Aina za milinganyo ya mstari. Kutatua milinganyo rahisi ya mstari

Mfumo milinganyo ya mstari ni muungano wa n milinganyo ya mstari, kila moja ikiwa na vigeu vya k. Imeandikwa hivi:

Wengi, wanapokutana na algebra ya juu kwa mara ya kwanza, kwa makosa wanaamini kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya vigezo. Katika aljebra ya shule hii hutokea kwa kawaida, lakini kwa aljebra ya juu kwa ujumla hii si kweli.

Suluhisho la mfumo wa equations ni mlolongo wa namba (k 1, k 2, ..., k n), ambayo ni suluhisho kwa kila equation ya mfumo, i.e. wakati wa kubadilisha katika mlinganyo huu badala ya viambajengo x 1, x 2, ..., x n inatoa usawa sahihi wa nambari.

Ipasavyo, kusuluhisha mfumo wa milinganyo kunamaanisha kupata seti ya masuluhisho yake yote au kuthibitisha kuwa seti hii ni tupu. Kwa kuwa idadi ya milinganyo na idadi ya zisizojulikana haziwezi sanjari, kesi tatu zinawezekana:

Mfumo haufanani, i.e. seti ya suluhisho zote ni tupu. Kesi isiyo ya kawaida ambayo hugunduliwa kwa urahisi bila kujali ni njia gani inatumika kutatua mfumo.
Mfumo huo ni thabiti na umeamua, i.e. ina suluhisho moja kabisa. Toleo la classic, linalojulikana tangu shuleni.
Mfumo huo ni thabiti na haujafafanuliwa, i.e. ina masuluhisho mengi sana. Hii ndiyo zaidi chaguo ngumu. Haitoshi kuashiria kwamba “mfumo una seti isiyo na mwisho suluhisho" - inahitajika kuelezea jinsi seti hii imeundwa.

Tofauti x i inaitwa inaruhusiwa ikiwa imejumuishwa katika equation moja tu ya mfumo, na kwa mgawo wa 1. Kwa maneno mengine, kwa usawa mwingine mgawo wa kutofautiana x i lazima iwe sawa na sifuri.

Ikiwa tutachagua kigezo kimoja kinachoruhusiwa katika kila mlinganyo, tunapata seti ya vigeu vinavyoruhusiwa kwa mfumo mzima wa milinganyo. Mfumo yenyewe, ulioandikwa kwa fomu hii, pia utaitwa kutatuliwa. Kwa ujumla, mfumo mmoja wa awali unaweza kupunguzwa kwa wale wanaoruhusiwa tofauti, lakini kwa sasa hatujali kuhusu hili. Hapa kuna mifano ya mifumo inayoruhusiwa:

Mifumo yote miwili imetatuliwa kwa kuzingatia vigezo x 1 , x 3 na x 4 . Walakini, kwa mafanikio sawa inaweza kubishaniwa kuwa mfumo wa pili umetatuliwa kwa heshima na x 1, x 3 na x 5. Inatosha kuandika tena equation ya mwisho kabisa katika fomu x 5 = x 4.

Sasa hebu fikiria kesi ya jumla zaidi. Hebu tuwe na vigezo vya k kwa jumla, ambavyo r vinaruhusiwa. Kisha kesi mbili zinawezekana:

Idadi ya vigezo vinavyoruhusiwa r ni sawa na jumla ya idadi ya vigezo k: r = k. Tunapata mfumo wa equations k ambayo r = k inaruhusiwa vigezo. Mfumo kama huo ni wa pamoja na wa uhakika, kwa sababu x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
Idadi ya vigezo vinavyoruhusiwa r ni kidogo jumla ya nambari vigezo k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Kwa hiyo, katika mifumo iliyo hapo juu, vigezo x 2, x 5, x 6 (kwa mfumo wa kwanza) na x 2, x 5 (kwa pili) ni bure. Kesi wakati kuna anuwai za bure imeundwa vyema kama nadharia:

Tafadhali kumbuka: hii ni sana hatua muhimu! Kulingana na jinsi unavyoandika mfumo unaosababisha, tofauti sawa inaweza kuruhusiwa au bure. Walimu wengi hisabati ya juu Inashauriwa kuandika vigezo kwa mpangilio wa leksikografia, i.e. index inayopanda. Walakini, sio chini ya wajibu wa kufuata ushauri huu.

Nadharia. Ikiwa katika mfumo wa n milinganyo vigeu x 1, x 2, ..., x r vinaruhusiwa, na x r + 1, x r + 2, ..., x k ni bure, basi:

Ikiwa tutaweka maadili ya vigezo vya bure (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), na kisha kupata maadili x 1, x 2, ..., x r, tunapata moja ya maamuzi.

Ikiwa katika suluhisho mbili maadili ya anuwai ya bure yanaambatana, basi maadili ya anuwai zinazoruhusiwa pia sanjari, i.e. ufumbuzi ni sawa.

Nini maana ya nadharia hii? Ili kupata ufumbuzi wote kwa mfumo uliotatuliwa wa equations, inatosha kutenganisha vigezo vya bure. Kisha, kukabidhi kwa vigeu vya bure maana tofauti, tutapokea ufumbuzi tayari. Hiyo ndiyo yote - kwa njia hii unaweza kupata ufumbuzi wote wa mfumo. Hakuna masuluhisho mengine.

Hitimisho: mfumo uliotatuliwa wa milinganyo daima ni thabiti. Ikiwa idadi ya milinganyo katika mfumo uliotatuliwa ni sawa na idadi ya vigeu, mfumo utakuwa wa uhakika; ikiwa ni mdogo, hautakuwa wa kudumu.

Na kila kitu kitakuwa sawa, lakini swali linatokea: jinsi ya kupata moja kutatuliwa kutoka kwa mfumo wa awali wa equations? Kwa hili kuna

Kwanza unahitaji kuelewa ni nini.

Kuna ufafanuzi rahisi mlinganyo wa mstari ambayo inatolewa ndani shule ya kawaida: "mlinganyo ambapo kigezo huonekana kwa nguvu ya kwanza pekee." Lakini sio sahihi kabisa: equation sio ya mstari, haipunguzi hata hivyo, inapunguza kwa quadratic.

Zaidi ufafanuzi sahihi Ni hii: mlinganyo wa mstari ni mlinganyo ambao, kwa kutumia mabadiliko sawa inaweza kupunguzwa hadi fomu , ambapo title="a,b katika bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в !} upande wa kulia na kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa . Inabakia kuelezea ni hesabu gani na jinsi tunaweza kuzileta kwa fomu hii, na, muhimu zaidi, nini cha kufanya baadaye nao ili kuitatua.

Kwa kweli, ili kuelewa ikiwa equation ni ya mstari au la, lazima kwanza irahisishwe, yaani, kuletwa kwa fomu ambapo uainishaji wake hautakuwa na utata. Kumbuka, unaweza kufanya chochote unachotaka na equation mradi tu haibadilishi mizizi yake - ndivyo ilivyo. uongofu sawa. Mabadiliko rahisi sawa ni pamoja na:

kufungua mabano
kuleta sawa
kuzidisha na/au kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya kawaida
kuongeza na/au kutoa kutoka pande zote mbili za nambari sawa au usemi*

Unaweza kufanya mabadiliko haya bila maumivu, bila kufikiria ikiwa "utaharibu" equation au la.
*Tafsiri maalum ya mabadiliko ya mwisho ni "uhamisho" wa maneno kutoka sehemu moja hadi nyingine na mabadiliko ya ishara.

Mfano 1:
(wacha tufungue mabano)
(ongeza kwa sehemu zote mbili na uondoe/uhamishe kwa kubadilisha ishara ya nambari kwenda kushoto, na viambishi kulia)
(wacha tutoe zinazofanana)
(gawanya pande zote mbili za mlinganyo na 3)

Kwa hivyo tunapata equation ambayo ina mizizi sawa na ile ya asili. Tukumbushe hilo msomaji "suluhisha equation"- ina maana ya kupata mizizi yake yote na kuthibitisha kwamba hakuna wengine, na "mzizi wa equation"- hii ni nambari ambayo, ikibadilishwa kwa haijulikani, itageuza equation kuwa usawa wa kweli. Kweli, katika equation ya mwisho, kupata nambari inayogeuza equation kuwa usawa wa kweli ni rahisi sana - hii ndio nambari. Hakuna nambari nyingine ya utambulisho kutoka kupewa equation haitafanya hivyo. Jibu:

Mfano 2:
(zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa , baada ya kuhakikisha kwamba hatuzidishi kwa : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(wacha tufungue mabano)
(wacha tuhamishe masharti)
(wacha tutoe zinazofanana)
(tunagawanya sehemu zote mbili kwa)

Hii ni takriban jinsi milinganyo yote ya mstari hutatuliwa. Kwa wasomaji wadogo, uwezekano mkubwa kupewa maelezo ilionekana kuwa ngumu, kwa hivyo tunatoa toleo "milinganyo ya mstari kwa daraja la 5"

Mifumo ya equations hutumiwa sana katika sekta ya uchumi katika mfano wa hisabati michakato mbalimbali. Kwa mfano, wakati wa kutatua matatizo ya usimamizi na mipango ya uzalishaji, njia za vifaa ( tatizo la usafiri) au uwekaji wa vifaa.

Mifumo ya equations haitumiwi tu katika hisabati, lakini pia katika fizikia, kemia na biolojia, wakati wa kutatua matatizo ya kutafuta ukubwa wa idadi ya watu.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni milinganyo miwili au zaidi yenye vigezo kadhaa ambavyo ni muhimu kupata suluhisho la kawaida. Msururu kama huo wa nambari ambao milinganyo yote inakuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kuwa mfuatano huo haupo.

Mlinganyo wa mstari

Milinganyo ya fomu ax+by=c inaitwa linear. Majina x, y ni majina yasiyojulikana ambayo thamani yake lazima ipatikane, b, a ni mgawo wa viambajengo, c ni neno lisilolipishwa la mlinganyo.
Kutatua equation kwa kupanga njama itaonekana kama mstari wa moja kwa moja, pointi zote ambazo ni suluhisho kwa polynomial.

Aina za mifumo ya milinganyo ya mstari

Mifano rahisi zaidi inachukuliwa kuwa mifumo ya milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili X na Y.

F1(x, y) = 0 na F2(x, y) = 0, ambapo F1,2 ni vitendaji na (x, y) ni vigezo vya chaguo za kukokotoa.

Tatua mfumo wa milinganyo - hii inamaanisha kupata thamani (x, y) ambapo mfumo unageuka kuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kwamba thamani zinazofaa za x na y hazipo.

Jozi ya maadili (x, y), iliyoandikwa kama kuratibu za nukta, inaitwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari.

Ikiwa mifumo ina suluhisho moja la kawaida au hakuna suluhisho lipo, huitwa sawa.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya mstari ni mifumo ambayo upande wake wa kulia ni sawa na sifuri. Ikiwa sehemu ya kulia baada ya ishara sawa ina thamani au imeonyeshwa na chaguo la kukokotoa, mfumo kama huo ni tofauti.

Idadi ya vigezo inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi tunapaswa kuzungumza juu ya mfano wa mfumo wa equations linear na vigezo tatu au zaidi.

Wakati wanakabiliwa na mifumo, watoto wa shule wanadhani kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya haijulikani, lakini hii sivyo. Idadi ya milinganyo kwenye mfumo haitegemei vigeuzo; kunaweza kuwa na nyingi kama unavyotaka.

Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

Hakuna njia ya jumla ya uchambuzi ya kutatua mifumo inayofanana, njia zote zinategemea ufumbuzi wa nambari. KATIKA kozi ya shule hisabati, mbinu kama vile vibali, nyongeza za aljebra, uingizwaji, na vile vile kielelezo na njia ya matrix, suluhisho kwa njia ya Gaussian.

Kazi kuu wakati wa kufundisha njia za suluhisho ni kufundisha jinsi ya kuchambua kwa usahihi mfumo na kupata algorithm mojawapo suluhisho kwa kila mfano. Jambo kuu sio kukariri mfumo wa sheria na vitendo kwa kila njia, lakini kuelewa kanuni za kutumia njia fulani.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari wa programu ya daraja la 7 shule ya Sekondari rahisi sana na kuelezewa kwa kina sana. Katika kitabu chochote cha hisabati, sehemu hii inapewa umakini wa kutosha. Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss na Cramer inasomwa kwa undani zaidi katika miaka ya kwanza ya elimu ya juu.

Kutatua mifumo kwa kutumia njia mbadala

Vitendo vya njia ya uingizwaji vinalenga kuelezea thamani ya kigezo kimoja katika suala la pili. Usemi huo hubadilishwa kuwa mlinganyo uliobaki, kisha hupunguzwa kuwa fomu yenye kigezo kimoja. Kitendo kinarudiwa kulingana na idadi ya haijulikani kwenye mfumo

Wacha tutoe suluhisho kwa mfano wa mfumo wa hesabu za mstari wa darasa la 7 kwa kutumia njia mbadala:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, kigezo cha x kilionyeshwa kupitia F(X) = 7 + Y. Usemi uliotokana, uliowekwa badala ya mlingano wa 2 wa mfumo badala ya X, ulisaidia kupata kigezo kimoja cha Y katika mlingano wa 2. . Suluhisho mfano huu haisababishi ugumu na hukuruhusu kupata thamani ya Y. Hatua ya mwisho ni kuangalia maadili yaliyopatikana.

Si mara zote inawezekana kutatua mfano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kubadilisha. Milinganyo inaweza kuwa changamano na kuelezea kutofautisha katika suala la pili isiyojulikana itakuwa ngumu sana kwa hesabu zaidi. Wakati kuna zaidi ya 3 zisizojulikana katika mfumo, kutatua kwa kubadilisha pia siofaa.

Suluhisho la mfano wa mfumo wa milinganyo isiyo na usawa ya mstari:

Suluhisho kwa kutumia nyongeza ya algebra

Wakati wa kutafuta suluhisho kwa mifumo kwa kutumia njia ya kuongeza, hufanya nyongeza ya muda baada ya muda na kuzidisha milinganyo kwa nambari tofauti. Lengo kuu shughuli za hisabati ni mlinganyo wenye kigezo kimoja.

Kwa Maombi njia hii mazoezi na uchunguzi unahitajika. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza wakati kuna vigeu 3 au zaidi si rahisi. Nyongeza ya aljebra ni rahisi kutumia wakati milinganyo ina sehemu na desimali.

Algorithm ya suluhisho:

Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari fulani. Matokeo yake hatua ya hesabu moja ya mgawo wa kutofautisha lazima iwe sawa na 1.
Ongeza neno linalotokana na usemi kwa muhula na upate mojawapo ya yasiyojulikana.
Badilisha thamani inayotokana na mlingano wa 2 wa mfumo ili kupata kigezo kilichosalia.

Njia ya suluhisho kwa kuanzisha kigezo kipya

Tofauti mpya inaweza kuletwa ikiwa mfumo unahitaji kutafuta suluhu kwa si zaidi ya milinganyo miwili; idadi ya zisizojulikana pia zinapaswa kuwa zisizozidi mbili.

Njia hiyo hutumiwa kurahisisha mojawapo ya milinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya. Equation mpya inatatuliwa kwa iliyoanzishwa haijulikani, na thamani inayotokana hutumiwa kuamua kutofautiana kwa asili.

Mfano unaonyesha kuwa kwa kuanzisha kibadilishaji kipya cha t, iliwezekana kupunguza equation ya 1 ya mfumo hadi ile ya kawaida. quadratic trinomial. Unaweza kutatua polynomial kwa kutafuta kibaguzi.

Ni muhimu kupata thamani ya kibaguzi kwa formula inayojulikana: D = b2 - 4*a*c, ambapo D ni kibaguzi kinachohitajika, b, a, c ni sababu za polynomial. KATIKA kupewa mfano a=1, b=16, c=39, kwa hivyo D=100. Ikiwa mbaguzi Juu ya sifuri, basi kuna ufumbuzi mbili: t = -b±√D / 2*a, ikiwa kibaguzi ni chini ya sifuri, basi kuna suluhisho moja: x = -b / 2*a.

Suluhisho la mifumo inayotokana hupatikana kwa njia ya kuongeza.

Njia ya kuona ya kutatua mifumo

Inafaa kwa mifumo 3 ya equation. Mbinu ni kujenga juu mhimili wa kuratibu grafu za kila mlinganyo uliojumuishwa kwenye mfumo. Kuratibu za pointi za makutano ya curves na itakuwa uamuzi wa jumla mifumo.

Njia ya graphical ina idadi ya nuances. Wacha tuangalie mifano kadhaa ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa njia ya kuona.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, kwa kila mstari pointi mbili zilijengwa, maadili ya kutofautiana x yalichaguliwa kiholela: 0 na 3. Kulingana na maadili ya x, maadili ya y yalipatikana: 3 na 0. Pointi zilizo na kuratibu (0, 3) na (3, 0) ziliwekwa alama kwenye grafu na kuunganishwa na mstari.

Hatua lazima zirudiwe kwa equation ya pili. Hatua ya makutano ya mistari ni suluhisho la mfumo.

Mfano ufuatao unahitaji kupatikana suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari: 0.5x-y+2=0 na 0.5x-y-1=0.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, mfumo hauna suluhisho, kwa sababu grafu ni sawa na haziingiliani kwa urefu wao wote.

Mifumo kutoka kwa mifano 2 na 3 ni sawa, lakini inapojengwa inakuwa dhahiri kuwa suluhisho zao ni tofauti. Ikumbukwe kwamba si mara zote inawezekana kusema kama mfumo una suluhisho au la; ni muhimu kila wakati kuunda grafu.

Matrix na aina zake

Matrices hutumiwa kwa noti fupi mifumo ya milinganyo ya mstari. Matrix ni meza aina maalum kujazwa na nambari. n*m ina n - safu mlalo na safu wima m.

Matrix ni mraba wakati idadi ya safu na safu ni sawa. Vekta ya matrix ni matrix ya safu wima moja isiyo na mwisho nambari inayowezekana mistari. Matrix iliyo na zile pamoja na moja ya diagonals na vipengele vingine vya sifuri inaitwa utambulisho.

Matrix inverse ni matrix inapozidishwa ambayo ya asili inabadilika kuwa matrix ya kitengo; matrix kama hiyo inapatikana tu kwa mraba wa asili.

Sheria za kubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa matrix

Kuhusiana na mifumo ya milinganyo, mgawo na masharti huru ya milinganyo huandikwa kama nambari za matrix; mlinganyo mmoja ni safu mlalo moja ya matriki.

Safu mlalo ya matrix inasemekana kuwa isiyo na zero ikiwa angalau kipengele kimoja cha safu mlalo si sifuri. Kwa hiyo, ikiwa katika equations yoyote idadi ya vigezo hutofautiana, basi ni muhimu kuingia sifuri mahali pa kukosa haijulikani.

Safu wima za matrix lazima zilingane kabisa na vigeuzo. Hii ina maana kwamba coefficients ya kutofautiana x inaweza kuandikwa tu katika safu moja, kwa mfano ya kwanza, mgawo wa y haijulikani - tu kwa pili.

Wakati wa kuzidisha matrix, vitu vyote vya matrix huzidishwa kwa mpangilio na nambari.

Chaguzi za kutafuta matrix inverse

Njia ya kupata matrix inverse ni rahisi sana: K -1 = 1 / |K|, ambapo K -1 - matrix ya kinyume, na |K| ni kiashiria cha matrix. |K| lazima isiwe sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho.

Kiamuzi kinahesabiwa kwa urahisi kwa matrix mbili kwa mbili; unahitaji tu kuzidisha vitu vya diagonal kwa kila mmoja. Kwa chaguo la "tatu kwa tatu", kuna fomula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Unaweza kutumia fomula, au unaweza kukumbuka kuwa unahitaji kuchukua kipengee kimoja kutoka kwa kila safu na kila safu ili nambari za safu na safu za vitu zisirudiwe kwenye kazi.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Njia ya matrix ya kupata suluhisho hukuruhusu kupunguza maingizo magumu wakati wa kutatua mifumo na kiasi kikubwa vigezo na milinganyo.

Katika mfano, nm ni coefficients ya equations, matrix ni vector x n ni vigezo, na b n ni masharti ya bure.

Mifumo ya kutatua kwa kutumia njia ya Gaussian

Katika hisabati ya juu, njia ya Gaussian inasomwa pamoja na njia ya Cramer, na mchakato wa kutafuta ufumbuzi wa mifumo inaitwa njia ya ufumbuzi wa Gauss-Cramer. Njia hizi hutumiwa kupata mifumo ya kutofautiana na idadi kubwa ya milinganyo ya mstari.

Njia ya Gauss ni sawa na suluhisho kwa kutumia mbadala na nyongeza ya algebra, lakini kwa utaratibu zaidi. Katika kozi ya shule, suluhisho kwa njia ya Gaussian hutumiwa kwa mifumo ya 3 na 4 equations. Madhumuni ya njia ni kupunguza mfumo kwa fomu ya trapezoid inverted. Kwa njia ya mabadiliko ya aljebra na mbadala, thamani ya kutofautiana moja inapatikana katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo. Mlinganyo wa pili ni usemi ulio na 2 zisizojulikana, wakati 3 na 4 ziko, mtawaliwa, na 3 na 4 anuwai.

Baada ya kuleta mfumo kwa fomu iliyoelezwa, suluhisho zaidi linapunguzwa kwa uingizaji wa mfululizo wa vigezo vinavyojulikana katika equations ya mfumo.

Katika vitabu vya kiada vya shule kwa darasa la 7, mfano wa suluhisho kwa njia ya Gauss umeelezewa kama ifuatavyo:

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, katika hatua (3) milinganyo miwili ilipatikana: 3x 3 -2x 4 = 11 na 3x 3 +2x 4 =7. Kutatua milinganyo yoyote itakuruhusu kujua moja ya vigeuzo x n.

Nadharia ya 5, ambayo imetajwa katika maandishi, inasema kwamba ikiwa moja ya equations ya mfumo inabadilishwa na sawa, basi mfumo wa matokeo pia utakuwa sawa na wa awali.

Mbinu ya Gaussian ni ngumu kwa wanafunzi kuelewa sekondari, lakini ni mojawapo ya njia za kuvutia zaidi za kuendeleza ujuzi wa watoto wanaosoma chini ya programu utafiti wa kina katika madarasa ya hisabati na fizikia.

Kwa urahisi wa kurekodi, mahesabu kawaida hufanywa kama ifuatavyo:

Coefficients ya equations na maneno ya bure yameandikwa kwa namna ya matrix, ambapo kila safu ya matrix inafanana na moja ya equations ya mfumo. hutenganisha upande wa kushoto wa equation kutoka kulia. Nambari za Kirumi zinaonyesha nambari za milinganyo kwenye mfumo.

Kwanza, andika matrix ya kufanyiwa kazi, kisha vitendo vyote vinavyofanywa na safu moja ya safu. Matrix inayosababishwa imeandikwa baada ya ishara ya "mshale" na shughuli muhimu za algebra zinaendelea hadi matokeo yanapatikana.

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ambayo moja ya diagonals ni sawa na 1, na coefficients nyingine zote ni sawa na sifuri, yaani, tumbo hupunguzwa kwa fomu ya kitengo. Hatupaswi kusahau kufanya mahesabu na nambari za pande zote za equation.

Njia hii ya kurekodi sio ngumu sana na hukuruhusu usikengeushwe kwa kuorodhesha mengi yasiyojulikana.

Matumizi ya bure ya njia yoyote ya ufumbuzi itahitaji huduma na uzoefu fulani. Sio njia zote ni za asili ya kutumika. Njia zingine za kupata suluhisho zinapendekezwa zaidi katika eneo fulani la shughuli za wanadamu, wakati zingine zipo kwa madhumuni ya kielimu.

Milinganyo ya mstari. Suluhisho, mifano.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Milinganyo ya mstari.

Milinganyo ya mstari sio nyingi zaidi mada tata hisabati ya shule. Lakini kuna hila zingine ambazo zinaweza kumshangaza hata mwanafunzi aliyefunzwa. Wacha tufikirie?)

Kwa kawaida equation ya mstari hufafanuliwa kama equation ya fomu:

shoka + b = 0 Wapi a na b- nambari yoyote.

2x + 7 = 0. Hapa a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Hapa a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Hapa a=12, b=1/2

Hakuna ngumu, sawa? Hasa ikiwa hautambui maneno: "Ambapo a na b ziko nambari yoyote"... Na ikiwa unaona na bila kujali kufikiri juu yake?) Baada ya yote, ikiwa a=0, b=0(nambari zozote zinawezekana?), kisha tunapata usemi wa kuchekesha:

Lakini si hivyo tu! Ikiwa, sema, a=0, A b=5, Hii inageuka kuwa kitu kisicho cha kawaida kabisa:

Ambayo inaudhi na inadhoofisha ujasiri katika hisabati, ndio ...) Hasa wakati wa mitihani. Lakini kati ya misemo hii ya kushangaza unahitaji pia kupata X! Ambayo haipo kabisa. Na, cha kushangaza, hii X ni rahisi sana kupata. Tutajifunza kufanya hivi. Katika somo hili.

Jinsi ya kutambua equation ya mstari kwa kuonekana kwake? Inategemea nini mwonekano Ujanja ni kwamba sio tu milinganyo ya fomu inayoitwa milinganyo ya mstari shoka + b = 0 , lakini pia milinganyo yoyote ambayo inaweza kupunguzwa kwa fomu hii kwa mabadiliko na kurahisisha. Na ni nani anayejua ikiwa inashuka au la?)

Mlinganyo wa mstari unaweza kutambuliwa wazi katika baadhi ya matukio. Wacha tuseme, ikiwa tunayo equation ambayo kuna haijulikani tu kwa kiwango cha kwanza na nambari. Na katika equation hakuna sehemu zilizogawanywa na haijulikani , ni muhimu! Na mgawanyiko kwa nambari, au sehemu ya nambari - hiyo inakaribishwa! Kwa mfano:

Huu ni mlinganyo wa mstari. Kuna sehemu hapa, lakini hakuna x katika mraba, mchemraba, n.k., na hakuna x katika madhehebu, i.e. Hapana mgawanyiko kwa x. Na hapa ni equation

haiwezi kuitwa mstari. Hapa X zote ziko kwenye digrii ya kwanza, lakini zipo mgawanyiko kwa kujieleza na x. Baada ya kurahisisha na mabadiliko, unaweza kupata equation ya mstari, equation ya quadratic, au chochote unachopenda.

Inabadilika kuwa haiwezekani kutambua equation ya mstari katika mfano fulani ngumu hadi karibu uitatue. Hii inasikitisha. Lakini katika mgawo, kama sheria, hawaulizi juu ya fomu ya equation, sivyo? Kazi zinauliza milinganyo kuamua. Hii inanifurahisha.)

Kutatua milinganyo ya mstari. Mifano.

Suluhisho zima la milinganyo ya mstari lina mabadiliko sawa ya milinganyo. Kwa njia, mabadiliko haya (wawili wao!) Ni msingi wa ufumbuzi milinganyo yote ya hisabati. Kwa maneno mengine, suluhisho yoyote equation huanza na mabadiliko haya. Kwa upande wa equations za mstari, ni (suluhisho) ni msingi wa mabadiliko haya na huisha na jibu kamili. Inaleta maana kufuata kiunga, sivyo?) Zaidi ya hayo, kuna mifano pia ya kutatua milinganyo ya mstari hapo.

Kwanza, acheni tuangalie mfano rahisi zaidi. Bila mitego yoyote. Tuseme tunahitaji kutatua equation hii.

x - 3 = 2 - 4x

Huu ni mlinganyo wa mstari. X zote ziko kwenye nguvu ya kwanza, hakuna mgawanyiko wa X. Lakini, kwa kweli, haijalishi kwetu ni aina gani ya equation. Tunahitaji kulitatua. Mpango hapa ni rahisi. Kusanya kila kitu na X upande wa kushoto wa equation, kila kitu bila X (nambari) upande wa kulia.

Ili kufanya hivyo unahitaji kuhamisha - 4x kwa upande wa kushoto, na mabadiliko ya ishara, bila shaka, na - 3 - kulia. Kwa njia, hii ni mabadiliko ya kwanza ya kufanana ya equations. Umeshangaa? Hii ina maana kwamba haukufuata kiungo, lakini bure ...) Tunapata:

x + 4x = 2 + 3

Hapa kuna zinazofanana, tunazingatia:

Tunahitaji nini furaha kamili? Ndio, ili kuwe na X safi upande wa kushoto! Tano iko njiani. Kuwaondoa watano kwa usaidizi mabadiliko ya pili ya kufanana ya milinganyo. Yaani, tunagawanya pande zote mbili za equation na 5. Tunapata jibu tayari:

Mfano wa kimsingi, bila shaka. Hii ni kwa ajili ya kuongeza joto.) Sio wazi kwa nini nilikumbuka mabadiliko sawa hapa? SAWA. Hebu tuchukue ng'ombe kwa pembe.) Hebu tuamue kitu kilicho imara zaidi.

Kwa mfano, hapa kuna equation:

Tunaanzia wapi? Na X - kushoto, bila X - kulia? Inaweza kuwa hivyo. Katika hatua ndogo barabara ndefu. Au unaweza kuifanya mara moja, kwa njia ya ulimwengu wote na yenye nguvu. Ikiwa, kwa kweli, una mabadiliko sawa ya equations kwenye safu yako ya ushambuliaji.

Nakuuliza swali muhimu: Ni nini hupendi zaidi kuhusu mlingano huu?

Watu 95 kati ya 100 watajibu: sehemu ! Jibu ni sahihi. Basi tuachane nazo. Kwa hiyo, tunaanza mara moja na mabadiliko ya kitambulisho cha pili. Unahitaji nini kuzidisha sehemu upande wa kushoto ili denominator ipunguzwe kabisa? Hiyo ni kweli, saa 3. Na juu ya haki? Kwa 4. Lakini hisabati inaturuhusu kuzidisha pande zote mbili idadi sawa. Tunawezaje kutoka? Hebu tuzidishe pande zote mbili kwa 12! Wale. juu dhehebu la kawaida. Kisha zote tatu na nne zitapunguzwa. Usisahau kwamba unahitaji kuzidisha kila sehemu kabisa. Hivi ndivyo hatua ya kwanza inavyoonekana:

Kupanua mabano:

Kumbuka! Nambari (x+2) Niliiweka kwenye mabano! Hii ni kwa sababu wakati wa kuzidisha sehemu, nambari nzima inazidishwa! Sasa unaweza kupunguza sehemu:

Panua mabano yaliyobaki:

Sio mfano, lakini furaha safi!) Sasa hebu tukumbuke spell kutoka madarasa ya vijana: na X - kushoto, bila X - kulia! Na utumie mabadiliko haya:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Na ugawanye sehemu zote mbili na 25, i.e. tumia mabadiliko ya pili tena:

Ni hayo tu. Jibu: X=0,16

Tafadhali kumbuka: kuleta mlinganyo wa asili wa kutatanisha katika fomu nzuri, tulitumia mbili (mbili tu!) mabadiliko ya utambulisho- tafsiri kushoto-kulia na mabadiliko ya ishara na kuzidisha mgawanyiko wa equation kwa nambari sawa. Hii mbinu ya ulimwengu wote! Tutafanya kazi kwa njia hii na yoyote milinganyo! Mtu yeyote kabisa. Ndio maana narudia kwa uchungu kuhusu mabadiliko haya yanayofanana kila wakati.)

Kama unaweza kuona, kanuni ya kutatua equations za mstari ni rahisi. Tunachukua equation na kurahisisha nayo mabadiliko ya utambulisho kabla ya kupokea jibu. Shida kuu hapa ziko kwenye mahesabu, sio katika kanuni ya suluhisho.

Lakini... Kuna mshangao kama huo katika mchakato wa kutatua milinganyo ya msingi zaidi ya mstari ambayo inaweza kukuingiza kwenye usingizi mkali...) Kwa bahati nzuri, kunaweza kuwa na mshangao mbili tu. Wacha tuwaite kesi maalum.

Kesi maalum katika kutatua milinganyo ya mstari.

Mshangao wa kwanza.

Tuseme umeipata equation ya msingi zaidi, kitu kama:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Kuchoshwa kidogo, tunasonga na X kwenda kushoto, bila X - kulia ... Kwa mabadiliko ya ishara, kila kitu ni kamilifu ... Tunapata:

2x-5x+3x=5-2-3

Tunahesabu, na ... oops !!! Tunapata:

Usawa huu wenyewe hauna pingamizi. Zero kweli ni sifuri. Lakini X haipo! Na lazima tuandike katika jibu, x ni sawa na nini? Vinginevyo, suluhisho halihesabu, sawa ...) Deadlock?

Tulia! Katika hali kama hizi za shaka, sheria za jumla zitakuokoa. Jinsi ya kutatua equations? Inamaanisha nini kutatua equation? Hii inamaanisha, tafuta thamani zote za x ambazo, zikibadilishwa katika mlinganyo wa asili, zitatupa usawa sahihi.

Lakini tuna usawa wa kweli tayari ilitokea! 0=0, ni sahihi zaidi kiasi gani?! Inabakia kujua ni nini x hii inatokea. Ni maadili gani ya X yanaweza kubadilishwa kuwa asili equation kama hizi x bado zitapunguzwa hadi sifuri? Njoo?)

Ndiyo!!! X inaweza kubadilishwa yoyote! Unataka zipi? Angalau 5, angalau 0.05, angalau -220. Bado watapungua. Ikiwa huniamini, unaweza kukiangalia.) Badili thamani zozote za X kwenye asili equation na kuhesabu. Wakati wote utapata ukweli mtupu: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 na kadhalika.

Hili hapa jibu lako: x - nambari yoyote.

Jibu linaweza kuandikwa kwa alama tofauti za hisabati, kiini haibadilika. Hili ni jibu sahihi na kamili.

Mshangao wa pili.

Wacha tuchukue equation ya msingi ya mstari na tubadilishe nambari moja ndani yake. Hii ndio tutaamua:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Baada ya mabadiliko sawa, tunapata kitu cha kufurahisha:

Kama hii. Tulitatua mlinganyo wa mstari na tukapata usawa wa kushangaza. Akizungumza lugha ya hisabati, tumepata usawa wa uongo. Na kuzungumza kwa lugha rahisi, hii si kweli. Rave. Lakini hata hivyo, upuuzi huu ni sababu nzuri sana uamuzi sahihi milinganyo.)

Tena tunafikiri kwa kuzingatia kanuni za jumla. Nini x, zikibadilishwa katika mlingano wa asili, zitatupa kweli usawa? Ndiyo, hapana! Hakuna X kama hizo. Haijalishi utaweka nini, kila kitu kitapunguzwa, ujinga tu ndio utabaki.)

Hili hapa jibu lako: hakuna suluhu.

Hili pia ni jibu kamili kabisa. Katika hisabati, majibu kama hayo mara nyingi hupatikana.

Kama hii. Sasa, natumai, kutoweka kwa X katika mchakato wa kutatua equation yoyote (sio tu ya mstari) haitakuchanganya hata kidogo. Hili tayari ni jambo linalojulikana.)

Sasa kwa kuwa tumeshughulikia hitilafu zote katika milinganyo ya mstari, inaleta maana kuzitatua.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

N.k., ni jambo la busara kufahamiana na milinganyo ya aina zingine. Inayofuata kwenye mstari ni milinganyo ya mstari, utafiti unaolengwa ambao huanza katika masomo ya aljebra katika daraja la 7.

Ni wazi kuwa kwanza unahitaji kuelezea equation ya mstari ni nini, toa ufafanuzi wa equation ya mstari, coefficients yake, ionyeshe. fomu ya jumla. Kisha unaweza kujua ni suluhisho ngapi equation ya mstari ina kulingana na maadili ya coefficients, na jinsi mizizi hupatikana. Hii itawawezesha kuendelea na kutatua mifano, na hivyo kuunganisha nadharia iliyojifunza. Katika makala hii tutafanya hivi: tutakaa kwa undani juu ya vidokezo vyote vya kinadharia na vitendo vinavyohusiana na usawa wa mstari na suluhisho zao.

Wacha tuseme mara moja kwamba hapa tutazingatia hesabu za mstari tu na tofauti moja, na katika nakala tofauti tutasoma kanuni za suluhisho. milinganyo ya mstari yenye vigeu viwili.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlingano wa mstari ni nini?

Ufafanuzi wa equation ya mstari hutolewa kwa jinsi ilivyoandikwa. Zaidi ya hayo, katika vitabu tofauti vya hisabati na aljebra, uundaji wa ufafanuzi wa milinganyo ya mstari una tofauti fulani ambazo haziathiri kiini cha suala.

Kwa mfano, katika kitabu cha kiada cha aljebra cha darasa la 7 na Yu. N. Makarychev et al., mlinganyo wa mstari unafafanuliwa kama ifuatavyo:

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa fomu x=b, ambapo x ni variable, a na b ni baadhi ya namba, inaitwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja.

Wacha tutoe mifano ya milinganyo ya mstari ambayo inakidhi ufafanuzi uliotajwa. Kwa mfano, 5 x = 10 ni mlinganyo wa mstari wenye kigezo kimoja cha x, hapa mgawo a ni 5, na nambari b ni 10. Mfano mwingine: -2.3 · y=0 pia ni mlinganyo wa mstari, lakini yenye mabadiliko y, ambayo a=-2.3 na b=0. Na katika milinganyo ya mstari x=−2 na -x=3.33 a hazipo kwa uwazi na ni sawa na 1 na -1, mtawalia, huku katika mlingano wa kwanza b=-2, na wa pili - b=3.33.

Na mwaka mmoja mapema, katika kitabu cha hesabu cha N. Ya. Vilenkin, hesabu za mstari na moja isiyojulikana, pamoja na hesabu za fomu a x = b, pia zilizingatiwa kuwa hesabu ambazo zinaweza kuletwa kwa fomu hii kwa kuhamisha masharti. kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine na ishara kinyume, na pia kwa kutumia casting masharti yanayofanana. Kwa mujibu wa ufafanuzi huu, equations ya fomu 5 x = 2 x + 6, nk. pia linear.

Kwa upande wake, katika kitabu cha algebra cha darasa la 7 na A. G. Mordkovich ufafanuzi ufuatao umetolewa:

Ufafanuzi.

Mlingano wa mstari na kigezo kimoja cha x ni mlinganyo wa umbo a·x+b=0, ambapo a na b ni baadhi ya nambari zinazoitwa mgawo wa mlinganyo wa mstari.

Kwa mfano, milinganyo ya mstari ya aina hii ni 2 x-12=0, hapa mgawo a ni 2, na b ni sawa na -12, na 0.2 y+4.6=0 na coefficients a=0.2 na b =4.6. Lakini wakati huo huo, kuna mifano ya milinganyo ya mstari ambayo ina umbo si a·x+b=0, lakini a·x=b, kwa mfano, 3·x=12.

Wacha sisi, ili tusiwe na tofauti zozote katika siku zijazo, kwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja cha x na mgawo a na b tunamaanisha mlingano wa fomu a x + b = 0. Aina hii ya equation ya mstari inaonekana kuwa yenye haki zaidi, kwani milinganyo ya mstari ndiyo milinganyo ya algebra shahada ya kwanza. Na milinganyo mingine yote iliyotajwa hapo juu, pamoja na milinganyo ambayo, kwa kutumia mabadiliko sawa zimepunguzwa kwa fomu a x+b=0, tutaita milinganyo ambayo inapungua hadi milinganyo ya mstari. Kwa mbinu hii, mlinganyo 2 x+6=0 ni mlinganyo wa mstari, na 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, nk. - Hizi ni milinganyo ambayo hupungua hadi mstari.

Jinsi ya kutatua equations za mstari?

Sasa ni wakati wa kubaini jinsi milinganyo ya mstari a·x+b=0 hutatuliwa. Kwa maneno mengine, ni wakati wa kujua ikiwa equation ya mstari ina mizizi, na ikiwa ni hivyo, ni ngapi kati yao na jinsi ya kuipata.

Uwepo wa mizizi ya equation ya mstari inategemea maadili ya coefficients a na b. Katika kesi hii, equation ya mstari x+b=0 ina

mzizi pekee wa a≠0,
haina mizizi ya a=0 na b≠0,
ina mizizi mingi isiyo na kikomo ya a=0 na b=0, kwa hali ambayo nambari yoyote ni mzizi wa mlinganyo wa mstari.

Hebu tueleze jinsi matokeo haya yalipatikana.

Tunajua kwamba ili kutatua milinganyo tunaweza kuhama kutoka mlinganyo wa asili hadi milinganyo sawa, yaani, hadi milinganyo yenye mizizi sawa au, kama ile ya awali, bila mizizi. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia mabadiliko sawa yafuatayo:

kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine kwa ishara kinyume,
pamoja na kuzidisha au kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri.

Kwa hivyo, katika equation ya mstari na moja kutofautiana kwa fomu a·x+b=0 tunaweza kuhamisha neno b kutoka upande wa kushoto hadi upande wa kulia kwa ishara kinyume. Katika hali hii, mlinganyo utachukua fomu a·x=−b.

Na kisha inauliza swali la kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari a. Lakini kuna jambo moja: nambari a inaweza kuwa sawa na sifuri, katika hali ambayo mgawanyiko huo hauwezekani. Ili kukabiliana na tatizo hili, kwanza tutafikiri kwamba nambari a sio sifuri, na tutazingatia kesi ya kuwa sawa na sifuri kando baadaye kidogo.

Kwa hivyo, wakati a si sawa na sifuri, basi tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation a·x=−b na a, baada ya hapo itabadilishwa kuwa fomu x=(−b):a, matokeo haya yanaweza kuwa. iliyoandikwa kwa kutumia sehemu ndogo kama.

Kwa hivyo, kwa a≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 ni sawa na mlinganyo, ambapo mzizi wake unaonekana.

Ni rahisi kuonyesha kwamba mzizi huu ni wa kipekee, yaani, equation ya mstari haina mizizi mingine. Hii inakuwezesha kufanya njia kinyume.

Wacha tuonyeshe mzizi kama x 1. Wacha tufikirie kuwa kuna mzizi mwingine wa equation ya mstari, ambayo tunaashiria kama x 2, na x 2 ≠x 1, ambayo, kwa sababu ya ufafanuzi idadi sawa kupitia tofauti ni sawa na hali x 1 −x 2 ≠0. Kwa kuwa x 1 na x 2 ni mizizi ya mlingano wa mstari a·x+b=0, basi usawa wa nambari a·x 1 +b=0 na a·x 2 +b=0 kushikilia. Tunaweza kuondoa sehemu zinazolingana za usawa huu, ambazo sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya, tuna a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, ambapo a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 na kisha a·(x 1 −x 2)=0 . Lakini usawa huu hauwezekani, kwani zote mbili a≠0 na x 1 - x 2 ≠0. Kwa hivyo tulikuja kwenye ukinzani, ambao unathibitisha upekee wa mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0.

Kwa hivyo tulitatua mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0. Matokeo ya kwanza yaliyotolewa mwanzoni mwa aya hii ni ya haki. Zimesalia mbili zaidi zinazokidhi sharti a=0.

Wakati a=0, mlingano wa mstari a·x+b=0 unachukua fomu 0·x+b=0. Kutoka kwa equation hii na mali ya kuzidisha nambari kwa sifuri inafuata kwamba haijalishi ni nambari gani tunayochukua kama x, inapobadilishwa kuwa equation 0 x + b=0, usawa wa nambari b=0 utapatikana. Usawa huu ni kweli wakati b=0, na katika hali nyingine wakati b≠0 usawa huu ni wa uongo.

Kwa hivyo, na a=0 na b=0, nambari yoyote ndio mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote kwa x kunatoa usawa sahihi wa nambari 0=0. Na wakati a=0 na b≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 hauna mizizi, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote badala ya x husababisha usawa wa nambari usio sahihi b=0.

Sababu zilizotolewa huturuhusu kuunda mfuatano wa vitendo ambao huturuhusu kutatua mlingano wowote wa mstari. Kwa hiyo, algorithm ya kutatua mlingano wa mstari ni:

Kwanza, kwa kuandika equation ya mstari, tunapata maadili ya coefficients a na b.
Ikiwa a=0 na b=0, basi mlingano huu una mizizi mingi sana, yaani, nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu wa mstari.
Ikiwa a ni nonzero, basi

mgawo b huhamishiwa upande wa kulia na ishara kinyume, na equation ya mstari inabadilishwa kuwa fomu a·x=−b,
baada ya hapo pande zote mbili za mlinganyo unaotokana hugawanywa na nambari isiyo ya kawaida A, ambayo inatoa mzizi unaotaka wa mlingano wa awali wa mstari.

Algorithm iliyoandikwa ni jibu la kina kwa swali la jinsi ya kutatua equations za mstari.

Kwa kuhitimisha hoja hii, inafaa kusema kwamba algoriti sawa inatumiwa kutatua milinganyo ya fomu a·x=b. Tofauti yake ni kwamba wakati a≠0, pande zote mbili za equation hugawanywa mara moja na nambari hii; hapa b tayari iko katika sehemu inayohitajika ya equation na hakuna haja ya kuihamisha.

Ili kutatua hesabu za fomu x = b, algorithm ifuatayo hutumiwa:

Ikiwa a=0 na b=0, basi equation ina mizizi mingi sana, ambayo ni nambari zozote.
Ikiwa a=0 na b≠0, basi mlinganyo wa asili hauna mizizi.
Ikiwa a sio sifuri, basi pande zote mbili za equation zimegawanywa na nambari isiyo ya sifuri a, ambayo mzizi pekee wa equation hupatikana, sawa na b/a.

Mifano ya utatuzi wa milinganyo ya mstari

Tuendelee na mazoezi. Wacha tuangalie jinsi algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya mstari inatumiwa. Wacha tutoe suluhisho kwa mifano ya kawaida inayolingana na maana tofauti mgawo wa milinganyo ya mstari.

Mfano.

Tatua mlingano wa mstari 0·x−0=0.

Suluhisho.

Katika mlinganyo huu wa mstari, a=0 na b=−0 , ambayo ni sawa na b=0 . Kwa hivyo, equation hii ina mizizi mingi sana; nambari yoyote ni mzizi wa equation hii.

Jibu:

x - nambari yoyote.

Mfano.

Je, equation ya mstari 0 x + 2.7 = 0 ina suluhu?

Suluhisho.

KATIKA kwa kesi hii mgawo a ni sawa na sifuri, na mgawo b wa mlinganyo huu wa mstari ni sawa na 2.7, yaani, tofauti na sifuri. Kwa hivyo, equation ya mstari haina mizizi.