Середня арифметика. Середньозважене значення - що це і як його обчислити? Знайти загальний індекс оптового постачання продовольчих товарів у фактичних цінах

Найважливіша властивістьсередньої у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності варіюють під впливом безлічі факторів, серед яких можуть бути як основні, так і випадкові. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємокомпенсуються відхилення значень ознаки, що обумовлені дією випадкових факторів, і накопичуються (враховуються) зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середньої відображати типовий рівеньознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям

Для того щоб середній показникбув дійсно типизирующим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Основні засади застосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з достатньо великої кількостіодиниць.

3. Середня повинна розраховуватися для сукупності в стаціонарних умовах (коли фактори, що впливають, не змінюються або змінюються не значно).

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

Розрахунок більшості конкретних статистичних показників ґрунтується на використанні:

· Середній агрегатній;

· Середньої статечної (гармонійної, геометричної, арифметичної, квадратичної, кубічної);

· Середній хронологічній (див. розділ).

Всі середні, за винятком середньої агрегатної, можуть розраховуватися у двох варіантах – як виважені чи незважені.

Середня агрегатна. Використовується формула:

де w i= x i* f i;

x i- i-й варіантосредняемого ознаки;

f i, - вага i- го варіанта.

Середня статечна. У загальному виглядіформула для розрахунку:

де ступінь k- Вигляд середньої статечної.

Значення середніх розрахованих на підставі середніх статечних для тих самих вихідних даних — не однакові. Зі збільшенням показника ступеня k збільшується і відповідна середня величина:

Середня хронологічна. Для моментного динамічного рядуз рівними інтерваламиміж датами, розраховується за такою формулою:

,

де х 1і хnзначення показника на початкову та кінцеву дату.

Формули розрахунку статечних середніх

приклад. За даними табл. 2.1 потрібно розрахувати середню заробітну плату загалом у трьох підприємствах.

Таблиця 2.1

Заробітна плата підприємств АТ

Підприємство	Чисельність промислово- виробничогоперсоналу (ППП), чол.	Місячний фонд заробітної плати, руб.	Середня заробітня плата,руб.
		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Разом		1415130

Конкретна розрахункова формулазалежить від цього, які дані табл. 7 є вихідними. Відповідно можливі варіанти: дані стовпців 1 (чисельність ППП) та 2 (місячний ФОП); або - 1 (чисельність ППП) і 3 (середня ЗП); або 2 (місячний ФОП) та 3 (середня ЗП).

Якщо є лише дані стовпців 1 і 2. Підсумки цих граф містять необхідні величини для розрахунку середньої. Використовується формула середньої агрегатної:

Якщо є лише дані стовпців 1 та 3, то відомий знаменник вихідного співвідношення, але відомий його чисельник. Однак фонд заробітної плати можна одержати множенням середньої заробітної плати на чисельність ППП. Тому загальна середня може бути розрахована за формулою середньої арифметичної зваженої:

Необхідно враховувати, що вага ( f i) в окремих випадкахможе бути твір двох або навіть трьох значень.

Крім того, у статистичній практиці знаходить застосування та середня арифметична невважена:

де n – обсяг сукупності.

Ця середня використовується тоді, коли ваги ( f i) відсутню (кожен варіант ознаки зустрічається лише один раз) або рівні між собою.

Якщо є дані стовпців 2 і 3., Т. е. Відомий чисельник вихідного співвідношення, але не відомий його знаменник. Чисельність ППП кожного підприємства можна отримати розподілом ФОП на середню ЗП. Тоді розрахунок середньої ЗП загалом по трьох підприємствах проводиться за формулою середньої гармонійної зваженої:

При рівності ваг ( f i) розрахунок середнього показника може бути зроблений за середньої гармонійної невваженої:

У нашому прикладі використовувалися різні формисередніх, але отримали той самий відповідь. Це зумовлено тим, що для конкретних даних щоразу реалізовувалося одне й те саме вихідне співвідношення середньої.

Середні показники можуть розраховуватися за дискретними та інтервальними варіаційними рядами. При цьому розрахунок провадиться за середньою арифметичною зваженою. Для дискретного ряду дана формулавикористовується так само, як і в наведеному вище прикладі. В інтервальному ряду для розрахунку визначаються середини інтервалів.

приклад. За даними табл. 2.2 визначимо величину середньодушового грошового доходу протягом місяця в умовному регіоні.

Таблиця 2.2

Вихідні дані (варіаційний ряд)

Середньодушовий грошовий дохід у середньому протягом місяця, x, крб.	Чисельність населення, % до результату/
До 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 і вище	2,3
Разом	100

Для того, щоб знайти середнє значення в Excel (при тому неважливо числове, текстове, відсоткове або інше значення) існує багато функцій. І кожна з них має свої особливості та переваги. Адже у цій задачі може бути поставлені певні умови.

Наприклад, середні значення ряду чисел у Excel вважають за допомогою статистичних функцій. Можна також вручну ввести власну формулу. Розглянемо різні варіанти.

Як знайти середнє арифметичне чисел?

Щоб знайти середнє арифметичне, необхідно скласти всі числа у наборі та поділити суму на кількість. Наприклад, оцінки школяра з інформатики: 3, 4, 3, 5, 5. Що виходить за чверть: 4. Ми знайшли середнє арифметичне за такою формулою: =(3+4+3+5+5)/5.

Як це швидко зробити за допомогою функцій Excel? Візьмемо для прикладу ряд випадкових чиселв рядку:

Або: зробимо активним осередок і просто вручну впишемо формулу: = СРЗНАЧ(A1:A8).

Тепер подивимося, що ще вміє функція СРЗНАЧ.

Знайдемо середнє арифметичне двох перших та трьох останніх чисел. Формула: = СРЗНАЧ (A1: B1; F1: H1). Результат:



Середнє значення за умовою

Умовою перебування середнього арифметичного може бути числової критерій чи текстовий. Будемо використовувати функцію: =ДІЙСНО().

Знайти середнє арифметичне чисел, які більші або рівні 10.

Функція: =ЗНАЧАЛИ(A1:A8;">=10")

Результат використання функції РОЗНАЧАЛИ за умовою ">=10":

Третій аргумент - "Діапазон усереднення" - опущений. По-перше, він не обов'язковий. По-друге, аналізований програмою діапазон містить ТІЛЬКИ числові значення. У осередках, зазначених у першому аргументі, і буде здійснюватися пошук за прописаною умовою в другому аргументі.

Увага! Критерій пошуку можна вказати в осередку. А у формулі зробити на неї посилання.

Знайдемо середнє значення чисел за текстовим критерієм. Наприклад, середній продаж товару «столи».

Функція буде виглядати так: =ЗНАЧАЛЬНІ($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Діапазон – стовпець із найменуваннями товарів. Критерій пошуку - посилання на комірку зі словом "столи" (можна замість посилання A7 вставити саме слово "столи"). Діапазон усереднення – ті осередки, у тому числі братимуться дані до розрахунку середнього значення.

В результаті обчислення функції отримуємо таке значення:

Увага! Для текстового критерію (умови) діапазон усереднення вказувати обов'язково.

Як порахувати середньозважену ціну в Excel?

Як ми дізналися середньозважену ціну?

Формула: = СУМПРОВИЗВ (C2: C12; B2: B12) / СУМ (C2: C12).

З допомогою формули СУММПРОИЗВ ми дізнаємося загальну виручку після реалізації кількості товару. А функція СУММ - сумує кількість товару. Поділивши загальну виручку від реалізації товару на Загальна кількістьодиниць товару, ми знайшли середньозважену ціну. Цей показник враховує «вага» кожної ціни. Її частку в загальній масізначень.

Середнє квадратичне відхилення: формула в Excel

Розрізняють середньо квадратичне відхиленняпо генеральної сукупностіта за вибіркою. У першому випадку це корінь з генеральної дисперсії. У другому – із вибіркової дисперсії.

Для розрахунку цього статистичного показникаскладається формула дисперсії. З неї витягується корінь. Але в Excel існує готова функція для знаходження середньоквадратичного відхилення.

Середньоквадратичне відхилення має прив'язку до масштабу вихідних даних. Для образного ставлення до варіації аналізованого діапазону цього недостатньо. Щоб отримати відносний рівень розкиду даних, розраховується коефіцієнт варіації:

середньоквадратичне відхилення / середнє арифметичне значення

Формула в Excel виглядає так:

СТАНДОТКЛОНП (діапазон значень) / СРЗНАЧ (діапазон значень).

Коефіцієнт варіації вважається у відсотках. Тому в осередку встановлюємо відсотковий формат.

Як порахувати середнє значення чисел в Excel

Знайти середнє арифметичне чисел в Excel можна за допомогою функції .

Синтаксис СРЗНАЧ

=СРЗНАЧ(число1;[число2];…) - російська версія

Аргументи СРЗНАЧ

• число1– перше число чи діапазон чисел, до розрахунку середнього арифметичного;
• число2(Опціонально) – друге число чи діапазон чисел розрахунку середнього арифметичного. Максимальна кількістьаргументів функції – 255.

Для розрахунку виконайте такі кроки:

• Виділіть будь-яку комірку;
• Напишіть у ній формулу =СРЗНАЧ(
• Виділіть діапазон осередків, для якого потрібно зробити розрахунок;
• Натисніть клавішу “Enter” на клавіатурі

Функція розрахує середнє значення у вказаному діапазоні серед осередків, у яких є числа.

Як знайти середнє значення з урахуванням тексту

Якщо в діапазоні даних є порожні рядки або текст, функція сприймає їх як “нуль”. Якщо серед даних є логічні висловлюванняБрехня або ІСТИНА, то Брехня функція сприймає як "нуль", а ІСТИНА як "1".

Як знайти середнє арифметичне за умовою

Для розрахунку середнього за умовою чи критерієм використовується функція. Наприклад, уявимо, що у нас є дані з продажу товарів:

Наше завдання – обчислити середнє значення продажів ручок. Для цього зробимо такі кроки:

• У осередку A13напишемо назву товару "Ручки";
• У осередку B13введемо формулу:

=ЗНАЧАЛЬНІ(A2:A10;A13;B2:B10)

Діапазон осередків “ А2: A10” вказує на список товарів, у якому ми шукатимемо слово “Ручки”. Аргумент A13це посилання на комірку з текстом, який ми шукатимемо серед усього списку товарів. Діапазон осередків “ B2: B10” це діапазон з даними продажу товарів, серед яких функція знайде “Ручки” та обчислить середнє значення.

Тема середнього арифметичного та середнього геометричного входить до програми математики 6-7 класів. Так як параграф досить простий для розуміння, його швидко проходять, і до завершення навчального рокушколярі його забувають. Але знання в базовій статистиці потрібні здачі ЄДІ, а також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденному життірозвинене аналітичне мисленняніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4 і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто у разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, тому що доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 та 8.

Середнім геометричним чисел називається добуток всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чисел. Тобто у випадку чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4.

Рішення: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обох випадках вийшли цілі відповіді, тому що для прикладу було взято спеціальні числа. Так відбувається не завжди. Найчастіше відповідь доводиться округляти чи залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 та 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 та √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне дорівнюватиме середньому геометричному?

Звісно, ​​може. Але лише у двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається лише з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їхньої кількості.

Доказ із одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (середнє арифметичне).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ із нулями: (0 + 0) / 2=0 (середнє арифметичне).

√(0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і не може.

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.

Середня арифметична проста

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в цю сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції на одного працюючого — це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаково розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична— дорівнює відношенню суми індивідуальних значеньознаки до кількості ознак у сукупності

Приклад 1 .

Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.
Знайти середню заробітну плату

Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6 = 3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Представимо це у вигляді наступної формули:Зважена середня арифметична

- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів. Приклад 2

. Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяцьСередня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної сумизаробітної плати на

загальне число

робітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як напівсуму верхньої та нижньої меж, а потім середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.Середні, що обчислюються з

інтервальних рядів. Визначити середній вікстуденти вечірнього відділення.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як ваги можуть використовуватися не тільки абсолютні, але і відносні величини(частина):

Середня арифметична має цілу низку властивостей, які повніше розкривають її сутність і полегшують розрахунок:

1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.

2.Середня арифметична сумаваріюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:

3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:

4.Сума квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини, тобто.