Концепція рівняння лінії. Завдання лінії за допомогою рівняння умова паралельності прямих

визначає на площині криву. Група членів називається квадратичною формою, - Лінійною формою. Якщо квадратичній формі містяться тільки квадрати змінних, то такий її вид називається канонічним, а вектори ортонормованого базису, в якому квадратична форма має канонічний вигляд, називаються головними осями квадратичної форми.
Матриця називається матрицею квадратичної форми. Тут a 1 2 = a 2 1 . Щоб матрицю B призвести до діагонального вигляду, необхідно за базис взяти власні вектори цієї матриці, тоді де λ 1 і λ 2 – власні числа матриці B.
У базисі із власних векторів матриці B квадратична форма матиме канонічний вигляд: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Ця операція відповідає повороту осей координат. Потім проводиться зсув початку координат, позбавляючись цим лінійної форми.
Канонічний вид кривої другого порядку: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a , причому:
а) якщо λ 1 >0; λ 2 >0 – еліпс, зокрема, при λ 1 =λ 2 це коло;
б) якщо λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) маємо гіперболу;
в) якщо λ 1 =0 або λ 2 =0, то крива є параболою і після повороту осей координат має вигляд ? Доповнюючи до повного квадрата, матимемо: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

Приклад. Дано рівняння кривої 3x2+10xy+3y2-2x-14y-13=0 у системі координат (0,i,j), де i=(1,0) та j=(0,1).
1. Визначити тип кривої.
2. Привести рівняння до канонічного вигляду та побудувати криву у вихідній системі координат.
3. Знайти відповідні перетворення координат.

Рішення. Наводимо квадратичну форму B=3x2+10xy+3y2 до головних осей, тобто до канонічного вигляду. Матриця цієї квадратичної форми . Знаходимо власні числа та власні вектори цієї матриці:

Характеристичне рівняння:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Вид квадратичної форми: .
Початкове рівняння визначає гіперболу.
Зауважимо, що вигляд квадратичної форми неоднозначний. Можна записати 8x12-2y12, проте тип кривої залишився той же - гіпербола.
Знаходимо основні осі квадратичної форми, тобто власні вектори матриці B. .
Власний вектор, що відповідає числу λ=-2 при х 1 =1: х 1 =(1,-1).
Як одиничний власний вектор приймаємо вектор , де - Довжина вектора x 1 .
Координати другого власного вектора, що відповідає другому власному числу λ=8, знаходимо із системи
.
1, j 1).
За формулами (5) пункту 4.3.3. переходимо до нового базису:
або

; . (*)

Вносимо вирази x та y у вихідне рівняння і, після перетворень, отримуємо: .
Виділяємо повні квадрати: .
Проводимо паралельне перенесення осей координат у новий початок: , .
Якщо внести ці співвідношення до (*) і розв'язати ці рівності щодо x 2 і y 2 , то отримаємо: , . У системі координат (0*, i 1 , j 1) дане рівняння має вигляд: .
Для побудови кривої будуємо у старій системі координат нову: вісь x 2 =0 задається у старій системі координат рівнянням x-y-3=0, а вісь y 2 =0 рівнянням x+y-1=0. Початок нової системи координат 0*(2,-1) є точкою перетину цих прямих.
Для спрощення сприйняття розіб'ємо процес побудови графіка на 2 етапи:
1. Перехід до системи координат з осями x 2 =0, y 2 =0, заданими у старій системі координат рівняннями x-y-3=0 та x+y-1=0 відповідно.

2. Побудова отриманої системі координат графіка функції.

Остаточний варіант графіка виглядає так (див. Рішення:Завантажити рішення

Завдання. Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає еліпс, і знайти координати його центру, півосі, ексцентриситет, рівняння директоріс. Зобразити еліпс на кресленні, вказавши осі симетрії, фокуси та директриси.
Рішення.

Розглянемо співвідношення виду F(x, y)=0, що зв'язує змінні величини xі у. Рівність (1) називатимемо рівнянням з двома змінними х, у,якщо ця рівність справедлива не для всіх пар чисел хі у. Приклади рівнянь: 2х + 3у = 0, х 2 + у 2 - 25 = 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

Якщо (1) справедливо всім пар чисел х і у, воно називається тотожністю. Приклади тотожностей: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0, (х + у) (х - у) - х 2 + у 2 = 0.

Рівняння (1) називатимемо рівнянням безлічі точок (х; у),якщо цього рівняння задовольняють координати хі убудь-якої точки множини і не задовольняють координати ніякої точки, що не належать цій множині.

Важливим поняттям аналітичної геометрії є поняття рівняння лінії. Нехай на площині задані прямокутна система координат та деяка лінія α.

Визначення.Рівняння (1) називається рівнянням лінії α (у створеній системі координат), якщо цього рівняння задовольняють координати хі убудь-якої точки, що лежить на лінії α , і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Якщо (1) є рівнянням лінії α, то будемо говорити, що рівняння (1) визначає (задає)лінію α.

Лінія α може визначатися не тільки рівнянням виду (1), а й рівнянням виду

F(P, φ) = 0містить полярні координати.

• рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

Нехай дана деяка пряма, не перпендикулярна, осі ОХ. Назвемо кутом нахилуданої прямої до осі ОХкут α , на який потрібно повернути вісь ОХщоб позитивний напрямок збігся з одним з напрямків прямий. Тангенс кута нахилу прямої до осі ОХназивають кутовим коефіцієнтомцією прямою і позначають буквою До.

	К=tg α
		(1)

Виведемо рівняння даної прямої, якщо її відомі Дота величина у відрізку ОВ, Якою вона відсікає на осі ОУ.

(2)

y=kx+b

Позначимо через Мточку площини (х; у).Якщо провести прямі BNі NM, паралельні осям, то утворюються r BNM –прямокутний. Т. MC C BM <=>, коли величини NMі BNзадовольняють умову: . Але NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> враховуючи (1), отримуємо, що точка М (х; у) Сна даній прямий<=>, коли її координати задовольняють рівняння: =>

Рівняння (2) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.Якщо K=0, то пряма паралельна осі ОХта її рівняння має вигляд y = b.

• рівняння прямої, що проходить через дві точки;

(4)

Нехай дані дві точки М 1 (х 1; у 1)і М 2 (х 2; у 2).Прийнявши в (3) точку М (х; у)за М 2 (х 2; у 2),отримаємо у 2 -у 1 = k (х 2 - х 1).Визначаючи kз останньої рівності та підставляючи його в рівняння (3), отримуємо шукане рівняння прямої: . Це рівняння, якщо у 1 ≠ у 2, можна записати у вигляді:

Якщо у 1 = у 2, то рівняння шуканої прямої має вигляд у = у 1. У цьому випадку пряма паралельна осі ОХ. Якщо х 1 = х 2, то пряма, що проходить через крапки М 1і М 2, паралельна осі ОУ, її рівняння має вигляд х = х 1.

• рівняння прямої, що проходить через задану точку з цим кутовим коефіцієнтом;

(3)

Аx+Вy+С=0

Теорема.У прямокутній системі координат Охубудь-яка пряма задається рівнянням першого ступеня:

і, навпаки, рівняння (5) при довільних коефіцієнтах А, В, С (Аі У ≠ 0одночасно) визначає деяку пряму у прямокутній системі координат Оху.

Доведення.

Спочатку доведемо перше твердження. Якщо пряма не перпендикулярна Ох,то вона визначається рівнянням першого ступеня: у = kx + b, тобто. рівнянням виду (5), де

A = k, B = -1і C = b.Якщо пряма перпендикулярна Ох,то всі її точки мають однакові абсциси, рівні величині α відрізка, що відсікається прямою на осі Ох.

Рівняння цієї прямої має вигляд х = α,тобто. також є рівняння першого ступеня виду (5), де А = 1, В = 0, С = -?Тим самим було доведено перше твердження.

Доведемо зворотне твердження. Нехай дано рівняння (5), причому хоча б один із коефіцієнтів Аі У ≠ 0.

Якщо У ≠ 0, то (5) можна записати як . Полога , отримуємо рівняння у = kx + b, тобто. рівняння виду (2) яке визначає пряму.

Якщо В = 0, то А ≠ 0і (5) набуває вигляду. Позначаючи через α, отримуємо

х = α, тобто. рівняння прямої перпендикулярне Ох.

Лінії, що визначаються у прямокутній системі координат рівнянням першого ступеня, називаються лініями першого порядку.

Рівняння виду Ах + Ву + С = 0є неповним, тобто. якийсь із коефіцієнтів дорівнює нулю.

1) З = 0; Ах + Ву = 0та визначає пряму, яка проходить через початок координат.

2) В = 0 (А ≠ 0); рівняння Ах + С = 0 Оу.

3) А = 0 (В ≠ 0); Ву + С = 0і визначає пряму паралельну Ох.

Рівняння (6) називається рівнянням прямої «у відрізках». Числа аі bє величинами відрізків, які відсікає пряма на осях координат. Ця форма рівняння зручна для геометричної побудови прямої.

• нормальне рівняння прямої;

Аx + Вy + С = 0 – загальне рівняння деякої прямої, а (5) x cos α + y sin α - p = 0(7)

її нормальне рівняння.

Оскільки рівняння (5) і (7) визначають ту саму пряму, то ( А 1х + У 1у + З 1 = 0і

А 2х + У 2у + З 2 = 0 => ) коефіцієнти цих рівнянь пропорційні. Це означає, що помноживши всі члени рівняння (5) на деякий множник М, ми отримаємо рівняння МА х + МВ у + МС = 0, що з рівнянням (7) тобто.

МА = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Щоб знайти множник М, зведемо перші дві з цих рівностей у квадрат і складемо:

М 2 (А 2 + В 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

§ 9. Поняття рівняння лінії.

Завдання лінії за допомогою рівняння

Рівність виду F (x, y) = 0називається рівнянням із двома змінними x, у,якщо воно справедливе не для будь-яких пар чисел х, у.Кажуть, що два числа x = x 0 , у=у 0, задовольняють деякому рівнянню виду F(х, у)=0,якщо під час встановлення цих чисел замість змінних хі уна рівняння його ліва частина перетворюється на нуль.

Рівнянням даної лінії (у призначеній системі координат) називається таке рівняння з двома змінними , якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати кожної точки, що не лежить на ній.

Надалі замість виразу «дано рівняння лінії. F(х,у) = 0» ми часто говоритимемо коротше: дана лінія F(х, у) = 0.

Якщо дано рівняння двох ліній F(х, у) = 0і Ф(х, y) = Q,то спільне рішення системи

Дає всі точки їх перетину. Точніше, кожна пара чисел, що є спільним рішенням цієї системи, визначає одну з точок перетину.

1)х 2 +у 2 = 8, х-у = 0;

2) х 2 +у 2 -16x+4у+18 = 0, х + у= 0;

3) х 2 +у 2 -2x+4у -3 = 0, х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 +у 2 -8x+10у+40 = 0, х 2 + у 2 = 4.

163. У полярній системі координат дані точки

Встановити, які з цих точок лежать на лінії, визначеній рівнянням у полярних координатах  = 2 cos , та які не лежать на ній. Яка лінія визначається цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні:)

164. На лінії, визначеній рівнянням  =
, знайти точки , полярні кути яких дорівнюють наступним числам: а) б) - , в) 0, г) . Яка лінія визначена цим рівнянням?

(Побудувати її на кресленні.)

165. На лінії, визначеній рівнянням  =
, знайти точки ,полярні радіуси яких дорівнюють наступним числам: а) 1, б) 2,в)
. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)

166. Встановити, які лінії визначаються у полярних координатах такими рівняннями (побудувати їх у кресленні):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  =

Розглянемо функцію, задану формулою (рівнянням)

Цій функції, отже, і рівнянню (11) відповідає площині цілком певна лінія, що є графіком даної функції (див. рис. 20). З визначення графіка функції випливає, що ця лінія складається з тих і лише точок площини координати яких задовольняють рівняння (11).

Нехай тепер

Лінія, що є графіком цієї функції, складається з тих і лише тих точок площини, координати яких задовольняють рівнянню (12). Це означає, що й точка лежить на зазначеній лінії, її координати задовольняють рівнянню (12). Якщо точка не лежить на цій лінії, то її координати рівняння (12) не задовольняють.

Рівняння (12) дозволено щодо у. Розглянемо рівняння, що містить х і у і не дозволене щодо у, наприклад рівняння

Покажемо, що і цьому рівнянню у площині відповідає лінія, а саме - коло з центром на початку координат і радіусом, рівним 2. Перепишемо рівняння у вигляді

Його ліва частина є квадратом відстані точки від початку координат (див. § 2, п. 2, формула 3). З рівності (14) випливає, що квадрат цієї відстані дорівнює 4.

Це означає, будь-яка точка , координати якої задовольняють рівнянню (14), отже, і рівнянню (13), від початку координат з відривом, рівному 2.

Геометричне місце таких точок є коло з центром на початку координат і радіусом 2. Це коло і буде лінією, що відповідає рівнянню (13). Координати будь-якої її точки, очевидно, задовольняють рівняння (13). Якщо ж точка не лежить на знайденому нами колі, квадрат її відстані від початку координат буде або більше, або менше 4, а це означає, що координати такої точки рівнянню (13) не задовольняють.

Нехай тепер у загальному випадку дано рівняння

у лівій частині якого стоїть вираз, що містить х і у.

Визначення. Лінією, яка визначається рівнянням (15), називається геометричне місце точок площини координати яких задовольняють цього рівняння.

Це означає, що якщо лінія L визначається рівнянням, то координати будь-якої точки L задовольняють цьому рівнянню, а координати будь-якої точки площини, що лежить поза L, рівнянню (15) не задовольняють.

Рівняння (15) називається рівнянням лінії

Зауваження. Не слід думати, що будь-яке рівняння визначає якусь лінію. Наприклад, рівняння не визначає жодної лінії. Справді, при будь-яких дійсних значеннях і ліва частина даного рівняння позитивна, а права дорівнює нулю, і отже, цьому рівнянню не можуть задовольняти координати ніякої точки площини

Лінія може визначатися на площині не лише рівнянням, що містить декартові координати, а й рівнянням у полярних координатах. Лінією, яка визначається рівнянням у полярних координатах, називається геометричне місце точок площини, полярні координати яких задовольняють цього рівняння.

Приклад 1. Побудувати спіраль Архімеда за .

Рішення. Складемо таблицю для деяких значень полярного кута та відповідних їм значень полярного радіусу.

Будуємо в полярній системі координат точку, яка, очевидно, збігається з полюсом; потім, провівши вісь під кутом до полярної осі, будуємо на цій осі точку з позитивною координатою після цього аналогічно будуємо точки з позитивними значеннями полярного кута та полярного радіусу (осі для цих точок на рис. 30 не вказані).

З'єднавши між собою точки отримаємо одну гілка кривої, позначену на рис. 30 жирною лінією. При зміні від 0 до цієї гілки кривої складається з нескінченного числа витків.

Рівність виду F(x, у) = 0 називається рівнянням із двома змінними х, у, якщо вона справедлива не для будь-яких пар чисел х, у. Кажуть, що два числа х = x 0 , у = y 0 задовольняють деякому рівнянню виду F(x, y) = 0, якщо при підстановці цих чисел замість змінних х і у рівняння його ліва частина перетворюється на нуль.

Рівнянням даної лінії (у призначеній системі координат) називається таке рівняння з двома змінними, якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати кожної точки, що не лежить на ній.

Надалі замість виразу «дано рівняння лінії F(x, у) = 0» ми часто говоритимемо коротше: дана лінія F(x, у) = 0.

Якщо дані рівняння двох ліній F(x, у)= 0 і Ф(x, у) = 0, то спільне рішення системи

F(x, y) = 0, Ф(х, у) = 0

дає всі точки їх перетину. Точніше, кожна пара чисел, що є спільним рішенням цієї системи, визначає одну з точок перетину,

157. Дані точки *) M 1 (2; -2), М 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Встановити, які з даних точок лежать лінії, визначеної рівнянням х + y = 0, і які лежать у ньому. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)

158. На лінії, визначеній рівнянням х 2 + у 2 = 25, знайти точки, абсциси яких дорівнюють наступним числам: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на цій же лінії знайти точки, ординати яких дорівнюють наступним числам: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)

159. Встановити, які лінії визначаються такими рівняннями (побудувати їх у кресленні): 1)x - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x – 2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y – 5 = 0; 6) у + 2 = 0; 7) х = 0; 8) у = 0; 9) х 2 - хy = 0; 10) ху + у 2 = 0; 11) х 2 - у 2 = 0; 12) ху = 0; 13) у 2 – 9 = 0; 14) х 2 – 8x + 15 = 0; 15) у 2+by+4=0; 16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у - | х |; 18) х - | у |; 19) y + | x | = 0; 20) x + | = 0; 21) у = | х - 1 |; 22) y = | x + 2 |; 23) х 2 + у 2 = 16; 24) (х - 2) 2 + (у-1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (у-1) 2 = 9; 26) (x – 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x – 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x2+3y2+5=0; 31) (x – 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Дані лінії: l) x + y = 0; 2) х - у = 0; 3) x 2 + у 2 – 36 = 0; 4) х 2 + у 2 - 2х + у = 0; 5) х 2 + у 2 + 4х – 6у – 1 = 0. Визначити, які з них проходять через початок координат.

161. Дані лінії: 1) х 2 + у 2 = 49; 2) (х - 3) 2 + (у + 4) 2 = 25; 3) (х + 6) 2 + (y - З) 2 = 25; 4) (х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) х 2 + у 2 - 12x + 16у - 0; 6) х 2 + у 2 – 2x + 8y + 7 = 0; 7) х 2 + у 2 - 6х + 4у + 12 = 0. Знайти точки їх перетину: а) з віссю Ох; б) із віссю Оу.

162. Знайти точки перетину двох ліній:

1) х 2 + у 2 – 8; х - у = 0;

2) х 2 + у 2 – 16х + 4у + 18 = 0; х + у = 0;

3) х 2 + у 2 - 2х + 4у - 3 = 0; х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 + у 2 - 8y + 10у + 40 = 0; х 2 + у 2 = 4.

163. У полярній системі координат дано точки M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0). М 3 (2; π/4), М 4 (√3; 1; 2/3π). Встановити, які з цих точок лежать на лінії, визначеній у полярних координатах рівнянням р = 2cos, і які не лежать на ній. Яка лінія визначається цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)

164. На лінії, визначеній рівнянням p = 3/cosΘ знайти точки, полярні кути яких дорівнюють наступним числам: а) π/3 , б) - π/3, в) 0, г) π/6. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)

165. На лінії, визначеній рівнянням p = 1/sinΘ, знайти точки, полярні радіусьм яких дорівнюють наступним числам: а) 1 6) 2, в) √2 . Яка лінія визначена цим рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)

166. Встановити, які лінії визначаються у полярних координатах такими рівняннями (побудувати їх у кресленні): 1) р = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sin = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) р = 10 sin; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Побудувати на кресленні такі спойрали Архімеда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) p = Θ/π; 4) р = -Θ/π.

168. Побудувати на кресленні такі гіперболічні спіралі: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р = - π/Θ

169. Побудувати на кресленні такі логарифмічні спіралі: 1) р = 2 ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Визначити довжини відрізків, на які розтинає спіраль Архімеда р = 3Θ промінь, що виходить з полюса і нахилений до полярної осі під кутом Θ = π/6. Зробити креслення.

171. На спіралі Архімеда р = 5/π взята точка С, полярний радіус якої дорівнює 47. Визначити, на скільки частин ця спіраль розтинає полярний радіус точки С. Зробити креслення.

172. На гіперболічній спіралі P = 6/Θ знайти точку Р, полярний радіус якої дорівнює 12. Зробити креслення.

173. На логарифмічній спіралі р = 3 Θ знайти точку P, полярний радіус якої дорівнює 81. Зробити креслення.