Виникнення теорії ймовірності як науки. Теорія імовірності

Деякі програмісти після роботи в галузі розробки звичайних комерційних програм замислюються про те, щоб освоїти машинне навчання і стати аналітиком даних. Часто вони не розуміють, чому ті чи інші методи працюють і більшість методів машинного навчання здаються магією. Насправді машинне навчання базується на математичній статистиці, а та, у свою чергу, заснована на теорії ймовірностей. Тому в цій статті ми приділимо увагу базовим поняттям теорії ймовірностей: торкнемося визначення ймовірності, розподілу і розберемо кілька простих прикладів.

Можливо вам відомо, що теорія ймовірностей умовно ділиться на 2 частини. Дискретна теорія ймовірностей вивчає явища, які можна описати розподілом із кінцевою (або лічильною) кількістю можливих варіантів поведінки (кидання гральних кісток, монеток). Безперервна теорія ймовірностей вивчає явища, розподілені на якійсь щільній множині, наприклад, на відрізку або в колі.

Можна розглянути предмет теорії ймовірностей на прикладі. Уявіть себе розробником шутера. p align="justify"> Невід'ємною частиною розробки ігор цього жанру є механіка стрілянини. Зрозуміло, що шутер, в якому вся зброя стріляє абсолютно точно, буде малоцікавий гравцям. Тому обов'язково потрібно додавати зброї розкид. Але проста рандомізація точок влучення зброї не дозволить зробити її тонке налаштування, тому коригування ігрового балансу буде складним. У той же час, використовуючи випадкові величини та їх розподіли, можна проаналізувати те, як працюватиме зброя із заданим розкидом, і допоможе внести необхідні коригування.

Простір елементарних результатів

Допустимо, з деякого випадкового експерименту, який ми можемо багаторазово повторювати (наприклад, кидання монети), ми можемо отримати деяку інформацію, що формалізується (випав орел або решка). Ця інформація називається елементарним результатом, при цьому доцільно розглядати безліч всіх елементарних результатів, що часто позначається буквою Ω (Омега).

Структура цього простору залежить від природи експерименту. Наприклад, якщо розглядати стрілянину по досить великій круговій мішені, - простором елементарних результатів буде коло, для зручності розміщене з центром в нулі, а результатом - точка в цьому колі.

Крім того, розглядають безліч елементарних наслідків - події (наприклад, потрапляння в «десятку» - це концентричне коло маленького радіусу з мішенню). У дискретному випадку все досить просто: ми можемо отримати будь-яку подію, включаючи або виключаючи елементарні наслідки за кінцевий час. У безперервному випадку все набагато складніше: нам знадобиться деяке досить хороше сімейство множин для розгляду, зване алгеброю за аналогією з простими речовими числами, які можна складати, віднімати, ділити і множити. Багато алгебр можна перетинати і об'єднувати, при цьому результат операції перебуватиме в алгебрі. Це дуже важлива властивість для математики, яка лежить за цими поняттями. Мінімальна родина складається з двох множин - з порожньої множини і простору елементарних результатів.

Міра та ймовірність

Імовірність - це спосіб робити висновки щодо поведінки дуже складних об'єктів, не вникаючи в принцип їхньої роботи. Таким чином, ймовірність визначається як функція від події (з того найкращого сімейства множин), яка повертає число - деяку характеристику того, наскільки часто може відбуватися така подія в реальності. Для певності математики домовилися, що це число має лежати між нулем та одиницею. Крім того, до цієї функції пред'являються вимоги: ймовірність неможливої ​​події нульова, ймовірність всієї множини результатів поодинока, і ймовірність об'єднання двох незалежних подій (множин, що не перетинаються) дорівнює сумі ймовірностей. Інша назва ймовірності - ймовірнісний захід. Найчастіше використовується міра Лебегова , узагальнююча поняття довжина, площа, обсяг на будь-які розмірності (n -мірний обсяг), і таким чином вона застосовна для широкого класу множин.

Разом сукупність безлічі елементарних наслідків, сімейства множин та ймовірнісної міри називається імовірнісним простором. Розглянемо, як можна побудувати імовірнісне простір для прикладу зі стріляниною в ціль.

Розглянемо стрілянину у велику круглу мету радіуса R , яку неможливо промахнутися. Безліч елементарних подій покладемо коло з центром на початку координат радіусу R . Оскільки ми збираємося використовувати площу (заходу Лебега для двовимірних множин) для опису ймовірності події, то будемо використовувати сімейство вимірних (для яких ця міра існує) множин.

Примітка Насправді це технічний момент і в простих завданнях процес визначення міри і сімейства множин не відіграє особливої ​​ролі. Але розуміти, що ці два об'єкти існують, необхідно, адже в багатьох книгах з теорії ймовірності теореми починаються зі слів: « Нехай (Ω, Σ, P) - імовірнісний простір …».

Як сказано вище, ймовірність всього простору елементарних результатів повинна дорівнювати одиниці. Площа (двовимірна міра Лебега, яку ми позначимо λ 2 (A) , де А — подія) кола за добре відомою зі школи формулою дорівнює π *R 2 . Тоді ми можемо запровадити ймовірність P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , і ця величина вже лежатиме між 0 і 1 для будь-якої події А.

Якщо припустити, що попадання в будь-яку точку мішені рівноймовірне, пошук ймовірності попадання стрільцем в якусь область мішені зводиться до пошуку площі цієї множини (звідси можна зробити висновок, що ймовірність попадання в конкретну точку нульова, адже площа точки дорівнює нулю).

Наприклад, ми хочемо дізнатися, яка ймовірність того, що стрілець потрапить у «десятку» (подія A — стрілок потрапив у потрібну множину). У нашій моделі «десятка» представляється навколо з центром в нулі і радіусом r. Тоді ймовірність влучення в це коло P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Це один із найпростіших різновидів завдань на «геометричну ймовірність», - більшість таких завдань вимагають пошуку площі.

Випадкові величини

Випадкова величина - функція, що переводить елементарні наслідки в речові числа. Наприклад, у розглянутому завданні ми можемо запровадити випадкову величину ρ(ω) — відстань від точки влучення до центру мішені. Простота нашої моделі дозволяє явно задати простір елементарних результатів: Ω = (ω = (x, y) такі числа, що x 2 + y 2 ≤ R 2). Тоді випадкова величина ρ(ω) = ρ(x, y) = x 2 + y 2.

Засоби абстракції від імовірнісного простору. Функція розподілу та щільність

Добре коли структура простору добре відома, але насправді так буває далеко не завжди. Навіть якщо структура простору відома, вона може бути складною. Для опису випадкових величин, якщо їх вираз невідомий, існує поняття функції розподілу, яку позначають F ξ(x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функція розподілу має кілька властивостей:

1. По-перше, вона знаходиться між 0 та 1 .
2. По-друге, вона не зменшується, коли її аргумент x зростає.
3. По-третє, коли число -x дуже велике, функція розподілу близька до 0 , а коли саме х велике, функція розподілу близька до 1 .

Ймовірно, сенс цієї конструкції при першому читанні не дуже зрозумілий. Одна з корисних властивостей – функція розподілу дозволяє шукати ймовірність того, що величина набуває значення з інтервалу. Отже, P (випадкова величина ξ приймає значення з інтервалу) = F ξ(b)-F ξ(a). Виходячи з цієї рівності, можемо дослідити, як змінюється ця величина, якщо межі a та b інтервалу близькі.

Нехай d = b-a тоді b = a + d . А отже, Fξ(b)-Fξ(a) = Fξ(a+d) - Fξ(a). При малих значеннях d зазначена вище різниця так само мала (якщо розподіл безперервний). Має сенс розглядати відношення p ξ (a, d) = (F ξ (a + d) - F ξ (a)) / d. Якщо при досить малих значеннях d це відношення мало відрізняється від деякої константи p ξ (a), яка не залежить від d, то в цій точці випадкова величина має щільність, рівну p ξ (a).

Примітка Читачі, які раніше стикалися поняттям похідної, можуть помітити, що p ξ (a) — похідна функції F ξ (x) у точці a . Принаймні, можна вивчити поняття похідної у цій статті статті на сайті Mathprofi.

Тепер зміст функції розподілу можна визначити так: її похідна (щільність p ξ , яку ми визначили вище) в точці а описує, наскільки часто випадкова величина потраплятиме в невеликий інтервал з центром у точці а (околиця точки а) порівняно з околицями інших точок . Інакше кажучи, що швидше зростає функція розподілу, то ймовірніше поява такого значення при випадковому експерименті.

Повернемося, наприклад. Ми можемо обчислити функцію розподілу для випадкової величини, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , що означає відстань від центру до точки випадкового потрапляння у мета. За визначенням F ρ(t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Ми можемо знайти густину p ρ цієї випадкової величини. Відразу зауважимо, поза інтервалу вона нульова, т.к. функція розподілу у цьому проміжку незмінна. На кінцях цього інтервалу густина не визначена. Всередині інтервалу її можна знайти, використовуючи таблицю похідних (наприклад, на сайті Mathprofi) та елементарні правила диференціювання. Похідна від t 2 /R 2 дорівнює 2t/R 2 . Значить, щільність ми виявили на всій осі дійсних чисел.

Ще одна корисна властивість щільності - ймовірність того, що функція набуває значення з проміжку, обчислюється за допомогою інтеграла від щільності по цьому проміжку (ознайомитися з тим, що це таке, можна в статтях про власний, невласний, невизначений інтеграл на сайті Mathprofi).

При першому читанні інтеграл по проміжку від функції f(x) можна уявляти як площу криволінійної трапеції. Її сторонами є фрагмент осі Ох, проміжок (горизонтальної осі координат), вертикальні відрізки, що з'єднують точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривій з точками (a,0), (b,0 ) на осі Ох. Останньою стороною є фрагмент графіка функції f від (a, f (a)) до (b, f (b)). Можна говорити про інтеграл проміжку (-∞; b] , коли для досить великих негативних значень, значення інтеграла по проміжку буде змінюватися знехтовано мало в порівнянні зі зміною числа a. Аналогічним чином визначається і інтеграл за проміжками Тематики інформаційні технології в цілому EN probability теоріїтеорії змін можливості калькуляції … Довідник технічного перекладача

Теорія імовірності- є частина математики, що вивчає залежності між ймовірностями різних подій. Перелічимо найважливіші теореми, які стосуються цієї науки. Імовірність появи однієї з кількох несумісних подій дорівнює… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ– математич. наука що дозволяє за ймовірностями одних випадкових подій знаходити ймовірності випадкових подій, пов'язаних к. л. чином із першими. Сучасна Т.В. заснована на аксіоматиці (див. Метод аксіоматичний) А. Н. Колмогорова. На… … Російська соціологічна енциклопедія

Теорія імовірності- Розділ математики, в якому за даними ймовірностями одних випадкових подій знаходять ймовірності інших подій, пов'язаних деяким чином з першими. Теорія ймовірностей вивчає також випадкові величини та випадкові процеси. Одна з основних… Концепція сучасного природознавства. Словник основних термінів

теорія імовірності- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ймовірність теорії vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теорія ймовірностей f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Теорія імовірності- … Вікіпедія

Теорія імовірності- математична дисципліна, що вивчає закономірності випадкових явищ. Початки сучасного природознавства

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ- (probability theory) див. Імовірність … Великий тлумачний соціологічний словник

Теорія ймовірностей та її застосування- («Теорія ймовірностей та її застосування»,) науковий журнал Відділення математики АН СРСР. Публікує оригінальні статті та короткі повідомлення з теорії ймовірностей, загальних питань математичної статистики та їх застосуванням у природознавстві та… Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Теорія імовірності. , Вентцель Е.С.. Книга являє собою підручник, призначений для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного втузівського курсу і тих, хто цікавиться технічними додатками теорії ймовірностей, в … Купити за 2056 грн (тільки Україна)
• Теорія імовірності. , Вентцель Е.С.. Ця книга буде виготовлена ​​відповідно до Вашого замовлення за технологією Print-on-Demand. Книга є підручником, призначеним для осіб, знайомих з математикою в обсязі звичайного…

Теорія ймовірностей – це розділ математики, вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їх властивості та операції з них.

Довгий час теорія ймовірностей не мала чіткого визначення. Воно було сформульовано лише 1929 року. Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх віків та перших спроб математичного аналізу азартних ігор (орлянка, кістки, рулетка). Французькі математики XVII століття Блез Паскаль і П'єр Ферма, досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, відкрили перші ймовірні закономірності, що виникають при киданні кісток.

Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що у основі масових випадкових подій лежать певні закономірності. Теорія ймовірності вивчає дані закономірності.

Теорія ймовірностей займається вивченням подій, настання яких достовірно невідоме. Вона дозволяє судити про ступінь ймовірності настання одних подій проти іншими.

Наприклад: визначити однозначно результат випадання «орла» чи «решки» внаслідок підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакова кількість «орлів» і «решок», що означає, що ймовірність того, що випаде «орел» чи «решка» », дорівнює 50%.

Випробуванняму разі називається реалізація певного комплексу умов, тобто у разі підкидання монети. Випробування може відтворюватися необмежену кількість разів. При цьому комплекс умов включає випадкові фактори.

Результатом випробування є подія. Подія буває:

1. Вірогідне (завжди відбувається в результаті випробування).
2. Неможливе (ніколи не відбувається).
3. Випадкове (може статися чи не статися внаслідок випробування).

Наприклад, при підкиданні монети неможлива подія – монета стане на ребро, випадкова подія – випадання «орла» чи «решки». Конкретний результат випробування називається елементарною подією. В результаті випробування відбуваються лише елементарні події. Сукупність усіх можливих, різних, конкретних результатів випробувань називається простором елементарних подій.

Основні поняття теорії

Ймовірність- Ступінь можливості походження події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія сталася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше малоймовірною або неймовірною.

Випадкова величина- це величина, яка в результаті випробування може набути того чи іншого значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме. Наприклад: число на пожежну станцію за добу, кількість потрапляння при 10 пострілах тощо.

Випадкові величини можна поділити на дві категорії.

1. Дискретною випадковою величиноюназивається така величина, яка в результаті випробування може приймати певні значення з певною ймовірністю, що утворюють лічильна множина (множина, елементи якої можуть бути занумеровані). Ця множина може бути як кінцевою, так і нескінченною. Наприклад, кількість пострілів до попадання в ціль є дискретною випадковою величиною, т.к. ця величина може приймати і нескінченну, хоч і лічильну кількість значень.
2. Безперервною випадковою величиноюназивається така величина, яка може приймати будь-які значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, що кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

Імовірнісний простір- Поняття, введене О.М. Колмогоровим у 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, що дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як суворої математичної дисципліни.

Імовірнісний простір - це трійка (іноді обрамлена кутовими дужками: , де

Це довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, наслідками або точками;
- сигма-алгебра підмножин, званих (випадковими) подіями;
- ймовірнісна міра чи ймовірність, тобто. сигма-адитивна кінцева міра, така що .

Теорема Муавра-Лапласа- Одна з граничних теорем теорії ймовірностей, встановлена ​​Лапласом 1812 року. Вона стверджує, що кількість успіхів при багаторазовому повторенні одного й того ж випадкового експерименту з двома можливими наслідками має приблизно нормальний розподіл. Вона дає змогу знайти наближене значення ймовірності.

Якщо кожного з незалежних випробувань ймовірність появи деякого випадкового події дорівнює () і - число випробувань, у яких фактично настає, то ймовірність справедливості нерівності близька (при великих ) до значення інтеграла Лапласа.

Функція розподілу теорії ймовірностей- функція, що характеризує розподіл випадкової величини чи випадкового вектора; ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше або дорівнює х де х - довільне дійсне число. За дотримання відомих умов повністю визначає випадкову величину.

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини (це розподіл ймовірностей випадкової величини, що розглядається в теорії ймовірностей). В англомовній літературі позначається через , у російській мові. У статистиці часто використовують позначення.

Нехай задано імовірнісний простір і певна на ньому випадкова величина. Тобто, за визначенням, – вимірна функція. Тоді, якщо існує інтеграл Лебега від простору , він називається математичним очікуванням, чи середнім значенням і позначається .

Дисперсія випадкової величини- міра розкиду цієї випадкової величини, т. е. її відхилення від математичного очікування. Позначається в російській літературі та в зарубіжній. У статистиці часто використовується позначення чи . Квадратний корінь з дисперсії називається середньоквадратичним відхиленням, стандартним відхиленням або стандартним розкидом.

Нехай - випадкова величина, визначена на певному просторі ймовірності. Тоді

де символ означає математичне очікування.

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежнимиякщо наступ одного з них не змінює ймовірність наступу іншого. Аналогічно, дві випадкові величини називають залежнимиякщо значення однієї з них впливає на ймовірність значень іншої.

Найпростіша форма закону великих чисел - це теорема Бернуллі, яка стверджує, що якщо ймовірність події однакова у всіх випробуваннях, то зі збільшенням числа випробувань частота події прагне ймовірності події і перестає бути випадковою.

Закон великих чисел у теорії ймовірностей стверджує, що середнє арифметичне кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього математичного очікування цього розподілу. Залежно від виду збіжності розрізняють слабкий закон високих чисел, коли має місце збіжність ймовірно, і посилений закон високих чисел, коли має місце збіжність майже напевно.

Загальний зміст закону великих чисел - спільна дія великої кількості однакових і незалежних випадкових факторів призводить до результату, що в межі не залежить від випадку.

У цьому властивості засновані методи оцінки ймовірності з урахуванням аналізу кінцевої вибірки. Наочним прикладом є прогноз результатів виборів на основі опитування вибірки виборців.

Центральні граничні теореми- клас теорем теоретично ймовірностей, стверджують, що сума досить великої кількості слабко залежних випадкових величин, мають приблизно однакові масштаби (жоден із доданків не домінує, не вносить у суму визначального вкладу), має розподіл, близьке до нормального.

Так як багато випадкових величин у додатках формуються під впливом декількох слабко залежних випадкових факторів, їх розподіл вважають нормальним. При цьому має дотримуватися умова, що жоден із факторів не є домінуючим. Центральні граничні теореми у випадках обгрунтовують застосування нормального розподілу.

"Випадковості не випадкові"... Звучить так, ніби сказав філософ, але на ділі вивчати випадковості долю великої науки математики. У математиці випадковостями займається теорія ймовірності. Формули та приклади завдань, а також основні визначення цієї науки будуть представлені у статті.

Що таке теорія ймовірності?

Теорія ймовірності – це одна з математичних дисциплін, яка вивчає випадкові події.

Щоб було трохи зрозуміліше, наведемо невеликий приклад: якщо підкинути монету вгору, вона може впасти «орлом» або «решкою». Поки монета перебуває у повітрі, обидві ці ймовірності можливі. Тобто можливість можливих наслідків співвідноситься 1:1. Якщо з колоди з 36 картами витягнути одну, тоді ймовірність буде позначатися як 1:36. Здавалося б, тут нічого досліджувати і передбачати, тим паче з допомогою математичних формул. Проте, якщо повторювати певну дію багато разів, можна виявити певну закономірність і її основі спрогнозувати результат подій за інших умов.

Якщо узагальнити все сказане вище, теорія ймовірності в класичному розумінні вивчає можливість виникнення однієї з можливих подій у числовому значенні.

Зі сторінок історії

Теорія ймовірності, формули та приклади перших завдань з'явилися ще в далекому Середньовіччі, коли вперше виникли спроби спрогнозувати результати карткових ігор.

Спочатку теорія ймовірності не мала нічого спільного з математикою. Вона обгрунтовувалася емпіричними фактами чи властивостями події, яку можна було відтворити практично. Перші роботи у цій сфері як у математичній дисципліні з'явилися торік у XVII столітті. Родоначальниками стали Блез Паскаль та П'єр Ферма. Довгий час вони вивчали азартні ігри та побачили певні закономірності, про які й вирішили розповісти суспільству.

Таку ж методику винайшов Християн Гюйгенс, хоча він не був знайомий з результатами досліджень Паскаля та Ферма. Поняття «теорія ймовірності», формули та приклади, що вважаються першими в історії дисципліни, були запроваджені саме ним.

Важливе значення мають роботи Якоба Бернуллі, теореми Лапласа і Пуассона. Вони зробили теорію ймовірності більш схожою на математичну дисципліну. Свій теперішній вид теорія ймовірностей, формули та приклади основних завдань набули завдяки аксіомам Колмогорова. В результаті всіх змін теорія ймовірності стала одним із математичних розділів.

Базові поняття теорії ймовірностей. Події

Головним поняттям цієї дисципліни є подія. Події бувають трьох видів:

• Достовірні.Ті, що відбудуться у будь-якому випадку (монета впаде).
• Неможливі.Події, що не відбудуться за жодного розкладу (монета залишиться висіти в повітрі).
• Випадкові.Ті, що відбудуться чи не відбудуться. Вони можуть вплинути різні чинники, які передбачити дуже важко. Якщо говорити про монету, то випадкові фактори, що можуть вплинути на результат: фізичні характеристики монети, її форма, вихідне положення, сила кидка тощо.

Усі події у прикладах позначаються великими латинськими літерами, крім Р, якій відведена інша роль. Наприклад:

• А = "студенти прийшли на лекцію".
• = = «студенти не прийшли на лекцію».

У практичних завданнях події записано словами.

Одна з найважливіших характеристик подій – їхня рівноможливість. Тобто якщо підкинути монету, всі варіанти вихідного падіння можливі, поки вона не впала. Але також події бувають не рівноможливими. Це відбувається, коли хтось спеціально впливає на результат. Наприклад, "мічені" гральні карти або гральні кістки, в яких зміщений центр тяжіння.

Ще події бувають сумісними та несумісними. Сумісні події не виключають один одного. Наприклад:

• А = "студентка прийшла на лекцію".
• В = "студент прийшов на лекцію".

Ці події незалежні одна від одної, і поява одного з них не впливає на появу іншого. Несумісні події визначаються тим, що одна виключає поява іншого. Якщо говорити про ту саму монету, то випадання «решки» унеможливлює появу «орла» в цьому ж експерименті.

Дії над подіями

Події можна множити та складати, відповідно, в дисципліні вводяться логічні зв'язки «І» та «АБО».

Сума визначається тим, що може з'явитися або подія А або В, або два одночасно. Якщо вони несумісні, останній варіант неможливий, випаде або А, або У.

Множення подій полягає у появі А та В одночасно.

Тепер можна навести кілька прикладів, щоб краще запам'яталися основи, теорія ймовірності та формули. Приклади розв'язання задач далі.

Завдання 1: Фірма бере участь у конкурсі на отримання контрактів на три різновиди роботи Можливі події, які можуть статися:

• А = "фірма отримає перший контракт".
• А 1 = "фірма не отримає перший контракт".
• В = "фірма отримає другий контракт".
• У 1 = "фірма не отримає другий контракт"
• З = «фірма отримає третій договір».
• З 1 = "фірма не отримає третій контракт".

За допомогою дій над подіями спробуємо виразити такі ситуації:

• К = "фірма отримає всі контракти".

У математичному вигляді рівняння матиме такий вигляд: К = АВС.

• М = «фірма не отримає жодного договору».

М = А 1 В 1 З 1 .

Ускладнюємо завдання: H = "фірма отримає один контракт". Оскільки не відомо, який саме контракт отримає фірма (перший, другий чи третій), необхідно записати низку можливих подій:

Н = А 1 НД 1 υ АВ 1 З 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - це ряд подій, де фірма не отримує першого і третього контракту, але отримує другий. Відповідним методом записані та інші можливі події. Символ υ у дисципліні позначає зв'язку «АБО». Якщо перевести наведений приклад людською мовою, то фірма отримає або третій контракт, або другий, або перший. Подібним чином можна записувати інші умови в дисципліні «Теорія ймовірності». Формули та приклади вирішення задач, представлені вище, допоможуть зробити це самостійно.

Власне, ймовірність

Мабуть, у цій математичній дисципліні ймовірність події – це центральне поняття. Існує 3 визначення ймовірності:

• класичне;
• статистичне;
• геометричне.

Кожне має місце у вивченні ймовірностей. Теорія ймовірності, формули та приклади (9 клас) в основному використовують класичне визначення, яке звучить так:

• Імовірність ситуації А дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють її появі, до всіх можливих результатів.

Формула має такий вигляд: Р(А)=m/n.

А – власне, подія. Якщо з'являється випадок, протилежний А, його можна записувати як або А 1 .

m – кількість можливих сприятливих випадків.

n – всі події, які можуть статися.

Наприклад, А = "витягнути карту червової масті". У стандартній колоді 36 карт, 9 із них червовий масті. Відповідно, формула рішення завдання матиме вигляд:

Р(А) = 9/36 = 0,25.

У результаті ймовірність того, що з колоди витягнуть карту червової масті, становитиме 0,25.

До вищої математики

Тепер стало трохи відомо, що таке теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, що трапляються у шкільній програмі. Однак теорія ймовірностей зустрічається і у вищій математиці, яка викладається у вишах. Найчастіше там оперують геометричними та статистичними визначеннями теорії та складними формулами.

Дуже цікава теорія ймовірності. Формули та приклади (вища математика) краще починати вивчати з малого – зі статистичного (або частотного) визначення ймовірності.

Статистичний підхід не суперечить класичному, а трохи розширює його. Якщо в першому випадку потрібно було визначити, з якою ймовірністю станеться подія, то в цьому методі необхідно вказати, як часто воно відбуватиметься. Тут запроваджується нове поняття «відносна частота», яку можна позначити W n (A). Формула нічим не відрізняється від класичної:

Якщо класична формула обчислюється для прогнозування, то статистична згідно з результатами експерименту. Візьмемо, наприклад, невеличке завдання.

Відділ технологічного контролю перевіряє вироби якість. Серед 100 виробів знайшли 3 неякісні. Як знайти можливість частоти якісного товару?

А = "поява якісного товару".

W n (A) = 97/100 = 0,97

Отже, частота якісного товару становить 0,97. Звідки взяли 97? Зі 100 товарів, які перевірили, 3 виявилися неякісними. Від 100 забираємо 3, отримуємо 97, це кількість якісного товару.

Трохи про комбінаторику

Ще один метод теорії ймовірності називають комбінаторикою. Його основний принцип полягає в тому, що якщо певний вибір А можна здійснити m різними способами, а вибір - n різними способами, то вибір А і В можна здійснити шляхом множення.

Наприклад, із міста А до міста В веде 5 доріг. З міста В до міста С веде 4 шляхи. Скількими способами можна дістатися з міста А до міста С?

Все просто: 5х4 = 20, тобто двадцятьма різними способами можна дістатися з точки А до точки С.

Ускладнимо завдання. Скільки існує способів розкладання карток у пасьянсі? У колоді 36 карт – це вихідна точка. Щоб дізнатися кількість способів, потрібно від вихідної точки віднімати по одній карті і множити.

Тобто 36х35х34х33х32 ... х2х1 = результат не вміщається на екран калькулятора, тому його можна просто позначити 36! Знак «!» біля числа вказує на те, що весь ряд чисел перемножується між собою.

У комбінаториці присутні такі поняття, як перестановка, розміщення та поєднання. Кожна з них має свою формулу.

Упорядкований набір елементів множини називають розміщенням. Розміщення може бути з повтореннями, тобто один елемент можна використовувати кілька разів. І без повторень, коли елементи не повторюються. n – це всі елементи, m – елементи, які беруть участь у розміщенні. Формула для розміщення без повторень матиме вигляд:

A n m =n!/(n-m)!

З'єднання з n елементів, які відрізняються лише порядком розміщення, називають перестановкою. У математиці це має вигляд: Рn = n!

Поєднаннями з n елементів по m називають такі з'єднання, в яких важливо, які це були елементи і яка їхня загальна кількість. Формула матиме вигляд:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернуллі

Теоретично ймовірності, як і у кожній дисципліні, є праці видатних у сфері дослідників, які вивели її нового рівня. Одна з таких праць – формула Бернуллі, що дозволяє визначати ймовірність появи певної події за незалежних умов. Це говорить про те, що поява А в експерименті не залежить від появи або появи тієї ж події в раніше проведених або наступних випробуваннях.

Рівняння Бернуллі:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Імовірність (р) появи події (А) є незмінною для кожного випробування. Імовірність того, що ситуація відбудеться рівно m разів у кількості експериментів, буде обчислюватися формулою, що представлена ​​вище. Відповідно, виникає питання, як дізнатися число q.

Якщо подія А настає кількість разів, відповідно, вона може і не наступити. p align="justify"> Одиниця - це число, яким прийнято позначати всі результати ситуації в дисципліні. Тому q - число, що означає можливість ненастання події.

Тепер вам відома формула Бернуллі (теорія ймовірності). Приклади розв'язання задач (перший рівень) розглянемо далі.

Завдання 2:Відвідувач магазину зробить покупку із ймовірністю 0,2. До магазину зайшли незалежно 6 відвідувачів. Якою є ймовірність того, що відвідувач зробить покупку?

Рішення: Оскільки невідомо, скільки відвідувачів мають зробити покупку, один чи всі шість, необхідно прорахувати всі можливі ймовірності, користуючись формулою Бернуллі.

А = "відвідувач здійснить покупку".

У цьому випадку: р = 0,2 (як зазначено у завданні). Відповідно, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (оскільки у магазині 6 відвідувачів). Число m змінюватиметься від 0 (жоден покупець не здійснить покупку) до 6 (всі відвідувачі магазину щось куплять). У результаті отримаємо рішення:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Жоден із покупців не здійснить покупку з ймовірністю 0,2621.

Як використовується формула Бернуллі (теорія ймовірності)? Приклади розв'язання задач (другий рівень) далі.

Після наведеного вище прикладу виникають питання про те, куди поділися С і р. Відносно р число в ступені 0 дорівнюватиме одиниці. Що стосується С, то його можна знайти формулою:

Cnm=n! /m!(n-m)!

Оскільки у першому прикладі m = 0, відповідно, С=1, що у принципі впливає результат. Використовуючи нову формулу, спробуємо дізнатися, якою є можливість купівлі товарів двома відвідувачами.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не така вже й складна теорія ймовірності. Формула Бернуллі, приклади якої представлені вище, є прямим тому доказом.

Формула Пуассона

Рівняння Пуассона використовують для обчислення малоймовірних випадкових ситуацій.

Основна формула:

P n (m) = m /m! e (-λ) .

При цьому = n х p. Ось така проста формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади розв'язання задач розглянемо далі.

Завдання 3: На заводі виготовили деталі у кількості 100000 штук Поява бракованої деталі = 0,0001. Якою є ймовірність, що в партії буде 5 бракованих деталей?

Як бачимо, шлюб - це малоймовірна подія, у зв'язку з чим обчислення використовується формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади розв'язання подібних завдань нічим не відрізняються від інших завдань дисципліни, в наведену формулу підставляємо необхідні дані:

А = "випадково обрана деталь буде бракованою".

р = 0,0001 (відповідно до умови завдання).

n = 100000 (кількість деталей).

m = 5 (браковані деталі). Підставляємо дані у формулу та отримуємо:

Р 100 000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так само як і формула Бернуллі (теорія ймовірності), приклади рішень за допомогою якої написані вище, рівняння Пуассон має невідоме е. По суті його можна знайти формулою:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Проте є спеціальні таблиці, у яких перебувають майже всі значення е.

Теорема Муавра-Лапласа

Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань досить велика, а ймовірність появи події А у всіх схемах однакова, то ймовірність появи події А певну кількість разів у серії випробувань можна знайти формулою Лапласа:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Щоб краще запам'яталася формула Лапласа (теорія ймовірності), приклади завдань нижче.

Спочатку знайдемо X m , підставляємо дані (вони зазначені вище) у формулу і отримаємо 0,025. За допомогою таблиць знаходимо число ϕ(0,025), значення якого 0,3988. Тепер можна підставляти всі дані у формулу:

Р 800 (267) = 1/√ (800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким чином, ймовірність того, що рекламна листівка спрацює рівно 267 разів, становить 0,03.

Формула Байєса

Формула Байєса (теорія ймовірності), приклади вирішення завдань за допомогою якої будуть наведені нижче, є рівнянням, яке описує ймовірність події, спираючись на обставини, які могли бути пов'язані з ним. Основна формула має такий вигляд:

Р(А|B) = Р(В|А) х Р(А)/Р(В).

А і є певними подіями.

Р(А|B) - умовна ймовірність, тобто може статися подія А за умови, що подія істинна.

Р (В|А) - умовна ймовірність події Ст.

Отже, заключна частина невеликого курсу «Теорія ймовірності» - формула Байєса, приклади розв'язання задач з якою нижче.

Завдання 5: На склад привезли телефони від трьох компаній При цьому частка телефонів, що виготовляються на першому заводі, становить 25%, на другому – 60%, на третьому – 15%. Відомо також, що середній відсоток бракованих виробів у першої фабрики становить 2%, другий - 4%, і в третьої - 1%. Необхідно знайти ймовірність того, що випадково вибраний телефон виявиться бракованим.

А = "випадково взятий телефон".

У 1 – телефон, який виготовила перша фабрика. Відповідно, з'являться вступні В 2 і В 3 (для другої та третьої фабрик).

У результаті отримаємо:

Р (1) = 25%/100% = 0,25; Р(2) = 0,6; Р (У 3) = 0,15 - таким чином ми знайшли ймовірність кожного варіанта.

Тепер потрібно знайти умовні ймовірності події, що шукається, тобто ймовірність бракованої продукції у фірмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В3) = 0,01.

Тепер підставимо дані у формулу Байєса та отримаємо:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01 = 0,0305.

У статті представлена ​​теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, але це лише вершина айсберга великої дисципліни. І після всього написаного логічно запитатиме, чи потрібна теорія ймовірності в житті. Простій людині складно відповісти, краще запитати про це у того, хто з її допомогою не раз зривав джек-пот.

Як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися у наочних уявленнях. Найраніші роботи вчених у галузі теорії ймовірностей відносяться до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірні закономірності, що виникають при киданні кісток. Під впливом порушених і розглянутих ними питань вирішенням тих самих завдань займався і Християн Гюйгенс. При цьому з листуванням Паскаля та Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій вводяться основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне очікування для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використовуються теореми складання та множення ймовірностей (не сформульовані явно), вийшла у друкованому вигляді на двадцять років раніше (1657) видання листів Паскаля і Ферма (1679).

Важливий внесок у теорію ймовірностей зробив Якоб Бернуллі: він дав доказ закону великих чисел у найпростішому випадку незалежних випробувань. У першій половині ХІХ століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас та Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття основний внесок зробили російські вчені П. Л. Чебишев, А. А. Марков та А. М. Ляпунов. У цей час було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасний вид теорія ймовірностей набула завдяки аксіоматизації, запропонованій Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. В результаті теорія ймовірностей набула суворого математичного вигляду і остаточно стала сприйматися як один із розділів математики.

Основні поняття теорії

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Теорія ймовірностей"

Примітки

Вступні посилання

• Ймовірностей теорія // Велика радянська енциклопедія: [30 т.] / гол. ред. А. М. Прохоров. - 3-тє вид. -М. : Радянська енциклопедія, 1969-1978.
• - стаття з енциклопедії «Кругосвіт»

Література

А

• Ахтямов, А. М. «Економіко-математичні методи»: навч. посібник Башк. держ. ун-т. – Уфа: БДУ, 2007.
• Ахтямов, А. М. «Теорія ймовірностей». - М: Фізматліт, 2009

Б

• Боровков, А. А. "Математична статистика", М: Наука, 1984.
• Боровков, А. А. "Теорія імовірності", М: Наука, 1986.
• Булдик, Г. М. , Мн., Вищ. шк., 1989.
• Булінський, А. Ст, Ширяєв, А. М. "Теорія випадкових процесів", М.: Фізматліт, 2003.
• Бекарєва, Н. Д. "Теорія імовірності. Конспект лекцій", Новосибірськ НДТУ
• Баврін, І. І. «Вища математика» (Частина 2 «Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики»), М.: Наука, 2000.

У

• Вентцель Є. З. Теорія імовірності.- М: Наука, 1969. - 576 с.
• Вентцель Є. З.Теорія імовірності. – 10-те вид., стер. – М.: «Академія», 2005. – 576 с. - ISBN 5-7695-2311-5.

Г

• Гихман І. І., Скороход А. В. Введення в теорію випадкових процесів. - М: Наука, 1977.
• Гмурман, Ст Є. «Теорія ймовірностей та математична статистика»: Навч. посібник - 12-те вид., перераб.- М.: Вища освіта, 2006.-479 с.: іл (Основи наук).
• Гмурман, Ст Є. «Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики»: Навч. посібник - 11-те вид., перераб. – К.: Вища освіта, 2006.-404 с. (Основи наук).
• Гнєденко, Б. В. «Курс теорії ймовірностей», - М: Наука, 1988.
• Гнєденко, Б. В. «Курс теорії ймовірностей», УРСС. М: 2001.
• Гнеденко Б. В., Хінчін А. Я., 1970.
• Гурський Є. І. «Збірник завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики», - Мінськ: Вища школа, 1975.

Д

• П. Є. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевніков. Вища математика у вправах та завданнях. (У 2-х частинах) - М.: Вищ.шк, 1986.

Е

• А. В. Єфімов, А. Є. Поспєлов та ін. 4 частина // Збірник задач з математики для втузів. - 3-тє вид., перероб. та доповн.. – М.: «Фізматліт», 2003. – Т. 4. – 432 с. - ISBN 5-94052-037-5.

До

• Колемаєв, Ст А. та ін. «Теорія ймовірностей та математична статистика», - М: Вища школа, 1991.
• Колмогоров, О. М. «Основні поняття теорії ймовірностей», М: Наука, 1974.
• Коршунов, Д. А., Фосс, С. Г. «Збірник завдань та вправ з теорії ймовірностей», Новосибірськ, 1997.
• Коршунов, Д. А., Чернова, Н. І. «Збірник завдань та вправ з математичної статистики», Новосибірськ. 2001.
• Кремер Н. Ш. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник для ВНЗ. - 2- вид., перероб. та доп.-М: ЮНІТІ-ДАНА, 2004. – 573 с.
• Кузнєцов, А. В. "Застосування критеріїв згоди при математичному моделюванні економічних процесів", Мн.: БГІНХ, 1991.

Л

• Лихолетов І. І., Мацкевич І. Є. «Керівництво до вирішення завдань з вищої математики, теорії ймовірностей та математичної статистики», Мн: Виш. шк., 1976.
• Лихолетов І. І. «Вища математика, теорія ймовірностей та математична статистика», Мн: Виш. шк., 1976.
• Лоєв М.В "Теорія імовірності", - М: Видавництво іноземної літератури, 1962.

М

• Маньковський Б. Ю., "Таблиця ймовірності".
• Мацкевич І. П., Свірід Г. П. "Вища математика. Теорія ймовірностей та математична статистика», Мн: Виш. шк., 1993.
• Мацкевич І. П., Свирид Г. П., Булдик Г. М. «Збірник завдань та вправ з вищої математики. Теорія ймовірностей та математична статистика», Мн: Виш. шк., 1996.
• Мейєр П.-А. Імовірність та потенціали. Видавництво Мир, Москва, 1973.
• Млодінов Л.

П

• Прохоров, А. Ст, Ст Р. Ушаков, Н. Г. Ушаков. «Завдання з теорії ймовірностей», наука. М: 1986.
• Прохоров Ю. Ст, Розанов Ю. А. "Теорія імовірності", - М: Наука, 1967.
• Пугачов, В. С. «Теорія ймовірностей та математична статистика», наука. М: 1979.

Р

• Ротар Ст І., "Теорія імовірності", - М: Вища школа, 1992.

З

• Свєшніков А. А. та ін., «Збірник завдань з теорії ймовірностей, математичної статистики та теорії випадкових функцій», - М: Наука, 1970.
• Свирид, Г. П., Макаренко, Я. С., Шевченко, Л. І. «Рішення завдань математичної статистики на ПЕОМ», Мн., вищ. шк., 1996.
• Севастьянов Би. А., «Курс теорії ймовірностей та математичної статистики», - М: Наука, 1982.
• Севастьянов, Би. А., Чистяков, Ст П., Зубков, А. М. «Збірник завдань з теорії ймовірностей», М: Наука, 1986.
• Соколенко О. І., "Вища математика", підручник. М: Академія, 2002.

Ф

• Феллер, Ст. «Введення в теорію ймовірностей та її застосування».

Х

• Хамітов, Г. П., Ведернікова, Т. І. «Вірогідності та статистики», БДУЕП. Іркутськ.: 2006.

Ч

• Чистяков, В. П. «Курс теорії ймовірностей», М., 1982.
• Чернова, Н. І. «Теорія ймовірностей», Новосибірськ. 2007.

Ш

• Шейнін О. Б.Берлін: NG Ferlag, 2005, 329 с.
• Ширяєв, А. Н. «Вірогідність», наука. М: 1989.
• Ширяєв, А. Н. «Основи стохастичної фінансової математики У 2-х т.», ФАЗИС. М: 1998.

Класичний аналіз Теорія функцій Диференціальні та інтегральні рівняння

Уривок, що характеризує Теорія ймовірностей

– Адже у нас є хліб панський, братніне? - Запитала вона.
– Господарський хліб весь цілий, – з гордістю сказав Дрон, – наш князь не наказував продавати.
– Видай його мужикам, видай усе, що їм потрібно: я тобі братом іменем дозволяю, – сказала княжна Мар'я.
Дрон нічого не відповів і глибоко зітхнув.
- Ти роздай їм цей хліб, якщо його буде достатньо для них. Все роздай. Я наказую тобі ім'ям брата, і скажи їм: Що, що наше, те й їхнє? Ми нічого не пошкодуємо їм. То ти скажи.
Дрон пильно дивився на князівну, коли вона говорила.
- Зволь ти мене, матінко, заради бога, вели від мене ключі прийняти, - сказав він. – Служив двадцять три роки, поганого не робив; зволь, заради бога.
Княжна Мар'я не розуміла, чого він хотів від неї і чого він просив звільнити себе. Вона відповідала йому, що вона ніколи не сумнівалася в його відданості і що вона готова зробити для нього і для мужиків.

Через годину після цього Дуняша прийшла до княжни з звісткою, що прийшов Дрон і всі мужики, за наказом княжни, зібралися біля комори, бажаючи переговорити з пані.
– Та я ніколи не кликала їх, – сказала княжна Марія, – я тільки сказала Дронушці, щоб роздати їм хліба.
— Тільки ради бога, княжна матінко, накажіть їх прогнати і не ходіть до них. Все обман один, – казала Дуняша, – а Яків Алпатич приїдуть, і поїдемо… і ви не будьте ласкаві…
- Який же обман? – здивовано спитала княжна
- Та я знаю, тільки послухайте мене, заради бога. От і няньку хоч спитайте. Кажуть, не згодні їхати за вашим наказом.
- Ти що-небудь не те кажеш. Та я ніколи не наказувала їхати... – сказала князівна Марія. - Поклич Дронушку.
Дрон, що прийшов, підтвердив слова Дуняші: мужики прийшли за наказом княжни.
– Та я ніколи не кликала їх, – сказала княжна. - Ти, мабуть, не так передав їм. Я тільки сказала, щоб ти віддав їм хліб.
Дрон, не відповідаючи, зітхнув.
- Якщо накажете, вони підуть, - сказав він.
– Ні, ні, я піду до них, – сказала княжна Мар'я
Незважаючи на відмовляння Дуняші та няні, княжна Марія вийшла на ґанок. Дрон, Дуняша, няня та Михайло Іванович ішли за нею. «Вони, мабуть, думають, що я пропоную їм хліб для того, щоб вони залишилися на своїх місцях, і сама поїду, кинувши їх на свавілля французів, – думала княжна Мар'я. – Я їм обіцятиму місячину в підмосковній квартирі; я впевнена, що Andre ще більше зробив би на моєму місці», - думала вона, підходячи в сутінках до натовпу, що стояв на вигоні біля комори.
Натовп, нудьгуючи, заворушився, і швидко знялися капелюхи. Княжна Мар'я, опустивши очі і плутаючись ногами у сукні, близько підійшла до них. Стільки різноманітних старих і молодих очей було спрямоване на неї і стільки було різних осіб, що княжна Мар'я не бачила жодного обличчя і, відчуваючи необхідність говорити раптом з усіма, не знала, як бути. Але знову свідомість того, що вона – представниця батька та брата, надало їй сили, і вона сміливо розпочала свою промову.
— Я дуже рада, що ви прийшли, — почала княжна Мар'я, не зводячи очей і відчуваючи, як швидко і сильно билося її серце. - Мені Дронушка сказав, що вас розорила війна. Це наше спільне горе, і я нічого не пошкодую допомогти вам. Я сама їду, бо вже небезпечно тут і ворог близько... бо... Я вам віддаю все, мої друзі, і прошу вас взяти все, весь хліб наш, щоб у вас не було потреби. А якщо вам сказали, що я віддаю вам хліб, щоб ви залишилися тут, то це неправда. Я, навпаки, прошу вас їхати з усім вашим майном у нашу підмосковну, і там я беру на себе і обіцяю вам, що ви не потребуватимете. Вам дадуть і будинки, і хліба. - Княжна зупинилася. У натовпі тільки чулися зітхання.
– Я не від себе роблю це, – продовжувала княжна, – я це роблю ім'ям покійного батька, який був вам гарним паном, і за брата, та його сина.
Вона знову зупинилася. Ніхто не переривав її мовчання.
– Горе наше спільне, і ділитимемо все навпіл. Все, що моє, то ваше, – сказала вона, оглядаючи обличчя, що стояли перед нею.
Всі очі дивилися на неї з однаковим виразом, значення якої вона не могла зрозуміти. Чи це була цікавість, відданість, подяка, чи переляк і недовіра, але вираз на всіх обличчях був однаковий.
– Багато задоволені вашою милістю, тільки нам брати панський хліб не доводиться, – сказав ззаду голос.
- Та чому ж? - Сказала княжна.
Ніхто не відповів, і княжна Мар'я, озираючись по натовпу, помічала, що тепер усі очі, з якими вона зустрічалася, одразу ж опускалися.
- Чому ж ви не хочете? - Запитала вона знову.
Ніхто не відповів.
Княжне Мар'ї ставало тяжко від цього мовчання; вона намагалася вловити чийсь погляд.
- Чому ви не кажете? - звернулася княжна до старого старого, який, спершись на ціпок, стояв перед нею. - Скажи, якщо ти думаєш, що ще що-небудь потрібно. Я все зроблю, - сказала вона, вловивши його погляд. Але він, ніби розсердившись за це, опустив зовсім голову і промовив:
- Чого погоджуватися те, не треба нам хліба.
– Що ж, нам усе кинути щось? Не згодні. Не згодні... Немає нашої згоди. Ми тебе шкодуємо, а нашої згоди нема. Їдь сама, одна… – пролунало в натовпі з різних боків. І знову на всіх обличчях цього натовпу з'явився один і той же вираз, і тепер це був уже напевно не вираз цікавості та вдячності, а вираз озлобленої рішучості.
– Та ви не зрозуміли, мабуть, – з сумною посмішкою сказала княжна Мар'я. – Чому ви не хочете їхати? Я обіцяю вас поселити, годувати. А тут ворог розорить вас.
Але її голос заглушали голоси натовпу.
– Немає нашої згоди, хай розоряє! Не беремо твого хліба, немає згоди нашої!
Княжна Мар'я намагалася вловити знову чийсь погляд з натовпу, але жоден погляд не був спрямований на неї; очі, очевидно, уникали її. Їй стало дивно і ніяково.
- Бач, навчила спритно, за нею у фортецю йди! Вдома розори та в кабалу і йди. Як же! Я хліб, мовляв, віддам! – чулися голоси у натовпі.
Княжна Мар'я, опустивши голову, вийшла з кола і пішла до хати. Повторивши Дрону наказ про те, щоб завтра були коні для від'їзду, вона пішла до своєї кімнати і залишилася сама зі своїми думками.

Довго цієї ночі княжна Мар'я сиділа біля відчиненого вікна у своїй кімнаті, прислухаючись до звуків говірки мужиків, що долинало з села, але вона не думала про них. Вона відчувала, що, хоч би скільки вона думала про них, вона не могла б зрозуміти їх. Вона думала все про одне - про своє горе, яке тепер, після перерви, проведеної турботами про сьогодення, вже стало для неї минулим. Вона тепер могла згадувати, могла плакати і могла молитися. З заходом сонця вітер стих. Ніч була тиха та свіжа. О дванадцятій годині голоси стали затихати, заспівав півень, з-за лип став виходити повний місяць, піднявся свіжий, білий туман роси, і над селом і над будинком запанувала тиша.
Одна за іншою представлялися їй картини близького минулого – хвороби та останніх хвилин батька. І з сумною радістю вона тепер зупинялася на цих образах, відганяючи від себе з жахом тільки одне останнє уявлення його смерті, яке – вона відчувала – вона не могла споглядати навіть у своїй уяві в цю тиху і таємничу годину ночі. І картини ці уявлялися їй з такою ясністю і такими подробицями, що вони здавались їй то дійсністю, то минулим, то майбутнім.
То їй жваво представлялася та хвилина, коли з ним став удар і його з саду в Лисих Горах тягли під руки і він бурмотів щось безсилим язиком, смикав сивими бровами і неспокійно і несміливо дивився на неї.
Він і тоді хотів сказати мені те, що він сказав мені в день своєї смерті, думала вона. – Він завжди думав те, що сказав мені». І ось їй з усіма подробицями згадалася та ніч у Лисих Горах напередодні удару, що стався з ним, коли княжна Марія, передчуваючи біду, проти його волі залишилася з ним. Вона не спала і вночі навшпиньки зійшла вниз і, підійшовши до дверей у квіткову, в якій цієї ночі ночував її батько, прислухалася до його голосу. Він змученим, втомленим голосом говорив щось із Тихоном. Йому, мабуть, хотілося поговорити. «І чому він мене не покликав? Чому він не дозволив мені бути тут на місці Тихона? – думала тоді й тепер княжна Марія. - Він уже не висловить ніколи нікому тепер усього того, що було в його душі. Ніколи вже не повернеться для нього і для мене ця хвилина, коли б він говорив усе, що йому хотілося висловити, а я, а не Тихін, слухала б і розуміла його. Чому я тоді не ввійшла до кімнати? – думала вона. - Можливо, він тоді сказав би те, що він сказав у день смерті. Він і тоді в розмові з Тихоном двічі спитав про мене. Йому хотілося мене бачити, а я стояла за дверима. Йому було сумно, важко говорити з Тихоном, який не розумів його. Пам'ятаю, як він заговорив з ним про Лізу, як живу, - він забув, що вона померла, і Тихін нагадав йому, що її вже немає, і він закричав: "Дурень". Йому важко було. Я чула з-за дверей, як він, крехтячи, ліг на ліжко і голосно прокричав: „Бог мій! Чому я не зійшла тоді? Що б він зробив мені? Що б я втратила? А може, тоді він би втішився, він сказав би мені це слово». І княжна Марія вголос промовила те лагідне слово, яке він сказав їй у день смерті. «Ду шенька! – повторила княжна Мар'я це слово і заридала сльозами, що полегшували душу. Вона бачила тепер перед собою обличчя. І не те обличчя, яке вона знала з того часу, як себе пам'ятала, і яке вона завжди бачила здалеку; а то обличчя - боязке і слабке, яке вона в останній день, пригинаючись до його рота, щоб чути те, що він говорив, вперше розглянула поблизу всіх його зморшок і подробиць.