Урне міститься чорних білих. Завдання про кулі

Завдання 174tv

а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 176tv

У урні міститься 6 чорних та 5 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 178tv

У урні міститься 4 чорних та 5 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 2 білі кулі;
б) менше, ніж 2 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 180tv

У урні міститься 6 чорних та 7 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 4 білі кулі;
б) менше, ніж 4 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 184tv

У урні міститься 8 чорних та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 186tv

У урні міститься 4 чорні та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 188tv

У урні міститься 5 чорних та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 4 білі кулі;
б) менше, ніж 4 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Робота №1

Випадкові події

6 варіант.

Завдання 1.1.Кидають три монети. Знайти ймовірність того, що лише на двох монетах з'явиться "герб".

Досліджувана подія А – лише на двох монетах із трьох буде герб. У монети дві сторони, отже, всього подій при киданні трьох монет буде 8. У трьох випадках тільки на двох монетах буде герб. Імовірність події А обчислимо за допомогою формули:

Р(А) = m/n = 3/8.

Відповідь: ймовірність 3/8.

Завдання 1.2.Слово ПОДІЯ складено з карток, на кожній з яких написана одна літера. Потім картки змішують та виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що літери виймаються як задане слово.

Випробування полягає у вийманні карток з літерами у випадковому порядку без повернення. Елементарною подією є послідовність букв. Подія А полягає в отриманні потрібного словаПОДІЯ . Елементарні події є перестановками з 7 букв, отже, за формулою маємо n=7!

Літери у слові ПОДІЯ не повторюються, тому не можливі перестановки, у яких слово змінюється. Їхнє число дорівнює 1.

Таким чином,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Відповідь:Р(А) = 1/5040.

Завдання 1.3.Як і попередньому завданні, знайти відповідну ймовірність випадку, коли заданим словом є слова АНТОНОВ ІЛЛЯ.

Це завдання вирішується аналогічно до попередньої.

n = 11!; M = 2! * 2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Відповідь:Р(А) = 1/9979200.

Завдання 1.4.У урні міститься 8 чорних та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:

а) 3 білих куль;

б) менше ніж 3 білих куль;

в) хоча б одна біла куля.

8 год. Випробуванням буде випадкове виймання 5 куль. Елементарними

6 б подіями є всілякі поєднання по 5 із 14 куль. Їхнє число дорівнює

а) А 1 – серед вийнятих куль 3 білих. Значить, серед вийнятих куль 3 білих та 2 чорних. Використовуючи правило множення, отримуємо

Р(А 1) = 560/2002 = 280/1001.

б) А 2 - серед вийнятих куль менше 3 білих. Ця подія складається з трьох несумісних подій:

В 1 - серед вийнятих куль тільки 2 білих і 3 чорних кулі,

У 2 - серед вийнятих куль лише одна біла і 4 чорні кулі

У 3 - серед вийнятих куль немає жодної білої, всі 5 куль чорні:

А 2 = В 1 В 2 В 3.

Оскільки події 1 , 2 і 3 несумісні, можна використовувати формулу:

Р(А 2) = Р(1) + Р(2) + Р(3);

Р(А2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в) - серед вийнятих куль немає жодного білого. В цьому випадку:

Р(А 3) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Відповідь:Р(А 1) = 280/1001, Р(А 2) = 483/1001, Р(А 3) = 973/1001.

Завдання 1.6.У першій урні 5 білих і 7 чорних куль, а в другій урні 6 білих та 4 чорних куль. З першої урни виймають випадковим чином 2 кулі, та якщо з другої - 2 кулі. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих куль:

а) усі кулі одного кольору;

б) лише три білі кулі;

в) хоча б одна біла куля.

1 урна 2 урна Кулі виймали з обох урн незалежно. Випробуваннями

5 б 6 б є вилучення двох куль з першої урни та двох куль

7 год 4 год з другої урни. Елементарними подіями будуть поєднання

По 2 або 2 з 12 або 10 куль відповідно.

2 2 а) А 1 - все вийняті кулі одного кольору, тобто. вони чи всі білі,

чи всі чорні.

Визначимо для кожної урни всілякі події:

У 1 - з першої урни вийнято 2 білі кулі;

У 2 - з першої урни вийнято 1 білу і 1 чорну кулю;

У 3 - з першої урни вийнято 2 чорні кулі;

З 1 - з другої урни вийнято 2 білі кулі;

З 2 - з другої урни вийнято 1 біла і 1 чорна куля;

З 3 - з другої урни вийнято 2 чорні кулі.

Отже, А 1 = , звідки, враховуючи незалежність та несумісність подій, отримуємо

Р(А 1) = Р(В 1) * Р(З 1) + Р(В 3) * Р(З 3).

Знайдемо кількість елементарних подій n 1 і n 2 для першої та другої урн відповідно. Маємо:

Знайдемо кількість кожного елемента подій, що визначають такі події:

У 1: m 11 = C 1: m 21 =

B 2: m 12 = C 2: m 22 =

B 3: m 13 = C 3: m 23 =

Отже,

Р(А 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А 2 – серед витягнутих куль лише 3 білих. В цьому випадку

А 2 = (В 1 З 2 (В 2 З 1);

Р(А 2) = Р(В 1) * Р(С 1) + Р(В 2) * Р(С 2)

Р(А 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

в) А 3 - серед витягнутих куль є принаймні одна біла.

Серед вилучених куль немає жодної білої кулі. Тоді

Р() = Р(У 3) * Р(С 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А 3) = 1 - Р() = 1 - 7/165 = 158/165.

Відповідь:Р(А 1) = 46/495, Р(А 2) = 1/3, Р(А 3) = 158/165.

Завдання 1.7.У урні міститься 5 чорних та білих куль, до них додають 4 білі кулі. Після цього з урни випадково виймають 3 кулі. Знайти ймовірність того, що всі вийняті кулі білі, припускаючи, що всі можливі пропозиції про початковий зміст урни є рівноможливими.

Тут мають місце два види випробувань: спочатку задається початковий вміст урни і потім випадково виймається 3 шар, причому результат другого випробування залежить від результату першого. Тому використовується формула ймовірності.

подія А - випадково виймають 3 білі кулі. Імовірність цієї події залежить від того, яким був початковий складкуль у урні.

Розглянемо події:

У 1 - у урні було 5 білих кулі;

У 2 - в урні було 4 білих та 1 чорна куля;

У 3 - в урні було 3 білих та 2 чорні кулі;

У 4 - в урні був 2 білий і 3 чорні кулі;

У 5 - в урні було 1 біла і 4 чорні кулі.

У 6 - у урні було 5 чорних кулі;

Загальна кількість елементарних результатів

Знайдемо умовні ймовірностіподії А за різних умов.

Р(А/В 1) = 1.

Р(А/В 2) = 56/84 = 2/3.

Р(А/В3) = 35/84 = 5/12.

Р(А/В 4) = 5/21.

Р(А/В 5) = 5/42.

Р(А/В 6) = 1/21.

Р(А) = 1*1/6+2/3*1/6+5/12*1/6+5/21*1/6+5/42*1/6+1/21*1/6 = 209/504.

Відповідь:Р(А) = 209/504.

Завдання 1.9.У піраміді стоять 11 гвинтівок, з них 3 із оптичним прицілом. Стрілок, стріляючи з гвинтівки з оптичним прицілом, може вразити мету з ймовірністю 87/100, а стріляючи з гвинтівки без оптичного прицілу - з ймовірністю 52/100. Знайти ймовірність того, що стрілець вразить ціль, стріляючи з випадково взятої гвинтівки.

Враховуючи, що гвинтівки вибираються по одній, отримуємо і відповідно (для 1) і (для 2); таким чином Р(В 1) = 3/11, Р(В 2) = 8/11.

Умовні ймовірності задані за умови завдання:

Р(А/В 1) = 0,87 та Р(А.В 2) = 0,52.

Отже,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Відповідь:Р(А) = 0,615.

Завдання 1.10.У монтажному цеху до пристрою приєднується електродвигун. Електродвигуни постачаються трьома заводами-виробниками. На складі є електродвигуни цих заводів відповідно в кількості М 1 = 13, М 2 = 12, і М 3 = 17 штук, які можуть безвідмовно працювати до кінця гарантійного терміну з ймовірностями відповідно 0,91, 0,82 і 0,77. Робочий бере випадково один електродвигун та монтує його до пристрою. Знайти ймовірність того, що змонтований та працюючий безвідмовно до кінця гарантійного терміну електродвигун поставлений відповідно першим, другим або третім заводом – виробником.

Умовні ймовірності задані за умови завдання: Р(А/В 1) = 0,91, Р(А/В 2) = 0,82, Р(А/В 3) = 0,77.

Аналогічно попередньому завданню знайдемо ймовірність:

Р(В 1) = 13/42 = 0,3095; Р(В 2) = 12/42 = 0,2857; Р(В 3) = 17/42 = 0,4048;

Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

За формулою Байєса (1.8.) обчислюємо умовні ймовірності подій (гіпотез).

Р(В 1/А) =

Р(2/А) =

Р(3/А) =

Відповідь:Р(В 1 /А) = 0,3403, Р(В 2 /А) = 0,2831, Р(В 3 /А) = 0,3766

Робота №2

Випадкові величини.

6 – варіант.

Завдання 2.1.У кожному з n незалежних випробуваньподія А відбувається з постійною ймовірністю 0,36. Обчислити всі ймовірності р k , k = 0, 1, 2, ..., 11 де k частота події А. Побудувати графік ймовірностей р k . Знайти найімовірнішу частоту.

Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 – p = 0,64.

Знайти:р 0, р 1, р 2, ..., р 11 і k.

Використовуючи формулу Бернуллі. Значення р 0 обчислюємо за першою формулою, а інші ймовірності р k - по другій.

Для формули обчислюємо постійний множник

р / q = 0,36 / 0,64 = 0,5625, р 0 = * 0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.

Результати обчислень запишемо в таблиці 1. Якщо обчислення правильні, то має виконуватись рівність

За знайденими значеннями ймовірностей збудуємо їх графік (рис. 1).

Знайдемо найімовірнішу частоту за заданими умовами:

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Значить, найімовірніша частота k = 4 і було отримано раніше, значення р 3 є максимальним.

Таблиця 1

k	(n-k-1)/k	р k	k	(n-k-1)/k	p k
	-	0,9926213

Рисунок 1 Графік ймовірностей р k

Завдання 2.2.У кожному із n незалежних випробувань подія А відбувається з постійною ймовірністю 0,47. Знайти ймовірність того, що подія А відбувається:

а) точно 330 разів;

б) менше ніж 330 та більше ніж 284 разів;

в) більше ніж 330 разів.

а) Задано:п = 760, р = 0,47, М = 330.

Знайти:Р 760 (330).

Використовуємо локальну теоремуМуавра – Лапласа. Знаходимо:

Значення функції j(x) знайдемо з таблиці:

j(1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562/13,76 = 0,00408.

б) Знайти:Р 760 (284

Використовуємо інтегральну теорему Муавра – Лапласа.

Знаходимо:

Значення функції Ф(х) знайдемо з таблиці:

Р 760 (284

в) Знайти:Р 760 (330

Маємо: х 1 = -1,98,

Р 760 (330

Завдання 2.4.На телефонній станції неправильне з'єднання відбувається із ймовірністю 1/800. Знайти ймовірність того, що серед 5600 з'єднань має місце:

а) точно 2 неправильні з'єднання;

б) менше ніж 3 неправильні з'єднання;

в) більше 8 неправильних з'єднань.

а) Задано: n=5600, p=1/800, k=2.

Знайти:Р 800(2).

Отримуємо:

l = 5600*1/800 = 7.

Р 800 (2) = .

б) Задано k<3.

Знайти:Р 200 (k<3).

Р 800 (k<3) = Р 800 (0) + Р 800 (1) + Р 800 (2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) Задано k> 8.

Знайти:Р 800 (k> 8).

Це завдання можна вирішити простіше, знайти ймовірність протилежної події, тому що в цьому випадку потрібно вирахувати менше доданків. Зважаючи на попередній випадок, маємо

Р 800 (k> 8) = 1 - Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Завдання 2.6.Випадкова величина Х задана поряд розподілу.

Х	8 12 16 24
Р	0,11 0,14 0,50 0,25

Знайти функцію розподілу F(x) випадкової величини і побудувати її графік. Обчислити для Х її середнє значення ЕХ, дисперсію DX та моду Мо.

Побудуємо графік функції розподілу F(x). Середнє значення ЕХ обчислюємо за такою формулою:

ЕХ = 8 * 0,11 + 12 * 0,14 + 16 * 0,5 + 24 * 0,25 = 16,56.

Дисперсія: Е(Х 2) = 8 2 * 0,11 + 12 2 * 0,14 + 16 2 * 0,5 + 24 2 * 0,25 = 299,2

DX = 299,2 - 16,52 2 = 26,2896.

Графік функції розподілу

Завдання 2.7.Випадкова величина Х задана функцією щільності ймовірності

f(x) =

Знайти функцію розподілу F(x) випадкової величини Х. Побудувати графік функції f(x) та F(x). Обчислити для Х її середнє значення ЕХ, дисперсію DX, моду Мо та медіану Ме. До = 8, R = 12.

Функцію розподілу F(х) безперервної випадкової величини знайдемо за формулою:

Побудувати графіки функцій f(x) та F(x). Середнє значення Х обчислюємо за такою формулою:

ЕХ =

Для знаходження дисперсії Х скористаємося формулами:

Е(Х 2) =

DX = 40,5 - (4,5) 2 .

З графіка видно, що f(x) досягає максимуму в точці х = 1/2 і, отже, Мо = 12. Для знаходження медіани Ме потрібно вирішити рівняння х 2/256 = 1/2, або х 2 = 128. Маємо х = ± 11,31, Ме = 11,31.

Графік функції розподілу F(х).

Робота №3.

Завдання 3.1

За вибірками А та В

Скласти варіаційний ряд;

Обчислити відносні частоти (частини) та накопичені частоти;

Побудувати графіки варіаційного ряду (полігон та гістограму);

Скласти емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік;

Обчислити числові характеристики варіаційного ряду:

середнє арифметичне ,

дисперсію,

стандартне відхилення ,

медіану Ме.

Завдання 3.2.

Обчислити незміщені оцінки параметрів генеральної сукупності ,S 2 , Sпо

вибіркам А та В (використовуючи результати, отримані в задачі 3.1.), а також за першим стовпцем вибірки В.

Вибірка А6

4	10	7	6	3	7	8	7	4	7	10	7	3	9	3
1	5	8	10	11	6	5	7	6	3	8	4	3	8	4
10	6	8	7	8	7	7	7	4	6	7	10	4	4	0
5	4	4	8	5	5	10	7	3	8	5	6	6	6	3
5	7	8	5	7	10	9	10	8	2	3	6	9

N = 73 Початок першого інтервалу: 0 Довжина інтервалу: 1

Вибірка В6

324	296	313	323	312	321	322	301	337	322	329	307
301	328	312	318	327	315	319	317	309	334	323	340
326	322	314	335	313	322	319	325	312	300	323	335
339	326	298	298	337	322	303	314	315	310	316	321
312	315	331	322	321	336	328	315	338	318	327	323
325	314	297	303	322	314	317	330	318	320	312	333
332	319	325	319	307	305	316	330	318	335	327	321
332	288	322	334	295	318	329	305	310	304	326	319
317	316	316	307	309	309	328	317	317	322	316	304
303	350	309	327	345	329	338	311	316	324	310	306
308	302	315	314	343	320	304	310	345	312	330	324
308	326	313	320	328	309	306	306	308	324	312	309
324	321	313	330	330	315	320	313	302	295	337	346
327	320	307	305	323	331	345	315	318	331	322	315
304	324	317	322	312	314	308	303	333	321	312	323
317	288	317	327	292	316	322	319	313	328	313	309
329	313	334	314	320	301	329	319	332	316	300	300
304	306	314	323	318	337	325	321	322	288	313	314
307	329	302	300	316	321	315	323	331	318	334	316
328	294	288	312	312	315	321	332	319

N = 237 Початок першого інтервалу: 285 Довжина інтервалу: 7

Розв'язання задач.

Завдання 3.1.

Спочатку розв'яжемо задачу за вибіркою А. Знаходимо: х min = 0 і х max = 11. Розмах (11 - 0 + 1 = 12) досить малий, тому складемо варіаційний ряд за значеннями (табл. 1).

Таблиця 1

Усі відносні частоти обчислюємо з однаковою точністю. При побудові графіків зображаємо на осі х значення з 0 по 11 і осі n i /n - значення з 0 по 0,25 (рис.1 і 2).

Рис. 1. Полігон варіаційного ряду вибірки А

Рис. 2. Гістограма варіаційного ряду вибірки А.

Емпіричну функцію розподілу F * (x) знаходимо, використовуючи формулу та накопичені частоти, з табл. 1. Маємо:

При побудові графіка F*(x) відкладаємо значення функції в інтервалі від 0 до 1,2 (рис. 3).

Рис.3. Графік емпіричної функції розподілу вибірки А.

Обчислення сум для середнього арифметичного та дисперсії за формулами та за варіаційним рядом (див. табл. 1) оформляємо у табл. 2. За максимальною частотою визначаємо с = 7, а крок таблиці k = 1.

11 1 4 4 16 16 73 -58 470

Стандартне відхилення Модою Мо є значення максимальної частотою, тобто. Мо = 7. Медіаною Ме служить 37 значення варіаційного ряду: Ме = 7.

Тепер за вибіркою В знайдемо х min = 288 та х max = 350. Розмах (350 - 288 + 1 = 63) досить великий, тому складемо варіаційний ряд за інтервалами значень, використовуючи при вибірці задані початок першого інтервалу та довжину інтервалу (табл.3 ).

Таблиця 3

Рис. 4. Полігон варіаційного ряду вибірки.

Рис. 5. Гістограма варіаційного ряду вибірки.

При побудові графіків відкладаємо по осі х значення з 285 до 355 та по осі n i /n - значення з 0 по 0,3 (рис. 4 та 5).

Далі враховуємо, що як представник кожного інтервалу взято його кінець. Приймаючи за координати точок кінці інтервалів та відповідні накопичені частоти (див. табл. 3) та з'єднуючи ці точки прямими, побудуємо графік емпіричної функції розподілу (рис. 6).

Рис. 6. Графік емпіричної функції розподілу вибірки.

Для обчислення середнього арифметичного та дисперсії за формулами та за табл. 3 визначимо з = 316 та k = 7. Суми обчислимо за допомогою табл. 4 (табл. 4).

За формулами обчислюємо середнє арифметичне та дисперсію 227,8

å - 237 2637,9 - 28508,3

Медіану знаходимо за формулою: Ме =.

Завдання 3.2.

За формулою знаходимо незміщені оцінки дисперсії та стандартного відхилення:

n = 73, S -2 = 5,8143, S 2 = 73 / 72 × 5,8143 = 5,8951, S = = 2,43.

Для вибірки маємо

393,92 = 177,47, n = 237, S 2 = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.

Незміщені оцінки для першого стовпця вибірки В виходять аналогічно (якщо ця вибірка містить елементи, що мало повторюються, варіаційний ряд можна не складати).

З урни, де знаходяться куль, серед яких чорних білих, випадково витягнуті куль. Яка ймовірність того, що серед них буде чорні білі кулі?

Приклад 1. У першій урні: три червоні, одна біла куля. У другій урні: одна червона, три білі кулі. Навмання кидають монету: якщо герб – вибирають із першої урни, інакше – із другої.
Рішення:
а) ймовірність того, що дістали червону кулю
A – дістали червону кулю
P 1 - випав герб, P 2 - інакше

b) Вибрано червону кулю. Знайти ймовірність того, що його взято з першої урни, з другої урни.
B 1 – з першої урни, B 2 – з другої урни
,

Приклад 2. У ящику 4 кулі. Можуть бути: лише білі, лише чорні чи білі та чорні. (Склад невідомий).
Рішення:
A – ймовірність появи білої кулі
а) Усі білі:
(ймовірність того, що попався один із трьох варіантів, де є білі)
(імовірність появи білої кулі, де всі білі)

б) Витягли, де всі чорні



в) витягли варіант, де всі білі або чорні

- хоча б один із них білий

P а + P б + P в =

3 . У урні 5 білих та 4 чорні кулі. З неї виймають поспіль 2 кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Рішення:
5 білих, 4 чорні кулі
P(A 1) – вийняли білу кулю

P(A 2) – ймовірність того, що друга куля теж біла

P(A) – поспіль вибрали білі кулі

Приклад 3а. У пачці 2 фальшивих та 8 справжніх грошових купюр. З пачки витягли дві купюри поспіль. Знайти ймовірність, що обидві вони фальшиві.
Рішення:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Приклад 4. Є 10 урн. У 9 урнах по 2 чорні та 2 білі кулі. У 1 урні 5 білих та 1 чорний. З урни, взятої навмання, вийняли кулю.
Рішення:
P(A) -? біла куля взята з урни, де 5 білих
B - ймовірність того, що вийняли з урни, де 5 білих
, - вийняли з інших
C 1 – ймовірність появи білої кулі 9 ур.

З 2 – ймовірність появи білої кулі, де їх 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Приклад 5. 20 циліндричних валиків та 15 конусоподібних. Складальник бере 1 валик, а потім ще один.
Рішення:
а) обидва валики циліндричні
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – перший циліндр, Ц 2 – другий циліндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хоча б один циліндр
K 1 - Перший конусообр.
K 2 - другий конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) перший циліндр, а другий ні
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Жоден циліндр.
P(D)=P(K1)P(K2)

е) Рівне 1 циліндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Приклад 6. У ящику 10 стандартних деталей та 5 бракованих.
Навмання витягують три деталі
а) З них одна бракована
P n (K) = C n · p k · q n-k ,
P – ймовірність бракованих виробів

q – ймовірність стандартних деталей

n=3, три деталі


б) дві із трьох деталей бракованих P(2)
в) хоча б одна стандартна
P(0)-ні бракованих

P = P (0) + P (1) + P (2) - ймовірність того, що хоча б одна деталь виявиться стандартною

Приклад 7 . У 1-й урні по 3 білих та чорних кулі, а у 2-й - 3 білих та 4 чорних. З 1-ї урни в 2-у не дивлячись перекладають 2 кулі, а потім з 2-ї витягують 2 кулі. Яка ймовірність, що вони різних кольорів?
Рішення:
При перекладанні куль із першої урни можливі такі варіанти:
а) вийняли за поспіль 2 білі кулі
P ББ 1 =
На другому кроці завжди буде на одну кулю менше, оскільки на першому кроці вже вийняли одну кулю.
б) вийняли одну білу і одну чорну кулю
Ситуація, коли першим вийняли білу кулю, а потім чорну
P БЧ =
Ситуація, коли першим вийняли чорну кулю, а потім білу
P ЧБ =
Разом: P БЧ 1 =
в) вийняли за поспіль 2 чорні кулі
P ЧЧ 1 =
Оскільки з першої урни переклали у другу урну 2 кулі, то загальна кількість куль у другій урні буде 9 (7 + 2). Відповідно, шукатимемо всі можливі варіанти:
а) з другої урни вийняли спочатку білу, потім чорну кулю

P БЧ 2 P ББ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни за поспіль вийняли 2 білі кулі. Саме тому кількість білих куль у цьому випадку дорівнює 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни вийняли білу та чорну кулі. Саме тому кількість білих куль у цьому випадку дорівнює 4 (3+1), а чорних куль дорівнює п'яти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни вийняли за поспіль обидві чорні кулі. Саме тому кількість чорних куль у цьому випадку дорівнює 6 (4+2).

Імовірність того, що витягнуті 2 кулі виявляться різних кольорів, дорівнює:

Відповідь: P = 0.54

Приклад 7а. З 1-ої урни, що містить 5 білих і 3 чорних кулі навмання переклали 2 кулі в 2-у урну, що містить 2 білих і 6 чорних куль. Потім з другої урни навмання витягли 1 кулю.
1) Яка ймовірність того, що витягнута з другої урни куля виявилася білою?
2) Куля витягнута з другої урни виявилася білою. Обчисліть можливість того, що з першої урни в другу були перекладені кулі різного кольору.
Рішення.
1) Подія А - витягнутий з другої урни куля виявилася білою. Розглянемо такі варіанти наступу цієї події.
а) З першої урни в другу поклали дві білі кулі: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Усього в другій урні 4 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) З першої урни в другу поклали білу та чорну кулі: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Усього в другій урні 3 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) З першої урни в другу поклали дві чорні кулі: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Усього в другій урні 2 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тоді ймовірність того, що витягнута з другої урни куля виявилася білою дорівнює:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Куля витягнутий з другої урни виявився білим, тобто. Повна ймовірність дорівнює P(A)=13/32.
Імовірність того, що в другу урну були перекладені кулі різного кольору (чорний та білий) та був обраний білий: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Приклад 7б. У першій урні 8 білих та 3 чорних кулі, у другій 5 білих та 3 чорних. З першої навмання вибирають одну кулю, а з другої дві кулі. Після цього з вибраних трьох куль навмання беруть одну кулю. Ця остання куля виявилася чорною. Знайти ймовірність того, що з першої урни було обрано білу кулю.
Рішення.
Розглянемо всі варіанти події А – з трьох куль, вийнята куля виявилася чорною. Як могло статися, що серед трьох куль виявився чорний?
а) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли дві білі кулі.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
б) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли дві чорні кулі.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
в) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли одну білу та одну чорну кулі.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) З першої урни вийняли білу кулю, з другої урни вийняли дві чорні кулі.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
д) З першої урни вийняли білу кулю, з другої урни вийняли одну білу та одну чорну кулі.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Повна ймовірність дорівнює: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Імовірність того, що з білої урни була обрана біла куля, дорівнює:
Pб (1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тоді ймовірність того, що з першої урни була обрана біла куля за умови, що з трьох куль була обрана чорна, дорівнює:
Pч = Pб (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Приклад 7в. У першій урні 12 білих та 16 чорних куль, у другій 8 білих та 10 чорних. Одночасно з 1-ої та 2-ої урни витягують по кулі, перемішують і повертають по одному в кожну урну. Потім із кожної урни витягують по кулі. Вони виявилися одного кольору. Визначити можливість того, що в першій урні залишилося стільки ж білих куль, скільки було на початку.

Рішення.
Подія А - одночасно з 1-ої та 2-ої урни витягують по кулі.
Імовірність витягнути білу кулю з першої урни: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Імовірність витягнути чорну кулю з першої урни: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Імовірність витягнути білу кулю з другої урни: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Імовірність витягнути чорну кулю з другої урни: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Подія А сталася. Подія - з кожної урни витягують по кулі. Після перемішування, ймовірність повернення кулі в урну білої або чорної кулі дорівнює ½.
Розглянемо варіанти події У - вони виявилися одного кольору.

Для першої урни
1) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для другої урни
1) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Кулі виявилися одного кольору:
а) білі
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
б) чорний
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Приклад 7г. У першому ящику 5 білих і 4 синіх кульки, у другому 3 і 1, а в третьому - 4 і 5 відповідно. Навмання вибраний ящик і з нього витягнута кулька, виявилася синя. Яка ймовірність того, що ця кулька з другого ящика?

Рішення.
A - подія вилучення синьої кульки. Розглянемо всі варіанти результату такої події.
H1 - витягнута кулька з першої скриньки,
H2 - витягнута кулька з другого ящика,
H3 - витягнута кулька із третьої скриньки.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Відповідно до умови завдання умовні ймовірності події А дорівнюють:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Імовірність того, що ця кулька з другого ящика дорівнює:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Приклад 8 . У п'яти ящиках з 30 кулями в кожному міститься по 5 червоних куль (це ящик складу H1), у шістьох інших ящиках з 20 кулями в кожному - по 4 червоні кулі (це ящик складу H2). Знайти ймовірність того, що навмання взята червона куля міститься в одному з перших п'яти ящиків.
Рішення: Завдання застосування формули повної ймовірності.

Імовірність того, що будь-якийвзята куля міститься в одному з перших п'яти ящиків:
P(H 1) = 5/11
Імовірність того, що будь-якийвзята куля міститься в одному з шести ящиків:
P(H 2) = 6/11
Подія сталася – витягли червону кулю. Отже, це могло статися у двох випадках:
а) витягли з перших п'яти ящиків.
P 5 = 5 червоних куль * 5 ящиків / (30 куль * 5 ящиків) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
б) витягли із шести інших ящиків.
P 6 = 4 червоні кулі * 6 ящиків / (20 куль * 6 ящиків) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Разом: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Отже, ймовірність того, що навмання взята червона куля міститься в одному з перших п'яти ящиків, дорівнює:
P к.ш. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Приклад 9 . У урні знаходяться 2 білі, 3 чорні та 4 червоні кулі. Навмання виймають три кулі. Яка ймовірність, що хоча б дві кулі будуть одного кольору?
Рішення. Усього можливі три варіанти результату подій:
а) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві білі.
P б (2) = P 2б
Загальна кількість можливих елементарних результатів для даних випробувань дорівнює кількості способів, якими можна витягти 3 кулі з 9:

Знайдемо ймовірність того, що серед вибраних 3 куль 2 білих.

Кількість варіантів вибору з 2 білих куль:

Кількість варіантів вибору з 7 інших куль третя куля:

б) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві чорні (тобто або 2 чорні або 3 чорні).
Знайдемо ймовірність того, що серед вибраних 3 куль 2 чорні.

Кількість варіантів вибору з 3 чорних куль:

Кількість варіантів вибору з 6 інших куль однієї кулі:


P 2ч = 0.214
Знайдемо ймовірність того, що усі вибрані кулі чорні.

P год (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві червоні (тобто або дві червоні або три червоні).
Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 червоні.

Кількість варіантів вибору з 4 чорних куль:

Кількість варіантів вибору з 5 білих куль решта 1 білих:


Знайдемо ймовірність того, що всі вибрані червоні кулі.

P до (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тоді ймовірність, що хоча б дві кулі будуть одного кольору дорівнює: P = P б (2) + P год (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Приклад 10 . У першій урні міститься 10 куль, їх 7 білих; у другій урні 20 куль, їх 5 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що взята біла куля.
Рішення. Імовірність того, що з першої урни витягли білу кулю, дорівнює P(б)1 = 7/10. Відповідно, ймовірність вилучення чорної кулі дорівнює P(ч)1 = 3/10.
Імовірність того, що з другої урни витягли білу кулю, дорівнює P(б)2 = 5/20 = 1/4. Відповідно, ймовірність вилучення чорної кулі дорівнює P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Подія А - з двох куль взята біла куля
Розглянемо варіанти результату події А.

1. з першої урни витягли білу кулю, з другої урни витягли білу кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. з першої урни витягли білу кулю, з другої урни витягли чорну кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P2 = 7/10 * 3/4 ​​= 21/40
3. з першої урни витягли чорну кулю, з другої урни витягли білу кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Таким чином, ймовірність можна знайти як суму вищезгаданих ймовірностей.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Приклад 11 . У ящику n тенісних м'ячів. З них граних m. Для першої гри навмання взяли два м'ячі і після гри їх поклали назад. Для другої гри також навмання взяли два м'ячі. Яка ймовірність того, що друга гра проводитиметься новими м'ячами?
Рішення. Розглянемо подію А – гра вдруге проводилася новими м'ячами. Подивимося, які події можуть призвести до цього.
Позначимо через g = n-m кількість нових м'ячів до витягування.
а) для першої гри витягли два нових м'ячі.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для першої гри витягли один новий м'яч і один уже граний.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для першої гри витягли два грані м'ячі.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Розглянемо події другої гри.
а) Витягли два нових м'ячі, за умови P1: оскільки раніше для першої гри вже витягли нові м'ячі, то для другої гри їхня кількість зменшилася на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Витягли два нових м'ячі, за умови P2: оскільки раніше для першої гри вже витягли один новий м'яч, то для другої гри їхня кількість зменшилася на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
в) Витягли два нових м'ячі, за умови P3: оскільки раніше для першої гри не використовували нових м'ячів, то для другої гри їхня кількість не змінилася g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Повна ймовірність P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Відповідь: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Приклад 12 . У першому, другому і третьому ящиках знаходиться по 2 білих і 3 чорні кулі, у четвертому і п'ятому по 1 білій та 1 чорній кулі. Випадково вибирається ящик і з нього витягається куля. Яка умовна ймовірність, що обрано четверту або п'яту скриньку, якщо витягнута куля - біла?
Рішення.
Імовірність вибору кожної скриньки дорівнює P(H) = 1/5.
Розглянемо умовні ймовірності події А – вилучення білої кулі.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Повна ймовірність вилучення білої кулі:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Умовна ймовірність, що обрано четверту скриньку
P(H=4|A) = 1/2*1/5/0.44 = 0.2273
Умовна ймовірність, що обрано п'яту скриньку
P(H=5|A) = 1/2*1/5/0.44 = 0.2273
Умовна ймовірність, що обрана четверта або п'ята скринька дорівнює
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Приклад 13 . В урні було 7 білих та 4 червоні кулі. Потім в урну поклали ще один шар білого або червоного або чорного кольору і після перемішування вийняли один шар. Він виявився червоним. Яка ймовірність, що була покладена а) червона куля? б) чорна куля?
Рішення.
а) червона куля
Подія A - витягли червону кулю. Подія H - поклали червону кулю. Імовірність того в урну була покладена червона куля P(H=K) = 1 / 3
Тоді P(A | H = K) = 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) чорна куля
Подія A - витягли червону кулю. Подія H - поклали чорну кулю.
Імовірність того в урну була покладена чорна куля P(H=Ч) = 1 / 3
Тоді P(A|H=Ч)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

Приклад 14 . Є дві скриньки з кулями. В одній 10 червоних та 5 синіх куль, у другій 5 червоних та 7 синіх куль. Яка ймовірність того, що з першої урни навмання буде вийнятий червона куля, а з другої синя?
Рішення.Нехай подія A1 - з першої урни вийнята червона куля; A2 - з другої урни вийнята синя куля:
,
Події A1 та A2 незалежні. Імовірність спільної появи подій A1 та A2 дорівнює

Приклад 15 . Є колода карт (36 штук). Виймаються навмання дві карти поспіль. Якою є ймовірність того, що обидві вийняті карти будуть червоною масті?
Рішення.Нехай подія A 1 – перша вийнята карта червоної масті. A 2 - друга витягнута карта червоної масті. B – обидві вийняті карти червоної масті. Оскільки мають відбутися і подія A 1 і подія A 2 , то B = A 1 · A 2 . Події A 1 і A 2 залежні, отже, P(B) :
,
Звідси

Приклад 16 . У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних та 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8, 6 куль. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?
Рішення.Нехай індекс 1 означає білий колір, індекс 2 – чорний колір; 3 – червоний колір. Нехай подія A i - з першої скриньки витягли кулю i-го кольору; подія B j - з другої урни витягли шар j -го кольору; подія A - обидві кулі одного кольору.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . Події A i та B j незалежні, а A i · B i та A j · B j несумісні при i ≠ j . Отже,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Приклад 17 . З урни з трьома білими і двома чорними кулі витягуються по одному до появи чорного. Знайдіть ймовірність того, що з урни буде витягнуто 3 кулі? 5 куль?
Рішення.
1) ймовірність того, що з урни буде витягнуто 3 кулі (тобто третя куля буде чорною, а перші дві - білими).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ймовірність того, що з урни буде витягнуто 5 куль
така ситуація неможлива, т.к. всього 3 білі кулі.
P = 0

Класичне визначення ймовірності зводить поняття ймовірності до поняття рівноймовірності (рівноможливості) подій, яке вважається основним і не підлягає формальному визначенню. Це визначення застосовується у випадках, коли вдається виділити повну групу несумісних та рівноймовірних подій – елементарних результатів. Наприклад розглянемо урну з кулями.

Нехай в урні міститься 7 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них – червоні, 1 – синій та 4 – білі. Випробування полягатиме в тому, що з урни навмання береться одна куля. Кожна подія, яка може наступити у випробуванні, є елементарним результатом. У цьому прикладі сім елементарних результатів, які ми позначимо Е 1 , Е 2 ,..., Е 7 . Виходи Е 1 , Е 2 - поява червоної кулі, Е 3 - поява синьої кулі, Е 4 , Е 5 , Е 6 , Е 7 – поява білої кулі. У нашому прикладі події Е 1 , Е 2 ,... Е 7 - попарно несумісні. Крім того, вони ще й рівноможливі у цьому випробуванні. Нехай подія Аполягає в тому, що навмання взята з урни куля виявилася кольоровою (червоною або синьою).

Ті елементарні результати, за яких цікава для нас подія Анастає, називають результатами, сприятливими події А. У нашому прикладі результатами, що сприяють події А, є результати Е 1 , Е 2 та Е 3 . Розумно як міру можливості появи події А, тобто ймовірності Р(А), прийняти число, що дорівнює відношенню результатів, що сприяють настанню події А,до всіх можливих результатів. У нашому прикладі

Ррозглянутий приклад привів нас до визначення ймовірності, яке прийнято називати класичним .

Ймовірністю події Аназивають відношення числа mсприятливих цієї події результатів до загального числа nвсіх елементарних результатів:

Р(А) = . (1.4.4)

Класичне визначення ймовірності служить гарною математичною моделлю тих випадкових експериментів, число результатів яких звісно, ​​самі результати - рівноможливі.

ПРИКЛАД 2. Впадає гральна кістка. Знайти ймовірність, що випаде не більше чотирьох очок.

Рішення. Загальна кількість елементарних результатів n= 6 (можуть випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6). Серед цих результатів сприяють події А(випаде не більше чотирьох очок) тільки чотири результати m= 4. Отже шукана ймовірність

ПРИКЛАД 3. Якою є ймовірність, заповнюючи картку спортлото «6» з «49» вгадати 4 номери?

Рішення. Загальна кількість елементарних результатів досвіду дорівнює кількості способів, якими можна закреслити 6 номерів з 49, тобто n = C. Знайдемо число результатів, що сприяють події, що цікавить нас.
А= (вгадано 4 номери), 4 номери з 6 виграли можна закреслити Cспособами, при цьому решта двох номерів має бути не виграшою. Закреслити 2 неправильні номери з 43 невиграшних можна Cметодами. Отже, кількість сприятливих результатів m = C× C. Зважаючи на те, що всі результати досвіду є несумісними та рівноможливими, знаходимо шукану ймовірність за формулою класичної ймовірності:

Р(А) =

ПРИКЛАД 4.Навмання взятий телефонний номер складається з 5 цифр. Яка велика ймовірність, що в ньому: 1) всі цифри різні; 2) усі цифри непарні?

Рішення. 1. Оскільки на кожному з п'яти місць у п'ятизначному номері може стояти будь-яка з цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всіх п'ятизначних номерів буде 10 5 (00000 - 1 -й, 00001 - 2-й, 00002 -3-й, ..., 99998 - 99999-й, і, нарешті, 99999 - 100 000-й). Номери, у яких усі цифри різні, – це розміщення з 10 елементів по 5.

Формуладля числа розміщеньз nелементів по k:

K! = = n (n – 1) … (n – k + 1).

Тому кількість сприятливих випадків m= = 10× 9× 8× 7× 6 та шукана ймовірність

Р(А) = = 0,3024.

2. З 5 непарних цифр (1, 3, 5, 7, 9) можна утворити 5-5 різних п'ятизначних номерів. 5 5 - це число сприятливих результатів m . Оскільки всіх рівноможливих випадків n= 10 5 , то шукана ймовірність

Р(А) = = = = 0,03125.

ПРИКЛАД 5. Повна колода карт (52 аркуша) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 аркушів. Знайти ймовірності наступних подій:

А- у кожній з пачок виявиться по два тузи;

В- в одній з пачок не буде жодного туза, а в іншій – усі чотири;

З- В одній з пачок буде один туз, а в іншій - три.

Рішення. Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна отримати 26 карт з 52 , тобто числу поєднань з 52 по 26, n=. Число сприятливих для події Авипадків
m= (за основним правилом комбінаторики), де перший співмножник показує, що два тузи з чотирьох можна взяти способами, другий співмножник показує, що інші 24 карти беруться з 48 карт, що не містять тузів, способами. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють події А, До загального числа всіх результатів:

Подія Вможе здійснитися двома рівноможливими способами: або в першій пачці будуть всі чотири тузи, а в другій - жодного, або навпаки:

Аналогічно:

Зауважимо, що класичне визначення ймовірності було введено для випадку, коли простір елементарних подій звичайно, а всі результати та випробування рівноможливі та несумісні.