Trigonometry ya spherical

taaluma ya hisabati ambayo inasoma uhusiano kati ya pembe na pande za pembetatu duara (tazama jiometri ya Spherical). Hebu A, B, C - pembe na a, b, c - pande tofauti za pembetatu ya duara ABC(sentimita. mchele. ) Pembe na pande za pembetatu ya duara zinahusiana na kanuni zifuatazo za msingi:

cos A=cos b cos Na+ dhambi b dhambi Na cos A, (2)

cos A = - cos B kwa C+ dhambi B dhambi NA cos a, (2 1)

dhambi a cos B = cos b dhambi c- dhambi b cos Na cos A, (3)

dhambi A cos b=cos B dhambi C+ dhambi B cos NA cos a; (3 1)

katika fomula hizi pande a, b, c kipimo kwa pembe za kati zinazofanana, urefu wa pande hizi ni sawa kwa mtiririko huo aR, bR, cR, Wapi R- radius ya tufe. Kubadilisha muundo wa pembe (na pande) kulingana na sheria ya vibali vya mviringo: A→KATIKA→NA→A(A→b→Na→A), Unaweza kuandika fomula zingine za S.t. sawa na zile zilizoonyeshwa. Njia za nadharia ya ulinganifu huruhusu mtu kuamua vipengele vingine vitatu vya pembetatu ya spherical (kutatua pembetatu).

Kwa pembetatu za duara za kulia ( A= 90°, A - hypotenuse, b, c - miguu) fomula za S.t. zimerahisishwa, kwa mfano:

dhambi b= dhambi a dhambi KATIKA, (1")

cos a = cos b cos c, (2")

dhambi a cos B= cos b dhambi c. (3")

Ili kupata fomula zinazounganisha vitu vya pembetatu ya duara yenye pembe ya kulia, unaweza kutumia sheria ifuatayo ya mnemonic (sheria ya Napeer): ikiwa unabadilisha miguu ya pembetatu ya pembe ya kulia na nyongeza zao na kupanga vitu vya pembetatu (bila kujumuisha). pembe ya kulia A) katika mduara kwa mpangilio ambao wako kwenye pembetatu (hiyo ni, kama ifuatavyo. Wewe, 90° - b, 90 ° - c), basi cosine ya kila kipengele ni sawa na bidhaa ya sines ya mambo yasiyo ya karibu, kwa mfano,

cos A= dhambi (90° - Na) dhambi (90° - b)

au, baada ya kuongoka,

cos a = cos b cos Na(Mfumo wa 2").

Wakati wa kutatua shida, fomula zifuatazo za Delambre ni rahisi, zinazounganisha vitu vyote sita vya pembetatu ya duara:

Wakati wa kutatua shida nyingi za unajimu wa spherical, kulingana na usahihi unaohitajika, mara nyingi inatosha kutumia fomula takriban: kwa pembetatu ndogo za duara (ambayo ni, wale ambao pande zao ni ndogo ikilinganishwa na radius ya nyanja), unaweza kutumia fomula. trigonometry ya ndege; kwa pembetatu nyembamba za duara (yaani, zile zilizo na upande mmoja, kwa mfano A, ndogo ikilinganishwa na wengine) fomula zifuatazo hutumiwa:

(3’’)

au fomula sahihi zaidi:

S. t. ilitokea mapema zaidi kuliko trigonometry ya ndege. Sifa za pembetatu za duara zenye pembe ya kulia, zilizoonyeshwa na fomula (1") - (3"), na kesi mbali mbali za suluhisho lao zilijulikana kwa wanasayansi wa Uigiriki Menelaus (karne ya 1) na Ptolemy (karne ya 2). Wanasayansi wa Kigiriki walipunguza ufumbuzi wa oblique spherical triangles kwa ufumbuzi wa wale wa mstatili. Mwanasayansi wa Kiazabajani Nasireddin Tuey (karne ya 13) alichunguza kwa utaratibu kesi zote za kutatua pembetatu za oblique spherical, akionyesha kwa mara ya kwanza suluhisho katika kesi mbili ngumu zaidi. Kanuni za msingi za pembetatu za duara za oblique zilipatikana na mwanasayansi Mwarabu Abul-Vefa (karne ya 10) [formula (1)], mwanahisabati Mjerumani I. Regiomontan (katikati ya karne ya 15) [formula kama (2)], na Mfaransa. mwanahisabati F. Vieta (nusu ya 2 ya karne ya 16) [fomula za aina (2 1)] na L. Euler (Urusi, karne ya 18) [fomula za aina (3) na (3 1)]. Euler (1753 na 1779) alitoa mfumo mzima wa kanuni za nadharia ya nadharia. Miundo ya kibinafsi ya nadharia ya nadharia, inayofaa kwa mazoezi, ilianzishwa na mwanahisabati wa Uskoti J. Napier (mwishoni mwa 16 - mapema karne ya 17) na Kiingereza. mwanahisabati G. Briggs (mwishoni mwa 16 - mapema karne ya 17). Karne ya 17), mtaalam wa nyota wa Kirusi A.I. Leksel (nusu ya 2 ya karne ya 18), mtaalam wa nyota wa Ufaransa J. Delambre (mwishoni mwa 18 - mapema karne ya 19), nk.

Encyclopedia kubwa ya Soviet. - M.: Encyclopedia ya Soviet. 1969-1978 .

Tazama "Spherical trigonometry" ni nini katika kamusi zingine:

Trigonometry ya spherical ni tawi la trigonometria ambalo huchunguza uhusiano kati ya pembe na urefu wa upande wa pembetatu za duara. Inatumika kutatua matatizo mbalimbali ya geodetic na astronomical. Yaliyomo 1 Historia ... Wikipedia

Tawi la hisabati ambalo husoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu za duara (yaani, pembetatu kwenye uso wa tufe) linaloundwa na makutano ya miduara mitatu mikubwa. Trigonometry ya spherical inahusiana kwa karibu na ... ... Kamusi kubwa ya Encyclopedic

Huchunguza sifa za pembetatu zinazochorwa kwenye uso wa duara. nyuso zinazoundwa kwenye mpira na safu za duru. Kamusi ya maneno ya kigeni iliyojumuishwa katika lugha ya Kirusi. Pavlenkov F., 1907 ... Kamusi ya maneno ya kigeni ya lugha ya Kirusi

Tawi la hisabati ambalo husoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu za duara (yaani, pembetatu kwenye uso wa tufe) linaloundwa na makutano ya miduara mitatu mikubwa. Trigonometry ya spherical inahusiana kwa karibu na ... ... Kamusi ya encyclopedic

Hisabati. taaluma inayosoma uhusiano kati ya pembe na pande za pembetatu duara (tazama jiometri ya Spherical). Acha A, B, C ziwe pembe na a, b, c ziwe pande tofauti za pembetatu ya duara ABC. Pembe na pande za spherical pembetatu... Encyclopedia ya hisabati

Shamba la hisabati ambalo uhusiano kati ya pande na pembe za vitu vya spherical husomwa. pembetatu (yaani pembetatu kwenye uso wa tufe) iliyoundwa na makutano ya miduara mitatu mikubwa. S. t. inahusiana kwa karibu na spherical. unajimu... Sayansi ya asili. Kamusi ya encyclopedic

Pembetatu ya duara Kurtosisi ya pembetatu ya duara, au thamani ya ziada ya duara katika sf ... Wikipedia

Nadharia ya Legendre katika trigonometry ya spherical inafanya uwezekano wa kurahisisha ufumbuzi wa pembetatu ya spherical ikiwa inajulikana kuwa pande zake ni ndogo za kutosha ikilinganishwa na radius ya nyanja ambayo iko. Maneno... Wikipedia

Pembetatu ya duara yenye pembe ya kulia yenye hypotenuse c, miguu a na b na pembe ya kulia C. Nadharia ya duara ya Pythagorean ni nadharia inayoanzisha uhusiano kati ya pande za pembe ya kulia ... Wikipedia

Mduara mkubwa daima hugawanya tufe katika nusu mbili sawa. Kitovu cha duara kuu kinapatana na kitovu cha tufe... Wikipedia

Vitabu

• Trigonometry ya Spherical, Stepanov N.N. , Kozi ya trigonometry ya spherical na N. N. Stepanov ni kitabu cha wanafunzi: wanajimu, wachunguzi, wachunguzi wa juu, wachunguzi; wakati huo huo inaweza kutumika kwa madhumuni ... Jamii: Hisabati Mchapishaji: YOYO Media, Mtengenezaji: Yoyo Media,
• Trigonometry ya Spherical, Stepanov N.N. , Kozi ya trigonometry ya spherical na N. N. Stepanov ni kitabu cha wanafunzi: wanajimu, wachunguzi, wachunguzi wa juu, wachunguzi; wakati huo huo inaweza kutumika kwa madhumuni... Jamii:

4)Fomula ya upande wa cosine.

Mifumo ya kuratibu

Mfumo wa kuratibu ni seti ya ufafanuzi unaotumia njia ya kuratibu, yaani, njia ya kuamua nafasi ya uhakika au mwili kwa kutumia namba au alama nyingine. Seti ya nambari ambazo huamua nafasi ya nukta fulani huitwa kuratibu za hatua hii. Katika hisabati, kuratibu ni seti ya nambari zinazohusiana na pointi za aina mbalimbali katika ramani fulani ya atlasi fulani. Katika jiometri ya msingi, kuratibu ni kiasi ambacho huamua nafasi ya uhakika kwenye ndege na katika nafasi. Kwenye ndege, nafasi ya hatua mara nyingi huamuliwa na umbali kutoka kwa mistari miwili ya moja kwa moja (axes za kuratibu) zinazoingiliana kwa hatua moja (asili) kwa pembe ya kulia; moja ya kuratibu inaitwa kuratibu, na nyingine inaitwa abscissa. Katika nafasi, kulingana na mfumo wa Cartesian, nafasi ya hatua imedhamiriwa na umbali kutoka kwa ndege tatu za kuratibu zinazoingiliana kwa sehemu moja kwa pembe za kulia kwa kila mmoja, au kuratibu za spherical, ambapo asili ya kuratibu iko katikati ya nyanja. Katika jiografia, viwianishi ni latitudo, longitudo na urefu juu ya kiwango cha jumla kinachojulikana (kwa mfano, bahari). Angalia viwianishi vya kijiografia Katika astronomia, viwianishi ni kiasi kinachotumiwa kubainisha nafasi ya nyota, kwa mfano, kupaa kulia na kushuka.Viwianishi vya angani ni nambari zinazotumiwa kubainisha nafasi ya mianga na nukta saidizi kwenye tufe la angani. Katika astronomy, mifumo mbalimbali ya uratibu wa mbinguni hutumiwa. Kila moja yao kimsingi ni mfumo wa kuratibu wa polar kwenye tufe iliyo na nguzo iliyochaguliwa ipasavyo. Mfumo wa kuratibu wa mbinguni unafafanuliwa na mzunguko mkubwa wa nyanja ya mbinguni (au pole yake, iko 90 ° kutoka kwa hatua yoyote ya mduara huu) inayoonyesha juu yake hatua ya mwanzo ya moja ya kuratibu. Kulingana na chaguo la mduara huu, mifumo ya kuratibu ya angani iliitwa mlalo, ikweta, ekliptiki na galactic.Mfumo wa kuratibu unaotumika sana ni mfumo wa kuratibu wa mstatili (unaojulikana pia kama mfumo wa kuratibu wa Cartesian) Viwianishi vya ndege na anga vinaweza kuingizwa. kwa idadi isiyo na kikomo ya njia tofauti. Wakati wa kutatua shida fulani ya hisabati au ya kimwili kwa kutumia njia ya kuratibu, unaweza kutumia mifumo tofauti ya kuratibu, kuchagua moja ambayo tatizo linatatuliwa kwa urahisi au kwa urahisi zaidi katika kesi hii.

11) Radi ya curvature ya sambamba, meridians na sehemu za kawaida.

Kupitia hatua ya kiholela juu ya uso wa ellipsoid ya dunia, mtu anaweza kuchora idadi isiyo na kikomo ya ndege za wima zinazounda sehemu za kawaida na uso wa ellipsoid. Mbili kati yao: meridian na sehemu ya perpendicular ya kwanza ya wima kwa hiyo inaitwa sehemu kuu za kawaida. Curvature ya uso wa ellipsoid ya dunia ni tofauti katika pointi tofauti. Kwa kuongeza, wakati huo huo sehemu zote za kawaida zina curvature tofauti. Radi ya curvature ya sehemu kuu za kawaida katika hatua fulani ni kali, yaani, kubwa zaidi na ndogo kati ya radii nyingine zote za curvature ya sehemu za kawaida. Thamani za radii ya mzingo wa meridian M na N ya wima ya kwanza katika latitudo fulani φ imedhamiriwa na fomula: M = a(1-e²) ​​​​/ (1 - e²*sin² φ) 3/ 2; N = a / (1 - e²*sin² φ) ½

Radi ya curvature r ya sambamba ya kiholela ya ellipsoid inahusiana na radius ya curvature ya sehemu ya wima ya kwanza na uhusiano r = N cos φ. Thamani za radii ya curvature ya sehemu kuu za ellipsoid M na N huonyesha umbo lake karibu na sehemu fulani. Kwa hatua ya kiholela juu ya uso wa ellipsoid, uwiano wa radii

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

12) Urefu wa arcs sambamba na meridians.

L = 2pR = 2. 3.14 6371 » 40000 km.

Baada ya kuamua urefu wa duara kubwa, unaweza kupata urefu wa safu ya meridian (ikweta) katika 1° au 1¢: 1° meridian arc (ikweta) = L/360° = 111 km, 1¢ meridian arc (ikweta) ) 111/60¢ = kilomita 1.853. Urefu wa kila sambamba ni chini ya urefu wa ikweta na inategemea latitudo ya mahali.

Ni sawa na L par = L eq cosj par. Nafasi ya ncha kwenye uso wa duaradufu ya dunia inaweza kuamuliwa na viwianishi vya kijiodetiki - latitudo ya kijiodeti na longitudo ya kijiodetiki. Kuamua nafasi ya uhakika juu ya uso wa geoid, kuratibu za astronomia hutumiwa, kupatikana kwa usindikaji wa hisabati wa matokeo ya vipimo vya astronomia. Hata hivyo, katika matukio kadhaa, wakati si lazima kuzingatia tofauti kati ya kuratibu za kijiografia na astronomia, dhana ya kuratibu za kijiografia hutumiwa kuamua nafasi ya uhakika katika urambazaji wa ndege.Latitudo ya kijiografia j ni pembe kati ya ndege ya ikweta na ya kawaida kwa uso wa ellipsoid katika hatua fulani. Latitudo hupimwa kutoka kwa ndege ya ikweta hadi nguzo kutoka 0 hadi 90 ° kaskazini au kusini. Latitudo ya kaskazini inachukuliwa kuwa chanya, latitudo ya kusini inachukuliwa kuwa hasi.

13) Kuratibu mabadiliko.

Mabadiliko ya mfumo wa kuratibu ni mpito kutoka kwa mfumo mmoja wa kuratibu hadi mwingine.Kwa uingizwaji huo, ni muhimu kuanzisha kanuni zinazoruhusu, kutoka kwa kuratibu zinazojulikana za uhakika katika mfumo mmoja wa kuratibu, kuamua kuratibu zake katika mwingine.

Kusudi kuu la kuratibu mabadiliko ni kuamua mfumo wa kuratibu ambao equation ya mstari fulani inakuwa rahisi zaidi. Kwa kufanikiwa kuweka axes za kuratibu, unaweza kuhakikisha kwamba equation ya curve inachukua fomu rahisi zaidi. Hii ni muhimu kwa kusoma mali ya curve.

14) Mstari wa Geodetic. Tatizo la moja kwa moja na kinyume la kijiografia.

Mstari wa kijiografia, mkunjo ambao kanuni zake kuu za pointi zote zinapatana na kanuni za uso ambako iko. Umbali mfupi zaidi kati ya pointi mbili juu ya uso ni mstari wa geodetic, lakini si mara zote kinyume.Tatizo la geodetic linahusishwa na kuamua nafasi ya jamaa ya pointi kwenye uso wa dunia na imegawanywa katika matatizo ya moja kwa moja na ya kinyume. Moja kwa moja G. z. inayoitwa hesabu ya kuratibu za geodetic - latitudo na longitudo ya hatua fulani iliyo kwenye ellipsoid ya dunia, kutoka kwa kuratibu za hatua nyingine na kutoka kwa urefu na azimuth ya mstari wa geodetic unaounganisha pointi hizi. Reverse G. z. inajumuisha kuamua, kutoka kwa kuratibu za geodetic za pointi mbili kwenye ellipsoid ya dunia, urefu na azimuth ya mstari wa geodetic kati ya pointi hizi.

15)Muunganiko wa meridians.Muunganiko meridians katika hatua fulani kwenye ellipsoid ya dunia - angle g s kati ya tangent hadi meridian ya hatua hii na tangent kwa ellipsoid inayotolewa kwa hatua sawa na ndege ya meridian fulani ya awali. S. m. g s ni kazi ya tofauti katika longitudo l ya meridians iliyoonyeshwa, latitudo B ya uhakika na vigezo vya ellipsoid. Takriban kipimo cha ulinganifu kinaonyeshwa na fomula g s = lsin. Kipimo cha ulinganifu kwenye ndege ya makadirio ya kijiodetiki au makadirio ya katografia (au kipimo cha ulinganifu wa Gaussia) ni pembe g inayoundwa na tanjenti kwa picha ya meridiani yenye kiratibu cha kwanza. mhimili (abscissa) wa makadirio haya, ambayo kwa kawaida ni taswira ya meridian ya kati (axial) ya eneo lililoonyeshwa.

16) Kanuni ya jumla ya kuonyesha nyuso kwa kufunua.

Kufunua uso mmoja kwa mwingine kwa kutumia bending ni mabadiliko kama hayo ya uso wa kwanza ambao vitu vya jiometri yake ya ndani huhifadhiwa, i.e. pembe. ENEO, mkunjo wa uso wa Gaussia, na hivyo utakatifu wa mistari mifupi zaidi unasalia kuwa fupi zaidi.Radii ya curvature ch. sehemu za kawaida huitwa ch. radii ya curvature kwenye sehemu fulani ya uso..R=1/R1*R2 - Mviringo wa Gaussian wa uso

Vipengele vya trigonometry ya spherical

Trigonometry ya spherical inahusika na uchunguzi wa uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu duara (kwa mfano, juu ya uso wa Dunia na juu ya tufe ya mbinguni). Juu ya uso wa mpira, umbali mfupi zaidi kati ya pointi mbili hupimwa kando ya mzunguko wa mzunguko mkubwa, yaani, mduara ambao ndege hupita katikati ya mpira. Vipeo vya pembetatu ya duara ni sehemu za makutano za miale mitatu inayotoka katikati ya mpira na uso wa duara. Pande a, b, c ya pembetatu ya spherical ni pembe hizo kati ya mionzi ambayo ni chini ya 180 (ikiwa moja ya pembe hizi ni 180, basi pembetatu ya spherical inapungua katika semicircle ya mduara mkubwa). Kila upande wa pembetatu unafanana na arc ya mduara mkubwa juu ya uso wa mpira (angalia takwimu).

Pembe A, B, C za pembetatu ya duara, pande zinazopingana a, b, c kwa mtiririko huo, ni, kwa ufafanuzi, chini ya 180, pembe kati ya safu za miduara mikubwa inayolingana na pande za pembetatu, au pembe kati. ndege zinazofafanuliwa na miale hii Jiometri juu ya uso wa mpira sio Euclidean; katika kila pembetatu ya duara, jumla ya pande ni kati ya 0 na 360, jumla ya pembe ni kati ya 180 na 540. Katika kila pembetatu ya spherical, pembe kubwa iko kinyume na upande mkubwa. Jumla ya pande zote mbili ni kubwa kuliko upande wa tatu, jumla ya pembe zote mbili ni chini ya 180 pamoja na pembe ya tatu. Pembetatu ya duara inafafanuliwa kipekee (hadi mabadiliko ya ulinganifu): 1) kwa pande tatu, 2) kwa pembe tatu, 3) kwa pande mbili na imefungwa kati yao kwa pembe, 4) kwa upande na pembe mbili karibu nayo.

4)Fomula ya upande wa cosine.

Fomula ya kosine ya upande inahusiana na pande tatu na moja ya pembe za pembetatu ya duara. Inafaa kwa kupata pembe isiyojulikana au upande ulio kinyume na pembe hii, na inasomeka kama ifuatavyo: "katika pembetatu ya duara, cosine ya upande ni sawa na bidhaa ya cosines ya pande zingine mbili pamoja na bidhaa ya sines za hizi. pande kwa kosini ya pembe kati yao.”

Kwa baadhi ya wateja wetu, kununua vito vilivyotengenezwa maalum ni uwekezaji wa faida katika mtaji wa familia, katika siku zijazo thabiti kwa watoto na wajukuu. Kwa wateja wengine, haswa wanawake warembo, mapambo ya kipekee ni njia nyingine ya kusisitiza mtindo wao, uzuri na hali ya kijamii inayovutia. Kwa wanaume, hii ni chaguo la kuonyesha mteule wako upendo na tahadhari.

G.P. Matvievskaya Spherics na trigonometry ya spherical katika nyakati za kale na mashariki ya kati / Maendeleo ya mbinu za utafiti wa unajimu. Toleo la 8, Moscow-Leningrad, 1979

G.P. Matvievskaya

Spherics na trigonometry ya duara katika nyakati za zamani na mashariki ya kati

1. Katika nyakati za zamani na Enzi za Kati, mahitaji ya unajimu yalitumika kama kichocheo muhimu zaidi kwa maendeleo ya matawi mengi, hisabati na, juu ya yote, trigonometry ya spherical, ambayo ilikuwa kifaa cha hesabu cha kutatua shida maalum za unajimu. Kadiri unajimu unavyokua, shida zake zikawa ngumu zaidi na mahitaji ya usahihi wa mahesabu yaliongezeka, kifaa hiki kiliboreshwa polepole na yaliyomo kwenye trigonometry ya spherical iliboreshwa ipasavyo. Iliwasilishwa katika mikataba ya unajimu - kama sehemu ya utangulizi ya unajimu - na katika kazi maalum za hesabu.

Ya umuhimu hasa kwa historia ya trigonometry ya spherical ni kazi za Kigiriki za kale kwenye spherics - sayansi ambayo ilijumuisha vipengele vya astronomy, jiometri kwenye nyanja na trigonometry. Tayari katika karne ya 4. BC e. ilipata maendeleo kamili na ilizingatiwa kama taaluma msaidizi ya unajimu. Kazi za kwanza zinazojulikana kwenye spherics ziliandikwa wakati wa karne ya 4. BC e. - karne ya I n. e. wanasayansi bora wa zamani kama Autolycus, Euclid, Theodosius, Hypsicles, Menelaus.

Kazi hizi hukuruhusu kufahamiana wazi na hatua ya awali ya maendeleo ya trigonometry ya spherical.

Matokeo yote yaliyopatikana na Wagiriki katika uwanja wa unajimu na trigonometry yalikuwa, kama inavyojulikana, yalifanywa kwa ujumla katika karne ya 2. katika kazi ya Ptolemy, inayoitwa "Mkusanyiko wa hisabati katika vitabu 13." Baadaye, labda katika karne ya 3, kiliitwa kitabu "kikubwa", ambacho katika Zama za Kati jina lililokubaliwa kwa ujumla "Almagest" lilitoka: hivi ndivyo neno "al-majisti" lilivyotamkwa kwa Kilatini - Kiarabu. aina ya "megiste" (kubwa zaidi).

Tofauti na kitabu "kikubwa" cha Ptolemy, kazi za watangulizi wake, muhimu kwa mahesabu ya unajimu na kuunganishwa katika kipindi cha marehemu cha Hellenistic (sio baada ya karne ya 4) katika mkusanyiko mmoja, ziliitwa "Astronomy Ndogo". Zinapaswa kuwa zimesomwa baada ya Vipengele vya Euclid ili kuelewa Almagest. Katika fasihi ya Kiarabu, kwa hivyo, zinaonekana chini ya jina la "vitabu vya kati" (kutub al-mutawassita).

Mkusanyiko huu ni pamoja na kazi za Euclid "Data", "Optics", "Phenomena" na pseudo-Euclidean "Catoptrics", kazi za Archimedes ("On the Sphere and Cylinder", "Measurement of the Circle", "Lemmas" ), Aristarko ("Katika Ukuu na Umbali" Jua na Mwezi"), Hypsicles ("Juu ya kuongezeka kwa kundi la nyota kwenye ecliptic"), Autolika ("Kwenye nyanja inayosonga", "Katika kuchomoza na kutua kwa nyota zisizohamishika. "), Theodosius ("Spherics", "Siku na usiku", "Kwenye makao") na Menelaus ("Spherics"). Kazi ya Menelaus iliongezwa kwa Astronomia Ndogo, labda baadaye.

Tafsiri ya Kiarabu ya vitabu vya "katikati", ikiwa ni pamoja na kazi za duara, ilionekana kati ya tafsiri za kwanza za kazi za classics za sayansi ya Kigiriki. Baadaye walitolewa maoni mara kwa mara. Miongoni mwa wafasiri na wafasiri mtu anaweza kutaja wanasayansi mashuhuri kama vile Costa ibn Luka (karne ya IX), al-Makhani (karne ya IX), Sabit ibn Korra (karne ya X), Ibn Iraq (karne za X-XI), Nasir ad -Din at -Tusi (karne ya XIII), nk.

Kwa Kigiriki "Astronomia Ndogo", wanasayansi wa mashariki baadaye waliongeza kazi "Juu ya Upimaji wa Takwimu" za Banu Musa, "Data" na "Kitabu juu ya Quadrilateral kamili" cha Thabit ibn Korra, "Treatise on the Complete Quadrilateral" na Nasir ad-Din al-Tusi.

Haja ya kufahamiana kwa kina na vitabu vya "katikati" ilitambuliwa vyema na wanahisabati na wanajimu wa Mashariki na ilisisitizwa hata katika karne ya 17. katika ensaiklopidia mashuhuri ya biblia ya Hajji Khalifa, “Kufunua Majina ya Vitabu na Sayansi.” Maandishi ya maandishi haya, pamoja na maoni juu yake, yamehifadhiwa katika hati nyingi za Kiarabu. Hizi ni pamoja na, kwa mfano, mkusanyiko ulioandikwa kwa mkono ambao bado haujasomwa na mtu yeyote, uliohifadhiwa katika Maktaba ya Umma ya Serikali iliyopewa jina lake. M. E. Saltykov-Shchedrin huko Leningrad (mkusanyiko wa Khanykov, No. 144).

Huko nyuma katika 1902, mwanahistoria mashuhuri wa hisabati A. Björnbo aliona kwa masikitiko kwamba uangalifu mdogo sana hulipwa kwa eneo hilo la sayansi ya kale, ambalo laweza kufafanuliwa kuwa “utangulizi wa elimu ya nyota” na ambao unaonyeshwa katika “wastani” vitabu. Hasa, alisisitiza juu ya hitaji la toleo kamili la muhimu la maandishi ya kazi na, kuhusiana na hili, aliibua swali la kusoma matoleo yao ya Kiarabu. Sifa nyingi kwa ajili ya utafiti wa "unajimu mdogo" ni wa A. Björnbo mwenyewe, pamoja na F. Gulch, I.L. Heiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Maugene, nk Hata hivyo, si kila kitu kimefanyika katika mwelekeo huu bado. Hii inatumika hasa kwa vitabu vya "katikati" katika tafsiri ya Kiarabu.

Wanasayansi wa Zama za Kati za Mashariki mara nyingi walifanya nyongeza muhimu kwa kazi za Kigiriki, walitoa uthibitisho wao wenyewe wa nadharia, na wakati mwingine walianzisha mawazo mapya katika nadharia ya kale. Kwa mtazamo huu, matoleo ya Kiarabu ya kazi zilizotolewa kwa spherics zinastahili tahadhari kubwa. Muhimu hasa ni utafiti wa fafanuzi za kazi ya Menelaus, iliyotungwa na Abu Nasr ibn Iraq na Nasir ad-Din al-Tusi, ambayo ilichukua nafasi muhimu katika historia ya trigonometry ya spherical.

2. Kazi za zamani zaidi kwenye nyanja ambazo zimetufikia - na, kwa ujumla, za kazi za hesabu za Wagiriki - ni maandishi ya Autolicus wa Pitana (c. 310 KK) "Kwenye Nyanja Inayozunguka" na "Jua Machozi". na Mipangilio.” Zote mbili zinahusu maswali ya jiometri kwenye nyanja kama inavyotumika kwa unajimu.

Autolik husoma tufe inayozunguka mhimili na sehemu za duara juu yake: miduara mikubwa inayopita kwenye nguzo zote mbili, miduara midogo iliyopatikana kwa kukata tufe na ndege zilizo sawa na mhimili, na miduara mikubwa inayopita kwa oblique. Harakati ya vidokezo vya miduara hii inazingatiwa kuhusiana na baadhi ya ndege ya kukata fasta kupita katikati. Ni rahisi kuona hapa mfano wa nyanja ya mbinguni na meridians ya mbinguni, sambamba, ikweta, ecliptic na upeo wa macho. Uwasilishaji, hata hivyo, unafanywa kwa lugha ya kijiometri tu na istilahi za unajimu hazitumiki.

Katika insha "Kwenye Tufe Inayosonga," iliyo na sentensi 12, Autolik anatanguliza dhana ya mwendo sare ("hatua husogea sawasawa ikiwa inasafiri njia sawa katika nyakati sawa") na kutumia wazo hili kwa nyanja inayozunguka. Inaonyesha, kwanza kabisa, kwamba pointi za uso wake ambazo hazilala kwenye mhimili, na mzunguko wa sare, zinaelezea miduara inayofanana na miti sawa na yale ya nyanja na kwa ndege perpendicular kwa mhimili (Pendekezo 1). Inathibitishwa zaidi kwamba kwa wakati sawa pointi zote juu ya uso zinaelezea arcs sawa (Pendekezo la 2) na kinyume chake, yaani, ikiwa arcs mbili za miduara sambamba zinapitishwa kwa wakati sawa, basi zinafanana (Pendekezo 3).

Baada ya kuanzisha dhana ya upeo wa macho - mduara mkubwa ambao hutenganisha sehemu ya nyanja hii ambayo inaonekana kwa mwangalizi aliye katikati ya nyanja kutoka kwa asiyeonekana - Autolik inazingatia harakati za pointi za uso kuhusiana na hilo. Nafasi mbalimbali zinazowezekana za upeo wa macho huchunguzwa wakati ni perpendicular kwa mhimili, kupita kupitia miti na kutega mhimili. Katika kesi ya kwanza (inayofanyika kwenye nguzo ya dunia), hakuna nukta moja juu ya uso wa tufe yenye mzunguko wa sare itakuwa ikipanda au kushuka; pointi zote za sehemu inayoonekana daima hubakia kuonekana, na pointi zote za sehemu isiyoonekana daima hubakia isiyoonekana (Pendekezo la 4).

Katika kesi ya pili, ambayo hufanyika kwenye ikweta ya dunia, pointi zote juu ya uso wa nyanja huinuka na kuweka, zikitumia wakati huo huo juu na chini ya upeo wa macho (Pendekezo la 5).

Mwishowe, katika kesi ya mwisho - ya jumla, upeo wa macho unagusa miduara miwili inayofanana, ambayo moja iliyolala kwenye nguzo inayoonekana inaonekana kila wakati, na nyingine haionekani kila wakati (Pendekezo la 6). Sehemu za uso ziko kati ya miduara hii huinuka na kuweka, na kila wakati hupitia alama sawa za upeo wa macho, zikisonga kando ya miduara kwa mhimili na kuelekezwa kwa upeo wa macho kwa pembe sawa (Pendekezo la 7). Kila mduara mkubwa uliowekwa kwenye uso wa tufe, ambao unagusa miduara sawa na upeo wa macho, utafanana na upeo wa macho wakati tufe inapozunguka (Pendekezo la 8). Kwa kuongezea, imeanzishwa kuwa ikiwa upeo wa macho umeelekezwa kwa mhimili, basi pointi mbili hupanda wakati huo huo, moja ambayo iko karibu na nguzo inayoonekana inaweka baadaye; ikiwa pointi mbili zimewekwa wakati huo huo, basi moja iko karibu na inayoonekana. pole huinuka mapema.

Baada ya kuonyesha zaidi kwamba katika kesi wakati upeo wa macho umeelekezwa kwa mhimili, mduara mkubwa unaopita kwenye nguzo za nyanja (yaani, meridian) utageuka mara mbili kuwa perpendicular kwa upeo wa macho wakati wa mapinduzi yake (Pendekezo la 10), Autolik huunda na kuthibitisha nadharia (Hoja ya 11), ambayo kimsingi inazingatia ecliptic. Tunazungumza juu ya jinsi kupanda na kuweka kwa vidokezo vilivyo kwenye mduara huu mkubwa kunategemea nafasi yake inayohusiana na upeo wa macho. Imethibitishwa kuwa ikiwa zote mbili zimeelekea kwenye mhimili, na ecliptic inagusa miduara miwili kwenye tufe sambamba na kila mmoja na inayoelekea kwenye mhimili, kubwa kuliko ile iliyoguswa na upeo wa macho, basi sehemu za ecliptic zitakuwa kila wakati. kuwa na kupanda na kuweka kwao kwenye sehemu ya upeo wa macho iliyo kati ya miduara sambamba inayoendana na ekliptiki.

Sentensi ya mwisho inasema: ikiwa mduara uliowekwa kwenye uso wa tufe kila wakati hutenganisha mduara mwingine unaozunguka na tufe, zote mbili sio sawa kwa mhimili na sio kupita kwenye miti, basi ni miduara mikubwa.

Risala ya Autolik “Jua Macheo na Machweo,” yenye vitabu viwili, inategemea kazi iliyozungumziwa hapo juu. Inaelezea mienendo ya nyota zisizohamishika (Kitabu cha 1), kwa uangalifu maalum kwa makundi kumi na mawili yaliyo kwenye; Ecliptic (Kitabu II). Inapatikana wakati nyota ambazo zina nafasi tofauti kwenye nyanja ya mbinguni huinuka na kuweka, na chini ya hali gani zinaonekana au zisizoonekana.

Kazi za Autolik kwenye spherics, ambazo zilikuwa katika asili ya vitabu vya kiada vya msingi, hazikupoteza umuhimu ama zamani au katika Zama za Kati. Yaliyomo katika risala "Kwenye Tufe Inayosonga" yalibainishwa katika kitabu cha 6 cha "Mkusanyiko wa Hisabati" na Pappus wa Alexandria (karne ya 3 BK). Umuhimu wa jukumu la Autolik katika maendeleo ya sayansi iliandikwa katika karne ya 6. Simplicius na John Philoponus. Maandishi ya Kigiriki ya kazi zake zote mbili yamehifadhiwa kabisa hadi leo.

Kazi za Autolik zilitafsiriwa kwa Kiarabu katika karne ya 9 na mwanzoni mwa karne ya 10. kati ya maandishi ya kwanza ya Kigiriki yaliyoamsha upendezi wa wasomi wa Mashariki. Tafsiri ya risala ya "Kwenye Tufe Inayosonga" kutoka katika asili ya Kigiriki ilifanywa na mfasiri maarufu Ishaq ibn Hunayn (d. 910/911). Mwanaastronomia wa wakati huo, mwanafalsafa na daktari Kusta ibn Luqa al-Baalbaki (aliyefariki mwaka 912) alitafsiri risala ya "Jua la macheo na machweo". Kisha tafsiri hizi zilirekebishwa na mwanahisabati na mwanaastronomia maarufu Thabit ibn Qorra (aliyefariki mwaka 901). Baadaye, katika karne ya 13. Kazi za Autolik zilitolewa maoni na mwanasayansi mashuhuri, mkuu wa Kituo cha Uangalizi cha Maragha Nasir ad-Din al-Tusi (1201 - 1274).

Huko Uropa, matoleo ya Kiarabu ya kazi za Autolik yalijulikana katika karne ya 12. Tafsiri ya Kilatini ya mkataba "On the Moving Sphere", iliyofanywa na mtafsiri mkubwa wa medieval Gerardo wa Cremona (1114-1187), ilianza wakati huu.

Nakala ya Kigiriki ya kazi za Autolicus, iliyohifadhiwa katika maandishi kadhaa ya karne ya 10-15, ilivutia umakini wa wanasayansi katika karne ya 16, wakati uchunguzi wa uangalifu wa urithi wa kisayansi wa zamani ulianza huko Uropa chini ya ushawishi wa maoni ya ubinadamu. . Mara ya kwanza Kilatini; tafsiri ya risala zote mbili kutoka asili ya Kigiriki ilichapishwa katika ensaiklopidia ya mwangalizi wa Kiitaliano George Balla (G. Valla, c. 1447-1500) mwaka wa 1501, na kisha katika mkusanyiko wa kazi za kale kwenye nyanja, ambayo ilichapishwa katika 1558 huko Messina na Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575) .

Kazi ya kazi juu ya uchapishaji wa kazi za hisabati na unajimu za waandishi wa zamani ilifanyika katika kipindi hiki huko Ufaransa, ambapo ilianzishwa kwa mpango wa mmoja wa watu mashuhuri wa Renaissance ya Ufaransa, mtangazaji mwenye shauku wa sayansi ya zamani P. Ramus ( P. Ramus, Pierre de la Ramée, 1515-1572); Toleo la kwanza la Kigiriki la kazi za Autolicus, lililofanywa na Conrad Dasypodius (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600), liliwekwa wakfu kwake; kilichapishwa mwaka wa 1572 huko Strasbourg pamoja na tafsiri ya Kilatini. Mwanafunzi mwingine wa Ramus, P. Forcadel (Pierre Forcadel, takriban 1520-1574), alichapisha tafsiri ya Kifaransa ya risala zote mbili za Autolicus katika 1572.

Mnamo 1587-1588 toleo lingine la Kilatini lilitokea, lililofanywa na I. Auria kwa kutegemea hati kadhaa za Kigiriki kutoka maktaba ya Vatikani, na katika 1644 M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) alichapisha tafsiri iliyofupishwa ya Kilatini ya kazi za Autolik, kutia ndani vitabu vingine vya Kigiriki. juu ya hisabati na unajimu.

Toleo kamili la kuchambua maandishi ya Kigiriki ya maandishi ya Autolik, pamoja na tafsiri ya Kilatini, lilifanywa mwaka wa 1855 na F. Gulch. Ilikuwa msingi wa tafsiri ya Kijerumani ya A. Chvalina, iliyochapishwa mwaka wa 1931.

Hatimaye, toleo jipya la maandishi ya Kigiriki, lililotegemea uchunguzi kamili wa hati-mkono zote zilizobaki, lilifanywa na J. Maugene katika 1950; Maandishi yanatanguliwa na uchunguzi wa kina wa historia ya matoleo ya Uropa ya kazi za Autolik. Mnamo 1971, tafsiri ya Kiingereza ya maandishi haya ilichapishwa huko Beirut, ambayo, hata hivyo, ilisababisha ukosoaji mkubwa na O. Neugebauer.

Kazi za Autolik huvutia umakini wa wanahistoria wengi wa unajimu na hisabati. Nadharia ya Autolik na maandishi ya kazi zake zote mbili zinasomwa. Inaonyeshwa, kwa mfano, kwamba vitabu viwili vinavyounda "Jua la Mawio na Mipangilio", kwa uwezekano wote, ni matoleo mawili ya kazi sawa.

Matoleo ya Kiarabu ya maandishi ya Autolik, ambayo yalikuwa miongoni mwa “vitabu vya kati,” bado hayasomwa sana, ingawa yanapatikana katika maandishi mengi yaliyohifadhiwa katika maktaba mbalimbali za Ulaya na Asia.

3. Katika nusu ya pili ya karne ya 4. BC e., kazi nyingine juu ya spherics ilionekana, karibu na yaliyomo kwenye kazi za Autolik na iliyoandikwa na Euclid mdogo wa kisasa, mwandishi maarufu wa Elements. Katika nakala hii, inayoitwa "Phenomena," Euclid anarudia kwa kiasi kikubwa mtangulizi wake, lakini uhusiano kati ya spherics na unajimu wa vitendo unaonyeshwa wazi zaidi ndani yake.

Phenomena ya Euclid ina sentensi 18. Ya kwanza inaunda taarifa inayohusu mfumo wa kijiografia wa dunia kwamba Dunia inachukuliwa kama kitovu cha ulimwengu. Kwa kuwa nafasi ya mwangalizi juu ya uso wa dunia inapaswa kuzingatiwa kuwa ya kiholela, inafuata kutoka kwa taarifa hii kwamba kwa uhusiano na ulimwengu wote, Dunia inachukuliwa kama mahali ambapo mwangalizi yuko.

Baada ya kurudia katika sentensi ya 2 na ya 3 nadharia ya saba ya Autolicus kutoka kwa maandishi "Kwenye Nyanja ya Kusonga," Euclid anaendelea kusoma kuongezeka na kuweka kwa ishara za zodiac - vikundi 12 vya nyota ziko kwenye ecliptic, i.e., kila moja ya arcs kumi na mbili, ecliptic, sawa na 30 ° na masharti sambamba na makundi haya. Anathibitisha (Pendekezo la 4) kwamba ikiwa ecliptic haiingiliani na miduara kubwa zaidi inayoonekana kila wakati kwenye tufe la angani, ambayo ni, ikiwa latitudo ya eneo la uchunguzi ni chini ya 66 °, basi nyota zinazoinuka kwanza pia huweka. kwanza; ikiwa inaingiliana nayo, yaani, ikiwa latitudo ya tovuti ya uchunguzi ni kubwa kuliko 66 °, basi nyota ziko kaskazini hupanda mapema na kuweka baadaye kuliko zile ziko kusini (Pendekezo 5). Kwa hivyo, vipengele vya kupanda na kuweka nyota hutegemea latitudo ya eneo la uchunguzi, yaani, kwenye pembe kati ya mhimili wa dunia na upeo wa macho.

Baada ya kuonyesha zaidi kwamba kupanda na kuweka nyota ziko katika ncha tofauti za kipenyo cha ecliptic ni kinyume kwa kila mmoja (Pendekezo la 6), Euclid anaelezea nadharia ya kumi na moja kutoka kwa mkataba "Kwenye Tufe Inayosonga" na Autolicus: nyota ziko juu. ecliptic, wakati wa kupanda na kuweka, kuvuka sehemu ya upeo wa macho , iliyofungwa kati ya kitropiki, na makutano haya hutokea kwa pointi za mara kwa mara (Pendekezo la 7).

Kisha anathibitisha kwamba arcs sawa za ishara za zodiac huinuka na kuweka kwenye arcs zisizo sawa za upeo wa macho, zaidi karibu na equinoxes ziko; katika kesi hii, arcs mbali kwa usawa kutoka ikweta huinuka na kuweka kwenye safu sawa za upeo wa macho (Pendekezo la 8).

Nadharia zifuatazo zinahusu muda wa jua na machweo ya ishara mbalimbali za zodiac. Kwanza, imethibitishwa kwamba muda unaohitajika kwa ajili ya kupanda kwa nusu ya ecliptic itakuwa tofauti kulingana na nafasi ya hatua ya awali ya kumbukumbu (Pendekezo la 9). Hii inalingana na taarifa kuhusu urefu tofauti wa mchana na usiku katika misimu tofauti ya mwaka, wakati Jua liko katika ishara tofauti za zodiac. Kisha wakati unaohitajika kwa kupanda na kuweka ishara sawa na kinyume cha zodiac huzingatiwa.

Suluhisho la maswali yaliyoulizwa na Euclid lilikuwa muhimu sana kwa wanajimu wa zamani, kwani lilihusu njia za kuamua saa ya mchana na usiku, kuanzisha kalenda, nk.

4. Kwa hivyo, katika kazi zilizozingatiwa za Autolicus na Euclid, misingi ya duru za Kigiriki za kale ziliwekwa - zote mbili za kinadharia na za vitendo. Walakini, waandishi wote wawili walifuata muundo wa hapo awali, kwa kuwa waliwasilisha idadi ya mapendekezo kuhusu nyanja bila uthibitisho, dhahiri wakizingatia kuwa yanajulikana. Inawezekana kwamba mwandishi wa kazi hiyo juu ya spherics, iliyotambuliwa kwa ujumla wakati huo, alikuwa mtaalamu mkuu wa hisabati na astronomer Eudoxus wa Cnidus (c. 408-355 BC).

Kazi hii iliyopotea sasa inahukumiwa na Spherica ya Theodosius, iliyoandikwa baadaye, lakini bila shaka inarudia kimsingi maudhui yake.

5. Kuna maoni tofauti kuhusu maisha na wasifu wa Theodosius, kulingana na ripoti zinazopingana mara nyingi za wanahistoria wa zamani, ambao walichanganya kimakosa takwimu kadhaa ambao walibeba jina hili kuwa mtu mmoja. Sasa imethibitishwa kwamba mwandishi wa "Sferika" alitoka Bitinia, na sio kutoka Tripoli, kama ilivyoaminika hapo awali na ilionyeshwa katika majina ya matoleo mengi ya kazi zake. Aliishi, kwa uwezekano wote, katika nusu ya 2 ya karne ya 2. BC BC, ingawa kwa kawaida aliitwa rika la Cicero (karibu 50 KK).

Mbali na Spherics, kazi nyingine mbili za Theodosius, pia zilizojumuishwa katika "vitabu vya kati," zimehifadhiwa katika asili ya Kigiriki. Hati kubwa zaidi, "Kwenye Makao," inajumuisha sentensi 12 na imejitolea kwa maelezo ya anga yenye nyota kutoka kwa mtazamo wa waangalizi walio katika latitudo tofauti za kijiografia. Makala ya pili, yenye kichwa "Siku na Usiku" na yenye vitabu viwili, inachunguza safu ya ecliptic ambayo jua hupita kwa siku moja, na inachunguza hali zinazohitajika, kwa mfano, ili katika equinoxes mchana na usiku ni kweli. sawa kwa kila mmoja.

Kazi hizi zilichunguzwa na kutolewa maoni na wasomi wengi wa Kiarabu, na kuvutia umakini huko Uropa katika karne ya 16, wakati hati zao za Kigiriki ziligunduliwa. Ya kwanza yao ilichapishwa katika tafsiri ya Kilatini mnamo 1558 na F. Mavroliko, pamoja na kazi zingine kadhaa juu ya spherics, na kisha mnamo 1572, K Dasipodia alichapisha uundaji wa nadharia za Kigiriki na Kilatini za nadharia kutoka kwa nakala hii katika kitabu kilichotajwa hapo juu. . Katika 1572 hiyo hiyo, tafsiri ya Kifaransa ya kazi ya Theodosius katika toleo la Dasypodia, iliyofanywa na P. Forcadel, ilichapishwa. Matoleo yafuatayo ya Kilatini yalifanywa mwaka wa 1587 (I. Auria) na mwaka wa 1644 (M, Mersenne). Maandishi kamili ya Kigiriki ya kitabu “On Dwellings,” pamoja na tafsiri ya Kilatini, yalichapishwa tu mwaka wa 1927 na R. Fecht. Katika uchapishaji huo huo, maandishi ya asili ya kazi "Siku na Usiku" na tafsiri yake ya Kilatini pia yametolewa kwa mara ya kwanza. Hapo awali, ilijulikana shukrani kwa uundaji wa sentensi katika Kigiriki na Kilatini iliyochapishwa mwaka wa 1572 na C. Dasypodia na tafsiri kamili ya Kilatini katika toleo la I. Auria.

Umaarufu mkubwa zaidi wa kazi za Theodosius ulipatikana na Spherics yake, ambayo inachukua nafasi muhimu katika historia ya unajimu, trigonometry ya spherical na jiometri isiyo ya Euclidean.

Theodosius anasoma kwa undani mali ya mistari kwenye uso wa nyanja iliyopatikana kwa kuikata kupitia ndege mbalimbali. Inapaswa kusisitizwa kuwa pembetatu ya spherical bado haionekani katika kazi yake. Kazi hiyo imeigwa baada ya Elements ya Euclid na ina vitabu vitatu. Kitabu cha kwanza, chenye sentensi 23, kinaanza na fasili sita. Tufe hufafanuliwa kama "kielelezo dhabiti kilichofungwa na uso mmoja, ili mistari yote iliyonyooka inayoanguka juu yake kutoka kwa sehemu moja iliyo ndani ya kielelezo iwe sawa kwa kila mmoja," i.e., sawa na jinsi duara inavyofafanuliwa katika Vipengee (Kitabu. I, ufafanuzi wa 15); Inafurahisha kutambua kwamba Euclid mwenyewe, katika Kitabu XI cha Vipengele, anafafanua nyanja kwa njia tofauti - kama mwili unaoundwa na mzunguko wa semicircle kuzunguka kipenyo cha kudumu (Kitabu XI, ufafanuzi wa 14). Ifuatayo ni ufafanuzi wa katikati ya nyanja, mhimili wake na miti. Nguzo ya duara inayochorwa kwenye tufe inafafanuliwa kama: hatua kwenye uso wa tufe hivi kwamba mistari yote inayochorwa kupitia hiyo kwa mduara wa duara ni sawa kwa kila mmoja. Mwishowe, ufafanuzi wa sita unahusu miduara kwenye eneo la usawa kutoka katikati yake: kulingana na Theodosius, hizi ni miduara ambayo pembejeo inayotolewa kutoka katikati ya nyanja hadi kwa ndege zao ni sawa kwa kila mmoja.

Mapendekezo ya Kitabu cha 1 ni ya msingi kabisa: yamethibitishwa; hasa, kwamba sehemu yoyote ya tufe na ndege ni duara, kwamba mstari wa moja kwa moja unaotolewa kutoka katikati ya nyanja hadi katikati ya sehemu ya mviringo ni sawa na ndege ya sehemu hii, ambayo tufe na ndege zina. hatua sawa ya kuwasiliana, nk.

Kitabu cha pili cha Theodosius's Spherics kinaanza na ufafanuzi wa miduara miwili kwenye tufe inayogusana, na ina sentensi 23 kuhusu mali ya miduara iliyoelekezwa kwa kila mmoja.

Kitabu cha tatu kina sentensi 14, ngumu zaidi kuliko zile zilizopita, na zinazohusiana na mifumo ya miduara inayolingana na inayoingiliana kwenye tufe. Hapa dhima ya huduma ya sferik kuhusiana na unajimu inafafanuliwa, ingawa nadharia zote zimeundwa na kuthibitishwa kijiometri tu.

"Sphere" ya Theodosius ilisomwa kwa uangalifu katika nyakati za zamani na Zama za Kati. Ilitolewa maoni na Pappus wa Alexandria (karne ya III) katika kitabu cha 6 cha Mkusanyiko wake wa Hisabati. Katika karne ya VI. John Philoponus, akikagua kazi za duara za Euclid, Autolicus na Theodosius, anabainisha kuwa mwisho unatoa uwasilishaji wa jumla wa mada hiyo, ukitoa kabisa kutoka kwa vitu halisi vya unajimu. Autolik, kwa maoni yake, anazingatia kesi maalum zaidi, kwani "hata kama mwandishi hana kitu maalum akilini, basi shukrani kwa mchanganyiko wa takwimu ya duara na harakati anakaribia ukweli." Suala maalum zaidi linatibiwa katika "Phenomena" ya Euclid, kwani vitu vilivyosomwa na unajimu - anga, jua, nyota, sayari - ni kweli kabisa.

Theodosius alitafsiri Sferika kwa Kiarabu kwa mara ya kwanza katika karne ya 9. Kusta ibn Luqa al-Baalbaki; tafsiri yake, iliyoletwa kwenye sentensi ya 5 ya Kitabu cha II, ilikamilishwa na Thabit ibn Korrah al-Harrani.

Kuna maoni mengi juu ya hili, na vile vile juu ya kazi zingine za Theodosius, zilizokusanywa na wanasayansi wa Mashariki wa karne ya 13-15. , ambao miongoni mwao tunaweza kuwataja wanahisabati na wanajimu wakuu kama vile Nasir ad-Din al-Tusi (1201 - 1274), Yahya bin Muhammad bin Abi Shukr Muhi ad-Din al-Maghribi (d. ca. 1285), Muhammad ibn Ma' ruf ibn Ahmad Taqi ad-Din (1525/1526-1585) na wengineo.

Mpangilio wa "Spherics" wa Theodosius, mali ya mwakilishi wa shule maarufu ya kisayansi ya Maragha ya karne ya 13. Mukhi al-Din al-Maghribi, ilifanyiwa utafiti na kutafsiriwa kwa kiasi katika Kifaransa na B. Kappa de Vaux. Katika risala hii, mazingatio yanatolewa kwenye istilahi za unajimu ambazo hutumika katika uwasilishaji na uthibitisho wa nadharia za Theodosius. Kwa hivyo, hapa uhusiano kati ya spherics na astronomy ni wazi zaidi kuliko katika asili ya Kigiriki, ambayo inaelezea umuhimu wake kwa sayansi ya Mashariki.

Huko Ulaya, kitabu cha Theodosius Spherica kilijulikana katika karne ya 12, wakati tafsiri mbili za Kilatini za tafsiri hiyo kutoka katika tafsiri yake ya Kiarabu zilipotokea. Zilifanywa na watafsiri mashuhuri wanaofanya kazi nchini Uhispania, Gherardo wa Cremona na Plato wa Tivoli. Tafsiri ya mwisho ilichapishwa mnamo 1518 huko Venice, na baadaye kuchapishwa tena mnamo 1529 kama ilivyohaririwa na I. Voegelin (aliyekufa 1549), na mnamo 1558 katika kitabu kilichotajwa hapo awali na F. Mavroliko.

Maandishi ya Kigiriki ya Spherics yalichapishwa kwa mara ya kwanza mwaka wa 1558 na J. Pena, pamoja na tafsiri ya Kilatini. Chapisho hili lilifanya iwezekane kufafanua tofauti kati ya toleo la Kiarabu la kazi ya Theodosius na asilia na kubaini ni nyongeza na mabadiliko gani katika uthibitisho wa nadharia zilizofanywa na wanasayansi wa Mashariki. Hata hivyo, hati ya Kigiriki ambayo Pena alitumia ilikuwa na mapungufu mengi. Kwa hiyo, mwaka wa 1707 huko Oxford, I. Hunt alichukua toleo jipya na lililoboreshwa, akifanya masahihisho fulani kwenye maandishi mengine. Baadaye, maandishi ya Kigiriki ya kazi hiyo (pia yenye tafsiri ya Kilatini) yalichapishwa tena mara mbili zaidi: mwaka wa 1862 na E. Nice na mwaka wa 1927 na I. Heiberg.

Kuanzia nusu ya 2 ya karne ya 16, matoleo yaliyofupishwa na yaliyorekebishwa ya Spherics yalianza kuonekana katika Kilatini, ambapo nadharia zilifafanuliwa kwa kutumia dhana mpya za hisabati na kutumia trigonometry ya spherical. Mnamo 1586, toleo la X. Clavius ​​​​lilichapishwa huko Roma, na katika karne ya 17. ilifuatwa na nyingine nyingi, kutia ndani matoleo ya M. Mersenne (1644) na I. Barrow (1675).

Mnamo 1826, "Sferika" ilichapishwa katika tafsiri ya Kijerumani na E. Nice. Toleo la pili la Kijerumani la kazi hiyo lilifanyika mwaka wa 1931 na A. Chvalina (pamoja na mikataba ya Autolik). Tafsiri ya kwanza ya Kifaransa ya "Sferika", iliyofanywa na D. Henrion, ilichapishwa mwaka wa 1615, iliyofuata, inayomilikiwa na J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - mwaka wa 1660; hatimaye, katika 1927, tafsiri ya kisasa ya P. Ver Eecke ilionekana.

Kazi za wanahistoria wengi wa hisabati (A. Knock, I. Heiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Björnbo, nk.) zilijitolea kwa utafiti wa maandishi na maudhui ya Spherics ya Theodosius. Hasa, scholia nyingi. kwa kazi hii, iliyokusanywa katika karne za III-VII. na kuhifadhiwa katika hati za Kigiriki za wakati wa baadaye, uhusiano kati ya Spherics ya Theodosius na Phenomena ya Euclid na kazi nyingine za waandishi wa kale ulizingatiwa. Matokeo ya tafiti hizi yalifanya iwezekane kufafanua maswali kadhaa kuhusu historia ya hisabati na unajimu, pamoja na wasifu wa Euclid, Autolicus, Theodosius na baadhi ya watoa maoni kuhusu kazi zao.

6. Karibu katika maudhui ya kazi za Kigiriki kwenye tufe ni kazi ndogo ya Hypsicles kutoka Alexandria (iliyoishi kati ya 200 na 100 KK), yenye kichwa "Kwenye Kupanda kwa Kundi la Nyota pamoja na Ecliptic" ("Anaphorik"). Hypsicles anajulikana zaidi kama mwandishi wa risala juu ya polihedra ya kawaida, iliyojumuishwa katika Elements ya Euclid kama kitabu cha XIV; kazi yake nyingine, juu ya nambari za polygonal, ambayo haijasalia, imenukuliwa katika Arithmetic ya Diophantus.

Risala ya “On the Rising of Conslations on the Ecliptic,” yenye sentensi sita, inasuluhisha tatizo la kubainisha wakati unaohitajika kwa ajili ya kupanda au kuweka kila ishara ya zodiac, ikichukua 1/12 ya ecliptic, au “shahada, ” yaani 1/30 sehemu ya ecliptic. Ilikuwa na jukumu muhimu katika mawazo ya unajimu na kwa hivyo ilikuwa maarufu sana nyakati za zamani na Enzi za Kati. Tatizo linaweza kutatuliwa kwa njia ya trigonometry ya spherical, lakini Hypsicles, ambao hawakuwa na njia hizo, walitatua takriban, kwa kutumia nadharia zinazojulikana kwake kuhusu nambari za polygonal. Katika kazi hii, kwa mara ya kwanza, mgawanyiko wa mzunguko wa mduara katika sehemu 360 hupatikana, ambayo haikupatikana kwa watangulizi wake na, hasa, katika Autolik.

Hati ya Hypsicles ilikuwa mojawapo ya "vitabu vya kati" na ilitafsiriwa kwa Kiarabu katika karne ya 9. Kuna miswada mingi ya tafsiri hii, lakini ilikaa bila kuchunguzwa kwa muda mrefu na haikuthibitishwa kwa usahihi iwapo ilifanywa na Kusta ibn Luqa, al-Kindi au Ishaq ibn Hunayn. Alitafsiri toleo la Kiarabu la kazi hiyo katika Kilatini katika karne ya 12. Gerardo wa Cremona.

Toleo muhimu la tafsiri ya asili ya Kigiriki na ya Kilatini ya Gherardo wa Cremona lilifanywa mwaka wa 1888 na C. Manicius. Toleo la pili, lililochapishwa mwaka wa 1966, linajumuisha maandishi ya Kigiriki, scholia na tafsiri ya V. De Falco, maandishi ya Kiarabu na tafsiri ya Kijerumani ya M. Krause, na makala ya utangulizi ya O. Neugebauer.

7. Kati ya kazi zote za zamani kwenye spherics, jukumu kubwa zaidi katika historia ya sayansi lilichezwa na "Spherics" na Menelaus, ambaye alifanya kazi huko Alexandria katika karne ya 1. n. e. na kujumlisha matokeo yote ambayo yalikuwa yamepatikana katika eneo hili kabla yake. Kazi yake sio tu ilifafanua jiometri kwenye tufe, lakini pia ilianzisha pembetatu ya duara kwa mara ya kwanza, ilithibitisha mara kwa mara nadharia ambazo zilitumika kama msingi wa trigonometria ya spherical, na kuunda msingi wa kinadharia wa hesabu za trigonometric.

Habari kuhusu maisha ya Menelaus ni adimu sana. Inajulikana kuwa mnamo 98 alifanya uchunguzi wa unajimu huko Roma. “Sferika,” kazi yake kuu, haijahifadhiwa katika Kigiriki cha awali na inajulikana tu kutokana na tafsiri za Kiarabu za enzi za kati.

Spherica ina vitabu vitatu na imeigwa baada ya Euclid's Elements. Awali ya yote, ufafanuzi wa dhana za msingi huletwa, ikiwa ni pamoja na dhana ya pembetatu ya spherical, ambayo haionekani katika kazi za awali za Kigiriki. Sehemu kubwa ya insha imejitolea kusoma mali ya takwimu hii.

Wakati wa kuthibitisha pendekezo kuhusu mali ya mistari na takwimu kwenye nyanja, yeye hutegemea ufafanuzi na nadharia kutoka kwa Spherics ya Theodosius. Katika kitabu cha 2, nadharia hizi, pamoja na mapendekezo yaliyotungwa katika mfumo wa unajimu katika Euclid's Phenomena and Hypsicles' Anaphorics, yamewekwa kwa utaratibu na kutolewa kwa uthibitisho mpya mkali.

Jukumu muhimu sana katika historia ya trigonometry lilichezwa na sentensi ya 1 ya Kitabu cha III, inayojulikana kama "nadharia za Menelaus" (nadharia za pande nne kamili", "sheria ya idadi sita", "nadharia". kwenye mapito"). Kulingana na A. Braunmühl, huo ulikuwa “msingi wa trigonometria zote za spherical za Wagiriki.”

Nadharia ya Menelaus ya kesi ya ndege imeundwa kama ifuatavyo: acha mistari inayoingiliana AB, AC, BE na CD itolewe, na kutengeneza takwimu ACGB (Mchoro 1); basi mahusiano yafuatayo yanashikilia:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Kwa kisa cha duara, nadharia inajumuisha, kama ilivyokuwa desturi katika trigonometria ya Kigiriki, chords za arcs mbili. Ikiwa takwimu ya ACGB imetolewa (Mchoro 2), iliyoundwa na arcs ya miduara mikubwa kwenye uso wa nyanja, basi mahusiano yafuatayo yanashikilia:

chord(2CE) / chord(2AE) = chord(2CG) / chord(2DG) * chord(2DB) / chord(2AB)

chord(2AC) / chord(2AE) = chord(2CD) / chord(2DG) * chord(2GB) / chord(2BE)

Menelaus pia alithibitisha nadharia zingine kadhaa ambazo zilikuwa msingi kwa maendeleo ya trigonometria ya spherical. Hizi ni pamoja na ile inayoitwa "kanuni ya viwango vinne" (sentensi ya 2 ya Kitabu III); ikiwa pembetatu mbili za spherical ABC na DEG zinatolewa (Mchoro 3), ambao pembe A na D, C na G ni sawa (au kuongeza hadi 180 °), basi.

chord (2AB) / chord (2BC) = chord (2DE) / chord (2EG)

Sentensi ya tatu ya Kitabu cha Tatu cha “Spherics” ya Menelaus, ambayo baadaye ilijulikana kuwa “kanuni za tangent,” yasomeka; vipi ikiwa pembetatu mbili za duara zenye pembe ya kulia ABC na DEG (Mchoro 4) zimetolewa, ambamo

chord (2AB) / chord (2AC) = chord (2ED) / chord (2GD) * chord (2ВН) / chord (2ET)

FASIHI

1. Geiberg I.L. Sayansi asilia na hisabati katika nyakati za zamani. Tafsiri naye. S.P. Kondratiev, ed. yenye dibaji A.P. Yushkevich, M-L., ONTI, 1936.

2. Sarton G. Kuthamini sayansi ya kale na ya zama za kati wakati wa Renaissance, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studien über Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l'édition critique des traits de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex traditionale Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex jadi eiusdem. Maurolyci, Sphàericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Theodosii. De habitationbus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Messanae, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicalae synopsis, Parisiis, 1644.

9. Auto1yсi. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, willow cum scholiis antiquis o libris manuscriptis edidit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euclidis. Opera yote. Mh. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l"histoire sur l"astronomie ancienne, Paris, 1893.

12. Carra de Vaux B. Notisi sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8th sér., t. 17, 1894, 287-295..

13. Theodosius Tripolites. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N.F., Bd 19, No. 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco na M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, No. 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Vidokezo

Nakala ya chapisho hili adimu inapatikana kwenye Maktaba. KATIKA NA. Lenin.

Nakala inapatikana katika Maktaba ya Chuo cha Sayansi cha USSR.

SPHERICAL TRIGONOMETRI

trigonometry, taaluma ya hisabati ambayo inasoma uhusiano kati ya pembe na pande za pembetatu duara (tazama jiometri ya Spherical). Acha A, B, C ziwe pembe na a, b, c ziwe pande tofauti za pembetatu ya spherical ABC (angalia takwimu). Pembe na pande za pembetatu ya duara zinahusiana na kanuni zifuatazo za msingi:

cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2)

cos A - cos B cos C + dhambi B dhambi C cos a, (21)

dhambi a cos B cos b dhambi c - dhambi b cos c cos A, (3)

dhambi A cos b cos B dhambi C + dhambi B cos C cos a ;(31)

katika fomula hizi, pande a, b, c hupimwa na pembe za kati zinazofanana, urefu wa pande hizi ni sawa na aR, bR, cR, kwa mtiririko huo, ambapo R ni radius ya nyanja. Kwa kubadilisha muundo wa pembe (na pande) kulingana na sheria ya vibali vya mviringo: A - B - C - A (a - b - c - a), unaweza kuandika fomula zingine za S. t., sawa na zile zilizoonyeshwa. . Njia za nadharia ya ulinganifu huruhusu mtu kuamua vipengele vingine vitatu vya pembetatu ya spherical (kutatua pembetatu).

Kwa pembetatu za duara zenye pembe ya kulia (A 90|, a ni hypotenuse, b, c ni miguu), kanuni za pembetatu za duara hurahisishwa, kwa mfano:

dhambi b dhambi ni dhambi В,(1")

cos a cos b cos c, (2")

dhambi a cos B cos b dhambi c .(3")

Ili kupata fomula zinazounganisha vitu vya pembetatu ya duara yenye pembe ya kulia, unaweza kutumia sheria ifuatayo ya mnemonic (sheria ya Napeer): ikiwa unabadilisha miguu ya pembetatu ya pembe ya kulia na nyongeza zao na kupanga vitu vya pembetatu (bila kujumuisha). pembe ya kulia A) katika mduara kwa mpangilio ambao ziko katika pembetatu (hiyo ni, kama ifuatavyo: B, a, C, 90| - b, 90| - c), kisha kosine ya kila kipengele ni sawa na bidhaa ya sines ya vitu visivyo karibu, kwa mfano,

cos dhambi (90| - c) dhambi (90| - b)

au, baada ya kuongoka,

cos a cos b cos c (formula 2").

Wakati wa kutatua shida, fomula zifuatazo za Delambre ni rahisi, zinazounganisha vitu vyote sita vya pembetatu ya duara:

Wakati wa kutatua shida nyingi za unajimu wa spherical, kulingana na usahihi unaohitajika, mara nyingi inatosha kutumia fomula takriban: kwa pembetatu ndogo za duara (ambayo ni, wale ambao pande zao ni ndogo ikilinganishwa na radius ya nyanja), unaweza kutumia fomula. trigonometry ya ndege; kwa pembetatu nyembamba za duara (ambayo ni, zile ambazo upande mmoja, kwa mfano, ni ndogo ikilinganishwa na zingine), fomula zifuatazo hutumiwa:

au fomula sahihi zaidi:

S. t. ilitokea mapema zaidi kuliko trigonometry ya ndege. Sifa za pembetatu za duara zenye pembe ya kulia, zilizoonyeshwa na fomula (1") - (3"), na kesi mbali mbali za suluhisho lao zilijulikana kwa wanasayansi wa Uigiriki Menelaus (karne ya 1) na Ptolemy (karne ya 2). Wanasayansi wa Kigiriki walipunguza ufumbuzi wa oblique spherical triangles kwa ufumbuzi wa wale wa mstatili. Mwanasayansi wa Kiazabajani Nasireddin Tuey (karne ya 13) alichunguza kwa utaratibu kesi zote za kutatua pembetatu za oblique spherical, akionyesha kwa mara ya kwanza suluhisho katika kesi mbili ngumu zaidi. Kanuni za msingi za pembetatu za duara za oblique zilipatikana na mwanasayansi Mwarabu Abul-Vefa (karne ya 10) [formula (1)], mwanahisabati Mjerumani I. Regiomontan (katikati ya karne ya 15) [formula kama (2)], na Mfaransa. mwanahisabati F. Vieta (nusu ya 2 ya karne ya 16) [formula kama (21)] na L. Euler (Urusi, karne ya 18) [formula kama (3) na (31)]. Euler (1753 na 1779) alitoa mfumo mzima wa kanuni za nadharia ya nadharia. Miundo ya kibinafsi ya nadharia ya nadharia, inayofaa kwa mazoezi, ilianzishwa na mwanahisabati wa Uskoti J. Napier (mwishoni mwa 16 - mapema karne ya 17) na Kiingereza. mwanahisabati G. Briggs (mwishoni mwa 16 - mapema karne ya 17). Karne ya 17), mtaalam wa nyota wa Kirusi A.I. Leksel (nusu ya 2 ya karne ya 18), mtaalam wa nyota wa Ufaransa J. Delambre (mwishoni mwa 18 - mapema karne ya 19), nk.

Mwangaza. tazama chini ya Sanaa. Jiometri ya spherical.

Encyclopedia ya Soviet, TSB. 2012

Tazama pia tafsiri, visawe, maana za neno na nini SPHERICAL TRIGONOMETRY iko katika Kirusi katika kamusi, ensaiklopidia na vitabu vya marejeleo:

• SPHERICAL TRIGONOMETRI
  
• SPHERICAL TRIGONOMETRI
  uwanja wa hisabati ambao husoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu za duara (yaani, pembetatu kwenye uso wa tufe) iliyoundwa na ...
• UTATU katika Kamusi Kubwa ya Encyclopedic:
  (kutoka kwa trigonon ya Kigiriki - pembetatu na ... jiometri) tawi la hisabati ambalo hufanya kazi za trigonometric na matumizi yao ...
• UTATU
  (kutoka kwa trigonon ya Uigiriki - pembetatu - jiometri), tawi la hisabati ambalo kazi za trigonometric na matumizi yao kwa jiometri husomwa. ...
• UTATU katika Kamusi ya Encyclopedic ya Brockhaus na Euphron.
• UTATU katika Kamusi ya Kisasa ya Encyclopedic:
  
• UTATU
  (kutoka kwa trigonon ya Kigiriki - pembetatu na ... jiometri), tawi la hisabati ambalo kazi za trigonometric na maombi yao kwa jiometri hujifunza. Tenganisha...
• UTATU katika Kamusi ya Encyclopedic:
  na, pl. hapana, w. Tawi la hisabati ambalo husoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu. Trigonometric - inayohusiana na trigonometry.||Cf. ALGEBRA, ...
• UTATU katika Kamusi ya Encyclopedic:
  , -i, w. Tawi la hisabati ambalo husoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu. II adj. trigonometric, -aya, ...
• UTATU
  TRIGONOMETRY (kutoka kwa trigonon ya Kigiriki - pembetatu na ... jiometri), tawi la hisabati ambalo trigonometry inasoma. kazi na maombi yao kwa...
• SPHERIKALI katika Kamusi Kubwa ya Ensaiklopidia ya Kirusi:
  SPHERICAL TRIGONOMETRY, uwanja wa hisabati ambapo uhusiano kati ya pande na pembe za vitu vya spherical hujifunza. pembetatu (i.e. pembetatu kwenye uso wa tufe) huundwa ...
• SPHERIKALI katika Kamusi Kubwa ya Ensaiklopidia ya Kirusi:
  SPHERICAL GEOMETRY, fani ya hisabati ambamo jiolojia inasomwa. takwimu kwenye nyanja. Maendeleo ya S.g. zamani nyakati za zamani zilihusishwa na kazi ...
• SPHERIKALI katika Kamusi Kubwa ya Ensaiklopidia ya Kirusi:
  SHERICAL ASTRONOMY, tawi la astronomia linalokuza hisabati. njia za kutatua matatizo yanayohusiana na utafiti wa eneo linaloonekana na harakati za vitu vya nafasi. miili (nyota, jua, ...
• SPHERIKALI katika Kamusi Kubwa ya Ensaiklopidia ya Kirusi:
  UREFU WA SHERIA, upotoshaji wa picha katika macho. mifumo, kutokana na ukweli kwamba mionzi ya mwanga kutoka kwa chanzo cha uhakika iko kwenye macho ekseli...
• TRIGONOMETRI* katika Encyclopedia ya Brockhaus na Efron.
• UTATU katika Paradigm Kamili ya Lafudhi kulingana na Zaliznyak:
  trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia"trigonomia". .
• UTATU katika Kamusi Mpya ya Maneno ya Kigeni:
  (gr. trigonon triangle + ...metry) tawi la hisabati ambalo huchunguza utendaji wa trigonometriki na matumizi yake katika kutatua matatizo, k. ar. kijiometri; ...
• UTATU katika Kamusi ya Maneno ya Kigeni:
  [gr. trigonon triangle + ...metrics] tawi la hisabati ambalo hutafiti utendakazi wa trigonometric na matumizi yake katika utatuzi wa matatizo, Ch. ar. kijiometri; T. …
• UTATU katika Kamusi Mpya ya Maelezo ya Lugha ya Kirusi na Efremova:
  
• UTATU katika Kamusi Kamili ya Tahajia ya Lugha ya Kirusi:
  trigonometry,...
• UTATU katika Kamusi ya Tahajia:
  trigonometry, ...
• UTATU katika Kamusi ya Ozhegov ya Lugha ya Kirusi:
  tawi la hisabati linalosoma uhusiano kati ya pande na pembe...
• TRIGONOMETRY katika Kamusi ya Dahl:
  Kigiriki hisabati ya pembetatu; sayansi ya kuhesabu kitu kwa kuunda pembetatu. -uchunguzi wa utatu na utatuzi, uchunguzi wa ardhi…
• UTATU katika Kamusi ya Kisasa ya Maelezo, TSB:
  (kutoka kwa trigonon ya Kigiriki - pembetatu na ... jiometri), tawi la hisabati ambalo hufanya kazi za trigonometric na matumizi yao kwa ...
• UTATU katika Kamusi ya Ufafanuzi ya Ushakov ya Lugha ya Kirusi:
  trigonometry, pl. hapana, w. (kutoka kwa trigonos ya Kigiriki - pembetatu na mita - kipimo) (mat.). Idara ya Jiometri kuhusu uhusiano kati ya pande ...
• UTATU katika Kamusi ya Maelezo ya Ephraim:
  trigonometry g. Tawi la hisabati ambalo husoma kazi za trigonometric na matumizi yake katika kutatua...
• UTATU katika Kamusi Mpya ya Lugha ya Kirusi na Efremova:
  na. Tawi la hisabati ambalo husoma kazi za trigonometric na matumizi yake katika kutatua...
• UTATU katika Kamusi Kubwa ya Maelezo ya kisasa ya Lugha ya Kirusi:
  na. Tawi la hisabati ambalo husoma kazi za trigonometric na matumizi yake katika kutatua...
• SHERICAL GEOMETRI katika Encyclopedia ya Soviet, TSB:
  jiometri, taaluma ya hisabati ambayo husoma picha za kijiometri zilizo kwenye tufe, kama vile planimetry inavyochunguza picha za kijiometri zilizo kwenye ndege. Yoyote...
• BONSAI katika The Illustrated Encyclopedia of Flowers:
  Mitindo ya Bonsai Kwa asili, kuonekana kwa miti huundwa kulingana na mahali pa ukuaji wao na chini ya ushawishi wa mambo ya asili. Pipa...
• RISASI katika The Illustrated Encyclopedia of Weapons:
  SPHERICAL - tazama risasi ya mpira...
• PADDUGA katika Kamusi ya Maelezo ya Ujenzi na Usanifu:
  - uso wa spherical ulio juu ya cornice katika chumba. Padduga huunda mpito kutoka kwa ndege ya ukutani hadi kwenye uso...
• ANTHOVIES katika Encyclopedia Biolojia:
  , jenasi la samaki wa familia. anchovy neg. herring-kama Aina 8, zinazosambazwa katika maji ya bahari ya pwani ya maeneo ya kitropiki na ya joto ya hemispheres zote mbili. ...
• CHUMAKOV FEDOR IVANOVICH
  Chumakov (Fedor Ivanovich) - profesa wa hesabu iliyotumika katika Chuo Kikuu cha Moscow (1782 - 1837). Mtoto wa nahodha, alikubaliwa kati ya ...
• SAVICH ALEXEY NIKOLAEVICH katika Kitabu kifupi cha Biolojia:
  Savich (Alexei Nikolaevich, 1810 - 1883) - astronomer maarufu wa Kirusi, mwanachama wa Chuo cha Sayansi (tangu 1862); alihitimu mwaka 1829...
• KIJANI SEMYON ILYICH katika Kitabu kifupi cha Biolojia:
  Zelenoy (Semyon Ilyich) - admiral (1810 - 1892). Alilelewa katika kikosi cha majini. Alimaliza elimu yake ya unajimu huko Yuryev, chini ya uongozi wa ...
• TRIANGLE (IN GEOMETRI) katika Encyclopedia ya Soviet, TSB:
  rectilinear, sehemu ya ndege iliyopunguzwa na sehemu tatu za moja kwa moja (pande za ndege), kila moja ikiwa na mwisho mmoja wa kawaida katika jozi (vipeo vya ndege). T., ambaye ana...
• PEMBE YA MILIKI katika Encyclopedia ya Soviet, TSB:
  pembetatu, takwimu ya kijiometri inayoundwa na arcs ya miduara mitatu mikubwa inayounganisha kwa jozi pointi tatu kwenye tufe. Kuhusu mali ya S.t. na ...
• ENEO (HESABU) katika Encyclopedia ya Soviet, TSB:
  (hisabati), uso uliofungwa, pointi zote ambazo ni mbali kwa usawa kutoka kwa sehemu moja (katikati ya anga). Sehemu inayounganisha katikati ya S. na yoyote ya ...
• SUPER-SCHMIDT katika Encyclopedia ya Soviet, TSB:
  (Kijerumani: Super-Schmidt-Spiegel), mfumo wa darubini ya lenzi ya kioo ambamo mgawanyiko wa duara wa kioo cha duara cha concave hurekebishwa na mchanganyiko changamano wa bati la kusahihisha la Schmidt (ona ...

Trigonometry ya Spherical katika Kamusi ya Encyclopedic:
Trigonometry ya Spherical ni uwanja wa hisabati ambao husoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu za duara (yaani, pembetatu kwenye uso wa duara) iliyoundwa na makutano ya duru tatu kubwa. Trigonometry ya spherical inahusiana kwa karibu na astronomia ya spherical.

Ufafanuzi wa "Spherical Trigonometry" kulingana na TSB:
Trigonometry duara ni taaluma ya hisabati ambayo inasoma uhusiano kati ya pembe na pande za pembetatu duara (tazama jiometri ya Spherical). Hebu A, B, C iwe pembe na a, b, c pande tofauti za pembetatu ya spherical ABC (angalia takwimu). Pembe na pande za pembetatu ya duara zinahusiana na kanuni zifuatazo za msingi:

dhambi a dhambi A = dhambi b dhambi B = sinc dhambi C ,	(1)
cos a = cos b cos c + dhambi b dhambi c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + dhambi B dhambi C cos a,	(21)
dhambi a cos B = cos b dhambi c - dhambi b cos c cos A,	(3)
dhambi A cos b = cos B dhambi C + dhambi B cos C cos a;	(31)

katika fomula hizi, pande a, b, c hupimwa na pembe za kati zinazofanana, urefu wa pande hizi ni sawa na aR, bR, cR, kwa mtiririko huo, ambapo R ni radius ya nyanja. Kubadilisha muundo wa pembe (na pande) kulingana na sheria ya vibali vya mviringo:
A → B → C → A (a → b → c → a), unaweza kuandika fomula zingine za S. t. sawa na zile zilizoonyeshwa. Njia za nadharia ya ulinganifu huruhusu mtu kuamua vipengele vingine vitatu vya pembetatu ya spherical (kutatua pembetatu).
Kwa pembetatu za duara zenye pembe ya kulia (A = 90 °, a - hypotenuse, b, c - miguu), kanuni za pembetatu ya duara hurahisishwa, kwa mfano:

dhambi b = dhambi a dhambi B,	(1')
cos a = cos b cos c,	(2′)
dhambi a cos B = cos b dhambi c.	(3′)

Ili kupata fomula zinazounganisha vitu vya pembetatu ya duara yenye pembe ya kulia, unaweza kutumia sheria ifuatayo ya mnemonic (sheria ya Napeer): ikiwa unabadilisha miguu ya pembetatu ya pembe ya kulia na nyongeza zao na kupanga vitu vya pembetatu (bila kujumuisha). pembe ya kulia A) katika mduara kwa mpangilio ambao ziko kwenye pembetatu (hiyo ni, kama ifuatavyo: B, a, C, 90 ° - b, 90 ° - c), kisha cosine ya kila kipengele ni sawa na bidhaa ya sines ya vitu visivyo karibu, kwa mfano,
cos a = dhambi (90° - c) dhambi (90° - b)
au, baada ya kuongoka,
cos a = cos b cos c (fomula 2′).
Wakati wa kutatua shida, fomula zifuatazo za Delambre ni rahisi, zinazounganisha vitu vyote sita vya pembetatu ya duara:
dhambi 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = dhambi 1⁄2A dhambi 1⁄2(b+c)

dhambi 1⁄2a dhambi 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A dhambi 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Wakati wa kutatua shida nyingi za unajimu wa spherical, kulingana na usahihi unaohitajika, mara nyingi inatosha kutumia fomula takriban: kwa pembetatu ndogo za duara (ambayo ni, wale ambao pande zao ni ndogo ikilinganishwa na radius ya nyanja), unaweza kutumia fomula. trigonometry ya ndege; kwa pembetatu nyembamba za duara (ambayo ni, zile ambazo upande mmoja, kwa mfano, ni ndogo ikilinganishwa na zingine), fomula zifuatazo hutumiwa:

(1'")

a cos B ≈ c-b

+

aІ 2

dhambiB tg c

.

(3′″)

S. t. ilitokea mapema zaidi kuliko trigonometry ya ndege. Sifa za pembetatu za duara zenye pembe ya kulia, zilizoonyeshwa na fomula (1)-(3), na visa mbalimbali vya suluhisho lao vilijulikana kwa wanasayansi wa Uigiriki Menelaus (karne ya 1) na Ptolemy (karne ya 2). Wanasayansi wa Kigiriki walipunguza ufumbuzi wa oblique spherical triangles kwa ufumbuzi wa wale wa mstatili. Mwanasayansi wa Kiazabajani Nasireddin Tuey (karne ya 13) alichunguza kwa utaratibu kesi zote za kutatua pembetatu za oblique spherical, akionyesha kwa mara ya kwanza suluhisho katika kesi mbili ngumu zaidi. Kanuni za msingi za pembetatu za duara za oblique zilipatikana na mwanasayansi Mwarabu Abul-Vefa (karne ya 10) [formula (1)], mwanahisabati Mjerumani I. Regiomontan (katikati ya karne ya 15) [formula kama (2)], na Mfaransa. mwanahisabati F. Vieta (nusu ya 2 ya karne ya 16) [formula kama (21)] na L. Euler (Urusi, karne ya 18) [formula kama (3) na (31)]. Euler (1753 na 1779) alitoa mfumo mzima wa kanuni za nadharia ya nadharia. Miundo ya kibinafsi ya nadharia ya nadharia, inayofaa kwa mazoezi, ilianzishwa na mwanahisabati wa Uskoti J. Napier (mwishoni mwa 16 - mapema karne ya 17) na Kiingereza. mwanahisabati G. Briggs (mwishoni mwa 16 - mapema karne ya 17). Karne ya 17), mtaalam wa nyota wa Kirusi A.I. Leksel (nusu ya 2 ya karne ya 18), mtaalam wa nyota wa Ufaransa J. Delambre (mwishoni mwa 18 - mapema karne ya 19), nk.
Mwangaza. tazama chini ya Sanaa. Jiometri ya spherical.
Mchele. kwa Sanaa. Trigonometry ya spherical.