Повторні незалежні випробуванняназиваються випробуваннями Бернуллі, якщо кожне випробування має лише два можливі результати та ймовірності результатів залишаються незмінними для всіх випробувань.

Позначимо ці ймовірності як pі q. Вихід із ймовірністю pбудемо називати “успіхом”, а результат із ймовірністю q- "невдачею".

Очевидно, що

Простір елементарних подій кожного випробування складається з двох точок. Простір елементарних подій для nвипробувань Бернуллі містить точок, кожна з яких є одним можливим результатом складового досвіду. Оскільки випробування незалежні, то ймовірність послідовності подій дорівнює добутку ймовірностей відповідних результатів. Наприклад, ймовірність послідовності подій

(У, У, Н, У, Н, Н, Н)

дорівнює твору

Приклади тестів Бернуллі.

1. Послідовні кидання "правильної" монети. В цьому випадку p = q = 1/2 .

При киданні несиметричної монети відповідні ймовірності змінять значення.

2. Кожен результат досвіду можна як Aабо .

3. Якщо існує кілька можливих наслідків, то з них можна виділити групу наслідків, які розглядаються як “успіх”, називаючи всі інші наслідки “невдачею”.

Наприклад, при послідовних киданнях гральної кістки під "успіхом" можна розуміти випадання 5, а під "невдачею" - випадання будь-якого іншого числа очок. В цьому випадку p = 1/6, q = 5/6.

Якщо ж під "успіхом" розуміти випадання парного, а під "невдачею" - непарного числа очок, то p = q = 1/2 .

4. Повторні випадкові вилучення кулі з урни, що містить при кожному випробуванні a білих та bчорні кулі. Якщо під успіхом розуміти витяг білої кулі, то , .

Феллер наводить такий приклад практичного застосуваннясхеми випробувань Бернуллі Шайби, що виготовляються при масовому виробництві, можуть відрізнятися за товщиною, але під час перевірки вони класифікуються на придатні та дефектні – залежно від того, чи знаходиться товщина у визначених межах. І хоча продукція з багатьох причин не може цілком відповідати схемі Бернуллі, ця схема задає ідеальний стандарт для промислового контролю якості продукції, незважаючи навіть на те, що цей стандарт ніколи не досягається достеменно. Машини схильні до змін, і тому ймовірності не залишаються одними й тими самими; в режимі роботи машин є деяка сталість, внаслідок чого довгі серії однакових відхилень виявляються більш ймовірними, ніж це було б за дійсної незалежності випробувань. Однак з точки зору контролю якості продукції бажано, щоб процес відповідав схемі Бернуллі, і важливо те, що в деяких межах цього можна досягти. Метою поточного контролю є виявлення вже на ранній стадіїсуттєвих відступів від ідеальної схеми та використання їх як вказівок на загрозливе порушення правильності роботи машини.

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державний освітній заклад

вищої професійної освіти

«МАТИ» - РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. К.Е. ЦІОЛКОВСЬКОГО

Кафедра «Моделювання систем та інформаційні технології»

Повторення випробувань. Схема бернуллі

Методичні вказівки до практичних занять

з дисципліни «Вища математика»

Упорядники: Єгорова Ю.Б.

Мамонов І.М.

Москва 2006 введення

Методичні вказівки призначені для студентів денного та вечірнього відділенняфакультету №14 спеціальностей 150601, 160301, 230102. Вказівки виділяють основні поняття теми, визначають послідовність вивчення матеріалу. Велика кількість розглянутих прикладів допомагає у практичному освоєнні теми. Методичні вказівки є методичною основою для практичних занятьта виконання індивідуальних завдань.

СХЕМА БЕРНУЛЛІ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛІ

Схема Бернуллі- схема повторних незалежних випробувань, за якої якась подія Аможе багаторазово повторюватися з постійною ймовірністю Р (А)= р .

Приклади випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі: багаторазове підкидання монети або гральної кістки, виготовлення партії деталей, стрілянина по мішені тощо.

Теорема.Якщо ймовірність настання події Ау кожному випробуванні постійна і рівна р, то ймовірність того, що подія Анастане mраз на nвипробуваннях (байдуже в якій послідовності), можна визначити за формулою Бернуллі:

де q = 1 – p.

ПРИКЛАД 1.Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановленої норми, дорівнює р= 0,75. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.

РІШЕННЯ. Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожної з 6 діб постійна і дорівнює р= 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії щодня також постійна і дорівнює q = 1р = 1  0,75 = 0,25.

Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює:

ПРИКЛАД 2.Стрілець робить по мішені три постріли. Імовірність попадання в ціль при кожному пострілі дорівнює р= 0,3. Визначити можливість, що вражена: а) одна мета; б) усі три мішені; в) жодної мішені; г) хоча одна мета; д) менше двох мішеней.

РІШЕННЯ. Імовірність попадання в ціль при кожному пострілі постійна і рівна р=0,75. Отже, ймовірність промаху дорівнює q = 1 р = 1  0,3= 0,7. Загальне числопроведених дослідів n=3.

а) Імовірність ураження однієї мішені при трьох пострілах дорівнює:

б) Імовірність ураження всіх трьох мішеней при трьох пострілах дорівнює:

в) Імовірність трьох промахів при трьох пострілах дорівнює:

г) Імовірність поразки хоча б однієї мішені при трьох пострілах дорівнює:

д) Імовірність ураження менше двох мішеней, тобто або однієї мішені, або жодної:

1. Локальна та інтегральна теореми муавра-лапласу

Якщо зроблено велику кількість випробувань, то обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі стає технічно складним, оскільки формула потребує дій над великими числами. Тому існують простіші наближені формули для обчислення ймовірностей при великих n. Ці формули називаються асимптотичними та визначаються теоремою Пуассона, локальною та інтегральною теоремою Лапласа.

Локальна теорема Муавра Лапласа. А Астанеться mраз на n n (n →∞ ), приблизно дорівнює:

де функція
а аргумент

Чим більше n, тим точніше обчисленняймовірностей. Тому теорему Муавра-Лапласа доцільно застосовувати при npq  20.

f ( x ) складено спеціальні таблиці (див. додаток 1). При використанні таблиці необхідно мати на увазі властивості функції f(x) :

Функція f(x)є парною f(  x) = f(x) .

При х ∞ функція f(x) 0. Практично можна вважати, що вже при х>4 функція f(x) ≈0.

ПРИКЛАД 3.Знайти ймовірність того, що подія Анастане 80 разів у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи події Ау кожному випробуванні дорівнює р= 0,2.

РІШЕННЯ. За умовою n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Отже:

За таблицею визначимо значення функції f (0)=0,3989.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.Якщо ймовірність настання події Ау кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія Астанеться від m 1 до m 2 раз на n випробуваннях при достатньо великому числі n (n →∞ ), приблизно дорівнює:

де
 інтеграл або функція Лапласа,

Для знаходження значень функції Ф( x ) складено спеціальні таблиці (наприклад, див. додаток 2). При використанні таблиці необхідно мати на увазі властивості функції Лапласа Ф(x) :

Функція Ф(x)є непарною Ф(  x)=  Ф(x) .

При х ∞ функція Ф(x) 0,5. Практично можна вважати, що вже при х>5 функція Ф(x) ≈0,5.

Ф (0)=0.

ПРИКЛАД 4.Імовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 деталей виявиться неперевіреним від 70 до 100 деталей.

РІШЕННЯ. За умовою n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0,8. Отже:

За таблицею, у якій наведено значення функції Лапласа, визначаємо:

Ф(x 1 ) = Ф(  1,25 )=  Ф( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = Ф( 2,5 )= 0,4938.

Раніше у п. 1.4 введено поняття залежних і не залежних подій. З поняттям незалежних подійпов'язане та має широке застосування поняття незалежних дослідів чи випробувань.

Досліди α 1 , α 2 , … , α n називаються незалежними, якщо будь-яка комбінація їх результатів є сукупністю незалежних подій.Інакше, якщо в завданні проводиться ряд випробувань, що багаторазово повторюються α 1 , α 2 , …, α n при незмінному комплексі умов та в кожному випробуванні деякі події Аможе наступити з деякою ймовірністю p = p(А) що не залежить від інших випробувань, і не наступити з ймовірністю p(Ā ), то вказані випробування називаються незалежними. Ця схема незалежних випробувань зветься схеми Бернуллі.

Схему названо на честь Якоба Бернуллі – родоначальника родини видатних швейцарських вчених. (Якоб Би., Йоган Б., Микола Б., Данило Б. та ін). Якоб Бернуллі довів так звану теорему Бернуллі – важливий окремий випадокзакону великих чисел(Див. п. 3.11). Зазначена теорема відноситься до послідовності незалежних випробувань, що розглядається тут.

Прикладами незалежних випробувань є: а) багаторазове ( nраз) підкидання монети; б) вилучення ( nраз) однакових на дотик куль з урни з їх подальшим поверненням; в) будь-яка сукупність незалежних випробувань (дослідів), у кожному з яких ймовірність успішних результатів однакова, наприклад, серія пострілів по мішені, вибір nдеталей з їхньої сукупності, вивчення nаналізів гірської породипевної якості і т.д.

У схемі Бернуллі настання події Аз ймовірністю p = p(А) умовно називається успіхом, яке ненаступ ( протилежна подія Ā ) - Невдачею. Імовірність невдачі у кожному досвіді такого типу дорівнює q = 1 – p.

На практиці зазвичай виникають завдання зі складними подіями, в яких nдослідів, що становлять схему Бернуллі, в mдослідах ( m < n) подія Анастає (тобто завершується успіхом), а ( n – m) Дослідах ця подія не настає (завершується невдачею). Нехай P n ( k) - позначає ймовірність того, що при виробництві nдосвідів успіх настає в kдослідах (успіх реалізується kразів). Ставиться таке завдання: нехай уnвипробуваннях, відповідних схемі Бернуллі,kвипробування завершилися успіхом. Потрібно знайти ймовірністьP n(k) (читається: «Pзnвипробуваньkуспішних»). Ця можливість розраховується за формулою Бернуллі, якій відповідає однойменна теорема.

Теорема Бернуллі.Якщо ймовірність pнастання події Ау кожному з послідовності nвипробувань α 1 , α 2 , … , α nпостійна, то ймовірність того, що подія Анастане kраз і не настане n – kраз, обчислюється за формулою Бернуллі:

P n ( k) = Зnk p k q n-k , (2.1)

де q = 1- p.

Доведення. Справді, нехай події AІ та Ā į – поява та непоява відповідно до події Ав į -ом випробуванні α i ( i = 1, 2, … , n). Нехай також У k позначає подію, яка полягає в тому, що в n незалежних випробуваннях подія Аз'явилося kразів. При n= 3 і k= 2 подія У 2 виражається через елементарні події А į ( į = 1, 2, 3) за формулою:

У 2 = А 1 А 2 Ā 3 + А 1 Ā 2 А 3 + Ā 1 А 2 А 3 .

У загальному виглядіостання формула буде такою

тобто кожен член суми (2.2) відповідає появі події А kраз і ( n – k) разів неяв. Число всіх комбінацій (доданків) в (2.2) дорівнює числу способів вибору з nвипробувань k випробувань, у яких подія Асталося, тобто поєднань C n k. Імовірність кожної такої комбінації з теореми множення ймовірностей незалежних подій дорівнює p k × q n – k, так як p(А į) = p, p(Ā į) = q, i = 1,2,…,n. Але комбінації в (2.2) є несумісними подіями. Тому за теоремою складання ймовірностей отримаємо

Таким чином, має місце формула Бернуллі

Pn(k) = Cnkpkqn-k.

Що й потрібно було довести.

Зауваження 1.Сформульована вище теорема відноситься до випадку, коли в кожному випробуванні ймовірність появи події Апостійна. Тоді для розрахунку ймовірності P n ( k) справедлива формула Бернуллі (2.1). Якщо ж ймовірність настання події Ау випробуваннях α 1 , α 2 , … , α n різні, тобто. ймовірності становлять значення p 1 , p 2 , … , p n тоді замість (2.1) справедлива формула:

Примітка 6.Імовірність того, що в nДосліди, що проводяться за схемою Бернуллі, успіх настане від k 1 до k 2 разів обчислюється за формулою P n ( k)) для конкретних значень nі p. Оскільки аргумент kприймає лише цілі значення, графік представляється як точок на площині ( k, P n ( k)). Для наочності точки з'єднуються ламаною лінією, і такий графік називається полігоном розподілу(Рис.2.1). При p = 0,5, n= 6, як показано на малюнку 2.1, полігон симетричний щодо прямої x = np(якщо pблизько до 0,5, то полігон близький до симетричного). При малих pполігон істотно асиметричний, і найімовірнішими є частоти, близькі до нуля. На малюнку 2.2 зображено полігон розподілу для p= 0,2 при числі випробувань n = 6. За великих p, близьких до 1, найімовірніші максимальні значення. На рис. 2.3 показаний полігон розподілу, для p= 0,8 та n= 6.

Мал. 2.3.

Тому ваш найближчий час буде вкрай корисним. Крім того, я розповім, в чому помиляється переважна більшістьучасників лотерей та азартних ігор. …Ніє, віра чи слабка надія«зірвати куш» тут зовсім не до чого;-) Не встигнувши і оком моргнути, поринаємо в тему:

Що таке незалежні випробування ? Практично все зрозуміло вже із самої назви. Нехай провадиться кілька випробувань. Якщо ймовірність появи якоїсь події у кожному з них не залежитьвід результатів інших випробувань, то ... закінчуємо фразу хором =) Молодці. При цьому під словосполученням «незалежні випробування» часто мають на увазі повторнінезалежні випробування - коли вони здійснюються один за одним.

Найпростіші приклади:
- Монета підкидається 10 разів;
- Гральна кістка підкидається 20 разів.

Цілком зрозуміло, що можливість випадання орла чи решки у кожному випробуванні залежить від результатів інших кидків. Аналогічне твердження, звісно, ​​справедливе й у кубика.

А ось послідовне вилучення карт з колоди не є серією незалежних випробувань – як ви пам'ятаєте, це ланцюжок залежних подій. Однак якщо карту щоразу повертати назад, то ситуація стане «такою, якою треба».

Поспішаю порадувати – у нас в гостях черговий Термінатор, який абсолютно байдужий до своїх удач/невдач, і тому його стрілянина є зразком стабільності =):

Завдання 1

Стрілець робить 4 постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі постійна і рівна. Знайти ймовірність того, що:

а) стрілок потрапить лише один раз;
б) стрілок потрапить двічі.

Рішення: умова сформульована у загальному виглядіі можливість попадання в ціль при кожному пострілі вважається відомою. Вона дорівнює (якщо дуже тяжко, надайте параметру якесь конкретне значення, наприклад,) .

Якщо ми знаємо, то легко знайти ймовірність промаху в кожному пострілі:
тобто «ку» - це теж відома нам величина.

а) Розглянемо подію «Стрілок потрапить лише один раз»і позначимо його ймовірність через (Індекси розуміються як «одне потрапляння з чотирьох»). Ця подія полягає в 4 несумісних наслідках: стрілок потрапить у 1-й абоу 2-й абоу 3-й абоу 4-й спробі.

Знайти ймовірність того, що при кидку 10 монет орел випаде на 3 монетах.

Тут випробування не повторюються, а скоріше, проводяться одночасно, але, тим не менш, працює та сама формула: .

Рішення відрізнятиметься сенсом та деякими коментарями, зокрема:
способами можна вибрати 3 монети, на яких випаде орел.
- ймовірність випадання орла на кожній із 10 монет
і т.д.

Однак на практиці подібні завдання зустрічаються не так часто, і, мабуть, з цієї причини формула Бернуллі мало не стереотипно асоціюється лише з повторними випробуваннями. Хоча, як щойно було показано, повторюваність зовсім не є обов'язковою.

Наступне завдання для самостійного рішення:

Завдання 3

Гральна кісткакидають 6 разів. Знайти ймовірність того, що 5 очок:

а) не випадуть (випадуть 0 разів);
б) випадуть 2 рази;
в) випадуть 5 разів.

Результати заокруглити до 4 знаків після коми.

Коротке рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Очевидно, що в прикладах, що розглядаються, деякі події більш ймовірні, а деякі – менш ймовірні. Так, наприклад, при 6 кидках кубика навіть без будь-яких розрахунків інтуїтивно зрозуміло, що ймовірності подій пунктів «а» і «бе» значно більше ймовірності того, що «п'ятірка» випаде 5 разів. А тепер поставимо завдання знайти

НАЙВІРЯТНІШЕ число події у незалежних випробуваннях

Знову ж таки на рівні інтуїції в Задачі №3 можна дійти невтішного висновку у тому, що найімовірніша кількість появ «п'ятірки» дорівнює одиниці – адже всього граней шість, і за 6 кидках кубика кожна їх повинна випасти загалом по одному разу. Бажаючі можуть обчислити ймовірність і подивитися, чи буде вона більшою за «конкуруючі» значень і .

Сформулюємо строгий критерій: для відшукання найймовірнішого числа появ випадкової подіїу незалежних випробуваннях (З ймовірністю в кожному випробуванні)керуються наступною подвійною нерівністю:

, причому:

1) якщо значення - дробове, то існує єдине найімовірніше число;
зокрема, якщо - ціле, то воно і є найімовірніше число: ;

2) якщо ж – ціле, то є дванайімовірніших числа: і .

Найімовірніше число появ «п'ятірки» при 6 кидках кубика підпадає під окремий випадок першого пункту:

З метою закріплення матеріалу вирішимо пару завдань:

Завдання 4

Імовірність того, що при кидку м'яча баскетболіст потрапить до кошика, дорівнює 0,3. Знайти найбільш імовірне число попадань при 8 кидках і відповідну ймовірність.

А це вже якщо і не Термінатор, то як мінімум холоднокровний спортсмен =)

Рішення: для оцінки найімовірнішого числа влучень використовуємо подвійна нерівність . У даному випадку:

- Усього кидків;
- можливість попадання в кошик при кожному кидку;
- Можливість промаху при кожному кидку.

Таким чином, найімовірніша кількість потраплянь при 8 кидках знаходиться в таких межах:

Оскільки ліва межа – дробове число (Пункт №1), то існує єдине найбільш ймовірне значення, і, очевидно, що воно дорівнює .

Використовуючи формулу Бернуллі , обчислимо ймовірність того, що при 8 кидках буде рівно 2 влучення:

Відповідь: – найімовірніша кількість потраплянь при 8 кидках,
- Відповідна ймовірність.

Аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Завдання 5

Монета підкидається 9 разів. Знайти ймовірність найімовірнішого числа появ орла

Приблизний зразок рішення та відповідь наприкінці уроку.

Після захоплюючого відступу розглянемо ще кілька завдань, а потім я поділюся секретом правильної гри в азартні ігрита лотереї.

Завдання 6

Серед виробів, виготовлених на верстаті-автоматі, загалом буває 60% виробів першого сорту. Яка ймовірність того, що серед 6 удачу відібраних виробів буде:

а) від 2 до 4 виробів першого гатунку;
б) щонайменше 5 виробів першого сорту;
в) хоча б один виріб нижчого сорту.

Імовірність виробництва першосортного виробу залежить від якості інших вироблених виробів, тому йдеться про незалежні випробування. Намагайтеся не нехтувати аналізом умови, а то може статися – події залежніабо завдання взагалі про інше.

Рішення: ймовірність зашифрована під відсотки, які, нагадую, потрібно розділити на сто: – ймовірність того, що вибраний виріб буде 1-го ґатунку.
Тоді: - Імовірність того, що воно не буде першосортним.

а) Подія «Серед 6 навмання відібраних виробів буде від 2 до 4 виробів першого сорту»складається в трьох несумісних наслідках:

серед виробів буде 2 першосортних або 3 першосортних або 4 першосортних.

З наслідками зручніше обробитися окремо. Тричі використовуємо формулу Бернуллі :

- Імовірність того, що протягом дня безвідмовно працюватимуть, як мінімум, 5 комп'ютерів з шести.

Це значеннянас теж не влаштує, тому що воно менше необхідної надійності роботи обчислювального центру:

Таким чином, шести комп'ютерів теж мало. Додаємо ще один:

3) Нехай у обчислювальному центрі комп'ютерів. Тоді безвідмовно мають працювати 5, 6 чи 7 комп'ютерів. Використовуючи формулу Бернуллі та теорему складання ймовірностей несумісних подійЗнайдемо ймовірність того, що протягом дня безвідмовно працюватимуть, як мінімум, 5 комп'ютерів із семи.