Jumla ya mwendelezo usio na kikomo wa hesabu. Jumla ya maendeleo ya hesabu

Wakati wa kusoma algebra katika shule ya Sekondari(darasa la 9) moja ya mada muhimu ni utafiti wa mlolongo wa nambari, ambayo ni pamoja na maendeleo - kijiometri na hesabu. Katika makala hii tutaangalia maendeleo ya hesabu na mifano yenye ufumbuzi.

Ni nini maendeleo ya hesabu?

Ili kuelewa hili, ni muhimu kufafanua maendeleo katika swali, na pia kutoa kanuni za msingi ambazo zitatumika baadaye katika kutatua matatizo.

Hesabu au ni seti ya nambari za mantiki zilizoamriwa, ambazo kila mwanachama hutofautiana na ile ya awali kwa thamani fulani ya mara kwa mara. Thamani hii inaitwa tofauti. Hiyo ni, kujua mwanachama yeyote wa mfululizo ulioamuru wa nambari na tofauti, unaweza kurejesha maendeleo yote ya hesabu.

Hebu tutoe mfano. Mlolongo wafuatayo wa nambari utakuwa maendeleo ya hesabu: 4, 8, 12, 16, ..., kwa kuwa tofauti katika kesi hii ni 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakini seti ya nambari 3, 5, 8, 12, 17 haiwezi tena kuhusishwa na aina ya maendeleo inayozingatiwa, kwani tofauti yake sio. thamani ya kudumu (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Fomula Muhimu

Hebu sasa tuwasilishe fomula za msingi ambazo zitahitajika kutatua matatizo kwa kutumia maendeleo ya hesabu. Wacha tuonyeshe kwa ishara n muhula wa nth mfuatano ambapo n ni nambari kamili. Tunaashiria tofauti Barua ya Kilatini d. Kisha haki maneno yafuatayo:

1. Kuamua thamani ya neno la nth, fomula ifuatayo inafaa: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Kuamua jumla ya maneno ya kwanza ya n: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ili kuelewa mifano yoyote ya maendeleo ya hesabu na ufumbuzi katika daraja la 9, inatosha kukumbuka kanuni hizi mbili, kwa kuwa matatizo yoyote ya aina inayozingatiwa yanategemea matumizi yao. Unapaswa pia kukumbuka kuwa tofauti ya maendeleo imedhamiriwa na formula: d = a n - a n-1.

Mfano #1: kutafuta neno lisilojulikana

Wacha tutoe mfano rahisi wa maendeleo ya hesabu na fomula zinazohitajika kuzitatua.

Hebu mlolongo 10, 8, 6, 4, ... upewe, unahitaji kupata maneno matano ndani yake.

Kutoka kwa hali ya tatizo tayari inafuata kwamba maneno 4 ya kwanza yanajulikana. Ya tano inaweza kufafanuliwa kwa njia mbili:

1. Hebu kwanza tuhesabu tofauti. Tunayo: d = 8 - 10 = -2. Vile vile, unaweza kuchukua washiriki wengine wawili waliosimama karibu na kila mmoja. Kwa mfano, d = 4 - 6 = -2. Kwa kuwa inajulikana kuwa d = a n - a n-1, basi d = a 5 - a 4, ambayo tunapata: a 5 = a 4 + d. Hebu tubadilishe maadili yanayojulikana: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Njia ya pili pia inahitaji ujuzi wa tofauti ya maendeleo katika swali, kwa hivyo unahitaji kwanza kuamua kama inavyoonyeshwa hapo juu (d = -2). Kujua kwamba neno la kwanza 1 = 10, tunatumia fomula kwa nambari ya n ya mlolongo. Tunayo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Kubadilisha n = 5 kwa usemi wa mwisho, tunapata: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kama unaweza kuona, suluhisho zote mbili zilisababisha matokeo sawa. Kumbuka kuwa katika mfano huu tofauti ya d ya maendeleo ni thamani hasi. Mlolongo kama huo huitwa kupungua, kwani kila muhula unaofuata ni chini ya ule uliopita.

Mfano #2: tofauti ya maendeleo

Sasa hebu tufanye shida kidogo, toa mfano wa jinsi ya kupata tofauti ya maendeleo ya hesabu.

Inajulikana kuwa katika baadhi ya maendeleo ya algebraic neno la 1 ni sawa na 6, na neno la 7 ni sawa na 18. Ni muhimu kupata tofauti na kurejesha mlolongo huu kwa muda wa 7.

Wacha tutumie fomula kuamua neno lisilojulikana: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wacha tubadilishe data inayojulikana kutoka kwa hali ndani yake, ambayo ni, nambari 1 na 7, tunayo: 18 = 6 + 6 * d. Kutoka kwa usemi huu unaweza kuhesabu kwa urahisi tofauti: d = (18 - 6) /6 = 2. Kwa hivyo, tumejibu sehemu ya kwanza ya tatizo.

Ili kurejesha mlolongo kwa muda wa 7, unapaswa kutumia ufafanuzi maendeleo ya algebra, yaani, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d na kadhalika. Matokeo yake, tunarejesha mlolongo mzima: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Mfano Na. 3: kuandaa mwendelezo

Wacha tuifanye ngumu zaidi hali yenye nguvu zaidi kazi. Sasa tunahitaji kujibu swali la jinsi ya kupata maendeleo ya hesabu. Mfano unaofuata unaweza kutolewa: nambari mbili zinatolewa, kwa mfano - 4 na 5. Ni muhimu kuunda maendeleo ya algebra ili masharti matatu zaidi yawekwe kati ya haya.

Kabla ya kuanza kutatua tatizo hili, unahitaji kuelewa ni mahali gani nambari zilizopewa zitachukua katika maendeleo ya baadaye. Kwa kuwa kutakuwa na maneno matatu zaidi kati yao, basi 1 = -4 na 5 = 5. Baada ya kuanzisha hili, tunaendelea kwenye tatizo, ambalo ni sawa na la awali. Tena, kwa neno la nth tunatumia formula, tunapata: a 5 = a 1 + 4 * d. Kutoka: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Tulichopata hapa sio thamani kamili ya tofauti, lakini ni nambari ya busara, kwa hivyo fomula za maendeleo ya aljebra hubaki sawa.

Sasa hebu tuongeze tofauti iliyopatikana kwa 1 na kurejesha masharti yaliyokosekana ya maendeleo. Tunapata: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, 5 = 2.75 + 2.25 = 5, ambayo sanjari na masharti ya tatizo.

Mfano Nambari 4: muhula wa kwanza wa maendeleo

Wacha tuendelee kutoa mifano ya maendeleo ya hesabu na suluhisho. Katika matatizo yote ya awali, idadi ya kwanza ya maendeleo ya algebra ilijulikana. Sasa hebu fikiria tatizo la aina tofauti: hebu namba mbili zipewe, ambapo 15 = 50 na 43 = 37. Ni muhimu kupata nambari ambayo mlolongo huu huanza na.

Fomula zilizotumika kufikia sasa huchukua maarifa ya 1 na d. Katika taarifa ya tatizo, hakuna kinachojulikana kuhusu nambari hizi. Walakini, tutaandika misemo kwa kila neno kuhusu habari ambayo inapatikana: a 15 = a 1 + 14 * d na 43 = a 1 + 42 * d. Tulipokea milinganyo miwili ambayo ndani yake kuna idadi 2 isiyojulikana (a 1 na d). Hii ina maana kwamba tatizo limepunguzwa ili kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari.

Njia rahisi ya kutatua mfumo huu ni kueleza 1 katika kila mlinganyo na kisha kulinganisha misemo inayotokana. Equation ya kwanza: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; mlinganyo wa pili: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Kulinganisha maneno haya, tunapata: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, wapi tofauti d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (maeneo 3 tu ya decimal yanatolewa).

Kujua d, unaweza kutumia misemo yoyote kati ya 2 hapo juu kwa 1. Kwa mfano, kwanza: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Ikiwa una shaka juu ya matokeo yaliyopatikana, unaweza kuiangalia, kwa mfano, kuamua muda wa 43 wa maendeleo, ambayo imeelezwa katika hali hiyo. Tunapata: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Hitilafu ndogo ni kutokana na ukweli kwamba kuzunguka kwa maelfu ilitumiwa katika mahesabu.

Mfano Nambari 5: kiasi

Sasa hebu tuangalie mifano kadhaa iliyo na suluhisho kwa jumla ya maendeleo ya hesabu.

Hebu itolewe maendeleo ya nambari aina ifuatayo: 1, 2, 3, 4, ...,. Jinsi ya kuhesabu jumla ya 100 ya nambari hizi?

Shukrani kwa maendeleo teknolojia ya kompyuta unaweza kutatua tatizo hili, yaani, kuongeza namba zote sequentially, ambayo Mashine ya kuhesabu itafanya mara tu mtu anapobonyeza kitufe cha Ingiza. Hata hivyo, tatizo linaweza kutatuliwa kiakili ikiwa unazingatia kwamba mfululizo uliowasilishwa wa nambari ni maendeleo ya algebra, na tofauti yake ni sawa na 1. Kutumia formula kwa jumla, tunapata: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Inafurahisha kutambua kuwa shida hii inaitwa "Gaussian" kwa sababu in mapema XVIII karne, Mjerumani maarufu, akiwa bado na umri wa miaka 10 tu, aliweza kutatua katika kichwa chake katika sekunde chache. Mvulana hakujua fomula ya jumla ya maendeleo ya algebra, lakini aligundua kuwa ikiwa unaongeza nambari kwenye miisho ya mlolongo kwa jozi, kila wakati unapata matokeo sawa, ambayo ni, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., na kwa kuwa hesabu hizi zitakuwa 50 (100/2), basi kupata jibu sahihi inatosha kuzidisha 50 kwa 101.

Mfano Nambari 6: jumla ya maneno kutoka n hadi m

Moja zaidi mfano wa kawaida jumla ya maendeleo ya hesabu ni kama ifuatavyo: ukipewa safu ya nambari: 3, 7, 11, 15, ..., unahitaji kupata ni nini jumla ya masharti yake kutoka 8 hadi 14 itakuwa sawa.

Tatizo linatatuliwa kwa njia mbili. Ya kwanza ni pamoja na kutafuta maneno yasiyojulikana kutoka 8 hadi 14, na kisha kuyafupisha kwa mlolongo. Kwa kuwa kuna maneno machache, njia hii sio ya kazi sana. Walakini, inapendekezwa kutatua shida hii kwa kutumia njia ya pili, ambayo ni ya ulimwengu wote.

Wazo ni kupata fomula ya jumla ya kuendelea kwa aljebra kati ya istilahi m na n, ambapo n > m ni nambari kamili. Kwa visa vyote viwili, tunaandika maneno mawili kwa jumla:

1. S m = m * (m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kwa kuwa n > m, ni dhahiri kwamba jumla ya 2 inajumuisha ya kwanza. Hitimisho la mwisho linamaanisha kwamba ikiwa tutachukua tofauti kati ya hesabu hizi na kuongeza neno a m kwake (katika kesi ya kuchukua tofauti, imetolewa kutoka kwa jumla S n), tutapata jibu la lazima kwa shida. Tunayo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Inahitajika kubadilisha fomula za n na m katika usemi huu. Kisha tunapata: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Fomula inayosababishwa ni ngumu kiasi fulani, hata hivyo, jumla ya S mn inategemea tu n, m, 1 na d. Kwa upande wetu, 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Kubadilisha nambari hizi, tunapata: S mn = 301.

Kama inavyoonekana kutoka kwa suluhu zilizo hapo juu, shida zote zinatokana na maarifa ya usemi wa muhula wa nth na fomula ya jumla ya seti ya maneno ya kwanza. Kabla ya kuanza kutatua matatizo yoyote haya, inashauriwa kusoma kwa uangalifu hali hiyo, kuelewa wazi kile unachohitaji kupata, na kisha tu kuendelea na suluhisho.

Ncha nyingine ni kujitahidi kwa unyenyekevu, yaani, ikiwa unaweza kujibu swali bila kutumia mahesabu magumu ya hisabati, basi unahitaji kufanya hivyo tu, kwa kuwa katika kesi hii uwezekano wa kufanya makosa ni mdogo. Kwa mfano, kwa mfano wa maendeleo ya hesabu na suluhisho la 6, mtu anaweza kuacha kwenye formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, na mapumziko kazi ya pamoja katika kazi ndogo tofauti (in kwa kesi hii kwanza tafuta istilahi a n na a m).

Ikiwa una shaka juu ya matokeo yaliyopatikana, inashauriwa kuiangalia, kama ilifanyika katika baadhi ya mifano iliyotolewa. Tuligundua jinsi ya kupata maendeleo ya hesabu. Ikiwa utaigundua, sio ngumu sana.

Ndio, ndio: maendeleo ya hesabu sio mchezo kwako :)

Naam, marafiki, ikiwa unasoma maandishi haya, basi uthibitisho wa ndani unaniambia kuwa bado haujui maendeleo ya hesabu ni nini, lakini kwa kweli (hapana, kama hiyo: SOOOOO!) unataka kujua. Kwa hivyo, sitawatesa kwa utangulizi mrefu na nitaenda moja kwa moja kwenye uhakika.

Kwanza, mifano michache. Wacha tuangalie seti kadhaa za nambari:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Je, seti hizi zote zinafanana nini? Kwa mtazamo wa kwanza, hakuna kitu. Lakini kwa kweli kuna kitu. Yaani: kila kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia kwa nambari sawa.

Jihukumu mwenyewe. Seti ya kwanza ni nambari zinazofuatana, kila inayofuata ikiwa moja zaidi ya ile iliyotangulia. Katika kesi ya pili, tofauti kati ya mfululizo nambari zilizosimama tayari ni sawa na tano, lakini tofauti hii bado ni mara kwa mara. Katika kesi ya tatu, kuna mizizi kabisa. Hata hivyo, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, na $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kinaongezeka tu kwa $\sqrt(2)$ (na usiogope kwamba nambari hii haina mantiki).

Kwa hivyo: mlolongo wote kama huo huitwa maendeleo ya hesabu. Wacha tutoe ufafanuzi mkali:

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari ambapo kila inayofuata inatofautiana na ile ya awali kwa kiasi sawa kabisa inaitwa maendeleo ya hesabu. Kiasi kile ambacho nambari hutofautiana huitwa tofauti ya kuendelea na mara nyingi huonyeshwa na herufi $d$.

Dokezo: $\left(((a)_(n)) \kulia)$ ndio mwendelezo wenyewe, $d$ ndio tofauti yake.

Na wanandoa mara moja maoni muhimu. Kwanza, maendeleo yanazingatiwa tu kuamuru mlolongo wa nambari: zinaruhusiwa kusomwa madhubuti kwa mpangilio ambao zimeandikwa - na hakuna kitu kingine chochote. Nambari haziwezi kupangwa upya au kubadilishana.

Pili, mlolongo yenyewe unaweza kuwa na mwisho au usio na mwisho. Kwa mfano, seti (1; 2; 3) ni wazi ni mwendelezo wa kihesabu wa kikomo. Lakini ukiandika kitu katika roho (1; 2; 3; 4; ...) - hii tayari ni maendeleo yasiyo na mwisho. Ellipsis baada ya nne inaonekana kudokeza kwamba kuna nambari chache zaidi zinazokuja. Wengi sana, kwa mfano. :)

Pia ningependa kutambua kwamba maendeleo yanaweza kuongezeka au kupungua. Tayari tumeona zile zinazoongezeka - seti sawa (1; 2; 3; 4; ...). Hapa kuna mifano ya kupungua kwa maendeleo:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

SAWA SAWA: mfano wa mwisho inaweza kuonekana kuwa ngumu kupita kiasi. Lakini wengine, nadhani, unaelewa. Kwa hivyo, tunaanzisha ufafanuzi mpya:

Ufafanuzi. Maendeleo ya hesabu inaitwa:

1. kuongezeka ikiwa kila kipengele kinachofuata ni kikubwa kuliko kilichotangulia;
2. kupungua ikiwa, kinyume chake, kila kipengele kinachofuata ni kidogo kuliko kilichotangulia.

Kwa kuongezea, kuna kinachojulikana kama "stationary" mlolongo - zinajumuisha nambari sawa ya kurudia. Kwa mfano, (3; 3; 3; ...).

Swali moja tu linabaki: jinsi ya kutofautisha maendeleo yanayoongezeka kutoka kwa kupungua? Kwa bahati nzuri, kila kitu hapa kinategemea tu ishara ya nambari ya $ d$, i.e. tofauti za maendeleo:

1. Ikiwa $d \gt 0$, basi maendeleo yanaongezeka;
2. Ikiwa $d \lt 0$, basi maendeleo yanapungua kwa wazi;
3. Hatimaye, kuna kesi $d=0$ - katika kesi hii maendeleo yote yamepunguzwa kwa mlolongo wa stationary wa nambari zinazofanana: (1; 1; 1; 1; ...), nk.

Hebu tujaribu kukokotoa tofauti $d$ kwa maendeleo matatu yanayopungua yaliyotolewa hapo juu. Ili kufanya hivyo, inatosha kuchukua vitu viwili vilivyo karibu (kwa mfano, ya kwanza na ya pili) na uondoe nambari upande wa kushoto kutoka kwa nambari ya kulia. Itakuwa kama hii:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kama tunavyoona, katika yote kesi tatu tofauti kweli aligeuka kuwa hasi. Na sasa kwa kuwa tumeelewa zaidi au chini ya ufafanuzi, ni wakati wa kujua jinsi maendeleo yanavyoelezewa na ni mali gani wanayo.

Masharti ya maendeleo na fomula ya kurudia

Kwa kuwa vipengele vya mlolongo wetu haviwezi kubadilishwa, vinaweza kuhesabiwa:

\[\kushoto(((a)_(n)) \kulia)=\kushoto\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \haki\)\]

Vipengele vya kibinafsi vya seti hii huitwa washiriki wa maendeleo. Wanaonyeshwa na nambari: mwanachama wa kwanza, wa pili, nk.

Kwa kuongezea, kama tunavyojua tayari, masharti ya karibu ya maendeleo yanahusiana na formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Mshale wa Kulia ((a)_(n)))=((a)_(n-1))+d \]

Kwa kifupi, ili kupata muhula wa $n$th wa mwendelezo, unahitaji kujua muhula wa $n-1$th na tofauti $d$. Njia hii inaitwa mara kwa mara, kwa sababu kwa msaada wake unaweza kupata nambari yoyote tu kwa kujua moja uliopita (na kwa kweli, zote zilizopita). Hii ni ngumu sana, kwa hivyo kuna formula ya ujanja zaidi ambayo inapunguza mahesabu yoyote kwa muhula wa kwanza na tofauti:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\kushoto(n-1 \kulia)d\]

Labda tayari umekutana na fomula hii. Wanapenda kutoa katika kila aina ya vitabu vya kumbukumbu na vitabu vya ufumbuzi. Na katika kitabu chochote cha hesabu cha busara ni moja ya kwanza.

Walakini, napendekeza ufanye mazoezi kidogo.

Kazi nambari 1. Andika masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu $\left(((a)_(n)) \kulia)$ if $((a)_(1)))=8,d=-5$.

Suluhisho. Kwa hivyo, tunajua neno la kwanza $((a)_(1))=8$ na tofauti ya mwendelezo $d=-5$. Hebu tutumie fomula iliyotolewa hivi punde na tubadilishe $n=1$, $n=2$ na $n=3$:

\[\anza(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kulia)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kushoto(1-1 \kulia)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kushoto(2-1 \kulia)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kushoto(3-1 \kulia)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \mwisho(patanisha)\]

Jibu: (8; 3; −2)

Ni hayo tu! Tafadhali kumbuka: maendeleo yetu yanapungua.

Bila shaka, $n=1$ haikuweza kubadilishwa - muhula wa kwanza tayari unajulikana kwetu. Walakini, kwa kubadilisha umoja, tulikuwa na hakika kwamba hata kwa muhula wa kwanza fomula yetu inafanya kazi. Katika hali nyingine, kila kitu kilikuja kwa hesabu ya banal.

Kazi nambari 2. Andika masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu ikiwa muhula wake wa saba ni sawa na -40 na muhula wake wa kumi na saba ni sawa na -50.

Suluhisho. Wacha tuandike hali ya shida kwa maneno yanayojulikana:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kushoto\( \anza(patanisha) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \mwisho(panga) \kulia.\]

\[\kushoto\( \anza(panga) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \mwisho(panga) \haki.\]

Ninaweka ishara ya mfumo kwa sababu mahitaji haya lazima yatimizwe kwa wakati mmoja. Sasa hebu tukumbuke kwamba ikiwa tunaondoa ya kwanza kutoka kwa equation ya pili (tuna haki ya kufanya hivyo, kwa kuwa tuna mfumo), tunapata hii:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(1))+16d-\kushoto(((a)_(1))+6d \kulia)=-50-\kushoto(-40 \kulia); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \mwisho(patanisha)\]

Ndio jinsi ilivyo rahisi kupata tofauti ya maendeleo! Kilichobaki ni kubadilisha nambari iliyopatikana katika milinganyo yoyote ya mfumo. Kwa mfano, katika ya kwanza:

\[\ anza(tumbo) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Download \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \mwisho(matrix)\]

Sasa, tukijua muhula wa kwanza na tofauti, inabaki kupata neno la pili na la tatu:

\[\anza(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \mwisho(patanisha)\]

Tayari! Tatizo linatatuliwa.

Jibu: (−34; −35; -36)

makini na mali ya kuvutia maendeleo ambayo tuligundua: ikiwa tutachukua masharti $n$th na $m$th na kuyaondoa kutoka kwa kila jingine, tunapata tofauti ya mwendelezo ikizidishwa na nambari $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kushoto(n-m \kulia)\]

Rahisi lakini sana mali muhimu, ambayo hakika unahitaji kujua - kwa msaada wake unaweza kuharakisha kwa kiasi kikubwa ufumbuzi wa matatizo mengi ya maendeleo. Hapa mkali huyo mfano:

Kazi nambari 3. Muhula wa tano wa maendeleo ya hesabu ni 8.4, na muhula wake wa kumi ni 14.4. Tafuta muhula wa kumi na tano wa mwendelezo huu.

Suluhisho. Kwa kuwa $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, na tunahitaji kupata $((a)_(15))$, tunaona yafuatayo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \mwisho(patanisha)\]

Lakini kwa masharti $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, kwa hivyo $5d=6$, ambayo tunayo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \mwisho(patanisha)\]

Jibu: 20.4

Ni hayo tu! Hatukuhitaji kuunda mifumo yoyote ya milinganyo na kuhesabu muhula wa kwanza na tofauti - kila kitu kilitatuliwa kwa mistari michache tu.

Sasa hebu tuangalie aina nyingine ya tatizo - kutafuta maneno hasi na chanya ya maendeleo. Sio siri kwamba ikiwa maendeleo yanaongezeka, na muda wake wa kwanza ni mbaya, basi mapema au baadaye maneno mazuri yataonekana ndani yake. Na kinyume chake: masharti ya maendeleo ya kupungua yatakuwa hasi mapema au baadaye.

Wakati huo huo, si mara zote inawezekana kupata wakati huu "kichwa-juu" kwa sequentially kupitia vipengele. Mara nyingi, matatizo yanaandikwa kwa njia ambayo bila kujua fomula, hesabu zingechukua karatasi kadhaa—tungelala tu huku tukipata jibu. Kwa hiyo, hebu tujaribu kutatua matatizo haya kwa njia ya haraka.

Kazi nambari 4. Kuna istilahi ngapi hasi katika maendeleo ya hesabu -38.5; -35.8; ...?

Suluhisho. Kwa hivyo, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kutoka ambapo tunapata tofauti mara moja:

Kumbuka kuwa tofauti ni chanya, hivyo maendeleo yanaongezeka. Muhula wa kwanza ni hasi, kwa hivyo kwa kweli wakati fulani tutajikwaa kwenye nambari chanya. Swali pekee ni wakati hii itatokea.

Wacha tujaribu kujua ni muda gani (yaani hadi nambari gani asilia $n$) uzembe wa maneno unabaki:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(n)) \lt 0\Mshale wa kulia ((a)_(1))+\kushoto(n-1 \kulia)d \lt 0; \\ & -38.5+\kushoto(n-1 \kulia)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kulia. \\ & -385+27\cdot \kushoto(n-1 \kulia) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Kulia ((n)_(\max ))=15. \\ \mwisho(patanisha)\]

Mstari wa mwisho unahitaji maelezo fulani. Kwa hivyo tunajua kuwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kwa upande mwingine, tumeridhika na nambari kamili tu za nambari (zaidi ya hayo: $n\in \mathbb(N)$), kwa hivyo nambari kubwa inayoruhusiwa ni $n=15$, na hakuna kesi 16. .

Kazi nambari 5. Katika maendeleo ya hesabu $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tafuta idadi ya muhula chanya wa kwanza wa mwendelezo huu.

Hili litakuwa shida sawa na ile iliyotangulia, lakini hatujui $((a)_(1))$. Lakini maneno ya jirani yanajulikana: $((a)_(5))$ na $((a)_(6))$, kwa hivyo tunaweza kupata tofauti ya mwendelezo kwa urahisi:

Kwa kuongezea, wacha tujaribu kuelezea muhula wa tano kupitia ya kwanza na tofauti kwa kutumia fomula ya kawaida:

\[\anza(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kulia)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdoti 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \mwisho(patanisha)\]

Sasa tunaendelea kwa mlinganisho na kazi ya awali. Wacha tujue ni wakati gani katika mlolongo wetu nambari chanya zitaonekana:

\[\anza(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \kulia)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Mshale wa Kulia ((n)_(\min ))=56. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kiwango cha chini suluhisho kamili ya ukosefu huu wa usawa ni nambari 56.

Tafadhali kumbuka: katika kazi ya mwisho kila kitu kilishuka kwa usawa mkali, kwa hivyo chaguo $n=55$ haitatufaa.

Sasa kwa kuwa tumejifunza jinsi ya kutatua matatizo rahisi, hebu tuendelee kwenye magumu zaidi. Lakini kwanza, hebu tujifunze mali nyingine muhimu sana ya maendeleo ya hesabu, ambayo itatuokoa muda mwingi na seli zisizo sawa katika siku zijazo. :)

Maana ya hesabu na indentations sawa

Wacha tuzingatie masharti kadhaa mfululizo ya ukuaji wa hesabu unaoongezeka $\left(((a)_(n)) \kulia)$. Wacha tujaribu kuziweka alama kwenye mstari wa nambari:

Masharti ya kuendelea kwa hesabu kwenye mstari wa nambari

Nilitia alama maneno kiholela $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, na si baadhi $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, n.k. Kwa sababu sheria ambayo nitakuambia sasa inafanya kazi sawa kwa "sehemu" zozote.

Na kanuni ni rahisi sana. Hebu tukumbuke fomula ya kurudia na uandike kwa washiriki wote waliowekwa alama:

\[\anza(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \mwisho(patanisha)\]

Walakini, usawa huu unaweza kuandikwa tena tofauti:

\[\anza(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \mwisho(patanisha)\]

Naam, basi nini? Na ukweli kwamba masharti $((a)_(n-1))$ na $((a)_(n+1))$ yapo katika umbali sawa kutoka $((a)_(n)) $ . Na umbali huu ni sawa na $d$. Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu masharti $((a)_(n-2))$ na $((a)_(n+2))$ - pia yameondolewa kutoka $((a)_(n) )$ kwa umbali sawa na $2d$. Tunaweza kuendelea na ad infinitum, lakini maana inaonyeshwa vyema na picha

Masharti ya maendeleo yapo kwa umbali sawa kutoka katikati

Hii ina maana gani kwetu? Hii inamaanisha kuwa $((a)_(n))$ inaweza kupatikana ikiwa nambari za jirani zinajulikana:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+(a)_(n+1)))(2)\]

Tumepata kauli nzuri sana: kila neno la maendeleo ya hesabu ni sawa na maana ya hesabu ya maneno jirani! Zaidi ya hayo: tunaweza kurudi nyuma kutoka $((a)_(n))$ yetu kwenda kushoto na kulia sio kwa hatua moja, lakini kwa $k$ hatua - na formula bado itakuwa sahihi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+(a)_(n+k)))(2)\]

Wale. tunaweza kupata $((a)_(150))$ kwa urahisi ikiwa tunajua $((a)_(100))$ na $((a)_(200))$, kwa sababu $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa ukweli huu hautupi chochote muhimu. Walakini, katika mazoezi, shida nyingi zimeundwa mahsusi kutumia maana ya hesabu. Angalia:

Kazi Nambari 6. Pata thamani zote za $x$ ambazo nambari zake $-6((x)^(2))$, $x+1$ na $14+4((x)^(2))$ ni masharti mfululizo ya maendeleo ya hesabu (katika mpangilio ulioonyeshwa).

Suluhisho. Kwa sababu ya nambari maalum ni washiriki wa mwendelezo, hali ya wastani ya hesabu imeridhika kwao: kipengele cha kati$x+1$ inaweza kuonyeshwa kulingana na vipengele vya jirani:

\[\anza(linganisha) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \mwisho(patanisha)\]

Iligeuka classic mlinganyo wa quadratic. Mizizi yake: $x=2$ na $x=-3$ ndio majibu.

Jibu: -3; 2.

Kazi Nambari 7. Tafuta thamani za $$ ambazo nambari $-1;4-3;(()^(2))+1$ huunda mwendelezo wa hesabu (kwa mpangilio huo).

Suluhisho. Wacha tueleze tena neno la kati kupitia maana ya hesabu ya maneno jirani:

\[\anza(linganisha) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kushoto| \cdot 2 \kulia.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \mwisho(patanisha)\]

Mlinganyo wa quadratic tena. Na tena kuna mizizi miwili: $x=6$ na $x=1$.

Jibu: 1; 6.

Ikiwa katika mchakato wa kutatua tatizo unakuja na nambari fulani za ukatili, au huna uhakika kabisa wa usahihi wa majibu yaliyopatikana, basi kuna mbinu ya ajabu ambayo inakuwezesha kuangalia: je, tumetatua tatizo kwa usahihi?

Hebu tuseme katika tatizo nambari 6 tulipata majibu −3 na 2. Je, tunawezaje kuangalia kama majibu haya ni sahihi? Hebu tu tuziunganishe kwenye hali ya awali na tuone kitakachotokea. Acha nikukumbushe kwamba tuna nambari tatu ($-6(()^(2))$, $+1$ na $14+4(()^(2))$), ambazo lazima ziunde mwendelezo wa hesabu. Hebu tubadilishe $x=-3$:

\[\anza(linganisha) & x=-3\Mshale wa Kulia \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \mwisho(patanisha)\]

Tulipata nambari -54; −2; 50 ambayo inatofautiana na 52 bila shaka ni maendeleo ya hesabu. Jambo hilo hilo hufanyika kwa $x=2$:

\[\anza(linganisha) & x=2\Mshale wa Kulia \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \mwisho(patanisha)\]

Tena maendeleo, lakini kwa tofauti ya 27. Hivyo, tatizo lilitatuliwa kwa usahihi. Wale wanaotaka wanaweza kuangalia shida ya pili peke yao, lakini nitasema mara moja: kila kitu ni sawa huko pia.

Kwa ujumla, wakati wa kutatua shida za mwisho, tulikutana na nyingine ukweli wa kuvutia, ambayo pia inahitaji kukumbukwa:

Ikiwa nambari tatu ziko hivi kwamba ya pili ni ya kati hesabu kwanza na mwisho, basi nambari hizi huunda maendeleo ya hesabu.

Katika siku zijazo, kuelewa taarifa hii kutaturuhusu "kuunda" maendeleo muhimu kulingana na hali ya shida. Lakini kabla ya kushiriki katika "ujenzi" huo, tunapaswa kuzingatia ukweli mmoja zaidi, ambao unafuata moja kwa moja kutoka kwa kile ambacho tayari kimejadiliwa.

Vipengee vya kuweka vikundi na muhtasari

Wacha turudi kwenye mhimili wa nambari tena. Wacha tuangalie washiriki kadhaa wa maendeleo, kati yao, labda. ina thamani ya wanachama wengine wengi:

Kuna vipengele 6 vilivyowekwa alama kwenye mstari wa nambari

Hebu tujaribu kueleza “mkia wa kushoto” kupitia $((a)_(n))$ na $d$, na “mkia wa kulia” kupitia $((a)_(k))$ na $d$. Ni rahisi sana:

\[\anza(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \mwisho(patanisha)\]

Sasa kumbuka kuwa viwango vifuatavyo ni sawa:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \mwisho(patanisha)\]

Kwa ufupi, ikiwa tutazingatia kama mwanzo vipengele viwili vya mwendelezo, ambavyo kwa jumla ni sawa na baadhi ya nambari $S$, na kisha kuanza kupiga hatua kutoka kwa vipengele hivi hadi. pande tofauti(kuelekea kila mmoja au kinyume chake kuhama), basi jumla ya vipengele ambavyo tutajikwaa pia vitakuwa sawa$S$. Hii inaweza kuwakilishwa kwa uwazi zaidi graphically:

Viingilio sawa hutoa kiasi sawa

Kuelewa ukweli huu itaturuhusu kutatua matatizo kwa kimsingi zaidi ngazi ya juu magumu kuliko yale tuliyozingatia hapo juu. Kwa mfano, hizi:

Kazi Nambari 8. Tambua tofauti ya maendeleo ya hesabu ambayo muda wa kwanza ni 66, na bidhaa ya maneno ya pili na ya kumi na mbili ni ndogo iwezekanavyo.

Suluhisho. Wacha tuandike kila kitu tunachojua:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo, hatujui tofauti ya maendeleo $d$. Kwa kweli, suluhisho lote litajengwa karibu na tofauti, kwani bidhaa $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

\[\anza(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kushoto(66+d \kulia)\cdot \kushoto(66+11d \kulia)= \\ & =11 \cdot \kushoto(d+66 \kulia)\cdot \kushoto(d+6 \kulia). \mwisho(patanisha)\]

Kwa wale walio kwenye tanki: Nilichukua kizidishi jumla cha 11 kati ya mabano ya pili. Kwa hivyo, bidhaa inayotakiwa ni kazi ya quadratic kwa heshima ya kutofautiana $d$. Kwa hivyo, fikiria kazi $f\left(d \kulia)=11\left(d+66 \kulia)\left(d+6 \kulia)$ - grafu yake itakuwa parabola na matawi juu, kwa sababu. ikiwa tutapanua mabano, tunapata:

\[\anza(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \kulia)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \mwisho(align)\]

Kama unaweza kuona, mgawo wa muda wa juu ni 11 - hii ni nambari chanya, kwa hivyo tunashughulika na parabola iliyo na matawi juu:

ratiba kazi ya quadratic- parabola

Kumbuka: thamani ya chini parabola hii inachukua $((d)_(0))$ kwenye vertex yake na abscissa. Kwa kweli, tunaweza kuhesabu abscissa hii kwa kutumia mpango wa kawaida (kuna fomula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), lakini itakuwa sawa zaidi kutambua. kwamba kipeo kinachohitajika kiko kwenye ulinganifu wa mhimili wa parabola, kwa hivyo uhakika $((d)_(0))$ ni sawa kutoka kwa mizizi ya equation $f\left(d \right)=0$:

\[\anza(align) & f\left(d \kulia)=0; \\ & 11\cdot \kushoto(d+66 \kulia)\cdot \kushoto(d+6 \kulia)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2)))=-6. \\ \mwisho(patanisha)\]

Ndiyo sababu sikuwa na haraka sana kufungua mabano: kwa fomu yao ya awali, mizizi ilikuwa rahisi sana kupata. Kwa hivyo, abscissa ni sawa na maana ya hesabu ya nambari -66 na -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Nambari iliyogunduliwa inatupa nini? Pamoja nayo, bidhaa inayohitajika inachukua thamani ndogo(kwa njia, hatukuwahi kuhesabu $((y)_(\min ))$ - hii haihitajiki kwetu). Wakati huo huo, nambari hii ni tofauti ya maendeleo ya awali, i.e. tulipata jibu. :)

Jibu: -36

Kazi Nambari 9. Kati ya nambari $-\frac(1)(2)$ na $-\frac(1)(6)$ weka nambari tatu ili pamoja na nambari hizi zitengeneze maendeleo ya hesabu.

Suluhisho. Kimsingi, tunahitaji kufanya mlolongo wa nambari tano, na nambari ya kwanza na ya mwisho tayari inajulikana. Wacha tuonyeshe nambari zinazokosekana kwa vijiti $x$, $y$ na $z$:

\[\kushoto(((a)_(n)) \kulia)=\kushoto\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kulia\ )\]

Kumbuka kwamba nambari $y$ ni "katikati" ya mlolongo wetu - ni sawa na nambari $x$ na $z$, na kutoka kwa nambari $-\frac(1)(2)$ na $-\frac (1)(6)$. Na ikiwa kwa sasa hatuwezi kupata $y$ kutoka kwa nambari $x$ na $z$, basi hali ni tofauti na miisho ya mwendelezo. Wacha tukumbuke maana ya hesabu:

Sasa, tukijua $y$, tutapata nambari zilizobaki. Kumbuka kuwa $x$ iko kati ya nambari $-\frac(1)(2)$ na $y=-\frac(1)(3)$ ambazo tumezipata hivi punde. Ndiyo maana

Kwa kutumia hoja zinazofanana, tunapata nambari iliyobaki:

Tayari! Tulipata nambari zote tatu. Wacha tuandike kwa jibu kwa mpangilio ambao wanapaswa kuingizwa kati ya nambari za asili.

Jibu: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Kazi nambari 10. Kati ya nambari 2 na 42, ingiza nambari kadhaa ambazo, pamoja na nambari hizi, huunda maendeleo ya hesabu, ikiwa unajua kuwa jumla ya nambari za kwanza, za pili na za mwisho zilizoingizwa ni 56.

Suluhisho. Hata zaidi kazi ngumu, ambayo, hata hivyo, hutatuliwa kulingana na mpango sawa na wale uliopita - kupitia maana ya hesabu. Shida ni kwamba hatujui ni nambari ngapi zinazohitajika kuingizwa. Kwa hiyo, hebu tufikirie kwa uhakika kwamba baada ya kuingiza kila kitu kutakuwa na nambari za $ n$ hasa, na ya kwanza ni 2, na ya mwisho ni 42. Katika kesi hii, maendeleo ya hesabu yanayotakiwa yanaweza kuwakilishwa kwa fomu:

\[\kushoto(((a)_(n)) \kulia)=\kushoto\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kulia\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Kumbuka, hata hivyo, kwamba nambari $((a)_(2))$ na $((a)_(n-1))$ zinapatikana kutoka kwa nambari 2 na 42 kwenye kingo kwa hatua moja kuelekea nyingine. yaani. katikati ya mlolongo. Na hii ina maana kwamba

\[((a)_(2))+(a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakini basi usemi ulioandikwa hapo juu unaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \kushoto(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kulia)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kujua $((a)_(3))$ na $((a)_(1))$, tunaweza kupata kwa urahisi tofauti ya mwendelezo:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kushoto(3-1 \kulia)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Kulia d=5. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kilichobaki ni kupata masharti yaliyobaki:

\[\anza(linganisha) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdoti 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo, tayari katika hatua ya 9 tutafika mwisho wa kushoto wa mlolongo - nambari 42. Kwa jumla, nambari 7 tu zilipaswa kuingizwa: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jibu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Matatizo ya neno na maendeleo

Kwa kumalizia, ningependa kuzingatia michache ya kiasi kazi rahisi. Kweli, rahisi kama hiyo: kwa wanafunzi wengi wanaosoma hisabati shuleni na hawajasoma yaliyoandikwa hapo juu, shida hizi zinaweza kuonekana kuwa ngumu. Walakini, hizi ni aina za shida zinazoonekana katika OGE na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, kwa hivyo ninapendekeza ujitambue.

Kazi nambari 11. Timu ilitoa sehemu 62 mnamo Januari, na katika kila mwezi uliofuata walitoa sehemu 14 zaidi kuliko mwezi uliopita. Timu ilitoa sehemu ngapi mnamo Novemba?

Suluhisho. Kwa wazi, idadi ya sehemu zilizoorodheshwa kwa mwezi zitawakilisha ongezeko la hesabu. Aidha:

\[\anza(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kushoto(n-1 \kulia)\cdoti 14. \\ \mwisho(patanisha)\]

Novemba ni mwezi wa 11 wa mwaka, kwa hivyo tunahitaji kupata $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdoti 14=202\]

Kwa hivyo, sehemu 202 zitatolewa mnamo Novemba.

Kazi nambari 12. Warsha ya kuweka vitabu ilifunga vitabu 216 katika Januari, na katika kila mwezi uliofuata ilifunga vitabu 4 zaidi kuliko mwezi uliopita. Warsha ilifunga vitabu vingapi mwezi Desemba?

Suluhisho. Yote sawa:

$\anza(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kushoto(n-1 \kulia)\cdoti 4. \\ \mwisho(align)$

Desemba ni mwezi wa mwisho, wa 12 wa mwaka, kwa hivyo tunatafuta $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdoti 4=260\]

Hili ndilo jibu - vitabu 260 vitafungwa mwezi Desemba.

Kweli, ikiwa umesoma hadi sasa, nina haraka kukupongeza: umemaliza kwa mafanikio "kozi ya mpiganaji mchanga" katika maendeleo ya hesabu. Unaweza kuendelea kwa usalama kwenye somo linalofuata, ambapo tutasoma fomula ya jumla ya maendeleo, pamoja na matokeo muhimu na muhimu sana kutoka kwayo.

I. V. Yakovlev | Nyenzo za hisabati | MathUs.ru

Maendeleo ya hesabu

Maendeleo ya hesabu ni aina maalum baadae. Kwa hiyo, kabla ya kufafanua maendeleo ya hesabu (na kisha kijiometri), tunahitaji kujadili kwa ufupi dhana muhimu ya mlolongo wa nambari.

Kufuatia

Hebu fikiria kifaa kwenye skrini ambacho nambari fulani zinaonyeshwa moja baada ya nyingine. Tuseme 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Seti hii ya nambari kwa hakika ni mfano wa mfuatano.

Ufafanuzi. Mfuatano wa nambari ni seti ya nambari ambazo kila nambari inaweza kupewa nambari ya kipekee (yaani, inayohusishwa na nambari moja asilia)1. Nambari iliyo na nambari n inaitwa muhula wa nth mifuatano.

Kwa hiyo, katika mfano hapo juu, nambari ya kwanza ni 2, hii ni mwanachama wa kwanza wa mlolongo, ambayo inaweza kuonyeshwa na a1; nambari tano ina nambari 6 ni muhula wa tano wa mlolongo, ambao unaweza kuonyeshwa na a5. Kwa ujumla, neno la nth la mlolongo linaonyeshwa na (au bn, cn, nk).

Hali rahisi sana ni wakati muda wa nth wa mlolongo unaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula = 2n 3 inabainisha mlolongo: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n inabainisha mfuatano: 1; 1; 1; 1; :::

Sio kila seti ya nambari ni mlolongo. Kwa hivyo, sehemu sio mlolongo; ina nambari "nyingi" za kuhesabiwa tena. Seti ya R ya yote nambari za kweli pia sio mlolongo. Mambo haya yanathibitishwa wakati wa uchambuzi wa hisabati.

Maendeleo ya hesabu: ufafanuzi wa kimsingi

Sasa tuko tayari kufafanua maendeleo ya hesabu.

Ufafanuzi. Ukuaji wa hesabu ni mfuatano ambao kila neno (kuanzia pili) sawa na jumla muhula uliopita na nambari fulani maalum (inayoitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu).

Kwa mfano, mlolongo wa 2; 5; 8; kumi na moja; : : : ni mwendelezo wa hesabu na muhula wa 2 wa kwanza na tofauti 3. Mfuatano wa 7; 2; 3; 8; : : : ni mwendelezo wa hesabu na muhula wa 7 wa kwanza na tofauti 5. Mfuatano wa 3; 3; 3; : : : ni maendeleo ya hesabu yenye tofauti sawa na sifuri.

Ufafanuzi sawa: mfuatano an unaitwa kuendelea kwa hesabu ikiwa tofauti an+1 an ni thamani isiyobadilika (huru ya n).

Ukuaji wa hesabu unaitwa kuongezeka ikiwa tofauti yake ni chanya, na kupungua ikiwa tofauti yake ni hasi.

1 Lakini hapa kuna ufafanuzi mafupi zaidi: mlolongo ni kazi iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari asilia. Kwa mfano, mlolongo wa nambari halisi ni kazi f: N ! R.

Kwa chaguo-msingi, mlolongo unachukuliwa kuwa usio na mwisho, yaani, una seti isiyo na mwisho nambari. Lakini hakuna anayetusumbua kuzingatia mifuatano yenye ukomo; kwa kweli, seti yoyote ya mwisho ya nambari inaweza kuitwa mlolongo wa mwisho. Kwa mfano, mlolongo wa mwisho 1; 2; 3; 4; 5 lina nambari tano.

Mfumo wa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu

Ni rahisi kuelewa kwamba maendeleo ya hesabu imedhamiriwa kabisa na nambari mbili: muda wa kwanza na tofauti. Kwa hiyo, swali linatokea: jinsi gani, kujua muda wa kwanza na tofauti, kupata muda wa kiholela wa maendeleo ya hesabu?

Si vigumu kupata fomula inayohitajika kwa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu. Hebu a

maendeleo ya hesabu kwa tofauti d. Tuna:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Hasa, tunaandika:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
na sasa inakuwa wazi kuwa fomula ya an ni:
an = a1 + (n 1)d:

Tatizo 1. Katika maendeleo ya hesabu 2; 5; 8; kumi na moja; : : : tafuta fomula ya muhula wa nth na ukokote muhula wa mia.

Suluhisho. Kulingana na fomula (1) tunayo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Mali na ishara ya maendeleo ya hesabu

Mali ya maendeleo ya hesabu. Katika maendeleo ya hesabu kwa yoyote

Kwa maneno mengine, kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu (kuanzia ya pili) ni maana ya hesabu ya wanachama wake wa jirani.

	Ushahidi. Tuna:
	a n 1+ a n+1		(d) + (an + d)

ambayo ndiyo ilitakiwa.

Zaidi kwa njia ya jumla, maendeleo ya hesabu an yanakidhi usawa

a n = a n k+ a n+k

kwa yoyote n > 2 na k yoyote asilia< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Inatokea kwamba formula (2) sio lazima tu, bali pia hali ya kutosha kwamba mfuatano huo ni mwendelezo wa hesabu.

Ishara ya maendeleo ya hesabu. Ikiwa usawa (2) unashikilia kwa zote n > 2, basi mfuatano an ni mwendelezo wa hesabu.

Ushahidi. Wacha tuandike tena fomula (2) kama ifuatavyo:

a na n 1= a n+1a n:

Kutokana na hili tunaweza kuona kwamba tofauti an+1 an haitegemei n, na hii ina maana hasa kwamba mlolongo an ni maendeleo ya hesabu.

Mali na ishara ya maendeleo ya hesabu inaweza kutengenezwa kwa namna ya taarifa moja; Kwa urahisi, tutafanya hivyo kwa namba tatu (hii ndiyo hali ambayo mara nyingi hutokea katika matatizo).

Tabia ya maendeleo ya hesabu. Nambari tatu a, b, c huunda mwendelezo wa hesabu ikiwa tu 2b = a + c.

Tatizo la 2. (MSU, Kitivo cha Uchumi, 2007) Nambari tatu 8x, 3 x2 na 4 katika mpangilio ulioonyeshwa huunda maendeleo ya hesabu yanayopungua. Tafuta x na uonyeshe tofauti ya mwendelezo huu.

Suluhisho. Kwa mali ya maendeleo ya hesabu tunayo:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ikiwa x = 1, basi tunapata maendeleo ya kupungua kwa 8, 2, 4 na tofauti ya 6. Ikiwa x = 5, basi tunapata maendeleo ya kuongezeka kwa 40, 22, 4; kesi hii haifai.

Jibu: x = 1, tofauti ni 6.

Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

Hadithi zinasema kwamba siku moja mwalimu aliwaambia watoto watafute jumla ya nambari kutoka 1 hadi 100 na wakaketi kimya kusoma gazeti. Hata hivyo, ndani ya dakika chache, mvulana mmoja alisema kwamba alikuwa ametatua tatizo hilo. Alikuwa Karl Friedrich Gauss mwenye umri wa miaka 9, baadaye mmoja wa wanahisabati wakubwa katika historia.

Wazo la Gauss mdogo lilikuwa kama ifuatavyo. Hebu

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Hebu tuandike kiasi hiki kwa mpangilio wa nyuma:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

na ongeza fomula hizi mbili:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Kila neno katika mabano ni sawa na 101, na kuna maneno kama hayo kwa jumla 100. Kwa hiyo

2S = 101 100 = 10100;

Tunatumia wazo hili kupata fomula ya jumla

S = a1 + a2 + : :: + an + a n n: (3)

Marekebisho muhimu ya fomula (3) hupatikana ikiwa tutabadilisha fomula ya neno la nth = a1 + (n 1)d ndani yake:

		2a1 + (n 1)d

Tatizo la 3. Tafuta jumla ya nambari zote chanya za tarakimu tatu zinazogawanywa kwa 13.

Suluhisho. Nambari za tarakimu tatu, vizidishio vya 13, huunda mwendelezo wa hesabu na muhula wa kwanza 104 na tofauti 13; Muhula wa 1 wa maendeleo haya una fomu:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Wacha tujue ni maneno ngapi ambayo maendeleo yetu yana. Ili kufanya hivyo, tunatatua ukosefu wa usawa:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Kwa hivyo, kuna wanachama 69 katika maendeleo yetu. Kwa kutumia formula (4) tunapata kiasi kinachohitajika:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Kabla hatujaanza kuamua matatizo ya maendeleo ya hesabu, wacha tuchunguze mlolongo wa nambari ni nini, kwani maendeleo ya hesabu ni kesi maalum mlolongo wa nambari.

Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, kila kipengele ambacho kina yake nambari ya serial . Vipengele vya seti hii huitwa washiriki wa mlolongo. Nambari ya serial ya kipengele cha mlolongo inaonyeshwa na faharisi:

Kipengele cha kwanza cha mlolongo;

Kipengele cha tano cha mlolongo;

- kipengele cha "nth" cha mlolongo, i.e. kipengele "kusimama kwenye foleni" kwa nambari n.

Kuna uhusiano kati ya thamani ya kipengele cha mfuatano na nambari yake ya mfuatano. Kwa hivyo, tunaweza kuzingatia mfuatano kama chaguo la kukokotoa ambalo hoja yake ni nambari ya mpangilio wa kipengele cha mfuatano. Kwa maneno mengine, tunaweza kusema hivyo mlolongo ni kazi ya hoja asilia:

Mlolongo unaweza kuweka kwa njia tatu:

1 . Mlolongo unaweza kubainishwa kwa kutumia meza. Katika kesi hii, tunaweka tu thamani ya kila mwanachama wa mlolongo.

Kwa mfano, Mtu aliamua kuchukua usimamizi wa wakati wa kibinafsi, na kwa kuanzia, hesabu muda gani anatumia kwenye VKontakte wakati wa wiki. Kwa kurekodi wakati kwenye jedwali, atapokea mlolongo unaojumuisha vitu saba:

Mstari wa kwanza wa meza unaonyesha idadi ya siku ya juma, ya pili - wakati katika dakika. Tunaona kwamba, yaani, Jumatatu Mtu alitumia dakika 125 kwenye VKontakte, yaani, Alhamisi - dakika 248, na, yaani, Ijumaa 15 tu.

2 . Mfuatano unaweza kubainishwa kwa kutumia fomula ya neno la nth.

Katika kesi hii, utegemezi wa thamani ya kipengele cha mlolongo kwenye nambari yake huonyeshwa moja kwa moja kwa namna ya fomula.

Kwa mfano, ikiwa, basi

Ili kupata thamani ya kipengele cha mfuatano na nambari fulani, tunabadilisha nambari ya kipengele kwenye fomula ya neno la nth.

Tunafanya vivyo hivyo ikiwa tunahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa ikiwa thamani ya hoja inajulikana. Tunabadilisha thamani ya hoja katika mlinganyo wa kukokotoa:

Ikiwa, kwa mfano, , Hiyo

Nikumbuke kwa mara nyingine tena kwamba katika mlolongo, tofauti na kiholela kazi ya nambari, hoja inaweza tu kuwa nambari ya asili.

3 . Mlolongo unaweza kubainishwa kwa kutumia fomula inayoonyesha utegemezi wa thamani ya nambari ya mfuatano wa nambari n kwa maadili ya washiriki waliotangulia. Katika kesi hii, haitoshi kwetu kujua tu nambari ya mwanachama wa mlolongo ili kupata thamani yake. Tunahitaji kubainisha mshiriki wa kwanza au washiriki wachache wa kwanza wa mfuatano huo.

Kwa mfano, fikiria mlolongo ,

Tunaweza kupata maadili ya washiriki wa mlolongo kwa mfuatano, kuanzia ya tatu:

Hiyo ni, kila wakati, ili kupata thamani ya muda wa nth wa mlolongo, tunarudi kwa mbili zilizopita. Njia hii ya kutaja mlolongo inaitwa mara kwa mara,kutoka neno la Kilatini kujirudia- kurudi.

Sasa tunaweza kufafanua maendeleo ya hesabu. Ukuaji wa hesabu ni kesi maalum rahisi ya mlolongo wa nambari.

Maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambayo, kuanzia ya pili, ni sawa na ya awali iliyoongezwa kwa nambari sawa.

Nambari inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu. Tofauti ya maendeleo ya hesabu inaweza kuwa chanya, hasi, au sawa na sifuri.

Ikiwa title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} kuongezeka.

Kwa mfano, 2; 5; 8; kumi na moja;...

Ikiwa , basi kila muda wa maendeleo ya hesabu ni chini ya uliopita, na maendeleo ni kupungua.

Kwa mfano, 2; -1; -4; -7;...

Ikiwa , basi masharti yote ya maendeleo ni sawa na nambari sawa, na maendeleo ni stationary.

Kwa mfano, 2;2;2;2;...

Sifa kuu ya maendeleo ya hesabu:

Hebu tuangalie picha.

Tunaona hilo

, na wakati huo huo

Kuongeza usawa hizi mbili, tunapata:

.

Wacha tugawanye pande zote mbili za usawa kwa 2:

Kwa hivyo, kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na maana ya hesabu ya hizo mbili jirani:

Aidha, tangu

, na wakati huo huo

, Hiyo

, na kwa hiyo

Kila neno la mwendelezo wa hesabu, kuanzia title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Mfumo wa muhula.

Tunaona kwamba masharti ya maendeleo ya hesabu yanakidhi mahusiano yafuatayo:

na hatimaye

Tumepata fomula ya muhula wa nth.

MUHIMU! Mwanachama yeyote wa maendeleo ya hesabu anaweza kuonyeshwa kupitia na. Kujua muda wa kwanza na tofauti ya maendeleo ya hesabu, unaweza kupata masharti yake yoyote.

Jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu.

Katika mwendelezo wa hesabu wa kiholela, hesabu za istilahi zinazolingana na zile zilizokithiri ni sawa kwa kila moja:

Fikiria mwendelezo wa hesabu na istilahi n. Wacha jumla ya masharti n ya mwendelezo huu iwe sawa na .

Wacha tupange masharti ya maendeleo kwanza kwa mpangilio wa nambari, na kisha kwa mpangilio wa kushuka:

Wacha tuongeze kwa jozi:

Jumla katika kila mabano ni , idadi ya jozi ni n.

Tunapata:

Kwa hiyo, jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu yanaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Hebu tuzingatie kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu.

1 . Mlolongo hutolewa na fomula ya neno la nth: . Thibitisha kwamba mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu.

Hebu tuthibitishe kwamba tofauti kati ya maneno mawili ya karibu ya mlolongo ni sawa na idadi sawa.

Tuligundua kuwa tofauti kati ya washiriki wawili wa karibu wa mlolongo haitegemei idadi yao na ni ya kudumu. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi, mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu.

2 . Kutokana na maendeleo ya hesabu -31; -27;...

a) Tafuta masharti 31 ya mwendelezo.

b) Amua ikiwa nambari 41 imejumuishwa katika mwendelezo huu.

A) Tunaona kwamba;

Wacha tuandike fomula ya muhula wa nth kwa maendeleo yetu.

Kwa ujumla

Kwa upande wetu , Ndiyo maana

Tunapata:

b) Tuseme nambari 41 ni mwanachama wa mlolongo. Tutafute namba yake. Ili kufanya hivyo, wacha tusuluhishe equation:

Tulipata thamani ya asili ya n, kwa hivyo, ndio, nambari 41 ni mwanachama wa mwendelezo. Ikiwa thamani iliyopatikana ya n haingekuwa nambari ya asili, basi tungejibu kuwa nambari 41 SI mwanachama wa mwendelezo.

3 . a) Kati ya nambari 2 na 8, ingiza nambari 4 ili wao, pamoja na nambari hizi, wafanye maendeleo ya hesabu.

b) Tafuta jumla ya masharti ya maendeleo yanayotokana.

A) Wacha tuingize nambari nne kati ya nambari 2 na 8:

Tulipata mwendelezo wa hesabu na maneno 6.

Hebu tupate tofauti ya maendeleo haya. Ili kufanya hivyo, tunatumia formula ya neno la nth:

Sasa ni rahisi kupata maana za nambari:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Jibu: a) ndiyo; b) 30

4. Lori hilo husafirisha shehena ya mawe yaliyosagwa yenye uzito wa tani 240, na kuongeza kasi ya usafirishaji kwa idadi sawa ya tani kila siku. Inajulikana kuwa tani 2 za jiwe lililokandamizwa zilisafirishwa siku ya kwanza. Amua ni tani ngapi za mawe yaliyopondwa yalisafirishwa siku ya kumi na mbili ikiwa kazi yote ilikamilika kwa siku 15.

Kulingana na hali ya tatizo, kiasi cha mawe yaliyopondwa ambayo lori husafirisha huongezeka kwa idadi sawa kila siku. Kwa hivyo, tunashughulika na maendeleo ya hesabu.

Wacha tuunda shida hii kwa suala la maendeleo ya hesabu.

Katika siku ya kwanza, tani 2 za mawe yaliyopondwa yalisafirishwa: a_1=2.

Kazi yote ilikamilika kwa siku 15:.

Lori linasafirisha kundi la mawe yaliyosagwa yenye uzito wa tani 240:

Tunahitaji kupata.

Kwanza, hebu tupate tofauti ya maendeleo. Wacha tutumie fomula kwa jumla ya masharti n ya mwendelezo.

Kwa upande wetu:

Matatizo juu ya maendeleo ya hesabu yalikuwepo tayari katika nyakati za kale. Walijitokeza na kudai suluhu kwa sababu walikuwa na hitaji la vitendo.

Kwa hiyo, katika moja ya papyri Misri ya Kale", ambayo ina maudhui ya hisabati - papyrus Rhind (karne ya 19 KK) - ina kazi ifuatayo: kugawanya vipimo kumi vya mkate kati ya watu kumi, mradi tofauti kati ya kila mmoja wao ni moja ya nane ya kipimo."

Na katika kazi za hisabati za Wagiriki wa kale kuna nadharia za kifahari zinazohusiana na maendeleo ya hesabu. Kwa hivyo, Hypsicles ya Alexandria (karne ya 2, ambayo ilifikia mengi kazi za kuvutia na ambaye aliongeza kitabu cha kumi na nne kwa Euclid's Elements, alitunga wazo hili: "Katika maendeleo ya hesabu ambayo ina idadi sawa ya maneno, jumla ya masharti ya nusu ya 2 ni kubwa kuliko jumla ya masharti ya 1 kwa mraba. ya 1/2 idadi ya masharti."

Mlolongo unaonyeshwa na. Nambari za mlolongo huitwa washiriki wake na kwa kawaida huteuliwa na herufi zilizo na fahirisi zinazoonyesha nambari ya mfuatano ya mshiriki huyu (a1, a2, a3 ... inasomeka: "a 1", "wa 2", "wa 3" Nakadhalika ).

Mlolongo unaweza kuwa usio na mwisho au usio na mwisho.

Ni nini maendeleo ya hesabu? Kwa hiyo tunamaanisha ile iliyopatikana kwa kuongeza neno la awali (n) na nambari sawa d, ambayo ni tofauti ya maendeleo.

Ikiwa d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, basi maendeleo haya yanazingatiwa kuongezeka.

Ukuaji wa hesabu huitwa finite ikiwa tu maneno yake machache ya kwanza yatazingatiwa. Saa sana kiasi kikubwa wanachama tayari ni maendeleo yasiyo na mwisho.

Maendeleo yoyote ya hesabu yanafafanuliwa na fomula ifuatayo:

an =kn+b, huku b na k ni baadhi ya nambari.

Kauli kinyume ni kweli kabisa: ikiwa mlolongo umetolewa formula sawa, basi hii ni maendeleo ya hesabu ambayo ina mali:

1. Kila neno la mwendelezo ni maana ya hesabu ya muhula uliopita na unaofuata.
2. Kuzungumza: ikiwa, kuanzia 2, kila neno ni maana ya hesabu ya muda uliopita na moja inayofuata, i.e. ikiwa hali hiyo imefikiwa, basi mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu. Usawa huu pia ni ishara ya maendeleo, ndiyo sababu kwa kawaida huitwa sifa ya tabia ya maendeleo.
   Vivyo hivyo, nadharia inayoakisi mali hii ni kweli: mfuatano ni mwendelezo wa hesabu ikiwa tu usawa huu ni wa kweli kwa masharti yoyote ya mlolongo, kuanzia na 2.

Sifa bainifu ya nambari zozote nne za maendeleo ya hesabu inaweza kuonyeshwa kwa fomula a + am = ak + al, ikiwa n + m = k + l (m, n, k ni nambari za kuendelea).

Katika maendeleo ya hesabu, neno lolote la lazima (Nth) linaweza kupatikana kwa kutumia fomula ifuatayo:

Kwa mfano: muda wa kwanza (a1) katika maendeleo ya hesabu hutolewa na sawa na tatu, na tofauti (d) ni sawa na nne. Unahitaji kupata muhula wa arobaini na tano wa maendeleo haya. a45 = 1+4(45-1)=177

Fomula an = ak + d(n - k) hukuruhusu kubainisha muhula wa nth wa kuendelea kwa hesabu kupitia istilahi zake zozote za kth, mradi tu inajulikana.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu (maana ya istilahi ya 1 mwendelezo wenye ukomo) imehesabiwa kama ifuatavyo:

Sn = (a1+an) n/2.

Ikiwa neno la 1 pia linajulikana, basi formula nyingine ni rahisi kwa hesabu:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumla ya maendeleo ya hesabu ambayo ina istilahi za n huhesabiwa kama ifuatavyo:

Uchaguzi wa fomula kwa mahesabu inategemea hali ya shida na data ya awali.

Msururu wa asili wa nambari zozote, kama vile 1,2,3,...,n,...- mfano rahisi zaidi maendeleo ya hesabu.

Mbali na maendeleo ya hesabu, pia kuna maendeleo ya kijiometri, ambayo ina mali na sifa zake.