Приклад №9

Дослідити збіжність ряду $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ . Спочатку визначимо, чи є цей ряд позитивним, тобто. чи правильна нерівність $u_n≥ 0$. Розмножувач $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, це ясно, а ось що щодо арктангенса? З арктангесом нічого складного: оскільки $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, то й $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0$ . Висновок: наш ряд є позитивним. Застосуємо ознаку порівняння на дослідження питання збіжності цього ряду.

Для початку виберемо ряд, з яким порівнюватимемо. Якщо $n\to\infty$, то $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$. Отже, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Чому так? Якщо подивитися таблицю в кінці цього документа, то ми побачимо формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Ми цю формулу і використовували тільки в нашому випадку $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

Замінимо у виразі $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ арктангенс на дріб $\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1)) $. Отримаємо ми наступне: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Із такими дробами ми вже працювали раніше. Відкидаючи "зайві" елементи, прийдемо до дробу $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2)+\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Саме з рядом $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ ми і порівнюватимемо заданий ряд, використовуючи . Оскільки $\frac(5)(6)≤ 1$, то ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ розходиться.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(aligned) \right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

Оскільки $0<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Зазначу, що у разі замість арктангенса у вираженні загального члена низки міг бути синус, арксинус чи тангенс. Рішення залишилося б тим самим.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №10

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ на збіжність.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Оскільки для будь-якого значення $x$ маємо $-1≤\cos x≤ 1$, то $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Отже, $1-cos=frac(7)(n)≥ 0$, тобто. $u_n≥ 0$. Ми маємо справу із позитивним рядом.

Якщо $n\to\infty$, то $\frac(7)(n)\to 0$. Отже, $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. Чому так? Якщо подивитися таблицю наприкінці цього документа , ми побачимо формулу $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ при $x\to 0$. Ми цю формулу і використовували тільки в нашому випадку $x=\frac(7)(n)$.

Замінимо вираз $1-\cos\frac(7)(n)$ на $\frac(49)(2n^2)$. Відкидаючи "зайві" елементи, прийдемо до дробу $\frac(1)(n^2)$. Саме з рядом $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ ми і порівнюватимемо заданий ряд, використовуючи . Оскільки $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ сходиться.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin(aligned)&\frac(7)(n)\to 0;\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2). \ end (aligned) \ right | =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

Оскільки $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Відповідь: ряд сходиться

Приклад №11

Дослідити збіжність низки $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Оскільки обидва умножувачі позитивні, то $u_n >0$, тобто. ми маємо справу із позитивним рядом.

Якщо $n\to\infty$, то $\frac(3)(n)\to 0$. Отже, $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Використана нами формула розміщена в таблиці наприкінці цього документа: $e^x-1 \sim x$ при $x\to 0$. У нашому випадку $ x = \ frac (3) (n) $.

Замінимо вираз $e^\frac(3)(n)-1$ на $\frac(3)(n)$, отримавши при цьому $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right)^ 2=\frac(9)(n)$. Відкидаючи число, прийдемо до дробу $\frac(1)(n)$. Саме з гармонічним рядом $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ми і порівнюватимемо заданий ряд, використовуючи . Нагадаю, що гармонійний ряд розходиться.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n). \ end (aligned) \ right | =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

Оскільки $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №12

Дослідити збіжність низки $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Оскільки для будь-якого значення $n$ маємо $n^3+7 > n^3+5$, то $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Отже, $ nn frac (n ^ 3 +7) (n ^ 3 +5) > 0 $, тобто. $u_n > 0$. Ми маємо справу із позитивним рядом.

Помітити еквівалентність, яка потрібна в цьому випадку, дещо важкувато. Запишемо вираз під логарифмом трохи в іншій формі:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ right). $$

Ось тепер формула видно: $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$. Оскільки при $n\to\infty$ маємо $\frac(2)(n^3+5)\to 0$, то $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

Замінимо вираз $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ на $\frac(2)(n^3+5)$. Відкидаючи "зайві" елементи, прийдемо до дробу $\frac(1)(n^3)$. Саме з рядом $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ ми і порівнюватимемо заданий ряд, використовуючи . Оскільки $3 > 1$, то ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ сходиться.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(aligned)&\frac(2)(n^3+5)\to 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(aligned)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=frac(2)(1+0)=2. $$

Оскільки $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Відповідь: ряд сходиться

Приклад №13

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Нехай заданий позитивний числовий ряд $sum_(n=1) ^\infty a_n$. Сформулюємо необхідну ознаку збіжності низки:

1. Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена дорівнює нулю: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. Якщо межа загального члена ряду не дорівнює нулю, ряд розходиться: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Узагальнений гармонійний ряд

Цей ряд записується так $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Причому залежно від $p$ ряд сходиться або розходиться:

1. Якщо $ p = 1 $, то ряд $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ розходиться і називається гармонічним, незважаючи на те, що загальний член $ a_n = \frac(1)( n) \to 0$. Чому так? У зауваженні говорилося, що необхідна ознака не дає відповіді про збіжність, а лише про розбіжність низки. Тому, якщо застосувати достатню ознаку, таку як інтегральну ознаку Коші, то стане ясно, що ряд розходиться!
2. Якщо $ p \ leqslant 1 $, то ряд розходиться. Приклад, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, у якому $ p = \frac(1)(2) $
3. Якщо $ p > 1 $, то ряд сходиться. Приклад, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, у якому $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Приклади рішень

Приклад 1

Довести розбіжність низки $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $

Рішення

Ряд позитивний, записуємо спільний член: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Обчислюємо межу при $n\to\infty$: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Виносимо за дужку $n$ у знаменнику, а потім виконуємо на нього скорочення: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Оскільки отримали, що $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, то необхідна ознака Коші не виконана і ряд розходиться. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

Ряд розходиться

додаток

Онлайн сервіс сайт допоможе знайти суму ряду онлайн як числової послідовності, і функціонального ряду. Сума ряду для математиків є чимось особливим у розумінні аналізу числових величин та граничного переходу. Про загальне рішення рядів сказано і написано дуже багато корисних праць за кілька століть. Особисто для кожного викладача служить важливим обов'язком донести свої накопичені знання з математики до кінцевого слухача, тобто студента. Шукати простіше таку суму ряду 1/n. Буде вам сума ряду 1/n^2 представлена ​​в короткому записі.. Поряд з визначенням суми ряду онлайн послідовності числової, сайт в онлайн режимі може знайти так звану часткову суму ряду. Однозначно це допоможе для аналітичних уявлень, коли суму ряду онлайн потрібно висловити і знайти як рішення ліміту числової послідовності часткових сум ряду. За своєю суттю сума ряду не що інше, як зворотна операція розкладання функції до ряду. Операції практично взаємні за своєю природою. Так склалося, що збіжність низки вивчається після проходження курсу лекції в математичному аналізі після меж. Знайдене рішення рядів означає результат дослідження його збіжність чи розбіжність. Цей результат визначається однозначно. У порівнянні з аналогами, сайт має свої незаперечні переваги, тому що вміє знайти суму ряду онлайн як числового, так і функціонального ряду, що дозволяє однозначно визначати область збіжності початкового ряду, застосовуючи практично всі відомі науці методології. Спираючись на теорію рядів, необхідною у всі часи умовою збіжності послідовності числової буде рівність нулю ліміту загального члена числового ряду на нескінченності. Але ця умова є достатньою при встановленні збіжності числового ряду онлайн. Трохи відвернемося від насущної проблеми і поміркуємо з іншої філософської позиції з приводу рядів математики. Для вас це рішення рядів онлайн дозволить стати найкращим калькулятором та помічником на кожен день. Зовсім не хочеться просиджувати красиві зимові дні за уроками, коли сума ряду знаходиться за дві секунди прямо на ваших очах. Якщо потрібно комусь визначити ту саму ходимість ряду, то потрібно кілька секунд після попереднього введення правильних даних. У той час, як аналогічні сайти вимагають винагороди за свої послуги, ми намагаємось бути корисними кожному бажаючому спробувати навчитися самому вирішувати приклади, використовуючи наш простий сервіс. На ваш розсуд ми можемо уявити рішення рядів в онлайн режимі на будь-якому сучасному пристрої, тобто в будь-якому браузері. Так от знайти і довести, що сума ряду 1/n на нескінченності розходиться - буде простим завданням. Назавжди запам'ятайте, як сума низки 1/n^2 сходиться і має у математиці велике значення. А ось сума кінцевого ряду зазвичай визначається після використання, наприклад, інтегральної ознаки або ознаки Раабе, про яку мало хто знає у рядових вишах. За визначенням збіжності рядів онлайн вченими виведено різні достатні ознаки збіжності чи розбіжності ряду. Більш відомі і часто застосовувані з цим методів - це ознаки Д"Аламбера, ознака збіжності Коші, ознака збіжності Раабе, ознака порівняння числових рядів, а також інтегральна ознака збіжності числового ряду. Заслуговують на особливу увагу такі числові ряди, у яких знаки доданків обов'язково суворо чергуються один за одним з мінуса на плюс і назад, а абсолютні величини цих числових рядів зменшуються монотонно, тобто рівномірно. числового ряду на нескінченності.Знайдена сума ряду таким способом виявляється рівносильно іншим застосовуваним методам.Сходимость ряду займає колосальну витрату часу, так як сам процес передбачає повне дослідження функції. в ряд в реж має онлайн у будь-якій точці з області визначення досліджуваної функції. Розкласти функцію в ряд онлайн в цих сервісах можна легко, тому що використовується функціонал обчислення похідної, а ось зворотна операція - знайти суму функціонального онлайн ряду, членами якого є не числа, а функції, не рідко буває неможливим на практиці через труднощі, що виникають на ґрунті відсутності необхідних обчислювальних ресурсів. Використовуйте наш ресурс для обчислень суми рядів онлайн, перевірки та закріплення своїх знань. Якщо ж сума ряду розходиться, то ми не отримаємо очікуваного результату для подальших дій якоюсь спільною задачею. Цього можна заздалегідь уникнути, використовуючи свої знання як фахівця. Насамкінець не можна не згадати як сума ряду 1/n найпростіша у виразі і її часто наводять у приклад. Навіть коли хочуть показати деяку ознаку збіжності у справі, то доводять це для суми ряду 1/n^2, бо прозоро для учнів таке уявлення і студенти не плутаються. Оскільки маємо вираз для складного загального члена ряду, то сума кінцевого ряду була б корисною, якщо буде доведено для мажоруючого ряду (щодо вихідного) його збіжність. З іншого боку, збіжність ряду відбуватиметься незалежно від початкових умов завдання. Найкраще рішення рядів може запропонувати тільки наш сервіс сайт, тому що тільки ми гарантуємо економію вашого часу, співвіднісши витрати на обчислення з корисністю та точністю результату. Оскільки шукана сума ряду уявна здебільшого мажоруючим поруч, то якраз доцільніше дослідити саме його. Звідси збіжність ряду від загального члена, що мажорує, однозначно вкаже на збіжність основного висловлювання, і завдання вирішиться сама собою відразу ж. Для деякого випадку сума ряду може бути обчислена в задачі для фізики, хімії або прикладної дисципліни, не застрягаючи в рутинних обчислення, щоб не збитися з основного напряму при дослідженні деякого природного процесу. Для початку зазвичай записують що не наїсти спрощене вираз у вигляді суми ряду 1/n і виправданий такий підхід. Число Пі є у багатьох обчислювальних операціях, але сума ряду 1/n^2 по суті є класичним прикладом збіжності гармонійного ряду на нескінченності. Що ж означає вираз "сума кінцевого ряду"? І це означає, що він сходиться і межа його часткових сум має конкретне числове значення. Якщо ж підтвердиться збіжність ряду і це вплине на кінцеву стійкість системи, тоді можна змінити вхідні параметри завдання і спробувати зробити наново. Насамкінець хочемо вам дати неявну на перший погляд, але дуже корисну на практиці пораду. Навіть якщо ви маєте достатній досвід у вирішенні рядів і не потребуєте подібних сервісів за рішенням рядів онлайн, приступити до знаходження суми ряду ми пропонуємо вам з визначення збіжності ряду. Витратьте всього хвилину на цю дію, використовуючи сайт, щоб протягом всього обчислення суми ряду просто пам'ятати цей факт у голові. Зайвим не буде! Про суму ряду онлайн багато написано на сайтах з математики, прикладено багато ілюстрацій, як у минулому столітті вчені позначали символами вираження суми ряду. За великим рахунком, мало що змінилося, але цікаві моменти є. Якщо збіжність ряду в онлайні неможлива, то просто перевірте введені дані і спокійно повторіть запит. Краще все-таки спочатку перевірити ще раз загальний член ряду. І будь-яке рішення рядів онлайн здасться відразу на сайті, вам не доведеться натискати додаткові посилання для того, щоб отримати відповідь на поставлене завдання. Найкраще, на думку експертів, змушує студентів більш вимогливо підходити до вибору калькулятора рішення рядів. У суму низки як онлайн сервісу вкладають поняття збіжності низки, тобто існування кінцевої суми. Поряд із цим розділом представлені такі базові теми як інтеграли та похідна, оскільки всі вони тісно пов'язані. Давайте разом з нами поговоримо, як сума ряду 1/n розходиться при прагненні змінної до нескінченності. Однак інша сума такого ряду як 1/n^2 буде навпаки сходитися і прийме кінцевий числовий вираз. Цікаво вивчати випадки, коли сума кінцевого ряду представляється поступово у вигляді проміжних часткових сум ряду при покроковому збільшенні змінної на одиницю, а може й кілька одиниць одночасно. Перевірку на збіжність ряду в онлайні рекомендуємо виконувати після вирішення завдань. Це дозволить вам детально розібратися у темі та підвищити свій рівень знань. Не забувайте про це ніколи, ми намагаємось тільки для вас. Якось на уроці вчитель показав рішення рядів онлайн за допомогою обчислювальної техніки. Потрібно сказати, що це всім сподобалося неабияк. Після цього випадку калькулятор був потрібний на всьому курсі вивчення математики. Зайвим не перевірити, як сума ряду обчислюється калькулятором онлайн за кілька секунд після того, як ви запросите показати результат. Відразу стане зрозуміло, в якому напрямку варто тримати хід вирішення задачі. Оскільки про збіжність ряду в деяких дорогих підручниках написано небагато, то краще завантажити з Інтернету кілька добрих доповідей видатних учених та пройти курс навчання за їхньою методикою. Результат буде добрим. При рішенні рядів не можна виключати першу ознаку збіжності, саме прагнення нуля межі загального його члена. Хоч і не достатня ця умова, але необхідна завжди. Цілісність вирішеного прикладу робить приємне відчуття на учня, коли він розуміє, що сума низки обчислена не вдаючись до підказок. Підручники призначені як посібник для застосування практично своїх навичок. У міру забування пройденого матеріалу, потрібно щочетверга приділяти хоча б п'ять хвилин на швидкий перегляд лекцій, інакше до початку сесії ви все забудете, а як обчислюється збіжність ряду ви тим більше забудете. Почніть з одного разу і надалі переборіть свою лінь. Недаремно змушують викладачі доводити, як сума ряду 1/n розходиться. А ось якщо все-таки сума ряду 1/n^2 буде представлена ​​як знакозмінний ряд, то нічого страшного не трапиться - адже абсолютний ряд сходиться! Ну і звичайно сума кінцевого ряду вам може представляти особливий інтерес, коли ви вивчаєте цю дисципліну самостійно. Левову частку прикладів вирішують з допомогою методу Даламбера і розв'язання рядів у своїй зводиться до обчислення меж, як ставлення його сусідніх членів, саме наступного на попередній. Тому бажаємо вам удачі у вирішенні математики і нехай ви ніколи не помилятиметеся! Візьмемо за базову основу так зване рішення рядів онлайн за напрямком дослідницької розбіжності причетності основних принципів та наукових міжгалузевих напрямків. Дозвольте нам вам знайти відповідь і розповісти ствердно, що сума низки вирішується декількома принципово різними способами, але зрештою результат той самий. Підказка про збіжність ряду не завжди очевидна для студентів, навіть якщо їм заздалегідь сказати відповідь, хоча це безумовно підштовхує їх до правильного ходу рішення. Абстракція в математиці хоч і виступає на перше місцеве, проте вона підкріплена теорією і доводить деякі незаперечні факти за дві секунди. Не можна пропустити такий аспект при вирішенні рядів онлайн, як застосування або незастосовність базових теоретичних принципом збіжності числового ряду і подання складної суми ряду в деякому спрощеному варіанті для більш приємного виду ока. Але відомі випадки, коли сума ряду 1/n буде сходитися і ми не станемо вас напружувати цим казусом, тому що всього просто потрібно замість символу нескінченності підставити деяке ціле число і тоді вся сума зведеться до звичайного арифметичного ряду. Гармонійний ряд - це сума ряду 1/n^2, то мережа в будь-якому зведеному ступені.

Ряди для чайників. Приклади рішень

Всіх, хто вижив, вітаю на другому курсі! На цьому уроці, а точніше, на серії уроків, ми навчимося керуватися рядами. Тема не дуже складна, але для її освоєння знадобляться знання з першого курсу, зокрема, необхідно розуміти, що таке межа, і вміти знаходити найпростіші межі. Втім, нічого страшного, під час пояснень я даватиму відповідні посилання на потрібні уроки. Деяким читачам тема математичних рядів, прийоми рішення, ознаки, теореми можуть здатися своєрідними, і навіть химерними, безглуздими. В цьому випадку не потрібно сильно «завантажуватися», приймаємо факти такими, якими вони є, і просто вчимося вирішувати типові, поширені завдання.

1) Ряди для чайників, і для самоварів відразу зміст:)

Для надшвидкої підготовки на темує експрес-курс у форматі pdf, за допомогою якого реально «підняти» практику буквально за день.

Поняття числового ряду

У загальному вигляді числовий рядможна записати так: .
Тут:
- Математичний значок суми;
– загальний член ряду(запам'ятайте цей простий термін);
- Змінна-«лічильник». Запис позначає, що проводиться підсумовування від 1 до «плюс нескінченності», тобто спочатку у нас, потім, потім, і так далі – до нескінченності. Замість змінної іноді використовується змінна або . Підсумовування не обов'язково починається з одиниці, часом воно може починатися з нуля , з двійки або з будь-якого натурального числа.

Відповідно до змінної-«лічильника» будь-який ряд можна розписати розгорнуто:
- І так далі, до нескінченності.

Доданки – це ЧИСЛА, які називаються членамиряду. Якщо всі вони негативні (Більше або рівні нулю), то такий ряд називають позитивним числовим рядом.

Приклад 1

Це вже, до речі, «бойове» завдання – на практиці часто потрібно записати кілька членів ряду.

Спочатку , тоді:
Потім тоді:
Потім, тоді:

Процес можна продовжити до нескінченності, але за умовою потрібно написати перші три члени ряду, тому записуємо відповідь:

Зверніть увагу на принципову відмінність від числової послідовності,
у якій члени не підсумовуються, а розглядаються як такі.

Приклад 2

Записати перші три члени ряду

Це приклад для самостійного вирішення, відповідь наприкінці уроку

Навіть для складного на перший погляд ряду не складно розписати його в розгорнутому вигляді:

Приклад 3

Записати перші три члени ряду

Насправді завдання виконується усно: подумки підставляємо у спільний член рядуспочатку, потім і. В підсумку:

Відповідь залишаємо у такому вигляді, отримані члени ряду краще не спрощувати, тобто не виконуватидії: , , . Чому? Відповідь у вигляді набагато простіше та зручніше перевіряти викладачеві.

Іноді зустрічається зворотне завдання

Приклад 4

Тут немає якогось чіткого алгоритму рішення, закономірність потрібно просто побачити.
В даному випадку:

Для перевірки отриманий ряд можна розписати назад в розгорнутому вигляді.

А ось приклад трохи складніший для самостійного вирішення:

Приклад 5

Записати суму у згорнутому вигляді із загальним членом ряду

Виконати перевірку, знову записавши ряд у розгорнутому вигляді

Збіжність числових рядів

Одним із ключових завдань теми є дослідження низки на збіжність. При цьому можливі два випадки:

1) Рядрозходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює нескінченності: або суми взагалі не існує, як, наприклад, у ряду
(От, до речі, і приклад ряду з негативними членами). Хороший зразок числового ряду, що розходиться, зустрівся на початку уроку: . Тут цілком очевидно, що кожен наступний член ряду більший, ніж попередній, тому і, отже, ряд розходиться. Ще більш тривіальний приклад: .

2) Рядсходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює деякому кінцевого числа: . Будь ласка: – цей ряд сходиться та його сума дорівнює нулю. Як більш змістовний приклад можна навести нескінченно спадаючугеометричну прогресію, відому нам ще зі школи: . Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії розраховується за такою формулою: , де – перший член прогресії, а – її основу, яке, зазвичай, записують як правильноюдроби. В даному випадку: , . Таким чином: Отримано кінцеве число, отже, ряд сходиться, що потрібно було довести.

Однак у переважній більшості випадків знайти суму рядуне так просто, і тому на практиці для дослідження збіжності низки використовують спеціальні ознаки, які доведені теоретично.

Існує кілька ознак збіжності низки: необхідна ознака збіжності ряду, ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші, ознака Лейбницята деякі інші ознаки. Коли яку ознаку застосовувати?Це від загального члена низки , образно кажучи – від «начинки» ряду. І дуже скоро ми все розкладемо по поличках.

! Для подальшого засвоєння уроку необхідно добре розумітищо таке межа і добре вміти розкривати невизначеність виду. Для повторення або вивчення матеріалу зверніться до статті Межі. Приклади рішень.

Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю: .

Зворотне у випадку невірно, тобто, якщо , то ряд може як сходитися, і розходитися. І тому цю ознаку використовують для обґрунтування розбіжностіряду:

Якщо загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться

Або коротше: якщо, то ряд розходиться. Зокрема, можлива ситуація, коли межі немає взагалі, як, наприклад, межі. Ось відразу й обґрунтували розбіжність одного ряду:)

Але набагато частіше межа ряду, що розходиться, дорівнює нескінченності, при цьому в якості «динамічної» змінної замість «ікса» виступає . Освіжаємо наші знання: межі з «іксом» називають межами функцій, а межі зі змінною «ен» – межами числових послідовностей. Очевидна відмінність у тому, що змінна «ен» приймає дискретні (перервні) натуральні значення: 1, 2, 3 тощо. Але цей факт мало позначається на методах розв'язання меж та способи розкриття невизначеностей.

Доведемо, що ряд із першого прикладу розходиться.
Загальний член ряду:

Висновок: ряд розходиться

Необхідна ознака часто застосовується у реальних практичних завданнях:

Приклад 6

У чисельнику та знаменнику у нас знаходяться багаточлени. Той, хто уважно прочитав та осмислив метод розкриття невизначеності у статті Межі. Приклади рішень, напевно вловив, що коли старші ступеня чисельника та знаменника рівнітоді межа дорівнює кінцевого числа .

Ділимо чисельник і знаменник на

Досліджуваний ряд розходиться, тому що не виконано необхідну ознаку збіжності ряду.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Отже, коли нам дано БУДЬ-ЯКИЙ числовий ряд, в першу чергуперевіряємо (подумки чи чернетці): а чи прагне його спільний член до нуля? Якщо не прагне – оформляємо рішення на зразок прикладів № 6, 7 і даємо відповідь про те, що ряд розходиться.

Які типи рядів, що очевидно розходяться, ми розглянули? Відразу зрозуміло, що розходяться ряди на кшталт або . Також розходяться ряд з прикладів № 6, 7: коли в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і старший ступінь чисельника більший або дорівнює старшому ступені знаменника. У всіх цих випадках при вирішенні та оформленні прикладів ми використовуємо необхідну ознаку збіжності низки.

Чому ознака називається необхідним? Розумійте найприродніше: для того, щоб ряд сходився, необхіднощоб його спільний член прагнув до нуля. І все було б чудово, але цього ще мало. Іншими словами, якщо загальний член ряду прагне нуля, ТО ЦЕ ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що ряд сходиться- Він може, як сходитися, так і розходитися!

Знайомтесь:

Цей ряд називається гармонійним поряд. Будь ласка, запам'ятайте! Серед числових рядів він є прима-балериною. Точніше, балеруном =)

Легко помітити, що , АЛЕ. Теоретично математичного аналізу доведено, що гармонійний ряд розходиться.

Також слід запам'ятати поняття узагальненого гармонійного ряду:

1) Цей ряд розходитьсяпри . Наприклад, розходяться ряди , , .
2) Цей ряд сходитьсяпри . Наприклад, сходяться ряди , , . Ще раз наголошую, що майже у всіх практичних завданнях нам зовсім не важливо, чому дорівнює сума, наприклад, ряду, важливий сам факт його збіжності.

Це елементарні факти з теорії рядів, які вже доведені, і при вирішенні якогось практичного прикладу можна сміливо посилатися, наприклад, на розбіжність ряду або збіжність ряду.

Взагалі, аналізований матеріал дуже схожий дослідження невласних інтеграліві тому, хто вивчав цю тему, буде легше. Ну а тому, хто не вивчав – легше подвійно:)

Отже, що робити, якщо загальний член ряду прагне до нуля?У таких випадках для вирішення прикладів слід використовувати інші, достатні ознаки збіжності / розбіжності:

Ознаки порівняння для позитивних числових рядів

Загострюю вашу увагу, що тут йдеться тільки про позитивні числові ряди (З невід'ємними членами).

Існують дві ознаки порівняння, одну з них я називатиму просто ознакою порівняння, інший – граничною ознакою порівняння.

Спочатку розглянемо ознака порівняння, А точніше, першу його частину:

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо відомо, що ряд – сходиться, і, починаючи з деякого номера, виконано нерівність, то ряд теж сходиться.

Іншими словами: Зі збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами. Насправді нерівність часто виконано взагалі всім значень :

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

По-перше, перевіряємо(Подумки або на чернетці) виконання :
, А значить, «відбутися малою кров'ю» не вдалося.

Заглядаємо в «пачку» узагальненого гармонійного ряду і, орієнтуючись на старший ступінь, знаходимо схожий ряд: З теорії відомо, що він сходиться.

Для всіх натуральних номерів справедлива очевидна нерівність:

а більшим знаменникам відповідають найменші дроби:
, отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Якщо у вас є якісь сумніви, то нерівність завжди можна докладно розписати!Розпишемо побудовану нерівність для кількох номерів «ен»:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
….
і тепер уже цілком зрозуміло, що нерівність виконаний для всіх натуральних номерів «ен».

Проаналізуємо ознаку порівняння та вирішений приклад із неформальної точки зору. Все-таки чому ряд сходиться? А ось чому. Якщо ряд сходиться, він має деяку кінцевусуму: . І оскільки всі члени ряду меншевідповідних членів ряду , то ясний пень, що сума ряду не може бути більшою за число , і тим більше, не може дорівнювати нескінченності!

Аналогічно можна довести збіжність «схожих» рядів: , , і т.д.

! Зверніть увагущо у всіх випадках у знаменниках у нас знаходяться «плюси». Наявність хоча б одного мінусу може серйозно ускладнити використання аналізованого ознаки порівняння. Наприклад, якщо ряд таким же чином порівняти з рядом, що сходить (випишіть кілька нерівностей для перших членів), то умова не буде виконуватися взагалі! Тут можна викрутитися і підібрати для порівняння інший ряд, що сходить, наприклад, але це спричинить зайві застереження та інші непотрібні труднощі. Тому для доказу збіжності ряду набагато простіше використовувати гранична ознака порівняння(Див. наступний параграф).

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність

І в цьому прикладі я пропоную вам самостійно розглянути другу частину ознаки порівняння:

Якщо відомо, що ряд – розходиться, і, починаючи з деякого номера (часто з першого),виконано нерівність , то ряд теж розходиться.

Іншими словами: З розбіжності ряду з меншими членами випливає розбіжність ряду з більшими членами.

Що потрібно зробити?
Потрібно порівняти досліджуваний ряд з гармонійним рядом , що розходиться . Для кращого розуміння побудуйте кілька конкретних нерівностей і переконайтеся в справедливості нерівності.

Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Як зазначалося, практично щойно розглянутий ознака порівняння застосовують рідко. Справжньою «робочою конячкою» числових рядів є гранична ознака порівняння, і за частотою використання з ним може конкурувати хіба що ознака Даламбера.

Гранична ознака порівняння числових позитивних рядів

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо межа відношення спільних членів цих рядів дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числу: , то обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.

Коли застосовується гранична ознака порівняння?Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли начинкою ряду у нас є багаточлени. Або один многочлен у знаменнику, або многочлени й у чисельнику й у знаменнику. Опціонально багаточлени можуть бути під корінням.

Розробимося з рядом, для якого забуксувала попередня ознака порівняння.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Порівняємо даний ряд з рядом, що збігається. Використовуємо граничну ознаку порівняння. Відомо, що ряд – сходиться. Якщо нам вдасться показати, що дорівнює кінцевому, відмінному від нулячислу, то буде доведено, що ряд теж сходиться.

Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, отже, досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Чому для порівняння було обрано саме ряд? Якби ми вибрали будь-який інший ряд із «обойми» узагальненого гармонійного ряду, то у нас не вийшло б у межі кінцевого, відмінного від нулячисла (можете поекспериментувати).

Примітка: коли ми використовуємо граничну ознаку порівняння, не має значення, у порядку складати ставлення спільних членів, у розглянутому прикладі ставлення можна було скласти навпаки: – це змінило б суті справи.