Сума ірраціональних чисел - ірраціональне число. Сутність та позначення

Натуральні числа

Натуральні числа визначення - це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів та багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чиселіснує? Існує безлічнатуральних чисел.
Яким є найменше натуральне число? Одиниця – це найменше натуральне число.
Яким є найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральним числом. Отже, додавання натуральних чисел a і b:

Добуток натуральних чисел є натуральним числом. Отже, добуток натуральних чисел a і b:

с – це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше віднімається, то різниця натуральних чисел є натуральним числом, інакше - ні.

Частина натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a та b

де з - натуральне число, це означає, що a ділиться на b націло. У цьому прикладі a - подільне, b - дільник, c - приватне.

Дільник натурального числа - це натуральне число, яке перше число ділиться націло.

Кожне натуральне число поділяється на одиницю та на себе.

Прості натуральні числа діляться лише з одиницю і він. Тут мається на увазі діляться повністю. Наприклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться лише з одиницю і він. Це найпростіші натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більші за одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складених чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел становлять одиниця, прості числата складові числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N.

Властивості додавання та множення натуральних чисел:

переміщувальна властивість додавання

сполучна властивість додавання

(a + b) + c = a + (b + c);

переміщувальна властивість множення

сполучна властивість множення

(ab) c = a (bc);

розподільна властивість множення

A(b+c) = ab+ac;

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, нуль та числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською літерою Z.

Раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа та дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді періодичного дробу. Приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, що будь-яке ціле число є періодичний дрібз періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді дробу m/n, де m ціле число,n натуральнечисло. Подаємо у вигляді такого дробу число 3,(6) з попереднього прикладу.

Безліч всіх натуральних чисел позначають буквою N. Натуральні числа, це числа, які ми використовуємо для рахунку предметів: 1,2,3,4, … У деяких джерелах, до натуральних чисел відносять також число 0.

Безліч всіх цілих чисел позначається буквою Z. Цілі числа це все натуральні числа, нуль та негативні числа:

1,-2,-3, -4, …

Тепер приєднаємо до безлічі всіх цілих чисел безліч усіх звичайних дробів: 2/3, 18/17, -4/5 і так далі. Тоді ми отримаємо безліч усіх раціональних чисел.

Безліч раціональних чисел

Множина всіх раціональних чисел позначається буквою Q. Множина всіх раціональних чисел (Q) - це безліч, що складається з чисел виду m/n, -m/n та числа 0. якості n,mможе виступати будь-яке натуральне число. Слід зазначити, що всі раціональні числа можна представити у вигляді кінцевого або нескінченного ПЕРЕОДИЧНОГО десяткового дробу. Правильно і зворотне, що будь-який кінцевий або нескінченний періодичний десятковий дріб можна записати у вигляді раціонального числа.

А як бути наприклад з числом 2.0100100010 ... ? Воно є нескінченно НЕПЕРЕОДИЧНОЮ десятковим дробом. І воно не відноситься до раціональних чисел.

У шкільному курсіалгебри вивчаються лише речові (чи дійсні) числа. Безліч всіх дійсних чиселпозначається буквою R. Багато R складається з усіх раціональних і всіх ірраціональних чисел.

Поняття ірраціональних чисел

Ірраціональні числа- це все нескінченні десяткові неперіодичні дроби. Ірраціональні числа не мають спеціального позначення.

Наприклад, усі числа отримані вилученням квадратного кореня з натуральних чисел, які є квадратами натуральних чисел - будуть ірраціональними. (√2, √3, √5, √6, і т.д.).

Але не варто думати, що ірраціональні числа виходять лише вилученням квадратного коріння. Наприклад, число «пі» теж є ірраціональним, а воно отримане поділом. І як ви не намагайтеся, ви не зможете отримати його, витягуючи квадратний коріньіз будь-якого натурального числа.

З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Іраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де і - цілі числа. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

.

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.

Двійковий логарифм числа 3

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді дробу, де і - цілі числа. Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас доводив, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що якщо гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутникамістить ціле число одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
• За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
• Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
• Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
• Так як aпарне, позначимо a = 2y.
• Тоді a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
• Однак було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас зробив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їх відносин». Відкриття Гіппас поставило перед піфагорійською математикою серйозну проблему, Зруйнувавши лежало в основі всієї теорії припущення, що числа та геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Див. також

Примітки

Числові системи
Рахункові безлічі	Натуральні числа () Цілі ()

Розуміння чисел, особливо натуральних чисел, одна із найстаріших математичних " умінь " . Багато цивілізації, навіть сучасні, приписували числам деякі містичні властивості через їхню величезну важливість в описі природи. Хоча сучасна наукаі математика не підтверджують ці "чарівні" властивості, значення теорії чисел є незаперечним.

Історично спочатку з'явилося безліч натуральних чисел, потім незабаром до них додалися дроби та позитивні ірраціональні числа. Нуль та негативні числа були введені після цих підмножин безлічі дійсних чисел. Остання безліч, безліч комплексних чисел, з'явилося лише з розвитком сучасної науки.

У сучасній математиці числа вводять не в історичному порядку, хоча й у досить близькому до нього.

Натуральні числа $\mathbb(N)$

Безліч натуральних чисел часто позначається як $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, і часто його доповнюють нулем, позначаючи $\mathbb(N)_0$.

У $\mathbb(N)$ визначено операції додавання (+) і множення ($\cdot$) з наступними властивостямидля будь-яких $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ безліч $\mathbb(N)$ замкнуто щодо операцій складання та множення
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативність
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ асоціативність
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивність
5. $a\cdot 1=a$ є нейтральним елементом для множення

Оскільки безліч $\mathbb(N)$ містить нейтральний елемент для множення, але не для додавання, додавання нуля до цієї множини забезпечує включення до нього нейтрального елемента для додавання.

Крім цих двох операцій, на безлічі $\mathbb(N)$ визначено відносини "менше" ($

1. $a b$ трихотомія
2. якщо $a\leq b$ і $b\leq a$, то $a=b$ антисиметрія
3. якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивність
4. якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Цілі числа $\mathbb(Z)$

Приклади цілих чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Рішення рівняння $a+x=b$, де $a$ і $b$ - відомі натуральні числа, а $x$ - невідоме натуральне число, вимагає введення нової операції - віднімання(-). Якщо існує натуральне число $x$, що задовольняє цього рівняння, $x=b-a$. Однак це конкретне рівняння не обов'язково має рішення на множині $\mathbb(N)$, тому практичні міркування вимагають розширення множини натуральних чисел таким чином, щоб включити рішення такого рівняння. Це призводить до введення безлічі цілих чисел: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

Оскільки $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логічно припустити, що введені раніше операції $+$ і $\cdot$ і відносини $ 1. $0+a=a+0=a$ існує нейтральний елемент для додавання
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ існує протилежне число$-a$ для $a$

Властивість 5.
5. якщо $0\leq a$ і $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Безліч $\mathbb(Z) $ замкнуте також і щодо операції віднімання, тобто $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Раціональні числа $\mathbb(Q)$

Приклади раціональних чисел:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Тепер розглянемо рівняння виду $a \ cdot x = b $, де $ a $ і $ b $ - відомі цілі числа, а $ x $ - невідоме. Щоб рішення було можливим, необхідно ввести операцію поділу ($:$), і рішення набуває вигляду $x=b:a$, тобто $x=\frac(b)(a)$. Знову виникає проблема, що $x$ який завжди належить $\mathbb(Z)$, тому безліч цілих чисел необхідно розширити. Таким чином вводиться безліч раціональних чисел $\mathbb(Q)$ з елементами $\frac(p)(q)$, де $p\in \mathbb(Z)$ і $q\in \mathbb(N)$. Безліч $\mathbb(Z)$ є підмножиною, в якому кожен елемент $q=1$, отже $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ і операції додавання та множення поширюються і на це безліч за такими правилами, які зберігають усі вищеперелічені властивості і на множині $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Поділ вводиться таким чином:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

На множині $\mathbb(Q)$ рівняння $a\cdot x=b$ має єдине рішення для кожного $a\neq 0$ (розподіл на нуль не визначено). Це означає, що існує зворотний елемент $\frac(1)(a)$ or $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a) \ cdot a = a) $

Порядок множини $\mathbb(Q)$ можна розширити таким чином:
$\frac(p_1)(q_1)

Безліч $\mathbb(Q)$ має одне важлива властивість: між будь-якими двома раціональними числами знаходиться нескінченно багато інших раціональних чисел, отже, немає двох сусідніх раціональних чисел, на відміну від множин натуральних і цілих чисел.

Ірраціональні числа $\mathbb(I)$

Приклади ірраціональних чисел:
$\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Зважаючи на те, що між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, легко можна зробити помилковий висновок, що безліч раціональних чисел настільки щільне, що немає необхідності в його подальшому розширенні. Навіть Піфагор свого часу зробив таку помилку. Проте, його сучасники спростували цей висновок щодо рішень рівняння $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на безлічі раціональних чисел. Для розв'язання такого рівняння необхідно запровадити поняття квадратного кореня, і тоді розв'язання цього рівняння має вигляд $x=\sqrt(2)$. Рівняння типу $x^2=a$, де $a$ - відоме раціональне число, а $x$ - невідоме, який завжди має рішення безлічі раціональних чисел, і знову виникає у розширенні множини. Виникає безліч ірраціональних чисел, і такі числа як $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... належать цій множині.

Дійсні числа $\mathbb(R)$

Об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел є безліч дійсних чисел. Оскільки $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, знову логічно припустити, що введені арифметичні операції та відносини зберігають свої властивості на новій множині. Формальне підтвердження цього дуже складно, тому вищезгадані властивості арифметичних операцій та відносини на безлічі дійсних чисел вводяться як аксіоми. В алгебрі такий об'єкт називається полем, тому кажуть, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем.

Для того, щоб визначення безлічі дійсних чисел було повним, необхідно ввести додаткову аксіому, що розрізняє безлічі $\mathbb(Q)$ і $\mathbb(R)$. Припустимо, що $S$ - непусте підмножина безлічі дійсних чисел. Елемент $b\in \mathbb(R)$ називається верхньою межею множини $S$, якщо $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тоді кажуть, що множина $S$ обмежена зверху. Найменша верхня межа множини $S$ називається супремум і позначається $\sup S$. Аналогічно вводяться поняття нижньої межі, множини, обмеженої знизу, та інфінуму $\inf S$ . Тепер недостатня аксіома формулюється так:

Будь-яке непусте і обмежене зверху підмножина безлічі дійсних чисел має супремум.
Також можна довести, що поле дійсних чисел, визначене вищезазначеним чином, є єдиним.

Комплексні числа$\mathbb(C)$

Приклади комплексних чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ де $i = \sqrt(-1)$ або $i^2 = -1$

Безліч комплексних чисел є всі впорядковані пари дійсних чисел, тобто $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на якому операції складання та множення визначені наступним чином:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Існує кілька форм запису комплексних чисел, у тому числі найпоширеніша має вигляд $z=a+ib$, де $(a,b)$ - пара дійсних чисел, а число $i=(0,1)$ називається уявною одиницею.

Легко показати, що $i^2=-1$. Розширення безлічі $\mathbb(R)$ на безліч $\mathbb(C)$ дозволяє визначити квадратний корінь з негативних чисел, Що й спричинило введення безлічі комплексних чисел. Також легко показати, що підмножина безлічі $\mathbb(C)$, задана як $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, задовольняє всім аксіомам для дійсних чисел, отже $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, або $R\subset\mathbb(C)$.

Алгебраїчна структура множини $\mathbb(C)$ щодо операцій складання та множення має наступні властивості:
1. комутативність складання та множення
2. асоціативність складання та множення
3. $0+i0$ - нейтральний елемент для складання
4. $1+i0$ - нейтральний елемент для множення
5. множення дистрибутивно по відношенню до додавання
6. існує єдиний зворотний елемент як до складання, так множення.