Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку приклади. Диференціальні рівняння першого порядку

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Конспект лекції для студентів бухгалтерського факультету

заочної форми здобуття освіти (НІСПО)

Гірки, 2013

Диференціальні рівняння першого порядку

Поняття диференціального рівняння. Загальне та приватне рішення

При вивченні різних явищ часто не вдається знайти закон, який безпосередньо пов'язує незалежну змінну та функцію, але можна встановити зв'язок між шуканою функцією і її похідними.

Співвідношення, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її похідні, називається диференціальним рівнянням :

Тут x- незалежна змінна, y- Шукана функція,
- Похідні шуканої функції. При цьому у співвідношенні (1) обов'язково наявність хоча б однієї похідної.

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить до рівняння.

Розглянемо диференціальне рівняння

. (2)

Так до цього рівняння входить похідна тільки першого порядку, то воно зв ється диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо рівняння (2) можна вирішити щодо похідної та записати у вигляді

, (3)

то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку у нормальній формі.

У багатьох випадках доцільно розглядати рівняння виду

яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, записаним у диференціальній формі.

Так як
, то рівняння (3) можна записати у вигляді
або
де можна вважати
і
. Це означає, що рівняння (3) перетворено на рівняння (4).

Запишемо рівняння (4) у вигляді
. Тоді
,
,
де можна вважати
, тобто. отримано рівняння виду (3). Таким чином, рівняння (3) та (4) рівносильні.

Розв'язанням диференціального рівняння (2) або (3) називається будь-яка функція
, яка при підстановці її на рівняння (2) або (3) звертає його в тотожність:

або
.

Процес знаходження всіх розв'язків диференціального рівняння називається його інтегруванням , а графік вирішення
диференціального рівняння називається інтегральної кривої цього рівняння.

Якщо рішення диференціального рівняння отримано у неявному вигляді
, то воно називається інтегралом даного диференціального рівняння.

Спільним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається сімейство функцій виду
, що залежить від довільної постійної З, кожна з яких є вирішенням даного диференціального рівняння при будь-якому припустимому значенні довільної постійної З. Таким чином, диференціальне рівняння має безліч рішень.

Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, одержуване з формули загального рішення при конкретному значенні довільної постійної З, включаючи
.

Завдання Коші та її геометрична інтерпретація

Рівняння (2) має безліч рішень. Щоб із цієї множини виділити одне рішення, яке називається приватним, потрібно задати деякі додаткові умови.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (2) за заданих умов називається завданням Коші . Це завдання є одним із найважливіших у теорії диференціальних рівнянь.

Формулюється завдання Коші так: серед усіх розв'язків рівняння (2) знайти таке рішення
, в якому функція
приймає задане числове значення , якщо незалежна змінна x приймає задане числове значення , тобто.

,
, (5)

де D– область визначення функції
.

Значення називається початковим значенням функції , а – початковим значенням незалежної змінної . Умова (5) називається початковою умовою або умовою Коші .

З геометричного погляду завдання Коші для диференціального рівняння (2) можна сформулювати так: з множини інтегральних кривих рівняння (2) виділити ту, яка проходить через задану точку
.

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Одним з найпростіших видів диференціальних рівнянь є диференціальне рівняння першого порядку, що не містить функції, що шукається:

. (6)

Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, отримаємо:
або

. (7)

Отже, (7) є загальним рішенням рівняння (6).

Приклад 1 . Знайти загальне рішення диференціального рівняння
.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини отриманого рівняння:
,
. Остаточно запишемо
.

Приклад 2 . Знайти рішення рівняння
за умови
.

Рішення . Знайдемо загальне рішення рівняння:
,
,
,
. За умовою
,
. Підставимо у загальне рішення:
або
. Знайдене значення довільної постійної підставимо у формулу загального рішення:
. Це і є приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє задану умову.

Рівняння

(8)

Називається диференціальним рівнянням першого порядку, що не містить незалежної змінної . Запишемо його у вигляді
або
. Проінтегруємо обидві частини останнього рівняння:
або
- загальне рішення рівняння (8).

Приклад . Знайти загальне рішення рівняння
.

Рішення . Запишемо це рівняння у вигляді:
або
. Тоді
,
,
,
. Таким чином,
- Загальне рішення даного рівняння.

Рівняння виду

(9)

інтегрується за допомогою поділу змінних. Для цього рівняння запишемо у вигляді
, а потім за допомогою операцій множення та поділу наводимо його до такої форми, щоб в одну частину входила лише функція від хта диференціал dx, а в другу частину – функція від ута диференціал dy. Для цього обидві частини рівняння потрібно помножити на dxта розділити на
. В результаті отримаємо рівняння

, (10)

в якому змінні хі урозділені. Проінтегруємо обидві частини рівняння (10):
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом рівняння (9).

Приклад 3 . Проінтегрувати рівняння
.

Рішення . Перетворимо рівняння та розділимо змінні:
,
. Проінтегруємо:
,
або – загальний інтеграл цього рівняння.
.

Нехай рівняння задано як

Таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку з змінними, що розділяються. у симетричній формі.

Для поділу змінних потрібно обидві частини рівняння поділити на
:

. (12)

Отримане рівняння називається диференціальним рівнянням із розділеними змінними . Проінтегруємо рівняння (12):

.(13)

Співвідношення (13) є загальним інтегралом диференціального рівняння (11).

Приклад 4 . Проінтегрувати диференціальне рівняння.

Рішення . Запишемо рівняння у вигляді

і розділимо обидві його частини на
,
. Отримане рівняння:
є рівнянням із розділеними змінними. Проінтегруємо його:

,
,

,
. Остання рівність є загальним інтегралом даного диференціального рівняння.

Приклад 5 . Знайти окреме рішення диференціального рівняння
, що задовольняє умові
.

Рішення . Враховуючи що
, запишемо рівняння у вигляді
або
. Розділимо змінні:
. Проінтегруємо це рівняння:
,
,
. Отримане співвідношення є загальним інтегралом цього рівняння. За умовою
. Підставимо в загальний інтеграл і знайдемо З:
,З=1. Тоді вираз
є окремим рішенням даного диференціального рівняння, записаним як приватного інтеграла.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння

(14)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку . Невідома функція
і її похідна входять до цього рівняння лінійно, а функції
і
безперервні.

Якщо
, то рівняння

(15)

називається лінійним однорідним . Якщо
, то рівняння (14) називається лінійним неоднорідним .

Для знаходження рішення рівняння (14) зазвичай використовують метод підстановки (Бернуллі) , Суть якого в наступному.

Рішення рівняння (14) шукатимемо у вигляді добутку двох функцій

, (16)

де
і
- Деякі безперервні функції. Підставимо
та похідну
рівняння (14):

Функцію vбудемо підбирати таким чином, щоб виконувалася умова
. Тоді
. Отже, знаходження рішення рівняння (14) потрібно розв'язати систему диференціальних рівнянь

Перше рівняння системи є однорідним лінійним рівнянням і вирішити його можна методом поділу змінних:
,
,
,
,
. Як функція
можна взяти одне з окремих рішень однорідного рівняння, тобто. при З=1:
. Підставимо у друге рівняння системи:
або
. Тоді
. Таким чином, загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку має вигляд
.

Приклад 6 . Розв'язати рівняння
.

Рішення . Рішення рівняння шукатимемо у вигляді
. Тоді
. Підставимо в рівняння:

або
. Функцію vвиберемо таким чином, щоб виконувалася рівність
. Тоді
. Розв'яжемо перше з цих рівнянь методом поділу змінних:
,
,
,
,. Функцію vпідставимо на друге рівняння:
,
,
,
. Загальним рішенням цього рівняння є
.

Запитання для самоконтролю знань

Що називається диференціальним рівнянням?

Що називається порядком диференціального рівняння?

Яке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку?

Як записується диференціальне рівняння першого порядку у диференціальній формі?

Що називається розв'язком диференціального рівняння?

Що називається інтегральною кривою?

Що називається загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку?

Що називається приватним розв'язком диференціального рівняння?

Як формулюється завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку?

Якою є геометрична інтерпретація задачі Коші?

Як записується диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, в симетричній формі?

Яке рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку?

Яким методом можна вирішити лінійне диференціальне рівняння першого ладу і в чому сутність цього методу?

Завдання для самостійної роботи

Розв'язати диференціальні рівняння з змінними, що розділяються:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Розв'язати лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Або вже вирішені щодо похідної, або їх можна вирішити щодо похідної .

Загальне вирішення диференціальних рівнянь типу на інтервалі X, Який заданий, можна знайти, взявши інтеграл обох частин цієї рівності.

Отримаємо .

Якщо подивитися на властивості невизначеного інтеграла, то знайдемо загальне рішення:

y = F(x) + C,

де F(x)- одна з первісних функцій f(x)на проміжку X, а З- Довільна постійна.

Зверніть увагу, що у більшості завдань інтервал Xне вказують. Це означає, що рішення слід шукати для всіх x, при яких і потрібна функція y, і вихідне рівняння мають сенс.

Якщо потрібно обчислити приватне рішення диференціального рівняння, яке задовольняє початкову умову y(x 0) = y 0, то після обчислення загального інтеграла y = F(x) + Cще необхідно визначити значення постійної C = C0, використовуючи початкову умову. Тобто, константу C = C0визначають із рівняння F(x 0) + C = y 0, та шукане приватне рішення диференціального рівняння набуде вигляду:

y = F(x) + C0.

Розглянемо приклад:

Знайдемо загальне рішення диференціального рівняння, перевіримо правильність результату. Знайдемо приватне рішення цього рівняння, яке б задовольняло початковій умові .

Рішення:

Після того, як ми проінтегрували задане диференціальне рівняння, отримуємо:

.

Візьмемо цей інтеграл методом інтегрування частинами:

В.о., є загальним розв'язком диференціального рівняння.

Щоб переконатись у правильності результату, зробимо перевірку. Для цього підставляємо рішення, яке ми знайшли у задане рівняння:

.

Тобто, при вихідне рівняння перетворюється на тотожність:

тому загальне рішення диференціального рівняння визначили правильно.

Рішення, яке ми знайшли, є спільним рішенням диференціального рівняння для кожного дійсного значення аргументу x.

Залишилося обчислити приватне рішення ОДУ, яке б задовольняло початковій умові . Іншими словами, необхідно обчислити значення константи З, при якому буде вірна рівність:

.

.

Тоді, підставляючи З = 2у загальне рішення ОДУ, отримуємо приватне рішення диференціального рівняння, яке задовольняє первинну умову:

.

Звичайне диференціальне рівняння можна вирішити щодо похідної, розділивши 2 частини рівності на f(x). Це перетворення буде рівнозначним, якщо f(x)не перетворюється на нуль ні при яких xз інтервалу інтегрування диференціального рівняння X.

Імовірні ситуації, коли за певних значень аргументу x ∈ Xфункції f(x)і g(x)одночасно перетворюються на нуль. Для таких значень xзагальним рішенням диференціального рівняння буде будь-яка функція y, яка у них, т.к. .

Якщо для деяких значень аргументу x ∈ Xвиконується умова , отже, у разі у ОДУ рішень немає.

Для всіх інших xз інтервалу Xзагальне рішення диференціального рівняння визначається з перетвореного рівняння.

Розберемо на прикладах:

приклад 1.

Знайдемо загальне рішення ОДУ: .

Рішення.

З властивостей основних елементарних функцій ясно, що функція натурального логарифму визначена для невід'ємних значень аргументу, тому областю визначення виразу ln(x+3)є інтервал x > -3 . Значить, задане диференціальне рівняння має сенс для x > -3 . При цих значеннях аргументу вираз x + 3не звертається в нуль, тому можна вирішити ОДУ щодо похідної, розділивши 2 частини на х + 3.

Отримуємо .

Далі проінтегруємо отримане диференціальне рівняння, вирішене щодо похідної: . Для взяття цього інтеграла користуємося шляхом підведення під знак диференціала.

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує незалежну змінну, невідому функцію цієї змінної та її похідні (або диференціали) різних порядків.

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що міститься у ньому.

Крім звичайних вивчаються також диференціальні рівняння з приватними похідними. Це рівняння, що пов'язують незалежні змінні , невідому функцію цих змінних та її приватні похідні за тими самими змінними. Але ми розглядатимемо тільки прості диференціальні рівняння і тому будемо для стислості опускати слово "звичайні".

Приклади диференціальних рівнянь:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Рівняння (1) – четвертого порядку, рівняння (2) – третього порядку, рівняння (3) та (4) – другого порядку, рівняння (5) – першого порядку.

Диференційне рівняння n-го порядку не обов'язково має містити явно функцію, всі її похідні від першого до n-го порядку та незалежну змінну. У ньому можуть бути явно похідні деяких порядків, функція, незалежна змінна.

Наприклад, у рівнянні (1) явно немає похідних третього та другого порядків, а також функції; у рівнянні (2) - похідної другого порядку та функції; у рівнянні (4) – незалежної змінної; у рівнянні (5) – функції. Тільки у рівнянні (3) містяться явно всі похідні, функція та незалежна змінна.

Розв'язанням диференціального рівняння називається будь-яка функція y = f(x), при підстановці якої рівняння воно перетворюється на тотожність.

Процес знаходження рішення диференціального рівняння називається його інтегруванням.

приклад 1.Знайти рішення диференціального рівняння.

Рішення. Запишемо це рівняння у вигляді . Рішення полягає у знаходженні функції щодо її похідної. Початкова функція, як відомо з інтегрального обчислення, є первісна для, тобто.

Це і є розв'язання даного диференціального рівняння . Змінюючи в ньому C, отримуватимемо різні рішення. Ми з'ясували, що існує безліч рішень диференціального рівняння першого порядку.

Загальним рішенням диференціального рівняння n-го порядку називається його рішення, виражене явно щодо невідомої функції та містить nнезалежних довільних постійних, тобто.

Рішення диференціального рівняння на прикладі 1 є загальним.

Приватним розв'язком диференціального рівняння називається таке його рішення, в якому довільним постійним надаються конкретні числові значення.

приклад 2.Знайти загальне рішення диференціального рівняння та приватне рішення при .

Рішення. Проінтегруємо обидві частини рівняння таку кількість разів, якій дорівнює порядок диференціального рівняння.

,

.

В результаті ми отримали спільне рішення.

даного диференціального рівняння третього порядку.

Тепер знайдемо приватне рішення за вказаних умов. Для цього підставимо замість довільних коефіцієнтів їх значення та отримаємо

.

Якщо крім диференціального рівняння задано початкову умову у вигляді, то таке завдання називається завданням Коші . У загальне рішення рівняння підставляють значення та знаходять значення довільної постійної Cа потім приватне рішення рівняння при знайденому значенні C. Це і є вирішення завдання Коші.

Приклад 3.Розв'язати задачу Коші для диференціального рівняння з прикладу 1 за умови.

Рішення. Підставимо у загальне рішення значення з початкової умови y = 3, x= 1. Отримуємо

Записуємо розв'язання задачі Коші для даного диференціального рівняння першого порядку:

При вирішенні диференціальних рівнянь, навіть найпростіших, потрібні хороші навички інтегрування та взяття похідних, у тому числі складних функцій. Це видно з наступного прикладу.

Приклад 4.Знайти загальне рішення диференціального рівняння.

Рішення. Рівняння записано у такій формі, що можна одразу ж інтегрувати обидві його частини.

.

Застосовуємо метод інтегрування заміною змінною (підстановкою). Нехай тоді.

Потрібно взяти dxі тепер - увага - робимо це за правилами диференціювання складної функції, оскільки xі є складна функція ("яблуко" - вилучення квадратного кореня або, що те саме - зведення в ступінь "одна друга", а "фарш" - вираз під коренем):

Знаходимо інтеграл:

Повертаючись до змінної x, отримуємо:

.

Це загальне рішення даного диференціального рівняння першого ступеня.

Не тільки навички з попередніх розділів вищої математики будуть потрібні у вирішенні диференціальних рівнянь, а й навички з елементарної, тобто шкільної математики. Як уже говорилося, у диференціальному рівнянні будь-якого порядку може і не бути незалежною змінною, тобто змінною x. Допоможуть вирішити цю проблему не забуті (втім, у кого як) зі шкільної лави знання про пропорцію. Такий такий приклад.

Зміст статті

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ.Багато фізичні закони, яким підпорядковуються ті чи інші явища, записуються як математичного рівняння, що виражає певну залежність між якимись величинами. Часто йдеться про співвідношення між величинами, що змінюються з часом, наприклад економічність двигуна, що вимірюється відстанню, яку машина може проїхати на одному літрі пального, залежить від швидкості руху автомашини. Відповідне рівняння містить одну або кілька функцій та їх похідних та називається диференціальним рівнянням. (Темп зміни відстані з часом визначається швидкістю; отже, швидкість – похідна від відстані; аналогічно, прискорення – похідна від швидкості, тому що прискорення задає темп зміни швидкості з часом.) Велике значення, яке мають диференціальні рівняння для математики та особливо для її додатків , пояснюються тим, що до розв'язання таких рівнянь зводиться дослідження багатьох фізичних та технічних завдань. Диференціальні рівняння відіграють істотну роль і в інших науках, таких як біологія, економіка та електротехніка; насправді вони виникають скрізь, де є необхідність кількісного (числового) опису явищ (якщо навколишній світ змінюється в часі, а умови змінюються від одного місця до іншого).

приклади.

Наступні приклади дозволяють краще зрозуміти, як різні завдання формулюються мовою диференціальних рівнянь.

1) Закон розпаду деяких радіоактивних речовин у тому, що швидкість розпаду пропорційна готівковій кількості цієї речовини. Якщо x– кількість речовини у певний момент часу t, то цей закон можна записати так:

де dx/dt- Швидкість розпаду, а k- деяка позитивна постійна, що характеризує цю речовину. (Знак «мінус» у правій частині вказує на те, що xзменшується з часом; знак «плюс», який мається на увазі завжди, коли знак явно не вказаний, означав би, що xзростає з часом.)

2) Ємність спочатку містить 10 кг солі, розчиненої 100 м 3 води. Якщо чиста вода вливається в ємність зі швидкістю 1 м 3 за хвилину і рівномірно перемішується з розчином, а розчин, що утворився, випливає з ємності з такою ж швидкістю, то скільки солі опиниться в ємності в будь-який наступний момент часу? Якщо x– кількість солі (в кг) у ємності на момент часу t, то будь-якої миті часу tв 1 м 3 розчину в ємності міститься x/100 кг солі; тому кількість солі зменшується зі швидкістю x/100 кг/хв, або

3) Нехай на тіло маси m, підвішене до кінця пружини, діє сила, що повертає, пропорційна величині розтягування пружини. Нехай x- Величина відхилення тіла від положення рівноваги. Тоді за другим законом Ньютона, який стверджує, що прискорення (друга похідна від xза часом, що позначається d 2 x/dt 2) пропорційно силі:

Права частина стоїть зі знаком мінус тому, що сила, що повертає, зменшує розтяг пружини.

4) Закон охолодження тіл стверджує, що кількість тепла в тілі зменшується пропорційно різниці температур тіла та навколишнього середовища. Якщо чашка кави, розігрітої до температури 90 ° С знаходиться в приміщенні, температура в якому дорівнює 20 ° С, то

де T- Температура кави в момент часу t.

5) Міністр закордонних справ держави Блефуску стверджує, що прийнята Ліліпутією програма озброєнь змушує його країну збільшити військові витрати на скільки це можливо. З аналогічними заявами виступає і міністр закордонних справ Ліліпутії. Ситуацію, що виникає в результаті (у найпростішій інтерпретації), можна точно описати двома диференціальними рівняннями. Нехай xі y- Витрати на озброєння Ліліпутії та Блефуску. Припускаючи, що Ліліпутія збільшує витрати на озброєння зі швидкістю, пропорційної швидкості збільшення витрат на озброєння Блефуску, і навпаки, отримуємо:

де члени - axі - byописують військові витрати кожної з країн, kі l- Позитивні постійні. (Це завдання вперше таким чином сформулював у 1939 р. Л. Річардсон.)

Коли завдання записана мовою диференціальних рівнянь, слід спробувати їх вирішити, тобто. визначити величини, швидкості зміни яких входять до рівнянь. Іноді рішення перебувають у вигляді явних формул, але найчастіше їх вдається уявити лише у наближеному вигляді або отримати про них якісну інформацію. Часто важко встановити, чи існує рішення взагалі, не кажучи вже про те, щоб знайти його. Важливий розділ теорії диференціальних рівнянь становлять звані «теореми існування», у яких доводиться наявність рішення в тієї чи іншої типу диференціальних рівнянь.

Початкове математичне формулювання фізичного завдання зазвичай містить спрощувальні припущення; Критерієм їх розумності може бути ступінь узгодженості математичного рішення з наявними спостереженнями.

Розв'язання диференціальних рівнянь.

Диференційного рівняння, наприклад dy/dx = x/y, задовольняє не число, а функція, в даному конкретному випадку така, що її графік у будь-якій точці, наприклад, у точці з координатами (2,3), має дотичну з кутовим коефіцієнтом, рівним відношенню координат (у нашому прикладі 2/3). У цьому неважко переконатися, якщо побудувати велику кількість точок та від кожної відкласти короткий відрізок із відповідним нахилом. Рішенням буде функція, графік якої стосується кожної своєї точки відповідного відрізка. Якщо точок та відрізків досить багато, то ми можемо приблизно намітити хід кривих-рішень (три такі криві показані на рис. 1). Існує рівно одна крива-рішення, що проходить через кожну точку з y№ 0. Кожне окреме рішення називається приватним розв'язком диференціального рівняння; якщо вдається визначити формулу, що містить всі приватні рішення (за винятком, можливо, кількох особливих), то кажуть, що отримано загальне рішення. Приватне рішення є однією функцією, тоді як загальне – ціле їхнє сімейство. Вирішити диференціальне рівняння – це означає або його приватне, або загальне рішення. У наведеному нами прикладі загальне рішення має вигляд y 2 – x 2 = c, де c- Будь-яке число; приватне рішення, що проходить через точку (1,1), має вигляд y = xі виходить за c= 0; приватне рішення, що проходить через точку (2,1), має вигляд y 2 – x 2 = 3. Умова, яка вимагає, щоб крива-рішення проходила, наприклад, через точку (2,1), називається початковою умовою (оскільки задає початкову точку на кривій-рішенні).

Можна показати, що у прикладі (1) загальне рішення має вигляд x = ce –kt, де c- постійна, яку можна визначити, наприклад, вказавши кількість речовини при t= 0. Рівняння з прикладу (2) – окремий випадок рівняння з прикладу (1), відповідний k= 1/100. Початкова умова x= 10 при t= 0 дає приватне рішення x = 10e –t/100. Рівняння прикладу (4) має загальне рішення T = 70 + ce –ktта приватне рішення 70 + 130 – kt; щоб визначити значення k, потрібні додаткові дані.

Диференційне рівняння dy/dx = x/yназивається рівнянням першого порядку, оскільки містить першу похідну (порядком диференціального рівняння прийнято вважати порядок входить до нього найстаршої похідної). У більшості (хоча і не у всіх) диференціальних рівнянь, що виникають на практиці, першого роду через кожну точку проходить тільки одна крива-рішення.

Існує кілька важливих типів диференціальних рівнянь першого порядку, що допускають рішення у вигляді формул, що містять лише елементарні функції – ступеня, експоненти, логарифми, синуси та косинуси тощо. До таких рівнянь належать такі.

Рівняння з змінними, що розділяються.

Рівняння виду dy/dx = f(x)/g(y) можна вирішити, записавши його у диференціалах g(y)dy = f(x)dxта проінтегрувавши обидві частини. У гіршому випадку рішення представне у вигляді інтегралів від відомих функцій. Наприклад, у разі рівняння dy/dx = x/yмаємо f(x) = x, g(y) = y. Записавши його у вигляді ydy = xdxі проінтегрувавши, отримаємо y 2 = x 2 + c. До рівнянь з змінними, що розділяються, відносяться рівняння з прикладів (1), (2), (4) (їх можна вирішити описаним вище способом).

Рівняння у повних диференціалах.

Якщо диференціальне рівняння має вигляд dy/dx = M(x,y)/N(x,y), де Mі N– дві задані функції, його можна як M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Якщо ліва частина є диференціалом певної функції F(x,y), то диференціальне рівняння можна записати у вигляді dF(x,y) = 0, що еквівалентно рівнянню F(x,y) = const. Таким чином, криві-рішення рівняння – це «лінії постійних рівнів» функції, або геометричні місця точок, що задовольняють рівнянням F(x,y) = c. Рівняння ydy = xdx(рис. 1) – з змінними, що розділяються, і воно ж – у повних диференціалах: щоб переконатися в останньому, запишемо його у вигляді ydy – xdx= 0, тобто. d(y 2 – x 2) = 0. Функція F(x,y) у цьому випадку дорівнює (1/2)( y 2 – x 2); деякі її ліній постійного рівня представлені на рис. 1.

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – це рівняння «першого ступеня» – невідома функція та її похідні входять у такі рівняння лише у першому ступені. Таким чином, лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд dy/dx + p(x) = q(x), де p(x) та q(x) - функції, що залежать тільки від x. Його рішення можна записати за допомогою інтегралів від відомих функцій. Багато інших типів диференціальних рівнянь першого порядку вирішуються з допомогою спеціальних прийомів.

Рівняння старших порядків.

Багато диференціальних рівнянь, з якими стикаються фізики, це рівняння другого порядку (тобто рівняння, що містять другі похідні) Таке, наприклад, рівняння простого гармонійного руху прикладу (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Власне кажучи, очікується, що рівняння другого порядку має приватні рішення, які задовольняють двом умовам; наприклад, можна вимагати, щоб крива-рішення проходила через дану точку в даному напрямку. У випадках, коли диференціальне рівняння містить певний параметр (число, величина якого залежить від обставин), рішення необхідного типу існують лише за певних значень цього параметра. Наприклад, розглянемо рівняння md 2 x/dt 2 = –kxі вимагатимемо, щоб y(0) = y(1) = 0. Функція yє 0 наперед є рішенням, але якщо – ціле кратне числа p, тобто. k = m 2 n 2 p 2, де n- ціле число, а насправді лише в цьому випадку, існують інші рішення, а саме: y= sin npx. Значення параметра, у яких рівняння має спеціальні рішення, називаються характеристичними чи власними значеннями; вони відіграють важливу роль у багатьох завданнях.

Рівняння простого гармонійного руху є прикладом важливого класу рівнянь, а саме: лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Більш загальний приклад (також другого порядку) – рівняння

де aі b- Задані постійні, f(x) – задана функція. Такі рівняння можна вирішувати у різний спосіб, наприклад, за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Те саме можна сказати і про лінійні рівняння вищих порядків із постійними коефіцієнтами. Чималу роль грають також і лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.

Нелінійні диференціальні рівняння.

Рівняння, що містять невідомі функції та їх похідні ступеня вище першої або якимось складнішим чином, називаються нелінійними. Останніми роками вони привертають дедалі більшу увагу. Річ у тім, що фізичні рівняння зазвичай лінійні лише першому наближенні; подальше і точніше дослідження, зазвичай, вимагає використання нелінійних рівнянь. Крім того, багато завдань нелінійні за своєю суттю. Оскільки рішення нелінійних рівнянь часто дуже складні та його важко уявити простими формулами, значна частина сучасної теорії присвячена якісному аналізу їхньої поведінки, тобто. розробці методів, що дозволяють, не вирішуючи рівняння, сказати щось суттєве про характер рішень загалом: наприклад, що вони обмежені, чи мають періодичний характер, чи певним чином залежить від коефіцієнтів.

Наближені рішення диференціальних рівнянь можна знайти у чисельному вигляді, але цього потрібно багато часу. З появою швидкодіючих комп'ютерів цей час сильно скоротилося, що відкрило нові можливості чисельного вирішення багатьох завдань, які раніше не піддавалися такому рішенню.

Теореми існування.

Теорема існування називається теорема, яка стверджує, що за певних умов дане диференціальне рівняння має розв'язок. Зустрічаються диференціальні рівняння, які мають рішень чи мають їх більше, ніж очікується. Призначення теореми існування – переконати нас у цьому, що з цього рівняння справді є рішення, а найчастіше запевнити, що має рівно одне рішення необхідного типу. Наприклад, рівняння, що вже зустрічалося нам dy/dx = –2yмає рівно одне рішення, що проходить через кожну точку площини ( x,y), а оскільки одне таке рішення ми вже знайшли, то цим повністю вирішили це рівняння. З іншого боку, рівняння ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 має багато рішень. Серед них прямі y = 1, y= –1 та криві y= sin( x + c). Рішення може складатися з кількох відрізків цих прямих і кривих, що переходять один одного в точках торкання (рис. 2).

Диференціальні рівняння у приватних похідних.

Звичайне диференціальне рівняння – це певне твердження про похідну невідому функцію однієї змінної. Диференціальне рівняння у приватних похідних містить функцію двох або більше змінних та похідні від цієї функції принаймні за двома різними змінними.

У фізиці прикладами таких рівнянь є рівняння Лапласа

X , y) всередині кола, якщо значення uзадані в кожній точці кола, що обмежує. Оскільки проблеми з більш ніж однією змінною у фізиці є скоріше правилом, ніж винятком, легко уявити, наскільки великий предмет теорії диференціальних рівнянь у приватних похідних.

У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але є можливість отримати рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференціальні рівняння та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіткнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є функцією однієї змінної. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод розв'язання з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти такий розібраний приклад та провести аналогічні дії.

Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних (невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можуть бути дозволені щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, слідом зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.

Запишемо кілька прикладів таких ДК .

Диференційне рівняння можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння , яке буде еквівалентно вихідному за f(x) ≠ 0 . Прикладами таких ОДУ є.

Якщо існують значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннями рівняння за даних x є будь-які функції, визначені для цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої ​​складності. Спочатку відшукуються корені характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і такими, що розрізняються , дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як , або , або відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд


Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку із постійними коефіцієнтами y шукається у вигляді суми загального рішення відповідного ЛОДУ і окремого рішення вихідного неоднорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А приватне рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x), що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо


Розібратися в теорії та ознайомитись із докладними рішеннями прикладів ми Вам пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОДУ на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:


Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , Що не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижений до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.