Je, mlolongo unapungua kimonotoni? Mlolongo wa nambari

monotoni ya mlolongo

Mlolongo wa monotoniki- mlolongo unaokidhi mojawapo ya masharti yafuatayo:

Kati ya mlolongo wa monotonic, zifuatazo zinajulikana: madhubuti monotonous mlolongo unaokidhi mojawapo ya masharti yafuatayo:

Wakati mwingine lahaja ya istilahi hutumiwa ambapo neno "mfuatano unaoongezeka" huzingatiwa kama kisawe cha neno "mfuatano usiopungua", na neno "mfuatano unaopungua" huzingatiwa kama kisawe cha neno "mfuatano usiozidi." ". Katika hali hiyo, mlolongo unaoongezeka na unaopungua kutoka kwa ufafanuzi hapo juu huitwa "kuongezeka kwa ukali" na "kupungua kabisa", kwa mtiririko huo.

Baadhi ya jumla

Inaweza kugeuka kuwa hali zilizo hapo juu hazijafikiwa kwa nambari zote, lakini kwa nambari kutoka kwa anuwai fulani

(hapa inaruhusiwa kugeuza mpaka wa kulia N+ hadi usio na mwisho). Katika kesi hii, mlolongo unaitwa monotonic kwa muda I , na safu yenyewe I kuitwa muda wa monotoni mifuatano.

Mifano

Angalia pia

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "Monotonicity of a sequence" ni nini katika kamusi zingine:

Tawi la hisabati ambalo husoma sifa za kazi mbalimbali. Nadharia ya kazi iko katika maeneo mawili: nadharia ya kazi za kutofautisha halisi na nadharia ya utendakazi wa tofauti changamano, tofauti kati ya ambayo ni kubwa sana ... ... Encyclopedia ya Collier

Majaribio ya mfuatano bandia-nasibu ni seti ya mbinu za kubainisha kiwango cha ukaribu wa mfuatano wa uwongo-nasibu kwa ule nasibu. Kipimo kama hicho kawaida ni uwepo wa usambazaji sare, kubwa ... ... Wikipedia

Neno hili lina maana zingine, angalia Kipimo. Kipimo cha seti ni kiasi kisicho hasi, kinachofasiriwa kwa angavu kama saizi (kiasi) cha seti. Kwa kweli, hii ni kipimo fulani utendakazi wa nambari, kuweka kila mmoja katika mawasiliano... ... Wikipedia

Mwandishi maarufu. Jenasi. huko Orel mnamo 1871; baba yake alikuwa mpimaji ardhi. Alisoma katika ukumbi wa mazoezi wa Oryol na katika vyuo vikuu vya St. Petersburg na Moscow, kulingana na Kitivo cha Sheria. Mwanafunzi alikuwa na uhitaji mkubwa. Hapo ndipo alipoandika hadithi yake ya kwanza “kuhusu... ... Ensaiklopidia kubwa ya wasifu

Njia za nambari za kutatua njia zinazobadilisha suluhisho la shida ya thamani ya mipaka na suluhisho tatizo tofauti(tazama tatizo la thamani ya mipaka ya mstari; njia za nambari za suluhisho na mlinganyo usio wa mstari; njia za nambari za suluhisho). Katika hali nyingi, haswa wakati wa kuzingatia ... ... Encyclopedia ya hisabati

Hati ya Voynich iliandikwa kwa kutumia mfumo usiojulikana herufi Mswada wa Voynich (eng. Voyni ... Wikipedia

Imeandikwa kwa kutumia mfumo usiojulikana wa uandishi Maandiko ya Voynich ni kitabu cha ajabu kilichoandikwa yapata miaka 500 iliyopita na mwandishi asiyejulikana, katika lugha isiyojulikana, kwa kutumia alfabeti isiyojulikana. Hati ya Voynich... ...Wikipedia

Sigismondo d'India (Kiitaliano: Sigismondo d India, takriban 1582, Palermo? hadi Aprili 19, 1629, Modena) Mtunzi wa Kiitaliano. Yaliyomo 1 Wasifu 2 Ubunifu ... Wikipedia

Uboreshaji wa kisasa- (Modernization) Usasa ni mchakato wa kubadilisha kitu kwa mujibu wa mahitaji ya kisasa, mpito kwa hali ya juu zaidi, kupitia kuanzishwa kwa sasisho mbalimbali mpya Nadharia ya kisasa, aina za kisasa, kikaboni ... ... Encyclopedia ya Wawekezaji

Moja ya kuu dhana za hisabati, maana ambayo imekuwa chini ya idadi ya generalizations na maendeleo ya hisabati. I. Hata katika "Elements" za Euclid (karne ya 3 KK), sifa za V., ambazo sasa zinaitwa, ziliundwa waziwazi ili kuzitofautisha na... ... Encyclopedia kubwa ya Soviet

Kusudi: Kutoa dhana, ufafanuzi wa mlolongo, mwisho, usio na mwisho, njia mbalimbali za kufafanua mlolongo, tofauti zao, kufundisha jinsi ya kuzitumia wakati wa kutatua mifano.

Vifaa: Jedwali.

Maendeleo ya somo

I. Wakati wa shirika.

II. Ukaguzi wa mbele wa kazi ya nyumbani:

1) mwanafunzi kwenye kazi ya bodi Na. 2.636 (kutoka sehemu ya II ya "Mkusanyiko wa kazi za mtihani ulioandikwa katika daraja la 9)

2) mwanafunzi. Tengeneza grafu

3) mbele na darasa zima No. 2.334 (a).

III. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Hotuba ya shule ni aina ya kuandaa mchakato wa kielimu unaoelekeza wanafunzi wakati wa kusoma mada fulani kwa jambo kuu na inajumuisha onyesho pana la mtazamo wa kibinafsi wa mwalimu na wanafunzi kwa nyenzo za kielimu. Kwa sababu Somo la somo hutoa uwasilishaji mkubwa wa nyenzo na mwalimu, basi mawasiliano ya maneno kati ya mwalimu na wanafunzi ndio jambo kuu katika teknolojia yake. Neno la mwalimu lina athari ya kihisia, ya uzuri na inajenga mtazamo fulani kwa somo. Kwa msaada wa hotuba, aina anuwai za shughuli za wanafunzi darasani zinaongozwa, na kupitia maarifa, ustadi na uwezo, utambuzi huundwa kama msingi wa shughuli za kielimu.

I. Andika nambari za tarakimu mbili zinazoishia na 3 kwa mpangilio wa kupanda.

13; 23; 33;………….93.

Kwa kila mmoja nambari ya serial Kuanzia 1 hadi 9, linganisha nambari maalum ya tarakimu mbili:

1->13; 2->23;………9->93.

Mawasiliano yameanzishwa kati ya seti ya nambari tisa za asili na seti ya nambari mbili zinazoishia 3. Mawasiliano haya ni kazi.

Kikoa cha ufafanuzi ni (1; 2; 3;……..9)

Thamani nyingi (13; 23; 33;…….93).

Ikiwa mawasiliano yanaonyeshwa na f, basi

Mlolongo huu unaweza kubainishwa kwa kutumia par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Jedwali Nambari 1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =; ...

g(60) =

Kazi iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari za asili inaitwa mlolongo usio na mwisho.

saa 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- wanachama wa mlolongo.

Kumbuka: ni muhimu kutofautisha kati ya dhana ya seti na dhana ya mlolongo.

a) (10; 20; 30; 40)

Seti sawa.

{40; 30; 20; 10}

b) hata hivyo, mifuatano 10; 20; thelathini; 40

Mbalimbali:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

III. Fikiria mlolongo:

13; 5; 7; 9; kumi na moja;……. -> usio na mwisho, kuongezeka

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> mwisho, kupungua.

A)

Mlolongo unaitwa kuongezeka ikiwa kila mwanachama, kuanzia wa pili, ni mkubwa kuliko wa awali.

b)

Ufafanuzi wa mlolongo unaopungua hutolewa.

Kuongezeka au kupungua kwa mlolongo huitwa monotonic.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - kubadilika;

5; 5; 5; 5; ... .. - mara kwa mara.

IV. Mfuatano unaweza kuonyeshwa kijiometri. Kwa sababu mlolongo ni kazi ambayo kikoa cha ufafanuzi ni N iliyowekwa, kisha grafu, inaonekana, ni seti ya pointi za ndege (x; y).

Mfano: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Wacha tupange mlolongo huu

Picha 1.

Mfano: Thibitisha kwamba mlolongo uliotolewa katika fomu hii

99; 74; 49; 24; -1;……………

inapungua.

V. Mbinu za kubainisha mfuatano.

Kwa sababu Mlolongo ni kazi iliyofafanuliwa kwenye seti N, basi kuna njia tano za kufafanua mlolongo:

I. Tabular

II. Mbinu ya maelezo

III. Uchambuzi

IV. Mchoro

V. Mara kwa mara

I. Tabular - haifai sana. Tunachora meza na kuitumia kuamua ni mwanachama gani? anachukua nafasi gani......

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

II. Mbinu ya maelezo.

Mfano: Mfuatano ni kwamba kila mshiriki ameandikwa kwa kutumia nambari 4, na nambari ya nambari ni sawa na nambari ya nambari ya mfuatano.

III. Njia ya uchambuzi (kwa kutumia fomula).

Fomula inayoonyesha kila mwanachama wa mfuatano kulingana na nambari yake n inaitwa fomula ya n mwanachama wa mfuatano huo.

Kwa mfano:

na wanafunzi wanaunda mfuatano huu, na kinyume chake: chagua fomula ya masharti ya mfuatano:

a) 1; ; ;……………..
b) ...
V)
G)
e) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Mbinu ya picha- pia sio rahisi sana, kwa kawaida hawatumii.

Nadharia ya kikomo ya Weierstrass mlolongo wa monotonic

Mlolongo wowote wenye mipaka ya monotone (xn) Ina kikomo cha mwisho, sawa na mpaka kamili wa juu, sup(xn) kwa kiwango kisichopungua na cha chini kabisa, inf(xn) kwa mlolongo usioongezeka.
Mfuatano wowote usio na kikomo wa monotoni una kikomo kisicho na kikomo sawa na plus infinity kwa mfuatano usiopungua na minus infinity kwa mfuatano usioongezeka.

Ushahidi

1) mlolongo wa mipaka usiopungua.

(1.1) .

Kwa kuwa mlolongo umefungwa, una ukanda wa juu wa juu
.
Ina maana kwamba:

• kwa wote n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Hapa pia tulitumia (1.3). Kuchanganya na (1.2), tunapata:
katika .
Tangu wakati huo
,
au
katika .
Sehemu ya kwanza ya nadharia imethibitishwa.

2) Hebu sasa mlolongo uwe mlolongo usioongezeka wa mipaka:
(2.1) kwa wote n.

Kwa kuwa mlolongo umefungwa, una ukanda wa chini
.
Hii ina maana yafuatayo:

• kwa wote n ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia:
  (2.2) ;
• kwa mtu yeyote nambari chanya, kuna nambari, kulingana na ε, ambayo
  (2.3) .

.
Hapa pia tulitumia (2.3). Kwa kuzingatia (2.2), tunapata:
katika .
Tangu wakati huo
,
au
katika .
Hii ina maana kwamba nambari ni kikomo cha mlolongo.
Sehemu ya pili ya nadharia imethibitishwa.

Sasa fikiria mlolongo usio na mipaka.
3) Hebu mlolongo uwe mlolongo usio na kikomo usiopungua.

Kwa kuwa mlolongo haupungui, ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia kwa wote n:
(3.1) .

Kwa kuwa mlolongo haupunguki na hauna mipaka, hauna mipaka kwa upande wa kulia. Kisha kwa nambari yoyote M kuna nambari, kulingana na M, ambayo
(3.2) .

Kwa kuwa mlolongo haupunguki, basi tunapokuwa na:
.
Hapa pia tulitumia (3.2).

.
Hii inamaanisha kuwa kikomo cha mlolongo ni pamoja na infinity:
.
Sehemu ya tatu ya nadharia imethibitishwa.

4) Hatimaye, fikiria kesi wakati mlolongo usio na kikomo usioongezeka.

Sawa na uliopita, kwa kuwa mlolongo hauzidi kuongezeka, basi
(4.1) kwa wote n.

Kwa kuwa mlolongo hauzidi kuongezeka na usio na mipaka, hauna mipaka kwa upande wa kushoto. Kisha kwa nambari yoyote M kuna nambari, kulingana na M, ambayo
(4.2) .

Kwa kuwa mlolongo hauongezeki, basi tunapokuwa na:
.

Kwa hivyo, kwa nambari yoyote M kuna nambari asilia kulingana na M, ili kwa nambari zote usawa ufuatao ushikilie:
.
Hii inamaanisha kuwa kikomo cha mfuatano ni sawa na minus infinity:
.
Nadharia imethibitishwa.

Mfano wa suluhisho la shida

Kwa kutumia nadharia ya Weierstrass, thibitisha muunganisho wa mlolongo:
, , . . . , , . . .
Kisha pata kikomo chake.

Wacha tuwakilishe mlolongo katika mfumo wa fomula zinazorudiwa:
,
.

Hebu tuthibitishe hilo kupewa mlolongo imepunguzwa juu ya thamani
(P1) .
Uthibitisho unafanywa kwa kutumia njia ya induction ya hisabati.
.
Hebu . Kisha
.
Ukosefu wa usawa (A1) umethibitishwa.

Hebu tuthibitishe kwamba mlolongo huongezeka monotonically.
;
(P2) .
Kwa kuwa , basi dhehebu la sehemu na jambo la kwanza katika nambari ni chanya. Kutokana na ukomo wa masharti ya mlolongo kwa kutofautiana (A1), jambo la pili pia ni chanya. Ndiyo maana
.
Hiyo ni, mlolongo unaongezeka madhubuti.

Kwa kuwa mlolongo unaongezeka na umefungwa hapo juu, ni mlolongo wa mipaka. Kwa hiyo, kwa mujibu wa nadharia ya Weierstrass, ina kikomo.

Wacha tupate kikomo hiki. Wacha tuashirie kwa:
.
Hebu tumia ukweli kwamba
.
Wacha tutumie hii kwa (A2), kwa kutumia mali ya hesabu ya mipaka ya mlolongo wa kuunganika:
.
Hali imeridhika na mzizi.

Ikiwa kila mtu nambari ya asili n imepewa baadhi nambari halisi x n , kisha wanasema kuwa imetolewa mlolongo wa nambari

x 1 , x 2 , … x n , …

Nambari x 1 inaitwa mwanachama wa mlolongo na nambari 1 au awamu ya kwanza ya mlolongo, nambari x 2 - mwanachama wa mlolongo na nambari 2 au mjumbe wa pili wa mlolongo, nk. Nambari x n inaitwa mwanachama wa mlolongo na nambari n.

Kuna njia mbili za kutaja mlolongo wa nambari - pamoja na na formula ya kawaida.

Mlolongo kwa kutumia fomula za neno la jumla la mfuatano- hii ni kazi ya mlolongo

x 1 , x 2 , … x n , …

kwa kutumia fomula inayoonyesha utegemezi wa neno x n kwa nambari yake n.

Mfano 1. Mlolongo wa nambari

1, 4, 9, … n 2 , …

iliyotolewa kwa kutumia fomula ya neno la kawaida

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Kubainisha mlolongo kwa kutumia fomula inayoonyesha mfuatano wa mfuatano x n kupitia washiriki wa mfuatano wenye nambari zilizotangulia huitwa kubainisha mfuatano kwa kutumia. formula ya kawaida.

x 1 , x 2 , … x n , …

kuitwa katika kuongezeka kwa mlolongo, zaidi mwanachama wa awali.

Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n

x n + 1 >x n

Mfano 3. Mlolongo wa nambari za asili

1, 2, 3, … n, …

ni mlolongo wa kupanda.

Ufafanuzi 2. Mlolongo wa nambari

x 1 , x 2 , … x n , …

kuitwa mlolongo wa kushuka ikiwa kila mwanachama wa mlolongo huu kidogo mwanachama wa awali.

Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika

x n + 1 < x n

Mfano 4. Kufuatia

iliyotolewa na formula

ni mlolongo wa kushuka.

Mfano 5. Mlolongo wa nambari

1, - 1, 1, - 1, …

iliyotolewa na formula

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

sio haziongezeki wala hazipungui mlolongo.

Ufafanuzi 3. Kuongezeka na kupungua kwa mlolongo wa nambari huitwa mlolongo wa monotonic.

Mifuatano yenye mipaka na isiyo na mipaka

Ufafanuzi 4. Mlolongo wa nambari

x 1 , x 2 , … x n , …

kuitwa mdogo kutoka juu, ikiwa kuna nambari M ambayo kila mshiriki wa mlolongo huu kidogo namba M.

Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika

Ufafanuzi 5. Mlolongo wa nambari

x 1 , x 2 , … x n , …

kuitwa imefungwa chini, ikiwa kuna nambari m hivi kwamba kila mshiriki wa mlolongo huu zaidi nambari m.

Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika

Ufafanuzi 6. Mlolongo wa nambari

x 1 , x 2 , … x n , …

inaitwa mdogo ikiwa ni mdogo juu na chini.

Kwa maneno mengine, kuna nambari M na m kama hiyo kwa wote n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika

m< x n < M

Ufafanuzi 7. Mlolongo wa nambari, ambayo sio mdogo, kuitwa mlolongo usio na kikomo.

Mfano 6. Mlolongo wa nambari

1, 4, 9, … n 2 , …

iliyotolewa na formula

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

imefungwa chini, kwa mfano, nambari 0. Hata hivyo, mlolongo huu isiyo na kikomo kutoka juu.

Mfano 7. Kufuatia

iliyotolewa na formula

ni mlolongo mdogo, kwa sababu kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika

Kwenye tovuti yetu unaweza pia kujijulisha na vifaa vya elimu vilivyotengenezwa na walimu wa kituo cha mafunzo cha Resolventa kwa ajili ya maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati.

Kwa watoto wa shule ambao wanataka kujiandaa vizuri na kupita Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati au lugha ya Kirusi juu alama ya juu, Kituo cha elimu"Resolventa" inafanya

kozi za maandalizi kwa watoto wa shule katika darasa la 10 na 11