Пересічні прямі. Якщо прямі перетинаються, то точка їх перетину на епюрі буде на одній лінії зв'язку

Паралельний прямий. Проекції паралельних прямих на площині – паралельні.
-Схрещувальні прямі. Якщо прямі не перетинаються і паралельні, він схрещуються. Точки перетину їх проекцій не лежать на одній лінії проекційного зв'язку

-взаємно перпендикулярні прямі

Щоб прямий кут проектувався в натуральну величину, необхідно і достатньо, щоб одна з сторін була паралельна, а інша не перпендикулярна площині проекцій.

Іноді точки в просторі можуть бути розташовані таким чином, що їх проекції на площину співпадуть. Ці точки називаються конкуруючими.


Малюнок а – горизонтально конкуруючі точки. Мабуть та, що у фронтальної проекції вище.
Малюнок б – точки, що фронтально конкурують. Видима та, що нижче на горизонтальній площині.
Малюнок – профільно конкуруючі точки. Видима та, що далі від осі Оу

Відповіді до іспиту з курсу Інженерна та комп'ютерна графіка.

Апарат проектування включаєпроецірующие промені, площину, на яку здійснюється проектування, та проектований об'єкт. Усі промені, що проеціюють предмет, виходять з однієї точки S, званої центром проекцій

Методи проектування: Центральне (), паралельне (частковий випадок центрального. визначається положення площини та напрямок проектування, якщо пряма паралельна напрямку проектування то вона проектується в точку), Ортогональне.

Ортогональний – прямокутне проектування є окремим випадком паралельного проектування. При якому напрям проектування S перпендикулярно площині проекції.

Властивості ортогонального проектування:

Довжина відрізка дорівнює довжині його проекції, поділеної на косинус кута нахилу відрізка до площини проекцій.

Крім того, для ортогонального проектування буде справедлива теорема про проектування прямого кута:

Теорема:

Якщо хоча б одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а друга не перпендикулярна, то кут на цю площину проектується в натуральну величину.

2)Метод паралельного проектування на 2-ге взаємно перпендикулярні площині був викладений французьким геометром Гаспаром Монжем і названий Епюрою Монжа П1-горизонтальна П2 - фронтальна П3 - профільна

3) Система прямокутних координат називається ще декартовими координатами під назвою французького математика декарта. Тут три взаємно перпендикулярні площини називаються площинами координат. Прямі якими перетинаються площини називаються осями координат. можна знайти координати точки за даними її проекцій. Координати точки називаються відстані, що відсікаються лініями зв'язку на осях координат. Три координати точки задають її положення у просторі.

Початок координат Пробуде переміщатися бісектрисою кута Х 21 ПроZ 23 , яку називають постійної прямої креслення. Її можна задати довільно, або спочатку збудувати третю проекцію А 3 , а потім провести бісектрису кута А 1 А 0 А 3 .

4) Прямі, якими перетинаються площини координат, називаються осями координат ( X, Y, Z). Точка перетину осей координат називається початком координат і позначається буквою Про. Площини координат у своєму перетині утворюють 8 тригранних кутів, ділячи простір на 8 частин - октантів (від латинського octo- вісім).

Знаки Номер октанта

координат I II III IV V VI VII VIII

0X + + + + - - - - -

0Y + - - + + - - +

0Z + + - - + + - -

Точка загального стану- точка, що у просторі октанта.

Точка приватного стану- точка, що знаходиться або на осі проекцій, або на поверхні проекцій.

Конкуруючі точки- Точки, що лежать на одному проецірующем промені. Це означає, що з них закриває іншу, дві однойменні координати цих точок рівні, а відповідні проекції цих точок збігаються.

Симетричні точки- Точки, розташовані з різних сторін на однаковій відстані від осі проекцій. У цьому вони різняться знаки відповідних координат.

Горизонтально конкуруючі точки- Точки, розташовані так, що їх проекції збігаються (тобто конкурують на площині Π 1).

Фронтально конкуруючі точки- Точки, у яких збігаються проекції на площині Π 2 .

Профільно-конкуруючі точки- Точки з конкуруючими проекціями на площині Π 3 .

Визначення видимості конкуруючих точок при проектуванні- Просторове уявлення взаємного розташування конкуруючих точок, а саме: яка з точок знаходиться вище або ближче до спостерігача; яка з точок при проектуванні відповідну площину " закриє " іншу, конкурує з нею, точку, тобто. проекції яких точок виявляться видимими чи невидимими. Наприклад, у горизонтально конкуруючих точок буде видно ту, у якої більша висота.

Видимість конкуруючих точок на кресленні- умовний запис позначення точок та символу конкурування на кресленні послідовності проектування конкуруючих точок на площину проекцій, коли проекції збігаються. Позначення видимої проекції ставиться першому місці. Позначення невидимої - другою (чи береться в дужки)

5) Проекція прямої лінії визначається точками

Припустимо, що дано фронтальні та горизонтальні проекції точок. Аі У(Малюнок 10). Провівши через однойменні проекції цих точок прямі лінії, ми отримаємо проекції відрізка АВ- фронтальну ( А 2 У 2) та горизонтальну ( А 1 У 1). Крапки Аі Узнаходяться на різних відстанях від кожної з площин 1, 2, 3, тобто. пряма АВне паралельна жодній із них і не перпендикулярна до них. Така пряма називається прямою загального становища. Тут кожна з проекцій менша від самого відрізка А 1 У 1 <АВ, А 2 У 2 <АВ, А 3 У 3 <АВ.

Пряма лінія може займати щодо площин особливі (приватні) положення. Розглянемо їх.

Прямі паралельні площинам проекцій, займають приватне становище у просторі та називаються прямими рівня . Залежно від того, якою площиною проекцій паралельна задана пряма, розрізняють:

1. Пряма паралельна площині π 1 (рисунок 11). У цьому випадку фронтальна проекція прямої паралельна осі проекції, а горизонтальна проекція дорівнює самому відрізку ( А 2 У 2 ║ОХ, А 1 У 1 =│АВ│). Така пряма називається горизонтальною та позначається буквою “ h”.

2. Пряма паралельна площині π 2 (рисунок 12). У цьому випадку її горизонтальна проекція паралельна осі проекції ( З 1 D 1 ║ОХ), а фронтальна проекція дорівнює самому відрізку ( З 2 D 2 =│CD│). Така пряма називається фронтальною та позначається буквою “ f”.

3. Пряма паралельна площині π 3 (рисунок 13). У цьому випадку горизонтальна та фронтальна проекції прямої розташовуються на одному перпендикулярі до осі проекції. ОХ, А її профільна проекція дорівнює самому відрізку, тобто. Е 1 До 1┴ ОХ, Е 2 До 2 ┴ ОХ, Е 3 До 3┴ ЄК. Така пряма називається профільною та позначається буквою “ p”.

Прямі рівні, паралельні двом площин проекцій, будуть перпендикулярні третій площині проекцій. Такі прямі називають проецірующими. Розрізняють три основні проецірующие прямі: горизонтально, фронтально і профільно прямі, що проеціюють.

4. Пряма паралельна двом площинам – π 1 і π 2 . Тоді вона буде перпендикулярна площині 3 (рисунок 14). Проекція прямої на площині π 3 представляє собою точку ( А 3 ≡У 3) а проекції на площинах π 1 і π 2 будуть паралельні осі ОХ (А 1 У 1 ║ОХ, А 2 У 2 ║ОХ).

Малюнок 13

5. Пряма паралельна площинам π 1 і π 3, тобто. вона перпендикулярна площині π 2 (рисунок 15). Проекція прямої на площині π 2 представляє собою точку ( З 2 ≡D 2), а проекції на площинах 1 і 3 будуть паралельні осям Уі У, тобто. перпендикулярні до осей Хі Z, (C 1 D 1┴ OX, C 3 D 3┴ Z).

6. Пряма паралельна площин π 2 і π 3 , тобто. вона перпендикулярна площині 1 (рисунок 16). Тут проекція прямої на площині π 1 представляє собою точку ( Е 1 ≡До 1) а проекції на площинах π 2 і π 3 будуть перпендикулярні осі ОХі ОУвідповідно ( Е 2 До 2┴ ОХ, Е 3 До 3┴ ОУ).

Горизонталь дорівнює відрізку - фронтальна проекція прямої паралельна осі проекції

Фронталь дорівнює відрізку - горизонтальна проекція паралельна осі проекції

Справжня величина тоді коли пряма паралельна площині.

Теорема Фалеса- одна з теорем планіметрії.

Формулювання теореми:

Дві парипаралельних прямих, що відсікають на одній січній рівнівідрізки , відсікають на будь-якій іншій січній також рівні відрізки.

Відповідно до теореми Фалеса (див. рисунок), якщо A 1 A 2 = A 2 A 3 , то B 1 B 2 = B 2 B 3 .

Паралельні прямі відсікають на пропорційні відрізки, що січуть:

Якщо точка належить до деякої прямої, то проекції цієї точки лежать на відповідних проекціях прямої. Однією з властивостей паралельного проектування є те, що відношення відрізків прямої лінії дорівнює відношенню їх проекцій (рисунок 17). Оскільки прямі АА 1 , СС 1 , ВВ 1 паралельні між собою, то
.

Е те випливає з теореми Фаллеса

Оскільки відношення відрізків прямої лінії одно

щодо їх проекцій, то розділити в цьому відношенні відрізок

прямий на епюрі - означає розділити в тому ж відношенні будь-яку його

проекцію.

6) Слідами прямої лінії називаються

Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої (рисунок 19). Горизонтальна проекція горизонтального сліду (точка М 1) збігається із самим слідом, а фронтальна проекція цього сліду М 2 лежить на осі проекції Х. Фронтальна проекція фронтального сліду N 2 збігається зі слідом N, а горизонтальна його проекція N 1 лежить на тій же осі проекції Х. Отже, щоб знайти горизонтальний слід, треба продовжити фронтальну проекцію А 2 У 2 до перетину з віссю Хі через точку М 2 провести перпендикуляр до осі Хдо перетину з продовженням горизонтальної проекції А 1 У 1 . Крапка М≡М 1 – горизонтальний слід прямий АВ. Аналогічно знаходимо фронтальний слід N≡N 2 .

Пряма немає сліду на площині проекції у разі, коли вона паралельна цієї площині.

7)На горизонтальній проекції А1В1 як на катете будуємо прямокутний трикутник. Другий катет цього трикутника дорівнює різниці видалення кінців відрізка від горизонтальної площини проекції. На кресленні ця різниця визначається величиною zb-za / В результаті одержуємо прямокутний трикутник де гіпотенуза дорівнює довжині відрізка АВ а кут між нею та великим катетом – кут похилена даного відрізка АВ до горизонтальної площини проекції

8) Дві прямі в просторі можуть бути паралельними, що перетинаються або схрещуються.

Якщо дві прямі у просторі паралельні між собою, їх проекції на площині також паралельні між собою (рисунок 20). Зворотне твердження не завжди є вірним. Якщо прямі лінії перетинаються, то їх однойменні проекції перетинаються між собою в точці, яка є проекцією точки перетину цих прямих

Прямі паралельні, якщо: точки перетину проекція прямих ліній, що з'єднують кінці даних відрізків, є проекціями точки перетину цих прямих ліній.

Прямі, що схрещуються, не перетинаються і не паралельні між собою

Як видно з даного малюнка, точка з проекціями До 2 та До 1 належить прямий АВ, а крапка з проекціями L 2 та L 1 належить прямий ЗD. Ці точки однаково віддалені від площини π 2 але відстані їх від площини π 1 різні: точка Lрозташована вище, ніж точка До.

9) Ознаки перпендикулярності двох прямих, прямої та площини, двох площин розглядаються у стереометрії. Нагадаємо деякі з них: 1) дві прямі називаються взаємно перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 o; 2) якщо пряма перпендикулярна кожній з двох прямих, що перетинаються, належать площині, то ця пряма і площина взаємно перпендикулярні; 3) якщо пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить цій площині; 4) якщо площина проходить через перпендикуляр до іншої площини, то вона перпендикулярна до цієї площини.

10) Будь-який лінійний кут (гострий, тупий, прямий) проектується на площину проекцій у справжню величину, якщо його сторони паралельні цій площині. При цьому друга проекція кута вироджується у пряму лінію, перпендикулярну до ліній зв'язку. Крім того, прямий кут проектується в справжню величину ще й тоді, коли тільки одна з його сторін паралельна площині проекцій. Теорема 1.Якщо одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а інша є прямою загального положення, то прямий кут проектується на цю площину проекцій без спотворення, тобто в прямий кут.

Якщо жодна із сторін не паралельна площині проекції Прямий кут DВС на площину П 2 проектується у спотворену величину

Якщо площина γ , в якій розташований певний кут АВС, Перпендикулярна до площини проекції (π 1), то він проектується на цю площину проекції у вигляді прямої лінії

2. Якщо проекція кута представляє кут 90 0 , то кут, що проектується, буде прямим лише за умови, що одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій (рис. 3.26 ).

3. Якщо обидві сторони будь-якого кута паралельні площині проекцій, то його проекція дорівнює за величиною куту, що проектується.

4. Якщо сторони кута паралельні площині проекцій або однаково нахилені до неї, то розподіл проекції кута на цій площині навпіл відповідає розподілу навпіл і самого кута в просторі.

5. Якщо сторони кута не паралельні площині проекцій, то кут на цю площину проектується зі спотворенням

Якщо кут не прямий і одна сторона його паралельна площині проекцій, то на цю площину гострий кут проектується у вигляді гострого кута меншої величини, тупий кут - у вигляді тупого кута більшої величини.

11) Площина на кресленні може бути задана:

а) проекціями трьох точок, що не лежать на одній прямій

б) проекціями прямої та точки, взятої поза прямою

в) проекціями двох прямих, що припиняються

г) проекціями двох паралельних прямих

д) проекціями будь-якої плоскої фігури – трикутником, багатокутником, колом тощо.

е) більш наочно площина може бути зображена за допомогою слідів - ліній перетину її з площинами проекцій

Якщо площина не паралельна і перпендикулярна жодної з площин проекцій, вона називається площиною загального становища.

Якщо площина паралельна площині π 1 то така площина називається горизонтальною.

Якщо площина паралельна площині π 2 то така площина називається фронтальною

Якщо площина паралельна площині π 3 то така площина називається профільною площиною

Якщо площина перпендикулярна площині ?

Якщо площина перпендикулярна площині π 2 (але не паралельна площині π 1), то така площина називається фронтально-проєкуючою

Якщо площина перпендикулярна площині π 3 (але не перпендикулярна площинам π 1 і π 2), то така площина називається профільно-проєційною

Лінію перетину площини з площиною проекцій називають слідом

12-13) Перевірка належності точки площини.

Для перевірки належності точки площини використовують допоміжну пряму, що належить площині. Так, на рис. 3.14 площина Q задана проекціями а 1 b 1 , а 2 b 2 та c 1 d 1 , c 2 d 2 паралельних прямих, точка - проекціями e 1 , e 2 . Проекції допоміжної прямої проводять так, щоб вона проходила через одну із площин точки. Наприклад, фронтальна проекція 1 2 2 2 допоміжної прямої проходить через проекцію e 2 . Побудувавши горизонтальну проекцію 1 1 2 1 допоміжної прямої, видно, що точка Е не належить площині Q.

Проведення будь-якої прямої в площині.

Для цього достатньо (рис.3.10) на проекціях площини взяти проекції двох довільних точок, наприклад, а 1 ,а 2 і 1 1 , 1 2 і через них провести проекції а 1 1 1 , а 2 1 2 прямий А-1. На рис. 3.11 проекції b 1 1 1 , b 2 1 2 прямий B-1 проведені паралельно проекціям а 2 с 2 а 1 з 1 сторони АС трикутника, заданого проекціями а 1 b 1 c 1 , а 2 b 2 c 2 . Пряма B-1 належить площині трикутника ABC.

Побудова у площині певної точки.

Для побудови у площині точки у ній проводять допоміжну пряму і на ній відзначають точку. На кресленні (рис.3.12) площині, заданої проекціями а 1 , а точки 2, b 1 c 1 , b 2 c 2 прямої, проведені проекції а 1 1 1 , а 2 1 2 допоміжної прямої, що належить площині. На ній відзначені проекції d 1 d 2 точки D, що належить площині.

Побудова недостатньої проекції точки.

На рис.3.13 площина задана проекціями а 1 b 1 c 1 а 2 b 2 c 2 трикутника. Точка D, що належить цій площині, задана проекцією d 2 . Слід добудувати горизонтальну проекцію точки D. Її будують за допомогою допоміжної прямої, що належить площині і проходить через точку D. Для цього проводять, наприклад, фронтальну проекцію b 2 1 2 d 2 прямий, будують її горизонтальну проекцію b 1 1 1 і на ній відзначають горизонтальну проекцію d1 точки.

14) Позиційними завданнями називаються завдання, в яких визначається взаємне розташування різних геометричних фігур щодо один одного (див. пункт 5)

15)Перетин прямого загального стану з площиною загального положення

Алгоритм побудови точки перетину:

Визначаємо видимість прямої аза допомогою методу конкуруючих точок.(Точки, у яких проекції на П 1 П 1 , а точки, у яких проекції на П 2 збігаються, називають конкуруючими по відношенню до площини П 2 .)

16) Пряма лінія перпендикулярна площині якщо вона перпендикулярна будь-яким двом прямим цієї площини, що перетинається. Дві площини взаємно перпендикулярні якщо одна з площин має пряму перпендикулярну лінію цієї площини

Щоб побудувати в проекціях пряму перпендикулярну площину необхідно скористатися теоремою про проектування прямого кута.

Пряма лінія перпендикулярна площині, якщо її проекції перпендикулярні однойменним проекціям напрямків горозинталі та фронталі площини.

Зважувана перпендикулярність двох прямих

Точки, розташовані у просторі на одній проеціруючій прямій, називаються конкуруючими. Вони проектуються на відповідну площину проекцій в одну точку відповідно до рисунка 1.2.15. Так, Аі У- Горизонтально конкуруючі точки; З і D - фронтально конкуруючі точки; Еі F- Профільно конкуруючі точки.

Для збільшення наочності креслення вдаються до певної умовної видимості. Її можна визначити за допомогою конкуруючих точок. Вважатимемо, що напрямок променів зору збігається з напрямком проектуючих ліній. Питання про видимість точок Аі Уна горизонтальній проекції вирішується так: видно точку, висота якої більше.

Рисунок 1.2.15 – Конкуруючі точки

Малюнок 1.2.16 – Комплексний креслення конкуруючих точок

Відповідно до рисунка 1.2.16 фронтальна проекція показує, що точка Арозташована вище, ніж точка У. Аналогічний критерій видимості застосовують до точок. Зі D, і до точок Eі F. Так, точки Зі Dпорівнюють по глибині, а точки Еі F- За широтою.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

При вивченні накреслювальної геометрії слід дотримуватись загальних вказівок

Накреслювальна геометрія, що вивчається студентами заочної форми навчання в першому семестрі, є першою частиною дисципліни інженерна графіка і е.. цей навчально-методичний посібник присвячений саме цій частині дисципліни.. при вивченні курсу необхідно ознайомитися з програмою придбати навчальну літературу і ретельно продумати.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твітнути

Всі теми цього розділу:

З дисципліни
«Інженерна графіка» Нарисна геометрія є наукою про графічні зображення. Різні інженерні споруди, їх окремі конструкції, архітектурні.

Основні позначення
- Точки в просторі позначають великими літерами латинського алфавіту A, B, C, D… або арабськими цифрами 1, 2, 3, 4, 5… - прямі чи криві лінії у просторі – з

Способи проектування
За допомогою креслень, тобто зображень на площині, вивчаються просторові форми предметів і відповідні геометричні закономірності. Розробкою способів по

Центральне проектування
Нехай

Паралельне проектування
Наочність - цінна властивість центрально-проекційних зображень. Однак на практиці велике значення мають інші якості проекційних креслень, зокрема, простота побудови і оборотність.

Ортогональне проектування
Паралельне проектування називається ортогональним (прямокутним), якщо напрямок проектування s перпендикулярно до площини проекцій П′ (s^П′). В о

Зображення прямої лінії на комплексному кресленні
Проекцією прямої лінії як сукупності проекцій її точок є пряма лінія. Отже, просторова пряма визначається двокомпонентному комплексному кресленні парою своїх проекцій.

Прямі приватного становища
Як зазначалося, до прямих приватного становища ставляться прямі рівня, тобто. паралельні площини проекцій (відповідно до малюнка 1.3.1 це прямі h, f, p), і проектуючий

Сліди прямої лінії
Точки перетину прямої лінії з площинами проекцій називаються слідами прямої. Точка перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій називається горизонтальним сл

Фронтальний слід
Горизонтальною проекцією фронтального сліду F1 є точка перетину горизонтальної проекції прямої з віссю х12. Фронтальна фронтальна проекція з

Визначення натуральної величини відрізка прямої
Визначення натуральної величини відрізка прямого загального положення та кутів нахилу її до площин проекцій здійснюється способом прямокутного трикутника. Як видно з р

Взаємне становище двох прямих
Дві прямі у просторі можуть перетинатися, бути паралельними чи схрещуватися. Якщо прямі а і b перетинаються в деякій точці K, то на підставі

Теорема про проектування прямого кута
Якщо одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а друга не перпендикулярна, то прямий кут на цю площину проекцій проектується без спотворення. Доказ (малюнок

Зображення площини на комплексному кресленні
Площину можна задати: - трьома точками, що не лежать на одній прямій; - Прямий і точкою, що не лежить на цій прямій; - двома прямими, що перетинаються; - двома пара

Головні лінії площини
До прямих, які займають особливе становище у цій площині, відносять: 1) Горизонталі h – прямі, що у цій площині і паралельні горизонтальної площині проекцій. На комплек

Взаємоприналежність (інцидентність) точки та площини
Якщо точка належить площині у просторі, то проекції цієї точки належать відповідним проекціям будь-якої прямої, що лежить у даній площині (відповідно до малюнка 1.3.16 пряма

Сліди площини
Після площини називається пряма її перетину з площиною проекцій. На малюнку 1.3.17 площина W задана слідами l і m: l=W ∩П2 та

Площини приватного стану
Вище було зазначено, що до площин приватного становища відносяться площини рівня (паралельні площини проекцій) і проекції площини (перпендикулярні площині проекцій). В першому випадку

Паралельність прямої та площини
Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. Так, пряма l паралельна прямій b, розташованій у площині Q

Паралельність площин
Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом пересічним прямим іншою площині. Так, що перетинаються прямі з і d площина

Перпендикулярність прямої та площини
З елементарної геометрії відомо, що пряма f2 перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна двом прямим, що лежить в цій площині. На заданій площині якість

Перетин прямої лінії з площиною
Це позиційне завдання, т.к. у ньому визначається загальний елемент даних геометричних об'єктів, тобто. їх точка перетину, що відповідає малюнку 1.3.24. Алгоритм розв'язання задачі

Перетин двох площин
У цьому позиційному завданні загальним елементом даних геометричних об'єктів є пряма лінія. Її можна побудувати двома способами: за допомогою площин-посередників приватного становища, одночасно

Криві лінії
Криву лінію можна розглядати як слід точки, що рухається. Ця точка може бути окремою точкою або точкою, що належить лінії, що рухається в просторі, або поверхні. Криві лінії мо

Проекційні властивості плоских кривих
Припустимо, що дана крива l лежить у деякій площині W. Спроектуємо криву l на площину проекцій П¢ у напрямку s відповідно до рисунка 1.2.27.

Ортогональна проекція кола
Як відомо, паралельною проекцією кола є крива, яка називається еліпсом. Оскільки ортогональна проекція є окремим випадком паралельною, то очевидно, що ортогональна

Лінійчасті поверхні
Лінійчастою поверхнею називається поверхня, яка може бути утворена рухом прямої лінії у просторі. Залежно від характеру руху, що утворює

Поверхні обертання
Поверхнею обертання називається поверхня, яка описується будь-якої утворює при її обертанні навколо нерухомої осі. Утворювальна може бути як плоскою, так і ін.

Поверхні обертання другого порядку
При обертанні кривої другого порядку навколо осі утворюється поверхня обертання другого порядку. Розглядаються такі типи поверхонь другого порядку:

Перетин поверхні з площиною
Це є позиційне завдання визначення для даних геометричних об'єктів їх загального елемента, яким є крива лінія. Для її побудови використовуються допоміжні площини.

Конічні перерізи
Лінії, що виходять при перетині поверхні конуса другого порядку з площиною, називаються конічними перерізами. До цих ліній належать такі: ел

Загальний алгоритм розв'язання задачі
Нехай дані дві довільні поверхні Ф і Q. Потрібно побудувати лінію їх перетину, тобто. побудувати точки, що цій лінії належать (рисунок 1.3.52). Чт

Особливі випадки перетину поверхонь другого порядку
Оскільки поверхні другого порядку є алгебраїчними, то й лінія їхнього перетину є кривою алгебри. Оскільки порядок лінії перетину дорівнює добутку порядків п

Перетворення комплексного креслення
Розв'язання багатьох просторових завдань (позиційних та метричних) на комплексному кресленні часто ускладнюється через те, що задані геометричні об'єкти розташовані довільно щодо плоскості.

Спосіб заміни площин проекцій
Відмінна особливість способу заміни площин проекцій полягає в переході від даної системи площин, в якій задані проекції об'єкта, до нової системи двох перпендикулярних взаємно плоско

Основні завдання, які вирішуються способом заміни площин проекцій
Застосування способу заміни площин проекцій на вирішення різних завдань (позиційних і метричних) грунтується на чотирьох основних задач. Завдання 1. Зробити пряму l(l1

Спосіб плоскопаралельного переміщення
Плоско-паралельним переміщенням називається такий рух об'єкта, при якому всі його точки переміщуються в площинах, паралельних між собою. При плоскопаралельному переміщенні віднос

Спосіб обертання
Цей спосіб є окремим випадком способу плоскопаралельного переміщення. Справді, якщо у способі плоско-паралельного переміщення точка фігури описувала деяку криву плоску

Спосіб обертання навколо проекуючої осі
При розв'язанні задач способом обертання положення заданих геометричних елементів змінюють шляхом обертання навколо якоїсь осі. Якщо вісь обертання розташувати перпендикулярно до площини

Основні завдання, які вирішуються способом обертання
Завдання №1. Перетворити пряму загальну ситуацію на фронтальну пряму рівня (рисунок 1.4.14). Розглянемо розв'язання задачі, обертаючи пряму АВ навколо горизонтально-проекції прямої

Побудова розгорток
Розгорткою поверхні називається плоска фігура, утворена послідовним поєднанням поверхні з площиною без розривів та складок. При розгортанні поверхню розглянь

Розгорнення поверхні призми
Існує два способи розгорнення призми: спосіб «нормального перерізу» та спосіб «розкочування». Спосіб «нормального перерізу» використовують для розгорнення поверхонь

Розгорнення поверхні піраміди
Бічні грані піраміди – трикутники, кожен із яких може бути побудований по трьох сторонах. Тому для отримання розгортки піраміди достатньо визначити натуральні величини її бічних ребер та

Розгортка циліндричної поверхні
Циліндричні поверхні розгортаються тими самими способами, як і призматичні. Попередньо в заданий циліндр вписують n-кутову призму, а потім визначають розгорнення

Розгортка конічної поверхні
Розгорнення конічної поверхні виконується аналогічно до розгортки піраміди в наступному порядку. Спочатку заданий конус вписують n-вугільну піраміду (число n від мас

Аксонометричні проекції
Спосіб отримання однопроекційного оборотного креслення називається аксонометричним. Він дає наочніше зображення об'єкта. Аксонометричний креслення складається тільки з

Стандартні аксонометричні системи
З приватних видів аксонометричних проекцій, передбачених державним стандартом, найчастіше використовують ортогональну ізометрію та ортогональну диметрію.

Аксонометрична проекція кола
Аксонометричною проекцією кола є еліпс. Побудова еліпсів, що зображають кола, розташовані в координатних площинах або в площинах, їм паралельних,

Мал. 15 Мал. 16

Конкуруючиминазиваються точки, що лежать на одному проекційному промені (рис. 15), проекції на одній з площин проекції збігаються (А 1 ºВ 1 ; З 2 ºD 2), а на іншій проекції вони розпадаються на дві окремі (А 2 ;В 2) , (З 2; D2) (рис.16). З двох точок, що збіглися на одній з проекцій, належать різним геометричним елементам, на проекції видно та, у якої інша проекція розташована далі від осі Х.

На рис.16 видно, що

Z A >Z B ® (×) A 1 на проекції видима, а (×) В 1 – невидима;

y C >y D ® (×) C 2 на проекції видима, а (×) D 2 - невидима.

Якщо прямі не перетинаються і паралельні між собою, то точки перетину їх однойменних проекцій не лежать однією лінії зв'язку (рис.17).

Точці перетину фронтальних прямих проекцій відповідають дві точки Е і F, з яких одна належить прямий а, інша - прямий b. Їхні фронтальні проекції збігаються, т.к. у просторі обидві точки Е та F знаходяться на загальному перпендикулярі до площини П 2 . Горизонтальна проекція цього перпендикуляра, позначена стрілкою (рис. 17), дозволяє встановити, яка з двох точок ближча до глядача.

У нашому випадку це точка Е, що лежить на прямій b. Отже, пряма b проходить у цьому місці попереду прямої а (y E > y F ® b 2 - попереду, а 2 - за нею).

Точці перетину горизонтальних проекцій відповідають дві точки і L, розташовані на різних прямих. Фронтальна проекція дає відповідь на питання про те, яка з двох точок вища. Як видно з креслення точка К2 вище L2. Отже, пряма а проходить вище за пряму b.

Розв'язуємо завдання загалом (рис. 18).

2. АВССР=1,2(1 2 2 2 ®1 1 2 1);

3. lÇ1,2=(K 1 ®K 2) ;

4. Визначимо видимість.

Перпендикулярність прямої та площини (до завдання №4)

Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, належать площині. У площині проводять дві такі прямі (горизонталь та фронталь), до яких можна побудувати перпендикуляр.

По схрещуються прямим

Дві точки, горизонтальні проекції яких збігаються, назвемо горизонтально-конкуруючими. Фронтальні проекції таких точок (див. точки А і на рис. 41) не закривають одне одного, а горизонтальні – конкурують, тобто. не ясно, яка точка видно, а яка закрита.

З двох горизонтально-конкуруючих точок у просторі видно ту, що вище, на епюрі її фронтальна проекція вище. Значить, із двох точок А та В на рис. 41 точка А на горизонтальній площині проекцій видно, а точка – закрита (не видно).

Дві точки, фронтальні проекції яких збігаються, назвемо фронтально-конкуруючими (див. точки C та D на рис. 41). З двох фронтально-конкуруючих точок видно та, що ближче, її горизонтальна проекція на епюрі нижче.

Аналогічні пари точок 1, 2 і 3, 4, що конкурують, ми маємо на рис. 42 на схрещуються прямих m і n. Точки 3 і 4 – фронтально-конкуруючі, їх видно точка 3 як далека. Ця точка належить прямий n (це видно на горизонтальній проекції), отже в околиці точок 3 і 4 на передній проекції пряма n знаходиться позаду прямої m.

Крапки 1 і 2 - горизонтально-конкуруючі. За їх фронтальними проекціями встановлюємо, що точка 1 розташована вище точки 2 і належить прямий m. Отже, на горизонтальній проекції навколо точок 1 і 2 пряма n – під нею, тобто. не видно.

Таким шляхом визначається видимість площин багатогранників та лінійних поверхонь, т.к. легко виявляються конкуруючі точки на лініях, що схрещуються: ребрах і утворюють тіл.

Мал. 42

Проекції прямого кута

Якщо площина прямого кута паралельна до будь-якої площини проекцій, наприклад П 1 (рис. 43, рис. 44), то на цю площину прямий кут проектується без спотворення. При цьому обидві сторони кута паралельні площині П1. Якщо обидві сторони прямого кута не паралельні жодній із площин, то прямий кут проектується зі спотворенням попри всі площини проекцій.

Якщо одна сторона прямого кута паралельна до будь-якої площини проекцій, то на цю площину проекцій прямий кут проектується в натуральну величину (рис. 45, рис. 46).

Доведемо це становище.

Нехай сторона ВС кута АВС паралельна площині П 1 . 1 З 1 – її горизонтальна проекція; В 1 С 1 ║BC. А 1 – горизонтальна проекція точки А. Площина А 1 АВ, проецирующая пряму АВ на площину П 1 перпендикулярна до ВС (т.к. ВС АВ і ВС ВВ 1). А т.к. ВС В 1 З 1 , означає площину АВ В 1 З 1 . У такому разі А 1 В 1 В 1 С 1 . Отже, А 1 В 1 С 1 – прямий кут. Розгляньте, як виглядає епюр прямого АВС, сторона НД якого паралельна площині П 1 .

Мал. 43 Мал. 44

Мал. 45 Мал. 46

Аналогічні міркування можна провести щодо проектування прямого кута, одна сторона якого паралельна площині П 2 . На рис. 47 наведено наочне зображення та епюр прямого кута.