Збільшується прямо пропорційно. Пряма та зворотна пропорційні залежності - Гіпермаркет знань

ж) віком людини та розміром її взуття;

з) обсягом куба та довжиною його ребра;

і) периметром квадрата та довжиною його сторони;

к) дробом та його знаменником, якщо чисельник не змінюється;

л) дробом та його чисельником, якщо знаменник не змінюється.

Завдання 767-778 розв'яжіть, склавши .

767. Сталева кулька об'ємом 6 см 3 має масу 46,8 г. Яка маса кульки з тієї ж сталі, якщо її об'єм 2,5 см 3 ?

768. З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

769. Для будівництва стадіону 5 бульдозерів розчистили майданчик за 210 хв. За який час 7 бульдозерів розчистять цей майданчик?

770. Для перевезення вантажу знадобилося 24 машини 1рузопідйомності 7,5 т. Скільки потрібно машин вантажопідйомністю 4,5 т, щоб перевезти той же вантаж?

771. Для визначення схожості насіння посіяли горох. З 200 посіяних горошин зійшло 170. Який відсоток горошин дали сходи (відсоток схожості)?

772. Під час недільника з озеленення міста на вулиці посадили липи. Взялося 95% всіх посаджених лип. Скільки посадили лип, якщо взялося 57 лип?

773. У лижній секції займаються 80 учнів. Серед них 32 дівчинки. Який учасників секції складають дівчатка та який хлопчики?

774. Колгосп за планом має засіяти 980 га кукурудзою. Але план виконали на 115%. Скільки гектарів кукурудзи посіяв колгосп?

775. За 8 місяців робітник виконав 96% річного плану. Скільки відсотків річного плану виконає робітник за 12 місяців, якщо працюватиме з тією самою продуктивністю?

776. За три дні було прибрано 16,5% усіх буряків. Скільки потрібно днів, щоб прибрати 60,5% всіх буряків, якщо працювати з тією ж продуктивністю?

777. У залізнякна 7 частин заліза припадає 3 частини домішок. Скільки тонн домішок у руді, що містить 73,5 т заліза?

778. Для приготування борщу кожні 100 г м'яса треба взяти 60 г буряка. Скільки буряків треба взяти на 650 г м'яса?

П 779. Обчисліть усно:

780. Подайте у вигляді суми двох дробів з чисельником 1 кожний із наступних дробів: .
781. З чисел 3, 7, 9 та 21 складіть дві правильні пропорції.

782. Середні члени пропорції 6 і 10. Які можуть бути крайні члени? Наведіть приклади.

783. При якому значенні х вірна пропорція:

784. Знайдіть відношення:
а) 2 хв до 10; в) 0,1 кг до 0,1г; д) 3 дм 3 до 0,6 м3.
б) 0,3 м 2 до 0,1 дм 2; г) 4 год до 1 доби;

1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;

2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.

Д 795. З 20 кг яблук виходить 16 кг яблучного пюре. ^^ Скільки яблучного пюре вийде з 45 кг яблук?

796. Троє малярів можуть закінчити роботу за 5 днів. Для прискорення роботи додали ще двох малярів. За який час вони закінчать роботу, вважаючи, що всі маляри працюватимуть з однаковою продуктивністю?

797. За 2,5 кг баранини заплатили 4,75 грн. Скільки баранини можна купити за тією самою ціною на 6,65 р.?

798. У цукрових буряках міститься 18,5% цукру. Скільки цукру міститься в 38,5 т цукрових буряків? Відповідь округліть до десятих часток тонни.

799. У насінні соняшнику нового сорту міститься 49,5% олії. Скільки кілограмів такого насіння треба взяти, щоб у них містилося 29,7 кг олії?

800. У 80 кг картоплі міститься 14 кг крохмалю. Знайдіть процентний змісткрохмалю в такій картоплі.

801. У насінні льону міститься 47% олії. Скільки олії міститься у 80 кг насіння льону?

802. Рис містить 75% крохмалю, а ячмінь 60%. Скільки треба взяти ячменю, щоб у ньому містилося стільки ж крохмалю, скільки його міститься в 5 кг рису?

803. Знайдіть значення виразу:

а) 203,81: (141 -136,42) + 38,4: 0,7 5;
б) 96: 7,5 + 288,51: (80 - 76,74).

Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школи

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питаннявід учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Сьогодні ми розглянемо, які величини називаються обернено пропорційними, як виглядає графік зворотної пропорційності і як усе це може вам знадобитися не тільки на уроках математики, але й поза шкільними стінами.

Такі різні пропорційності

Пропорційністюназивають дві величини, які взаємно залежні одна від одної.

Залежність може бути прямою та зворотною. Отже, відносини між величинами описують пряма та зворотна пропорційність.

Пряма пропорційність– це залежність двох величин, коли він збільшення чи зменшення однієї з них веде до збільшення чи зменшення інший. Тобто. їхнє відношення не змінюється.

Наприклад, чим більше зусиль ви докладаєте для підготовки до іспитів, тим вищі ваші оцінки. Або чим більше речей ви берете із собою у похід, тим важче нести ваш рюкзак. Тобто. кількість витрачених на підготовку до іспитів зусиль прямо пропорційно до отриманих оцінок. І кількість запакованих у рюкзак речей прямо пропорційно до його ваги.

Зворотня пропорційність– це функціональна залежність, коли він зменшення чи збільшення у кілька разів незалежної величини(її називають аргументом) викликає пропорційне (тобто в стільки ж разів) збільшення чи зменшення залежної величини (її називають функцією).

Проілюструємо простим прикладом. Ви хочете купити на ринку яблук. Яблука на прилавку та кількість грошей у вашому гаманці знаходяться у зворотній пропорційності. Тобто. що більше ви купите яблук, то менше грошей у вас залишиться.

Функція та її графік

Функцію зворотної пропорційності можна описати як y = k/x. В котрому x≠ 0 та k≠ 0.

Ця функція має такі властивості:

1. Областью її визначення є безліч усіх дійсних чисел, крім x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значень є всі дійсні числакрім y= 0. Є: (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не має найбільших та найменших значень.
4. Є непарною та її графік симетричний щодо початку координат.
5. Неперіодична.
6. Її графік не перетинає осі координат.
7. Не має нулів.
8. Якщо k> 0 (тобто аргумент зростає), функція пропорційно зменшується кожному зі своїх проміжків. Якщо k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При зростанні аргументу ( k> 0) від'ємні значенняфункції перебувають у проміжку (-∞; 0), а позитивні – (0; +∞). При зменшенні аргументу ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графік функції зворотної пропорційності називається гіперболою. Зображується так:

Завдання на зворотну пропорційність

Щоб стало зрозуміліше, розберемо кілька завдань. Вони не надто складні, а їхнє рішення допоможе вам наочно уявити, що таке зворотна пропорційність і як ці знання можуть стати у нагоді у вашому звичайному житті.

Завдання №1. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Щоб дістатися місця призначення, йому знадобилося 6 годин. Скільки часу йому знадобиться, щоб подолати таку ж відстань, якщо він рухатиметься зі швидкістю в 2 рази вищою?

Можемо почати з того, що запишемо формулу, яка описує відносини часу, відстані та швидкості: t = S/V. Погодьтеся, вона дуже нагадує нам функцію зворотної пропорційності. І свідчить про те, що час, який автомобіль проводить у дорозі, та швидкість, з якою він рухається, перебувають у зворотній пропорційності.

Щоб переконатися в цьому, знайдемо V 2 , яка за умовою вище в 2 рази: V 2 = 60 * 2 = 120 км/год. Потім розрахуємо відстань за формулою S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Тепер зовсім нескладно дізнатися час t 2 , який вимагається за умовою задачі: t 2 = 360/120 = 3 год.

Як бачите час у дорозі і швидкість руху дійсно обернено пропорційні: зі швидкістю в 2 рази вище від початкової автомобіль витратить у 2 рази менше часу на дорогу.

Вирішення цього завдання можна записати і у вигляді пропорції. Для чого спочатку складемо таку схему:

↓ 60 км/год – 6 год

↓120 км/год – х год

Стрілки позначають обернено пропорційну залежність. А також підказують, що при складанні пропорції праву частинузаписи треба перевернути: 60/120 = х/6. Звідки одержуємо х = 60 * 6/120 = 3 год.

Завдання №2. У майстерні працюють 6 робітників, які із заданим обсягом роботи справляються за 4 години. Якщо кількість робітників скоротити в 2 рази, скільки часу потрібно, щоб виконати той самий обсяг роботи?

Запишемо умови завдання у вигляді наочної схеми:

↓ 6 робітників – 4 год

↓ 3 робітників – х год

Запишемо це як пропорції: 6/3 = х/4. І отримаємо х = 6 * 4/3 = 8 год. Якщо робітників стане в 2 рази менше, решта витратить на виконання всієї роботи в 2 рази більше часу.

Завдання №3. У басейн ведуть дві труби. Через одну трубу вода надходить зі швидкістю 2 л/с та наповнює басейн за 45 хвилин. Через іншу трубу басейн наповниться за 75 хвилин. З якою швидкістю вода надходить у басейн через цю трубу?

Для початку наведемо всі дані нам за умовою задачі величини до однакових одиниць виміру. Для цього виразимо швидкість заповнення басейну в літрах за хвилину: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/хв.

Оскільки з умови випливає, що через другу трубу басейн заповнюється повільніше, значить і швидкість надходження води нижча. В наявності зворотна пропорційність. Невідому нам швидкість висловимо через х і складемо таку схему:

↓ 120 л/хв – 45 хв

↓ х л/хв – 75 хв

А потім складемо пропорцію: 120/х = 75/45, звідки х = 120*45/75 = 72 л/хв.

У задачі швидкість наповнення басейну виражена в літрах за секунду, наведемо отриману нами відповідь до такого ж виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Завдання №4. У невеликій приватній друкарні друкують візитки. Співробітник друкарні працює зі швидкістю 42 візитки на годину та працює повний робочий день – 8 годин. Якби він працював швидше і друкував 48 візиток за годину, наскільки раніше він міг би піти додому?

Йдемо перевіреним шляхом і складаємо за умовою завдання схему, позначивши потрібну величину як х:

↓ 42 візитки/год – 8 год

↓ 48 візитки/год – х год

Перед нами обернено пропорційна залежність: у скільки разів більше візиток на годину надрукує співробітник друкарні, у стільки ж разів менше часу знадобиться на виконання тієї самої роботи. Знаючи це, складемо пропорцію:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким чином, впоравшись із роботою за 7 годин, співробітник друкарні зможу піти додому на годину раніше.

Висновок

Нам здається, що ці завдання на зворотну пропорційність справді нескладні. Сподіваємося, що тепер ви також вважаєте їх такими. А головне, що знання про зворотно пропорційну залежність величин дійсно може виявитися для вас корисним ще не раз.

Не тільки на уроках математики та іспитах. Але й тоді, коли ви зберетеся вирушити у подорож, підете за покупками, вирішите трохи підробити у канікули тощо.

Розкажіть нам у коментарях, які приклади зворотної та прямої пропорційної залежності ви помічаєте навколо себе. Нехай це буде така гра. Ось побачите, як це цікаво. Не забудьте «розшарити» цю статтю в соціальних мережахщоб ваші друзі та однокласники теж змогли пограти.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

приклад

1,6/2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6/7 = 0,8 і т.д. Коефіцієнт пропорційностіПостійне відношення пропорційних величин називається

Пряма пропорційність

Пряма пропорційністькоефіцієнтом пропорційності . Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший .- функціональна залежність , коли він певна величина залежить від іншої величини в такий спосіб, що й ставлення залишається постійним. Інакше кажучи, ці змінні змінюються

Математично пряма пропорційність записується у вигляді формули:

f(x) = ax,a = const

Зворотня пропорційність

Зворотня пропорційність- це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргументу) викликає пропорційне зменшення залежної величини (функції).

Математично зворотна пропорційність записується у вигляді формули:

Властивості функції:

Джерела

Wikimedia Foundation.

• 2010 .
• Другий закон Ньютона

Кулонівський бар'єр

Дивитись що таке "Пряма пропорційність" в інших словниках:пряма пропорційність - - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом EN direct ratio …

Дивитись що таке "Пряма пропорційність" в інших словниках:Довідник технічного перекладача

- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. пряма пропорційність f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynasПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ - (Від латів. proportionalis пропорційний, пропорційний). Пропорційність. Словникіноземних слів , що увійшли до складу російської мови Чудінов А.Н., 1910. ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ відлат. proportionalis, пропорційний. Пропорційність. Пояснення 25000… …

- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. пряма пропорційність f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynasСловник іноземних слів російської мови - ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ, пропорційності, мн. ні, дружин. (Книжковий.). 1. відволікати. сущ. до пропорційний. Пропорційність елементів. Пропорційність статури. 2. Така залежність між величинами, коли вони є пропорційною (див. пропорційний …).Тлумачний словник

УшаковаПропорційність

- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. пряма пропорційність f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas- Пропорційними називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Зміст 1 Приклад 2 Коефіцієнт пропорційності … - ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ, і, дружин. 1. див. пропорційний. 2. У математиці: така залежність між величинами, при якій збільшення однієї з них тягне за собою зміну іншої в стільки ж разів. Пряма п. (при якій зі збільшенням однієї величини… …

Тлумачний словник Ожеговапропорційність - та; ж. 1. до Пропорційний (1 зн.); пропорційність. П. частин. П. статури. П. представництва у парламенті. 2. Матем. Залежність між величинами, що пропорційно змінюються. Коефіцієнт пропорційності. Пряма п. (при якій з ...

Енциклопедичний словник

I. Прямо пропорційні величини. yНехай величина залежить від величиних залежить від величини. Якщо при збільшенні у кілька разів величинау залежить від величинизбільшується в стільки ж разів, то такі величини іу

називаються прямо пропорційними.

1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованою ціноюоднієї одиниці товару - 1 штуки або 1 кг і т. д.) У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений на нього час (при постійної швидкості).У скільки разів довший шлях, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб його пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)

ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х = 9 · 8: 12;

х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.

Рішення завданняможна було оформити і так:

Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа залежить від величини, Тобто тут пряма залежність).

Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.

Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.

Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.