aya iliyotangulia. Kwa kifupi: kwanza tunajenga mstari wa moja kwa moja, basi, kwa kutumia hatua ya majaribio, tunapata nusu ya ndege tunayohitaji.

Simama, watoto, simama kwenye duara:

Sehemu ya suluhisho la mfumo ni poligoni; katika mchoro imeainishwa na mstari wa nyekundu na kivuli. Nilizidisha kidogo =) Katika daftari, inatosha ama kivuli eneo la suluhisho au kuelezea kwa ujasiri na penseli rahisi.

Sehemu yoyote ya poligoni iliyotolewa inakidhi KILA usawa wa mfumo (unaweza kuiangalia kwa kufurahisha).

Jibu: Suluhisho la mfumo ni poligoni.

Unapotuma maombi ya nakala safi, lingekuwa wazo zuri kueleza kwa kina ni pointi gani ulizotumia kutengeneza mistari iliyonyooka (tazama somo Grafu na mali ya kazi), na jinsi nusu-ndege zilivyoamuliwa (tazama aya ya kwanza ya somo hili). Walakini, katika mazoezi, katika hali nyingi, utapewa sifa ya kuchora sahihi tu. Mahesabu yenyewe yanaweza kufanywa kwa rasimu au hata kwa mdomo.

Mbali na suluhisho la poligoni ya mfumo, katika mazoezi, angalau mara kwa mara, kuna eneo wazi. Jaribu kuelewa mfano ufuatao mwenyewe. Ingawa, kwa ajili ya usahihi, hakuna mateso hapa - algorithm ya ujenzi ni sawa, ni kwamba eneo hilo halitakuwa na kikomo.

Mfano 8

Tatua mfumo

Suluhu na jibu ni mwisho wa somo. Uwezekano mkubwa zaidi utakuwa na herufi tofauti za wima za eneo linalosababisha. Hii sio muhimu, jambo kuu ni kupata wima kwa usahihi na kujenga eneo kwa usahihi.

Sio kawaida wakati shida zinahitaji sio tu kuunda kikoa cha suluhisho la mfumo, lakini pia kutafuta kuratibu za wima za kikoa. Katika mifano miwili iliyopita, kuratibu za vidokezo hivi vilikuwa dhahiri, lakini kwa mazoezi kila kitu kiko mbali na barafu:

Mfano 9

Tatua mfumo na upate kuratibu za wima za eneo linalosababisha

Suluhisho: Wacha tuonyeshe kwenye mchoro eneo la suluhisho la mfumo huu. Ukosefu wa usawa hufafanua nusu ya ndege ya kushoto na mhimili wa kuratibu, na hakuna bure zaidi hapa. Baada ya mahesabu kwenye nakala ya mwisho / rasimu au michakato ya mawazo ya kina, tunapata eneo lifuatalo la suluhisho: