Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Побудова загального рішення лінійного однорідного

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтамимає спільне рішення
, де і лінійно-незалежні приватні розв'язки цього рівняння.

Загальний вид рішень однорідного диференціального рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами
, залежить від коренів характеристичного рівняння
.

Коріння характеристичного рівняння	Вид загального рішення
Коріння і дійсні та різні
Коріння == дійсні та однакові
Коріння комплексне ,

приклад

Знайти загальне рішення лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку із постійними коефіцієнтами:

1)

Рішення:
.

Вирішивши його, знайдемо коріння
,
дійсні та різні. Отже, загальне рішення має вигляд:
.

2)

Рішення: Складемо характеристичне рівняння:
.

Вирішивши його, знайдемо коріння

дійсні та однакові. Отже, загальне рішення має вигляд:
.

3)

Рішення: Складемо характеристичне рівняння:
.

Вирішивши його, знайдемо коріння
комплексні. Отже, загальне рішення має вигляд:

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтамимає вигляд

Де
. (1)

Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку має вигляд
, де
- приватне рішення цього рівняння, - загальне рішення відповідного однорідного рівняння, тобто. рівняння.

Вигляд приватного рішення
неоднорідного рівняння(1) залежно від правої частини
:

Права частина	Приватне рішення
-багаточлен ступеня	, де - Число коренів характеристичного рівняння, рівних нулю.
	, де = є коренем характеристичного рівняння.
	Де - Число, рівну числукоріння характеристичного рівняння, що збігаються з .
	де - Число коренів характеристичного рівняння, що збігаються з .

Розглянемо різні види правих частин лінійного неоднорідного диференціального рівняння:

1.
, де - багаточлен ступеня . Тоді приватне рішення
можна шукати у вигляді
, де

, а - Число коренів характеристичного рівняння, рівних нулю.

приклад

Знайти спільне рішення
.

Рішення:

.

Б) Так як права частина рівняння є багаточленом першого ступеня і жоден з коренів характеристичного рівняння
не дорівнює нулю (
), то приватне рішення шукаємо у вигляді, де і - Невідомі коефіцієнти. Диференціюючи двічі
і підставляючи
,
і
у вихідне рівняння, знаходимо.

Прирівнюючи коефіцієнти за однакових ступенів в обох частинах рівності
,
, знаходимо
,
. Отже, приватне рішення даного рівняннямає вигляд
, а його загальне рішення.

2. Нехай права частинамає вигляд
, де - багаточлен ступеня . Тоді приватне рішення
можна шукати у вигляді
, де
– багаточлен так само, як і
, а - Число, що показує, скільки разів є коренем характеристичного рівняння.

приклад

Знайти спільне рішення
.

Рішення:

А) Знайдемо загальне рішення відповідного однорідного рівняння
. Для цього запишемо характеристичне рівняння
. Знайдемо коріння останнього рівняння
. Отже, загальне рішення однорідного рівняння має вигляд
.

характеристичного рівняння

, де - Невідомий коефіцієнт. Диференціюючи двічі
і підставляючи
,
і
у вихідне рівняння, знаходимо. Звідки
, тобто
або
.

Отже, приватне рішення даного рівняння має вигляд
, а його спільне рішення
.

3. Нехай права частина має вигляд , де
і - Дані числа. Тоді приватне рішення
можна шукати у вигляді, де і - невідомі коефіцієнти, а - Число, що дорівнює числу коренів характеристичного рівняння, що збігаються з
. Якщо у вираз функції
входить хоча б одна з функцій
або
, то в
треба завжди вводити обидвіфункції.

приклад

Знайти загальне рішення.

Рішення:

А) Знайдемо загальне рішення відповідного однорідного рівняння
. Для цього запишемо характеристичне рівняння
. Знайдемо коріння останнього рівняння
. Отже, загальне рішення однорідного рівняння має вигляд
.

Б) Оскільки права частина рівняння є функцією
, то контрольне число даного рівняння, воно не збігається з корінням
характеристичного рівняння
. Тоді приватне рішення шукаємо у вигляді

Де і - Невідомі коефіцієнти. Диференціюючи двічі, отримаємо. Підставляючи
,
і
у вихідне рівняння, знаходимо

.

Наводячи подібні доданки, отримаємо

.

Прирівнюємо коефіцієнти при
і
у правій та лівій частинах рівняння відповідно. Отримуємо систему
. Вирішуючи її, знаходимо
,
.

Отже, окреме рішення вихідного диференціального рівняння має вигляд .

Загальне рішення вихідного диференціального рівняння має вигляд.

Рівняння

де і – безперервна функція в інтервалі називається неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку, функції та – його коефіцієнтами. Якщо в цьому інтервалі, то рівняння набуває вигляду:

і називається однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Якщо рівняння (**) має самі коефіцієнти і , як рівняння (*), воно називається однорідним рівнянням, відповідним неоднорідному рівнянню (*).

Однорідні диференціальні лінійні рівняння другого порядку

Нехай у лінійному рівнянні

І - постійні дійсні числа.

Приватне рішення рівняння шукатимемо у вигляді функції , де - дійсне або комплексне число, Що підлягає визначенню. Диференціюючи по , отримуємо:

Підставляючи у вихідне дифузування, отримуємо:

Звідси, враховуючи, що маємо:

Це рівняння називається характеристичним рівнянням однорідного лінійного дифузування. Характеристичне рівняння і дозволяє знайти . Це рівняння другого ступеня, тому має два корені. Позначимо їх через і. Можливі три випадки:

1) Коріння дійсні та різні. У цьому випадку загальне рішення рівняння:

Приклад 1

2) Коріння дійсні та рівні. У цьому випадку загальне рішення рівняння:

приклад2

Виявились на цій сторінці, намагаючись вирішити завдання на іспиті чи заліку? Якщо так і не змогли скласти іспит - наступного разу домовтеся заздалегідь на сайті про Онлайн допомогу з вищої математики.

Характеристичне рівняння має вигляд:

Розв'язання характеристичного рівняння:

Загальне рішення вихідного дифузування:

3) Коріння комплексне. У цьому випадку загальне рішення рівняння:

Приклад 3

Характеристичне рівняння має вигляд:

Розв'язання характеристичного рівняння:

Загальне рішення вихідного дифузування:

Неоднорідні диференціальні лінійні рівняння другого порядку

Розглянемо тепер рішення деяких типів лінійного неоднорідного рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами

де - постійні дійсні числа, - відома безперервна функція в інтервалі . Для знаходження загального рішення такого диференціального рівняння необхідно знати загальне рішення відповідного однорідного диференціального рівняння та приватне рішення. Розглянемо деякі випадки:

Приватне розв'язання диференціального рівняння шукаємо також у формі квадратного тричлена:

Якщо 0 – одноразовий корінь характеристичного рівняння, то

Якщо 0 – дворазовий корінь характеристичного рівняння, то

Аналогічна справа, якщо – багаточлен довільного ступеня

Приклад 4

Вирішимо відповідне однорідне рівняння.

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення однорідного рівняння:

Знайдемо приватне рішення неоднорідного дифузування:

Підставляючи знайдені похідні у вихідне дифузування, отримуємо:

Шукане приватне рішення:

Загальне рішення вихідного дифузування:

Приватне рішення шукаємо у вигляді де - невизначений коефіцієнт.

Підставляючи і вихідне диференціальне рівняння, отримаємо тотожність, звідки знаходимо коефіцієнт.

Якщо – корінь характеристичного рівняння, то окреме рішення вихідного диференціального рівняння шукаємо як , коли – одноразовий корінь, і , коли – двократний корінь.

Приклад 5

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення відповідного однорідного диференціального рівняння:

Знайдемо окреме рішення відповідного неоднорідного диференціального рівняння:

Загальне рішення дифузування:

У цьому випадку приватне рішення шукаємо у формі тригонометричного двочлена:

де і – невизначені коефіцієнти

Підставляючи і вихідне диференціальне рівняння, отримаємо тотожність, звідки знаходимо коефіцієнти.

Ці рівняння визначають коефіцієнти та крім випадку, коли (або коли – коріння характеристичного рівняння). У разі приватне рішення диференціального рівняння шукаємо як:

приклад6

Характеристичне рівняння:

Загальне рішення відповідного однорідного дифузування:

Знайдемо приватне рішення неоднорідного дифузування

Підставляючи у вихідне дифузування, отримуємо:

Загальне рішення вихідного дифузування:

Збіжність числового ряду
Дано визначення збіжності ряду та докладно розглядаються завдання на дослідження збіжності числових рядів- ознаки порівняння, ознака збіжності Даламбера, ознака збіжності Коші та інтегральна ознака збіжності Коші⁡.

Абсолютна та умовна збіжність ряду
На сторінці розглянуті ряди, що знаходять черги, їх умовна і абсолютна збіжність, ознака збіжності Лейбниця для рядів, що чергуються - міститься коротка теоріяза темою та приклад розв'язання задачі.

Тут ми застосуємо метод варіації постійних Лагранж для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Докладний описцього методу для вирішення рівнянь довільного порядку викладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>.

Приклад 1

Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтамиметодом варіації постійних Лагранжа:
(1)

Рішення

Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)

Це рівняння другого порядку.

Вирішуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: . Фундаментальна системарішень рівняння (2) має вигляд:
(3) .
Звідси отримуємо загальне рішення однорідного рівняння (2):
(4) .

Варіювати постійні C 1 та C 2 .
.
Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:
(5) .

Шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
.
Знаходимо похідну:
(6) .
Зв'яжемо функції та рівнянням:
.

Тоді
.
Знаходимо другу похідну:
(1) ;



.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(7) .
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:

Тут.
(6) :
(7) .

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :

Розв'язання системи рівнянь
.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7). Випишемо вирази для функцій і:
;
.

Знаходимо їх похідні:

.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:
;
.

За формулами Крамера знаходимо:
;
.
Отже, ми знайшли похідні функції:
; ; ; .

.
.

;
.

Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку

Відповідь

Приклад 2
(8)

Рішення

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:

(9)
Шукаємо рішення у вигляді.

Складаємо характеристичне рівняння:
.
Це рівняння має комплексне коріння:
(10) .
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(11) .

Загальне рішення однорідного рівняння (9):

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями 1 та C 2 Тепер варіюємо постійні C
.
.
(12) .

Тобто замінимо на (11) постійні на функції: Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді:Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо до
(13) :
(14) .
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :

наступній системі
.
рівнянь для визначення функцій та:
;
.

Вирішуємо цю систему. Випишемо вирази функцій і:

.
Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:
;
.

.
З таблиці похідних знаходимо:
.
Зв'яжемо функції та рівнянням:
.

Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:


.

Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на :

Загальне рішення вихідного рівняння:

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

Методичні вказівки

з вивчення теми «Лінійні диференціальні рівняння другого порядку» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НІСПО) Гірки, 2013

Лінійнідиференційне рівняння

другого порядку з постійними

коефіцієнтами Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами і
називається рівняння виду
тобто. рівняння, яке містить потрібну функцію та її похідні тільки в першому ступені і не містить їх творів. У цьому рівнянні
.

- Деякі числа, а функція
задана на деякому інтервалі
Якщо

, (2)

на інтервалі , то рівняння (1) набуде вигляду і називається лінійним однорідним .

. Інакше рівняння (1) називається

, (3)

лінійним неоднорідним
і
- Розглянемо комплексну функціюде
дійсні функції
. Якщо функція (3) є комплексним рішенням рівняння (2), то і дійсна частина
, і уявна частина рішенняокремо є рішеннями цього однорідного рівняння. Таким чином, всяке

комплексне рішення рівняння (2) породжує два дійсні рішення цього рівняння.Рішення однорідного

- Деякі числа, а функція лінійного рівняння
, де мають властивості:є рішення рівняння (2), то й функція

- Деякі числа, а функція і З
– довільна стала, також буде рішенням рівняння (2);

- Деякі числа, а функція і є рішення рівняння (2), то й функція
також буде вирішенням рівняння (2); і
є рішення рівняння (2), то їхня лінійна комбінація

Функції
і
називаються лінійно залежними на інтервалі
якщо існують такі числа і
, Не рівні нулю одночасно, що на цьому інтервалі виконується рівність

Якщо рівність (4) має місце лише тоді, коли
і
, то функції
і
називаються лінійно незалежними на інтервалі
.

Приклад 1 . Функції
і
лінійно залежні, оскільки
на всій числовій прямій. У цьому прикладі
.

Приклад 2 . Функції
і
лінійно незалежні на будь-якому інтервалі, тому що рівність
можливо лише у випадку, коли і
, і
.

Побудова загального рішення лінійного однорідного

рівняння

Для того, щоб знайти загальне рішення рівняння (2), потрібно знайти два його лінійно незалежні рішення і . Лінійна комбінація цих рішень
, де і
- Довільні постійні, і дасть загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

Лінійно незалежні рішення рівняння (2) шукатимемо у вигляді

, (5)

лінійним неоднорідним - Деяке число. Тоді
,
. Підставимо ці вирази до рівняння (2):

або
.

Так як
, то
. Таким чином, функція
буде рішенням рівняння (2), якщо буде задовольняти рівняння

. (6)

Рівняння (6) називається характеристичним рівнянням для рівняння (2). Це рівняння є квадратним рівнянням алгебри.

Нехай і є коріння цього рівняння. Вони можуть бути або дійсними та різними, або комплексними, або дійсними та рівними. Розглянемо ці випадки.

Нехай коріння і характеристичного рівняння дійсні та різні. Тоді рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки рівність
може виконуватися лише тоді, коли і
, і
. Тому загальне рішення рівняння (2) має вигляд

,

лінійним неоднорідним і
- Довільні постійні.

Приклад 3
.

Рішення . Характеристичним рівнянням для цього диференціального буде
. Вирішивши це квадратне рівняннязнайдемо його коріння
і
. Функції
і
є рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд
.

Комплексним числом називається вираз виду
, де і - дійсні числа, а
називається уявною одиницею. Якщо
, то число
називається чисто уявним. Якщо ж
, то число
ототожнюється з дійсним числом .

Число називається дійсною частиною комплексного числа, а - уявною частиною. Якщо два комплексні числа відрізняються один від одного тільки знаком уявної частини, то вони зазиваються сполученими:
,
.

Приклад 4 . Розв'язати квадратне рівняння
.

Рішення . Дискримінант рівняння
. Тоді. Аналогічно,
. Таким чином, дане квадратне рівняння має пов'язане комплексне коріння.

Нехай коріння характеристичного рівняння комплексне, тобто.
,
, де
.
,
або
,
Рішення рівняння (2) можна записати у вигляді

,
.

Тоді,. Як відомо, якщо комплексна функція є рішенням лінійного однорідного рівняння, рішеннями цього рівняння є і дійсна, і уявна частини цієї функції. Таким чином, рішеннями рівняння (2) будуть функції
і
. Оскільки рівність

може виконуватися лише в тому випадку, якщо
і
, то ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд

лінійним неоднорідним і
- Довільні постійні.

Приклад 5 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Рівняння
є характерним для даного диференціального. Вирішимо його і отримаємо комплексне коріння
,
. Функції
і
є лінійно незалежними рішеннями диференціального рівняння. Загальне рішення цього рівняння має вигляд.

Нехай коріння характеристичного рівняння дійсне і рівне, тобто.
. Тоді рішеннями рівняння (2) є функції
і
. Ці рішення лінійно незалежні, оскільки вираз може бути тотожно рівним нулю лише тоді, коли
і
. Отже, загальне рішення рівняння (2) має вигляд
.

Приклад 6 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Характеристичне рівняння
має рівне коріння
. У цьому випадку лінійно-незалежними рішеннями диференціального рівняння є функції
і
. Загальне рішення має вигляд
.

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

та спеціальною правою частиною

Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі загального рішення
відповідного однорідного рівняння та будь-якого приватного рішення
неоднорідного рівняння:
.

У деяких випадках окреме рішення неоднорідного рівняння можна знайти досить просто на вигляд правої частини
рівняння (1). Розглянемо випадки коли це можливо.

тобто. права частина неоднорідного рівняння є багаточленом ступеня m. Якщо
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді багаточлена ступеня m, тобто.

Коефіцієнти
визначаються процесі перебування приватного рішення.

Якщо ж
є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді

Приклад 7 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Відповідним однорідним рівнянням для цього рівняння є
. Його характеристичне рівняння
має коріння
і
. Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд
.

Так як
не є коренем характеристичного рівняння, то приватне рішення неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді функції
. Знайдемо похідні цієї функції
,
і підставимо їх на дане рівняння:

або . Прирівняємо коефіцієнти при та вільні члени:
Вирішивши цю систему, отримаємо
,
. Тоді окреме рішення неоднорідного рівняння має вигляд
, а загальним рішенням даного неоднорідного рівняння буде сума загального рішення відповідного однорідного рівняння та окремого рішення неоднорідного:
.

Нехай неоднорідне рівняння має вигляд

- Деякі числа, а функція
не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді. Якщо ж
є корінь характеристичного рівняння кратності k (k=1 або k=2), то цьому випадку приватне рішення неоднорідного рівняння матиме вид .

Приклад 8 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Характеристичне рівняння для відповідного однорідного рівняння має вигляд
. Його коріння
,
. І тут загальне рішення відповідного однорідного рівняння записується як
.

Так як число 3 не є коренем характеристичного рівняння, то окреме рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді
. Знайдемо похідні першого та другого порядків:,

Підставимо в диференціальне рівняння:
+ +,
+,.

Прирівняємо коефіцієнти при та вільні члени:

Звідси
,
. Тоді окреме рішення даного рівняння має вигляд
, а загальне рішення

.

Метод Лагранжа варіації довільних постійних

p align="justify"> Метод варіації довільних постійних можна застосовувати до будь-якого неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами незалежно від виду правої частини. Цей метод дозволяє завжди знайти загальне рішення неоднорідного рівняння, якщо відомо загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Нехай
і
є лінійно незалежними рішеннями рівняння (2). Тоді загальним рішенням цього рівняння є
, де і
- Довільні постійні. Суть методу варіації довільних постійних у тому, що загальне рішення рівняння (1) шукається як

лінійним неоднорідним
і
- нові невідомі функції, які потрібно знайти. Оскільки невідомих функцій дві, то їх знаходження необхідні два рівняння, містять ці функції. Ці два рівняння складають систему

яка є лінійною алгебраїчною системою рівнянь щодо
і
. Вирішуючи цю систему, знайдемо
і
. Інтегруючи обидві частини отриманих рівностей, знайдемо

і
.

Підставивши ці вирази (9), отримаємо загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (1).

Приклад 9 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення. Характеристичним рівнянням для однорідного рівняння, що відповідає даному диференціальному рівнянню, є
. Коріння його комплексне
,
. Так як
і
, то
,
, А загальне рішення однорідного рівняння має вигляд. Тоді загальне рішення даного неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді, де
і
- Невідомі функції.

Система рівнянь для знаходження цих невідомих функцій має вигляд

Вирішивши цю систему, знайдемо
,
. Тоді

,
. Підставимо отримані вирази у формулу загального рішення:

Це і є загальне рішення даного диференціального рівняння, отримане методом Лагранжа.

Запитання для самоконтролю знань

Яке диференціальне рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами?

Яке лінійне диференціальне рівняння називається однорідним, яке - неоднорідним?

Якими властивостями має лінійне однорідне рівняння?

Яке рівняння називається характерним для лінійного диференціального рівняння і як воно виходить?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі різних коренів характеристичного рівняння?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі рівних коренівхарактеристичного рівняння?

У якому вигляді записується загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами у разі комплексного коріння характеристичного рівняння?

Як записується загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння?

У якому вигляді шукається приватне рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо коріння характеристичного рівняння різне і не дорівнює нулю, а права частина рівняння є багаточлен ступеня m?

У якому вигляді шукається окреме рішення лінійного неоднорідного рівняння, якщо серед коренів характеристичного рівняння є один нуль, а права частина рівняння є багаточлен ступеня m?

У чому полягає суть методу Лагранжа?