Диференційне літочислення. Диференційне та інтегральне числення

Виникає гурток, найвизначнішими представниками якого були брати Бернуллі (Якоб та Йоганн) та Лопіталь. У , використовуючи лекції І. Бернуллі, Лопіталь написав перший підручник, який викладав новий метод у застосуванні до теорії плоских кривих. Він назвав його Аналіз нескінченно малих, давши цим і одне з назв новому розділу математики. В основу викладу покладено поняття змінних величин, між якими є певний зв'язок, через який зміна однієї тягне за собою зміну іншої. У Лопіталя цей зв'язок дається за допомогою плоских кривих: якщо M (\displaystyle M)- рухлива точка плоскою кривою, то її декартові координати x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y), іменовані абсцисою і ординатою кривою, суть змінні, причому зміна x (\displaystyle x)тягне зміну y (\displaystyle y). Поняття функції відсутня: бажаючи сказати, що залежність змінних задана, Лопіталь каже, що «відома природа кривою». Поняття диференціала вводиться так:

Нескінченно мала частина, на яку безперервно збільшується або зменшується змінна величина, називається її диференціалом… Для позначення диференціалу змінної величини, яка сама виражається однією літерою, ми користуватимемося знаком або символом d (\displaystyle d). … Нескінченно мала частина, яку безупинно збільшується чи зменшується диференціал змінної величини, називається… другим диференціалом.

Ці визначення пояснюються геометрично, у своїй рис. нескінченно малі збільшення зображені кінцевими. Розгляд спирається на дві вимоги (аксіоми). Перше:

Потрібно, щоб дві величини, що відрізняються один від одного лише на нескінченно малу величину, можна було брати [при спрощенні виразів?] байдуже одну замість іншої.

Звідси виходить x + d x = x (\displaystyle x+dx=x), далі

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Друга вимога каже:

Потрібно, щоб можна було розглядати криву лінію як сукупність нескінченної множини нескінченно малих прямих ліній.

Продовження кожної такої лінії називається дотичною до кривої. Досліджуючи дотичну, що проходить через точку M = (x, y) (\displaystyle M=(x,y)), Лопіталь надає великого значення величині

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac(dx)(dy))-x),

досягає екстремальних значень у точках перегину кривої, а відношенню ж d y (\displaystyle dy)до d x (\displaystyle dx)не надається жодного особливого значення.

Примітно знаходження точок екстремуму. Якщо при безперервному збільшенні абсциси x (\displaystyle x)ордината y (\displaystyle y)спочатку зростає, а потім убуває, то диференціал d y (\displaystyle dy)спочатку позитивний у порівнянні з d x (\displaystyle dx), А потім негативний.

Але будь-яка безперервно зростаюча чи спадна величина неспроможна перетворитися з позитивної на негативну, не проходячи через нескінченність чи нуль… Звідси випливає, що диференціал найбільшої і найменшої величини має дорівнювати нулю чи нескінченності.

Ймовірно, це формулювання небездоганне, якщо згадати про першу вимогу: нехай, скажімо, y = x 2 (\displaystyle y=x^(2)), тоді через першу вимогу

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

у нулі права частина дорівнює нулю, а ліва немає. Мабуть слід сказати, що d y (\displaystyle dy)можна перетворити відповідно до першої вимоги так, щоб у точці максимуму d y = 0 (\displaystyle dy=0). . У прикладах все само собою зрозуміло, і лише теоретично точок перегину Лопіталь пише, що d y (\displaystyle dy)дорівнює нулю в точці максимуму, будучи поділений на d x (\displaystyle dx) .

p align="justify"> Далі, за допомогою одних диференціалів формулюються умови екстремуму і розглянуто велику кількість складних завдань, що відносяться в основному до диференціальної геометрії на площині. Наприкінці книги, у гол. 10, викладено те, що тепер називають правилом Лопіталя , хоч і в не зовсім звичайній формі. Нехай величина ординати y (\displaystyle y)кривою виражена дробом, чисельник і знаменник якого перетворюються на нуль при . Тоді точка крива з x = a (\displaystyle x=a)має ординату y (\displaystyle y), рівну відношенню диференціалу чисельника до диференціала знаменника, взятому при x = a (\displaystyle x=a).

За задумом Лопіталя написане ним становило першу частину Аналізу, друга ж повинна була містити інтегральне числення, тобто спосіб пошуку зв'язку змінних за відомим зв'язком їх диференціалів. Перший його виклад дано Йоганном Бернуллі в його Математичні лекції про метод інтеграла. Тут дано спосіб взяття більшості елементарних інтегралів та вказані методи вирішення багатьох диференціальних рівнянь першого порядку.

Вказуючи на практичну корисність та простоту нового методу Лейбніц писав:

Те, що людина, обізнана в цьому обчисленні, може отримати прямо в трьох рядках, інші вчені мужі змушені були шукати, слідуючи складними обхідними шляхами.

Ейлер

Леонард Ейлер

Зміни, що відбулися за півстоліття, відбиті у великому трактаті Ейлера. Виклад аналізу відкриває двотомне «Вступ», де зібрані дослідження про різні уявлення елементарних функцій. Термін «функція» вперше з'являється лише у Лейбніца, проте на перші ролі його висунув саме Ейлер. Початкове трактування поняття функції полягало в тому, що функція - це вираз для рахунку (нім. Rechnungsausdrϋck) або аналітичний вираз.

Функція змінної кількості є аналітичним виразом, складеним будь-яким чином із цієї змінної кількості та чисел або постійних кількостей.

Підкреслюючи, що «основна відмінність функцій лежить у способі складання їх із змінного та постійних», Ейлер перераховує дії, «за допомогою яких кількості можуть одна з одною поєднуватися та перемішуватися; діями цими є: додавання та віднімання, множення та розподіл, зведення у ступінь та вилучення коренів; сюди слід віднести також рішення [алгебраїчних] рівнянь. Крім цих дій, званих алгебраїчними, існує багато інших, трансцендентних, як-то: показові, логарифмічні та незліченні інші, що доставляють інтегральним обчисленням». Таке трактування дозволяла легко поводитися з багатозначними функціями і вимагала пояснення, з якого полем розглядається функція: вираз рахунку визначається для комплексних значень змінних навіть тоді, коли для аналізованого завдання це потрібно.

Операції у виразі допускалися лише в кінцевому числі, а трансцендентне проникало за допомогою нескінченно великої кількості. ∞ (\displaystyle \infty ). У виразах це число використовується поряд із натуральними числами. Напр., вважається допустимим такий вираз експоненти

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\left(1+(\frac (x)(\infty ))\right)^(\infty )),

у якому лише пізні автори бачили граничний перехід. З аналітичними висловлюваннями проводилися різноманітні перетворення, дозволили Ейлеру знайти уявлення для елементарних функцій як рядів, нескінченних творів тощо. буд. із написаних формул.

На відміну від Лопіталя Ейлер докладно розглядає трансцендентні функції і особливо два найбільш вивчені їх класи - показові та тригонометричні. Він виявляє, що всі елементарні функції можуть бути виражені за допомогою арифметичних дій та двох операцій – взяття логарифму та експоненти.

Сам хід доказу чудово демонструє техніку використання нескінченно великого. Визначивши синус і косинус за допомогою тригонометричного кола, Ейлер виводить із формул додавання наступне:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\) sqrt (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)),) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1)) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

Вважаючи n = ∞ (\displaystyle n=\infty )і z = n x (\displaystyle z = nx), він отримує

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\) frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\right)^(\infty )+\left(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \right)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

відкидаючи нескінченно малі величини більшого порядку. Використовуючи цей і аналогічний вираз, Ейлер отримує свою знамениту формулу.

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

Вказавши різні висловлювання для функцій, які тепер називають елементарними, Ейлер переходить до розгляду кривих на площині, накресленим вільним рухом руки. На його думку, не для будь-якої такої кривої можна знайти єдиний аналітичний вираз (див. також Спор про струну). У ХІХ столітті з подачі Казораті це твердження вважалося помилковим: за теоремою Вейєрштрасса будь-яка безперервна в сучасному сенсі крива може бути наближено описана поліномами. Насправді Ейлер це навряд чи переконало, адже потрібно ще переписати граничний перехід за допомогою символу ∞ (\displaystyle \infty ).

Виклад диференціального обчислення Ейлер починає з теорії кінцевих різниць, за ним у третьому розділі слідує філософське роз'яснення про те, що «нескінченно мала кількість є точно нуль», що найбільше не влаштувало сучасників Ейлера. Потім з кінцевих різниць при нескінченно малому прирості утворюються диференціали, та якщо з інтерполяційної формули Ньютона - формула Тейлора . Цей спосіб суттєво перегукується з роботам Тейлора (1715 р.). При цьому у Ейлера з'являється стійке відношення d k y d x k (displaystyle (frac (d^(k)y)(dx^(k)))), яке, однак, розглядається як відношення двох нескінченно малих. Останні розділи присвячені наближеному обчисленню з допомогою рядів.

У тритомному інтегральному численні Ейлер вводить поняття інтеграла так:

Та функція, диференціал якої = X d x (\displaystyle = Xdx), називається його інтегралом і позначається знаком S (\displaystyle S), поставлені спереду.

В цілому ж ця частина трактату Ейлера присвячена більш загальному з сучасного погляду задачі про інтегрування диференціальних рівнянь. При цьому Ейлер знаходить ряд інтегралів та диференціальних рівнянь, які призводять до нових функцій, наприклад, Γ (\displaystyle \Gamma )-функції, еліптичні функції і т. д. Суворий доказ їхньої неелементарності було дано в 1830-х роках Якобі для еліптичних функцій та Ліувілем (див. елементарні функції).

Лагранж

Наступним великим твором, який зіграв значну роль розвитку концепції аналізу, стала Теорія аналітичних функційЛагранжа і широке переказ робіт Лагранжа, виконаний Лакруа в дещо еклектичній манері.

Бажаючи позбутися нескінченно малого зовсім, Лагранж звернув зв'язок між похідними та поруч Тейлора. Під аналітичною функцією Лагранж розумів довільну функцію, що досліджується методами аналізу. Саму функцію він позначив як , давши графічний метод запису залежності - раніше ж Ейлер обходився одними змінними. Для застосування методів аналізу на думку Лагранжа необхідно, щоб функція розкладалася в ряд

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\dots,

коефіцієнти якого будуть новими функціями x (\displaystyle x). Залишається назвати p (\displaystyle p)похідною (диференціальним коефіцієнтом) та позначити його як f ′ (x) (\displaystyle f"(x)). Таким чином, поняття похідної вводиться на другій сторінці трактату без допомоги нескінченно малих. Залишається зауважити, що

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … (\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots,

тому коефіцієнт q (\displaystyle q)є подвоєною похідною похідною f(x) (\displaystyle f(x)), тобто

q = 1 2! f ″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2)}f""(x)} !}і т.д.

Такий підхід до трактування поняття похідної використовується в сучасній алгебрі і послужив основою для створення теорії аналітичних функцій Вейєрштрасса.

Лагранж оперував такими рядами як формальними та отримав ряд чудових теорем. Зокрема, вперше і цілком суворо довів розв'язність початкового завдання для звичайних диференціальних рівнянь у формальних статечних рядах.

Питання оцінки точності наближень, доставляемых приватними сумами низки Тейлора, вперше було поставлено саме Лагранжем: наприкінці Теорії аналітичних функційвін вивів те, що тепер називають формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Проте, на противагу сучасним авторам, Лагранж не бачив потреби у вживанні цього результату для обґрунтування збіжності низки Тейлора.

Питання про те, чи дійсно функції, що використовуються в аналізі, можуть бути розкладені в статечний ряд, згодом став предметом дискусії. Звичайно, Лагранжу було відомо, що в деяких точках елементарні функції можуть не розкладатися в статечний ряд, проте в цих точках вони і не диференційовані в жодному сенсі. Коші у своєму Алгебраїчному аналізіпривів як контрприклад функцію

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

довизначену нулем у нулі. Ця функція всюди гладка на речовій осі і в нулі має нульовий ряд Маклорена, який, отже, не схожий на значення f(x) (\displaystyle f(x)). Проти цього прикладу Пуассон заперечив, що Лагранж визначав функцію як єдиний аналітичний вираз, у прикладі Коші ж функція задана по-різному на нулі, і при x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). Лише наприкінці XIX століття Прінгсхайм довів, що існує нескінченно диференційована функція, задана єдиним виразом, ряд Маклорена для якої розходиться. Приклад такої функції є виразом

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x))))(k}} !}.

Подальший розвиток

Диференційне числення

Диференціальне обчислення вивчає визначення, властивості та застосування похідних функцій. Процес знаходження похідної називається диференціюванням. Для заданої функції і точки з області визначення похідна в цій точці є способом кодування дрібномасштабної поведінки цієї функції поблизу цієї точки. Знайшовши похідну функції у кожній точці області визначення, можна визначити нову функцію, звану похідною функцієюабо просто похіднийвід вихідної функції. Математичною мовою похідна є лінійним відображенням , на вході якого одна функція, а на виході інша. Це поняття є більш абстрактним, ніж більшість процесів, що вивчаються в елементарній алгебрі, де функції мають на вході одне число, а на виході інше. Наприклад, якщо для функції подвоєння встановити на вході три, на виході буде шість; якщо для квадратичної функції встановити на вході три, на виході буде дев'ять. Похідна може мати квадратичну функцію в якості входу. Це означає, що похідна бере всю інформацію про функцію зведення в квадрат, тобто: при вході два, вона дає на виході чотири, три перетворює на дев'ять, чотири - на шістнадцять і так далі, і використовує цю інформацію для отримання іншої функції. (Виробної квадратичної функції є функція подвоєння.)

Найбільш поширеним символом для позначення похідної є апострофо-подібний знак, званий штрихом. Таким чином, похідна функції fє f′, Вимовляється "f штрих". Наприклад, якщо f(x) = x 2 є функцією зведення в квадрат, то f′(x) = 2xє похідною, це функція подвоєння.

Якщо входом функції є час, то похідна є зміною часу. Наприклад, якщо fє функцією, яка залежить від часу, і вона дає на виході положення м'яча в часі, то похідна fвизначає зміну положення м'яча в часі, тобто швидкість м'яча.

Невизначений інтегралє первісної, Тобто операцією, зворотною до похідної. Fє невизначеним інтегралом від fу тому випадку, коли fє похідною від F. (Це використання великих і малих літер для функції та її невизначеного інтеграла поширене в обчисленні).

Визначений інтегралвхідної функції та вихідних значень є число, яке дорівнює площі поверхні, обмеженої графіком функції, віссю абсцис та двома відрізками прямих ліній від графіка функції до осі абсцис у точках вихідних значень. У технічних термінах певний інтеграл є межа суми площ прямокутників, що називається сумою Рімана.

Прикладом із фізики є обчислення пройденої відстані при ходьбі будь-якої миті часу.

D is t an ce = S e e d ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (Distance) =\mathrm (Speed) \cdot \mathrm (Time) )

Якщо швидкість постійна, достатньо операції множення, але якщо швидкість змінюється, ми повинні застосувати потужніший метод обчислення відстані. Одним з таких методів є приблизно обчислення шляхом розбивки часу на окремі короткі проміжки. Помножуючи потім час у кожному інтервалі на якусь одну зі швидкостей у цьому інтервалі і потім підсумовуючи всі приблизні відстані (сума Рімана), пройдені в кожному інтервалі, ми отримаємо повну пройдену відстань. Основна ідея полягає в тому, що якщо використовувати дуже короткі інтервали, то швидкість на кожному з них залишатиметься більш менш постійною. Проте сума Рімана дає лише приблизну відстань. Щоб знайти точну відстань, ми повинні знайти межу всіх таких сум Рімана.

Якщо f(x)на діаграмі зліва представляє зміну швидкості з часом, то пройдена відстань (між моментами aі b) є площа заштрихованої області s.

Для наближеної оцінки цієї площі можливий інтуїтивний метод, що полягає у поділі відстані між aі bна деяке число рівних відрізків (сегментів) завдовжки Δx. Для кожного сегмента ми можемо вибрати одне значення функції f(x). Назвемо це значення h. Тоді площа прямокутника з основою Δxта заввишки hдає відстань (час Δxпомноженої на швидкість h), пройдене у цьому сегменті. З кожним сегментом зв'язується середнє значення функції на ньому f(x)=h. Сума всіх таких прямокутників дає наближення площі під кривою, що є оцінкою загальної пройденої відстані. Зменшення Δxдасть більшу кількість прямокутників і в більшості випадків буде найкращим наближенням, але для отримання точної відповіді ми повинні обчислити межу при Δxщо прагне до нуля.

Символом інтегрування є ∫ (\displaystyle \int ), подовжена літера S(S означає "сума"). Певний інтеграл записується як:

∫ a b f(x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

і читається: «інтеграл від aдо bфункції fвід xпо x». Запропоноване Лейбніцем позначення dxпризначено для поділу площі під кривою на нескінченну кількість прямокутників, таких, що їх ширина Δxє нескінченно малою величиною dx. У формулюванні обчислення, заснованого на межах, позначення

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx)

слід розуміти як оператор, який приймає на вході функцію і дає на виході число, що дорівнює площі. dxне є числом і не множиться на f(x).

Невизначений інтеграл, або первісна, записується як:

∫ f(x) d x . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

Функції, що відрізняються на константу, мають ті ж похідні, і, отже, первинна дана функція насправді є сімейством функцій, що відрізняються лише константою. Оскільки похідна функції y = x² + C, де C- будь-яка константа, рівна y′ = 2x, то первинна остання визначається за формулою:

∫ 2 x d x = x 2 + C. (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

Невизначена константа типу Cв первісній відома як постійна інтегрування.

Теорема Ньютона - Лейбніца

Теорема Ньютона – Лейбніца, яку також називають основний теореми аналізустверджує, що диференціювання та інтегрування є взаємно зворотними операціями. Точніше це стосується значення первісних для певних інтегралів. Оскільки, зазвичай, легше обчислити первісну, ніж застосовувати формулу певного інтеграла, теорема дає практичний спосіб обчислення певних інтегралів. Вона також може бути інтерпретована як точне твердження, що диференціювання є зворотною операцією інтегрування.

Теорема каже: якщо функція fбезперервна на відрізку [ a, b] і якщо Fє функція, похідна якої дорівнює fна інтервалі ( a, b), то:

∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

Крім того, для будь-кого xз інтервалу ( a, b)

d d x ∫ a x f(t) d t = f(x) . (\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

Це розуміння, зроблене як Ньютоном, так і Лейбніцем, які засновували свої результати на ранніх працях Ісаака Барроу, було ключем до швидкого поширення аналітичних результатів після того, як їхні роботи стали відомі. Фундаментальна теорема дає метод алгебри обчислення багатьох певних інтегралів без обмеження процесів, шляхом знаходження формули первісної . З іншого боку, виник прототип на вирішення диференціальних рівнянь . Диференціальні рівняння пов'язують невідомі функції зі своїми похідними, застосовуються повсюдно у багатьох науках.

Програми

Математичний аналіз широко застосовується у фізиці, інформатиці, статистиці, техніці, економіці, бізнесі, фінансах, медицині, демографії та інших областях, у яких для вирішення проблеми може бути побудована математична модель, і необхідно знайти її оптимальне рішення.

Зокрема, практично всі поняття у класичній механіці та електромагнетизмі нерозривно пов'язані між собою саме засобами класичного математичного аналізу. Наприклад, при відомому розподілі щільності об'єкта його маса моменти інерції а також повна енергія в потенційному полі можуть бути знайдені за допомогою диференціального обчислення. Інший яскравий приклад застосування математичного аналізу в механіці - другий закон Ньютона: історично склалося так, що в ньому безпосередньо використовується термін "швидкість зміни" у формулюванні "Сила = маса × прискорення", так як прискорення - похідна за часом від швидкості або друга похідна часу від траєкторії чи просторового становища.

Математичний аналіз використовується також знаходження наближених рішень рівнянь. На практиці це стандартний спосіб розв'язання диференціальних рівнянь та знаходження коріння у більшості додатків. Прикладами є метод Ньютона, метод простої ітерації та метод лінійної апроксимації. Наприклад, при розрахунках траєкторії космічних апаратів використовується варіант методу Ейлера для апроксимації криволінійних курсів руху за відсутності сили тяжіння.

Бібліографія

Енциклопедичні статті

• // Енциклопедичний лексикон: У 17 тт. - СПб. : Тип. А. Плюшара, 1835-1841.
• // Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона: 86 т. (82 т. і 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Навчальна література

Стандартні підручники

Протягом багатьох років у Росії популярні такі підручники:

• Курант Р.Курс диференціального та інтегрального обчислення (у двох томах). Головна методична знахідка курсу: спочатку викладаються основні ідеї, а потім їм даються суворі докази. Написаний Курантом під час його перебування професором Геттінгенського університету в 1920-х під впливом ідей Клейна, потім у 1930-х перенесений на американський ґрунт. Російський переклад 1934 р. та його перевидання дає текст за німецьким виданням, переклад 1960-х років (т. зв. 4-те видання) є компіляцією з німецької та американської версії підручника і у зв'язку з цим дуже багатослівний.
• Фіхтенгольц Г.М.Курс диференціального та інтегрального обчислення (у трьох томах) та задачник.
• Демидович Б. П.Збірник завдань та вправ з математичного аналізу.
• Ляшко І. І. та ін.Довідковий посібник із вищої математики, т. 1-5.

Деякі ВНЗ мають власні посібники з аналізу:

• МДУ, МехМат:

• Архіпов Г. І., Садовничий В. А., Чубаріков В. М.Лекції з мат. аналізу.
• Зорич В. А.Математичний аналіз. Частина I. М: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А.Математичний аналіз. Частина ІІ. М: Наука, 1984. 640 с.
• Каминін Л. І.Курс математичного аналізу (у двох томах). М: Видавництво Московського Університету, 2001.

• В. А. Ільїн, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов.Математичний аналіз/За ред.

Студент повинен:

знати:

· Визначення межі функції в точці;

· властивості межі функції у точці;

· Формули чудових меж;

· Визначення безперервності функції в точці,

· властивості безперервних функцій;

· Визначення похідної, її геометричний та фізичний зміст; табличні похідні, правила диференціювання;

· Правило обчислення похідної складної функції; визначення диференціала функції, його властивості; визначення похідних та диференціалів вищих порядків; визначення екстремуму функції, опуклої функції, точок перегину, асимптот;

· Визначення невизначеного інтеграла, його властивості, табличні інтеграли;

· Формули інтегрування за допомогою заміни змінної та частинами для невизначеного інтеграла;

· Визначення певного інтеграла, його властивості, основну формулу інтегрального обчислення - формулу Ньютона-Лейбніца;

· Формули інтегрування за допомогою заміни змінної та частинами для певного інтеграла;

· Геометричний сенс певного інтеграла, додатки певного інтеграла.

вміти:

· Обчислювати межі послідовностей та функцій; розкривати невизначеності;

· Обчислювати похідні складних функцій, похідні та диференціали вищих порядків;

· Знаходити екстремуми та точки перегину функцій;

· Проводити дослідження функцій за допомогою похідних та будувати їх графіки.

· Обчислювати невизначені та певні інтеграли методом заміни змінної та вроздріб;

· Інтегрувати раціональні, ірраціональні та деякі тригонометричні функції, застосовувати універсальну підстановку; застосовувати певний інтеграл для знаходження площ плоских фігур.

Межа функції. Властивості межі функції. Односторонні межі. Межа суми, твору та приватного двох функцій. Безперервні функції, властивості. Безперервність елементарних та складних функцій. Чудові межі.

Визначення похідної функції. Похідні основних функцій. Диференційність функції. Диференціал функції. Похідна складна функція. Правила диференціювання: похідна суми, твори та приватного. Похідні та диференціали вищих порядків. Розкриття невизначеностей. Зростання та зменшення функцій, умови зростання та зменшення. Екстремуми функцій, необхідна умова існування екстремуму. Знаходження екстремумів за допомогою першої похідної. Випуклі функції. Точки перегину. Асимптоти. Повне вивчення функції.

Невизначений інтеграл, його властивості. Таблиця головних інтегралів. Метод заміни змінних. Інтегрування частинами. Інтегрування оптимальних функцій. Інтегрування деяких ірраціональних функцій. Універсальна підстановка.

Певний інтеграл, його характеристики. Основна формула інтегрального числення. Інтегрування заміною змінної та частинами у певному інтегралі. Програми певного інтеграла.

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ, розділ математичного аналізу, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування до дослідження функцій. Диференціальне обчислення склалося як самостійна дисципліна у 2-й половині 17 століття під впливом праць І. Ньютона та Г. В. Лейбніца, в яких вони сформулювали основні положення диференціального обчислення та відзначили взаємно зворотний характер диференціювання та інтегрування. З цього часу диференціальне літочислення розвивалося в тісному зв'язку з інтегральним літочисленням, складаючи разом з ним основну частину математичного аналізу (або аналізу нескінченно малих). Створення диференціального та інтегрального обчислень відкрило нову епоху в розвитку математики, спричинило за собою появу ряду нових математичних дисциплін (теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії, варіаційного обчислення, функціонального аналізу) і істотно розширило можливості додатків до техніки математики.

Диференціальне обчислення ґрунтується на таких фундаментальних поняттях, як дійсне число, функція, межа, безперервність. Ці поняття набули сучасного вигляду під час розвитку диференціального та інтегрального обчислень. Основні ідеї та поняття диференціального обчислення пов'язані з вивченням функцій у малому, тобто в малих околицях окремих точок, для чого потрібно створення математичного апарату для дослідження функцій, поведінка яких у досить малій околиці кожної точки області їх визначення близька до поведінки лінійної функції абобагаточлена. Цей апарат заснований на поняттях похідної та диференціалу. Поняття похідної виникло у зв'язку з великою кількістю різних завдань природознавства та математики, що призводять до обчислення меж того самого типу. Найважливіші з цих завдань - визначення швидкості руху матеріальної точки вздовж прямої лінії та побудова дотичної до кривої. Поняття диференціала пов'язане з можливістю наближення функції в малій околиці даної точки лінійної функцією. На відміну від поняття похідної функції дійсної змінної, поняття диференціала легко переноситься на функції більш загальної природи, у тому числі на відображення одного евклідова простору в інше, на відображення банахових просторів в інші банахові простори і є одним з основних понять функціонального аналізу.

Похідна. Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі Оу, а х позначає час, що відраховується від деякого початкового моменту. Опис цього руху дає функція у = f(х), що ставить у відповідність кожному моменту часу х координату у точки, що рухається. Цю функцію у механіці називають законом руху. Важливою характеристикою руху (особливо якщо воно є нерівномірним) є швидкість точки, що рухається, в кожний момент часу х (цю швидкість називають також миттєвою швидкістю). Якщо точка рухається по осі Оу за законом у = f(х), то в довільний момент часу х вона має координату f(х), а в момент часу х + Δх – координату f(х + Δх), де Δх – приріст часу . Число Δy = f(х + Δх) - f(х), зване прирощенням функції, являє собою шлях, пройдений точкою, що рухається, за час від х до х + Δх. Ставлення

зване різницевим ставленням, є середню швидкість руху точки в проміжку часу від х до х + Δх. Миттєвою швидкістю (або просто швидкістю) точки, що рухається, в момент часу х називається межа, до якої прагне середня швидкість (1) при прагненні до нуля проміжку часу Δх, тобто межа (2)

Поняття миттєвої швидкості призводить до поняття похідної. Похідної довільної функції у = f(х) у цій фіксованій точці х називається межа (2) (за умови, що ця межа існує). Похідну функції у = f(х) у цій точці х позначають одним із символів f'(х), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Операцію знаходження похідної (чи переходу від функції до її похідної) називають диференціюванням.

До межі (2) наводить і завдання побудови дотичної до плоскої кривої, що визначається в декартовій системі координат Оху рівнянням у = f(х), у деякій її точці М (х, у) (рис.). Задавши аргументу х приріст Δх і взявши на кривій точку М' з координатами (х + Δх, f(х) + Δх)), визначають дотичну в точці М як граничне положення січе ММ' при прагненні точки М' до М (т. .при прагненні Δх до нуля). Т. до. точка М, якою проходить дотична, задана, побудова дотичної зводиться до визначення її кутового коефіцієнта (тобто. тангенса кута її нахилу до осі Ох). Провівши пряму МР паралельно осі Ох, отримують, що кутовий коефіцієнт секучої ММ дорівнює відношенню

У межі при Δх → 0 кутовий коефіцієнт січної переходить у кутовий коефіцієнт дотичної, який виявляється рівним межі (2), тобто похідної f'(х).

До поняття похідної приводить і низку інших завдань природознавства. Наприклад, сила струму у провіднику визначається як межа lim Δt→0 Δq/Δt, де Δq - позитивний електричний заряд, що переноситься через переріз провідника за час Δt, швидкість хімічної реакції визначається як lim Δt→0 ΔQ/Δt, де ΔQ - зміна кількості речовини за час Δt і взагалі похідна деякої фізичної величини за часом є швидкістю зміни цієї величини.

Якщо функція у = f(х) визначена як у самій точці х, так і в деякому її околиці, і має похідну у точці х, то ця функція безперервна у точці х. Приклад функції у= |х|, визначеної у будь-якій околиці точки х = 0, безперервної у цій точці, але з похідною при х = 0, показує, що з безперервності функції у цій точці, взагалі, не випливає існування у цій точці похідної. Більше того, існують функції, безперервні в кожній точці своєї області визначення, але не мають похідної в жодній точці цієї області визначення.

У випадку, коли функція у = f(х) визначена лише праворуч або лише ліворуч від точки х (наприклад, коли х є граничною точкою відрізка, на якому задана ця функція), вводяться поняття правої та лівої похідних функції у = f(х) у точці х. Права похідна функції у = f(х) у точці х визначається як межа (2) за умови, що Δх прагне нуля, залишаючись позитивним, а ліва похідна - як межа (2) за умови, що Δх прагне нуля, залишаючись негативним . Функція у = f(х) має у точці х похідну тоді і лише тоді, коли вона має в цій точці рівні один одному праву та ліву похідні. Вказана вище функція у = | х | має у точці х = 0 праву похідну, рівну 1, і ліву похідну, рівну -1, і оскільки права та ліва похідні не рівні один одному, ця функція не має похідної у точці х = 0. У класі функцій, що мають похідну, операція диференціювання є лінійною, тобто (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), та (αf(x))' = αf'(x) для будь-якого числа α. Крім того, справедливі такі правила диференціювання:

Похідні деяких елементарних функцій суть:

α – будь-яке число, х > 0;

n = 0, ±1, ±2,

n = 0, ±1, ±2,

Похідна будь-якої елементарної функції є елементарною функцією.

Якщо похідна f'(х), у свою чергу, має похідну в даній точці х, то похідну функції f'(х) називають другою похідною функції у = f(х) у точці х і позначають одним із символів f''(х ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Для матеріальної точки, що рухається вздовж осі Оу за законом у = f(х), друга похідна є прискоренням цієї точки в момент часу х. Аналогічно визначаються похідні будь-якого цілого порядку n, що позначаються символами f (n) (x), y (n), d (n) f/dx (n), d (n) y/dx (n), D (n) f (x).

Диференціал. Функція у = f(х), область визначення якої містить деяку околицю точки х, називається диференційованою в точці х, якщо її приріст у цій точці, що відповідає приросту аргументу Δх, тобто величину Δy = f(x + Δх) - f (x) можна уявити у вигляді Δy = AΔх + αΔх, де А = А(х), α = α(x, Δх) → 0 при Δх → 0. При цьому вираз АΔх називається диференціалом функції f(х) у точці х та позначається символом dy або df(х). Геометрично при фіксованому значенні х і мінливому прирощенні Δх диференціал є прирощення ординати дотичної, тобто відрізок РМ" (рис.). Диференціал dy є функцією як точки х, так і прирощення Δх. Диференціал називають головною лінійною частиною фіксованому значенні х величина dy є лінійною функцією від Δх, а різниця Δу - dy - нескінченно малою щодо Δх при Δх → 0. Для функції f(х) = х за визначенням dx = Δх, тобто диференціал незалежної змінної dx збігається з її збільшенням Δх. Це дозволяє переписати вираз для диференціала як dy=Adx.

Для функції однієї змінної поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної: щоб функція у = f(х) мала в точці х диференціал, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну f'(х), при цьому справедлива рівність dy = f '(х) dx. Наочний сенс цього твердження полягає в тому, що дотична до кривої у = f(х) у точці з абсцисою х є не тільки граничним положенням січної, але також і прямої, яка в нескінченно малій околиці точки х примикає до кривої у = f(х ) тісніше, ніж будь-яка інша пряма. Таким чином, завжди А(х) = f'(х) та запис dy/dx можна розуміти не тільки як позначення для похідної f'(х), але і як відношення диференціалів функції та аргументу. У силу рівності dy = f'(х) dx правила знаходження диференціалів безпосередньо випливають із відповідних правил для похідних. Розглядаються також диференціали другого та вищих порядків.

Програми. Диференціальне обчислення встановлює зв'язок між властивостями функції f(х) та її похідних (чи її диференціалів), що становлять зміст основних теорем диференціального обчислення. Серед цих теорем - твердження про те, що всі точки екстремуму диференційованої функції f(х), що лежать усередині її області визначення, знаходяться серед коренів рівняння f'(х) = 0 і часто використовується формула кінцевих прирощень (формула Лагранжа) f(b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), де a<ξ0 тягне у себе суворе зростання функції, а умова f '' (х) > 0 - її сувору опуклість. Крім того, диференціальне обчислення дозволяє обчислювати різноманітні межі функцій, зокрема межі відносин двох функцій, що є невизначеністю виду 0/0 або виду ∞/∞ (дивись Розкриття невизначеностей). Особливо зручно диференціальне обчислення для дослідження елементарних функцій, похідні яких виписуються у явному вигляді.

Диференціальне обчислення функцій багатьох змінних.Методи диференціального обчислення застосовуються на дослідження функцій кількох змінних. Для функції двох змінних u = f(х, у) її приватної похідної по х у точці М (х, у) називається похідна цієї функції по х при фіксованому у, яка визначається як

і позначається одним із символів f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x або ∂f(x,y)’/∂x. Аналогічно визначається та позначається приватна похідна функції u = f(x,y) по y. Величина Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) називається повним збільшенням функції та у точці М (х, у). Якщо цю величину можна подати у вигляді

де А і В не залежать від Δх і Δу, а α прагне до нуля при

то функція u = f(х, у) називається диференційованою у точці М (х, у). Суму АΔх + ВΔу називають повним диференціалом функції u = f(х, у) у точці М(х, у) та позначають символом du. Так як А = f'х (х, у), В = f'у (х, у), а приросту Δх і Δу можна взяти рівними їх диференціалам dx і dy, то повний диференціал du можна записати у вигляді

Геометрично диференційованість функції двох змінних u = f(х, у) у цій точці М (х, у) означає існування у її графіка в цій точці дотичної площини, а диференціал цієї функції є приростом аплікати точки дотичної площини, що відповідає приростам dx і dy незалежних змінних. Для функції двох змінних поняття диференціала значно важливішим і природнішим, ніж поняття приватних похідних. На відміну від функції однієї змінної, для диференційності функції двох змінних u = f(х, у) у цій точці М(х, у) мало існування у цій точці кінцевих приватних похідних f'х(х, у), і f' у(х, у). Необхідна і достатня умова диференційності функції u = f(х, у) у точці М (х, у) полягає в існуванні кінцевих приватних похідних f'х(х, у) та f'у(х, у) та у прагненні до нуля при

величини

Чисельник цієї величини виходить, якщо спочатку взяти збільшення функції f(х, у), що відповідає приросту Δх її першого аргументу, а потім взяти приріст отриманої при цьому різниці f(х + Δх, у) - f(х, у), що відповідає приросту Δу її других аргументів. Простою достатньою умовою диференційності функції u = f(х, у) у точці М(х, у) є існування безперервних у цій точці приватних похідних f'х(х, у) та f′у(х, у).

Аналогічно визначаються похідні вищих порядків. Приватні похідні ∂ 2 f/∂х 2 і ∂ 2 f/∂у 2 , у яких обидва диференціювання ведуться по одній змінній, називають чистими, а приватні похідні ∂ 2 f/∂х∂у та ∂ 2 f/∂у∂ - Змішаними. У кожній точці, де обидві змішані приватні похідні безперервні, вони рівні один одному. Ці визначення та позначення переносяться на випадок більшої кількості змінних.

Історичний нарис. Окремі завдання визначення дотичних до кривим і знаходження максимальних і мінімальних значень змінних величин було вирішено математиками Стародавню Грецію. Наприклад, були знайдені способи побудови дотичних до конічних перерізів та деяких інших кривих. Однак розроблені античними математиками методи були далекі від ідей диференціального обчислення і могли застосовуватися лише в окремих випадках. До середини 17 століття стало ясно, що багато з згаданих завдань разом з іншими (наприклад, завдання визначення миттєвої швидкості) можуть бути вирішені за допомогою того самого математичного апарату, при використанні похідних і диференціалів. Близько 1666 року І. Ньютон розробив метод флюксій (дивись Флюксій обчислення). Ньютон розглядав, зокрема, два завдання механіки: задачу визначення миттєвої швидкості руху за відомою залежності шляху від часу і завдання визначення пройденого за цей час шляху відомої миттєвої швидкості. Безперервні функції часу Ньютон називав флюентами, а швидкості зміни - флюксиями. Таким чином, у Ньютона головними поняттями були похідна (флюксія) та невизначений інтеграл(флюенти). Він намагався обґрунтувати метод флюксій за допомогою теорії меж, яка на той час була недостатньо розвинена.

У середині 1670-х років Г. В. Лейбніц розробив зручні алгоритми диференціального обчислення. Основними поняттями у Лейбніца були диференціал як нескінченно мале збільшення функції і певний інтеграл як сума нескінченно великої кількості диференціалів. Він увів позначення диференціала та інтеграла, термін «диференціальне числення», отримав ряд правил диференціювання, запропонував зручну символіку. Подальший розвиток диференціального обчислення в 17 столітті йшло переважно шляхом, наміченому Лейбніцем; Велику роль цьому етапі зіграли роботи Я. і І. Бернуллі, Б. Тейлора та інших.

Наступний етап у розвитку диференціального обчислення пов'язаний з роботами Л. Ейлера та Ж. Лагранжа (18 століття). Ейлер вперше став викладати диференціальне обчислення як аналітичну дисципліну, незалежно від геометрії та механіки. Він знову використав як основне поняття диференціального обчислення похідну. Лагранж намагався будувати диференціальне числення алгебраїчно, користуючись розкладаннями функцій у статечні ряди; він ввів термін «похідна» та позначення у' і f'(х). На початку 19 століття було вирішено завдання обгрунтування диференціального обчислення з урахуванням теорії меж, головним чином завдяки роботам О. Коші, Б. Больцано і До. Гаусса. Глибокий аналізвихідних понять диференціального обчислення був із розвитком теорії множин і теорії функцій дійсних змінних наприкінці 19 - початку 20 століття.

Історія математики: У 3 т. М., 1970-1972; Рибніков К. А. Історія математики. 2-ге вид. М., 1974; Нікольський С. М. Курс математичного аналізу. 6-те вид. М., 2001: Зорич В. А. Математичний аналіз: У 2 частина 4-те вид. М., 2002; Кудрявцев Л. Д. Курс математичного аналізу: У 3 т. 5-те вид. М., 2003–2006; Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального та інтегрального обчислення: У 3 т. 8-те вид. М., 2003–2006; Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу. 7-е вид. М., 2004. Ч. 1. 5-те вид. М., 2004. Ч. 2; Ільїн Ст А., Садовничий Ст А., Сендов Бл. Х. Математичний аналіз. 3-тє вид. М., 2004. Ч. 1. 2-ге вид. М., 2004. Ч. 2; Ільїн В. А., Куркіна Л. В. Вища математика. 2-ге вид. М., 2005.

Диференціальне обчислення є розділом математичного аналізу, що вивчає похідну, диференціали та їх використання при дослідженні функції.

Історія появи

Диференціальне обчислення виділилося самостійну дисципліну у другій половині 17 століття, завдяки працям Ньютона і Лейбніца, які сформулювали основні тези у обчисленні диференціалів і помітили зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. З цього моменту дисципліна розвивалася разом із обчисленням інтегралів, становлячи цим основу математичного аналізу. Поява даних обчислень відкрило новий сучасний період у математичному світі та викликало виникнення нових дисциплін у науці. Також розширило можливість застосування математичної науки у природознавстві та техніці.

Основні поняття

Диференціальне числення базується на фундаментальних поняттях математики. Ними є: безперервність, функція та межа. Згодом вони набули сучасного вигляду, завдяки інтегральним і диференціальним обчисленням.

Процес створення

Формування диференціального обчислення як прикладного, та був і наукового методу відбулося перед виникненням філософської теорії, яку створив Микола Кузанський. Його роботи вважаються еволюційним розвитком суджень античної науки. Незважаючи на те, що сам філософ математиком не був, його внесок у розвиток математичної науки незаперечний. Кузанський один з перших уникнув розгляду арифметики як максимально точної галузі науки, поставивши математику того часу під сумнів.

У античних математиків універсальним критерієм була одиниця, у той час як філософ запропонував як нову міру нескінченність замість точного числа. У зв'язку з цим інвертується уявлення точності математичної науці. Наукове знання, за його уявленням, поділяється на розумове та інтелектуальне. Друге є точнішим, на думку вченого, оскільки перше дає лише приблизний результат.

Ідея

Основна ідея та поняття у диференціальному обчисленні пов'язані з функцією в малих околицях певних точок. Для цього необхідно створити математичний апарат для досліджень функції, поведінка якої в малій околиці встановлених точок близька до поведінки багаточлена або лінійної функції. Засноване це на визначенні похідної та диференціалу.

Поява була викликана великою кількістю завдань з природничих наук та математики, які призводили до знаходження значень меж одного типу.

Одним з основних завдань, які даються як приклад, починаючи зі старших класів школи, є визначення швидкості руху точки по прямій лінії та побудова дотичної лінії до цієї кривої. Диференціал пов'язаний з цим, оскільки є можливість наблизити функцію в малій околиці розглянутої точки лінійної функції.

У порівнянні з поняттям похідної функції дійсної змінної, визначення диференціалів просто переходить на функцію загальної природи, зокрема на зображення одного евклідового простору на інше.

Похідна

Нехай точка рухається за напрямком осі Оу, за час візьмемо х, яке відраховується від якогось початку моменту. Описати таке переміщення можна за функцією у = f (x), яка ставиться у відповідність кожному часовому моменту х координати точки, що переміщується. Цю функцію в механіці прийняти називати законом руху. Основною характеристикою руху, особливо нерівномірного, є Коли точка переміщається по осі Оу згідно із законом механіки, то у випадковий тимчасовий момент х вона набуває координати f(x). У тимчасовий момент х + Δх, де Δх позначає збільшення часу, її кордината буде f(х + Δх). Так формується формула Δy = f(х + Δх) - f(х), яку називають збільшенням функції. Вона є пройдений точкою шлях за час від х до х + Δх.

У зв'язку з виникненням цієї швидкості на момент часу вводиться похідна. У довільній функції похідну фіксованою точкою називають межею (за умови його існування). Позначатися вона може певними символами:

f'(х), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Процес обчислення похідної називають диференціюванням.

Диференціальне обчислення функції кількох змінних

Цей метод обчислення застосовується щодо функції з декількома змінними. За наявності двох змінних х і у, приватна похідна по х у точці А називається похідною цієї функції по х з фіксованим у.

Може позначатися такими символами:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x або ∂f(x,y)'/∂x.

Необхідні навички

Щоб успішно вивчити та вміти вирішувати дифури, потрібні навички в інтегруванні та диференціюванні. Щоб було легше розібратися в диференціальних рівняннях, слід добре розуміти тему похідної і не завадить навчитися шукати похідну від неявно заданої функції. Пов'язано це про те, що у процесі вивчення доведеться часто використовувати інтеграли і диференціювання.

Типи диференціальних рівнянь

Практично у всіх контрольних роботах, пов'язаних з існує 3 види рівнянь: однорідні, з змінними, що розділяються, лінійні неоднорідні.

Є й рідкісні різновиди рівнянь: з повними диференціалами, рівняння Бернуллі та інші.

Основи рішення

Спочатку слід згадати алгебраїчні рівняння зі шкільного курсу. Вони містяться змінні і числа. Для вирішення звичайного рівняння слід знайти безліч чисел, що задовольняють задану умову. Як правило, такі рівняння мали одні корені, і для перевірки правильності слід лише підставити це значення на місце невідомої.

Диференціальне рівняння схоже на це. У випадку таке рівняння першого порядку включає:

• Незалежну змінну.
• Похідну першу функцію.
• Функцію чи залежну змінну.

В окремих випадках може бути відсутня одна з невідомих, х або у, однак це не так важливо, тому що необхідна наявність першої похідної, без похідних вищих порядків, щоб рішення та диференціальне обчислення були вірні.

Розв'язати диференціальне рівняння - це знайти безліч всіх функцій, відповідних заданому выражению. Подібне безлічі функцій часто називається загальним рішенням ДУ.

Інтегральне числення

Інтегральне обчислення є одним із розділів математичного аналізу, який вивчає поняття інтеграла, властивості та методи його обчислення.

Найчастіше обчислення інтеграла зустрічається при обчисленні площі криволінійної постаті. Під цією площею мається на увазі межа, якого прагне площа вписаного в задану фігуру багатокутника з поступовим зростанням його боку, при цьому дані сторони можуть бути виконані менше будь-якого раніше зазначеного довільного малого значення.

Головна ідея у обчисленні площі довільної геометричної фігури полягає у підрахунку площі прямокутника, тобто доказі, що його площа дорівнює добутку довжини на ширину. Коли йдеться про геометрію, то всі побудови виробляються за допомогою лінійки та циркуля, і тоді відношення довжини до ширини є раціональним значенням. При підрахунку площі прямокутного трикутника можна визначити, якщо відкласти такий самий трикутник поруч, то утворюється прямокутник. У паралелограмі площа підраховується подібним, але трохи більш ускладненим методом через прямокутник і трикутник. У багатокутниках площу вважають через трикутники, що входять до нього.

При визначенні помилування довільної кривої цей метод не підійде. Якщо розбити її на одиничні квадрати, залишаться незаповнені місця. У цьому випадку намагаються використовувати два покриття, з прямокутниками зверху і знизу, в результаті включають графік функції і не включають. Важливим тут залишається спосіб розбивання цих прямокутників. Також якщо брати розбивання дедалі більші, то площа зверху і знизу повинна зійтися на певному значенні.

Слід повернутись до способу поділу на прямокутники. Є два популярні методи.

Ріманом було формалізоване визначення інтеграла, створене Лейбніцем і Ньютоном, як площі підграфіка. В цьому випадку були розглянуті фігури, що складаються з деякого числа вертикальних прямокутників та отримані при розподілі відрізка. Коли при зменшенні розбивання є межа, до якої зводиться площа подібної фігури, цю межу називають інтегралом Рімана функції на заданому відрізку.

Другим методом є побудова інтеграла Лебега, яке полягає в тому, що за місце поділу визначається області на частини підінтегральної функції і складання потім інтегральної суми з отриманих значень у цих частинах, на інтервали ділиться її область значень, а потім підсумовується з відповідними заходами прообразів цих інтегралів.

Сучасні посібники

Одне з основних посібників з вивчення диференціального та інтегрального обчислення написав Фіхтенгольц – "Курс диференціального та інтегрального обчислення". Його підручник є фундаментальним посібником з вивчення математичного аналізу, який витримав багато видань та перекладів іншими мовами. Створений для студентів вищих навчальних закладів і довгий час застосовується в багатьох навчальних закладах як один з основних посібників з вивчення. Дає теоретичні дані та практичні вміння. Вперше видано 1948 року.

Алгоритм дослідження функції

Щоб досліджувати методами диференціального обчислення функцію, необхідно слідувати вже заданому алгоритму:

1. Знайти область визначення функції.
2. Знайти коріння заданого рівняння.
3. Підрахувати екстремуми. Для цього слід обчислити похідну та точки, де вона дорівнює нулю.
4. Підставляємо отримане значення рівняння.

Різновиди диференціальних рівнянь

ДУ першого порядку (інакше, диференціальне обчислення однієї змінної) та їх види:

• Рівняння з змінними, що розділяються: f(y)dy=g(x)dx.
• Найпростіші рівняння або диференціальне обчислення функції однієї змінної, що мають формулу: y"=f(x).
• Лінійне неоднорідне ДК першого порядку: y" + P (x) y = Q (x).
• Диференційне рівняння Бернуллі: y" + P (x) y = Q (x) y a.
• Рівняння з повними диференціалами: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Диференціальні рівняння другого порядку та їх види:

• Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку із постійними значеннями коефіцієнта: y n +py"+qy=0 p, q належить R.
• Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з незмінним значенням коефіцієнтів: y n +py"+qy=f(x).
• Лінійне однорідне диференціальне рівняння: y n +p(x)y"+q(x)y=0 і неоднорідне рівняння другого порядку: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Диференціальні рівняння вищих порядків та їх види:

• Диференціальне рівняння, що допускають зниження порядку: F(x,y(k),y(k+1),..,y(n) =0.
• Лінійне рівняння вищого порядку однорідне: y(n) +f (n-1) y(n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, і неоднорідне: y(n) +f (n-1) y(n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Етапи розв'язання задачі з диференціальним рівнянням

З допомогою ДУ вирішуються як математичні чи фізичні питання, а й різні проблеми з біології, економіки, соціології та іншого. Незважаючи на велику різноманітність тем, слід дотримуватися єдиної логічної послідовності під час вирішення подібних проблем:

1. Упорядкування ДУ. Один з найскладніших етапів, який вимагає максимальної точності, оскільки будь-яка помилка призведе до цілком неправильних результатів. Слід враховувати всі фактори, що впливають на процес та визначити початкові умови. Також слід ґрунтуватися на фактах та логічних висновках.
2. Розв'язання складеного рівняння. Цей процес простіше за перший пункт, оскільки вимагає лише суворого виконання математичних підрахунків.
3. Аналіз та оцінка отриманих підсумків. Виведене рішення слід оцінити для встановлення практичної та теоретичної цінності результату.

Приклад використання диференціальних рівнянь у медицині

Використання ДУ у галузі медицини зустрічається при побудові епідеміологічної математичної моделі. При цьому не варто забувати, що ці рівняння також зустрічаються в біології та хімії, які близькі до медицини, тому що в ній важливу роль відіграє дослідження різних біологічних популяцій та хімічних процесів у тілі людини.

У наведеному прикладі з епідемією можна розглядати поширення інфекції в ізольованому суспільстві. Жителі поділяються на три види:

• Інфіковані, чисельність x(t), що з особин, носіїв інфекції, кожен із яких заразний (інкубаційний період короткий).
• Другий вид включає сприйнятливих особин y(t), здатних заразитись при контактуванні з інфікованими.
• Третій вид включає несприйнятливих особин z(t), які мають імунітет або загинули через хворобу.

Кількість особин постійно, облік народження, природних смертей та міграції не враховується. В основі буде дві гіпотези.

Відсоток захворюваності в певний часовий момент дорівнює x(t)y(t) (ґрунтується припущення на теорії, що кількість хворих, що пропорційно кількості перетинів між хворими та сприйнятливими представниками, яка в першому наближенні буде пропорційно x(t)y(t)), в у зв'язку з цим кількість хворих зростає, а число сприйнятливих зменшується зі швидкістю, яка обчислюється за формулою ax(t)y(t) (a > 0).

Число несприйнятливих особин, які набули імунітету або загинули, зростає зі швидкістю, яка пропорційна кількості хворих, bx(t) (b > 0).

У результаті можна скласти систему рівнянь з урахуванням всіх трьох показників та її основі зробити висновки.

Приклад використання економіки

Диференційне літочислення часто застосовується при економічному аналізі. Основне завдання в економічному аналізі вважається вивчення величин з економіки, які записані у форму функції. Це використовується при вирішенні завдань на кшталт зміни доходу відразу після збільшення податків, введення мит, зміни виручки компанії при зміні вартості продукції, в якій пропорції можна замінити працівників, що вибули, новим обладнанням. Щоб вирішити такі питання, потрібно побудувати функцію зв'язку з вхідних змінних, які вивчаються за допомогою диференціального обчислення.

У економічній сфері найчастіше потрібно знайти найоптимальніші показники: максимальну продуктивність праці, найвищий дохід, найменші витрати та інше. Кожен такий показник є функцією одного чи кількох аргументів. Наприклад, виробництво можна як функцію з витрати праці та капіталу. У зв'язку з цим перебування відповідного значення можна звести до пошуку максимуму або мінімуму функції з однієї або декількох змінних.

Такі завдання створюють клас екстремальних завдань у економічній галузі, на вирішення яких необхідно диференціальне обчислення. Коли економічний показник потрібно мінімізувати або максимізувати як функцію від іншого показника, то в точці максимуму відношення збільшення функції до аргументів буде прагнути нуля, якщо збільшення аргументу прагне нульового значення. Інакше ж, коли подібне ставлення прагне якогось позитивного чи негативного значення, зазначена точка не є підходящою, тому що при збільшенні або зменшенні аргументу можна поміняти залежну величину в необхідному напрямку. У термінології диференціального обчислення це означатиме, що необхідною умовою для максимуму функції є нульове значення її похідної.

У економіці нерідко трапляються завдання перебування екстремуму функції з кількома змінними, оскільки економічні показники складаються з багатьох чинників. Подібні питання добре вивчені теорії функцій кількох змінних, що застосовує методи диференціального обчислення. Подібні завдання включають не тільки максимізовані і мінімізовані функції, але й обмеження. Подібні питання відносяться до математичного програмування, і вирішуються вони за допомогою спеціально розроблених методів, що також спираються на цей розділ науки.

p align="justify"> Серед методів диференціального обчислення, що використовуються в економіці, важливим розділом є граничний аналіз. В економічній сфері цей термін позначає сукупність прийомів дослідження змінюваних показників та результатів при зміні обсягів створення, споживання, ґрунтуючись на аналізі їх граничних показників. Граничним показником вважається похідна або приватні похідні за кількох змінних.

Диференціальне обчислення кількох змінних - важлива тема у галузі математичного аналізу. Для детального вивчення можна використовувати різноманітні навчальні посібники для вищих навчальних закладів. Одне з найвідоміших створив Фіхтенгольц – "Курс диференціального та інтегрального обчислення". Як видно з назви, для вирішення диференціальних рівнянь чимале значення мають навички у роботі з інтегралами. Коли має місце диференціальне обчислення функції однієї змінної, рішення стає простішим. Хоча, слід зазначити, воно підпорядковується тим самим основним правилам. Щоб на практиці досліджувати функцію диференціальним обчисленням, достатньо слідувати вже існуючому алгоритму, який дається у старших класах школи і лише небагатьом ускладнюється при введенні нових змінних.