Квадратний корінь. Вичерпний гід (2019)

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Ця стаття є сукупністю детальної інформації, що стосується теми якості коренів. Розглядаючи тему, ми почнемо з властивостей, вивчимо всі формулювання та наведемо докази. Для закріплення теми ми розглянемо властивості n-го ступеня.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Властивості коренів

Ми поговоримо про властивості.

1. Властивість помножених чисел aі b, яке представляється як рівність a · b = a · b. Його можна представити у вигляді множників, позитивних або рівних нулю a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k;
2. з частки a: b =   a: b , a ≥ 0 , b > 0 , він також може записуватися в такому вигляді a b = a b ;
3. Властивість із ступеня числа aз парним показником a 2 · m = a m за будь-якого числа aнаприклад, властивість із квадрата числа a 2 = a .

У будь-якому з представлених рівнянь можна поміняти частини до і після знака тире місцями, наприклад, рівність a · b = a · b трансформується як a · b = a · b . Властивості для рівності часто використовуються для спрощення складних рівнянь.

Доказ перших властивостей ґрунтується на визначенні квадратного коренята властивості ступенів з натуральним показником. Щоб обґрунтувати третю властивість, необхідно звернутися до визначення модуля числа.

Насамперед, необхідно довести властивості квадратного кореня a · b = a · b . Згідно з визначенням, необхідно розглянути, що a · b - число, позитивне або рівне нулю, яке дорівнює a · bпри зведенні у квадрат. Значення виразу a · b позитивно чи дорівнює нулю як добуток невід'ємних чисел. Властивість ступеня помножених чисел дозволяє уявити рівність у вигляді (a · b) 2 = a 2 · b 2 . За визначенням квадратного кореня a 2 = a і b 2 = b, то a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Аналогічним способом можна довести, що з твору kмножників a 1 , a 2 , … , a kдорівнюватиме добутку квадратного коріння з цих множників. Справді, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · ak .

З цієї рівності випливає, що a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Розглянемо кілька прикладів закріплення теми.

Приклад 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 і 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1) .

Необхідно довести властивість арифметичного квадратного кореня із частки: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Властивість дозволяє записати рівність a: b 2 = a 2: b 2 а 2: b 2 = a: b при цьому a: b є позитивним числом або дорівнює нулю. Цей вираз і стане доказом.

Наприклад, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 і 3 0, 121 = 3 0, 121 .

Розглянемо властивість квадратного кореня із квадрата числа. Його можна записати у вигляді рівності як a 2 = a Щоб довести дана властивість, необхідно докладно розглянути кілька рівностей при a ≥ 0і при a< 0 .

Очевидно, що за a ≥ 0 справедлива рівність a 2 = a . При a< 0 буде вірна рівність a 2 = - a. Насправді, у цьому випадку − a > 0та (− a) 2 = a 2 . Можна зробити висновок, a 2 = a , a 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 2

5 2 = 5 = 5 і -0,36 2 = -0, 36 = 0,36.

Доведена властивість допоможе дати обґрунтування a 2 · m = a m, де a- дійсне, а m-натуральне число. Дійсно, властивість зведення ступеня дозволяє замінити ступінь a 2 · mвиразом (a m) 2тоді a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Приклад 3

3 8 = 3 4 = 3 4 і (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Властивості кореня n-ого ступеня

Для початку необхідно розглянути основні властивостікоренів n-ого ступеня:

1. Властивість із твору чисел aі b, які позитивні або рівні нулю, можна виразити як рівність a · b n = a n · b n , дана властивість справедлива для твору kчисел a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n;
2. з дробового числамає властивість a b n = a n b n , де a– будь-яке дійсне число, яке позитивно або дорівнює нулю, а b- Позитивне дійсне число;
3. За будь-якого aта парних показниках n = 2 · mсправедливо a 2 · m 2 · m = a, а при непарних n = 2 · m − 1виконується рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Властивість вилучення з a m n = a n · m, де a- будь-яке число, позитивне або рівне нулю, nі m- натуральні числа, ця властивість також може бути представлена ​​у вигляді. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k;
5. Для будь-якого невід'ємного a і довільних nі m, які є натуральними, також можна визначити справедливу рівність a m n · m = a n;
6. Властивість ступеня nзі ступеня числа a, яке позитивно або дорівнює нулю, натурального ступеня m, що визначається рівністю a m n = a n m;
7. Властивість порівняння, які мають однакові показники: для будь-яких позитивних чисел aі bтаких, що a< b , виконується нерівність a n< b n ;
8. Властивість порівняння, які мають однаковими числамипід корінням: якщо mі n –натуральні числа, що m > n, тоді при 0 < a < 1 справедлива нерівність a m > a n , а при a > 1виконується a m< a n .

Рівності, наведені вище, є справедливими, якщо частини до і після знака і поміняти місцями. Вони можуть бути використані й у такому вигляді. Це часто застосовується під час спрощення або перетворення виразів.

Доказ наведених вище властивостей кореня ґрунтується на визначенні, властивостях ступеня та визначенні модуля числа. Ці властивості необхідно довести. Але все гаразд.

1. Насамперед доведемо властивості кореня n-ого ступеня з твору a · b n = a n · b n . Для aі b , якіє позитивними або рівними нулю , значення a n · b n також позитивно чи дорівнює нулю, оскільки є наслідком множення невід'ємних чисел. Властивість твору в натуральній мірі дозволяє записати рівність a n · b n n = a n n · b n n . За визначенням кореня n-ой ступеня a n n = a і b n n = b, отже, a n · b n n = a · b . Отримана рівність – саме те, що потрібно було довести.

Аналогічно доводиться це властивість добутку kмножників: для невід'ємних чисел a 1 , a 2 , … , a n виконується a 1 n · a 2 n · … · ak n ≥ 0 .

Наведемо приклади використання властивості кореня n-ой ступеня з твору: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 і 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) · 3 · 5 7 4 .

1. Доведемо властивість кореня з частки a b n = a n b n . При a ≥ 0і b > 0виконується умова a n b n ≥ 0, а a n b n n = a n n b n n = a b .

Покажемо приклади:

Приклад 4

8 27 3 = 8 3 27 3 і 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Для наступного кроку необхідно довести властивості n-ого ступеня з числа ступеня n. Представимо це у вигляді рівності a 2 · m 2 · m = a та a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для будь-якого дійсного aта натурального m. При a ≥ 0отримуємо a = a і a 2 · m = a 2 · m , що доводить рівність a 2 · m 2 · m = a, а рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a< 0 отримуємо відповідно a = - a і a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m. Остання трансформація числа справедлива згідно з якістю ступеня. Саме це доводить рівність a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a буде справедливо, оскільки за непарною мірою розглядається - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для будь-якого числа c,позитивного чи рівного нулю.

Для того щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька прикладів з використанням властивості:

Приклад 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 і (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Доведемо таку рівність a m n = a n · m. Для цього необхідно поміняти числа до знака і після нього місцями a n · m = a m n . Це означатиме правильний запис. Для a,яке є позитивним або одно нулю , виду a m n є числом позитивним або рівним нулю. Звернемося до якості зведення ступеня до ступеня та визначення. З їхньою допомогою можна перетворити рівності як a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Цим доведено аналізовану властивість кореня з кореня.

Аналогічно доводяться інші властивості. Справді, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · N k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · N k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · N k = . . . = a n k n k = a.

Наприклад, 7 3 5 = 7 5 · 3 та 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24 .

1. Доведемо наступна властивість a m n · m = a n. Для цього необхідно показати, що a n - Число, позитивне або рівне нулю. При зведенні в ступінь n · m дорівнює a m. Якщо число aє позитивним або рівним нулю, то n-ого ступеня з числа aє числом позитивним або рівним нулю.

Щоб закріпити отримані знання, розглянемо кілька прикладів

1. Доведемо таку властивість – властивість кореня зі ступеня виду amn = anm. Очевидно, що при a ≥ 0ступінь an є невід'ємним числом. Більше того, її n-а ступінь дорівнює a mдійсно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Цим і доведено аналізовану властивість ступеня.

Наприклад, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Необхідний доказ, що для будь-яких позитивних чисел aі b виконано умову a< b . Розглянемо нерівність a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Отже, a n< b n при a< b .

Для прикладу наведемо 12 4< 15 2 3 4 .

1. Розглянемо властивість кореня n-ого ступеня. Необхідно спершу розглянути першу частину нерівності. При m > nі 0 < a < 1 справедливо a m > a n. Припустимо, що a m ≤ a n . Властивості дозволять спростити вираз до a n m · n ≤ a m m · n . Тоді, згідно з властивостями ступеня з натуральним показником, виконується нерівність a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , тобто, a n ≤ a m. Отримане значення при m > nі 0 < a < 1 не відповідає властивостям, наведеним вище.

У такий же спосіб можна довести, що при m > nі a > 1справедлива умова a m< a n .

Для того щоб закріпити наведені властивості, розглянемо кілька конкретних прикладів. Розглянемо нерівності, використовуючи певні числа.

Приклад 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Урок та презентація на тему:
"Властивості квадратного кореня. Формули. Приклади рішень, завдання з відповідями"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Інтерактивний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 8 класу
Освітній комплекс "1С: Школа. Геометрія, 8 клас"

Властивості квадратного кореня

Ми продовжуємо вивчати коріння квадратне. Сьогодні розглянемо основні властивості коренів. Усі основні властивості інтуїтивно зрозумілі та узгоджуються з усіма операціями, які ми проводили раніше.

Властивість 1. Квадратний корінь із твору двох невід'ємних чисел дорівнює творуквадратних коренів з цих чисел: $ sqrt (a * b) = sqrt (a) * sqrt (b) $.

Будь-які властивості прийнято доводити, давайте це зробимо.
Нехай $sqrt(a*b)=x$, $sqrt(a)=y$, $sqrt(b)=z$. Тоді нам довести, що $x=y*z$.
Давайте кожен вираз зведемо у квадрат.
Якщо $\sqrt(a*b)=x$, то $a*b=x^2$.
Якщо $sqrt(a)=y$, $sqrt(b)=z$, то звівши обидва вирази в квадрат, отримаємо: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, тобто $x^2=(y*z)^2$. Якщо квадрати двох невід'ємних чисел рівні, то й самі числа рівні, що потрібно було довести.

З нашої властивості випливає, що, наприклад, $ sqrt (5) * sqrt (3) = sqrt (15) $.

Зауваження 1. Властивість справедлива і для випадку, коли під коренем понад два невід'ємні множники.
Властивість 2. Якщо $а≥0$ і $b>0$, то справедлива наступна рівність: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Тобто корінь із частки дорівнює приватному коріння.
Доведення.
Скористаємося таблицею та коротко доведемо нашу властивість.

Приклади використання властивостей квадратного коріння

приклад 1.
Обчислити: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Рішення.
Звичайно, ми можемо взяти калькулятор, перемножити всі числа під коренем і виконати операцію добування квадратного кореня. А якщо під рукою немає калькулятора, то як бути тоді?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Відповідь: 495.

Приклад 2. Обчислити: $ sqrt (11 frac (14) (25)) $.

Рішення.
Підкорене число представимо у вигляді неправильного дробу: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)(25) $.
Скористаємось властивістю 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Відповідь: 3,4.

приклад 3.
Обчислити: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Рішення.
Ми можемо обчислити наш вираз безпосередньо, але завжди його можна спростити. Спробуймо це зробити.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Отже, $ sqrt (40 2-24 2) = sqrt (16 * 64) = sqrt (16) * sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Відповідь: 32.

Діти, зверніть увагу, що для операцій складання та віднімання підкорених виразів жодних формул не існує і подані нижче вирази не вірні.
$sqrt(a+b)≠sqrt(a)+sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

приклад 4.
Обчислити: а) $ sqrt (32) * sqrt (8) $; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Рішення.
Властивості, представлені вище, працюють як і зліва направо, так і зворотному порядку, тобто:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Використовуючи це, розв'яжемо наш приклад.
а) $ sqrt (32) * sqrt (8) = sqrt (32 * 8) = sqrt (256) = 16. $

Б) $ frac (sqrt (32)) ( sqrt (8)) = sqrt (frac (32) (8)) = sqrt (4) = 2 $.

Відповідь: а) 16; б) 2.

Властивість 3. Якщо $а≥0$ і n – натуральне число, виконується рівність: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Наприклад. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ і так далі.

Приклад 5.
Обчислити: $ \ sqrt (129600) $.

Рішення.
Представлене нам число досить велике, давайте розкладемо його на прості множники.
Ми отримали: $129600=5^2*2^6*3^4$ або $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Відповідь: 360.

Завдання для самостійного вирішення

1. Обчислити: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Обчислити: $ sqrt (8 frac (1) (36)) $.
3. Обчислити: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Обчислити:
а) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

факт 1.
\(\bullet\) Візьмемо деяке не від'ємне число\(a\) (тобто \(a\geqslant 0\)). Тоді (арифметичним) квадратним коренемз числа \(a\) називається таке невід'ємне число \(b\), при зведенні якого в квадрат ми отримаємо число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(те саме, що )\quad a=b^2\]З визначення випливає, що \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ці обмеження є важливою умовоюіснування квадратного кореня та його слід запам'ятати!
Згадаймо, що будь-яке число при зведенні квадрата дає невід'ємний результат. Тобто \(100^2=10000\geqslant 0\) і \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чому дорівнює \(\sqrt(25)\)? Ми знаємо, що \(5^2=25\) і \((-5)^2=25\). Так як за визначенням ми повинні знайти невід'ємне число, то \(-5\) не підходить, отже, \(\sqrt(25)=5\) (оскільки \(25=5^2\)).
Знаходження значення \(\sqrt a\) називається вилученням квадратного кореня з числа \(a\) , а число \(a\) називається підкореним виразом.
\(\bullet\) Виходячи з визначення, виразу \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) і т.п. немає сенсу.

факт 2.
Для швидких обчислень корисно буде вивчити таблицю квадратів натуральних чиселвід \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\hline \end(array)\]

факт 3.
Які дії можна виконувати з квадратним корінням?
\(\bullet\) Сума чи різниця квадратного коріння НЕ РІВНА квадратному кореню із суми чи різниці, тобто \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Таким чином, якщо вам потрібно обчислити, наприклад, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , то спочатку ви повинні знайти значення \(\sqrt(25)\) і \(\sqrt(49)\ ), а потім їх скласти. Отже, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Якщо значення \(\sqrt a\) або \(\sqrt b\) при додаванні \(\sqrt a+\sqrt b\) знайти не вдається, то такий вираз далі не перетворюється і залишається таким, як є. Наприклад, у сумі \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) ми можемо знайти \(\sqrt(49)\) - це \(7\) , а от \(\sqrt 2\) ніяк перетворити не можна, тому \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Далі цей вислів, на жаль, спростити неможливо\(\bullet\) Твір/приватне квадратного коріння дорівнює квадратному кореню з твору/приватного, тобто \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(і)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (за умови, що обидві частини рівностей мають сенс)
Приклад: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користуючись цими властивостями, зручно знаходити квадратне коріння звеликих чисел
Розглянемо приклад. Знайдемо \(\sqrt(44100)\). Так як \ (44100: 100 = 441 \), то (44100 = 100 \ cdot 441 \). За ознакою ділимості число \(441\) ділиться на \(9\) (оскільки сума його цифр дорівнює 9 і ділиться на 9), отже, \(441:9=49\) , тобто \(441=9\) cdot 49) .
Таким чином, ми отримали: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Розглянемо ще один приклад: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 = \ dfrac (56) 3 \]
\(\bullet\) Покажемо, як вносити числа під знак квадратного кореня на прикладі виразу \(5\sqrt2\) (скорочений запис від виразу \(5\cdot \sqrt2\)). Оскільки \(5=\sqrt(25)\) , то \ Зауважимо також, що, наприклад,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) (sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a) .

Чому так? Пояснимо з прикладу 1). Як ви вже зрозуміли, якось перетворити число (sqrt2) ми не можемо. Припустимо, що \(\sqrt2\) - це деяке число \(a\). Відповідно, вираз \(\sqrt2+3\sqrt2\) є не що інше, як \(a+3a\) (одне число \(a\) плюс ще три таких же числа \(a\) ). А ми знаємо, що це дорівнює чотирьом таким числам \(a\), тобто \(4\sqrt2\).

факт 4.
\(\bullet\) Часто кажуть "не можна витягти корінь", коли не вдається позбутися знака \(\sqrt() \ \) кореня (радикала) при знаходженні значення якогось числа. Наприклад, витягти корінь у складі \(16\) можна, тому що \(16=4^2\) , тому \(\sqrt(16)=4\) . А ось витягти корінь із числа \(3\), тобто знайти \(\sqrt3\), не можна, тому що немає такого числа, яке в квадраті дасть \(3\).
Такі числа (або вирази з такими числами) є ірраціональними. Наприклад, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)і т.п. є ірраціональними.
Також ірраціональними є числа \(\pi\) (число "пі", приблизно рівне \(3,14\) ), \(e\) (це число називають числом Ейлера, приблизно воно дорівнює \(2,7\) ) і т.д.
\(\bullet\) Звертаємо вашу увагу на те, що будь-яке число буде або раціональним, або ірраціональним. А разом усі раціональні та всі ірраціональні числаутворюють безліч, що називається безліччю дійсних (речових) чисел.Позначається це безліч буквою \(\mathbb(R)\).
Значить, усі числа, які на Наразіми знаємо, називаються речовими числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль речового числа\(a\) – це невід'ємне число \(|a|\) , рівну відстанівід точки (a) до (0) на речовій прямий. Наприклад, \(|3|\) і \(|-3|\) дорівнюють 3, тому що відстані від точок \(3\) і \(-3\) до \(0\) однакові і рівні \(3 \).
\(\bullet\) Якщо \(a\) – невід'ємне число, то \(|a|=a\) .
Приклад: \(|5|=5\); \ ( \ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \ ) .
\(\bullet\) Якщо \(a\) – від'ємне число, то \(|a|=-a\) . Приклад: \(|-5|=-(-5)=5\);.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Кажуть, що у негативних чисел модуль "з'їдає" мінус, а позитивні числа, а також число (0), модуль залишає без змін.АЛЕ таке правило годиться лише для чисел. Якщо у вас під знаком модуля знаходиться невідома \(x\) (або якась інша невідома), наприклад, \(|x|\) , про яку ми не знаємо, чи позитивна вона, дорівнює нулю або негативна, то позбутися модуля ми не можемо. І тут цей вислів таким і залишається: \(|x|\) .\(\bullet\) Мають місце такі формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( за умови ) a\geqslant 0\]Дуже часто допускається така помилка: кажуть, що \(\sqrt(a^2)\) і \((sqrt a)^2\) - одне і те ж. Це вірно лише в тому випадку, коли \(a\) -
додатне числочи нуль. А ось якщо \(a\) - негативне число, то це не так. Достатньо розглянути такий приклад. Візьмемо замість \(a\) число \(-1\). Тоді \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , а ось вираз \((\sqrt(-1))^2\) взагалі не існує (адже не можна під знак кореня поміщати негативні числа!). Тому звертаємо вашу увагу, що \(\sqrt(a^2)\) не дорівнює \((\sqrt a)^2\) !Приклад: 1)<0\) ;

\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Оскільки \(\sqrt(a^2)=|a|\) , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(вираз \(2n\) позначає парне число)
Тобто при витягуванні кореня з числа, що знаходиться певною мірою, цей ступінь зменшується вдвічі.
Приклад:

1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (зауважимо, що якщо модуль не поставити, то вийде, що корінь з числа дорівнює \(-25\); але ми пам'ятаємо , що за визначенням кореня такого бути не може: у нас завжди при вилученні кореня має виходити позитивне число або нуль)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (оскільки будь-яке число парною мірою неотрицательно)<\sqrt b\) , то \(a\(\bullet\) Оскільки \(\sqrt(a^2)=|a|\) , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) порівняємо \(\sqrt(50)\) і \(6\sqrt2\) . Для початку перетворимо другий вираз у \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Таким чином, оскільки \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Між якими цілими числами знаходиться (sqrt (50))?
Оскільки \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Порівняємо \(\sqrt 2-1\) і \(0,5\). Припустимо, що \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додамо одиницю до обох частин))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((зведемо обидві частини в квадрат))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]Бачимо, що ми здобули неправильну нерівність. Отже, наше припущення було невірним і (sqrt 2-1<0,5\) .
Зауважимо, що додавання деякого числа до обох частин нерівності впливає з його знак. Множення/поділ обох частин нерівності на позитивне число також не впливає на його знак, а множення/розподіл на негативне число змінює знак нерівності на протилежний!
Зводити обидві частини рівняння/нерівності в квадрат можна ТІЛЬКИ ТОДІ, коли обидві частини невід'ємні. Наприклад, у нерівності з попереднього прикладу зводити обидві частини квадрат можна, в нерівності \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Слід запам'ятати, що \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ \sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Знання приблизного значення цих чисел допоможе вам порівняти чисел!
\(\bullet\) Для того, щоб витягти корінь (якщо він витягується) з якогось великого числа, якого немає в таблиці квадратів, потрібно спочатку визначити, між якими “сотнями” воно знаходиться, потім – між якими “десятками”, а потім уже визначити останню цифру цього числа. Покажемо, як це працює на прикладі.
Візьмемо \(\sqrt(28224)\). Ми знаємо, що \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) і т.д. Зауважимо, що \(28224\) знаходиться між \(10\,000\) та \(40\,000\) . Отже, \(\sqrt(28224)\) знаходиться між \(100\) і \(200\) .
Спробуймо визначити останню цифру. Згадаймо, які однозначні числа при зведенні в квадрат дають на кінці (4)? Це \(2^2\) і \(8^2\). Отже, \(\sqrt(28224)\) буде закінчуватися або на 2, або на 8. Перевіримо це. Знайдемо \(162^2\) і \(168^2\):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \) .
Отже, (sqrt (28224) = 168) . Вуаль!

Для того, щоб гідно вирішити ЄДІ з математики, насамперед необхідно вивчити теоретичний матеріал, який знайомить із численними теоремами, формулами, алгоритмами тощо. На перший погляд може здатися, що це досить просто. Однак знайти джерело, в якому теорія для ЄДІ з математики викладена легко і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки, - завдання досить складне. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули для ЄДІ з математики непросто буває навіть в Інтернеті.

Чому так важливо вивчати теорію з математики не лише для тих, хто здає ЄДІ?

1. Тому що це розширює кругозір. Вивчення теоретичного матеріалу з математики корисно всім, хто хоче отримати відповіді широке коло питань, що з пізнанням навколишнього світу. Все у природі впорядковане і має чітку логіку. Саме це і відбивається у науці, через яку можна зрозуміти світ.
2. Тому що це розвиває інтелект. Вивчаючи довідкові матеріали для ЄДІ з математики, а також вирішуючи різноманітні завдання, людина вчиться логічно мислити та розмірковувати, грамотно та чітко формулювати думки. У нього виробляється здатність аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Пропонуємо вам особисто оцінити всі переваги нашого підходу до систематизації та викладу навчальних матеріалів.