Правила дій із раціональними числами. Додавання позитивних раціональних чисел

Урок 4
СТУПЕНЬ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

Цілі: сприяти формуванню обчислювальних умінь та навичок, накопиченню знань про ступені на основі обчислювального досвіду; познайомити із записом великих і маленьких чисел за допомогою степенів числа 10.

Хід уроку

I. Актуалізація опорних знань.

Вчитель проводить аналіз результатів перевірочної роботи, кожен учень отримує рекомендації щодо розробки індивідуального планукорекції обчислювальних умінь та навичок.

Потім учням пропонується виконати обчислення та прочитати імена відомих математиків, які зробили внесок у побудову теорії ступенів:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Ключ:

За допомогою комп'ютера чи епіпроектора на екран проектуються портрети вчених Діофанта, Рене Декарта, Симона Стевіна. Учням пропонується підготувати за бажанням історичні довідки про життя та діяльність цих вчених-математиків.

ІІ. Формування нових понять та способів дії.

Учні записують у зошити наступні висловлювання:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

адоданків

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

nмножників

5. а∙ а∙ … ∙ а;

nмножників

Учням пропонується відповісти на запитання: «Як можна уявити ці записи компактніше, щоб вони стали "оглядними"»?

Потім вчитель проводить розмову з новій темі, знайомить учнів із поняттям першого ступеня числа. Учні можуть підготувати інсценізацію стародавньої індійської легенди про винахідника шахів Сеті та царя Шерамі. Закінчити розмову необхідно розповіддю про вживання під час запису великих і малих величин ступенів числа 10 і, запропонувавши учням до розгляду кілька довідників з фізики, техніки, астрономії, дати їм можливість знайти у книгах приклади таких величин.

ІІІ. Формування умінь та навичок.

1. Рішення вправ № 40 г), буд), е); 51.

У результаті рішення учні роблять висновок у тому, що корисно пам'ятати: ступінь з негативною основоюпозитивна, якщо показник ступеня парний, і негативна, якщо показник ступеня непарний.

2. Рішення вправ № 41, 47.

IV. Підбиття підсумків.

Вчитель коментує та оцінює роботу учнів на уроці.

Домашнє завдання: п. 1.3, № 42, 43, 52; за бажанням: підготувати повідомлення про Діофанта, Декарта, Стевіна.

Історична довідка

Діофант- Давньогрецький математик з Олександрії (III ст.). Збереглася частина його математичного трактату «Арифметика» (6 книжок із 13), де дається розв'язання завдань, що у більшості приводяться до так званих «діофантових рівнянь», розв'язання яких шукається в раціональних позитивних числах (негативних чисел у Діофанта немає).

Для позначення невідомого та її ступенів (до шостої), знака рівності Діофант вживав скорочений запис відповідних слів. Виявлено вченими також арабський текст ще чотирьох книг «Арифметики» Діофанта. Твори Діофанта стали відправною точкою для досліджень П. Ферма, Л. Ейлера, К. Гауса та інших.

Декарт Рене (31. 03. 159 6 –11. 02. 1650) – французький філософ та математик, походив із старовинного дворянського роду. Освіту здобув у єзуїтській школі Ла Флеш в Анжу. На початку Тридцятирічної війнислужив у армії, яку залишив у 1621 році; після кількох років подорожей переселився до Нідерландів (1629), де провів двадцять років у відокремлених наукових заняттях. У 1649 році на запрошення шведської королеви переселився до Стокгольма, але незабаром помер.

Декарт заклав основи аналітичної геометрії, ввів багато сучасних позначення алгебри. Декарт значно покращив систему позначень, ввівши загальноприйняті знаки для змінних величин
(х, у,z…) та коефіцієнтів ( а, b, з…), а також позначення ступенів ( х 4 , а 5 …). Запис формул у Декарта майже нічим не відрізняється від сучасного.

В аналітичній геометрії основним досягненням Декарта став створений ним метод координат.

Стевін Симон (1548-1620) - Нідерландський вчений та інженер. З 1583 викладав у Лейденському університеті, в 1600 організував інженерну школупри Лейденському університеті, де читав лекції з математики Робота Стевіна «Десятина» (1585) присвячена десятковій системізаходів і десятковим дробам, які Симон Стевін ввів у вжиток у Європі.

То а + b = b + a, а + (b + с) = (а + b) + с.

Додавання нуля не змінює числа, а сума протилежних чиселдорівнює нулю.

Отже, будь-якого раціонального числа маємо: а + 0 = а, а + (- а)=0.

Множення раціональних чисел теж має переміщувальну і поєднувальну властивості. Іншими словами, якщо а, b і з – будь-які раціональні числа, то ab – ba, a(bc) – (ab)c.

Множення на 1 не змінює раціонального числа, а добуток числа на зворотне число дорівнює 1.

Значить, для будь-якого раціонального числа маємо:

а) x + 8 – х – 22; в) a-m+7-8+m;
б) -х-а + 12 + а -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - р.

1190. Вибравши зручний порядок обчислень, знайдіть значення виразу:

1191. Сформулюйте словами переміщувальну властивість множення ab = ba і перевірте його за:

1192. Сформулюйте словами поєднану властивість множення a(bc)=(ab)c і перевірте його за:

1193. Вибираючи зручний порядок обчислень, знайдіть значення виразу:

1194. Яке вийде число (позитивне чи негативне), якщо перемножити:

а) одне від'ємне число та два позитивні числа;
б) два негативні та одне додатне число;
в) 7 негативних та кілька позитивних чисел;
г) 20 негативних та кілька позитивних? Зробіть висновок.

1195. Визначте знак твору:

а) - 2 (-3) (-9) (-1,3) 14 (-2,7) (-2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

а) У спортивному залі зібралися Вітя, Коля, Петя, Сергій та Максим (рис. 91, а). Виявилося, що кожен із хлопчиків знайомий лише з двома іншими. Хто з ким знайомий? (Ребро графа означає "ми знайомі".)

б) У дворі гуляють брати та сестри однієї сім'ї. Хто із цих дітей хлопчики, а хто дівчатка (рис. 91, б)? (Пунктирні ребра графа означають - "я - сестра", а суцільні - "я - брат".)

1205. Обчисліть:

1206. Порівняйте:

а) 2 3 і 3 2; б) (-2) 3 та (-3) 2 ; в) 13 і 12; г) (-1) 3 та (-1) 2 .

1207. Округліть 5,2853 до тисячних; до сотих; до десятих; до одиниць.

1208. Розв'яжіть задачу:

1) Мотоцикліст наздоганяє велосипедиста. Нині між ними 23,4 км. Швидкість мотоцикліста в 3,6 рази більша за швидкість велосипедиста. Знайдіть швидкості велосипедиста та мотоцикліста, якщо відомо, що мотоцикліст наздожене велосипедиста через год.
2) Легкова машина наздоганяє автобус. Нині між ними 18 км. Швидкість автобуса становить швидкість легкової автомашини. Знайдіть швидкості автобуса та легкової автомашини, якщо відомо, що легкова автомашина наздожене автобус через год.

1209. Знайдіть значення виразу:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Перевірте ваші обчислення за допомогою мікрокалькулятора.
1210. Вибравши зручний порядок обчислень, знайдіть значення виразу:

1211. Спростіть вираз:

1212. Знайдіть значення виразу:

1213. Виконайте дії:

1214. Учням дали завдання зібрати 2,5 т металобрухту. Вони зібрали 3,2 т металобрухту. На скільки відсотків учні виконали завдання і скільки відсотків вони перевиконали завдання?

1215. Автомашина пройшла 240 км. З них 180 км вона йшла по дорозі, а решта - по шосе. Витрата бензину на кожні 10 км. путівцястановив 1,6 л, а шосе - на 25% менше. Скільки літрів бензину в середньому витрачалося на кожні 10 км?

1216. Виїжджаючи із села, велосипедист помітив на мосту пішохода, що йде в тому ж напрямку, і наздогнав його за 12 хв. Знайдіть швидкість пішохода, якщо швидкість велосипедиста 15 км/год, а відстань від села до моста 1 км 800 м?

1217. Виконайте дії:

а) – 4,8 3,7 – 2,9 8,7 – 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 +4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (-0,64) + 0,87 (-2,5).

З раціональними числамилюди, як знаєте, знайомилися поступово. Спочатку за рахунку предметів виникли натуральні числа. Спочатку їх було небагато. Так, ще недавно у тубільців островів у Торресовій протоці (що відокремлює Нову Гвінеювід Австралії) були у мові назви лише двох чисел: «урапун» (один) та «надання» (два). Островітяни вважали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (чотири) тощо. буд. Усі числа, починаючи з семи, тубільці називали словом, що позначало «багато».

Вчені вважають, що слово для позначення сотні з'явилося понад 7000 років тому, для позначення тисячі - 6000 років тому, а 5000 років тому Стародавньому Єгиптіі в Стародавньому Вавилоніз'являються назви для величезних чисел – до мільйона. Але довгий час натуральний ряд чисел вважався кінцевим: люди думали, що існує саме велике число.

Найбільший давньогрецький математик і фізик Архімед (287-212 рр. до зв. е.) вигадав спосіб опису величезних чисел. Найбільше число, яке вмів називати Архімед, було настільки велике, що для його цифрового запису знадобилася стрічка в дві тисячі разів довша, ніж відстань від Землі до Сонця.

Але записувати такі величезні числа ще не вміли. Це стало можливим лише після того, як індійськими математиками у VI ст. була придумана цифра нуль і нею стали означати відсутність одиниць у розрядах десяткового записучисла.

При розділі видобутку і надалі при вимірах величин, та й в інших схожих випадках люди зустрілися з необхідністю запровадити «ламані числа». звичайні дроби. Дії над дробами ще в середні віки вважалися найскладнішою галуззю математики. Досі німці говорять про людину, яка потрапила у скрутне становище, що вона «потрапила в дроби».

Щоб полегшити події з дробами, були придумані десяткові дроби. У Європі їх запровадив у Х585 р. голландський математик та інженер Симон Стевін.

Негативні числа з'явилися пізніше ніж дроби. Довгий час такі числа вважали «неіснуючими», «хибними» насамперед через те, що прийняте тлумачення для позитивних і негативних чисел «майно - борг» призводило до здивувань: можна скласти чи відняти «майна» чи «борги», але як розуміти твір чи приватне «майна» та «борг»?

Проте незважаючи на такі сумніви та здивування, правила множення та поділу позитивних та негативних чисел були запропоновані у III ст. грецьким математиком Діофантом (у вигляді: «Віднімання, помножене на додається, дає віднімання; віднімання на віднімається дає додається» і т. д.), а пізніше індійський математик Б хаскара (XII ст.) висловив ті ж самі правила в поняттях «майно», «борг» («Виробництво двох майна або двох боргів є майно; добуток майна та боргу є борг». Те саме правило і при розподілі).

Було встановлено, що властивості дій над негативними числами ті ж, що і над позитивними (наприклад, додавання та множення мають переміщувальну властивість). І нарешті з початку минулого століття негативні числастали рівноправними із позитивними.

Надалі в математиці з'явилися нові числа – ірраціональні, комплексні та інші. Про них ви дізнаєтесь у старших класах.

Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школи

Книги та підручники згідно календарного планування з математики 6 класу

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питаннявід учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки
Малюнок. Арифметичні діїнад раціональними числами.

Текст:

Правила при діях із раціональними числами:
. при додаванні чисел з однаковими знакаминеобхідно скласти їх модулі та перед сумою поставити їх загальний знак;
. при додаванні двох чисел з різними знакамиіз числа з великим модулем віднімають число з меншим модулем і перед отриманою різницею ставлять знак числа, що має більший модуль;
. при відніманні одного числа з іншого потрібно до зменшуваного додати число, протилежне віднімається: а - b = а + (-b)
. при множенні двох чисел з однаковими знаками перемножуються їх модулі та перед отриманим твором ставиться знак плюс;
. при множенні двох чисел із різними знаками перемножуються їхні модулі і перед одержаним твором ставиться знак мінус;
. при розподілі чисел з однаковими знаками модуль поділюваного ділять на модуль дільника і перед отриманим приватним ставиться знак плюс;
. при розподілі чисел з різними знаками модуль поділюваного ділять на модуль дільника і перед отриманим приватним ставиться знак мінус;
. при розподілі та множенні нуля на будь-яке число, що не дорівнює нулю, виходить нуль:
. на нуль ділити не можна.

ДІЙСНІ ЧИСЛА II

§ 36 Дії над раціональними числами

Як відомо, два дроби m / n і k / l рівні, тобто зображують одне і те ж раціональне число, в тому і лише в тому випадку, коли ml = nk .

Наприклад, 1/3 = 2/6, так як 16 = 32; -5 / 7 = 10 / - 14, оскільки (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, оскільки 05 = 10 і т.д.

Очевидно, що для будь-якого цілого числа r , Не рівного 0,

: m / n = m r / n r

Це випливає з очевидної рівності т (п r ) = п (т r ). Тому будь-яке раціональне число можна у вигляді відносини двох чисел нескінченним числом способів. Наприклад,

5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 і т.д,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 і т.д.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 і т.д.

У багатьох раціональних чисел здійсненні дії складання, множення, віднімання і розподілу (крім розподілу на нуль). Як визначаються ці дії.

Сума двох раціональних чисел m / n і k / l визначається формулою:

Добуток двох раціональних чисел m / n і k / l визначається формулою:

m / n k / l = mk / nl (2)

Оскільки те саме раціональне число допускає кілька записів (наприклад, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) варто було б показати, що сума і добуток раціональних чисел не залежать від того, як записані складові або співмножники. Наприклад,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

і т. д. Проте розгляд цих питань виходить за межі нашої програми.

При додаванні та множенні раціональних чисел дотримуються такі основні закони:

1) комутативний(або переміщувальний) закон складання

m / n + k / l = k / l + m / n

2) асоціативний(або сполучний) закон складання:

( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )

3) комутативний(або переміщувальний) закон множення:

m / n k / l = k / l m / n

4) асоціативний(або поєднаний) закон множення:

( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )

5) дистрибутивний(або розподільчий) закон множення щодо складання:

( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q

Складання та множення є основними діями алгебри. Що ж до віднімання і розподілу, то ці дії визначаються як зворотні по відношенню до додавання та множення.

Різницею двох раціональних чисел m / n і k / l називається таке число х , яке в сумі з k / l дає m / n . Іншими словами, різниця m / n - k / l

k / l + x = m / n

Можна довести, що таке рівняння має корінь і до того ж лише один:

Таким чином, різниця двох чисел m / n і k / l знаходиться за формулою:

Якщо числа m / n і k / l рівні між собою, то різниця їх перетворюється на нуль; якщо ці числа не рівні між собою, то різниця їх або позитивна, або негативна. При m / n - k / l > 0 кажуть, що число m / n більше числа k / l ; якщо ж m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n менше числа k / l .

Приватним від поділу раціонального числа m / nна раціональне число k / lназивається таке число х, яке у творі з k / lдає m / n . Іншими словами, приватне m / n : k / l визначається як корінь рівняння

k / l х = m / n .

Якщо k / l =/= 0, то дане рівняннямає єдиний корінь

х = ml / nk

Якщо ж k / l = 0, це рівняння чи зовсім немає коренів (при m / n =/= 0), або має нескінченно багато коренів (при m / n = 0). Бажаючи зробити операцію поділу здійсненною однозначно, умовимося не розглядати зовсім поділ на нуль. Таким чином, поділ раціонального числа m / n на раціональне число k / l визначено завжди, якщо тільки k / l =/= 0. При цьому

m / n : k / l = ml / nk

Вправи

295. Обчислити найбільш раціональним способом і вказати, якими законами дій доводиться користуватися при цьому;

а) (5 1/12 - 3 1/4) 24; в) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

б) (1/10 - 3 1/2) + 9/10