งานหลักสูตร: ฟังก์ชั่น Bessel ฟังก์ชัน Bessel ลดฟังก์ชัน Bessel เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน
ฟังก์ชัน Bessel ชนิดที่ 1
อธิบายการพึ่งพาในแนวรัศมีในปัญหาการแกว่ง คลื่น การนำความร้อน การแพร่ และทฤษฎีศักย์
ที่ ฟังก์ชัน Bessel เรียกว่า ฟังก์ชั่นทรงกระบอก . ในพิกัดทรงกระบอกคือการแปลงฟูริเยร์ n-ลำดับที่ในตัวแปรเชิงมุมสำหรับคลื่นฮาร์มอนิก
เซ็ตที่มี μ เหมือนกันจะสร้างพื้นฐานออร์โธนอร์มอลโดยมีสเปกตรัมต่อเนื่องในพารามิเตอร์
สำรวจโดย Daniel Bernoulli ในปี 1732
นำเสนอโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1764
ฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซลเป็นผู้รวบรวมตาราง เจ 0 , เจ 1 , เจ 2 เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในปี พ.ศ. 2367
ชื่อของฟังก์ชันนี้ตั้งขึ้นโดย Oskar Schlömilch ในปี พ.ศ. 2400
ดาเนียล เบอร์นูลลี (1700–1782) เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–1783)
ฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซล (1784–1846)
Bessel เป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Königsberg เขาศึกษาคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์อย่างอิสระ แต่ไม่ได้เรียนที่โรงยิมหรือมหาวิทยาลัย เขาสำรวจดาวหางของฮัลลีย์ ก่อตั้งหอดูดาวในเคอนิกสแบร์ก วัดระยะทางถึงดาวฤกษ์ด้วยพารัลแลกซ์ของพวกมัน และดำเนินการสำรวจภูมิสารสนเทศในดินแดนปรัสเซียตะวันออก. ปล่องบนดวงจันทร์ตั้งชื่อตามเขา.
สมการเบสเซลและลอมเมล
ฟังก์ชัน Bessel เป็นคำตอบเฉพาะ สมการเบสเซล
. (8.1)
เพื่อขยายขอบเขตของการบังคับใช้สมการ Bessel เราทำให้มันซับซ้อนขึ้นโดยการแทนที่อาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน และแนะนำพารามิเตอร์ใหม่ นี้จะช่วยให้ สมการลอมเมล
. (8.2)
การแทนค่าใน (8.2)
แปลง (8.2) เป็น (8.1) ด้วยอาร์กิวเมนต์ z. สำหรับ สมการ (8.2) จะกลายเป็น (8.1)
ในสมการ (8.1) และ (8.2) ปริมาณ μ มีดีกรีที่สอง ดังนั้นคำตอบทั่วไป (8.2) จึงประกอบด้วยพจน์อิสระที่แตกต่างกันในเครื่องหมายของ μ:
สมการนี้ได้มาจากยูจีน ลอมเมล (พ.ศ. 2380–2442) ในปี พ.ศ. 2411
การเป็นตัวแทนอินทิกรัลปัวซอง
การแก้สมการ (8.1) โดยใช้วิธีแยกตัวประกอบจะได้ค่าอินทิกรัลปัวซอง
, (8.5)
โดยที่ใช้สูตรของออยเลอร์
,
และคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ด้วย
เราแทนที่
, ,
. (8.6)
จาก (8.6) ที่เราได้รับ
, (8.7)
.
กำลังดำเนินการทำให้เป็นมาตรฐาน
ซิเมียน เดนิส ปัวซง (1781–1840)
ปัวซองเป็นนักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง นักฟิสิกส์ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยปารีส สำเร็จการศึกษาจาก Ecole Polytechnique ในปารีส นำแนวคิดเรื่องศักยภาพมาสู่ไฟฟ้าสถิตและได้รับ” สมการเชิงอนุพันธ์ปัวซอง" เชื่อมโยงศักยภาพของระบบประจุเข้ากับการกระจายตัวในอวกาศ สำหรับตัวแปรสุ่มก็พิสูจน์ได้” การกระจายปัวซอง" สร้างความเชื่อมโยงระหว่างการเสียรูปตามยาวและตามขวางของร่างกาย - “ อัตราส่วนของปัวซอง" คำนวณแล้ว " อินทิกรัลปัวซอง", พิสูจน์แล้ว" สูตรผลรวมปัวซง" ในด้านกลศาสตร์เขาได้แนะนำ “ วงเล็บปัวซอง» – ความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนสำหรับปริมาณ นโปเลียนยกเขาขึ้นเป็นบาโรนี หลุยส์ ฟิลิปป์ ตั้งให้เขาเป็นขุนนางของฝรั่งเศส คำคม – “ชีวิตอุดมไปด้วยสองสิ่ง: การทำคณิตศาสตร์และการสอน”.
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
ขีดจำกัด x ® 0
ผลงานหลักที่ (8.9) ที่ มาจาก
,
, (8.11)
ขีดจำกัด x ® ¥
เราใช้สมการลอมเมล (8.2) และวิธีแก้ปัญหา (8.3)
, |
ด้วยพารามิเตอร์ :
,
.
การแสดงฟังก์ชัน Bessel
.
เมื่อเราได้สมการแล้ว
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
.
ผลที่ตามมา
. (8.12)
เมื่อฟังก์ชันผ่านศูนย์เป็นระยะๆ แอมพลิจูดของการแกว่งจะลดลง .
การวิเคราะห์โดยละเอียดจะให้ค่า กและ ก
,
. (8.12ก)
ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel
,
ที่ไหน ม– หมายเลขซีเรียลเป็นศูนย์ สำหรับ เจ 0 และ เจ 1 การคำนวณตัวเลขให้
x 0,1 = 2,405; x 0,2 = 5,520;x 0,3 = 8,654; …
x 1,1 = 3,832; x 1,2 = 7,016; x 1,3 = 10,174 …
การทำให้เป็นมาตรฐาน
ดำเนินการแล้ว
, (8.14)
. (8.14ก)
การพิสูจน์:
ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำซึ่งจะได้รับต่อไป:
บูรณาการในช่วงเวลา
, ,
ใช้ที่ไหน
, (8.11)
. (8.12ก)
เพราะฉะนั้น,
ไม่ขึ้นอยู่กับม. เราถือว่าเราคำนึงถึงความสัมพันธ์ที่จะได้รับในภายหลัง:
และเราได้รับ
.
พื้นที่ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชัน Bessel ที่มีการเรียงลำดับตามอำเภอใจจะเท่ากับความสามัคคี.
กำลังสร้างฟังก์ชัน
สู่การเป็นตัวแทนอินทิกรัลของ Sommerfeld (8.16)
, |
,
ใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน (1.48)
. |
เราได้รับ การขยายตัวฟูริเยร์ในตัวแปรเชิงมุมสำหรับคลื่นระนาบที่เคลื่อนที่เป็นมุมφ ถึงแกน x :
(8.26)
ใน (8.26) เราแทนที่
,
ค้นหาฟังก์ชันการกำเนิด
. (8.27)
อนุกรมฟังก์ชันเบสเซล
(8.26)
แยกแยะส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
,
.
เราคำนึงถึง (8.22)
,
เราได้รับ
, (8.28)
. (8.29)
สำหรับจาก (8.28) ที่เราได้รับ
. (8.30)
(8.26)
แทนที่
, (8.31)
โดยคำนึงถึงที่ใด
,
.
ใน (8.31) เราเลือกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
, (8.32)
, (8.33)
โดยคำนึงถึงที่ใด
.
เมื่อตั้งแต่ (8.32) ถึง (8.33)
, (8.34)
. (8.35)
ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ
1. ฟังก์ชั่นการสร้าง (8.27)
สร้างความแตกต่างด้วย x
,
.
เราเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ
.
เรามาพูดถึงกรณีของคำสั่งโดยพลการกันดีกว่า
การทดแทน xบน บีเอ็กซ์ให้
. (8.36ก)
2. ฟังก์ชั่นการสร้าง (8.27)
สร้างความแตกต่างด้วย ที
,
.
เราเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ
.
สำหรับการสั่งซื้อใดๆ
. (8.37)
3. บวกและลบ (8.37) และ
, (8.38)
. (8.39)
4. คูณ (8.38) ด้วยแล้วพับด้านขวา
. (8.40)
5. สมมาตร (8.40)
.
โดยการเหนี่ยวนำ
. (8.41)
6. คูณ (8.39) ด้วยและพับด้านขวา
เราได้รับ
. (8.42)
7. สมมาตร (8.42)
.
โดยการเหนี่ยวนำ
. (8.43)
ความสัมพันธ์บางส่วน
(8.39)
. (8.44)
ตั้งแต่ (8.36)–(8.44):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. (8.46)
สภาพออร์โธนอร์มัลลิตี้
สร้างพื้นฐานต่อเนื่องกับสภาวะออร์โธนอร์มัลลิตี้
, . (8.48)
การพิสูจน์:
เราเขียนสมการลอมเมล
, (8.2)
, (8.3)
ที่ , และสำหรับฟังก์ชันและ
,
.
คูณความเท่าเทียมกันอันแรกด้วย xvครั้งที่สอง - ต่อไป ซูและลบผลลัพธ์
แปลงด้านซ้าย
เราบูรณาการโดย xจาก 0 ถึง ∞
. (8.47)
ด้านซ้ายที่ขีด จำกัด ล่างจะให้ศูนย์ ที่ขีดจำกัดบนเราใช้ (8.12a)
,
,
.
ผลที่ตามมา
.
เราคำนึงถึง
,
ในการค้นหา เราได้รวมเอาความเท่าเทียมกันเข้าด้วยกัน รจาก 0 เป็น ∞ เปลี่ยนลำดับการรวม และใช้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน
. (8.14)
เราได้รับ
, ,
และพิสูจน์แล้ว (6.48)
เมื่อมีส่วนสนับสนุนที่ไม่เป็นศูนย์
, . (8.48)
ให้เท่านั้น และ จากนั้น
, . (8.49)
การพิสูจน์:
เราคูณ (8.49) ด้วย , โดยที่ และอินทิเกรตส่วน เคจาก 0 ถึง ∞
.
เราเปลี่ยนลำดับการรวมและคำนึงถึง
,
.
อินทิกรัลชั้นในให้ (8.48)
,
และเราก็ได้ตัวตนมา
ชาร์ต
,
ฟังก์ชัน Bessel ทรงกลม
, (8.57)
ฟังก์ชันนี้อธิบายในพิกัดทรงกลมถึงการพึ่งพาในแนวรัศมีของคลื่นกับโมเมนตัมการโคจร ลและด้วยเลขคลื่น เค.
เซ็ตแอทเป็นพื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่มีสเปกตรัมต่อเนื่อง
สมการเชิงอนุพันธ์
สมการและตรงกันแล้ว
แบบฟอร์มฟังก์ชันที่ชัดเจน
มาใช้กันเถอะ (8.57)
หลังจากเปลี่ยนแล้ว
เป็นผลให้ฟังก์ชัน Bessel ทรงกลม
. (8.59)
ทรัพย์สินที่เท่าเทียมกัน
จาก (8.59) เราได้รับ
. (8.61)
ฟังก์ชั่นลำดับที่ต่ำกว่า
จาก (8.59) เราได้รับ
,
,
. (8.62)
ขีดจำกัด x ® ¥
เราใช้
(8.12ก)
. (8.63)
, (8.57)
เราได้รับ
,
. (8.64)
ขีดจำกัด x ® 0
, (8.11)
แทนใน (8.57)
ที่ . จาก (8.57)
ด่วน
,
,
เราได้รับสภาวะออร์โธนอร์มัลลิตี้
, . (8.66)
2. เมื่อการมีส่วนร่วมที่ไม่ใช่ศูนย์ของ (8.66) ให้เท่านั้น โดยใช้ เราจะพบ
, . (8.67)
การพิสูจน์:
เราคูณทั้งสองข้างของ (8.67) ด้วย , โดยที่ และอินทิเกรตในช่วงเวลา ทางด้านซ้ายเราเปลี่ยนลำดับการรวมและการใช้งาน (8.66)
ด้านขวาให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน
,
โดยคำนึงถึงที่ใด
.
, , (8.67)
(8.62)
. (8.68)
ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ
1. ตัวสำรอง (8.57)
ที่ . เราได้รับ
จาก (8.70) เราแสดง
,
แทนค่าเท่าสุดท้ายแล้วเราได้
. (8.71)
3. ความสัมพันธ์ได้รับการเติมเต็ม
, (8.72)
, (8.74)
. (8.75)
ฟังก์ชั่นโปร่งสบายแบบแรก
อธิบาย:
– การเลี้ยวเบนของคลื่น
– สถานะของอนุภาคควอนตัมในสนามสม่ำเสมอ
– สถานะของอนุภาคในหลุมศักย์สามเหลี่ยม
– สถานะของอนุภาคใกล้จุดเปลี่ยนของการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก
ฟังก์ชั่นนี้ได้รับการแนะนำโดย Airy นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษในปี 1838 ขณะศึกษาการเลี้ยวเบนของแสง
เซอร์จอร์จ บิดเดล แอรี (1801–1892)
ผู้อำนวยการหอดูดาวกรีนิช ประธานราชสมาคมแห่งลอนดอน พัฒนาทฤษฎีการเลี้ยวเบนของแสงบนเลนส์กล้องโทรทรรศน์ จุดสว่างตรงกลางที่ศูนย์กลางของรูปแบบการเลี้ยวเบนบนรูกลมเรียกว่า " ดิสก์โปร่งสบาย».
สมการโปร่งสบาย
ฟังก์ชัน Airy เป็นโซลูชันเฉพาะ (8.76)
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเบสเซล
เปรียบเทียบ (8.76) กับสมการของลอมเมล
, |
การตัดสินใจร่วมกัน
, |
อาร์กิวเมนต์จินตภาพทำให้การวิเคราะห์ซับซ้อนขึ้น เรากำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาอื่น
ในพื้นที่ของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นลบ สมการ (8.76) จะอยู่ในรูปแบบ
ตรงกับสมการลอมเมลกับพารามิเตอร์
เราได้รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ฟังก์ชั่นโปร่งสบายแบบแรก
เป็นคำตอบเฉพาะ (8.79) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์
เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน
สำหรับข้อโต้แย้งเล็กๆ น้อยๆ เราคำนึงถึง (8.11)
, |
จาก (8.80) เราพบ
เทอมแรกให้ศูนย์ การทำให้เป็นมาตรฐาน
. (8.81)
การทำให้เป็นมาตรฐานแบบสมบูรณ์
(8.82)
ตามมาจาก (8.84) ดำเนินการแล้ว
,
. (8.82ก)
การพิสูจน์(8.82a):
เมื่อเราใช้ (8.80) และแทนที่
,
. (8.14).
การเป็นตัวแทนแบบครบวงจร
ขอให้เราได้รับฟังก์ชัน Airy ของอาร์กิวเมนต์เชิงบวกโดยการแก้สมการ Airy โดยใช้วิธีแปลงฟูริเยร์
เราใช้
, (1.35)
. (1.37) . ระบุด้วยการฉายภาพโมเมนตัมการโคจร 2 เราส่งผ่านไปยังพิกัดเชิงขั้วและกำหนด
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสอง ของรูปแบบ \[(x^2)y"" + xy" = \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] เรียกว่า สมการเบสเซล . เรียกหมายเลข \(v\) ลำดับของสมการเบสเซล .
สมการเชิงอนุพันธ์นี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซล ซึ่งศึกษารายละเอียดและแสดงให้เห็น (ใน \(1824\)) ว่าการแก้สมการนั้นแสดงออกมาผ่านคลาสฟังก์ชันพิเศษที่เรียกว่า ฟังก์ชันทรงกระบอก หรือ ฟังก์ชันเบสเซล .
การแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับหมายเลข \(v.\) ต่อไป เราจะพิจารณาสองกรณีแยกกัน:
ลำดับ \(v\) ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ลำดับของ \(v\) เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ 1 ลำดับ \(v\) ไม่ใช่จำนวนเต็ม
สมมติว่าจำนวน \(v\) ไม่ใช่จำนวนเต็มและเป็นค่าบวก วิธีแก้ทั่วไปของสมการเบสเซลสามารถเขียนได้ในรูปแบบ \ โดยที่ \((C_1),\) \((C_2)\) เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ และ \((J_v)\ left(x \right),\) \((J_( - v))\left(x \right)\) - ฟังก์ชัน Bessel ชนิดที่ 1 .
ฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรกสามารถแสดงเป็นอนุกรมได้ ซึ่งเงื่อนไขดังกล่าวแสดงผ่านสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชันแกมมา : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))) .\] ฟังก์ชันแกมมาเป็นส่วนขยาย ฟังก์ชันแฟคทอเรียล จากเซตของจำนวนเต็มไปจนถึงเซตของจำนวนจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\แกมมา \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ right)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] ฟังก์ชัน Bessel ของลำดับเชิงลบประเภทแรก (โดยมีดัชนี \(-v\)) เขียนในลักษณะเดียวกัน ในที่นี้ เราถือว่า \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ left (( - 1) \right))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ ซ้าย ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] ฟังก์ชัน Bessel ถูกคำนวณในแพ็คเกจทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ตัวอย่างเช่น รูปแบบของฟังก์ชัน Bessel ของลำดับประเภทแรกจาก \(v = 0\) ถึง \(v = 4\) จะแสดงในรูป \(1.\) ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถคำนวณได้ใน MS Excel เช่นกัน
กรณีที่ 2 ลำดับ \(v\) เป็นจำนวนเต็ม
ถ้าลำดับ \(v\) ของสมการเชิงอนุพันธ์ Bessel เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นฟังก์ชัน Bessel ของชนิดแรก \((J_v)\left(x \right)\) และ \((J_( - v))\left (x \right)\ ) จะต้องพึ่งพาซึ่งกันและกัน ในกรณีนี้ วิธีแก้ทั่วไปของสมการจะอธิบายได้ด้วยสูตรอื่น: \ โดยที่ \((Y_v)\left(x \right)\) − ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง . บางครั้งเรียกฟังก์ชันตระกูลนี้ด้วย ฟังก์ชันของนอยมันน์ หรือ ฟังก์ชั่นของเวเบอร์ .
ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง \((Y_v)\left(x \right)\) สามารถแสดงผ่านฟังก์ชัน Bessel ของชนิดแรก \((J_v)\left(x \right)\) และ \((J_( - v))\left (x \ right):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ right)))((\sin \pi v)).\] กราฟของฟังก์ชัน \((Y_v)\left(x \right)\) สำหรับสองสามคำสั่งแรก \(v\) จะแสดงไว้ด้านบนใน รูป \(2.\ )
บันทึก: ที่จริงแล้ว ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ Bessel สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่หนึ่งและที่สองสำหรับกรณีลำดับที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม \(v.\)
สมการเชิงอนุพันธ์บางสมการสามารถลดเป็นสมการเบสเซลได้
1. อีกสมการที่รู้จักกันดีของคลาสนี้คือ สมการเบสเซลที่ถูกแก้ไข ซึ่งได้มาจากสมการ Bessel ปกติโดยการแทนที่ \(x\) ด้วย \(-ix.\) สมการนี้มีรูปแบบ: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] การแก้สมการนี้แสดงผ่านสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชัน Bessel ที่แก้ไขแล้วของชนิดที่หนึ่งและที่สอง : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] โดยที่ \((I_v)\left(x \right)\) และ \((K_v )\left(x \right)\) แสดงถึงฟังก์ชัน Bessel ที่แก้ไขแล้วของชนิดแรกและชนิดที่สอง ตามลำดับ2.
สมการเชิงอนุพันธ์โปร่งสบาย
ซึ่งเป็นที่รู้จักในด้านดาราศาสตร์และฟิสิกส์ เขียนไว้ในรูปแบบ: \ นอกจากนี้ยังสามารถลดเหลือสมการ Bessel ได้อีกด้วย การแก้สมการ Airy แสดงผ่านฟังก์ชัน Bessel ของลำดับเศษส่วน \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\ขนาดใหญ่\frac(1)(3)\ขนาดปกติ))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\ขนาดปกติ) )) \right) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\ขนาดปกติ)))\right).)\]
3.
สมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] แตกต่างออกไป จากสมการเบสเซลเพียงตัวประกอบ \((a^2)\) ก่อน \((x^2)\) และมีคำตอบทั่วไปในรูปแบบต่อไปนี้: \
4.
สมการเชิงอนุพันธ์ที่คล้ายกัน \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] ก็ลดเหลือสมการ Bessel เช่นกัน \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] โดยใช้การทดแทน \ ที่นี่พารามิเตอร์ \((n^2)\ ) หมายถึง \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] ด้วยเหตุนี้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ สมการเชิงอนุพันธ์นี้ถูกกำหนดโดยสูตร \.\]
ฟังก์ชันพิเศษ Bessel ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในการศึกษา
การแพร่กระจายคลื่น
การนำความร้อน
การสั่นสะเทือนของเมมเบรน
หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา
สาขาสเตอริทามัก
สถาบันการศึกษาของรัฐ
การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง
"มหาวิทยาลัยรัฐบาชเคียร์"
คณะเศรษฐศาสตร์
ภาควิชาคณิตศาสตร์และสารสนเทศ
งานหลักสูตร
ในหัวข้อ:
ฟังก์ชันเบสเซล
จบโดยนักศึกษาชั้นปีที่ 2
กลุ่ม PMII-08
อเล็กซานโดรวา เอ.ยู._______
"____"___________2010
ผู้อำนวยการด้านวิทยาศาสตร์
ปริญญาเอก ศิลปะ ฯลฯ
ซิโดเรนโก O.G._______
"____"___________2010
สเตอร์ลิตามัก 2010
การแนะนำ
1 ฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก
2 ฟังก์ชั่น Bessel พร้อมไอคอนที่กำหนดเอง
3 การนำเสนอทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง
ซีรีส์ 4 การขยายฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองด้วยเครื่องหมายจำนวนเต็ม
5 ฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สาม
6 ฟังก์ชันเบสเซลของการโต้แย้งในจินตนาการ
7 ฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีดัชนีเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มคี่
8 การแสดงเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่
ฟังก์ชันทรงกระบอก 9 ศูนย์
บทสรุป
บรรณานุกรม
การแนะนำ
ฟังก์ชันทรงกระบอกคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง
ตัวแปรที่ซับซ้อนอยู่ที่ไหน
คำว่า "ฟังก์ชันทรงกระบอก" มีต้นกำเนิดมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการ (1) เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตของทฤษฎีที่เป็นไปได้สำหรับโดเมนทรงกระบอก
คลาสพิเศษของฟังก์ชันทรงกระบอกเป็นที่รู้จักในวรรณคดีว่า ฟังก์ชันเบสเซล และบางครั้งชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับคลาสทั้งหมดของฟังก์ชันทรงกระบอก
ทฤษฎีฟังก์ชันที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความพร้อมใช้งานของตารางรายละเอียด และการใช้งานที่หลากหลาย มีเหตุผลเพียงพอที่จะจำแนกฟังก์ชันทรงกระบอกให้เป็นหนึ่งในฟังก์ชันพิเศษที่สำคัญที่สุด
สมการ Bessel เกิดขึ้นเมื่อหาคำตอบของสมการลาปลาซและสมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม ดังนั้น ฟังก์ชัน Bessel จึงถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ มากมายเกี่ยวกับการแพร่กระจายของคลื่น ศักย์ไฟฟ้าคงที่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น
1) คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในท่อนำคลื่นทรงกระบอก
2) การนำความร้อนในวัตถุทรงกระบอก
3) โหมดการสั่นสะเทือนของเมมเบรนกลมบาง
4) ความเร็วของอนุภาคในกระบอกสูบที่เต็มไปด้วยของเหลวและหมุนรอบแกนของมัน
ฟังก์ชัน Bessel ยังใช้ในการแก้ไขปัญหาอื่นๆ เช่น ในการประมวลผลสัญญาณ
ฟังก์ชัน Cylindrical Bessel เป็นฟังก์ชันที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดในบรรดาฟังก์ชันพิเศษทั้งหมด มีการประยุกต์ใช้งานมากมายในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิทยาศาสตร์ทางเทคนิคทั้งหมด (โดยเฉพาะดาราศาสตร์ กลศาสตร์ และฟิสิกส์) ในปัญหาหลายประการในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ มีฟังก์ชันทรงกระบอกที่อาร์กิวเมนต์หรือดัชนี (บางครั้งทั้งสองอย่าง) ใช้ค่าที่ซับซ้อน เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเป็นตัวเลข จำเป็นต้องพัฒนาอัลกอริธึมที่ช่วยให้สามารถคำนวณฟังก์ชัน Bessel ได้อย่างแม่นยำสูง
วัตถุประสงค์ของงานหลักสูตร:ศึกษาฟังก์ชันเบสเซลและการประยุกต์สมบัติในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์
งาน:
1) ศึกษาสมการเบสเซลและสมการเบสเซลที่ถูกดัดแปลง
2) พิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน Bessel การแทนซีมโทติค
3) แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ฟังก์ชัน Bessel
1 ฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก
เพื่อพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชันทรงกระบอก ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเองให้ศึกษาคลาสพิเศษของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งสอดคล้องกับกรณีที่พารามิเตอร์ในสมการ (1) เท่ากับศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
การศึกษาในชั้นเรียนนี้เป็นการศึกษาขั้นพื้นฐานมากกว่าทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับค่านิยมที่กำหนดเอง และอาจใช้เป็นข้อมูลเบื้องต้นที่ดีสำหรับทฤษฎีทั่วไปนี้
ลองแสดงคำตอบหนึ่งของสมการดู
0, 1, 2, …, (1.1)
คือฟังก์ชัน Bessel ของลำดับประเภทแรก ซึ่งสำหรับค่าใดๆ จะถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของอนุกรม
(1.2)
เมื่อใช้การทดสอบของดาล็องแบร์ เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าอนุกรมที่พิจารณามาบรรจบกันบนระนาบทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน ดังนั้นจึงแสดงถึงฟังก์ชันทั้งหมดของ
หากเราแสดงด้านซ้ายของสมการ (1.1) ด้วยและแนะนำสัญลักษณ์ย่อสำหรับสัมประสิทธิ์ของอนุกรม (1.2) ให้วาง
แล้วผลจากการเปลี่ยนตัวเราจึงได้
จากนั้นนิพจน์ในวงเล็บปีกกาจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นไปตามสมการ (1.1) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันทรงกระบอก
ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดของคลาสที่กำลังพิจารณาคือฟังก์ชัน Bessel ลำดับศูนย์และหนึ่ง:
(1.3)
ให้เราแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน Bessel ของคำสั่งอื่นสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทั้งสองนี้ได้ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ สมมติว่า a เป็นจำนวนเต็มบวก ให้คูณอนุกรม (1.2) ด้วย และหาอนุพันธ์ด้วยความเคารพ เราจะได้มันแล้ว
(1.4)
ในทำนองเดียวกัน การคูณอนุกรมด้วยที่เราพบ
(1.5)
เมื่อสร้างความแตกต่างในความเท่าเทียมกัน (1.4 - 1.1) และหารด้วยปัจจัย เราจึงได้สูตร:
(1.6)
ซึ่งดังต่อไปนี้โดยตรง:
(1.7)
สูตรผลลัพธ์เรียกว่าความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสำหรับฟังก์ชัน Bessel
ความสัมพันธ์ประการแรกทำให้สามารถแสดงฟังก์ชันของลำดับที่ต้องการผ่านฟังก์ชันของลำดับศูนย์และหนึ่งได้ ซึ่งจะลดการทำงานของการรวบรวมตารางของฟังก์ชัน Bessel ลงอย่างมาก
ความสัมพันธ์ที่สองอนุญาตให้แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Bessel ผ่านฟังก์ชัน Bessel เพื่อให้ความสัมพันธ์นี้ถูกแทนที่ด้วยสูตร
(1.9)
โดยตรงจากคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้
ฟังก์ชันเบสเซลประเภทแรกสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายฟังก์ชัน ในซีรีส์ Laurent):
(1.10)
ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวนี้สามารถคำนวณได้โดยการคูณอนุกรมกำลัง:
และสมาคมสมาชิกที่มีระดับเดียวกัน เมื่อทำสิ่งนี้แล้ว เราจะได้รับ:
(1.11)
โดยเหตุใดจึงจะสามารถเขียนส่วนขยายที่อยู่ระหว่างการพิจารณาได้ในรูป
ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันการสร้างสำหรับฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็ม ความสัมพันธ์ที่พบ (1.12) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของฟังก์ชันเหล่านี้
เพื่อให้ได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (1.1) ซึ่งให้นิพจน์สำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกตามอำเภอใจพร้อมเครื่องหมายจำนวนเต็ม จำเป็นต้องสร้างคำตอบที่สองของสมการ โดยเป็นอิสระเชิงเส้นด้วย วิธีแก้ปัญหาดังกล่าว สามารถใช้ฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองได้ โดยขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ง่ายต่อการได้รับนิพจน์เชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของอนุกรม
ที่ไหน
( เป็นค่าคงที่ของออยเลอร์) และในกรณีของ ผลรวมตัวแรกควรกำหนดให้เท่ากับศูนย์
ฟังก์ชั่นนี้เป็นเรื่องปกติในเครื่องบินที่มีการตัด คุณลักษณะที่สำคัญของโซลูชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือ จะไปถึงค่าอนันต์เมื่อ การแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับ แสดงถึงผลรวมเชิงเส้นของสารละลายที่สร้างขึ้น
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ
2 ฟังก์ชั่น Bessel พร้อมไอคอนที่กำหนดเอง
ฟังก์ชันทรงกระบอกเบสเซล
ฟังก์ชัน Bessel ที่กล่าวถึงในย่อหน้าที่ 1 ถือเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีรูปแบบทั่วไปมากกว่า ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกที่มีเครื่องหมายที่กำหนดเอง หากต้องการกำหนดฟังก์ชันเหล่านี้ ให้พิจารณาอนุกรม
โดยที่ตัวแปรเชิงซ้อนของระนาบที่มีการตัด
– พารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนใดๆ ได้
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ และ และในภูมิภาค (เป็นตัวเลขคงที่ขนาดใหญ่โดยพลการ) การลู่เข้าจะสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับตัวแปรแต่ละตัว
แท้จริงแล้วเริ่มต้นจากขนาดใหญ่เพียงพอ อัตราส่วนของโมดูลของสมาชิกที่ตามมาของซีรีส์ต่อโมดูลก่อนหน้าจะเท่ากับค่า
จะไม่เกินเศษส่วนบวกที่เหมาะสมบางส่วนโดยไม่ขึ้นกับ และ จากที่นี่ ตามเกณฑ์การบรรจบกันที่รู้จักกันดี ตามมาว่าซีรีส์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในภูมิภาคที่ระบุ
เนื่องจากเงื่อนไขของอนุกรมเป็นฟังก์ชันปกติในระนาบที่มีการตัด ผลรวมของอนุกรมจะกำหนดฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเชิงซ้อนที่เป็นปกติในระนาบการตัดที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกที่มีดัชนี และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนั้น,
(2.1)
ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงว่าฟังก์ชันที่กำหนดในลักษณะนี้เป็นคำตอบเฉพาะของสมการ
(2.2)
อันที่จริงแสดงถึงด้านซ้ายของสมการและการตั้งค่านี้ เราพบเช่นเดียวกับในจุดที่ 1
ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมอยู่ที่ไหน (2.1)
เหตุใดจึงเป็นไปตามนั้น
เนื่องจากสำหรับค่าคงที่ ที่เป็นของระนาบที่มีการตัด เงื่อนไขของอนุกรม (2.1) แสดงถึงฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปร จากนั้นจากการบรรจบกันที่สม่ำเสมอด้วยความเคารพต่อตัวแปรนี้จะเป็นไปตามที่ฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกซึ่งถือว่าเป็น ฟังก์ชันของเครื่องหมาย คือฟังก์ชันทั้งหมด สำหรับจำนวนเต็มและอนุกรม (2.1) จะเข้าสู่อนุกรม (1.2) ดังนั้นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในส่วนนี้จึงเป็นลักษณะทั่วไปของฟังก์ชัน Bessel ที่มีจำนวนเต็มบวก ศึกษาในย่อหน้าที่ 2 สำหรับจำนวนเต็มลบที่เท่ากัน เทอมแรก ของอนุกรม (2.1) กลายเป็นศูนย์ และเขียนสูตรดังกล่าวได้เป็น
ตามมาที่ไหน
(2.3)
ดังนั้น ฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มลบจึงแตกต่างจากฟังก์ชันที่สอดคล้องกันซึ่งมีเครื่องหมายบวกด้วยตัวประกอบคงที่เท่านั้น
ผลความสัมพันธ์ร่วมกับสูตร (1.10 – 1.11) แสดงว่าสามารถเขียนส่วนขยาย (1.12) ได้ในรูป
(2.4)
ความเสมอภาคหลายค่าที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้สำหรับฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวกจะถูกถ่ายโอนไปยังฟังก์ชันที่มีดัชนีที่กำหนดเองโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น:
(2.5)
(2.6)
(2.7)
แสดงถึงลักษณะทั่วไปของสูตรที่สอดคล้องกันของย่อหน้า 2 การพิสูจน์สูตร (2.5 - 2.6) ทำซ้ำการให้เหตุผลของส่วนนี้และดังนั้นจึงไม่ได้ให้ไว้ สูตร (2.7) ได้มาจากการใช้ความเท่าเทียมกันซ้ำ ๆ (2.6)
3 การนำเสนอทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง
ตามคำนิยาม ฟังก์ชันทรงกระบอกเป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองตามอำเภอใจ
(3.1)
ดังนั้นการแสดงออกทั่วไปจึงมีอยู่ในแบบฟอร์ม
โดยที่ และ เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นใดๆ ของสมการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา และเป็นค่าคงที่ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วคือฟังก์ชันตามอำเภอใจของพารามิเตอร์ เป็นเรื่องง่ายที่จะได้นิพจน์ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับกรณีเมื่อแตกต่างจากจำนวนเต็ม แท้จริงแล้ว โดยการเลือก ฟังก์ชัน Bessel ที่กำหนดไว้ในย่อหน้าที่ 2 อยู่ที่ไหน เราสามารถใช้เป็นฟังก์ชัน ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ (3.1) ได้เช่นกัน เนื่องจากฟังก์ชันหลังไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแทนที่ด้วย
ถ้าไม่เท่ากับจำนวนเต็ม พฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของโซลูชันที่กำลังพิจารณาจะเป็นดังนี้
(3.3)
ดังนั้น คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากกัน และสามารถให้นิพจน์ที่ต้องการสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกได้ในรูปแบบ
(3.4)
ถ้า เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นโดยอาศัยความสัมพันธ์ (2.3) คำตอบบางส่วนที่สร้างขึ้นจะขึ้นอยู่กับแต่ละอื่นๆ เป็นเส้นตรง และนิพจน์ที่พบ (3.4) ไม่ใช่อินทิกรัลทั่วไปของสมการ Bessel (3.1) เพื่อให้ได้การเป็นตัวแทนของฟังก์ชันทรงกระบอกโดยพลการซึ่งเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์เราแนะนำให้พิจารณาฟังก์ชัน Bessel ของประเภทที่สองซึ่งสำหรับฟังก์ชันตามอำเภอใจที่อยู่ในระนาบที่มีการตัดเรากำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน
(3.5)
เมื่อตัวเลขเท่ากับจำนวนเต็ม ทางด้านขวามือของนิพจน์ที่กำลังพิจารณาจะอยู่ในรูปแบบไม่แน่นอน (2.3) และเราตกลงที่จะเข้าใจค่าของฟังก์ชันในกรณีนี้เป็นขีดจำกัด
(3.6)
เนื่องจากตามที่พิสูจน์แล้ว ตัวเศษและส่วนใน (3.5) เป็นฟังก์ชันทั้งหมด จึงมีขีดจำกัดที่เป็นปัญหาและสามารถคำนวณได้โดยใช้กฎของโลปิตัล ซึ่งการประยุกต์ใช้จะให้
(3.7)
จากคำจำกัดความของฟังก์ชัน ฟังก์ชันนี้จะเป็นไปตามปกติในระนาบที่มีการตัด และเมื่อแก้ไขแล้ว ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของพารามิเตอร์ ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่ามันเป็นไปตามสมการ (3.1) และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันทรงกระบอก สำหรับ แตกต่างจากจำนวนเต็ม ผลลัพธ์ที่ต้องการจะตามหลังสูตร (3.4) โดยตรง ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะดำเนินการพิสูจน์เฉพาะกรณีเท่านั้น
วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้หลักการวิเคราะห์ต่อเนื่อง เนื่องจากเป็นฟังก์ชันทั้งหมด จึงตามมาจากความเท่าเทียมกัน
คำตอบและมีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากกัน สำหรับผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของคำตอบ และ . ความเป็นอิสระเชิงเส้นสำหรับการติดตามจากการเปรียบเทียบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่พิจารณาสำหรับ [สูตร (3.3) และ (3.4)] ดังนั้นการแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกซึ่งเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของ จะเป็นดังนี้
ฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สองเป็นไปตามความสัมพันธ์การเกิดซ้ำเช่นเดียวกับฟังก์ชันประเภทแรก กล่าวคือ:
(3.9)
สำหรับ ซึ่งแตกต่างจากจำนวนเต็ม ความถูกต้องของสูตรเหล่านี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สอง และสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันประเภทแรก สำหรับจำนวนเต็ม ผลลัพธ์ที่ต้องการจะตามมาจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันภายใต้การพิจารณาเกี่ยวกับเครื่องหมาย ซึ่งช่วยให้เราสามารถดำเนินการผ่านไปยังขีดจำกัดในความสัมพันธ์ (3.9)
ให้เราสังเกตสูตรด้วย
(3.10)
ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจาก (3.7) และทำให้เราสามารถลดการคำนวณฟังก์ชันที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มลบเป็นการคำนวณฟังก์ชันที่มีดัชนีเป็นบวกได้
ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรในสมการ (3.1) ทำให้ง่ายต่อการได้รับสมการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ จำนวนหนึ่ง ซึ่งอินทิกรัลทั่วไปสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทรงกระบอกได้ สมการประเภทนี้ที่น่าสนใจที่สุดสำหรับการใช้งานคือสมการเชิงอนุพันธ์กรณีพิเศษต่างๆ
(3.11)
อินทิกรัลทั่วไปซึ่งจะเป็นดังนี้:
(3.12)
โดยที่หมายถึงฟังก์ชันทรงกระบอกโดยพลการ
ซีรีส์ 4 การขยายฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองด้วยเครื่องหมายจำนวนเต็ม
เพื่อให้ได้ฟังก์ชันการขยายแบบอนุกรม ก็เพียงพอที่จะใช้สูตร (3.7) และคำนวณอนุพันธ์เกี่ยวกับเครื่องหมายตามการขยาย (2.1) และเมื่อพิจารณาถึงความสัมพันธ์ (3.10) เราสามารถจำกัดตัวเองได้ เพื่อพิจารณากรณีจำนวนเต็มบวก
เนื่องจากอนุกรม (2.1) ตามที่พิสูจน์แล้ว มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอด้วยความเคารพต่อ เราจึงสามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอม จากนั้นจึงได้
โดยที่อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมาคือ
ในทำนองเดียวกันเรามี
ที่ และ ดังนั้น เงื่อนไขแรกของอนุกรมจึงมีรูปแบบไม่แน่นอน การใช้สูตรทฤษฎีฟังก์ชันแกมม่าที่รู้จักกันดี
;
เราได้รับเพื่อสิ่งนี้
โดยที่ไอคอนการรวมใหม่ถูกนำมาใช้
จากสูตร (3.7) เป็นไปตามว่าการขยายตัวที่ต้องการของฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สองที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวกมีรูปแบบ
โดยในกรณีนี้ต้องกำหนดผลรวมแรกให้เท่ากับศูนย์
ค่าของอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
(4.2)
ค่าคงที่ของออยเลอร์อยู่ที่ไหน
เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (1.2) เราสามารถนำเสนอส่วนขยาย (4.1) ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย กล่าวคือ:
(4.3)
จาก (4.1) จะได้ว่าสูตรซีมโทติคนั้นใช้ได้
(4.4)
แสดงว่าเมื่อไร
5 ฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สาม
ฟังก์ชันทรงกระบอกยังรวมถึงฟังก์ชัน Bessel ของประเภทที่สามหรือฟังก์ชัน Hankel และ ซึ่งสำหรับกฎเกณฑ์และเป็นของระนาบที่มีการตัดตามแนวกึ่งแกนจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร
ฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองอยู่ที่ไหน
ความได้เปรียบของการแนะนำฟังก์ชันเหล่านี้เกิดจากการที่ชุดค่าผสมเชิงเส้นที่พิจารณาแล้วและมีการขยายซีมโทติคที่ง่ายที่สุดสำหรับค่าขนาดใหญ่ (จุดที่ 8) และมักพบในแอปพลิเคชัน
จากคำจำกัดความของฟังก์ชัน Hankel จะได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันปกติในระนาบที่มีการตัดและฟังก์ชันทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นมีความเป็นอิสระเชิงเส้นจากกันและด้วยความเคารพ ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปของสมการ Bessel (3.1) จึงสามารถนำเสนอในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:
ค่าคงที่ตามอำเภอใจอยู่ที่ไหน
เนื่องจากเป็นการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชัน และ ฟังก์ชัน Hankel จึงตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำเช่นเดียวกับฟังก์ชันเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น
(5.3)
ถ้าเราแยกฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองออกจาก (5.1) โดยใช้ (3.5) เราจะได้
(5.4)
ซึ่งมีความสัมพันธ์อันสำคัญดังนี้
6 ฟังก์ชันเบสเซลของการโต้แย้งในจินตนาการ
ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน Bessel คือฟังก์ชันสองรายการที่มักพบในแอปพลิเคชัน และ ซึ่งสำหรับ ที่เป็นของระนาบที่มีการตัดตามแนวกึ่งแกนลบและตามอำเภอใจ สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตร:
(6.1)
(6.2)
และโดยทั่วไป
(6.3)
จากการทำซ้ำการใช้เหตุผลของจุดที่ 2 เราพบว่า และ เป็นฟังก์ชันปกติในระนาบที่มีการตัดและฟังก์ชันทั้งหมด
ฟังก์ชันที่เป็นปัญหาเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Bessel ของอาร์กิวเมนต์
จริงอยู่ สมมุติว่า . แล้ว และจาก (2.1) เป็นไปตามนั้น
(6.4)
สำหรับทุกอย่าง
ในทำนองเดียวกันจากสูตร (5.4) เราได้รับสิ่งเดียวกัน
(6.5)
สำหรับค่านิยม ฟังก์ชั่นและสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชัน Bessel ของการโต้แย้ง เรามี
(6.6)
สำหรับทุกอย่าง .
ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ที่ได้รับ ฟังก์ชัน และ เรียกว่าฟังก์ชัน Bessel ของอาร์กิวเมนต์จินตภาพ ฟังก์ชันนี้ยังเป็นที่รู้จักในวรรณคดีว่าฟังก์ชันแมคโดนัลด์
จากสูตรที่ได้รับ จะตามมาทันทีว่าฟังก์ชันที่พิจารณานั้นเป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์
(6.7)
ซึ่งแตกต่างจากสมการ Bessel เพียงสัญลักษณ์ของเทอมเดียวและเปลี่ยนเป็นสมการนั้นเมื่อมีการทดแทน
สมการ (6.7) มักพบในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ อินทิกรัลทั่วไปของสมการตามอำเภอใจนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ
ฟังก์ชั่นและตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำอย่างง่าย:
(6.9)
สูตรการเกิดซ้ำที่มีฟังก์ชันได้รับการพิสูจน์โดยการแทนที่อนุกรม (6.1) ลงไป สูตรที่เกี่ยวข้องสำหรับฟังก์ชันอื่นที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะถูกตรวจสอบโดยการแทนที่นิพจน์ (6.2) ลงไปและใช้สูตรของกลุ่มแรก ความถูกต้องของความสัมพันธ์ครั้งสุดท้ายสำหรับทั้งหมดตามมาจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันภายใต้การพิจารณาที่เกี่ยวข้องกับเครื่องหมาย
ให้เราระบุสูตรที่มีประโยชน์อีกสองสูตร:
(6.10)
อันแรกตามมาจาก (6.1) ถ้าเราคำนึงว่าเทอมแรกของการขยายหายไป ในขณะที่อันที่สองเป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความของฟังก์ชันแมคโดนัลด์ (6.2)
การขยายฟังก์ชันที่ สามารถรับได้จาก (6.3) โดยใช้วิธีในจุดที่ 5 เรานำเสนอผลลัพธ์สุดท้ายของการคำนวณ:
นี่คืออนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมาซึ่งสามารถหาค่าได้โดยใช้สูตร (4.2) ในกรณีนี้ ควรถือว่าผลรวมตัวแรกมีค่าเท่ากับศูนย์
จาก (6.11) จะได้ว่าพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน at ถูกกำหนดโดยสูตร
(6.12)
7 ฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีดัชนีเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มคี่
ฟังก์ชันทรงกระบอกระดับพิเศษถูกสร้างขึ้นโดยฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีดัชนีเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มคี่ ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ฟังก์ชันทรงกระบอกสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ เพื่อแสดงสิ่งนี้ ให้เราค้นหาค่าของฟังก์ชันก่อน ซึ่งเราใส่ไว้ใน (2.1) และใช้สูตรสำหรับการเพิ่มฟังก์ชันแกมม่าเป็นสองเท่าเพื่อแปลงอนุกรม
เราจะได้มันแล้ว
(7.1)
และในทำนองเดียวกัน
(7.2)
ความสามารถในการแสดงฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกด้วยสัญลักษณ์ครึ่งจำนวนเต็มใดๆ ในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ในตอนนี้ตามมาจากสูตรที่เกิดซ้ำ (2.5)
โดยใช้ซึ่งคุณจะได้รับอย่างต่อเนื่อง:
นิพจน์ทั่วไปในแง่ของฟังก์ชันพื้นฐานได้มาจากสูตร (2.7) ตัวอย่างเช่น หากเราใส่ตัวที่สองและใช้ผลลัพธ์ (7.1) เราจะพบว่า:
(7.3)
สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สองและสามสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ที่พบ หากเราใช้นิพจน์ของฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรก (3.5 และ 5.4) ตัวอย่างเช่น เรามี:
(7.4)
โดยสรุป ให้เราชี้ให้เห็นสูตร:
(7.5)
เกิดจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณา (6.1 – 6.2)
สูตรสำหรับค่าดัชนีครึ่งจำนวนเต็มอื่นๆ ได้มาจากสูตรเหล่านี้โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ (6.9) Liouville พิสูจน์ว่ากรณีของดัชนีครึ่งจำนวนเต็มเป็นเพียงกรณีเดียวเมื่อฟังก์ชันทรงกระบอกถูกลดขนาดให้เป็นค่าพื้นฐาน
8 การแสดงเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่
ฟังก์ชันทรงกระบอกมีการแสดงเส้นกำกับอย่างง่ายซึ่งสะดวกในการประมาณฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับค่าโมดูลัสขนาดใหญ่และค่าดัชนีคงที่ เงื่อนไขหลักของสูตรเหล่านี้สามารถหาได้จากสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้รับความพึงพอใจจากฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา
ในบรรดาฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชันประเภทที่สามจะมีการแสดงเส้นกำกับที่ง่ายที่สุด
เพื่อให้ได้การแสดงฟังก์ชันเชิงเส้นกำกับ เราใช้ความเท่าเทียมกัน
(8.1)
และแปลงมันโดยใช้การทดแทน แล้วเราก็ได้
(8.2)
การแทนที่ตัวคูณด้วยส่วนขยายทวินามด้วยเทอมที่เหลือ
และเราจะพบการอินทิเกรตคำต่อเทอม
(8.3)
ที่ไหน
เรามาแกล้งทำเป็นว่า ( เป็นจำนวนบวกจำนวนน้อยตามอำเภอใจ) และเราจะถือว่ามันถูกเลือกไว้ชั่วคราว การประมาณระยะโมดูโลของส่วนที่เหลือจะได้
คงที่
ดังนั้นสำหรับเรื่องใหญ่
(8.4)
ให้เราแสดงว่าเงื่อนไขที่บังคับใช้นั้นสามารถละทิ้งได้ จริงๆ แล้วถ้า. แล้วเราก็สามารถเลือกแบบนั้นได้ . แทนโดยใช้สูตร (8.4) โดยแทนที่ด้วย และสังเกตว่า
เราก็ได้ผลลัพธ์เดียวกันอีกครั้ง
ยังใช้อัตราส่วนได้ง่ายอีกด้วย ปลดปล่อยตัวเองจากข้อจำกัดที่กำหนดให้กับพารามิเตอร์
สุดท้ายนี้ หากเราใช้แทน (8.1) การแสดงอินทิกรัลของรูปแบบทั่วไปที่มากกว่าเล็กน้อย เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสูตรซีมโทติกที่พบยังคงใช้ได้ในภาคส่วนที่กว้างขึ้น .
สุดท้ายนี้สำหรับคนตัวใหญ่
(8.5)
การแทนเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันจะได้มาในลักษณะเดียวกันจากสูตร
(8.6)
และมีรูปแบบดังนี้
(8.7)
การแสดงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกของชนิดที่หนึ่งและที่สองตามมาจากสูตรที่ได้รับ (8.5) และ (8.7) และความสัมพันธ์ (5.1) เราพบ
(8.8)
(8.9)
สูตรเชิงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกที่แก้ไขสามารถรับได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของย่อหน้าที่ 6
สูตรสุดท้ายมีดังนี้:
(8.10)
เครื่องหมายสอดคล้อง
โดยมีเงื่อนไขว่า เทอมที่สองใน (8.10) จะมีขนาดเล็กและสามารถเขียนสูตรนี้ได้ในรูป
จาก (8.5) และ (8.7 - 8.12) อนุกรมลู่ออกที่ได้รับหากเราตั้งค่าอย่างเป็นทางการ จะมีเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันทางด้านซ้ายของค่าเท่ากันที่กำลังพิจารณา
วิธีการหาสูตรที่เป็นปัญหาจะให้เฉพาะลำดับความสำคัญของเทอมที่เหลือเท่านั้น แต่ไม่อนุญาตให้มีการสรุปที่แม่นยำกว่านี้ ภายใต้สมมติฐานพิเศษที่เกี่ยวข้องและเป็นไปได้ โดยการปรับเปลี่ยนเหตุผลเล็กน้อย เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่า ถ้า และ เป็นจำนวนบวกจริง และจำนวนนั้นมีขนาดใหญ่มากจนส่วนที่เหลือของการขยายเส้นกำกับสำหรับ และ จะมีตัวเลขน้อยกว่าพจน์แรกที่ถูกละทิ้ง ในการแทนเส้นกำกับสำหรับ ผลลัพธ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ
ฟังก์ชันทรงกระบอก 9 ศูนย์
เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้หลายอย่างจำเป็นต้องมีแนวคิดในการแจกแจงศูนย์ของฟังก์ชันทรงกระบอกบนระนาบของตัวแปรที่ซับซ้อนและสามารถคำนวณค่าโดยประมาณได้
การแจกแจงค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก เช่น ผลเฉลยของสมการ
ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 4ฟังก์ชันนี้ไม่มีศูนย์ที่ซับซ้อนและมีจำนวนศูนย์จริงจำนวนอนันต์ที่อยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรเทียบกับจุด ซึ่งในกรณีนี้เป็นของหมายเลขนั้น ค่าศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันเป็นแบบง่าย ยกเว้นจุด ซึ่ง at จะเป็นศูนย์ของการคูณตามลำดับ
การแจกแจงค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel ด้วยดัชนีจริงตามอำเภอใจ เช่น การแก้สมการ
– จริง (9.2)
ได้รับจากทฤษฎีบท 5 ทั่วไปมากกว่า
ทฤษฎีบท 5ฟังก์ชันคือจำนวนจริงใดๆ) มีจำนวนศูนย์บวกจริงจำนวนอนันต์และจำนวนศูนย์คอนจูเกตเชิงซ้อนจำนวนจำกัด โดยที่ ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์
(1) ถ้าหรือ
(2) ณ
หากในบรรดาศูนย์เชิงซ้อนนั้นมีคู่ของจินตภาพล้วนๆ
เลขศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นเรียบง่าย ยกเว้นบางทีอาจเป็นจุด
ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ มักพบสมการนี้
(โดยที่ และ ได้รับจำนวนจริง ) ซึ่งถือเป็นลักษณะทั่วไปของสมการ (9.2) ด้วยข้อจำกัดที่ระบุของพารามิเตอร์ สมการที่กำลังพิจารณาจะมีรากที่เป็นบวกเป็นจำนวนอนันต์และไม่มีรากที่ซับซ้อน ยกเว้นในกรณีที่สมการนี้มีรากจินตภาพล้วนๆ สองอัน
การแจกแจงค่าศูนย์ของฟังก์ชันสามารถหาได้จากทฤษฎีบทที่ 5 โดยใช้ความสัมพันธ์ของย่อหน้า 6 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสังเกตผลลัพธ์ที่สำคัญว่าสำหรับศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นเป็นจินตภาพล้วนๆ ฟังก์ชันแมคโดนัลด์สำหรับจำนวนจริงไม่มีศูนย์ในภูมิภาค ค่าศูนย์ของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่เหลือของระนาบการตัดนั้นเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนและมีจำนวนจำกัด
ในการคำนวณรากของสมการที่มีฟังก์ชันทรงกระบอกโดยประมาณ จะใช้วิธีการประมาณค่าต่อเนื่องกัน และในหลายกรณี รากของสมการที่ได้รับจากสมการดั้งเดิมเมื่อแทนที่ฟังก์ชันทรงกระบอกด้วยการแสดงเส้นกำกับของพวกมันนั้น สามารถใช้เป็นค่าประมาณเริ่มต้นที่ดีได้ .
10 ตัวอย่าง
แก้สมการเชิงอนุพันธ์:
ในสมการนี้เราจะทำการทดแทน
ที่ไหน
เพราะฉะนั้น,
แทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสมการดั้งเดิมเราจะได้:
คูณด้วย:
อนุญาต แล้วเราจะได้:
หารด้วย:
จากรูปแบบทั่วไปของสมการเบสเซล (1) จะได้ว่า
การแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกตามสูตร (1.14) แสดงถึงผลรวมเชิงเส้นของโซลูชันที่สร้างขึ้น:
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ดังนั้น การแก้สมการดั้งเดิมจึงมีรูปแบบดังนี้
บทสรุป
ในรายวิชานี้ ฟังก์ชัน Bessel (สมการ Bessel และสมการ Bessel ดัดแปลง) ได้รับการศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันข้างต้น และสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้ฟังก์ชัน Bessel
บรรณานุกรม
1. เลเบเดฟ เอ็น.เอ็น. ฟังก์ชั่นพิเศษและการประยุกต์ (ฉบับที่ 2) – ม.-ล.: GIFML, 1963. – 359 วินาที
2. Romanovsky P.I. อนุกรมฟูริเยร์ ทฤษฎีภาคสนาม ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์และพิเศษ การแปลงลาปลาซ หนังสือเรียนมหาวิทยาลัย – อ.: เนากา, 1983. – 336ส.
3. Bateman G. , Erdelyi A. ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติที่สูงขึ้น ต. 2. ฟังก์ชันเบสเซล ฟังก์ชันของทรงกระบอกพาราโบลา พหุนามตั้งฉาก – อ.: เนากา, 1966. – 296ส.
4. พิสคูนอฟ เอ็น.เอส. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย – อ.: เนากา, 1985. – 560
5. จี.เอ็น. วัตสัน บทความเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันเบสเซล 2488 (มีการแปล: Watson G.N. ทฤษฎีของฟังก์ชัน Bessel: การแปลจากฉบับภาษาอังกฤษครั้งที่ 2 / คำนำของผู้แต่ง V.S. Berman. - M.: IL, 1949 - 798 หน้า)
6. ซาบิตอฟ เค.วี. สมการฟังก์ชัน อนุพันธ์ และปริพันธ์ – ม.: มัธยมปลาย, 2548. – 671ส.
7. คุซเนตซอฟ ดี.เอส. ฟังก์ชั่นพิเศษ – ม.: มัธยมปลาย, 2505. – 249 วินาที
8. Morse F.M. , Feshbach G. วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ต.2. – อ.: อิลลินอยส์, 1960. – 897
9. โคเรเนฟ บี.จี. ทฤษฎีฟังก์ชันเบสเซลเบื้องต้น – อ.: เนากา, 1971. – 287 วินาที
10. คุซมิน อาร์.โอ. ฟังก์ชันเบสเซล – ล.-ม.: GTTI, 1933. – 152ส.
คำสั่งซื้อ
แม้ว่า และ สร้างสมการที่เหมือนกัน พวกเขามักจะยอมรับว่าฟังก์ชันที่แตกต่างกันสอดคล้องกับสมการเหล่านั้น (ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ฟังก์ชัน Bessel มีความราบรื่น ).
ฟังก์ชันเบสเซลถูกกำหนดครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ดาเนียล เบอร์นูลลี และตั้งชื่อตามฟรีดริช เบสเซล
การใช้งาน
สมการ Bessel เกิดขึ้นเมื่อหาคำตอบของสมการลาปลาซและสมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม ดังนั้น ฟังก์ชัน Bessel จึงถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ มากมายเกี่ยวกับการแพร่กระจายของคลื่น ศักย์ไฟฟ้าคงที่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น
- คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในท่อนำคลื่นทรงกระบอก
- การนำความร้อนในวัตถุทรงกระบอก
- โหมดการสั่นสะเทือนของเมมเบรนกลมบาง
- การกระจายความเข้มของแสงที่หักเหด้วยรูกลม
- ความเร็วของอนุภาคในกระบอกสูบที่เต็มไปด้วยของเหลวและหมุนรอบแกนของมัน
- ฟังก์ชันคลื่นในกล่องศักย์ไฟฟ้าแบบสมมาตรทรงกลม
ฟังก์ชัน Bessel ยังใช้ในการแก้ไขปัญหาอื่นๆ เช่น ในการประมวลผลสัญญาณ
คำจำกัดความ
เนื่องจากสมการข้างต้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง จึงต้องมีคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองตัว อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ มีการเลือกคำจำกัดความที่แตกต่างกันของการตัดสินใจเหล่านี้ ด้านล่างนี้คือบางส่วนของพวกเขา
ฟังก์ชัน Bessel ชนิดที่ 1
ฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรก แสดงไว้ เป็นคำตอบที่มีขอบเขตจำกัด ณ จุดนั้น สำหรับจำนวนเต็มหรือไม่เป็นลบ . การเลือกฟังก์ชันเฉพาะและการทำให้เป็นมาตรฐานจะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของฟังก์ชัน เราสามารถกำหนดฟังก์ชันเหล่านี้ได้โดยใช้การขยายอนุกรม Taylor รอบศูนย์ (หรืออนุกรมกำลังทั่วไปมากกว่าสำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ):
ฟังก์ชันของนอยมันน์เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สอง ผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองเป็นคำตอบที่สมบูรณ์ของสมการ Bessel:
ด้านล่างเป็นกราฟ สำหรับ , 1 และ 2:
คุณสมบัติ
มุมฉาก
อนุญาต และ - ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel . แล้ว :
0 & \mbox(;)\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac(1)(2)(J"_(\alpha)(\mu_1))^2 & \mbox(;)\quad \mu_1=\mu_2
\end(เมทริกซ์) \right. .
อะซิมโทติกส์
สูตรซีมโทติคเป็นที่รู้จักสำหรับฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่หนึ่งและที่สอง สำหรับข้อโต้แย้งเล็กๆ น้อยๆ และไม่เป็นลบ พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:
\end(เมทริกซ์) \right. ,
ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเบสเซล วิเคราะห์ได้ชัดเจนและสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม - การวิเคราะห์หลายค่า.
กำลังสร้างฟังก์ชัน
มีการแทนค่าฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรกและลำดับจำนวนเต็มผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม Laurent ของฟังก์ชันบางประเภท กล่าวคือ:
อัตราส่วน
สูตรจาโคบี-แองเจอร์และที่เกี่ยวข้อง
เราได้รับนิพจน์สำหรับปัจจัยการสร้างที่ , :
ที่ , :
ทฤษฎีบทการบวก
สำหรับทั้งหมดใด ๆ และซับซ้อน และ ดำเนินการ
นิพจน์อินทิกรัล
สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่ง และ (รวมถึงความซับซ้อน) ดำเนินการ
กรณีพิเศษของสูตรสุดท้ายคือนิพจน์
ดูสิ่งนี้ด้วย
เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "ฟังก์ชัน Bessel"
หมายเหตุ
วรรณกรรม
- วัตสัน จี.ทฤษฎีฟังก์ชันเบสเซล - อ.: อิลลินอยส์ 2492
- เบทแมน จี., เออร์เดลยี เอ.ฟังก์ชันเบสเซล ฟังก์ชันทรงกระบอกพาราโบลา พหุนามตั้งฉาก // ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติที่สูงกว่า ต. 2. ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 / แปล. จากอังกฤษ น. ยา วิเลนกินา. - อ.: Nauka, 2517. - 296 น.
- Lavrentiev M.A., Shabat B.V.วิธีทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน - อ.: Nauka, 2516. - 736 น.
ข้อความที่ตัดตอนมาจากฟังก์ชัน Bessel
“เวร่า” เคาน์เตสกล่าว พูดกับลูกสาวคนโตของเธอ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่มีใครรัก - ทำไมคุณไม่มีความคิดเกี่ยวกับอะไรเลย? คุณไม่รู้สึกว่าคุณไม่อยู่ที่นี่เหรอ? ไปหาพี่สาวหรือ...เวร่าคนสวยยิ้มอย่างดูถูก ดูแคลนไม่รู้สึกถูกดูถูกแม้แต่น้อย
“ถ้าแม่บอกฉันเมื่อนานมาแล้ว ฉันจะไปทันที” เธอพูดแล้วเดินเข้าไปในห้องของเธอ
แต่เมื่อเดินผ่านโซฟาไป เธอสังเกตเห็นว่ามีคู่รักสองคู่นั่งสมมาตรกันที่หน้าต่างสองบาน เธอหยุดและยิ้มอย่างดูถูก Sonya นั่งใกล้ Nikolai ซึ่งกำลังคัดลอกบทกวีที่เขาเขียนให้เธอเป็นครั้งแรก บอริสและนาตาชานั่งอยู่ที่หน้าต่างอีกบานและเงียบไปเมื่อเวร่าเข้ามา Sonya และ Natasha มอง Vera ด้วยใบหน้าที่รู้สึกผิดและมีความสุข
มันสนุกและซาบซึ้งที่ได้มองดูสาวๆ เหล่านี้ด้วยความรัก แต่การได้เห็นพวกเขาเห็นได้ชัดว่าไม่ได้กระตุ้นความรู้สึกที่น่าพอใจในเวรา
“ฉันถามคุณไปกี่ครั้งแล้ว” เธอพูด “ไม่ต้องเอาของของฉันไป คุณมีห้องของตัวเองแล้ว”
เธอรับบ่อหมึกจากนิโคไล
“เอาล่ะ เดี๋ยวนี้” เขาพูดพร้อมกับทำให้ปากกาเปียก
“คุณรู้วิธีทำทุกอย่างในเวลาที่ผิด” เวร่ากล่าว “แล้วพวกเขาก็วิ่งเข้าไปในห้องนั่งเล่น ทุกคนจึงรู้สึกละอายในตัวคุณ”
แม้ว่าความจริงนั้นหรือเพราะว่าสิ่งที่เธอพูดนั้นยุติธรรมอย่างยิ่ง แต่ก็ไม่มีใครตอบเธอ และทั้งสี่ก็มองหน้ากันเท่านั้น เธอยังคงอยู่ในห้องโดยมีบ่อหมึกอยู่ในมือ
- และความลับอะไรที่คุณอาจมีระหว่างนาตาชากับบอริสและระหว่างคุณ - ทั้งหมดนี้เป็นเพียงเรื่องไร้สาระ!
- แล้วคุณสนใจอะไรเวร่า? – นาตาชาพูดขอร้องด้วยเสียงแผ่วเบา
เห็นได้ชัดว่าเธอใจดีและแสดงความรักต่อทุกคนมากกว่าทุกครั้งในวันนั้น
“โง่มาก” เวร่าพูด “ฉันละอายใจในตัวคุณ” มีความลับอะไรบ้าง?...
- ทุกคนมีความลับของตัวเอง เราจะไม่แตะต้องคุณกับเบิร์ก” นาตาชาพูดอย่างตื่นเต้น
“ฉันคิดว่าคุณจะไม่แตะต้องฉัน” เวร่ากล่าว “เพราะว่าการกระทำของฉันไม่เคยมีอะไรเลวร้ายเลย” แต่ฉันจะบอกแม่ว่าคุณปฏิบัติต่อบอริสอย่างไร
“ Natalya Ilyinishna ปฏิบัติต่อฉันเป็นอย่างดี” บอริสกล่าว “ฉันไม่สามารถบ่นได้” เขากล่าว
- ปล่อยไว้บอริสคุณเป็นนักการทูต (คำว่านักการทูตถูกใช้อย่างมากในหมู่เด็ก ๆ ในความหมายพิเศษที่พวกเขาแนบมากับคำนี้) มันน่าเบื่อด้วยซ้ำ” นาตาชาพูดด้วยน้ำเสียงขุ่นเคืองและตัวสั่น - ทำไมเธอถึงรบกวนฉัน? คุณจะไม่มีวันเข้าใจสิ่งนี้” เธอพูดแล้วหันไปหาเวร่า “เพราะคุณไม่เคยรักใครเลย คุณไม่มีหัวใจคุณเป็นเพียงมาดามเดอเกนลิส [มาดามเกนลิส] (ชื่อเล่นนี้ถือว่าน่ารังเกียจมากมอบให้กับเวร่าโดยนิโคไล) และความสุขแรกของคุณคือการสร้างปัญหาให้ผู้อื่น “คุณจีบเบิร์กได้มากเท่าที่คุณต้องการ” เธอพูดอย่างรวดเร็ว
- ใช่แล้ว ฉันจะไม่ไล่ตามชายหนุ่มต่อหน้าแขกอย่างแน่นอน...
“ เธอบรรลุเป้าหมายแล้ว” นิโคไลเข้ามาแทรกแซง“ เธอพูดสิ่งที่ไม่พึงประสงค์กับทุกคนทำให้ทุกคนไม่พอใจ” ไปโรงบาลกันเถอะ
ทั้งสี่ลุกขึ้นเหมือนฝูงนกที่หวาดกลัวและออกจากห้องไป
“พวกเขาเล่าปัญหาบางอย่างให้ฉันฟัง แต่ฉันไม่ได้มีความหมายอะไรกับใครเลย” เวรากล่าว
- มาดามเดอเกนลิส! มาดามเดอเกนลิส! - เสียงหัวเราะดังมาจากด้านหลังประตู
เวราคนสวยซึ่งสร้างความรำคาญและไม่พึงประสงค์ต่อทุกคน ยิ้มและดูเหมือนจะไม่ได้รับผลกระทบจากสิ่งที่พูดกับเธอเดินไปที่กระจกแล้วยืดผ้าพันคอและทรงผมของเธอให้ตรง เมื่อมองดูใบหน้าที่สวยงามของเธอ เธอก็ดูเย็นชาและสงบมากขึ้นไปอีก
การสนทนาดำเนินต่อไปในห้องนั่งเล่น
- อา! chere” เคาน์เตสกล่าว“ และในชีวิตของฉัน tout n” est pas rose ฉันไม่เห็นเหรอว่า du train, que nous allons, [ไม่ใช่ทุกอย่างที่เป็นดอกกุหลาบ - ตามวิถีชีวิตของเรา] สภาพของเราจะไม่ ยืนยาวสำหรับเรา! และ "มันคือทั้งหมดที่สโมสรและความเมตตาของมัน เราอาศัยอยู่ในหมู่บ้าน เราผ่อนคลายจริง ๆ หรือไม่ โรงละคร การล่าสัตว์ และพระเจ้ารู้อะไร แต่ฉันจะพูดอะไรเกี่ยวกับตัวฉันได้บ้าง! แล้วคุณจัดการทั้งหมดอย่างไร ฉันมักจะประหลาดใจในตัวคุณ Annette เป็นไปได้อย่างไรที่คุณในวัยเดียวกับคุณนั่งรถม้าคนเดียวไปมอสโคว์ไปเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กกับรัฐมนตรีทุกคนถึงขุนนางทุกคนคุณรู้วิธีที่จะได้รับ ฉันก็แปลกใจเหมือนกันทุกคน เป็นยังไงบ้าง ฉันไม่รู้ว่าต้องทำอย่างไร
- โอ้วิญญาณของฉัน! - ตอบ Princess Anna Mikhailovna “ขอพระเจ้าห้ามไม่ให้คุณรู้ว่ามันยากแค่ไหนที่จะเป็นม่ายโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือและอยู่กับลูกชายที่คุณรักจนถึงจุดที่น่านับถือ” “คุณจะได้เรียนรู้ทุกสิ่ง” เธอพูดต่ออย่างภาคภูมิใจ – กระบวนการของฉันสอนฉัน หากฉันต้องการเห็นหนึ่งในเอซเหล่านี้ ฉันจะเขียนบันทึก: “เจ้าหญิงอูนเทลเล [เจ้าหญิงพอแล้วพอควร] อยากเห็นแบบนั้นบ้าง” และฉันก็ขับรถแท็กซี่ไปอย่างน้อยสองคน อย่างน้อยที่สุด สามครั้ง อย่างน้อยสี่ครั้ง จนกว่าฉันจะบรรลุสิ่งที่ต้องการ ฉันไม่สนใจว่าใครจะคิดอย่างไรกับฉัน
- แล้วคุณถามใครเกี่ยวกับ Borenka? - ถามคุณหญิง - ท้ายที่สุดแล้วคุณเป็นเจ้าหน้าที่รักษาความปลอดภัยอยู่แล้วและ Nikolushka เป็นนักเรียนนายร้อย ไม่มีใครต้องรำคาญ คุณถามใคร?
- เจ้าชายวาซิลี เขาเป็นคนดีมาก ตอนนี้ฉันเห็นด้วยกับทุกสิ่งแล้วรายงานต่ออธิปไตย” เจ้าหญิงแอนนามิคาอิลอฟนากล่าวด้วยความยินดีโดยลืมความอัปยศอดสูทั้งหมดที่เธอต้องเผชิญเพื่อให้บรรลุเป้าหมาย
- เขาแก่แล้วเจ้าชายวาซิลี? - ถามคุณหญิง – ฉันไม่ได้เห็นเขาเลยตั้งแต่แสดงละครที่ Rumyantsevs และฉันคิดว่าเขาลืมฉันไปแล้ว “ฉันคือ faisait la cour [เขาตามฉันมา” เคาน์เตสเล่าด้วยรอยยิ้ม
“ ยังคงเหมือนเดิม” Anna Mikhailovna ตอบ“ ใจดีและพังทลาย” Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [ตำแหน่งสูงๆ ไม่หันหัวเลย] “ฉันเสียใจที่ฉันทำน้อยเกินไปเพื่อเธอ เจ้าหญิงที่รัก” เขาบอกฉัน “สั่ง” ไม่ เขาเป็นคนดีและเป็นสมาชิกในครอบครัวที่ยอดเยี่ยม แต่คุณรู้ไหม นาตาลี ความรักของฉันที่มีต่อลูกชายของฉัน ฉันไม่รู้ว่าฉันจะไม่ทำอะไรให้เขามีความสุข “ และสถานการณ์ของฉันแย่มาก” Anna Mikhailovna พูดต่อด้วยความโศกเศร้าและลดเสียงของเธอลง“ แย่มากที่ตอนนี้ฉันอยู่ในสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด กระบวนการที่น่าสังเวชของฉันคือการกลืนกินทุกสิ่งที่ฉันมีและไม่เคลื่อนไหว ฉันไม่มี คุณสามารถจินตนาการได้เลยว่า a la Lettre [ตามตัวอักษร] ฉันไม่มีเงินสักเล็กน้อย และฉันไม่รู้ว่าจะแต่งตัวบอริสด้วยอะไร “เธอหยิบผ้าเช็ดหน้าออกมาและเริ่มร้องไห้ “ฉันต้องการห้าร้อยรูเบิล แต่ฉันมีธนบัตรยี่สิบห้ารูเบิลหนึ่งใบ” ฉันอยู่ในตำแหน่งนี้... ความหวังเดียวของฉันตอนนี้คือเคานต์คิริลล์วลาดิมิโรวิชเบซูคอฟ หากเขาไม่ต้องการสนับสนุนลูกทูนหัวของเขา - หลังจากนั้นเขาก็ให้บัพติศมา Borya - และมอบหมายบางอย่างให้เขาดูแลปัญหาทั้งหมดของฉันก็จะหมดไป: ฉันจะไม่มีอะไรจะแต่งตัวให้เขา
เคาน์เตสหลั่งน้ำตาและครุ่นคิดเกี่ยวกับบางสิ่งอย่างเงียบๆ
“ ฉันมักจะคิดว่าบางทีนี่อาจเป็นบาป” เจ้าหญิงกล่าว“ และฉันมักจะคิดว่า: เคานต์คิริลล์วลาดิมิโรวิชเบซูคอยอยู่คนเดียว... นี่เป็นโชคลาภมหาศาล... แล้วเขามีชีวิตอยู่เพื่ออะไร? ชีวิตเป็นภาระสำหรับเขา แต่บอริยาเพิ่งเริ่มมีชีวิตอยู่
“ เขาอาจจะทิ้งบางอย่างไว้ให้บอริส” เคาน์เตสกล่าว
- พระเจ้ารู้ เชียร์เพื่อน! [เพื่อนรัก!] คนรวยและขุนนางเหล่านี้เห็นแก่ตัวมาก แต่ตอนนี้ฉันจะยังคงไปหาเขากับบอริสและบอกเขาตรงๆ ว่าเกิดอะไรขึ้น ปล่อยให้พวกเขาคิดในสิ่งที่พวกเขาต้องการเกี่ยวกับฉัน ฉันไม่สนใจหรอกว่าชะตากรรมของลูกชายจะขึ้นอยู่กับมันเมื่อไร - เจ้าหญิงยืนขึ้น - ตอนนี้เป็นเวลาบ่ายสองโมงและตอนสี่โมงเช้าคุณรับประทานอาหารกลางวัน ฉันจะมีเวลาไป
และด้วยเทคนิคของนักธุรกิจหญิงชาวเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กผู้รู้วิธีใช้เวลา Anna Mikhailovna จึงส่งลูกชายของเธอและออกไปที่ห้องโถงพร้อมกับเขา
“ ลาก่อนดวงวิญญาณของฉัน” เธอพูดกับเคาน์เตสซึ่งพาเธอไปที่ประตู“ ขอให้ฉันประสบความสำเร็จ” เธอกล่าวเสริมด้วยเสียงกระซิบจากลูกชายของเธอ
– คุณกำลังเยี่ยมชมเคานต์คิริลล์วลาดิมิโรวิชใช่ไหม? - บอกว่านับจากห้องอาหารก็ออกไปที่โถงทางเดินด้วย - ถ้าเขารู้สึกดีขึ้น เชิญปิแอร์มาทานอาหารเย็นกับฉัน ท้ายที่สุดเขามาเยี่ยมฉันและเต้นรำกับเด็กๆ โทรหาฉันทุกครั้งนะแม่ เรามาดูกันว่าวันนี้ Taras สร้างความโดดเด่นให้กับตัวเองอย่างไร เขาบอกว่าเคานต์ออร์โลฟไม่เคยทานอาหารเย็นเช่นนี้เหมือนที่เราจะได้ทาน