ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟิลด์ที่เรียงลำดับหรือไม่ ช่องจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน z เรียกว่า การแสดงออกที่ไหน กและ วี– จำนวนจริง ฉัน– หน่วยจินตภาพหรือเครื่องหมายพิเศษ

ในกรณีนี้จะต้องปฏิบัติตามข้อตกลงต่อไปนี้:

1) ด้วยนิพจน์ a+bi คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ตามกฎที่ยอมรับสำหรับนิพจน์ตามตัวอักษรในพีชคณิต

5) ความเท่าเทียมกัน a+bi=c+di โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนจริง จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d เท่านั้น

เรียกเลข 0+bi=bi จินตภาพหรือ จินตนาการล้วนๆ.

จำนวนจริง a ใดๆ ถือเป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากสามารถเขียนได้ในรูปแบบ a=a+ 0i โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 0=0+0i แต่แล้วถ้า a+bi=0 แล้ว a+bi=0+0i ดังนั้น a=b=0

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน a+bi=0 ก็ต่อเมื่อ a=0 และ b=0 เท่านั้น

จากข้อตกลงตามกฎของการแปลงจำนวนเชิงซ้อน:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+โฆษณา)i;

เราจะเห็นว่าผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร (โดยที่ตัวหารไม่เท่ากับศูนย์) ของจำนวนเชิงซ้อน กลับกลายเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ตัวเลข กเรียกว่า ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z(แสดงโดย ), วี– ส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z (เขียนแทนด้วย )

เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน z ที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ จินตนาการล้วนๆโดยมีจินตภาพเป็นศูนย์ – จริงแท้

เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัว เท่ากันถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพตรงกัน

เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ผันถ้ามีสาร. ส่วนต่างๆ ตรงกัน แต่ส่วนจินตภาพต่างกันที่สัญญาณ แล้วสังยุคของมัน

ผลรวมของจำนวนคอนจูเกตคือจำนวนของสาร และผลต่างเป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ การดำเนินการของการคูณและการบวกของตัวเลขนั้นถูกกำหนดไว้ตามธรรมชาติบนเซตของจำนวนเชิงซ้อน กล่าวคือ ถ้า และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ผลรวมจะเป็น: ; งาน: .

ให้เรากำหนดการดำเนินการของการลบและการหาร

โปรดทราบว่าผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวคือจำนวนของสาร

(เนื่องจาก i=-1) เบอร์นี้มีชื่อว่า. โมดูลัสสี่เหลี่ยมตัวเลข ดังนั้น หากตัวเลขคือ โมดูลัสของมันคือจำนวนจริง

ต่างจากจำนวนจริง แนวคิดเรื่อง "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" ไม่ได้ถูกนำมาใช้กับจำนวนเชิงซ้อน

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริงแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน:

นี่คือประเด็น กหมายถึงตัวเลข –3, จุด บี– หมายเลข 2 และ โอ- ศูนย์ ในทางตรงกันข้าม จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดบนระนาบพิกัด เพื่อจุดประสงค์นี้ เราเลือกพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) ที่มีสเกลเดียวกันบนทั้งสองแกน แล้วจำนวนเชิงซ้อน เอ+ ไบจะแสดงด้วยจุด P กับ Abscissa a และพิกัด b(ข้าว.). ระบบพิกัดนี้เรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน.

โมดูลจำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์ อพแทนจำนวนเชิงซ้อนบนพิกัด ( ครอบคลุม) เครื่องบิน. โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน เอ+ ไบแสดงว่า | เอ+ ไบ| หรือจดหมาย รและเท่ากับ:

จำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตมีโมดูลัสเท่ากัน __

การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อนคือมุมระหว่างแกน วัวและเวกเตอร์ อพซึ่งเป็นตัวแทนของจำนวนเชิงซ้อนนี้ ดังนั้น ตาล = ข / ก .

รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน. นอกจากการเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตแล้ว ยังมีการใช้อีกรูปแบบหนึ่งเรียกว่า ตรีโกณมิติ.

ปล่อยให้จำนวนเชิงซ้อน z=a+bi เขียนแทนด้วยเวกเตอร์ OA พร้อมพิกัด (a,b) ลองแสดงความยาวของเวกเตอร์ OA ด้วยบีช r: r=|OA| และมุมที่เกิดขึ้นโดยมีทิศทางบวกของแกน Ox ด้วยมุม φ

การใช้คำจำกัดความของฟังก์ชัน sinφ=b/r, cosφ=a/r จำนวนเชิงซ้อน z=a+bi สามารถเขียนได้เป็น z=r(cosφ+i*sinφ) โดยที่ และมุม φ ถูกกำหนดจาก เงื่อนไข

แบบฟอร์มตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน z คือการแทนค่าในรูปแบบ z=r(cosφ+i*sinφ) โดยที่ r และ φ เป็นจำนวนจริงและ r≥0

แท้จริงแล้ว เลข r นั้นถูกเรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย |z| และมุม φ คืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z อาร์กิวเมนต์ φ ของจำนวนเชิงซ้อน z แสดงโดย Arg z

การดำเนินการที่มีจำนวนเชิงซ้อนแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติ:

นี่มีชื่อเสียง สูตรมูฟวร์

8 . พื้นที่เวกเตอร์ ตัวอย่างและคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของปริภูมิเวกเตอร์ การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์ พื้นฐานและอันดับของระบบเวกเตอร์ขั้นสุดท้าย

สเปซเวกเตอร์ -แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สรุปแนวคิดของเซตของเวกเตอร์ (อิสระ) ทั้งหมดของปริภูมิสามมิติธรรมดา

สำหรับเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ จะมีการระบุกฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์และคูณด้วยจำนวนจริง ใช้ได้กับเวกเตอร์ใดๆ x, y, zและตัวเลขใดๆ α, β กฎเหล่านี้เป็นไปตาม เงื่อนไขต่อไปนี้:

1) เอ็กซ์+ที่=ที่+เอ็กซ์(การสับเปลี่ยนของการบวก);

2)(เอ็กซ์+ที่)+z=x+(ย+z) (ความสัมพันธ์ของการบวก);

3) มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ 0 (หรือเวกเตอร์ว่าง) ที่ตรงตามเงื่อนไข x+0 =เอ็กซ์:สำหรับเวกเตอร์ใดๆ x;

4) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ เอ็กซ์มีเวกเตอร์ตรงกันข้าม ที่ดังนั้น เอ็กซ์+ที่ =0 ,

5) 1 ครั้ง=เอ็กซ์,โดยที่ 1 คือหน่วยสนาม

6) α (βx)=(αβ )เอ็กซ์(ความสัมพันธ์ของการคูณ) โดยที่ผลคูณ αβ คือผลคูณของสเกลาร์

7) (α +β )เอ็กซ์=αх+βх(คุณสมบัติการกระจายสัมพันธ์กับตัวประกอบเชิงตัวเลข);

8) α (เอ็กซ์+ที่)=αх+ใช่(คุณสมบัติการกระจายสัมพันธ์กับตัวคูณเวกเตอร์)

ปริภูมิเวกเตอร์ (หรือเชิงเส้น) คือเซต อาร์ประกอบด้วยองค์ประกอบในลักษณะใด ๆ (เรียกว่าเวกเตอร์) ซึ่งมีการกำหนดการดำเนินการของการเพิ่มองค์ประกอบและการคูณองค์ประกอบด้วยจำนวนจริงที่ตรงตามเงื่อนไข 1-8

ตัวอย่างของปริภูมิดังกล่าว ได้แก่ เซตของจำนวนจริง เซตของเวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ เมทริกซ์ ฯลฯ

ทฤษฎีบท “สมบัติที่ง่ายที่สุดของปริภูมิเวกเตอร์”

1. ในปริภูมิเวกเตอร์มีเวกเตอร์ศูนย์เพียงตัวเดียวเท่านั้น

2. ในปริภูมิเวกเตอร์ เวกเตอร์ใดๆ จะมีลักษณะตรงกันข้ามกับเวกเตอร์นั้น

4. .

เอกสาร

ให้ 0 เป็นเวกเตอร์ศูนย์ของปริภูมิเวกเตอร์ V แล้ว ให้เป็นเวกเตอร์ศูนย์อีกตัวหนึ่ง แล้ว . ลองใช้ในกรณีแรก และในครั้งที่สอง - . แล้ว และ เหตุใดจึงตามมา เป็นต้น

ก่อนอื่น เราจะพิสูจน์ว่าผลคูณของสเกลาร์ศูนย์และเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

อนุญาต . จากนั้น เมื่อใช้สัจพจน์ปริภูมิเวกเตอร์ เราจะได้:

ในส่วนของการบวก สเปซเวกเตอร์คือหมู่อาเบเลียน และกฎการยกเลิกมีผลใช้ได้กับทุกกลุ่ม เมื่อใช้กฎการลดทอน ความเสมอภาคสุดท้ายจะหมายถึง 0*x=0

ตอนนี้เราพิสูจน์ข้อความที่ 4) อนุญาต เป็นเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ แล้ว

มันจะตามมาทันทีว่าเวกเตอร์ (-1)x อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ x

ให้ x=0 เลย จากนั้น เมื่อใช้สัจพจน์ปริภูมิเวกเตอร์ เราจะได้:

ให้เราสมมุติว่า. เนื่องจาก โดยที่ K คือสนาม ดังนั้น ลองคูณความเท่าเทียมกันทางด้านซ้ายด้วย : ซึ่งหมายถึง 1*x=0 หรือ x=0

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์เซตของเวกเตอร์เรียกว่าระบบเวกเตอร์

ระบบของเวกเตอร์เรียกว่าการขึ้นต่อเชิงเส้นหากมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมดในเวลาเดียวกัน โดยที่ (1)

ระบบของเวกเตอร์ k เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้าความเท่าเทียมกัน (1) เป็นไปได้สำหรับ เท่านั้น กล่าวคือ เมื่อผลรวมเชิงเส้นทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน (1) ไม่สำคัญ

หมายเหตุ:

1. เวกเตอร์ตัวหนึ่งยังสร้างระบบด้วย: ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และเป็นอิสระเชิงเส้นที่

2. ส่วนใดส่วนหนึ่งของระบบเวกเตอร์เรียกว่าระบบย่อย

คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นและเป็นอิสระเชิงเส้น:

1. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

2. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์สองตัวที่เท่ากัน มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

3. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์สัดส่วนสองตัว มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

4. ระบบของเวกเตอร์ k>1 จะขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เชิงเส้น ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น

5. เวกเตอร์ใดๆ ที่รวมอยู่ในระบบอิสระเชิงเส้นจะสร้างระบบย่อยอิสระเชิงเส้น

6. ระบบของเวกเตอร์ที่มีระบบย่อยที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นนั้นจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

7. หากระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น และหลังจากเพิ่มเวกเตอร์ลงไปแล้ว ระบบของเวกเตอร์นั้นสามารถขยายเป็นเวกเตอร์ได้ และยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะเฉพาะ นั่นคือ สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวได้ไม่ซ้ำกัน

ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายเช่น เนื่องจากระบบของเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จึงมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับ 0 ทั้งหมด ซึ่งก็คือ ในความเท่าเทียมกันนี้ ที่จริงแล้วถ้าอย่างนั้น ซึ่งหมายความว่าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่ไม่สำคัญจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบ ดังนั้นและจากนั้นนั่นคือ เวกเตอร์คือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ มันยังคงแสดงให้เห็นเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนดังกล่าว สมมติว่าตรงกันข้าม ให้มีการขยายสองรายการ และ และค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายไม่ทั้งหมดจะเท่ากันตามลำดับ (ตัวอย่างเช่น )

แล้วจากความเท่าเทียมกันที่เราได้รับ .

ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จึงเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ไม่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (อย่างน้อย) การรวมกันนี้จึงไม่ไม่สำคัญ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นเป็นการยืนยันความเป็นเอกลักษณ์ของการขยายตัว

อันดับและพื้นฐานของระบบเวกเตอร์อันดับของระบบเวกเตอร์คือจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ

พื้นฐานของระบบเวกเตอร์เรียกว่าระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบเวกเตอร์ที่กำหนด

ทฤษฎีบท. เวกเตอร์ระบบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานระบบได้ (เวกเตอร์ระบบใดๆ สามารถขยายเป็นเวกเตอร์พื้นฐานได้) ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะสำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดและพื้นฐานที่กำหนด

เอกสาร:

ให้ระบบมีพื้นฐาน

1 เคส.เวกเตอร์ - จากพื้นฐาน ดังนั้น มันจึงเท่ากับเวกเตอร์ฐานตัวใดตัวหนึ่ง เช่น จากนั้น = .

กรณีที่ 2เวกเตอร์ไม่ได้มาจากฐาน แล้วก็ r>k

ลองพิจารณาระบบเวกเตอร์กัน ระบบนี้ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุด จึงมีตัวเลขที่มี 1, 2, ..., ที่มี k, ด้วย, ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด, โดยที่

เห็นได้ชัดว่า (ถ้า c = 0 ดังนั้นพื้นฐานของระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง)

ขอให้เราพิสูจน์ว่าการขยายตัวของเวกเตอร์เมื่อเทียบกับพื้นฐานนั้นมีลักษณะเฉพาะ สมมติว่าตรงกันข้าม: เวกเตอร์มีการขยายตัวสองส่วนเมื่อเทียบกับฐาน

เราลบความเท่าเทียมกันเหล่านี้ออก

เมื่อคำนึงถึงความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานที่เราได้รับ

ดังนั้นการขยายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของพื้นฐานจึงไม่ซ้ำกัน

จำนวนเวกเตอร์ในแต่ละฐานของระบบจะเท่ากันและเท่ากับอันดับของระบบเวกเตอร์

บรรยายเรื่องพีชคณิตและเรขาคณิต ภาคเรียนที่ 1

การบรรยายครั้งที่ 2 สาขาวิชาจำนวนเชิงซ้อน

บทที่ 2 สนามของจำนวนเชิงซ้อน

ข้อ 1. การสร้างสนามจำนวนเชิงซ้อน

อนุญาต เป็นจตุรัสคาร์ทีเซียนของสนามจำนวนจริงเช่น
– ชุดคู่ลำดับของจำนวนจริง ให้เรานิยามการดำเนินการพีชคณิตไบนารีภายในสองรายการในชุดนี้ – การบวกและการคูณตามกฎต่อไปนี้:
ให้เราใส่ตามคำจำกัดความ

(1)

(2)
.

แน่นอนว่าผลรวมและผลคูณของสองคู่
มีอีกสองสามอย่างอีกครั้ง
, เพราะ ผลรวม ผลคูณ และผลต่างของจำนวนจริงเป็นจำนวนจริง ดังนั้น,
– โครงสร้างพีชคณิตที่มีการดำเนินการพีชคณิตไบนารีภายในสองตัว

ทฤษฎีบท.
- สนาม.

การพิสูจน์. เราจะตรวจสอบความสมบูรณ์ของสัจพจน์ทั้ง 9 ประการตามลำดับ

1. กฎแห่งการเชื่อมโยงเกี่ยวกับการบวก:

.

อนุญาต . แล้วโดยนิยามของการบวกคู่
และ .

อีกด้านหนึ่ง
และ .

เนื่องจาก R เป็นสนาม การบวกจำนวนจริงจึงเป็นไปตามกฎแห่งความเชื่อมโยง ดังนั้น นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกันของคู่ และจากนี้ ในทางกลับกัน ความเท่าเทียมกัน ฯลฯ

2. การมีอยู่ขององค์ประกอบว่าง:

.

มาแสดงกันเถอะ
โดยที่ 0 คือองค์ประกอบศูนย์ของสนามจำนวนจริง เช่น หมายเลขศูนย์ อนุญาต
– คู่โดยพลการของ
. จากนั้นโดยนิยามของการบวกคู่และ เพราะฉะนั้น,
และอีกสองสามคน
มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการบวก ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์การมีอยู่ขององค์ประกอบนั้น

3. การดำรงอยู่ขององค์ประกอบตรงกันข้าม:

.

อนุญาต
– คู่โดยพลการของ
.

ให้เราแสดงว่าองค์ประกอบตรงข้ามคือคู่

. แท้จริงแล้วตามคำนิยาม

เพิ่มคู่ที่เรามี:

และ . นี่หมายถึงความเท่าเทียมกัน ฯลฯ

4. กฎแห่งการสับเปลี่ยนในส่วนที่เกี่ยวกับการบวก:

.

อนุญาต
– สองคู่โดยพลการ จากนั้น ตามคำจำกัดความของการบวกคู่ เราจะได้:

และ . เนื่องจาก R เป็นสนาม กฎของการบวกสับเปลี่ยนและ
,
ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกันของคู่: และ
ฯลฯ

5. กฎการเชื่อมโยงเกี่ยวกับการคูณ:

.

อนุญาต . แล้วโดยนิยามของการคูณคู่

,
และ

ผลลัพธ์ที่ได้คือคู่ที่เท่ากัน เพราะฉะนั้น,
ฯลฯ

6. การมีอยู่ขององค์ประกอบเดียว:

.

ให้เราใส่ตามคำจำกัดความ
และแสดงสิ่งนั้น – องค์ประกอบหน่วยสัมพันธ์กับการคูณ อนุญาต
. จากนั้นตามนิยามของการคูณคู่ , . ดังนั้น,
ฯลฯ

7. การดำรงอยู่ขององค์ประกอบผกผัน:

.

อนุญาต
และ
, เช่น. ตัวเลข a และ b ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกันซึ่งหมายความว่า
. ให้เราใส่ตามคำจำกัดความ
และแสดงว่าองค์ประกอบนี้สนองความเท่าเทียมกัน
. แท้จริงแล้วตามนิยามของการคูณคู่

,

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบความเท่าเทียมกัน
ฯลฯ

8. กฎการสับเปลี่ยนเกี่ยวกับการคูณ:

.

อนุญาต
– สองคู่โดยพลการ แล้วโดยนิยามของการคูณคู่

เนื่องจาก R เป็นสนาม การคูณและการบวกของจำนวนจริงจึงเป็นไปตามกฎของการสับเปลี่ยนและ

,
ซึ่งหมายถึงความเท่าเทียมกัน
ฯลฯ

9. กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก:

และ
.

อนุญาต . แล้วโดยนิยามของการบวกและการคูณคู่

,

ในที่นี้เราใช้กฎการกระจายตัวของการคูณเทียบกับการบวก ซึ่งจำนวนจริงเป็นไปตามนั้น เช่นเดียวกัน,

,
และ

จากที่นี่เราเห็นสิ่งนั้น
.

เพื่อพิสูจน์กฎข้อที่สองของการแจกแจง เราจะใช้กฎการแจกแจงที่ได้รับการพิสูจน์แล้วและกฎของการสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับการคูณ ซึ่งเราได้พิสูจน์แล้วเช่นกัน:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม. สนาม
เรียกว่าสนามของจำนวนเชิงซ้อน และองค์ประกอบของมัน - คู่ลำดับของจำนวนจริง - เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

ข้อ 2. รูปแบบพีชคณิตของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ให้เราแสดงโดย
– เซตย่อยของฟิลด์
ประกอบด้วยคู่ของจำนวนจริงที่มีสมาชิกตัวที่สองเป็นศูนย์ อนุญาต
. จากนั้นตามกฎการบวกและการคูณคู่
,
. สิ่งนี้ทำให้เรามีโอกาสที่จะระบุคู่ดังกล่าวกับองค์ประกอบแรกและเซตเอง ด้วยชุด R

ให้เราใส่ตามคำจำกัดความ
. ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
,
.

สำหรับคู่รัก
ให้เราแนะนำสัญกรณ์พิเศษ ให้เราใส่ตามคำจำกัดความ
. แล้ว

(3)
.

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบนี้เรียกว่าพีชคณิต

ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนนั้นเขียนแทนด้วยตัวอักษร C

.

ให้เราสังเกตเพิ่มเติมว่า ซึ่งหมายความว่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน
คือรากของสมการกำลังสอง
. ง่ายที่จะเห็นว่ารากที่สองของสมการนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน
. จริงหรือ, .

ดังนั้นเราจึงสามารถให้คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อนได้ดังต่อไปนี้

คำนิยาม. จำนวนเชิงซ้อนคือคู่ลำดับของจำนวนจริง
ซึ่งปกติจะเขียนอยู่ในรูป
โดยที่องค์ประกอบ i คือรากของสมการกำลังสอง
, เช่น.
.

คำนิยาม. อนุญาต
– รูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน องค์ประกอบ i เรียกว่าหน่วยจินตภาพ จำนวนจริง a เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z และเขียนแทนด้วย
. จำนวนจริง b เรียกว่าส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z และเขียนแทนด้วย
.

คำนิยาม. จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ

จากคำจำกัดความของรูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน (ดูความเท่าเทียมกัน (3)) เงื่อนไขของความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเป็นดังนี้:

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันเท่านั้น กล่าวคือ

.

ที่นี่ & คือเครื่องหมายร่วม ซึ่งเป็นการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ “และ”

ความคิดเห็น จากคำจำกัดความก็เป็นไปตามนั้น
, เช่น. จำนวนจริงใดๆ จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ถือได้ว่าเป็นผลลัพธ์ของการบวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัว โดยตัวหนึ่งเป็นจำนวนจริง (ส่วนจินตภาพของมันคือศูนย์) ส่วนอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนจินตภาพล้วนๆ:

ข้อ 3 การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

จากคำจำกัดความของการบวกคู่ (1) และรูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน (3) กฎสำหรับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบการเขียนเชิงพีชคณิตจะเป็นไปตามนั้น อนุญาต
,
– จำนวนเชิงซ้อนตามอำเภอใจ แล้ว

โปรดทราบว่าผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะเกิดเป็นเขตข้อมูล กฎแห่งความเชื่อมโยง การสับเปลี่ยน และการกระจายมีผลใช้ได้ในภาคสนาม เราพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนแต่ละตัวตามหมายเหตุท้ายย่อหน้าที่ 2 – เป็นผลมาจากการบวกจำนวนเชิงซ้อนสองตัว แล้ว

ที่นี่เราใช้ความเท่าเทียมกัน
.

ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องจำกฎการบวก (4) และโดยเฉพาะการคูณ (5) อีกทั้งเป็นที่ชัดเจนว่า
– องค์ประกอบที่เป็นศูนย์ – ตรงกันข้าม

เรากำหนดการดำเนินการลบเป็นการบวกที่ตรงกันข้าม:

ตัวอย่าง. 1).,
, ,

2). แก้สมการในด้านจำนวนเชิงซ้อน:

.

สารละลาย. การหาผู้แบ่งแยก
. เมื่อใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราจะหารากได้:

. คำตอบ:
.

ความคิดเห็น ที่นี่เราใช้ความเท่าเทียมกัน
, ที่ไหน
.

ให้เรานิยามการดำเนินการหารในฟิลด์ K ใดๆ เป็นการคูณด้วยองค์ประกอบผกผัน:
ให้เราใส่ตามคำจำกัดความ
และ

.

มันง่ายที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น
,

จริงหรือ,

อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องจำสูตร (6) ควรใช้กฎง่ายๆ เพียงข้อเดียว แต่การจะทำสิ่งนี้ ให้เราแนะนำแนวคิดหนึ่งข้อก่อน

คำนิยาม. จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่าสังยุคเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน
.

จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามตัวเลขนั้นทันที
คือสังยุคเชิงซ้อนของจำนวน
, เช่น. ตัวเลขดังกล่าวที่แตกต่างกันจากกันโดยเครื่องหมายของส่วนจินตภาพเท่านั้นคือคอนจูเกตที่ซับซ้อนของกันและกัน

ตัวอย่าง:
และ
ฉัน และ – ฉัน
และอื่น ๆ

กฎสำหรับการหารจำนวนเชิงซ้อน

ในการที่จะหารจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยคอนจูเกตเชิงซ้อนของตัวส่วน

.

ตัวอย่าง. ,

,
,
.

ความคิดเห็น ถ้า
จากนั้นจึงแสดงหมายเลขคอนจูเกตที่ซับซ้อน
.

ข้อ 4 คุณสมบัติของจำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อน

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

5.

6.

.

7.

.

8.

9. สำหรับพหุนามใดๆ
ด้วยสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงของตัวแปรเชิงซ้อน z

.

การพิสูจน์. 1) เอาล่ะ
– จำนวนเชิงซ้อนตามใจชอบ จากนั้นตามคำนิยามของจำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อน
และอื่น ๆ.

2) ให้ . แล้ว
. อีกด้านหนึ่ง
และ
ซึ่งเป็นไปตามนั้น
.

3) ขอให้เราพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับพจน์จำนวนเท่าใดก็ได้ n

ก) ฐานของการเหนี่ยวนำ

ที่
,
ความเท่าเทียมกัน
เพิ่งพิสูจน์แล้ว

b) สมมติฐานการเหนี่ยวนำ

ให้เราสมมติว่าคำสั่งเป็นจริงหากจำนวนเทอมเท่ากัน
:.

c) การเปลี่ยนแปลงการเหนี่ยวนำ

เนื่องจากข้อความดังกล่าวเป็นจริงสองพจน์แล้ว

นี่คือจุดที่ความเท่าเทียมกันที่ได้รับการพิสูจน์ตามมา

4) ให้ . แล้ว
. ในทางกลับกันก็เป็นไปตามนั้น
.

5) ได้รับการพิสูจน์เช่นเดียวกับจุดที่ 3) โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

6) เอาล่ะ
และ k เป็นจำนวนธรรมชาติตามใจชอบ จากนั้นตามคำนิยามของพลังธรรมชาติของจำนวน
ฯลฯ

7) ให้ a เป็นจำนวนจริง แล้ว
และตามคำจำกัดความของจำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อน
ฯลฯ

8) เอาล่ะ
. ตามคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วในวรรค 4) และ 7)
ฯลฯ

9) ให้ z เป็นตัวแปรเชิงซ้อน และ
เป็นพหุนามในตัวแปรเชิงซ้อน z ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง:, โดยที่

– ตัวเลขจริง จากนั้น เมื่อใช้คุณสมบัติที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราได้รับ:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง. คำนวณ
.

สารละลาย. มาแสดงกันเถอะ
. แล้ว
,
,
. จากที่นี่, .

ข้อ 5. แนวคิดเรื่องรากของดีกรีธรรมชาติของจำนวนเชิงซ้อน

คำนิยาม. อนุญาต
– จำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z คือจำนวนเชิงซ้อน , ดังนั้น
.

ต่อมาทฤษฎีบทต่อไปนี้จะได้รับการพิสูจน์ ซึ่งเราจะยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์ในตอนนี้

ทฤษฎีบท. (การมีอยู่และจำนวนรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน)

มีรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนพอดี

เพื่อแสดงถึงรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน จะใช้เครื่องหมายกรณฑ์ตามปกติ แต่มีความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่ง ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว
ตามคำจำกัดความหมายถึงรากที่เป็นบวกของระดับที่ n เรียกว่ารากเลขคณิต

ถ้า n เป็นจำนวนคี่ ก็จะมีรากที่ n เฉพาะของจำนวนจริง a ใดๆ ที่
รากเดียวนี้
คือโดยนิยามทางคณิตศาสตร์ด้วย
รากเดียวนี้
ไม่ใช่เลขคณิต แต่สามารถแสดงในรูปของรากเลขคณิตของจำนวนตรงข้ามได้:
, ที่ไหน
เป็นเลขคณิตเพราะว่า
.

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อนสัมพันธ์กับสมการเป็นหลัก ไม่มีจำนวนจริงใดที่เป็นไปตามสมการนี้

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงเกิดขึ้นเป็นลักษณะทั่วไป (ส่วนขยาย) ของสนามของจำนวนจริงในความพยายามที่จะแก้สมการกำลังสองตามอำเภอใจ (และทั่วไปมากกว่า) โดยการเพิ่มตัวเลขใหม่ลงไป เพื่อให้เซตขยายก่อตัวเป็นฟิลด์ตัวเลขซึ่งการดำเนินการของการแยก รากจะเป็นไปได้เสมอ

คำนิยาม.ตัวเลขที่มีกำลังสองคือ - 1มักจะแสดงด้วยตัวอักษรฉัน และโทร หน่วยจินตภาพ

คำนิยาม. สนามของจำนวนเชิงซ้อน C เรียกว่าส่วนขยายน้อยที่สุดของสนามของจำนวนจริงที่มีรากของสมการ

คำนิยาม. สนาม กับเรียกว่า สนามของจำนวนเชิงซ้อนหากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. (เรื่องการมีอยู่และเอกลักษณ์ของสนามจำนวนเชิงซ้อน) มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ขึ้นอยู่กับการกำหนดรากของสมการฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน กับ .

แต่ละองค์ประกอบสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่ คือรากของสมการ ฉัน 2 +1=0.

คำนิยาม. องค์ประกอบใดๆ เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนจริง x ส่วนที่แท้จริงหมายเลข z และเขียนแทนด้วย เรียกว่าจำนวนจริง y ส่วนจินตภาพหมายเลข z และเขียนแทนด้วย .

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นคู่อันดับ ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยจำนวนจริง xและ ย.

ถ้า เอ็กซ์=0 แล้วตามด้วยตัวเลข ซ= 0+iy=iyเรียกว่า จินตนาการล้วนๆ หรือ จินตภาพ ถ้า ย=0 แล้วตามด้วยตัวเลข z=x+ 0ฉัน=xถูกระบุด้วยจำนวนจริง เอ็กซ์

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะถือว่าเท่ากันหากส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน:

จำนวนเชิงซ้อนมีค่าเท่ากับศูนย์เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพมีค่าเท่ากับศูนย์:

คำนิยาม. จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่มีส่วนจริงเหมือนกันและมีส่วนจินตภาพเท่ากันแต่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน เรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนหรือเพียงแค่ ผัน.

หมายเลขคอนจูเกต z, แสดงโดย . ดังนั้น ถ้า แล้ว .

1.3. โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน
การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ในเชิงเรขาคณิต จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงบนระนาบ (รูปที่ 1) เป็นจุด มมีพิกัด ( x, ย).

คำนิยาม. ระนาบที่ใช้แสดงจำนวนเชิงซ้อนนั้นเรียกว่า ระนาบที่ซับซ้อน C, แกน Ox และ Oy ซึ่งเป็นแกนของจำนวนจริง และจำนวนจินตภาพล้วนๆ เรียกว่า ถูกต้องและ จินตภาพแกนตามลำดับ

ตำแหน่งจุด นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้โดยใช้พิกัดเชิงขั้ว รและ φ , เช่น.โดยใช้ความยาวของเวกเตอร์รัศมีและมุมเอียงของเวกเตอร์รัศมีของจุด ม(เอ็กซ์, ย) ไปยังครึ่งแกนจริงบวก โอ้.

คำนิยาม. โมดูล จำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์ที่แสดงถึงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบพิกัด (เชิงซ้อน)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนแสดงด้วยหรือด้วยตัวอักษร รและเท่ากับค่าเลขคณิตของรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

พิจารณาเซต R2 ของคู่อันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด (i» y) ของจำนวนจริง x%y € R สำหรับคู่ดังกล่าว (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b - d ให้เราแนะนำกฎการเรียบเรียงภายในให้กับเซต R2 นี้ในรูปแบบของการดำเนินการบวกและการคูณ เรานิยามการบวกด้วยความเท่าเทียมกัน £faa การดำเนินการเป็นแบบเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน มันมี (ตามคำจำกัดความ 4.5) องค์ประกอบที่เป็นกลาง (0, 0) และตามคำจำกัดความ 4.6 สำหรับแต่ละคู่ (a, 6) เราสามารถระบุองค์ประกอบสมมาตร (ตรงกันข้าม) (-a, -6) อันที่จริง V(a, 6) £ R2 ยิ่งไปกว่านั้น หรือสาขาจำนวนเชิงซ้อน เรานิยามการคูณด้วยความเท่าเทียมกัน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าการดำเนินการที่แนะนำในลักษณะนี้เป็นการเชื่อมโยง การสับเปลี่ยน และการแจกแจงที่เกี่ยวข้องกับการบวก การดำเนินการนี้มีองค์ประกอบที่เป็นกลาง ซึ่งก็คือคู่ (1, 0) เนื่องจาก ดังนั้น เมื่อพิจารณาจากการดำเนินการบวกและการคูณที่แนะนำ เซต R2 จึงเป็นวงแหวนอาบีเลียนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว (ดูตารางที่ 4.1) x* ระหว่างเซตของคู่ (x, 0) € R2 และเซตของจำนวนจริง x G R ไม่ใช่เรื่องยากที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (x, 0) x) ซึ่งตามมานั้น ฟิลด์ของ จำนวนเชิงซ้อน เหล่านั้น. การบวกและการคูณคู่ดังกล่าวจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับจำนวนจริง ให้เราแทนที่คู่ของแบบฟอร์ม (x, 0) ด้วยจำนวนจริง เช่น แทนที่จะเป็น (zh, 0) เราจะเขียนเพียงแค่ w โดยเฉพาะแทน (1, 0) - เพียง 1 ตำแหน่งพิเศษในชุด R2 ถูกครอบครองโดยคู่ (0, 1) ตาม (4.3) มันมีคุณสมบัติและได้รับการกำหนดพิเศษ i จากนั้นเมื่อคำนึงถึง (4.2) และ (4.3) คู่ใด ๆ (x, y) € R2 สามารถแสดงเป็นฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนได้ ลองแทนมันด้วย z กัน องค์ประกอบ z เรียกว่าคอนจูเกตเชิงซ้อนขององค์ประกอบ z โดยคำนึงถึง (4.3) z-z = x2 -by2 ถ้า z ไม่ตรงกับองค์ประกอบที่เป็นกลาง (0, 0) เช่น ถ้า x และ y ไม่เท่ากับ 0 ในเวลาเดียวกัน (แสดงด้วย 2^0) ดังนั้น x2 + + y2 φ 0 จากนั้นค่าผกผัน (สมมาตร ตรงกันข้ามกับการดำเนินการคูณ - ดู 4.1) กับองค์ประกอบ z = x + iy จะเป็นองค์ประกอบต่อไปนี้ z "1 นั่นคือ zz~l = 1 หรือ zzz~l =z นั่นคือ (x2 + y2)z~l = x - y ดังนั้น -1_ X 2 Y \ ดังนั้น ทุกองค์ประกอบ gf O มีการผกผันกับ svbe ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณ และเซต R2 ที่มีการดำเนินการบวกและการคูณตาม (4.1) และ (4.3) จึงเป็นช่องข้อมูล (ดูตาราง 4.1) เรียกว่า ฟิลด์ (หรือเซต) ของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย S. B โดยอาศัยการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งข้างต้น (r, 0) € R2 ++ x € R เศษส่วนของจำนวนเชิงซ้อนเป็นส่วนขยายของฟิลด์ ของจำนวนจริง องค์ประกอบใดๆ r ใน C เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน และการแทนค่าขององค์ประกอบนั้นอยู่ในรูปแบบ z = x + iy> โดยที่ x, y £ R และ i2 = -l, - แทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต ในกรณีนี้ £ เรียกว่าส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย Re z และ y เรียกว่าส่วนจินตภาพและเขียนแทนด้วย Imz (t เรียกว่าหน่วยจินตภาพ) โปรดทราบว่าส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นเป็นจำนวนจริง ชื่อของ y ไม่ได้ประสบความสำเร็จอย่างสิ้นเชิง แต่เพื่อเป็นเครื่องบรรณาการให้กับประเพณีทางประวัติศาสตร์ ชื่อนี้จึงยังคงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ คำว่า "จำนวนเชิงซ้อน" ถูกนำมาใช้ในปี 1803 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส JI การ์โนต์ (ค.ศ. 1753-1823) แต่เค. เกาส์เริ่มใช้คำนี้อย่างเป็นระบบในปี ค.ศ. 1828 เพื่อแทนที่ “จำนวนจินตภาพ” ที่ประสบความสำเร็จน้อยกว่า44 ในวรรณคดีคณิตศาสตร์ของรัสเซียในศตวรรษที่ 19 ใช้คำว่า “เลขประกอบ”44. อาร์. เดส์การตส์ได้เปรียบเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนแล้ว ต่อมาตัวอักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส reele (ของจริง) และ imagimare (จินตภาพ) กลายเป็นชื่อของส่วนเหล่านี้แม้ว่านักคณิตศาสตร์หลายคนถือว่าแก่นแท้ของปริมาณจินตภาพไม่ชัดเจนและลึกลับและลึกลับด้วยซ้ำ ดังนั้น I. Newton จึงไม่ได้รวมตัวเลขเหล่านี้ไว้ในแนวคิดเรื่องตัวเลข และ G. Leibniz เป็นเจ้าของวลีที่ว่า “ตัวเลขในจินตนาการเป็นที่พึ่งอันสวยงามและมหัศจรรย์ของวิญญาณศักดิ์สิทธิ์ เกือบจะเป็นสัตว์ครึ่งบกครึ่งน้ำของการไม่มีสิ่งมีชีวิต44 เนื่องจากเซต R2 ของคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนจริงสามารถระบุได้ด้วยจุดบนระนาบ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนแต่ละตัว z =? x + iy สอดคล้องกับจุด y) (รูปที่ 4.1) ซึ่งช่วยให้เราพูดถึงรูปแบบทางเรขาคณิตของการเป็นตัวแทนของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อระบุจำนวนเชิงซ้อนด้วยจุดของระนาบ จะเรียกว่าระนาบเชิงซ้อน หรือระนาบของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริงจะถูกวางไว้บนแกน Ox เช่น ตัวเลข z โดยที่ lmz = y = 0 และบนแกน Oy - ตัวเลข z = = iy เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ ซึ่ง Re z = x = 0 นี่คือรูปที่ 4.1 แกนพิกัดในระนาบเชิงซ้อนเรียกว่าแกนจริงและจินตภาพตามลำดับ จุดของระนาบที่สอดคล้องกับองค์ประกอบคอนจูเกตเชิงซ้อน z และ z (จำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อน) มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง และจุดที่แสดงถึง z และ z มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด สนามระยะทางของจำนวนเชิงซ้อน จุด M(x, y) แทนจำนวนเชิงซ้อน z = x + iy บนระนาบ จากจุดกำเนิดเรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย \z\ หรือ r มุมที่เวกเตอร์รัศมีของ จุด M รูปแบบที่มีทิศทางบวกของแกน Ox เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน และเขียนแทนด้วย Argz หรือ (p (ดูรูปที่ 4.1) มุมวัดเช่นเดียวกับตรีโกณมิติ: ทิศทางบวกของการเปลี่ยนแปลงมุมถือเป็นทิศทางทวนเข็มนาฬิกา เป็นที่ชัดเจนว่า Arg z ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ขึ้นอยู่กับเทอมที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 2π\ ค่าเดียวของอาร์กิวเมนต์ที่ตรงตามเงื่อนไข (บางครั้ง 0 เรียกว่าค่าหลักและเขียนแทนด้วย argz ดังนั้น Arg * = arg2: + 2πm, m € Z สำหรับ z - 0 ไม่ได้กำหนดค่าของ Args จุด (จุดเริ่มต้น) ที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยเงื่อนไข \z\ = z = 0 ดังนั้นสำหรับ จำนวนเชิงซ้อน z แต่ละจำนวนบนระนาบเชิงซ้อนนั้นสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุด M(x, y) ซึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยพิกัดเชิงขั้ว: รัศมีเชิงขั้ว r ^ 0 เท่ากับโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน และ มุมเชิงขั้วที่สอดคล้องกับค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนนี้ ตามคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติและการผกผันของฟังก์ชันที่ทราบจากหลักสูตรวิชาตรีโกณมิติของโรงเรียน (ดู 3.5) สำหรับตำแหน่งใดๆ ที่จุด z บนระนาบเชิงซ้อน เรามี x=rcosy >= X โดยคำนึงถึงข้อจำกัดที่กำหนดกับมูลค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน เราจะได้ if x > 0; if x 0; if x = 0 และ y. จาก (4.6) จะเป็นไปตามนั้นสัญกรณ์ทางกฎหมาย + tsiny>), (4.8) เรียกว่ารูปตรีโกณมิติแทนจำนวนเชิงซ้อน หากต้องการเปลี่ยนจากรูปแบบพีชคณิตเป็นตรีโกณมิติให้ใช้ (4.5) และ (4.7)” และสำหรับการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ - (4.6) โปรดทราบว่าจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อโมดูลัสของพวกมันเท่ากันและอาร์กิวเมนต์ของพวกมันต่างกันตามเงื่อนไขที่เป็นผลคูณของ 2π ตาม (4.1) ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน z\ และ r2 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนและผลต่างของพวกมัน - จากสูตรเหล่านี้จะตามมาว่าการบวก (หรือการลบ) ของจำนวนเชิงซ้อนจะคล้ายกับการบวก (หรือการลบ) ของเวกเตอร์ ในระนาบเชิงซ้อนตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 4.2) ( ในกรณีนี้ พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์จะถูกบวกหรือลบออก). ดังนั้น สำหรับโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน สามเหลี่ยมอสมการ a จึงใช้ได้ในรูปแบบ (ความยาวของด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมต้องไม่มากกว่าผลรวมของความยาวของด้านอื่นอีกสองด้านของมัน) อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะยุติการเปรียบเทียบระหว่างจำนวนเชิงซ้อนกับเวกเตอร์ ผลรวมหรือผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนอาจเป็นจำนวนจริงได้ (เช่น ผลรวมของจำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อน z-f z = = 2x, x = Rez e R) ตาม (4.3) ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน z\ และ z2 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน การหารของจำนวน φ 0 ถูกนำมาใช้เป็นการกระทำผกผันของการคูณ กล่าวคือ ด้วยผลหาร Z1/22 สำหรับ V*2 φ 0 เราหมายถึงจำนวนเชิงซ้อน -r ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน z^z = z\ หลังจากการคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วย 22 เราจะได้ การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z ยกกำลัง n € N คือการคูณ z ด้วยตัวมันเอง n ครั้ง โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับ k 6 N สนามของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติของสัญกรณ์ (4.8) ช่วยให้การคูณ การหาร และการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนง่ายขึ้น ดังนั้น สำหรับ z\ = r\(cos(p\ + isiny?i) และ Z2 = Г2(о + -f isin no (4.3) เราสามารถสร้างได้ว่าบนระนาบเชิงซ้อน (รูปที่ 4.3) การคูณสอดคล้องกับการหมุน ของเซ็กเมนต์ OM ตามมุม (ทวนเข็มนาฬิกาที่ 0) และการเปลี่ยนแปลงความยาวใน Г2 = \z2\ คูณ * การหาร - หมุนเซ็กเมนต์นี้ด้วยมุมเดียวกันตามเข็มนาฬิกาและเปลี่ยนความยาวใน 1/гг = 1/|г2| ครั้ง- เมื่อพิจารณายกกำลัง n £ N เป็นการคูณ z ด้วยตัวมันเอง n ครั้ง ครึ่งหนึ่ง เพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ A. de Moivre (1667-1754) ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสูตรของ Moivre ในการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเต็มบวก กำลัง การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลังตรรกยะ q = m /n, q€ Q, m € Z, n6N มีความเกี่ยวข้องกับการเพิ่มจำนวนนี้เป็นกำลัง 1/n หรือตามที่พูดกันทั่วไป รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน การแยกรากเป็นการดำเนินการผกผันของการยกให้เป็นระดับ เช่น = w ถ้า wn = z ให้) จากนั้นจาก (4.13) ที่เรามีและเมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนที่เราได้รับ จากนิพจน์ (4.14) เรียกว่าสูตร Moivre สำหรับการแยกรากของกำลังจำนวนเต็มบวกจากจำนวนเชิงซ้อน) ตามมา ว่าในบรรดาค่าที่เป็นไปได้ของ y/z ค่า n สอดคล้องกับ k = = 0 n - 1 จะแตกต่างกัน ค่าที่แตกต่างกัน n ทั้งหมดสำหรับ $fz มีโมดูลัสเหมือนกันและอาร์กิวเมนต์ต่างกันไปตามมุมที่เป็นผลคูณของ 2jr/n ค่าต่างๆ สอดคล้องกับจุดของระนาบเชิงซ้อนที่จุดยอดของ n-gon ปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 1/f โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ในกรณีนี้ เวกเตอร์รัศมีของจุดยอดจุดใดจุดหนึ่งจะสร้างมุม (p/n) กับแกน Ox จาก (4.13) และ (4.14) เป็นไปตามสูตรสำหรับการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน z /0 ให้เป็นกำลังตรรกยะ g€ ถาม Beli g = m/n โดยที่ m € Z และ n € N เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นตัวอย่างที่ 4.10 ให้ จากนั้น ตาม (4.5) ri = 1 และ rj = 2 วิเคราะห์ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ จำนวนเชิงซ้อน z\ และ Z2 (รูปที่ 4.4) โดยคำนึงถึง (4.7) ที่เราได้รับ (ดังนั้น ในรูปแบบตรีโกณมิติ ตาม (4.11) และ (4.12) เราพบว่า: การใช้ (4.13) เราเพิ่ม z\ ถึง กำลัง n = 4 โดยใช้ (4.14) เราแยกรากของกำลัง n = 3 จาก z2 ผลการคำนวณจะแสดงในรูปที่ 4.4 ค่าสามค่าของรูทที่สามของ zi สอดคล้องกับจุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ ABC จารึกไว้ในวงกลมรัศมีและมุมเชิงขั้วของจุดยอดเหล่านี้ = i*/18, 4>в = 13t/18 และ = 25t/18 (หรือ = - 11^/18)