Способи розв'язання квадратних рівнянь. Що являє собою іграшка-головоломка
для вирішення математики. Швидко знайти розв'язання математичного рівнянняв режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє вирішити рівняннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентного рівняння онлайн. Під час вивчення практично будь-якого розділу математики різних етапах доводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення рівнянь онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчне рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівнянняз невідомими параметрами в режимі онлайн. Рівнянняслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних рівнянь можна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини рівняньможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді рівняньі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне рівняння , тригонометричне рівнянняабо рівняннямістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природні науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання рівнянь. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором вирішення рівнянь алгебри онлайн, тригонометричних рівнянь онлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайнабо рівняньіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження коріння різних математичних рівняньресурсу www.. Вирішальна рівняння онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішеннярівняньна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння та миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити рівняння онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні рівнянь онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо рівнянняіз невідомими параметрами.
Інтелект людини потребує постійних тренувань анітрохи не менше, ніж тіло у фізичних навантаженнях. Кращий спосіброзвивати, розширювати здібності цієї якості психіки – розгадувати кросворди та вирішувати головоломки, найвідомішою з яких, звичайно, є кубик Рубіка. Проте не всім вдається його зібрати. Впоратися з цим завданням допоможе знання схем і формул вирішення складання цієї хитромудрої іграшки.
Що являє собою іграшка-головоломка
Механічний куб із пластмаси, зовнішні грані якого складаються з малих кубиків. Розмір іграшки визначається кількістю малих елементів:
- 2 х 2;
- 3 х 3 (початкова версія кубика Рубіка була саме 3 х 3);
- 4 х 4;
- 5 х 5;
- 6 х 6;
- 7 х 7;
- 8 х 8;
- 9 х 9;
- 10 х 10;
- 11 х 11;
- 13 х 13;
- 17 х 17.
Будь-який з малих кубів може обертатися три сторони по осях, представленим у вигляді виступів фрагмента одного з трьох циліндрів великого куба. Так конструкція може вільно обертатися, але при цьому малі деталі не випадають, а тримаються один за одного.
Кожна грань іграшки включає 9 елементів, пофарбованих в один із шести кольорів, що знаходяться один навпроти одного попарно. Класичною комбінацією відтінків є:
- червоний навпроти помаранчевого;
- білий навпроти жовтого;
- синій навпроти зеленого.
Однак сучасні версії можуть бути забарвлені в інші поєднання.
Сьогодні можна зустріти кубики Рубіка різного кольорута форм
Це цікаво. Кубик Рубіка існує навіть у версії сліпих. Там замість колірних квадратів є рельєфна поверхня.
Мета складання головоломки полягає в упорядкування малих квадратів так, щоб вони утворили грань великого куба одного кольору.
Історія появи
Ідея створення належить угорському архітектору Ерне Рубіку, який насправді створював не іграшку, а наочний посібник для своїх студентів. У такий цікавий спосіб кмітливий викладач планував пояснити теорію математичних груп (алгебраїчних структур). Сталося це в 1974 році, а вже через рік винахід був запатентований як іграшка-головоломка - настільки прикипіли душею майбутні архітектори (і не тільки вони) до хитромудрого та яскравого посібника.
Випуск першої серії головоломки був присвячений новому 1978 році, але у світ іграшка вийшла завдяки підприємцям Тібору Лакзі та Тому Кремеру.
Це цікаво. З моменту появи кубика Рубіка (магічного куба, чарівного куба) було продано близько 350 мільйонів екземплярів по всьому світу, що ставить головоломку на перше місце за популярністю серед іграшок. Не кажучи вже про десятки комп'ютерних ігор, заснованих на такому принципі збирання.
Кубик Рубіка - це знакова іграшка для багатьох поколінь
У 80-ті роки з кубиком Рубіка познайомилися жителі СРСР, а в 1982 в Угорщині було організовано перший чемпіонат світу зі збирання головоломки на швидкість – спідкубінг. Тоді кращий результатстановив 22,95 секунди (для порівняння: у 2017 році встановлено новий світовий рекорд: 4,69 секунди).
Це цікаво. Любителі збирати різнокольорову головоломку настільки прив'язані до іграшки, що одних змагань зі збирання на швидкість їм мало. Тому в Останніми рокамиз'явилися чемпіонати з вирішення головоломки із заплющеними очима, однією рукою, ногами.
Що таке формули для кубика Рубіка
Зібрати чарівний куб - це означає скласти всі маленькі деталі так, щоб вийшла ціла грань одного кольору, потрібно скористатися алгоритмом Бога. Цей термін означає набір з мінімуму дій, які дозволять дозволити головоломку, що має кінцеве числоходів та комбінацій.
Це цікаво. Крім кубика Рубіка, алгоритм Бога застосовується до таких головоломок, як пірамідка Мефферта, Такен, Ханойська вежа та ін.
Оскільки магічний куб Рубіка був створений як математичний посібник, то його складання розкладається за формулами.
Складання кубика Рубика ґрунтується на використанні спеціальних формул
Важливі визначення
Щоб навчитися розуміти схеми вирішення головоломки, необхідно познайомитися з назвами її частин.
- Кутом називається поєднання трьох кольорів. У кубику 3 х 3 їх буде 3, у версії 4 х 4 – 4 тощо. У іграшці 12 кутів.
- Ребром позначають два кольори. Їх у кубику 8 штук.
- Центр містить один колір. Усього їх 6.
- Грані, як уже було сказано, це одночасно обертаються елементи головоломки. Ще вони називаються шарами або скибочками.
Значення у формулах
Слід зазначити, що формули зі складання складені на латиниці - саме такі схеми широко представлені в різних посібниках з роботи з головоломкою. Але є й русифіковані версії. У переліку нижче дано обидва варіанти.
- Фронтальна грань (фронт чи фасад) – це передня грань, яка знаходиться кольором до нас [Ф] (або F – front).
- Задня грань – це грань, яка знаходиться центром від нас [З] (або B – back).
- Права Грань – грань, що знаходиться праворуч [П] (або R – right).
- Ліва Грань – грань, яка знаходиться зліва [Л] (або L – left).
- Нижня Грань – грань, яка знаходиться внизу [Н] (або D – down).
- Верхня Грань – грань, яка знаходиться вгорі [В] (або U – up).
Фотогалерея: частини кубика Рубіка та їх визначення
Для роз'яснення позначень у формулах використовуємо російську версію – так буде зрозуміліше новачкам, але для тих, хто захоче перейти на професійний рівеньспідкубінгу без міжнародної системи позначень на англійськоюне обійтись.
Це цікаво. Міжнародна системапозначення прийнято Всесвітньою асоціацією кубика (World Cube Association, WCA).
- Центральні кубики позначені у формулах однієї малою літерою- ф, т, п, л, в, н.
- Кутові - трьома літерами за найменуванням граней, наприклад, фпв, флні тощо.
- Величезними літерами Ф, Т, П, Л, В, Н позначаються елементарні операції повороту відповідної грані (шару, скибочки) куба на 90 ° за годинниковою стрілкою.
- Позначення Ф, Т, П, Л, В, Н відповідають повороту граней на 90° проти годинникової стрілки.
- Позначення Ф 2 П 2 і т. д. говорять про подвійний поворот відповідної грані (Ф 2 = ФФ).
- Літерою С позначають поворот середнього шару. Підрядковий індекс показує, з боку якої грані слід дивитися, щоб зробити цей поворот. Наприклад, С П - з боку правої грані, С Н - з боку нижньої, С "Л - з боку лівої, проти годинникової стрілки і т. д. Зрозуміло, що С Н = С", С П = С "Л і т.п.
- Літера О - поворот (обіг) всього куба навколо своєї осі. О Ф - з боку фасадної грані за годинниковою стрілкою і т.д.
Запис процесу (Ф "П") Н 2 (ПФ) означає: повернути фасадну грань проти годинникової стрілки на 90°, те ж - праву грань, повернути нижню грань двічі (тобто на 180°), повернути праву грань на 90° годинної стрілки, повернути фасадну грань на 90 ° за годинниковою стрілкою.
Невідомийhttp://dedfoma.ru/kubikrubika/kak-sobrat-kubik-rubika-3x3x3.htm
Початківцям важливо навчитися розуміти формули
Як правило, в інструкціях зі збирання головоломки в класичних кольорах рекомендується тримати головоломку жовтим центром вгору.
Ця порада особливо важлива для новачків.
Це цікаво. Є сайти, які візуалізують формули. Причому швидкість процесу збирання можна встановлювати самостійно. Наприклад, alg.cubing.net
Як вирішити головоломку Рубіка
- Існує два типи схем:
- для новаків;
для професіоналів.
Їхня відмінність у складності формул, а також швидкості складання. Для новачків, звичайно, будуть кориснішими відповідні їх рівню володіння головоломкою інструкції. Але і вони, потренувавшись, через час зможуть складати іграшку за 2-3 хвилини.
Як зібрати стандартний куб 3 х 3
Почнемо зі складання класичного 3 х 3 кубики Рубика за допомогою схеми з 7 кроків.
Класичною версією головоломки є кубик Рубіка 3 х 3
Це цікаво. Зворотний процес, застосовуваний на вирішення тих чи інших неправильно розташованих кубиків, є зворотну послідовність дії, описаного формулою. Тобто формулу необхідно прочитати праворуч, а обертати шари проти годинникової стрілки, якщо було вказано пряме переміщення, і навпаки: пряме, якщо описано протилежне.
- Покрокова інструкція збирання
Починаємо зі збирання хреста верхньої грані. Потрібний кубик опускаємо вниз, повернувши відповідну бічну грань (П, Т, Л) і виводимо на фасадну грань операцією М, Н" або Н 2 . шару. Після цього проводимо операцію а) або б) першого етапу. щоб він був правильно зорієнтований, ставши на своє місце.
- Збираємо хрест верхньої лінії Знаходиться потрібний кутовий кубик (що має кольори граней Ф, В, Л) і тим самим прийомом, який описаний для першого етапу, виводиться в лівий кут обраної фасадної грані (або жовтої). Тут може бути три випадки орієнтації цього кубика. Порівнюємо свій випадок з малюнком і застосовуємо одну з операцій другого етапу, били в. Крапками на схемі зазначено місце, на яке має стати потрібний кубик. Шукаємо на кубі решту трьох кутових кубиків і повторюємо описаний прийом для переміщення їх на свої місця верхньої грані.Перші два етапи майже ні в кого не викликають труднощів: досить легко можна стежити за своїми діями, тому що вся увага звернена на один шар, а що робиться у двох, що залишилися, - зовсім неважливо.
Підбираємо верхній шар
- Наша мета: знайти необхідний кубик і спочатку вивести вниз на фасадну грань. Якщо він унизу - простим поворотом нижньої грані до збігу з кольором фасаду, а якщо він у середньому шарі, то його потрібно спочатку опустити вниз будь-якої з операцій а)або б), а потім поєднати за кольором з кольором фасадної грані та зробити операцію третього етапу а) чи б). Результат: зібрано два шари.Наведені тут формули є дзеркальними у сенсі цього терміну. Наочно побачити це можна, якщо поставити праворуч або ліворуч від кубика дзеркало (ребром до себе) і зробити будь-яку з формул, у дзеркалі: побачимо другу формулу. Тобто операції з фасадною, нижньою, верхньою (тут не бере участі), і тильною (теж не бере участь) гранями змінюють знак на протилежний: було за годинниковою стрілкою, проти годинникової, і навпаки. А ліва грань змінюється з правої, і, відповідно, змінює напрямок повороту на протилежне.
Шукаємо потрібний кубик і виводимо його вниз на фасадну грань
- До мети наводять операції, що переміщують бортові кубики однієї грані, що не порушують кінцевого рахунку порядку в зібраних шарах. Один із процесів, що дозволяє підібрати всі бортові грані, дано на малюнку. Там же показано і що при цьому відбувається з іншими кубиками грані. Повторюючи процес, вибравши іншу фасадну грань, можна поставити на місце усі чотири кубики. Результат: реберні деталі стоять на своїх місцях, але два з них, або навіть усі чотири, можуть бути невірно орієнтовані. Важливо: перш ніж розпочати виконання цієї формули, дивимося, які кубики вже стоять на своїх місцях – вони можуть бути неправильно орієнтовані.
Якщо жодного чи один, то пробуємо повернути верхню грань так, щоб два, що знаходяться на двох сусідніх бічних гранях (фв+пв, пв+тв, тв+лв, лв+фв), стали на свої місця, після цього орієнтуємо куб так , як показано малюнку, і виконуємо наведену цьому етапі формулу. Якщо не виходить поворотом верхньої грані поєднати деталі, що належать сусіднім граням, то виконуємо формулу за будь-якого положення кубиків верхньої грані один раз і пробуємо ще раз поворотом верхньої грані поставити на свої місця 2 деталі, що знаходяться на двох сусідніх бокових гранях.
- Враховуємо, що кубик, що розгортається, повинен бути на правій грані, на малюнку він позначений стрілками (кубик пв). На малюнках а, б, і представлені можливі випадки розташування невірно орієнтованих кубиків (позначені точками). Використовуючи формулу у разі а), виконуємо проміжний поворот В", щоб вивести другий кубик на праву грань, і завершальний поворот, який поверне верхню грань у вихідне положення, у випадку б) проміжний поворот В 2 і завершальний теж В 2 , а в випадку в) проміжний поворот потрібно виконувати три рази, після перевороту кожного кубика і завершити також поворотом В. Багатьох бентежить те, що після першої частини процесу (ПС Н) 4 потрібний кубик розгортається як треба, але порядок в зібраних шарах порушується. з пантелику та деяких змушує кинути на півдорозі майже зібраний куб. Виконавши проміжний поворот, не звертаючи уваги на «поломку» нижніх шарів, виконуємо операції (ПС Н) 4 з другим кубиком (друга частина процесу), і все стає на свої місця. Результат: зібрано хрест.
Результатом цього етапу буде зібраний хрест
- Кути останньої грані ставимо на свої місця, використовуючи 8-ходовий процес, зручний для запам'ятовування, - прямий, що переставляє три кутові деталі в напрямку за годинниковою стрілкою, і зворотний, що переставляє три кубики в напрямку проти годинникової стрілки. Після п'ятого етапу, як правило, хоча б один кубик та сяде на своє місце, хай і неправильно орієнтовано. (Якщо після п'ятого етапу жоден із кутових кубиків не сів на своє місце, то застосовуємо будь-який з двох процесів для будь-яких трьох кубиків, після цього точно один кубик буде на своєму місці.). Результат: всі кутові кубики зайняли свої місця, але два з них (а може й чотири) можуть бути орієнтовані неправильно.
Кутові кубики сидять на своїх місцях
- Багаторазово повторюємо послідовність поворотів ПФ "П"Ф. Повертаємо куб так, щоб кубик, який хочемо розгорнути, був у правому верхньому куткуфасаду. 8-ходовий процес (2 х 4 ходи) поверне його на 1/3 обороту за годинниковою стрілкою. Якщо кубик ще не зорієнтувався, повторюємо 8-ходівку ще раз (у формулі це відображено індексом «N»). Не звертаємо уваги на те, що нижні шари при цьому прийдуть у безлад. На малюнку показано чотири випадки розташування неправильно орієнтованих кубиків (вони позначені точками). У разі а) потрібен проміжний поворот і завершальний В", у випадку б) - проміжний і завершальний поворот В 2 , у випадку в) - поворот виконується після розвороту кожного кубика до правильної орієнтації, а завершальний В 2 у випадку г) - проміжний поворот також виконується після розвороту кожного кубика до правильної орієнтації, і завершальним в цьому випадку теж буде поворот. Результат: остання грань зібрана.
Можливі помилки показані точками
Формули для виправлення розташування кубиків можуть бути показані так.
Формули для виправлення неправильно орієнтованих кубиків на останньому етапі
Суть методу Джессіки Фрідріх
Способів складання головоломки існує кілька, але одним з найбільш запам'ятовується варіант, розроблений Джесікою Фрідріх - професором університету в Бінгемтоні (штат Нью-Йорк), що займається розробки методик приховування даних у цифрових зображеннях. Ще будучи підлітком, Джесіка настільки захопилася кубиком, що 1982 стала чемпіонкою світу з спідкубінгу і згодом не залишила свого хобі, розробивши формули для швидкого складання «магічного куба». Один із найпопулярніших варіантів складання куба називається CFOP - за першими літерами чотирьох кроків складання.
Інструкція:
- Збираємо хрест на верхній грані, який складається з кубиків на ребрах нижньої грані. Цей етап називається Cross – хрест.
- Збираємо нижній та середній шари, тобто грань, на якій розташований хрест, та проміжний шар, що складається з чотирьох бічних деталей. Назва цього кроку F2L (First two layers) – перші два шари.
- Збираємо грань, що залишилася, не звертаючи уваги на те, що не всі деталі на своїх місцях. Етап називається OLL (Orient the last layer), що перекладається як «орієнтація останнього шару».
- Останній рівень - PLL (Permute the last layer) - полягає в правильному розміщеннікубиків верхнього шару.
Відеоінструкції за методом Фрідріх
Спосіб, запропонований Джесікою Фрідріх, настільки сподобався спідкуберам, що найбільш просунуті любителі розробляють власні методики прискорення складання кожного з етапів, запропонованих автором.
Відео: прискорення збирання хреста
Відео: збираємо перші два шари
Відео: працюємо з останнім шаром
Відео: останній рівень збірки за Фрідріхом
2 х 2
Кубик Рубіка 2х2 або міні-кубик Рубіка також складається пошарово, починаючи з нижнього рівня.
Міні-кубик – це полегшена версія класичної головоломки
Інструкція для початківців з легкого збирання
- Збираємо нижній шар так, щоб кольори чотирьох останніх кубиків збіглися, а два кольори, що залишилися, були такими ж, як і кольори сусідніх деталей.
- Приступаємо до упорядкування верхнього шару. Звертаємо увагу, що на даному етапіціль не поєднати кольори, а поставити кубики по місцях. Починаємо з визначення кольору верху. Тут все просто: це буде колір, який не з'явився в нижньому шарі. Повертаємо будь-який з верхніх кубиків так, щоб він потрапив у положення, коли перетинаються три кольори елемента. Зафіксувавши кут, розташовуємо елементи, що залишилися. Використовуємо для цього дві формули: одна для зміни діагональних кубиків, інша – для сусідніх.
- Завершуємо верхній шар. Всі операції проводимо попарно: обертаємо один кут, а потім інший, але в протилежному напрямку (наприклад, перший за годинниковою стрілкою, другий проти). Можна працювати відразу з трьома кутами, але в цьому випадку комбінація буде тільки одна: або за годинниковою або проти годинникової стрілки. Між обертаннями кутів, повертаємо верхню грань, щоб кут, що відпрацьовується, опинився в правому верхньому кутку. Якщо працюємо з трьома кутами, то правильно орієнтований їх ставимо ззаду зліва.
Формули для обертання кутів:
- (ВФПВ · П "В" Ф") ² (5);
- В²Ф·В²Ф”В”Ф·В”Ф”(6);
- ФВФ² · ЛФЛ² · ВЛВ² (7).
Для повороту одразу трьох кутів:
- (ФВПВ"П"Ф"В")² (8);
- ФВ·Ф”В·ФВ²·Ф”В² (9);
- "Л"Ф"Л"Ф"В"Ф (10).
Фотогалерея: збірка кубика 2 х 2
Відео: метод Фрідріх для кубика 2 х 2
Збираємо найскладніші версії кубика
До таких відносяться іграшки з кількістю деталей від 4х4 і аж до 17х17.
Моделі кубика на багато елементів зазвичай мають кути, що округляють, для зручності маніпуляцій з іграшкою.
Це цікаво. У теперішній моментйде розробка версії 19х19.
При цьому слід пам'ятати: що вони створені на основі кубика 3 х 3, тому й збірка вибудовується за двома напрямками.
- Збираємо центр, щоб залишилися елементи кубика 3 х 3.
- Працюємо за схемами для збирання початкового варіантаіграшки (найчастіше кубери користуються способом Джесікі Фрідріх).
4 х 4
Ця версія називається «Помста Рубика».
Інструкція:
Складання моделей 5 х 5, 6 х 6 і 7 х 7 аналогічне попередньому, тільки за основу центру беремо Велика кількістькубиків.
Відео: складання кубика Рубіка 5 х 5
Працюємо над вирішенням головоломки 6 х 6
Цей кубик досить незручний у роботі: велика кількістьмаленьких деталей вимагає особливої уваги. Тому відеоінструкції розділимо на чотири частини: для кожного етапу збирання.
Відео: як зібрати центр у кубику 6 х 6, частина 1
Відео: спарювання реберних елементів у кубику 6 х 6, частина 2
Відео: спарювання чотирьох елементів головоломці 6 х 6, частина 3
Відео: остаточне складання кубика Рубіка 6 х 6, частина 4
Відео: збираємо головоломку 7 х 7
Як вирішити головоломку-піраміду
Ця головоломка помилково вважається різновидом кубика Рубіка. Але насправді іграшка Мефферта, яка ще називається "Японський тетраедр" або "Молдавська пірамідка", з'явилася на кілька років раніше наочного посібникавикладача-архітектора.
Пірамідка Мефферта помилково називається головоломкою Рубіка
Для роботи з цією головоломкою важливо знати її пристрій, адже механізм роботи має ключову роль для складання. Японський тетраедр складається з:
- чотирьох елементів осі;
- шести реберних;
- чотирьох кутових.
Кожна деталь осі має звернені на три сусідні грані маленькі трикутники. Тобто, кожен елемент можна обертати без загрози його випадання з конструкції.
Це цікаво. Існує 75582720 варіантів розташування елементів пірамідки. На відміну від кубика Рубіка, це не так багато. Класичний варіант головоломки налічує 43252003489856000 можливих варіантівконфігурацій.
Інструкція та схема
Відео: проста методика складання пірамідки повністю
Метод для дітей
Використання формул і застосування способів прискорення складання для дітей, які тільки починають знайомство з головоломкою, буде занадто складним завданням. Тому завдання дорослих у тому, щоб максимально спростити пояснення.
Кубик Рубіка це не тільки можливість зайняти дитину корисною і цікавим заняттям, а й спосіб розвитку терпіння, посидючості
Це цікаво. Навчання дітей краще починати з моделі 3х3.
Інструкція (куб 3 х 3):
- Визначаємося з кольором верхньої грані та беремо іграшку так, щоб центральний кубик потрібного кольору був угорі.
- Збираємо верхній хрест, але при цьому другий колір середнього шару був таким самим, як і колір бічних граней.
- Виставляємо кути верхньої грані. Приступаємо до другого шару.
- Збираємо останній шар, але починаємо з відновлення першої послідовності. Потім кути ставимо так, щоб вони збігалися із центральними деталями граней.
- Перевіряємо розташування середніх деталей останньої грані, змінюючи за необхідності їх розташування.
Складання кубика Рубіка в будь-якій його варіації - відмінне тренування для розуму, спосіб зняти стрес і відволіктися. Вирішувати головоломку здатна навчитися навіть дитина, використовуючи доступне для віку пояснення. Поступово можна освоювати більш хитромудрі способи складання, покращувати власні показники часу, а там і до змагань з спідкубінгу недалеко. Головне, завзятість та терпіння.
Поділіться з друзями!Цілі:
- Систематизувати та узагальнити знання та вміння на тему: Рішення рівнянь третього та четвертого ступеня.
- Поглибити знання, виконавши ряд завдань, частина з яких не знайома або за своїм типом, або способом вирішення.
- Формування інтересу до математики через вивчення нових глав математики, виховання графічної культури через побудову графіків рівнянь
Тип уроку: комбінований.
Обладнання:графопроектор.
Наочність:таблиця "Теорема Вієта".
Хід уроку
1. Усний рахунок
а) Чому дорівнює залишок від розподілу многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двочлен х-а?
б) Скільки коренів може мати кубічне рівняння?
в) За допомогою чого ми вирішуємо рівняння третього та четвертого ступеня?
г) Якщо b парне число у квадратному рівнянні, то чому дорівнює Д і х 1; х 2
2. Самостійна робота(У групах)
Скласти рівняння, якщо відоме коріння (відповіді до завдань закодовано) Використовується «Теорема Вієта»
1 група
Коріння: х1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Скласти рівняння:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
з = -2-3 +6 +6-12-18 = -23; з = -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
е=1(-2)(-3)6=36
х 4 -2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0(Це рівняння вирішує потім 2 група на дошці)
Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 задовольняє рівняння, отже =1 корінь рівняння. За схемою Горнера
р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36
р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, х 2 =-2
р 2 (x) = х 2 -3х -18 = 0
х 3 =-3, х 4 = 6
Відповідь: 1;-2;-3;6 сума коренів 2 (П)
2 група
Коріння: х1 = -1; х 2 = х 3 = 2; х 4 =5
Скласти рівняння:
B=-1+2+2+5-8; b = -8
с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; з = 15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
е=2(-1)2*5=-20;е=-20
8+15+4х-20=0 (це рівняння вирішує на дошці 3 група)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
р 4 (1) = 1-8 +15 +4-20 = -8
р 4 (-1) = 1 +8 +15-4-20 = 0
р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20
р 3 (2) = 8 -36 +48 -20 = 0
р 2 (x) = х 2 -7 х +10 = 0 х 1 = 2; х 2 =5
Відповідь: -1; 2; 2; 5 сума коренів 8 (Р)
3 група
Коріння: х1 = -1; х 2 = 1; х 3 =-2; х 4 =3
Скласти рівняння:
В=-1+1-2+3=1;в=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
е=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3- 7х 2 + х + 6 = 0(Це рівняння вирішує потім на дошці 4 група)
Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 6.
р = ±1;±2;±3;±6
р 4 (1) = 1-1-7 +1 +6 = 0
р 3 (x) = х 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1 +7-6 = 0
р 2 (x) = х 2 -х -6 = 0; х 1 = -2; х 2 =3
Відповідь:-1;1;-2;3 Сума коренів 1(О)
4 група
Коріння: х1 = -2; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 =-3
Скласти рівняння:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36
х 4 +4х 3 - 5х 2 - 36х -36 = 0(Це рівняння вирішує потім 5 група на дошці)
Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -36
р = ±1;±2;±3…
р(1) = 1 + 4-5-36-36 = -72
р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0
р 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3
Відповідь: -2; -2; -3; 3 Сума коренів-4 (Ф)
5 група
Коріння: х1 = -1; х 2 = -2; х 3 =-3; х 4 =-4
Скласти рівняння
х 4+ 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0(Це рівняння вирішує потім 6група на дошці)
Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 24.
р = ±1;±2;±3
р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
р 3 (х) = x-3 + 9х 2 + 26x + 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О
р 2 (х) = x 2 + 7x + 12 = 0
Відповідь:-1;-2;-3;-4 сума-10 (І)
6 група
Коріння: х1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Скласти рівняння
B=1+1-3+8=7;b=-7
з = 1 -3 +8-3 +8-24 = -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
х 4 - 7х 3- 13х2+43x - 24 = 0 (Це рівняння вирішує потім 1 група на дошці)
Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -24.
р 4 (1) = 1-7-13 +43-24 = 0
р 3 (1) = 1-6-19 +24 = 0
р 2 (x) = х 2 -5x - 24 = 0
х 3 =-3, х 4 = 8
Відповідь: 1; 1; -3; 8 сума 7 (Л)
3. Розв'язання рівнянь із параметром
1. Розв'язати рівняння х 3 + 3х 2 + mх – 15 = 0; якщо один із коренів дорівнює (-1)
Відповідь записати в порядку зростання
R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0
х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0
За умовою х 1 = – 1; Д=1+15=16
Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0
х 2 = -1-4 = -5;
х 3 = -1 + 4 = 3;
Відповідь: - 1; -5; 3
У порядку зростання: -5;-1;3. (Ь Н И)
2. Знайти все коріння многочлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, якщо залишки від його поділу на двочлени х-1 та х +2 рівні.
Рішення: R = Р 3 (1) = Р 3 (-2)
Р 3 (1) = 1-3 + а-2а + 6 = 4-а
Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а
x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(х-3) (х 2 -6) = 0
3) а = 0, х 2 -0 * х 2 +0 = 0; х 2 = 0; х 4 =0
а=0; х = 0; х = 1
а>0; х = 1; х=а ± √а
2. Скласти рівняння
1 група. Коріння: -4; -2; 1; 7;
2 група. Коріння: -3; -2; 1; 2;
3 група. Коріння: -1; 2; 6; 10;
4 група. Коріння: -3; 2; 2; 5;
5 група. Коріння: -5; -2; 2; 4;
6 група. Коріння: -8; -2; 6; 7.
Квадратні рівняння.
Квадратне рівняння- алгебраїчне рівняння загального вигляду
де x - вільна змінна,
a, b, c, - коефіцієнти, причому
Вираз 
називають квадратним тричленом.
Способи вирішення квадратних рівнянь.
1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.
Розв'яжемо рівняння х 2 + 10х - 24 = 0. Розкладемо ліву частину на множники:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).
Отже, рівняння можна переписати так:
(х + 12) (х - 2) = 0
Так як добуток дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 = 0.
2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.
Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0. Виділимо у лівій частині повний квадрат.
Для цього запишемо вираз х 2 + 6х наступному вигляді:
х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.
В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвійний добутокх на 3. Для того щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 , так як
х 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .
Перетворимо тепер ліву частину рівняння
х 2 + 6х - 7 = 0,
додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:
х 2 + 6х - 7 =х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.
Таким чином, дане рівняння можна записати так:
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.
Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
Помножимо обидві частини рівняння
ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а і маємо послідовно:
4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Приклади.
а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D> 0,два різні корені;
Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при
b 2 - 4ac >0, рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різних кореня.
б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,
D = 0,один корінь;
Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4ac = 0, то рівняння
ах 2 + bх + с = 0має єдиний корінь,
в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Це рівняннякоріння немає.
Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4ac< 0 , рівняння
ах 2 + bх + с = 0не має коріння.
Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знакомплюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без вчетверенного твору першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.
4. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.
Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд
х 2 + px + c = 0.(1)
Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).
а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0), то рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.
Наприклад,
x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2і x 2 = 1,так як q = 2 > 0і p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7і x 2 = - 1,так як q = 7 > 0і p = 8> 0.
б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q< 0 ), то рівняння має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p< 0 , або негативний, якщо p > 0 .
Наприклад,
x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5і x 2 = 1,так як q= - 5< 0 і p = 4> 0;
x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9і x 2 = - 1,так як q = - 9< 0 і p = - 8< 0.
приклади.
1) Розв'яжемо рівняння 345х 2 - 137х - 208 = 0.
Рішення.Так як а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0),то
x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.
Відповідь: 1; -208/345.
2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 = 0.
Рішення.Так як а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0),то
х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.
Відповідь: 1; 115/132.
Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2k– парне число, то формулу коріння
приклад.
Розв'яжемо рівняння 3х2 - 14х + 16 = 0.
Рішення. Маємо: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7;
D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D > 0,два різні корені;
Відповідь: 2; 8/3
Ст. Наведене рівняння
х 2 + рх + q = 0
збігається з рівнянням загального виду, в якому а = 1, b = рі с = q. Тому для наведеного квадратного рівняння формула коренів
Набуває вигляду:
Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р- парне число.
приклад.Розв'яжемо рівняння х 2 - 14х - 15 = 0.
Рішення.Маємо: х 1,2 = 7±
Відповідь: х 1 = 15; х 2 = -1.
5. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь графічне.
приклад. Розв'язати рівняння х2 – 2х – 3 = 0.
Побудуємо графік функції у = х2 - 2х - 3
1) Маємо: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Значить, вершиною параболи є точка (1; -4), а віссю параболи - пряма х = 1.
2) Візьмемо на осі х дві точки, симетричні щодо осі параболи, наприклад, точки х = -1 і х = 3.
Маємо f(-1) = f(3) = 0. Побудуємо на координатній площині точки (-1; 0) та (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводимо параболу (рис. 68).
Корінням рівняння х2 – 2х – 3 = 0 є абсциси точок перетину параболи з віссю х; отже, коріння рівняння таке: х1 = - 1, х2 - 3.
Проблема впливу вчителя на учня
У якому слові чітко виділено літера, що означає ударний голосний звук?
Найкращі історичні романи Які історичні романи