Лінійне рівняння із трьома невідомими. Розв'язання рівнянь із трьома невідомими з математики

Системою лінійних рівнянь називається сукупність аналізованих разом кількох лінійних рівнянь.

У системі може бути будь-яке число рівнянь із будь-яким числом невідомих.

Рішенням системи рівнянь називається сукупність значень невідомих, що задовольняє всім рівнянням системи, тобто звертає їх у тотожності.

Система, має рішення, називається спільної, інакше – несовместной.

Для вирішення системи застосовують різноманітні методи.

Нехай
(число рівнянь дорівнює числу невідомих).

Метод Крамера

Розглянемо розв'язання системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими:

(7)

Для знаходження невідомих
застосуємо формулу Крамера:

(8)

де - визначник системи, елементи якого є коефіцієнти при невідомих:

виходить шляхом заміни першого стовпця визначника стовпцем вільних членів:

Аналогічно:

;
.

приклад 1.Вирішити систему за формулою Крамера:

Рішення: Скористаємося формулами (8):

;

Відповідь:
.

Для будь-якої системи лінійних рівнянь з невідомими можна стверджувати:

Матричний спосіб вирішення

Розглянемо рішення системи (7) трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими матричним способом.

Використовуючи правила множення матриць, цю систему рівнянь можна записати як:
, де

Нехай матриця невироджена, тобто.
. Помножуючи обидві частини матричного рівняння зліва на матрицю
, зворотну матрицю , отримаємо:
.

Враховуючи що
, маємо

(9)

приклад 2.Вирішити систему матричним способом:

Рішення: Введемо матриці:

- з коефіцієнтів за невідомих;

- Стовпець вільних членів.

Тоді систему можна записати матричним рівнянням:
.

Скористайтеся формулою (9). Знайдемо зворотну матрицю
за формулою (6):

;

Отже,

Отримали:

Відповідь:
.

Метод послідовного виключення невідомих (метод Гауса)

Основна ідея застосовуваного методу полягає у послідовному виключенні невідомих. Пояснимо зміст цього методу на системі трьох рівнянь із трьома невідомими:

Припустимо, що
(якщо
, то змінимо порядок рівнянь, обравши першим рівнянням те, в якому коефіцієнт при не дорівнює нулю).

Перший крок: а) ділимо рівняння
на
; б) множимо отримане рівняння на
і віднімаємо з
; в) потім отримане множимо на
і віднімаємо з
. В результаті першого кроку будемо мати систему:

Другий крок: робимо з рівнянням
і
так само, як із рівняннями
.

У результаті вихідна система перетворюється на так званому ступінчастому виду:

З перетвореної системи всі невідомі визначаються послідовно легко.

Зауваження. Практично зручніше приводити до ступінчастого вигляду не саму систему рівнянь, а матрицю з коефіцієнтів, за невідомих, і вільних членів.

Приклад 3.Вирішити методом Гауса систему:

Перехід від однієї матриці до іншої записуватимемо за допомогою знака еквівалентності ~.

~
~
~
~

~
.

По отриманій матриці виписуємо перетворену систему:

Відповідь:
.

Якщо система має єдине рішення, то ступінчаста система приводиться до трикутної, тобто до такої, в якій останнє рівняння міститиме одне невідоме. У разі невизначеної системи, тобто такої, в якій число невідомих більше за число лінійно незалежних рівнянь, трикутної системи не буде, оскільки останнє рівняння міститиме більше одного невідомого (система має безліч рішень). Коли ж система несумісна, то після приведення її до ступінчастого вигляду вона міститиме хоча б одне значення виду
, тобто рівняння, де всі невідомі мають нульові коефіцієнти, а права частина відмінна від нуля (система рішень немає). Метод Гауса застосовується до довільної системи лінійних рівнянь (при будь-яких
і ).

Теорема існування рішення системи лінійних рівнянь

При розв'язанні системи лінійних рівнянь шляхом гауса відповідь питанням, спільна чи несовместная дана система може бути дано лише наприкінці обчислень. Однак часто буває важливо вирішити питання про спільність чи несумісність системи рівнянь, не знаходячи самих рішень. Відповідь це питання дає наступна теорема Кронекера-Капелли.

Нехай дана система
лінійних рівнянь з невідомими:

(10)

Для того, щоб система (10) була спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи

дорівнював рангу її розширеної матриці

Причому, якщо
, система (10) має єдине рішення; якщо ж
, то система має безліч рішень.

Розглянемо однорідну систему (усі вільні члени дорівнюють нулю) лінійних рівнянь:

Ця система завжди спільна, оскільки має нульове рішення .

У наступній теоремі дано умови, за яких система має також рішення, відмінні від нульового.

Терема. Для того, щоб однорідна система лінійних рівнянь мала нульове рішення, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:

Таким чином, якщо
, то рішення-єдине. Якщо
, то існує безліч інших ненульових рішень. Вкажемо один із способів відшукання рішень для однорідної системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими у разі
.

Можна довести, що якщо
, а перше і друге рівняння непропорційні (лінійно незалежні), то третє рівняння є наслідком перших двох. Розв'язання однорідної системи трьох рівнянь із трьома невідомими зводиться до розв'язання двох рівнянь із трьома невідомими. З'являється так зване вільне невідоме, якому можна надавати довільні значення.

Приклад 4.Знайти усі рішення системи:

Рішення. Визначник цієї системи

Тому система має нульові рішення. Можна помітити, що перші два рівняння, наприклад, непропорційні, отже вони лінійно незалежні. Третє є наслідком перших двох (виходить, якщо до першого рівняння додати подвоєне друге). Відкинувши його, отримаємо систему двох рівнянь із трьома невідомими:

Вважаючи, наприклад,
, отримаємо

Вирішуючи систему двох лінійних рівнянь, виразимо і через :
. Отже, рішення системи можна записати у вигляді:
, де - довільне число.

Приклад 5.Знайти усі рішення системи:

Рішення. Неважко бачити, що у цій системі лише одне незалежне рівняння (два інших йому пропорційні). Система з трьох рівнянь із трьома невідомими звелася до одного рівняння із трьома невідомими. З'являються два вільні невідомі. Знайшовши, наприклад, з першого рівняння
при довільних і , Отримаємо рішення цієї системи. Загальний вид рішення можна записати, де і - Довільні числа.

Питання для самоперевірки

Сформулюйте правило Крамеру для вирішення системи лінійних рівнянь з невідомими.

У чому сутність матричного способу розв'язання систем?

У чому полягає метод Гаусса розв'язання системи лінійних рівнянь?

Сформулюйте теорему Кронекер-Капеллі.

Сформулюйте необхідну та достатню умову існування ненульових рішень однорідної системи лінійних рівнянь.

Приклади для самостійного вирішення

Знайдіть усі рішення систем:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Визначте, за яких значень і система рівнянь

а) має єдине рішення;

б) немає рішення;

в) має безліч рішень.

16.
; 17.
;

Знайти всі рішення наступних однорідних систем:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Відповіді до прикладів

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- довільне число.

6.
, де - довільне число.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, де - довільне число.

12. , де і - Довільні числа.

13.
; 14.
де і - Довільні числа.

15. Ǿ; 16. а)
; б)
; в)
.

17. а)
; б)
; в)
;

18.
; 19.
; 20., де - довільне число.

21. , де - довільне число.

22. , де - довільне число.

23. , де і - Довільні числа.

Для системи складаємо головний визначник

і обчислюємо його.

Потім складаємо додаткові визначники

та обчислюємо їх.

За правилом Крамера рішення системи знаходять за формулами

;
;
,якщо

Обчислимо:

За формулами Крамера знаходимо:

Відповідь: (1; 2; 3)

Обчислимо:

Оскільки головний визначник
, а хоча б один додатковий не дорівнює нулю (у нашому випадку
), то рішення у системи немає.

Обчислимо:

Оскільки всі визначники дорівнюють нулю, то система має безліч рішень, яке можна знайти так.

Вирішіть самостійно системи:

а)
б)

Відповідь: а) (1; 2; 5) б) ;;

Практичне заняття №3 на тему:

Скалярний твір двох векторів та його додаток

1. Якщо даний
і
, то скалярний твір знаходимо за формулою:

∙

2.Якщо, то скалярний твір цих двох векторів знаходимо за формулою

1. Дано два вектори
і

Їхній скалярний твір знаходимо так:

2. Дано два вектори:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

скалярне твір знаходять так:

3.
,

3.1 Знаходження роботи постійної сили на прямолінійній ділянці колії

1) Під дією сили у 15Н тіло перемістилося по прямій на 2 метри. Кут між силою та напрямком переміщення =60 0 . Обчислити роботу сили з переміщення тіла.

Дано:

Рішення:

2) Дано:

Рішення:

3) З точки М(1; 2; 3) у точку N(5; 4; 6) перемістилося тіло під дією сили 60Н. Кут між напрямком сили та вектором переміщення =45 0 . Обчислити роботу, яку виконує ця сила.

Рішення: знаходимо вектор переміщення

Знаходимо модуль вектора переміщення:

За формулою
знаходимо роботу:

3.2 Визначення ортогональності двох векторів

Два вектори ортогональні, якщо
, тобто

так як

-Не ортогональні

-ортогональні

3) Визначити, при якому  вектори
і
взаємно-ортогональні.

Так як
, то
, значить

Вирішіть самостійно:

а)

. Знайти їхній скалярний твір.

б) Обчислити, яку роботу виконує сила
якщо точка її застосування, рухаючись прямолінійно, перемістилася з точки M (5; -6; 1) в точку N (1; -2; 3)

в) Визначити, чи ортогональні вектори
і

Відповіді: а) 1 б) 16 в) так

3.3.Знаходження кута між векторами

. Знайти .

Знаходимо

підставляємо у формулу:

1). Дані вершини трикутника А(3; 2; -3), В (5; 1; -1), С (1; -2; 1). Знайти кут при вершині А.

Підставимо у формулу:

Вирішіть самостійно:

Дано вершини трикутника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Визначити внутрішній кут на вершині А.

Відповідь: 90 про

Практичне заняття №4 на тему:

ВЕКТОРНИЙ ВИРОБ ДВІХ ВЕКТОРІВ І ЙОГО ДОДАТОК.

Формула для знаходження векторного твору двох векторів:

має вид

1) Знайти модуль векторного твору:

Складемо визначник та обчислимо його (за правилом Саррюса або за теоремою про розкладання визначника за елементами першого рядка).

Перший метод: за правилом Саррюса

2-й спосіб: розкладемо визначник за елементами першого рядка.

2) Знайти модуль векторного твору:

4.1. ВИЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ПАРАЛЕЛОГРАМА, ПОБУДОВАНОГО НА ДВОХ ВЕКТОРАХ.

1) Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах

2). Знайти векторний твір та його модуль

4.2. ВИЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА

Приклад: дані вершини трикутника А(1; 0; -1), В (1; 2; 0), С (3; -1; 1). Обчислити площу трикутника.

Спочатку знайдемо координати двох векторів, що виходять із однієї вершини.

Знайдемо їхній векторний твір

4.3. ВИЗНАЧЕННЯ КОЛІНЕАРНОСТІ ДВОХ ВЕКТОРІВ

Якщо вектор
і
колінеарні, то

, тобто координати векторів мають бути пропорційними.

а) Дані вектора:
,
.

Вони колінеарні тому, що
і

після скорочення кожного дробу виходить співвідношення

б) Дані вектора:

.

Вони не колінеарні, тому що
або

Вирішіть самостійно:

а) При яких значеннях m та n вектора
колінеарні?

Відповідь:
;

б) Знайти векторний твір та його модуль
,
.

Відповідь:
,
.

Практичне заняття №5 на тему:

ПРЯМА ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ

Завдання № 1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2; 3) паралельно прямий

1. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямий
.

- це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та початковою ординатою (
). Тому
.

2. Оскільки прямі MN і АС паралельні, їх кутові коефіцієнти рівні, тобто.
.

3. Для знаходження рівняння прямої АС скористаємось рівнянням прямої, що проходить через точку з цим кутовим коефіцієнтом:

. У цю формулу замість і підставимо координати точки А(-2; 3), замість підставимо - 3. В результаті підстановки отримаємо:

Відповідь:

Завдання №2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(1; -2) паралельно прямий .

1. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої.

Це загальне рівняння прямої, яке задається формулою . Порівнюючи рівняння і бачимо, що А = 2, В = –3. Кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням , знаходиться за формулою
. Підставивши в цю формулу А = 2 і В = -3 отримаємо кутовий коефіцієнт прямої MN. Отже,
.

2. Оскільки прямі MN та КС паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні:
.

3. Для знаходження рівняння прямої КС скористаємося формулою рівняння прямої, що проходить через точку з цим кутовим коефіцієнтом
. У цю формулу замість і підставимо координати точки К(-2; 3), замість

Завдання № 3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(–1; –3) перпендикулярно до прямої .

1. – це загальне рівняння прямої, що у загальному вигляді задається формулою .

і бачимо, що А = 3, В = 4.

Кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням знаходиться за формулою:
. Підставивши в цю формулу А = 3 і В = 4 отримаємо кутовий коефіцієнт прямої MN:
.

2. Оскільки прямі MN і КD перпендикулярні, то їх кутові коефіцієнти обернено пропорційні і протилежні за знаком:

3. Для знаходження рівняння прямої КD скористаємося формулою рівняння прямої, що проходить через точку з цим кутовим коефіцієнтом

. У цю формулу замість і підставимо координати точки К(-1; -3), замість підставимо. В результаті підстановки отримаємо:

Вирішіть самостійно:

1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(–4; 1) паралельно прямий
.

Відповідь:
.

2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(5; -2) паралельно прямий
.

3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(–2; –6) перпендикулярно до прямої
.

4. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(7; -2) перпендикулярно до прямої
.

Відповідь:
.

5. Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки К(–6; 7) на пряму
.

Після того, як автор сайту зміг навчити свого бота вирішувати лінійне діофантове рівняння з двома змінними, виникло бажання навчити бота вирішувати подібні рівняння, але вже з трьома невідомими. Довелося поринути у книги.

Виринувши звідти за два місяці, автор зрозумів, що він нічого не зрозумів. Зело розумні математики, так хитро писали алгоритм виведення формул, що мені смертному було соромно. Засмутився було, але думка на книжкових просторах все ж таки одну корисну знайшла, і з цієї думки прийшло розуміння як вирішувати діофантові рівняння з трьома невідомими.

Отже, для всіх, хто не математик, але хоче ним бути:)

Діофантове рівняння з трьома невідомими має такий вигляд

де цілі числа

Якщо ми подумаємо яке ж загальне рішення може бути у невідомих, то найбанальне виглядає так

Підставимо наше загальне рішення на рівняння

Яка ж від цього користь, запитає нетерплячий читач? А ось який, згрупуємо все за невідомими, отримаємо

Дивіться, у правій частині стоїть якесь постійне число, позначене буквою d

Значить, від t (вона ж змінна, мало яким вона значенням хоче стати) воно не залежить а значить

Логічно припустити що і від z воно не залежить, а значить

а ось від постійних значень A3 і B3 воно залежить безпосередньо, тобто

Що ж зрештою ми отримали? А отримали ми три типових класичних діофантових рівнянь із двома невідомими, які вирішувати ми можемо легко та невимушено.

Спробуймо вирішити?

У перших рядках пошукових систем знайшлося таке рівняння

Перше рівняння буде ось таке

коріння його

Позбавимося нулів, взявши наприклад k=-1. (Ви можете взяти 2 або 100 або -3) На остаточне рішення це не вплине.

Вирішуємо друге рівняння

та його коріння

тут нехай k=0 (оскільки X і Y не збігаються вже при нульових значеннях)

І останнє третє рівняння

Коріння тут таке

Підставимо тепер усі знайдені значення у загальний вигляд

От і все!

Зверніть увагу, що все вирішується дуже легко і прозоро! Напевно, викладачі та здібні студенти візьмуть собі на озброєння цю методику, тому що в книгах автор бота її так і знайшов.

Ще один приклад, вже вирішений за допомогою робота.

Додаток: Коли вирішуватимете подібні рівняння за допомогою бота, можете зіткнутися з тим, що бот Вам видасть помилку з проханням, поміняти змінні місцями, для іншої спроби вирішити рівняння. Це пов'язано з тим, що при проміжних обчисленнях, виходить нерозв'язне рівняння

Як приклад

При спробі розв'язати рівняння

у нашому випадку

ми отримаємо помилку, тому що при будь-яких значеннях, в лівій частині буде завжди (!!) парне число, а в правій частині як ми бачимо непарне.

Але це не означає, що початкове рівняння не вирішується. Досить поміняти доданки в іншому порядку, наприклад, так

і отримуємо відповідь

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і з того часу їхнє застосування тільки зростає. Система з трьох рівнянь із трьома невідомими не завжди має рішення, незважаючи на велику кількість рівнянь. Зазвичай, цього роду системи вирішуються з допомогою методу підстановки чи з допомогою методу Крамера. Другий метод дає можливість визначити на перших етапах, чи система має рішення.

Припустимо, нам дана наступна система з трьох рівнянь із трьома невідомими:

\[\left\(\begin(matrix) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(matrix)\right.\]

Можна вирішити цю неоднорідну систему лінійних рівнянь алгебри Ах = В методом Крамера:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Визначник системи не дорівнює нулю. Знайдемо допоміжні визначники \ якщо вони не дорівнюють нулю, то рішень немає, якщо рівні, то розв'язків нескінченна безліч

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Система 3 лінійних рівнянь з 3 невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди спільна і має єдине рішення, яке обчислюється за формулами:

Відповідь: отримали рішення

\[\left\(\begin(matrix) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(matrix)\right.\]

Де можна вирішити систему рівнянь із трьома невідомими онлайн?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто внести свої дані в вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Системи з трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими

Лінійні рівняння (рівняння першого ступеня) з двома невідомими

Визначення 1 . Лінійним рівнянням (рівнянням першого ступеня) з двома невідомими x і y називають рівняння, що має вигляд

Рішення . Виразимо з рівності (2) змінну y через змінну x:

З формули (3) випливає, що рішеннями рівняння (2) служать усі пари чисел виду

де x – будь-яке число.

Зауваження. Як очевидно з рішення прикладу 1, рівняння (2) має нескінченно багато рішень. Однак важливо зазначити, що не будь-яка пара чисел (x; y) є розв'язком цього рівняння. Для того, щоб отримати якесь рішення рівняння (2), число x можна взяти будь-яким, а число y після цього обчислити за формулою (3).

Системи з двох лінійних рівнянь із двома невідомими

Визначення 3 . Системою з двох лінійних рівнянь із двома невідомими x і y називають систему рівнянь, що має вигляд

де a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - Задані числа.

Визначення 4 . У системі рівнянь (4) числа a 1 , b 1 , a 2 , b 2 називають , а числа c 1 , c 2 – вільними членами.

Визначення 5 . Розв'язанням системи рівнянь (4)називають пару чисел ( x; y) , що є рішенням як одного, так і іншого рівняння системи (4).

Визначення 6 . Дві системи рівнянь називають рівносильними (еквівалентними)якщо всі рішення першої системи рівнянь є рішеннями другої системи, і всі рішення другої системи є рішеннями першої системи.

Рівності систем рівнянь позначають, використовуючи символ «»

Системи лінійних рівнянь вирішують за допомогою , який ми проілюструємо на прикладах.

Приклад 2 . Розв'язати систему рівнянь

Рішення . Для того, щоб вирішити систему (5) виключимо з другого рівняння системи невідомех.

З цією метою спочатку перетворимо систему (5) на вид, в якому коефіцієнти при невідомому x у першому та другому рівняннях системи стануть однаковими.

Якщо перше рівняння системи (5) помножити на коефіцієнт, що стоїть при x у другому рівнянні (число 7), а друге рівняння помножити на коефіцієнт, що стоїть при x у першому рівнянні (число 2), то система (5) набуде вигляду

Тепер здійснимо над системою (6) такі перетворення:

з другого рівняння віднімемо перше рівняння і замінимо друге рівняння системи на отриману різницю.

В результаті система (6) перетворюється на рівносильну їй систему

З другого рівняння знаходимо y= 3 і, підставивши це значення в перше рівняння, отримуємо

Відповідь. (-2; 3).

3 . Знайти всі значення параметра p , при яких система рівнянь

а) має єдине рішення;

б) має нескінченно багато рішень;

в) немає рішень.

Рішення . Виражаючи x через y із другого рівняння системи (7) і підставляючи отриманий вираз замість x у перше рівняння системи (7), отримаємо

Досліджуємо рішення системи (8) залежно від значень параметра p. Для цього спочатку розглянемо перше рівняння системи (8):

y (2 - p) (2 + p) = 2 + p

(9)

Якщо , то рівняння (9) має єдине рішення

Таким чином, у випадку, коли , система (7) має єдине рішення

Якщо p= - 2 , то рівняння (9) набуває вигляду

та його рішенням є будь-яке число . Тому рішенням системи (7) служить нескінченна безлічвсіх пар чисел

де y – будь-яке число.

Якщо p= 2 , то рівняння (9) набуває вигляду

і рішень немає, звідки випливає, як і система (7) рішень не має.

Системи з трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими

Визначення 7 . Системою з трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими x , y і z називають систему рівнянь, що має вигляд

де a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 - Задані числа.

Визначення 8 . У системі рівнянь (10) числа a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 називають коефіцієнтами за невідомих, а числа d 1 , d 2 , d 3 – вільними членами.

Визначення 9 . Розв'язанням системи рівнянь (10)називають трійку чисел (x; y ; z) , при підстановці яких у кожне із трьох рівнянь системи (10) виходить правильна рівність.

Приклад 4 . Розв'язати систему рівнянь

Рішення . Розв'язуватимемо систему (11) за допомогою методу послідовного виключення невідомих.

Для цього спочатку виключимо з другого та третього рівнянь системи невідоме y , здійснивши над системою (11) наступні перетворення:

перше рівняння системи залишимо без змін;
до другого рівняння додамо перше рівняння та замінимо друге рівняння системи на отриману суму;
з третього рівняння віднімемо перше рівняння і замінимо третє рівняння системи на отриману різницю.

В результаті система (11) перетворюється на рівносильну їй систему

Тепер виключимо із третього рівняння системи невідоме x , здійснивши над системою (12) наступні перетворення:

перше та друге рівняння системи залишимо без змін;
з третього рівняння віднімемо друге рівняння і замінимо третє рівняння системи на отриману різницю.

В результаті система (12) перетворюється на рівносильну їй систему

Із системи (13) послідовно знаходимо

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Відповідь. (1; 2; -2).

Приклад 5 . Розв'язати систему рівнянь

Рішення . Зауважимо, що з цієї системи можна отримати зручне слідство, склавши всі три рівняння системи: