У рівнянні гармонійного коливання u um. Рівняння гармонійних коливань

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

де х - значення величини, що змінюється, t - час, інші параметри - постійні: А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Вільні коливання відбуваються під впливом внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху) і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).

Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Рівняння гармонійних коливань

Рівняння (1)

дає залежність коливається величини S від часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення констант A і  , що входять до рівняння (1)); наприклад, положення та швидкість коливальної системи при t = 0.

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини l нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і не залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що представляє собою тверде тіло, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної до напряму дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.

Вибір початкової фази дозволяє при описі гармонійних коливань перейти від функції синуса до функції косинуса:

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді:

Для того, щоб вільні коливання відбувалися за гармонічним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у бік, протилежний зсуву:

де - маса тіла, що коливається.

Фізичну систему, в якій можуть існувати гармонійні коливання, називають гармонічним осцилятором,а рівняння гармонійних коливань – рівнянням гармонійного осцилятора.

1.2. Складання коливань

Нерідкі випадки, коли система одночасно бере участь у двох або декількох незалежних друзів від друга коливаннях. У цих випадках утворюється складний коливальний рух, який створюється шляхом накладання (складання) коливань друзів на друзів. Очевидно, випадки складання коливань можуть бути дуже різноманітні. Вони залежать не тільки від числа коливань, що складаються, але і від параметрів коливань, від їх частот, фаз, амплітуд, напрямів. Не представляється можливим оглянути всю можливу різноманітність випадків складання коливань, тому обмежимося розглядом лише окремих прикладів.

Складання гармонійних коливань, спрямованих вздовж однієї прямої

Розглянемо складання однаково спрямованих коливань одного періоду, але що відрізняються початковою фазою та амплітудою. Рівняння коливань, що складаються, задані в наступному вигляді:

де і – усунення; і – амплітуди; і - початкові фази коливань, що складаються.

Рис.2.

Амплітуду результуючого коливання зручно визначити за допомогою векторної діаграми (рис. 2), на якій відкладені вектори амплітуд і коливань, що складаються під кутами і до осі і за правилом паралелограма отримано вектор амплітуди сумарного коливання .

Якщо рівномірно обертати систему векторів (паралелограм) та проектувати вектори на вісь , то їх проекції здійснюватимуть гармонійні коливання відповідно до заданих рівнянь. Взаємне розташування векторів і при цьому залишається незмінним, тому коливальний рух проекції результуючого вектора теж буде гармонійним.

Звідси випливає, що сумарний рух - гармонійне коливання, що має задану циклічну частоту. Визначимо модуль амплітуди Арезультуючого коливання. У кут (з рівності протилежних кутів паралелограма).

Отже,

звідси: .

Відповідно до теореми косінусів ,

Початкова фаза результуючого коливання визначається з:

Співвідношення для фази та амплітуди дозволяють визначити амплітуду та початкову фазу результуючого руху та скласти його рівняння: .

Биття

Розглянемо випадок, коли частоти двох коливань, що складаються, мало відрізняються один від одного , і нехай амплітуди однакові і початкові фази , тобто.

Складемо ці рівняння аналітично:

Перетворюємо

Мал. 3.

Оскільки, повільно змінюється, величину не можна назвати амплітудою у сенсі цього терміну (амплітуда величина стала). Умовно цю величину можна назвати змінною амплітудою. Графік таких коливань показано на рис.3. Коливання, що складаються, мають однакові амплітуди, але різні періоди, при цьому періоди і відрізняються незначно один від одного. При складанні таких коливань спостерігаються биття. Число биття в секунду визначається різницею частот коливань, що складаються, тобто

Биття можна спостерігати при звучанні двох камертонів, якщо частоти та коливань близькі один до одного.

Складання взаємно перпендикулярних коливань

Нехай матеріальна точка одночасно бере участь у двох гармонійних коливаннях, що відбуваються з однаковими періодами у двох взаємно перпендикулярних напрямках. З цими напрямами можна пов'язати прямокутну систему координат , розташувавши початок координат у положенні рівноваги точки. Позначимо зміщення точки З вздовж осей і відповідно через і . (Рис. 4).

Розглянемо кілька окремих випадків.

1). Початкові фази коливань однакові

Виберемо момент початку відліку часу таким чином, щоб початкові фази обох коливань дорівнювали нулю. Тоді зміщення вздовж осей і можна виразити рівняннями:

Поділивши почленно ці рівності, отримаємо рівняння траєкторії точки С:
або .

Отже, в результаті додавання двох взаємно перпендикулярних коливань точка С коливається вздовж відрізка прямої, що проходить через початок координат (рис.4).

Мал. 4.

2). Початкова різниця фаз дорівнює :

Рівняння коливання у разі мають вид:

Рівняння траєкторії точки:

Отже, точка С коливається вздовж відрізка прямої, що проходить через початок координат, але лежить в інших квадрантах, ніж у першому випадку. Амплітуда Арезультуючих коливань в обох розглянутих випадках дорівнює:

3). Початкова різниця фаз дорівнює .

Рівняння коливань мають вигляд:

Розділимо перше рівняння на , друге - на :

Зведемо обидві рівності квадрат і складемо. Отримаємо наступне рівняння траєкторії результуючого руху точки, що коливається:

Точка С, що коливається, рухається по еліпсу з півосями і . При рівних амплітудах траєкторією сумарного руху буде коло. У разі при , але кратним, тобто. , при додаванні, взаємно перпендикулярних коливань точка, що коливається, рухається по кривих, званих фігурами Лісажу.

Фігури Ліссажу

Фігури Ліссажу– замкнуті траєкторії, що прокреслюються точкою, що здійснює одночасно два гармонійні коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямках.

Вперше вивчені французьким вченим Жюлем Антуаном Ліссажу. Вид фігур залежить від співвідношення між періодами (частотами), фазами та амплітудами обох коливань(Рис. 5).

Рис.5.

У найпростішому випадку рівності обох періодів фігури являють собою еліпси, які при різниці фаз або вироджуються у відрізки прямих, а при різниці фаз і рівність амплітуд перетворюються на коло. Якщо періоди обох коливань неточно збігаються, то різниця фаз постійно змінюється, унаслідок чого еліпс постійно деформується. При суттєво різних періодах фігури Лісаж не спостерігаються. Однак, якщо періоди відносяться як цілі числа, то через проміжок часу, що дорівнює найменшому кратному обох періодів, точка, що рухається, знову повертається в те ж положення - виходять фігури Ліссажу більш складної форми.
Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, центр якого збігається з початком координат, а сторони паралельні до осей координат і розташовані по обидва боки від них на відстанях, рівних амплітудам коливань (рис. 6).

« Фізика – 11 клас»

Прискорення – друга похідна координати за часом.

Миттєва швидкість точки – це похідна координати точки за часом.
Прискорення точки - це похідна її за часом, або друга похідна координати за часом.
Тому рівняння руху маятника можна записати так:

де х" - друга похідна координати за часом.

При вільних коливаннях координата хзмінюється згодом отже друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.

Гармонічні коливання

З математики: другі похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функціям, взятим із протилежним знаком, і жодні інші функції такої властивості не мають.
Тому:
Координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синуса чи косинуса.

Періодичні зміни фізичної величини залежно від часу, що відбуваються за законом синусу чи косинусу, називаються гармонійними коливаннями.

Амплітуда коливань

Амплітудоюгармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу.

Графік залежності координати тіла від часу є косинусоїдою.

х = x m cos ω 0 t

Тоді рівняння руху, що описує вільні коливання маятника:

Період та частота гармонійних коливань.

При коливаннях руху тіла періодично повторюються.
Проміжок часу Т, за який система здійснює один повний цикл коливань, називається періодом коливань.

Частота коливань – це кількість коливань в одиницю часу.
Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду

У Міжнародній системі одиниць (СІ) одиниця частоти називається герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.

Число коливань за 2π дорівнює:

Величина 0 - це циклічна (або кругова) частота коливань.
Через проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.

Частоту вільних коливань називають власною частотоюколивальної системи.
Часто для стислості циклічну частоту називають просто частотою.

Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи.

1.для пружинного маятника

Власна частота коливань пружинного маятника дорівнює:

Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m.
Жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла, а чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили.

Період коливань дорівнює:

Період коливань пружинного маятника залежить від амплітуди коливань.

2.для ниткового маятника

Власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:

Період цих коливань дорівнює

Період коливань ниткового маятника при малих кутах відхилення залежить від амплітуди коливань.

Період коливань зростає із збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить.

Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.

§ 6. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯОсновні формули

Рівняння гармонійних коливань

де х -зміщення коливається точки від положення рівноваги; t- Час; А,ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота, початкова фаза коливань; - фаза коливань у момент t.

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання,

Прискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де a 1 і А 2 - амплітуди складових коливань; ? 1 і ? 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Частота биття, що виникають при додаванні двох коливань, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами 1 і 2 ,

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A 1 і A 2 і початковими фазами 1 і 2 ,

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

, або де m - маса точки; k- коефіцієнт квазіпружної сили ( k=тω 2).

Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання,

Період коливань тіла, підвішеного на пружині (пружинний маятник),

де m- маса тіла; k- жорсткість пружини. Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина маятника; g- прискорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

де J- момент інерції тіла, що коливається відносно осі

коливань; а- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

Наведені формули є точними для випадку нескінченно малих амплітуд. При кінцевих амплітудах ці формули дають лише наближені результати. При амплітудах не більша помилка у значенні періоду не перевищує 1 %.

Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці,

де J- момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою; k- жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань , або ,

де r- Коефіцієнт опору; δ - коефіцієнт загасання: ;ω 0 - власна кутова частота коливань *

Рівняння загасаючих коливань

де A(t)- амплітуда загасаючих коливань у момент t;ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

I

де А 0 - амплітуда коливань у момент t=0.

Логарифмічний декремент коливань

де A(t)і A (t+T)- амплітуди двох послідовних коливань, віддалених у часі друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань

де - зовнішня періодична сила, що діє матеріальну точку, що коливається, і викликає вимушені коливання; F 0 - її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда і

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Крапка здійснює коливання згідно із законом x(t)=, де А = 2див. Визначити початкову фазу φ, якщо

x(0)=см і х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Рішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент t=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0).

Підставимо в цей вираз задані значення x(0) та А:φ= = . Значення аргументу задовольняють два значення кута:

Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута φ задовольняє ще й умові, знайдемо спочатку:

Підставивши в цей вираз значення t=0 і по черзі значення початкових фаз і знайдемо

Т як завжди A>0 і ω>0, то умові задовольняє лише перше значення початкової фази. Таким чином, шукана початкова фаза

За знайденим значенням φ побудуємо векторну діаграму (рис. 6.1). приклад 2.Матеріальна точка масою т=5 г здійснює гармонічні коливання з частотою ν = 0,5 Гц. Амплітуда коливань A=3 см. Визначити: 1) швидкість υ точки в момент часу, коли зміщення х== 1,5 см; 2) максимальну силу F max , що діє на точку; 3) Мал. 6.1 повну енергію Еточки, що коливається.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 , друге на A 2 ω 2 і складемо:

, або

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Знак плюс відповідає випадку, коли напрямок швидкості збігається з позитивним напрямком осі х,знак мінус - коли напрямок швидкості збігається з негативним напрямком осі х.

Усунення при гармонійному коливанні крім рівняння (1) може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, ті A,знайдемо

3. Повна енергія точки, що коливається, є сума кінетичної та потенційної енергій, обчислених для будь-якого моменту часу.

Найпростіше обчислити повну енергію у момент, коли кінетична енергія досягає максимального значення. У цей момент потенційна енергія дорівнює нулю. Тому повна енергія Eколивальної точки дорівнює максимальної кінетичної енергії

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши : . Підставивши вираз швидкості у формулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3.На кінцях тонкого стрижня завдовжки l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 г і m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

дикулярну стрижню і проходить через його середину (точка О на рис. 6.2). Визначити період Тколивань, скоєних стрижнем.

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

де J- т -його маса; l З - відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумі моментів інерції кульок J 1 і J 2 та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, його момент інерції щодо цієї осі J 3 = =. Підставивши отримані вирази J 1 , J 2 і J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фізичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси стрижня:

Відстань l З центру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Зробивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (рис. 6.3). Визначити період Тколивань такого маятника.

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

(1)

де J- момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

(2).

Момент інерції стрижня щодо осі, перпендикулярної стрижню і проходить через його центр мас, визначається за формулою . В даному випадку т= 3т 1 і

Момент інерції обруча знайдемо, скориставшись теоремою Штейнера де J- момент інерції щодо довільної осі; J 0 - момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно заданої осі; а -відстань між вказаними осями. Застосувавши цю формулу до обруча, отримаємо

Підставивши вирази J 1 і J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l З від осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку, що виражаються рівняннями; х 2 = =, де А 1 = 1 см, A 2 = 2 см, с, с, ω = =. 1. Визначити початкові фазиφ 1 і φ 2 складових коле-

баній. 2. Знайти амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Написати рівняння результуючого коливання.

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливання має вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

2. Для визначення амплітуди Арезультуючого коливання зручно скористатися векторною діаграмою, представленою на Мал. 6.4. Відповідно до теореми косінусів, отримаємо

де - різниця фаз складових коливань. , то, підставляючи знайдені значення 2 і 1 отримаємо радий.

Підставимо значення А 1 , А 2 і в формулу(3) і зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визначимо безпосередньо з рис. 6.4: звідки-та початкова фаза

Гармонічні коливання - коливання, у яких фізична величина змінюється із часом за гармонійним (синусоїдальним, косинусоїдальним) законом. Рівняння гармонійного коливання можна записати таким чином:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
або
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - відхилення від положення рівноваги у момент часу t
A - амплітуда коливання, розмірність A збігається з розмірністю X
ω - циклічна частота, рад/c (радіан за секунду)
φ - початкова фаза, радий
t - час, з
T - період коливання, з
f - частота коливань, Гц (Герц)
π - константа, приблизно рівна 3.14, 2π=6.28

Період коливань, частота у герцах та циклічна частота пов'язані співвідношеннями.
ω=2πf, T=2π/ω, f=1/T, f=ω/2π
Щоб запам'ятати ці співвідношення, потрібно зрозуміти наступне.
Кожен із параметрів ω, f, T однозначно визначає інші. Для опису коливань досить використовувати один із цих параметрів.

Період T — час одного коливання, зручно використовуватиме побудови графіків коливань.
Циклічна частота - використовується для запису рівнянь коливань, дозволяє проводити математичні обчислення.
Частота f — кількість коливань за одиницю часу, застосовується повсюдно. У герцах ми вимірюємо частоту, на яку налаштовані радіоприймачі, а також діапазон роботи мобільних телефонів. У герцах вимірюється частота коливань струн при налаштуванні музичних інструментів.

Вираз (ωt+φ) — називається фазою коливання, а величина φ — початковою фазою, оскільки вона дорівнює фазі коливання у час t=0.

Функції синуса та косинуса описують відносини сторін у прямокутному трикутнику. Тому багато хто не розуміє, яким чином ці функції пов'язані з гармонійними коливаннями. Цей зв'язок демонструє вектор, що рівномірно обертається. Проекція вектора, що рівномірно обертається, здійснює гармонічні коливання.
На малюнку нижче показаний приклад трьох гармонійних коливань. Поодиноких за частотою, але різних за фазою та за амплітудою.