Скільки значень може набувати дискретна випадкова величина. Випадкова величина та її основні характеристики

– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.

Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:

Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.

І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:

- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).

Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту:)

Тим не менш, ваші гіпотези?

2) Безперервна випадкова величина – приймає Усечислові значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Примітка : в навчальної літературипопулярні абревіатури ДСВ та НСВ

Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею:

Досить часто зустрічається термін ряд розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».

А зараз дуже важливий момент : оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:

або, якщо записати згорнуто:

Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд:

Без коментарів.

Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:

Приклад 1

Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу:

…напевно, ви давно мріяли про такі завдання:) Відкрию секрет – я також. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.

Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти тільки одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Викриваємо «партизана»:

- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.

Контроль: , у чому потрібно переконатися.

Відповідь:

Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:

Приклад 2

У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, Серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а інші - по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.

Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.

Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.

З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:

Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!

Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу:

Наступне завдання для самостійного рішення:

Приклад 3

Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.

…я знав, що ви за ним скучили:) Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Говорячи простою мовою, це середньоочікуване значенняпри багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина набуває значення з ймовірностями відповідно. Тоді математичне очікуванняданої випадкової величини дорівнює сумі творіввсіх її значень відповідні ймовірності:

або в згорнутому вигляді:

Обчислимо, наприклад, математичне очікування випадкової величини – кількості очок, що випали на гральному кубику:

Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру:

Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:

Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.

Не вір враженням – вір цифрам!

Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри:) Ну, може, тільки заради розваги.

З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.

Творче завданнядля самостійного дослідження:

Приклад 4

Містер Х грає в європейську рулетку з наступній системі: постійно ставить 100 рублів на «червоне» Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?

Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино

Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише

ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадкові величини, їх класифікація та способи опису.

Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково прийме в результаті досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристикавипадкової події.

Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими буквами.

Розрізняють три типи випадкових величин:

Дискретні; Безперервні; Змішані.

Дискретноюназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово «дискретний» походить від латинського discretus, що означає «переривчастий, що складається з окремих частин».

Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n.

Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і в прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча в граничному випадку можливе значення нескінченно великим числом.

Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике.

Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії для підприємства протягом місяця.

Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м.

Закон розподілу випадкових величин.

Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу.

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Про випадкову величину кажуть, що вона розподілена за цим законом, або підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція.

Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини з'являтимуться частіше, а які – рідше.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (як формули) і графічно.

Найпростішою формоюЗавдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини. 1

Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини

(Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»).

Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1).

прикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.

Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначенняймовірності, отримаємо.

Розширенням поняття випадкових подій, що перебувають у появі деяких числових значень в результаті експерименту, є випадкова величинаХ.

Визначення. Випадковийназивають величину, яка приймає в результаті експерименту одне лише значення з деякої їх сукупності і невідоме заздалегідь, яке саме.

Випадкова величина, наприклад, є обгрунтовану модель опису геологічних даних, що враховує вплив різних факторівна фізичне поле.

Як і результат окремого експерименту, точне значення випадкової величини передбачити не можна, можна встановити її статистичні закономірності, тобто. визначити ймовірність значень випадкової величини. Наприклад, вимірювання фізичних властивостей гірських порідє спостереженнями відповідних випадкових величин.

Серед випадкових величин, з якими доводиться зустрічатися геологу, можна назвати два основних типи: величини дискретніта величини безперервні.

Визначення. Дискретноювипадковою величиною називається така, яка може приймати кінцеве або нескінченне лічильне безліч значень.

В якості типових прикладівдискретної випадкової величини можуть виступати всі результати польових робіт, всі результати експериментів, привезені з поля зразки та ін.

Різні значення випадкової величини утворюють повну групу подій, тобто. де - кінцеве або нескінченне. Тому можна говорити, що випадкова величинаузагальнює поняття випадкової події.

Нехай в результаті досліджень було отримано наступний ряд даних щодо кількісного складу деякої породи: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Усього було проведено 20 випробувань. Для того, щоб з даними було зручно працювати, їх перетворили: розташували отримані значення за зростанням та підрахували кількість появи кожного із значень. В результаті отримали (Таблиця 7.1):

Визначення. Розподіл даних щодо зростання називається ранжуванням.

Визначення. Спостережуване значення деякої ознаки випадкової величини називається варіантом.

Визначення. Ряд, складений з варіант, називається варіаційним рядом.

Визначення. Зміна деякої ознаки випадкової величини називається варіованим.

Визначення. Число, що показує скільки разів варіюється дана варіанта, називається частотою і позначається .

Визначення. ЙмовірністьПоява даної варіанти дорівнює відношенню частоти до загальну сумуваріаційного ряду

(1)

З урахуванням введених визначень перепишемо таблицю 7.1.

Таблиця 7.2.

Ранжований ряд	1	2	3	4	5	6
варіант	3	4	3	3	6	1
Частота	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

Ймовірність При статистичному аналізі експериментальних даних використовується головним чиномдискретні величини . У таблиці 7.3 наведено основні числові характеристики цих величин, що мають важливе значення.практичне значення

для обробки експериментальних даних.

Таблиця 7.3.	Числові характеристики випадкових величин	N п/п	Примітка
1	Характеристика (параметр) випадкової величини та її позначення	(2)	Формула знаходження характеристики випадкової величини
2	Математичне очікування	(3)	Характеризує положення випадкової величини на числовій осі
3	Середнє значення	Якщо випадкова величина є незалежною, то	Мода Це таке значення, для якого найбільшеРівна значенню, що найчастіше зустрічається. Якщо таких значень у
4	варіаційному ряду	кілька, то не визначається. Медіана	Якщо парне, то
5	Якщо непарне, то		Це таке значення, яке знаходиться у центрі ранжованого ряду.
7	Дисперсія	(6)	Характеризує дійсне розсіювання випадкової величини довкола середнього значення.
8	Коефіцієнт варіації

Поряд із дисперсією характеризує мінливість випадкової величини

Центроване нормоване ухилення

Одним із найважливіших основних понять теорії ймовірностей є поняття про випадкову величину.

Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме.

Приклади випадкових величин:

3) частота влучення при 10 пострілах.

У всіх трьох наведених прикладах випадкові величини можуть приймати окремі ізольовані значення, які можна заздалегідь перерахувати.

Так, у прикладі 1) ці значення:

у прикладі 2):

у прикладі 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такі випадкові величини, що приймають лише відокремлені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати, називаються перервними або дискретними випадковими величинами.

Існують випадкові величини іншого типу, наприклад:

1) абсцису точки влучення при пострілі;

2) помилка зважування тіла на аналітичних терезах;

3) швидкість літального апарату на момент виходу задану висоту;

4) вага навмання взятого зерна пшениці.

Можливі значення таких випадкових величин не відокремлені одна від одної; вони безперервно заповнюють деякий проміжок, який іноді має різко виражені межі, а частіше – невизначені межі, розпливчасті.

Такі випадкові величини, можливі значення яких постійно заповнюють деякий проміжок, називаються безперервними випадковими величинами.

Поняття випадкової величини грає дуже важливу рольтеоретично ймовірностей. Якщо «класична» теорія ймовірностей оперувала переважно з подіями, то сучасна теорія ймовірностей вважає за краще, де тільки можливо, оперувати з випадковими величинами.

Наведемо приклади типових для теорії ймовірностей прийомів переходу від подій до випадкових величин.

Виробляється досвід, внаслідок якого може виникнути або з'явитися певна подія. Замість події можна розглянути випадкову величину , що дорівнює 1, якщо подія відбувається, і дорівнює 0, якщо подія не відбувається. Випадкова величина, очевидно, є перервною; вона має два можливі значення: 0 і 1. Ця випадкова величина називається характеристичною випадковою величиною події. Насправді часто замість подій виявляється зручніше оперувати їх характерними випадковими величинами. Наприклад, якщо проводиться ряд дослідів, у кожному з яких можлива поява події, то загальне числоПоява події дорівнює сумі характеристичних випадкових величин події у всіх дослідах. При вирішенні багатьох практичних завдань користування таким прийомом виявляється дуже зручним.

З іншого боку, дуже часто для обчислення ймовірності події зручно пов'язати цю подію з якоюсь безперервною випадковою величиною (або системою безперервних величин).

Нехай, наприклад, вимірюються координати якогось об'єкта для того, щоб побудувати точку М, що зображує цей об'єкт на панорамі (розгортці) місцевості. Нас цікавить подія , яка полягає в тому, що помилка R у положенні точки М не перевищить заданого значення (рис. 2.4.1). Позначимо випадкові помилки у вимірі координат об'єкта. Очевидно, подія рівнозначна попаданню випадкової точки М з координатами у межі кола радіуса з центром у точці О. Іншими словами, для виконання події випадкові величини і повинні задовольняти нерівності

Імовірність події є нічим іншим, як ймовірність виконання нерівності (2.4.1). Ця можливість може бути визначена, якщо відомі властивості випадкових величин .

Такий органічний зв'язок між подіями та випадковими величинами вельми характерний для сучасної теоріїймовірностей, яка де тільки можливо, переходить від «схеми подій» до «схеми випадкових величин». Остання схема порівняно з першою є набагато більш гнучкий і універсальний апарат для вирішення завдань, що відносяться до випадкових явищ.

Випадкова величина- це величина, яка набирає в результаті досвіду одне з безлічі значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її виміру не можна точно передбачити.

Формальне математичне визначеннянаступне: нехай - імовірнісний простір, тоді випадковою величиною називається функція , що вимірюється щодо і борелевської σ-алгебри на . Імовірнісне поведінка окремої (незалежно з інших) випадкової величини повністю описується її розподілом.

Визначення [ред.]

Простір елементарних подій[ред.]

Простір елементарних подій у разі кидання гральної кістки

Якщо кидається гральна кістка, то в результаті верхньою граннюможе бути одна з шести граней з кількістю точок від однієї до шести. Випадання будь-якої грані в даному випадкутеоретично ймовірностей називається елементарною подією , тобто

Безліч всіх граней утворює простір елементарних подій, підмножини якого називаються випадковими подіями. У разі одноразового підкидання ігрової кістки прикладами подій є

Алгебра подій

Безліч випадкових подій утворює алгебру подій, якщо виконуються наступні умови:

Якщо замість третьої умови задовольняє іншу умову: об'єднання лічильного підродини також належить , то безліч випадкових подій утворює σ-алгебру подій.

Алгебра подій є окремим випадком σ-алгебри множин.

Найменша серед усіх можливих -алгебр, елементами якої є всі інтервали на речовій прямій, називається борелівською σ-алгеброю на безлічі речових чисел.

Ймовірність [ред.]

Якщо кожній елементарній події поставити у відповідність число , для якого виконується умова:

то вважається, що задані ймовірності елементарних подій. Імовірність події як лічильного підмножини простору елементарних подій визначається як сума ймовірностей тих елементарних подій, які належать цій події. Вимога рахунку є важливою, оскільки, інакше сума буде не визначена.

Розглянемо приклад визначення ймовірності різних випадкових подій. Наприклад, якщо подія є порожньою безліччю, її ймовірність дорівнює нулю :

Якщо подією є простір елементарних подій, його ймовірність дорівнює одиниці:

Імовірність події (підмножини простору елементарних подій) дорівнює сумі ймовірностей тих елементарних подій, які включає в себе подію, що розглядається.

Визначення випадкової величини [ред.]

Випадковою величиною називається функція , вимірна щодо та борелівської σ-алгебри на .

Випадкову величину можна визначити й іншим еквівалентним способом. Функція називається випадковою величиною, якщо для будь-яких дійсних чисел і безліч подій, таких що , належить.

Приклади [ред.]

дорівнює середньому арифметичному всіх значень, що приймаються.

.

,

тобто математичне очікування не визначено.

Класифікація [ред.]

Випадкові величини можуть набувати дискретних, безперервних і дискретно-безперервних значень. Відповідно випадкові величини класифікують на дискретні, безперервні та дискретно-безперервні (змішані).

На схемі випробувань може бути визначена окрема випадкова величина (одномірна/скалярна), так і ціла системаодновимірних взаємопов'язаних випадкових величин (багатомірна/векторна).

• Приклад змішаної випадкової величини - час очікування під час переходу через автомобільну дорогуу місті на нерегульованому перехресті.
• У нескінченних схемах (дискретних чи безперервних) вже спочатку елементарні результатизручно описувати кількісно. Наприклад, номери градацій типів нещасних випадків під час аналізу ДТП; час безвідмовної роботи приладу під час контролю якості тощо.
• Числові значення, описують результати дослідів, можуть характеризувати необов'язково окремі елементарні результати у схемі випробувань, а й відповідати якимось складнішим подіям.

З одного боку, з однією схемою випробувань та з окремими подіями в ній одночасно може бути пов'язано відразу кілька числових величин, які необхідно аналізувати спільно.

• Наприклад, координати (абсцису, ордината) якогось розриву снаряда при стрільбі за наземною метою; метричні розміри (довжина, ширина тощо) деталі при контролі якості; результати медобстеження (температура, тиск, пульс та ін.) при діагностиці хворого; дані перепису населення (за віком, статтю, достатком тощо).

Оскільки значення числових характеристик схеми випробування відповідають у схемі деяким випадковим подіям(З їх певними ймовірностями), то й самі ці значення є випадковими (з тими самими ймовірностями). Тому такі числові характеристики прийнято називати випадковими величинами. У цьому розклад ймовірностей за значеннями випадкової величини називається законом розподілу випадкової величини.

Методи опису [ред.]

Частково задати випадкову величину, описавши цим її ймовірнісні властивості як окремої випадкової величини, можна з допомогою функції розподілу, щільності ймовірності і характеристичної функції, визначаючи ймовірності можливих її значень. Функція розподілу F(x) є ймовірністю того, що значення випадкової величини менше речового числа x. З цього визначення випливає, що можливість потрапляння значення випадкової величини в інтервал

Випадкова величина, взагалі кажучи, може набувати значень у будь-якому вимірному просторі. Тоді її частіше називають випадковим вектором чи випадковим елементом. Наприклад,

також [ред.]

• Випадковий процес
• Функція розподілу
• Математичне очікування

[ред.]

1. 1 2 Чернова Н. І.Розділ 1. § 2. Елементарна теоріяймовірностей// Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
2. Чернова Н. І.Глава 3. § 1. Алгебра та сигма-алгебра подій // Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
3. Чернова Н. І.РОЗДІЛ 1 § 2. Елементарна теорія ймовірностей// Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.
4. 1 2 Чернова Н. І.Глава 6. Випадкові величини та його розподілу § 1. Випадкові величини // Теорія ймовірностей. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.

Література [ред.]

• Гнєденко Б. В.Курс теорії імовірності. - 8-ме вид. дод. та випр. – М.: Едиторіал УРСС, 2005. – 448 с.
• Математичний енциклопедичний словник/ Гол. ред. Прохоров Ю. В.. - 2-ге вид. - М: « Радянська енциклопедія», 1998. – 847 с.
• Тихонов В.І., Харісов В.М. Статистичний аналізта синтез радіотехнічних пристроїв та систем. - Навчальний посібник для ВНЗ. - М: Радіо і зв'язок, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0
• Чернова Н. І.Теорія імовірності. - Навчальний посібник. - Новосибірськ: Новосибірський держ. ун-т, 2007. – 160 с.