Як висловити число експонентів. Екстремуми, зростання, спадання

Функція EXP в Excel використовується для зведення числа Ейлера (константа e, яка приблизно дорівнює 2,718) зазначений ступіньі повертає відповідне числове значення.

Приклади використання функції EXP в Excel

Вкладнику банку запропонували два варіанти вкладу:

Вклад із річною ставкою 16% та щомісячною капіталізацією.
Вклад із безперервною капіталізацією (кількість періодів капіталізації – нескінченна безлічза час дії депозитного договору з річною ставкою 16%.

Яка пропозиція є більш вигідною? Сума вкладу – 50 000 рублів, термін дії договору – 5 років.

Вид вихідної таблиці даних:

Формула для розрахунку майбутньої вартості вкладу для першого варіанта депозитного договору:

БС(B3/B4;B4*B5;0;-B6)

У другому випадку капіталізація відбувається безперервно, тому можна скористатися такою функцією:

Опис аргументів:

C3 – річна ставка;
C5 – термін дії договору;
C6 – початкова сума вкладу.

Отримані результати:

Варіант із безперервним зростанням капіталізації є більш вигідним.

Розрахунок швидкості поділу клітин тканини в Excel

У початковий моментчасу була лише одна клітина живої матерії. Кожні 5 хвилин така клітина поділяється на 2 ідентичні клітини. Визначити, скільки клітин тканини утворюється за 0,5 години, 1,5 години, добу?

Вихідна таблиця має такий вигляд:

Для розрахунку використовуємо формулу масиву:

EXP(A3*C3:C5/B3)

Опис аргументів:

A3 – приріст кількості клітин (100%, тобто результатом розподілу однієї клітини є дві нові клітини);
C3:C5/B3 – зазначені за умовою періоди, поділені на життя клітини до закінчення процесу поділу.

Отримані результати:

Значення 1,E+125 еквівалентно 10 25 .

Швидкість зменшення маси радіоактивної речовини з часом

Кількість радіоактивної речовинизменшується вдвічі за півроку. Скільки важитиме речовина через 2 роки, якщо початкова маса становила 18 кг.

Вид вихідної таблиці:

Формула для розрахунку:

B5*EXP(B2*B4/B3)

Опис аргументів:

B5 – початкова маса речовини;
B2 - приріст ( від'ємне значення, оскільки кількість речовини зменшується);
B4/B3 – кількість періодів, протягом яких відбувається напіврозпад.

Результат обчислень:

Через 2 роки від 18 кг залишиться лише приблизно 330 г.

Особливості використання функції EXP в Excel

Функція EXP має наступний синтаксичний запис:

EXP(число)

Єдиним та обов'язковим для заповнення аргументом є число , яке характеризує числове значення показника ступеня, в який необхідно звести константу e.

Примітки 1:

Функції LN і EXP є протилежними один одному за результатом, що повертається. Логарифм вказує, на який ступінь необхідно звести основу (у разі натурального логарифма lnxпоказник дорівнює приблизно 2,718), щоб одержати показник x. Функція EXP визначає x.
Аргумент число може бути задано будь-яким числом з діапазону дійсних чисел(цілі та дробові негативні, позитивні значеннята 0). Результат виконання = EXP (0) дорівнює 1.
Як аргумент EXP можуть бути передані логічні значення ІСТИНА і БРЕХНЯ, які будуть автоматично перетворені до числових значень 1 і 0 відповідно.
Якщо як аргумент число було передано не перетворювані до числовому значеннюім'я або текстовий рядок, функція EXP поверне код помилки #ЗНАЧ!.
Функцію можна використовувати як формулу масиву.

Примітки 2:

Як відомо, число e є показником ступеня натурального логарифму, який записується, наприклад, так: ln10, тобто логарифм з основою 2,718 з 10. Саме число e є показником зростання для будь-якого процесу, залежні величини якого змінюються безперервно зі зміною незалежних. Як приклади можуть служити такі процеси, як розподіл живих клітин організму (через певний період часу одна клітини ділиться на дві, потім кожна з цих двох ділиться ще на дві і так далі) або розпад радіоактивних речовин (знаючи коефіцієнт розпаду можна дізнатися, скільки радіоактивного речовини вже розпалося більш прості елементи).
Число e використовується для апроксимації (створення спрощеної моделі) систем, величини яких змінюються нерівномірно.
Щоб зрозуміти фізичний зміст числа e, розглянемо процес зростання капіталовкладень у банку. Наприклад, банк запропонував 100% збільшення капіталу після закінчення певного періодунаприклад, 12 місяців. Тобто прибуток вкладника подвоїться. Припустимо, що зростання капіталу є безперервним протягом року. Тоді для розрахунку суми капіталу через 6 місяців можна використовувати формулу R=(1+100%/2) 2 , де R – зростання капіталу, 2 – кількість напівперіодів зростання. Якщо ми вирішимо визначити зростання за 4 місяці, формула набуде вигляду R=(1+100%/3) 3 , за 3 місяці - R=(1+100%/4) 4 і т.д. загальному випадкумаємо формулу R=(1+100%/x) x . Якщо x→∞ (прагне нескінченності) R (зростання) прийме значення 2,718. З цього випливає, що максимально можливе 100% зростання за найменший період часу не може перевищити значення 2,718, яке і є числом e (числом Ейлера). У загальному випадку будь-яке зростання може бути виражене формулою R = e p * t, де p - приріст величини (наприклад, не 100%, як у розглянутому вище прикладів, а 30%, тобто 0,3), а t - час (наприклад , якщо депозитний договір розрахований п'ять років, то t=5). Тоді розрахунку Excel досить запровадити формулу =EXP(0,3*5).

Інженерний калькулятор онлайн

Поспішаємо представити всім охочим безкоштовний інженерний калькулятор. З його допомогою будь-який учень може швидко і, що найголовніше, легко виконувати різного роду математичні обчисленняонлайн.

Калькулятор взятий із сайту - web 2.0 scientific calculator

Простий і зручний у використанні інженерний калькулятор з ненав'язливим і зрозумілим інтерфейсом буде корисний найширшому колу користувачів мережі Інтернет. Тепер, коли вам буде необхідний калькулятор, заходьте на наш сайт та користуйтесь безкоштовним інженерним калькулятором.

Інженерному калькулятору під силу виконати як прості арифметичні дії, і досить складні математичні розрахунки.

Web20calc – інженерний калькулятор, який має велика кількістьфункцій, наприклад, як обчислення всіх елементарних функцій. Також калькулятор підтримує тригонометричні функції, матриці, логарифми та навіть побудова графіків.

Безперечно, Web20calc буде цікавий тій групі людей, яка у пошуку простих рішеньнабирає в пошукових системахзапит: математичний онлайн калькулятор. Безкоштовний веб-додаток допоможе миттєво порахувати результат якогось математичного виразу, наприклад, відняти, скласти, поділити, витягти корінь, звести в ступінь і т.д.

У виразі можна скористатися операціями зведення в ступінь, додавання, віднімання, множення, поділу, відсотком, константою ПІ. Для складних обчислень слід зазначати дужки.

Можливості інженерного калькулятора:

1. основні арифметичні дії;
2. робота з цифрами у стандартному вигляді;
3. обчислення тригонометричних коренів, функцій, логарифмів, зведення у ступінь;
4. статистичні розрахунки: додавання, середнє арифметичне або середньоквадратичне відхилення;
5. застосування комірки пам'яті та функцій користувача 2-х змінних;
6. робота з кутами в радіанному та градусному заходах.

Інженерний калькулятор дозволяє використовувати різноманітні математичні функції:

Вилучення коренів (корінь квадратний, кубічний, а також корінь n-ого ступеня);
ex (e x ступеня), експонента;
тригонометричні функції: синус – sin, косинус – cos, тангенс – tan;
зворотні тригонометричні функції: арксинус – sin-1, арккосинус – cos-1, арктангенс – tan-1;
гіперболічні функції: синус - sinh, косинус - cosh, тангенс - tanh;
логарифми: двійковий логарифм на основі двох - log2x, десятковий логарифмна підставі десять - log, натуральний логарифм- ln.

До цього інженерного калькулятора також включено калькулятор величин з можливістю конвертування фізичних величиндля різних системвимірювань – комп'ютерні одиниці, відстань, вага, час тощо. За допомогою цієї функції можна миттєво провести переведення миль в кілометри, фунтів в кілограми, секунди в години і т.д.

Щоб зробити математичні розрахунки, для початку введіть послідовність математичних виразів у відповідне поле, потім натисніть на знак рівності і бачте результат. Можна вводити значення прямо з клавіатури (для цього область калькулятора має бути активною, отже, не зайвим буде поставити курсор у поле введення). Крім того, дані можна вносити за допомогою кнопок самого калькулятора.

Для побудови графіків у полі введення слід записати функцію так, як зазначено в полі з прикладами або скористайтеся спеціально призначеною для цього панеллю інструментів (щоб у неї перейти натисніть кнопку з іконкою у вигляді графіка). Для конвертації величин натисніть Unit, проведення робіт з матрицями – Matrix.

Експонента (число e) - ірраціональне числоприблизно дорівнює 2,71828. Число e грає велику роль у диференціальному та інтегральному численніі використовується практично у всіх наукових сферах. Таке сухе математичне визначеннязовсім не розкриває суті про фізичному сенсіекспонентів. Розглянемо докладніше.

Сенс числа e

Число Пі є не просто ірраціональним числом, що дорівнює 3,1415, а однакове для всіх випадків співвідношення довжини кола до діаметра. Так само і число e має власний сенс.

Експонента - це базове співвідношення зростання всіх зростаючих процесів. Будь-яке число можна розглядати як збільшену одиницю, будь-який квадрат – як масштабований одиничний квадрат, будь-який рівносторонній трикутник- як збільшений чи зменшений правильний трикутник, А будь-який коефіцієнт зростання можна представити у вигляді масштабованого коефіцієнта е.

Саме операції з числом e дадуть вам можливість визначити темпи зростання таких ситуаціях, як приріст населення, нарахування відсотків за депозитом чи обсяг напіврозпаду радіоактивної речовини.

Дискретне зростання

Як базовий приклад системи безперервного подвоєння можна навести розмноження бактерій, які подвоюються щодня. Якщо подвоєння відбувається один раз, то математично ми отримуємо 2 в першому ступені, тобто просто 2. Якщо подвоєння x разів, то в результаті ми отримуємо 2 в ступені x бактерій, грошей або будь-якого іншого добра.

Однак система може змінюватися не вдвічі, а наприклад на 20% або 120%. У цьому випадку ми можемо уявити подвоєння не як двійку, а як 1+1 або 1+100%. У такому записі ми можемо підставити будь-який коефіцієнт приросту та отримати формулу зростання як:

Зростання = (1 + приріст) x ,

де x – це кількість циклів приросту.

Завдяки цій формулі ми можемо дізнатися скільки бактерій ми отримаємо з однієї клітини через 30 днів. Проте бактерії діляться дискретно, тобто доки нова клітина не сформується протягом доби, вона зможе виробляти нові організми. Застосовуючи цю формулу до грошей, ми матимемо зовсім інший результат.

Безперервне зростання

При нарахуванні відсотків за гроші відбувається не дискретний, а безперервне зростання. Як тільки за депозитом нараховується прибуток у розмірі пари пенні, ці гроші починають приносити свій прибуток. Немає потреби чекати, поки народиться цілий долар, який почне ділитися подобою бактерій. Достатньо сформуватися центу, який почне генерувати свій мікроприбуток.

Уявімо, що ми вклали $1 у бізнес, який обіцяє нам 100% прибутку за рік. Це означає, що ми отримаємо приріст:

Дохід = (1 + 1) 1 = 2

Усього $2 - негусто. Однак якщо ми розіб'ємо рік на два півріччя, то отримаємо по 50 центів за кожні півроку. Отримані центи можуть самостійно генерувати прибуток, і тоді формула зміниться.

Дохід = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Оскільки ми маємо два періоди подвоєння, ми звели приріст у квадрат і отримали додаткові 25 центів доходу. Якщо розбити наш прибуток на 5 частин по 20 центів, то вийде ще привабливіше:

Дохід = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Можливо, ми зможемо поділити прибуток на нескінченно велика кількість дрібних частинта отримаємо нескінченний прибуток? На жаль немає. Навіть якщо ми розділимо наш долар на 100 000 частин, дохід становитиме:

Дохід = (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

При нескінченному дробленні долара прибуток збільшуватиметься на стотисячні знаки після коми. Наші 2,71826 долара прибутку прагнутимуть значення 2,718281828, що є ніщо інше як число Е.

І що все це означає

Експонента - це можливий результат стовідсоткового безперервного зростання за конкретний період. Так, спочатку нам обіцяють 100% прибутку, тобто всього $2, але кожен цент приносить свої дивіденди і за підсумками у нас виявляється рівно $2,71828 прибутку. Число е - це максимум, який ми можемо отримати при розбитті прибутку на суми нескінченно малих величин.

Це означає, що якщо при потенційному стовідсотковому прибутку ми вкладемо у бізнес $1, то отримаємо $2,718 чистого прибутку. Якщо $2, то ми отримаємо 2е чистого прибутку, а якщо $100, то наш прибуток складе 100е. Таким чином, e - це гранична константа, яка обмежує процеси зростання точно так, як швидкість світла обмежує пересування інформації в просторі. Число е - це максимально можливий результат, важкодосяжний на практиці, тому насправді багато процесів описуються з використанням частин експоненти.

Використання експонентів на практиці

На перший погляд зростання зображується у вигляді додавання 1%, проте, математично така надбавка виражається як множення на 1,01. Таким чином, при операціях з числом e ми використовуємо ступінь або коріння. Або натуральні логарифми, якщо нам потрібна зворотна операція. Який би коефіцієнт приросту ми не взяли, він означатиме ступінь для числа е. Наприклад, якщо ми знаємо, що протягом 3 років отримаємо прибуток у розмірі 200%, ми просто множимо приріст (e 2) на 3 періоди і отримуємо:

Зростання = (е 3) 2 = e 6

Для кращого розумінняРозглянемо приклади.

Депозит у банку

Припустимо, ми поклали на депозит у банку $100 під річну ставку у розмірі 8%. Вибраний банк пропонує нам повну капіталізацію відсотків, який прибуток ми отримаємо через 5 років? Оскільки банк забезпечує нам безперервне зростання грошей, через 5 років на нашому рахунку вже буде:

Прибуток = 100 × е (0,08 × 5) = 149,1

Приголомшливо, правда? На жаль, реальні банки рідко використовують складні відсотки, А якщо і розраховують капіталізацію, то за своїми формулами, які дещо відрізняються від класичної експоненти.

Період напіврозпаду

Уявіть, що ви маєте 5 кг радіоактивного урану, який розпадається зі швидкістю 100% на рік. Скільки урану у вас залишиться за 2 роки? За ідеєю весь уран повинен розпастися за перший же рік, проте це не так. Через 6 місяців у вас залишиться лише 2,5 кг урану, який, у свою чергу, почне розпадатися зі швидкістю всього 2,5 кг на рік. Ще через пару місяців у вашому сховищі залишиться 1 кг урану, але і він розпадатиметься з ще меншою швидкістюна рівні 1 кг на рік. З часом ви втрачаєте радіоактивне паливо, при цьому знижується і швидкість розпаду. Таким чином, через 2 роки у вас залишиться:

Радіоактивний залишок = 5 × e −2 = 0,676

Висновок

Експонента знаходить широке застосування у ситуаціях, де щось безперервно чи дискретно зростає. Ви можете використовувати калькулятор зведення числа e у ступінь для підрахунку результатів зростання будь-яких безперервних процесів.

y (x) = e x, похідна якої дорівнює самій функції.

Експоненту позначають так, або.

Число e

Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...

Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.

Також число e можна подати у вигляді ряду:
.

Графік експоненти

Графік експоненти, y = e x.

На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Формули

Основні формули такі ж, як і для показової функціїз основою ступеня е.

;
;
;

Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.

Приватні значення

Нехай y (x) = e x.
.

Тоді

Властивості експоненти е > 1 .

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня

Область визначення, безліч значень (x) = e xЕкспонента y
визначена всім x .
- ∞ < x + ∞ .
Її область визначення:
0 < y < + ∞ .

Її безліч значень:

Екстремуми, зростання, спадання

Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотня функція натуральний логарифм.
;
.

Зворотним для експонентів є

Похідна експоненти еу ступені хПохідна еу ступені х :
.
дорівнює
.
Похідна n-го порядку:

Висновок формул > > >

Інтеграл

Комплексні числа Дії зкомплексними числами здійснюються за допомогою:
,
формули Ейлера
.

де є уявна одиниця:

; ;
.

Вирази через гіперболічні функції

; ;
;
.

Вирази через тригонометричні функції

Розкладання в статечний ряд
Використана література: