Колобок рухається у лабіринті за наступним принципом.

Завдання 1.На іспиті з геометрії школяру дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Зовнішні кути» дорівнює 0,35. Імовірність того, що це питання на тему «Вписане коло» дорівнює 0,2. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.

Рішення:

Події «Дістане питання на тему Вписані кути» і «Дістане питання на тему вписане коло» – . Значить, ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих тем дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,35 +0,2 = 0,55.

Відповідь: 0,55.

Завдання 2.Дві фабрики випускають однакові стекла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 70% цього скла, друга – 30%. Перша фабрика випускає 1% бракованого скла, а друга – 3%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.

Рішення:

Ситуація 1:

Скло виявляється з першої фабрики (імовірність події 0,7) та (множення)воно браковане (імовірність події 0,01).

Тобто мають відбутися обидві події. На мові теорії ймовірностей це означає кожну з подій:

Ситуація 2:

Скло виявляється з другої фабрики (імовірність події 0,3) івоно браковане (імовірність події 0,03):

Оскільки при покупці скла ми опиняємося в ситуації 1 або (сума)в ситуації 2, то одержуємо:

Відповідь: 0,016.

Завдання 3.У тому центрі два однакових автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,16. Знайдіть ймовірність того, що до кінця дня кава залишиться в обох автоматах.

Рішення:

Імовірність події А: «кава закінчиться в першому автоматі» P(A) дорівнює 0,3.

Імовірність події У: «кава закінчиться у другому автоматі» P(B) дорівнює 0,3.

Імовірність події АB: «кава закінчиться в обох автоматах» P(АB) дорівнює 0,16.

Імовірність суми двох спільних подійА+В є сума їх ймовірностей без ймовірності події АB:

Нас цікавить ймовірність події, протилежної події А+В. Справді, всього можливі 4 події, три з них, позначені жовтим кольором, відповідають події А+В:

Відповідь: 0,56.

Завдання 4.У магазині стоять два платіжні автомати. Кожен може бути несправний з ймовірністю 0,12 незалежно від іншого автомата. Знайдіть ймовірність того, що хоча б один автомат справний.

Рішення:

Обидва автомати несправні з ймовірністю

Хоча б один автомат справний (справний + несправний, несправний + справний, справний + справний) - це подія, протилежна події «обидва автомати несправні», тому його ймовірність є

Відповідь: 0,9856.

Завдання 5.Біатлоніст 5 разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,85. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші 3 рази потрапив у мішені, а останні два промахнувся. Результат округліть до сотих.

Рішення:

Біатлоніст потрапляє в ціль вперше та (множення)другий, ітретій:

Так як ймовірність попадання в ціль - то ймовірність протилежної події, промахи, –

Біатлоніст промахнувся під час четвертого пострілу іпри п'ятому:

Тоді ймовірність того, що біатлоніст перші 3 рази потрапив у ціль, а ( і!) останні два промахнувся така:

Відповідь: 0,01.

Завдання 6.Імовірність того, що новий пилосос прослужить більше року, дорівнює 0,92. Імовірність того, що він прослужить понад два роки, дорівнює 0,84. Знайдіть ймовірність того, що він прослужить менше двох років, але більше року.

Рішення:

Розглянемо такі події:

А – «пилосос прослужить більше року, але менше 2»,

В – «пилосос прослужить більше 2-х років»,

С – «пилосос прослужить більше року».

С є сума спільних подій А і В, тобто

Але , оскільки може одночасно статися і А, і У.

Відповідь: 0,08.

Завдання 7.Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,07. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.

Рішення:

Імовірність перегорання всіх трьох лампочок протягом року

Тоді ймовірність протилежної події – хоч би одна лампа не перегорить – є

Відповідь: 0,999657.

Завдання 8.Агрофірма закуповує курячі яйцяу двох домашніх господарствах. 40% яєць з першого господарства – яйця вищої категорії, а з другого господарства – 90% яєць вищої категорії. Загалом вищу категорію отримує 60% яєць. Знайдіть ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявиться з першого господарства.

Рішення:

I спосіб

Нехай ймовірність того, що яйце, куплене у агрофірми, – з I господарства – . Тоді ймовірність того, що яйце, куплене у агрофірми, – з II господарства – .

1) із I господарства іІ категорії

2) із II господарства іІ категорії,

II спосіб

Нехай кількість яєць першого господарства, тоді кількість яєць вищої категорії в цьому господарстві - .

Нехай кількість яєць другого господарства, тоді кількість яєць вищої категорії в цьому господарстві - .

Так як за умови вищу категорію отримує 60% яєць, а всього яєць, що закуповуються агрофірмою, з яких вищої категорії, то

Тобто у першого господарства закуповується у рази більше яєць.

Тоді ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявиться з першого господарства.

Відповідь: 0,6.

Завдання 9.Ковбой Джон потрапляє у муху на стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,3. На столі лежить 10 револьверів, з них лише 4 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.

Рішення:

Джон вистачає пристріляний револьвер (імовірність цього) іпромахується (імовірність). Імовірність цієї події

Джон вистачає непристріляний револьвер (імовірність цього) іпромахується (імовірність). Імовірність цієї події

Джон може схопити пристріляний револьвер і схибити абосхопити непристріляний револьвер і промахнутися, тому ймовірність є:

Відповідь: 0,46.

Завдання 10.Імовірність того, що на тесті з математики учень У. правильно вирішить більше 12 завдань, дорівнює 0,78. Імовірність того, що У. правильно вирішить більше 11 завдань, дорівнює 0,88. Знайдіть ймовірність того, що У. правильно вирішить рівно 12 завдань.

Рішення:

Нехай подія А: «учень правильно вирішить 12 завдань»,

подія В: «учень вирішить більше 12 завдань»,

подія З: «учень вирішить понад 11 завдань».

При цьому ймовірність події є сума ймовірностей подій А і В:

- Це і є ймовірність.

Відповідь: 0,1.

Завдання 11.У Чарівній країнібуває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що із ймовірністю 0,8 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. 3 серпня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 6 серпня у Чарівній країні буде чудова погода.

Рішення:

(Ми відзначили за "X" - "хороша погода", "O" - "відмінна погода")

D: XХXO станеться з ймовірністю

Подія F: ХХОО станеться з ймовірністю

J: ХООО станеться з ймовірністю

Подія H: ХОXО станеться з ймовірністю

Відповідь: 0,392.

Завдання 12.На малюнку зображено лабіринт. Павук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися і повзти назад павук не може, тому на кожному розгалуженні павук вибирає один із шляхів, яким ще не повз. Вважаючи, що вибір подальшого шляхусуто випадковий, визначте, з якою ймовірністю павук прийде до виходу D.

Рішення:

На своєму шляху павук зустрічає чотири розвилки. І на кожному розвилці павук може вибрати шлях, що веде до виходу D, з ймовірністю 0,5 (адже на кожному розвилці можливі дві незалежні рівноможливі події: «вибір правильного шляху» і «вибір неправильного шляху»). Павук дійде до виходу D, якщо обере « правильний шлях» на першому роздоріжжі іна другий, іна третій, іна четвертій, тобто до виходу D павук прийде з ймовірністю, що дорівнює
Відповідь: 0,0625.

Завдання 13.Усім пацієнтам із підозрою на гепатит роблять аналіз крові. Якщо аналіз виявляє гепатит, результат аналізу називається позитивним. У хворих на гепатит пацієнтів аналіз дає позитивний результат з ймовірністю 0,9. Якщо пацієнт не хворий на гепатит, то аналіз може дати помилковий позитивний результат з ймовірністю 0,01. Відомо, що у 6% пацієнтів із підозрою на гепатит аналіз дає позитивний результат. Знайдіть ймовірність того, що пацієнт, який надійшов з підозрою на гепатит, дійсно хворий на гепатит. Відповідь округліть до тисячних.

Рішення:

Нехай – ймовірність того, що пацієнт, який надійшов із підозрою на гепатит, справді хворийгепатит.

Тоді – ймовірність того, що пацієнт, який надійшов із підозрою на гепатит, не хворийгепатит.

Аналіз дає позитивний результат у випадках

пацієнт хворий і (множення)аналіз позитивний

або (додавання)

пацієнт не хворий іаналіз помилково позитивний

Оскільки за умовою завдання у 6% пацієнтів із підозрою на гепатит аналіз дає позитивний результат, то

Округлюємо до тисячних: .

Відповідь: 0,056.

Завдання 14.При артилерійській стрільбі автоматична система робить постріл за мету. Якщо ціль не знищена, то система робить повторний постріл. Постріли повторюються доти, доки ціль не буде знищена. Імовірність знищення певної мети при першому пострілі дорівнює 0,4, а за кожним наступним - 0,6. Скільки пострілів знадобиться для того, щоб ймовірність знищення мети була не менше 0,98?

Рішення:

Переформулюємо питання:

Скільки пострілів потрібно для того, щоб ймовірність промаху була б меншою за 0,02?

За одного пострілу ймовірність промаху – 0,6.

При двох пострілах ймовірність промаху – (перший постріл – промах та другий постріл – промах).

При трьох пострілах ймовірність промаху –

При чотирьох пострілах ймовірність промаху –

За п'яти пострілів ймовірність промаху –

Помічаємо, що .

Отже, п'яти пострілів достатньо, щоб ймовірність знищення мети була щонайменше 0,98.

Підготовка до єдиного державному екзаменуз математики. Корисні матеріалита відеорозбори завдань з теорії ймовірностей

Корисні матеріали

Відеорозбір завдань

За круглий стілна 5 стільців у випадковому порядку розсаджуються 3 хлопчики та 2 дівчинки. Знайдіть ймовірність того, що обидві дівчатка сидітимуть поряд.

У Чарівній країні буває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що з ймовірністю 0,7 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. Сьогодні 28 березня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 1 квітня у Чарівній країні буде чудова погода.

На чемпіонаті зі стрибків у воду виступають 50 спортсменів, серед них 8 стрибунців з Росії та 10 стрибунців з Мексики. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що п'ятнадцятим виступатиме стрибун із Росії.

На малюнку зображено лабіринт. Павук заповзає у лабіринт у точці "Вхід". Розвернутися і повзти назад павук не може, тому на кожному розгалуженні павук вибирає один із шляхів, яким ще не повз. Вважаючи, що вибір подальшого шляху є чисто випадковим, визначте, з якою ймовірністю павук прийде до виходу D.

Автоматична лінія виготовляє батареї. Імовірність того, що готова батарея несправна, дорівнює 0,02. Перед упакуванням кожна батарея проходить систему контролю. Імовірність того, що система забракує несправну батарею, дорівнює 0,99. Імовірність того, що система помилково забракує справну батарейку, дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана виготовлена ​​батарея буде забракована системою контролю.

Імовірність того, що батарейка бракована, дорівнює 0,06. Покупець у магазині вибирає випадкову упаковку, в якій дві такі батареї. Знайдіть ймовірність того, що обидві батарейки виявляться справними.

Добірка завдань

1. У кишені у Миші було чотири цукерки - "Грильяж", "Білочка", "Корівка" та "Ластівка", а також ключі від квартири. Виймаючи ключі, Мишко випадково випустив з кишені одну цукерку. Знайдіть ймовірність того, що загубилася цукерка "Грильяж".
2. У змаганнях з штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів з Данії, 9 спортсменів зі Швеції та 5 - з Норвегії. Порядок, у якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції.
3. Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 бадмінтоністів, серед яких 10 учасників із Росії, зокрема Руслан Орлов. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов гратиме з будь-яким бадмінтоністом із Росії?
4. У чемпіонаті світу беруть участь 16 команд. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи з чотирьох команд у кожній. У ящику упереміш лежать картки з номерами груп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капітани команд тягнуть по одній картці . Яка ймовірність того, що команда Росії опиниться у другій групі?
5. Наукова конференціяпроводиться у 5 днів. Усього заплановано 75 доповідей - перші три дні по 17 доповідей, решта розподілена порівну між четвертим і п'ятим днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що доповідь професора Максимова виявиться запланованою на останній день конференції?
6. У середньому із 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 5 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
7. Завод випускає сумки. У середньому на 100 якісних сумок припадає вісім сумок із прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округліть до сотих.
8. Механічний годинникз дванадцятигодинним циферблатом якоїсь миті зламалися і перестали ходити. Знайдіть ймовірність того, що годинна стрілказастигла, досягнувши позначки 10, але не дійшовши до позначки 1 год.
9. У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що вперше випадає орел, а вдруге - решка.
10. У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.
11. У довільному експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть можливість того, що випаде хоча б дві решки.
12. У випадковому експерименті кидають дві гральні кубики. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 8 очок. Результат округліть до сотих.
13. На рок-фестивалі виступають гурти - по одній від кожної із заявлених країн. Порядок виступу визначається жеребом. Яка ймовірність того, що гурт із Данії виступатиме після групи зі Швеції та після групи з Норвегії? Результат округліть до сотих.
14. У класі 26 осіб, серед них два близнюки – Андрій та Сергій. Клас випадково ділять на дві групи по 13 осіб у кожній. Знайдіть ймовірність того, що Андрій та Сергій опиняться в одній групі.
15. У класі навчається 21 особа. Серед них дві подруги: Аня та Ніна. Клас випадково ділять на 7 груп, по 3 людини в кожній. Знайти можливість того. що Аня та Ніна опиняться в одній групі.
16. Стрілець стріляє по мішені один раз. У разі промаху стрілок робить другий постріл по тій самій мішені. Імовірність потрапити в ціль при одному пострілі дорівнює 0,7. Знайдіть ймовірність того, що мета буде вражена (або першим, або другим пострілом).
17. Якщо гросмейстер Антонов грає білими, він виграє в гросмейстера Борисова з ймовірністю 0,52. Якщо Антонов грає чорними, Антонов виграє в Борисова з ймовірністю 0,3. Гросмейстери Антонов і Борисов грають дві партії, причому у другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що Антонов виграє обидва рази.
18. У магазині три продавці. Кожен із них зайнятий з клієнтом із ймовірністю 0,3. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу всі три продавці зайняті одночасно (вважайте, що клієнти заходять незалежно один від одного).
19. Імовірність того, що новий DVD-програвач протягом року надійде у гарантійний ремонт, дорівнює 0,045. У деякому місті із 1000 проданих DVD-програвачів протягом року до гарантійної майстерні надійшла 51 штука. Наскільки відрізняється частота події "гарантійний ремонт" від його ймовірності у цьому місті?
20. При виготовленні підшипників діаметром 67 мм ймовірність того, що діаметр відрізнятиметься від заданого не більше ніж на 0,01 мм, дорівнює 0,965. Знайдіть ймовірність того, що випадковий підшипник матиме діаметр менше ніж 66,99 мм або більше ніж 67,01 мм.
21. Яка ймовірність того, що випадково обране натуральне числовід 10 до 19 ділиться на три?
22. Перед початком футбольного матчу суддя кидає монетку, щоб визначити, яка команда розпочне гру з м'ячем. Команда "Фізик" грає три матчі з різними командами. Знайдіть ймовірність того, що в цих іграх "Фізик" виграє жереб рівно двічі.
23. Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесне жеребкування, щоб визначити, яка команда розпочне гру з м'ячем. Команда "Статор" по черзі грає з командами "Ротор", "Мотор" та "Стартер". Знайдіть ймовірність того, що "Статор" розпочинатиме лише першу та останню ігри.
24. У магазині стоять два платіжні автомати. Кожен може бути несправний з ймовірністю 0,05 незалежно від іншого автомата. Знайдіть ймовірність того, що хоча б один автомат справний.
25. За відгуками покупців Іван Іванович оцінив надійність двох інтернет-магазинів. Імовірність того, що потрібний товар доставлять із магазину А, дорівнює 0,8. Імовірність того, що цей товар доставлять із магазину Б, дорівнює 0,9. Іван Іванович замовив товар одразу в обох магазинах. Вважаючи, що інтернет-магазини працюють незалежно один від одного, знайдіть ймовірність того, що жоден магазин не доставить товар.
26. Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив у мішені, а останні два промахнувся. Результат округліть до сотих
27. Приміщення висвітлюється ліхтарем із двома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,3. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.
28. На іспиті з геометрії школяреві дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему "Вписане коло", дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему "Паралелограм", дорівнює 0,15. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.
29. Із районного центру до села щодня ходить автобус. Імовірність того, що у понеділок в автобусі виявиться менше 20 пасажирів, дорівнює 0,94. Імовірність того, що виявиться меншою за 15 пасажирів, дорівнює 0,56. Знайдіть ймовірність того, що кількість пасажирів буде від 15 до 19.
30. Імовірність того, що новий електричний чайник прослужить понад рік, дорівнює 0,97. Імовірність того, що він прослужить понад два роки, дорівнює 0,89. Знайдіть ймовірність того, що він прослужить менше двох років, але більше року.
31. Імовірність того, що на тесті з біології учень О. правильно вирішить більше 11 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що О. правильно вирішить більше 10 завдань, дорівнює 0,74. Знайдіть ймовірність того, що О. правильно вирішить рівно 11 завдань.
32. Щоб пройти до наступного кола змагань, футбольній команді потрібно набрати хоча б 4 очки у двох іграх. Якщо команда виграє, вона отримує 3 очки, у разі нічиєї – 1 очко, якщо програє – 0 очок. Знайдіть ймовірність, що команді вдасться вийти в наступне коло змагань. Вважайте, що у кожній грі ймовірності виграшу та програшу однакові та дорівнюють 0,4.
33. У Чарівній країні буває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що із ймовірністю 0,8 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. Сьогодні 3 липня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 6 липня у Чарівній країні буде чудова погода.
34. У групі туристів – 5 осіб. За допомогою жереба вони обирають двох людей, які мають іти до села за продуктами. Артем хотів би сходити до магазину, але він підкоряється жеребу. Яка ймовірність того, що Артем піде до магазину?
35. Аби вступити до інституту на спеціальність "Лінгвістика", абітурієнт має набрати на ЄДІ не менше 70 балів з кожного з трьох предметів - математика, російська та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність "Комерція", потрібно набрати не менше 70 балів з кожного із трьох предметів - математика, російська мова та суспільствознавство. Імовірність того, що Петров отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, російською мовою - 0,8, іноземної мови- 0,7 і за суспільствознавством - 0,5. Знайдіть ймовірність того, що Петров зможе вчинити хоча б на одну із двох згаданих спеціальностей
36. При артилерійській стрільбі автоматична система робить постріл за мету. Якщо ціль не знищена, то система робить повторний постріл. Постріли повторюються доти, доки ціль не буде знищена. Імовірність знищення певної мети при першому пострілі дорівнює 0,4, а за кожним наступним - 0,6. Скільки пострілів знадобиться для того, щоб ймовірність знищення мети була не менше 0,98?

На малюнку показано, як змінювалася температура повітря із 3 по 5 квітня. По горизонталі вказаний час доби, по вертикалі - значення температури градусів Цельсія. Протягом скільки годин температура 5 квітня була більшою за −3 градуси Цельсія?

Відповідь: 15.

Даній умові задовольняє час з 9 до 24 (півночі), що відповідає 15 годин.

Завдання 3. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

На папері в картатій зображений кут. Знайдіть його величину. Відповідь висловіть у градусах.

Відповідь: 45.

Як бачимо дуга, на яку спирається вписаний кут, становить четверту частину від кола. З огляду на те, що коло становить 360 градусів, то дуга дорівнює 90 градусів. Оскільки величина вписаного кута дорівнює половині дуги, яку він спирається, то отримуємо 45 градусів.

Завдання 4. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

На малюнку зображено лабіринт. Жук вповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися або повзти назад жук не може, тому на кожному розгалуженні жук вибирає один із шляхів, якими він ще не повз. Вважаючи, що вибір суто випадковий, визначте, з якою ймовірністю жук прийде до одного з виходів. Результат округліть до сотих.

Відповідь: 0,17.

Зважаючи на те, що ймовірність піти в різних напрямках на перехрестях однакова, ми отримуємо наступні значення(Завдання просто розписати доріжку до кожного з виходів, враховуючи, що, наприклад, якщо два шляхи, то можливість піти в одному напрямку 0,5, якщо три, то 1/3 і т.д. Зворотній шляхрахувати не треба):

Г: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac(1)(3)$$

В: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac(1)(3)\cdot0,5$$

Б: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)$$

А: $$0,5cdot0,5cdotfrac(1)(3)cdotfrac(1)(3)cdot0,5$$

$$\frac(1)(3)\cdot0,25(1+0,5+\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\cdot0,5)=$$ $$\frac (1)(12)(\frac(6)(6)+\frac(3)(6)+\frac(2)(6)+\frac(1)(6))=$$ $$\frac (2)(12)=\frac(1)(6)\approx0,17$$

Завдання 6. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

У трикутнику ABCпроведена бісектриса AL. Відомо, що $$ angle ALC=130^(\circ)$$, а $$\angle ABC=103^(\circ)$$. Знайдіть $$\angle ACB$$. Відповідь дайте у градусах.

Відповідь: 23.

$$\angle ALB=180^(\circ)-\angle ALC=50^(\circ)$$; $$\angle BAL=180^(\circ)-\angle ABL-\angle ALB=180^(\circ)-103^(\circ)-50^(\circ)=27^(\circ)$$ ; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^(\circ)-\angle BAC-\angle ABC=23^(\circ)$$

Завдання 7. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

На малюнку зображено графік похідної функції $$y=f"(x)$$, визначеної на інтервалі (−3; 9). У якій точці відрізка [−2; 3] $$f(x)$$ приймає найбільше значення?

Відповідь: -2.

У цьому завдання необхідно пам'ятати таке: похідна негативна, отже функція зменшується. У нашому випадку графік довільної знаходиться під віссю Ох на всьому відрізку [-2;3] (те, що він "скаче" не спадання функції не впливає: вона просто зменшується десь швидше, десь повільніше). Якщо функція на всьому відрізку зменшується, то її найбільше значення буде на початку відрізка.

Завдання 8. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

У скільки разів зменшиться обсяг октаедра, якщо всі його ребра зменшити вдвічі?

Відповідь: 8.

Для вирішення даних завдань слід пам'ятати, що периметри подібних фігур відносяться як коефіцієнт подібності, площі – як квадрат коефіцієнта подоби, а обсяги – як куб коефіцієнта подоби. Тобто, якщо зменшити ребро вдвічі, обсяг зміниться у 8 разів

Завдання 9. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

Знайдіть значення виразу $$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))$$ при $$a=0,1$$.

Відповідь: 10.

$$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))=$$ $$\frac(a^(\frac(1)(4))\cdot a^(\frac(1)(12)))(a\cdot a^(\frac(1)(3)))=$$ $$a^(\frac(1)(4)+\frac( 1)(12)-1-\frac(1)(3))=$$ $$a^(-1)=\frac(1)(0,1)=10$$

Завдання 10. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

Що знаходиться у воді водолазний дзвін, Що містить $$v=4$$ благаючи повітря при тиску $$p_(1)=1,2$$ атмосфери, повільно опускають на дно водойми. При цьому відбувається ізотермічний стиск повітря. Робота (у джоулях), що здійснюється водою при стисканні повітря, визначається виразом $$A=\alpha vT\log_(2)\frac(p_(2))(p_(1))$$, де α=5,75- постійна, T =300 К-температура повітря, $$p_(1)$$ (атм)-початковий тиск, а $$p_(2)$$ (атм)-кінцевий тиск повітря в дзвоні. До якого найбільшого тиску $$p_(2)$$ (в атм) можна стиснути повітря в дзвоні, якщо при стисканні повітря відбувається робота не більше ніж 20 700 Дж?

Відповідь: 9,6.

$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_(2)\frac(p_(2))(1,2)\Leftrightarrow $$$$\log_(2)\frac(p_(2))(1, 2)=\frac(20700)(23\cdot300)=3\Leftrightarrow $$$$\frac(p_(2))(1,2)=2^(3)=8\Leftrightarrow $$$$p_( 2) = 1,2 \ cdot8 = 9,6 $ $

Завдання 11. Тренувальний варіант ЄДІ №229 Ларіна.

Теплохід, швидкість якого у нерухомій воді дорівнює 24 км/год, проходить за течією річки та після стоянки повертається у вихідний пункт. Швидкість течії дорівнює 2 км/год, стоянка триває 4 години, а вихідний пункт теплохід повертається через 16 год після відплиття з нього. Скільки кілометрів пройшов теплохід за весь рейс?

Відповідь: 286.

Нехай х – відстань в один кінець. Швидкість за течією становить 24+2=26 проти течії 24-2=22. Стоянка тривала 4 години, отже саме плавання становило 16-4=12. Цей часвиходить підсумовування часу за течією та проти течії:

$$\frac(x)(26)+\frac(x)(22)=12\Leftrightarrow$$$$\frac(24x)(11\cdot13\cdot2)=12\Leftrightarrow $$$$x=\ frac(11cdot12cdot13cdot2)(24)=143$$

Тоді відстань туди/назад склала 143-143 = 286 км.

Завдання 12. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

Знайдіть точку мінімуму функції $$y=x\sin x+\cos x-\frac(3)(4)\sin x$$, що належить проміжку $$(0;\frac(\pi)(2))$$

Відповідь: 0,75.

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac(3)(4)\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac(3)(4) ))=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 x=\frac(\pi)(2)+\pi*n, n \in Z$$

відзначимо отримані точки на координатній прямій і розставимо знаки похідної (спочатку розглядатиме кожен з множників, що входять у похідну, потім тільки знак похідної, як добуток множників):

Як бачимо малюнку (F=0 - початок відрізка, у якому шукаємо) точка мінімуму x=0,75.

Завдання 13. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

А) Розв'яжіть рівняння $$\cos2(x+\frac(\pi)(3))+4\sin(x+\frac(\pi)(3))=\frac(5)(2)$$

Б) Знайдіть коріння, що належить відрізку $$[-\frac(\pi)(2);\pi]$$

Відповідь: $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$.

Нехай $$x+\frac(\pi)(3)=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac(5)(2)\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(5)(2)=0\ Leftrightarrow $$$$-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(3)(2)=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^(2)y-8\sin y+3 = 0 $ $;

$$\sin y=\frac(8+4)(8)=\frac(3)(2)$$ - рішень немає;

$$\sin y=\frac(8-4)(8)=\frac(1)(2)\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)y=\frac(\pi)(6 )+2\pi n,n\in Z\y=\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.\Leftrightarrow $$$$\ left\(\begin(matrix)x+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\x+\frac(\pi)(3) =\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)x=-\frac( \pi)(6)+2\pi n,n\in Z\x=\frac(\pi)(2)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.$$

Побудуємо одиничне коло, відзначимо коріння в загальному виглядіі проміжку і знайдемо окремі випадки коріння:

Очевидно, що коріння, що потрапляють у дані відрізки, це $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$

Завдання 14. Тренувальний варіант ЄДІ №229 Ларіна.

Підставою чотирикутної піраміди SABCD є квадрат ABCD із стороною АВ=4. Бокове ребро SC, що дорівнює 4, перпендикулярно основи піраміди. Площина $$\alpha$$, що проходить через вершину С паралельно прямий BD, перетинає ребро SA у точці М, причому SM:MA=1:2

А) Доведіть, що $$SA\perp\alpha$$

Б) Знайдіть площу перерізу піраміди SABCD площиною $$\alpha$$

Відповідь: $$\frac(8\sqrt(3))(3)$$.

a) 1) $$AS=sqrt(16+32)=4sqrt(3)$$; $$AM=\frac(4\sqrt(3)\cdot2)(3)$$; $$MS=\frac(4\sqrt(3))(3)$$; $$MC=\frac(4\cdot4\sqrt(2))(4\sqrt(3))=\frac(4\sqrt(2))(\sqrt(3))=\frac(4\sqrt( 6)) (3) $ $; $$4^(2)=(\frac(4\sqrt(6))(3))^(2)+(\frac(4\sqrt(3))(3))^(2)=\frac( 16 \ cdot6 + 16 \ cdot3) (9) = 16 $ $

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(MS)(SA)\cdot\frac(AO)(OC)=1$$; $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(1)=1$$; $$\frac(CE)(EM)=\frac(3)(1)$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac(3)(4)\cdot CM=\frac(3)(4 )\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)=\sqrt(6)$$

2) $$\cos ACM=\frac(CM)(AC)=\frac(\frac(4\sqrt(6))(3))(4\sqrt(2))=\frac(\sqrt(3) )) (3) $ $; $$OE=\sqrt(OC^(2)+CE^(2)-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM)=$$ $$\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+ (\sqrt(6))^(2)-2\cdot2\sqrt(2)\cdot\sqrt(6)\cdot\frac(\sqrt(3))(3))=$$ $$\sqrt( 8+6-\frac(4\cdot6)(3))=\sqrt(6)$$

3) $$SO=\sqrt(OC^(2)+SC^(2))=\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+4^(2))=\sqrt(24) $$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt(6)-\sqrt(6)=\sqrt(6)$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - середня лінія$$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac(1)(2)DB=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(2)=2\sqrt(2)$ $;

4) $$S_(CKMN)=\frac(1)(2)\cdot CM\cdot NK=\frac(1)(2)\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)\cdot2\ sqrt(2)=\frac(4\cdot\sqrt(12))(3)=\frac(8\sqrt(3))(3)$$

Завдання 15. Тренувальний варіант ЄДІ № 229 Ларіна.

Розв'яжіть нерівність $$\log_(x-2)\frac(1)(5)\geq\log_(\frac(x-3)(x-5))\frac(1)(5)$$

Відповідь: $$x\in)