Поняття про формули чисельного інтегрування. Навчальний посібник з математичних методів у географії

Сторінка 1

Кафедра «Вищої математики»
Реферат

Виконав: Матвєєв Ф.І.
Перевірила: Бурлова Л.В.

Улан-Уде.2002

1. Чисельні методи інтегрування

2.Вивод формули Сімпсона

3.Геометрична ілюстрація

4.Вибір кроку інтегрування

5.Приклади

1. Численні методи інтегрування
Завдання чисельного інтегруванняполягає у обчисленні інтеграла

за допомогою ряду значень підінтегральної функції
.

Завдання чисельного інтегрування доводиться вирішувати для функцій, заданих таблично, функцією, інтеграли від яких не беруться елементарних функціях, і т.д. Розглянемо лише функції однієї змінної.

Замість функції, яку необхідно проінтегрувати, проінтегруємо інтерполяційний багаточлен. Методи, засновані на заміні підінтегральної функції інтерполяційним багаточленом, дозволяють за параметрами багаточлена оцінити точність результату або заданої точності підібрати ці параметри.

Численні методи умовно можна згрупувати за способом апроксимації підінтегральної функції.

Методи Ньютона-Котеса засновані на апроксимації функції
поліномом ступеня . Алгоритм цього класу відрізняється лише ступенем полінома. Як правило, вузли апроксимуючого полінома – рівновідносні.

Методи сплайн-інтегрування базуються на апроксимації функції
сплайном-кусковим поліномом.

У методах найвищої алгебраїчної точності (метод Гаусса) використовуються спеціально вибрані вузли, що нерівновідносять, що забезпечують мінімальну похибку інтегрування при заданій (вибраній) кількості вузлів.

Методи Монте-Карло використовуються найчастіше при обчисленні кратних інтегралів, вузли вибираються випадковим чином, відповідь має імовірнісний характер.

сумарна похибка

похибка усічення

похибка округлення

Незалежно від обраного методу у процесі чисельного інтегрування необхідно обчислити наближене значення інтеграла та оцінити похибку. Похибка зменшується зі збільшенням n-кількості

розбиття відрізка
. Однак при цьому зростає похибка заокруглення

з допомогою підсумовування значень інтегралів, обчислених на часткових відрізках.

Похибка усічення залежить від властивостей підінтегральної функції та довжини часткового відрізка.
2. Висновок формули Сімпсона
Якщо для кожної пари відрізків
побудувати многочлен другого ступеня, потім проінтегрувати його та скористатися властивістю адитивності інтеграла, то отримаємо формулу Сімпсона.

Розглянемо підінтегральну функцію
на відрізку
. Замінимо цю підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом Лагранжа другого ступеня, що збігається з
в точках:

Проінтегруємо
:

Формула:

і називається формулою Сімпсона.

Отримане для інтегралу
значення збігається з площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю , Прямими
,
та параболою, що проходить через точки

Оцінимо тепер похибку інтегрування за формулою Сімпсона. Вважатимемо, що у на відрізку
існують безперервні похідні
. Складемо різницю

До кожного з цих двох інтегралів можна застосувати теорему про середнє, оскільки
безперервна на
і функція неотрицательна першому інтервалі інтегрування і непозитивна другого (тобто змінює знака кожному з цих інтервалів). Тому:

(ми скористалися теоремою про середнє, оскільки
- безперервна функція;
).

Диференціюючи
двічі і застосовуючи потім теорему про середнє, отримаємо для
інший вираз:

, де

З обох оцінок для
слід, що формула Сімпсона є точною для многочленів ступеня не вище третього. Запишемо формулу Сімпсона, наприклад, у вигляді:

,
.

Якщо відрізок
інтегрування занадто великий, його розбивають на
рівних частин(вважаючи
), після чого до кожної пари сусідніх відрізків
,
,...,
застосовують формулу Сімпсона, саме:

Запишемо формулу Сімпсона у загальному вигляді:

(1)

(2)

Похибка формули Сімпсона – методу четвертого порядку:

,
(3)

Оскільки метод Сімпсона дозволяє отримати високу точність, якщо
не надто велика. В іншому випадку метод другого порядку може дати більшу точність.

Наприклад, для функції форма трапеції при
для
дає точний результат
тоді як за формулою Сімпсона отримуємо

3. Геометрична ілюстрація

На відрізку
довжиною 2h будується парабола, що проходить через три точки
,
. Площа під параболою, укладена між віссю OX та прямими
, приймають рівної інтегралу
.

Особливістю застосування формули Сімпсона є той факт, що число розбиття відрізка інтегрування – парне.

Якщо ж кількість відрізків розбиття - непарне, то для перших трьох відрізків слід застосувати формулу, що використовує параболу третього ступеня, що проходить через чотири перші точки для апроксимації підінтегральної функції.

(4)

Це формула Сімпсона "трьох восьмих".

Для довільного відрізка інтегрування
формула (4) може бути "продовжена"; при цьому число часткових відрізків має бути кратно трьом (
точок).

m = 2,3,... (5)

- ціла частина

Можна отримати формули Ньютона-Котеса старших порядків:

(6)

- кількість відрізків розбиття;

- ступінь полінома;

- похідна -го порядку в точці
;

- Крок розбиття.

У таблиці 1 виписані коефіцієнти
. Кожен рядок відповідає одному набору проміжків
вузлами для побудови многочлена k-ого ступеня. Щоб скористатися цією схемою для більшої кількостінаборів (наприклад, при k=2 та n=6), потрібно «продовжити» коефіцієнти, а потім скласти їх.

Таблиця 1:

k	C0	A0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

Алгоритм оцінки похибки формул трапеції та Сімпсона можна записати у вигляді:
(7),

де - Коефіцієнт, що залежить від методу інтегрування та властивостей підінтегральної функції;

h – крок інтегрування;

p – порядок методу.

Правило Рунге застосовують обчислення похибки шляхом подвійного прорахунку інтеграла з кроками h і kh.

(8)

(8) – апостеріорна оцінка. Тоді Iуточн. +Ro (9),
уточнене значення інтеграла
.

Якщо порядок методу невідомий, необхідно обчислити I втретє з кроком
, тобто:

із системи трьох рівнянь:

з невідомими I,Аі p отримуємо:

(10)

З (10) випливає
(11)

Таким чином, метод подвійного прорахунку, використаний необхідну кількість разів, дозволяє обчислити інтеграл із заданим ступенем точності. Вибір необхідної кількості розбиття здійснюється автоматично. Можна використовувати багаторазове звернення до підпрограм відповідних методів інтегрування, не змінюючи алгоритмів цих методів. Однак для методів, що використовують рівновідносні вузли, вдається модифікувати алгоритми та зменшити вдвічі кількість обчислень підінтегральної функції за рахунок використання інтегральних сум, накопичених за попередніх кратних розбиття інтервалу інтегрування. Два наближені значення інтеграла
і
, що обчислюються за методом трапеції з кроками і
, пов'язані співвідношенням:

Аналогічно для інтегралів, обчислених за формулою з кроками і
, справедливі співвідношення:

(13)

4. Вибір кроку інтегрування
Для вибору кроку інтегрування можна користуватися виразом залишкового члена. Візьмемо, наприклад, залишковий член формули Сімпсона:

Якщо 

, то 

.

За заданою точності  методу інтегрування з останньої нерівності визначаємо відповідний крок.

,
.

Однак такий спосіб вимагає оцінки
(що практично завжди можливо). Тому користуються іншими прийомами визначення оцінки точності, які під час обчислень дозволяють вибрати потрібний крок h.

Розберемо один із таких прийомів. Нехай

,

де - наближене значення інтеграла з кроком . Зменшити крок вдвічі, розбивши відрізок
на дві рівні частини
і
(
).

Припустимо тепер, що
змінюється не дуже швидко, так що
майже постійна: . Тоді
і
, звідки
, тобто
.

Звідси можна зробити такий висновок: якщо
, тобто якщо
,
, а - потрібна точність, то крок підходить для обчислення інтегралу з достатньою точністю. Якщо ж
, Розрахунок повторюють з кроком і потім порівнюють
і
і т.д. Це називається правилом Рунге.

Однак при застосуванні правила Рунге необхідно враховувати величину похибки обчислень: із зменшенням абсолютна похибкаобчислень інтеграла збільшується (залежність
від назад пропорційна) і за досить малих може виявитися більшою похибки методу. Якщо перевищує
, то для цього крокузастосовувати правило Рунге не можна і бажана точність не може бути досягнута. У таких випадках необхідно збільшувати значення .

При виведенні правила Рунге ви користувалися припущенням, що
. Якщо є лише таблиця значень , то перевірку
«на постійність» можна зробити безпосередньо за таблицею Подальший розвитокнаведених алгоритмів дозволяє перейти до адаптивних алгоритмів, в яких за рахунок вибору різного кроку інтегрування в різних частинахвідрізка інтегрування в залежності від властивостей
зменшується кількість обчислень підінтегральної функції.

Інша схема уточнення значень інтеграла – процес Ейтнена. Проводиться обчислення інтеграла з кроками
, причому
. Обчислення значень. Тоді
(14).

За мірою точності методу Сімпсона приймають величину:

5. Приклади
приклад 1.Обчислити інтеграл
за формулою Сімпсона, якщо
задана таблицею. Оцінити похибку.

Таблиця 3.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Рішення: Обчислимо за формулою (1) при

інтеграл.

За правилом Рунґе отримуємо
Приймаємо.

приклад 2.Обчислити інтеграл

Рішення: Маємо
. Звідси h =
=0.1. Результати обчислень наведено у таблиці 4.

Таблиця 4.

Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона

i
0	0		y0=1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000=yn
		3,45955(1)	2,72818(2)

За формулою Сімпсона отримаємо:

Підрахуємо похибку отриманого результату. Повна похибка складається з похибок дій та залишкового члена . Очевидно:-0,289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

Замінимо підінтегральну функцію, що входить (2.50), інтерполяційним багаточленом Лагранжа нульового ступеня, що проходить через середину відрізка - точку х = (а + Ь)/2(Рис. 2.5). Площа криволінійної трапеції можна замінити площею прямокутника, тобто.

Формула (2.52) зветься ФОРМУЛИ ПРЯМОКУТНИКІВ або ФОРМУЛИ СЕРЕДНІХ. Її похибка становить

Розкладання функції f(x)у ряд щодо середини відрізка має вигляд

Підставивши вираз (2.54) у (2.53), отримаємо

Рис. 2.5

При обчисленні помилки інтегрування знищився як перший, а й другий член розкладання, що з симетричним вибором вузла інтегрування. І хоча за побудовою формула точна для багаточленів нульового порядку, Вибір симетричного вузла інтерполяції призвів до того, що формула точна для будь-якої лінійної функції.

Значення залишкового члена у формулі прямокутників (2.53) може бути велике, тому що різниця (6 - а) може бути досить великою. Для підвищення точності введемо сітку

з досить дрібним кроком h t= jc (- x t _ j і застосуємо формулу прямокутників на кожному кроці сітки. Тоді отримаємо узагальнену формулу прямокутників

з величиною залишкового члена

На рівномірній сітці з кроком h t «= х ( - x t _ j = const формула (2.56) спрощується та має вигляд

величина залишкового члена становить Замінюючи на (2.58) суму інтегралом

Для справедливості оцінки залишкового члена (2.58) необхідне існування безперервної другої похідної; якщо друга похідна f"x)- кусково-безперервна, то вдається зробити лише мажорантну оцінку, замінюючи f"(x)її максимальною величиною на [а, 6]. Тоді, якщо позначити М2 = max | f"(x)| [а залишковий член

У тому випадку, коли функція f(x) Задано у вигляді таблиці, її значення в середині інтервалу невідомо. Це значення, як правило, інтерполюванням, що призводить до погіршення точності формули.

У разі таблично заданих функційзручно як вузли інтерполяції вибрати початок і кінець відрізка інтегрування, тобто замінити функцію f(x)багаточлен Лагранжа першого ступеня. Маємо

Рис. 2.6

В цьому випадку величина інтеграла, рівна площікриволінійної трапеції, приблизно замінюється величиною площі трапеції (рис. 2.6). Тому отримуємо

маючи на увазі, що х 0 = а, х г = Ь.Ця формула називається ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЙ. При використанні формули трапецій для

оцінки похибки інтегрування обчислимо J dx за

формул (2.18). Маємо

Похибка формули трапецій вдвічі більша за похибку формули прямокутників. Це тим, що вибір у формулі прямокутників як вузла інтерполяції симетричного вузла призводить до підвищення її точності.

Для підвищення точності формули (2.61) введемо на відрізку [а, Ь]сітку

Підраховуючи значення інтеграла для кожного інтервалу та підсумовуючи ці значення, отримуємо узагальненуформулу трапецій

зі значенням залишкового члена

Ці формули спрощуються на сітці з постійним кроком Л = Л (= Xj- д:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Введемо позначення М 2 ~ max |ГХ^)1(а &] На практиці користуються мажорантною оцінкою величини залишкового члена

Таким чином, формула трапецій (як і формула прямокутників) має другий порядок точності щодо кроку сітки, і похибка асимптотично прагне до нуля при h-» 0 з точністю до членів більше високого порядкумалості.

Для підвищення порядку точності формули чисельного інтегрування замінимо підінтегральну криву параболою - інтерполяційним багаточленом Лагранжа другого ступеня, обравши як вузли інтерполяції кінці та середину відрізка інтегрування: х 0 = а, х х ~ (а + Ь)/ 2, х г = Ъ(Рис. 2.7).

У цьому випадку, проінтегрувавши інтерполяційний багаточлен для рівновіддалених вузлів, отримаємо

Рис. 2.7

При цьому значення залишкового члена R ~ J Д 2 (х) dx оцінюється наближеним співвідношенням °

Формулу (2.67) називають ФОРМУЛОЮ СИМПСОНУ. Для нерівновіддалених вузлів х 0 Xj х 2 величина Fскладає

Як і попередніх двох випадках, підвищення точності формули (2.67) введемо сітку з досить малим кроком. Підсумовуючи значення нтегралів, отриманих (2.67) для кожного інтервалу, отримуємо узагальнену формулу Сімпсона (парабол), яка на рівномірній сітці має вигляд

а величина залишкового члена -

Таким чином, формула парабола має четвертий порядок точності щодо кроку сітки. Введемо позначення М 4= = max | / IV (x) | :

.
Тоді.
Використовуватимемо лінійну інтерполяцію підінтегральної функції.
Якщо замість відрізка [-1; 1] взяти в якості вузлів інтерполяції рухливі вузли t1, t2, то потрібно вибрати ці значення так, щоб площа трапеції, обмеженою зверху прямою, що проходить через точки A1 (t1, φ(t1)) та A2 (t2, φ(t2)) була рівною інтегралу від будь-якого багаточлена деякої найвищого ступеня.
Вважаючи, що це багаточлен третього ступеня, обчислимо t1, t2, які виходять рівними і відрізняючись лише нумерацією значень.
Далі розбиваючи відрізок інтегрування на n частин, застосовуючи до кожного їх описану вище ідею, можна отримати формулу Гауса:

чисельне інтегрування формула програмування

Вступ

1. Методи чисельного інтегрування

2. Квадратурні формули

3. Автоматичний вибір кроку інтегрування

Висновок

бібліографічний список

Вступ

Мета реферату полягає у вивчення та порівняльний аналізметодів чисельного інтегрування функцій; реалізація цих методів як машинних програм мовою високого рівнята практичне вирішення завдань чисельного інтегрування на ЕОМ

При вирішенні інженерних завдань часто виникає потреба у обчисленнях значень певного інтегралувиду

. (1)

Якщо функція безперервна на відрізку [ a , b] та її первісна може бути визначена через відому функцію, то обчислення такого інтеграла провадиться за формулою Ньютона – Лейбніца:

В інженерних завданняхотримати значення інтеграла в аналітичному вигляді вдається рідко. Крім того, функція f (x) може бути задана, наприклад, таблицею експериментальних даних. Тому на практиці для обчислення певного інтегралу використовують спеціальні методи, В основі яких лежить апарат інтерполювання.

Ідея таких методів полягає у наступному. Замість того, щоб обчислювати інтеграл за формулою (1), спочатку обчислюють значення функції f (x i) = y iу деяких вузлах x i Î[ a , b]. Потім вибирається інтерполяційний багаточлен P (x), що проходить через отримані точки ( x i , y i), який використовується при обчисленні наближеного значення інтеграла (1):

При реалізації такого підходу формули чисельного інтегрування приймають наступний загальний вигляд:

, (2) - вузли інтерполювання, A i- Деякі коефіцієнти, R- Залишковий член, що характеризує похибку формули. Зауважимо, що формули виду (2) називають квадратурними формулами.

Геометричний сенс чисельного інтегрування полягає у обчисленні площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f (х), віссю абсцис та двома прямими х = аі х = b.Наближене обчислення площі призводить до відкидання квадратурних формулах залишкового члена R, Що характеризує похибку методу, яку додатково накладається обчислювальна похибка.

1. Методи чисельного інтегрування

В прикладних дослідженняхчасто виникає необхідність обчислення значення певного інтегралу

Як відомо з курсу математики, аналітично обчислення інтеграла можна провести не завжди. І навіть у тому випадку, коли вдається знайти аналітичний вигляд цього інтеграла, процедура обчислення дає наближений результат, тому постає завдання наближеного значення цього інтеграла.

Суть наближеного обчислення полягає у двох операціях: 1. у виборі кінцевого числазамість n; 2. у виборі точки

у відповідному відрізку.

Залежно від вибору

ми отримуємо різні формули для обчислення інтеграла: Формули лівих та правих прямокутників (5), (6)

(5)

(6)

Формула трапеції:

Формула Сімпсона

b, a - кінці розглянутого відрізка.

Для порівняння результатів обчислення вищевикладеними формулами чисельного інтегрування обчислимо трьома способами наступний інтеграл, розділивши відрізок на 6 рівних відрізків: h=

За формулою лівих прямокутників:

За формулою трапеції:

За формулою Сімпсона:

А результат отриманий аналітично дорівнює

Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що чисельний методінтегрування за формулою Сімпсон є більш точним, але використовується в загальному випадкупри розподілі відрізка на парне число проміжків.

2. Квадратурні формули

Формули прямокутниківє найпростішими квадратурними формулами. Розіб'ємо відрізок інтегрування [ a, b] на прівних частин довжиною

. Зауважимо, що величину hназивають кроком інтегрування. У точках розбиття х 0 = а ,х 1 = a + h , ..., x n = bвідзначимо ординати y 0 ,y 1 ,…,y nкривий f (x), тобто. обчислимо у i = f (x i), x i = a + ih = x i -1 + h (i =). На кожному відрізку завдовжки hпобудуємо прямокутник зі сторонами hі y i, де i =, тобто. за значеннями ординат, обчислених у лівих кінцях відрізків. Тоді площа криволінійної трапеції, що визначає величину інтеграла (1), приблизно можна представити у вигляді суми площ прямокутників (рис. 1). Звідси отримаємо формулу прямокутників:
. (3)

Якщо при обчисленні інтегральної суми брати значення функції f (x) над лівих, а правих кінцях відрізків довжиною hщо показано на рис. 1 пунктирною лінією, то отримаємо другий варіант формули прямокутників:

. (4)

Третій варіант формули прямокутників можна отримати при використанні значень функції f (x), обчислених у середній точці кожного відрізка довжини h(Рис. 2):

. (5)

Формули (3), (4) та (4) називають формулами лівих, правих та центральних прямокутників відповідно.

Формула Сімпсон.Розіб'ємо інтервал інтегрування на 2 nрівних частин довжиною

. На кожному відрізку [ x i , x i+2] підінтегральну функцію f (х) замінимо параболою, що проходить через точки ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Тоді наближене значення інтеграла визначається формулою Сімпсона: . (7)

При обчисленнях на ЕОМ зручніша наступна формула:

Метод Сімпсона - один з найбільш широко відомих та застосовуваних методів чисельного інтегрування, він дає точні значення інтеграла при інтегруванні багаточленів до третього порядку включно.

Формула Ньютон.Наближене значення інтеграла за формулою Ньютона обчислюється так:

де число ділянок розбиття кратно трьох, тобто. складає 3 n. При розробці програм для ЕОМ зручніше використовувати еквівалентну формулу:

Метод Ньютона дає точні значення інтеграла при інтегруванні багаточленів до четвертого порядку включно.

3. Автоматичний вибір кроку інтегрування

В результаті розрахунку за формулами (3) - (8) набувають наближеного значення інтеграла, яке може відрізнятися від точного на деяку величину, звану похибкою інтегрування. Помилка визначається формулою залишкового члена R, Різною для кожного з методів інтегрування. Якщо потрібно обчислити значення інтеграла з похибкою, що не перевищує e, необхідно вибрати такий крок інтегрування hщоб виконувати нерівність R (h) £e. На практиці використовують автоматичний вибір значення h, Що забезпечує досягнення заданої похибки Спочатку обчислюють значення інтегралу I (n), розбиваючи інтервал інтегрування на пділянок, потім число ділянок подвоюють і обчислюють інтеграл I (2n). Процес обчислень продовжують доти, доки стане справедливим умова.