Độ phân tán của một biến ngẫu nhiên. Ví dụ giải bài tập về chủ đề “Biến ngẫu nhiên Tìm luật phân phối và phương sai của một số ngẫu nhiên

Sự định nghĩa.Phân tán (tán xạ) Biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là kỳ vọng toán học của bình phương độ lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó:

Thí dụ. Đối với ví dụ trên, chúng tôi tìm thấy

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là:

Các giá trị có thể có của độ lệch bình phương:

; ;

Độ phân tán là:

Tuy nhiên, trong thực tế, phương pháp tính phương sai này không thuận tiện, vì dẫn đến tính toán cồng kềnh cho một số lượng lớn các giá trị của một biến ngẫu nhiên. Do đó, một phương pháp khác được sử dụng.

Tính toán phương sai

định lý. Phương sai bằng hiệu giữa kỳ vọng toán học của bình phương biến ngẫu nhiên X và bình phương kỳ vọng toán học của nó:

Bằng chứng. Có tính đến thực tế là kỳ vọng toán học và bình phương của kỳ vọng toán học là các giá trị không đổi, chúng ta có thể viết:

Hãy áp dụng công thức này cho ví dụ trên:

X
x2
P	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Thuộc tính phân tán

1) Độ phân tán của một giá trị không đổi bằng 0:

2) Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu phân tán bằng cách bình phương nó:

3) Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai của các biến này:

4) Phương sai của hiệu của hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai của các biến này:

Giá trị của đẳng thức này suy ra từ tính chất 2.

định lý. Phương sai của số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập, trong mỗi phép thử xác suất xảy ra biến cố là không đổi, bằng tích của số lần thử với xác suất xuất hiện và xác suất biến cố không xảy ra trong mỗi thử nghiệm:

Thí dụ. Nhà máy sản xuất 96% sản phẩm loại một và 4% sản phẩm loại hai. 1000 mặt hàng được chọn ngẫu nhiên. Để cho X- số lượng sản phẩm loại 1 trong mẫu này. Tìm luật phân phối, kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên.

Như vậy, luật phân phối có thể được coi là nhị thức.

Thí dụ. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X- số lần xuất hiện của sự kiện NHƯNG trong hai phép thử độc lập, nếu xác suất xảy ra sự kiện này trong mỗi phép thử là bằng nhau và biết rằng

Tại vì giá trị ngẫu nhiên X phân phối theo luật nhị thức, sau đó

Thí dụ. Các thử nghiệm độc lập được thực hiện với cùng xác suất xảy ra sự kiện NHƯNG trong mọi bài kiểm tra. Tìm xác suất để biến cố xảy ra NHƯNG nếu phương sai của số lần xuất hiện biến cố trong ba thử nghiệm độc lập là 0,63.

Theo công thức phân tán của luật nhị thức, chúng ta có được:

;

Thí dụ. Một thiết bị bao gồm bốn thiết bị hoạt động độc lập đang được thử nghiệm. Xác suất hỏng hóc của từng thiết bị lần lượt bằng nhau ; ; . Tìm kỳ vọng toán học và phương sai của số lượng thiết bị bị lỗi.

Lấy số lượng thiết bị hỏng làm biến ngẫu nhiên, ta thấy biến ngẫu nhiên này có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 hoặc 4.

Để xây dựng luật phân phối cho biến ngẫu nhiên này, cần xác định các xác suất tương ứng. Hãy chấp nhận.

1) Không một thiết bị nào bị lỗi:

2) Một trong các thiết bị bị lỗi.

ĐỊNH LUẬT PHÂN BỐ VÀ ĐẶC TRƯNG

GIÁ TRỊ NGẪU NHIÊN

Các biến ngẫu nhiên, phân loại và phương pháp mô tả của chúng.

Giá trị ngẫu nhiên là một đại lượng, do kết quả của một thử nghiệm, có thể nhận giá trị này hoặc giá trị khác, nhưng giá trị nào không được biết trước. Do đó, đối với một biến ngẫu nhiên, chỉ có thể chỉ định các giá trị, một trong số đó sẽ nhất thiết phải lấy do kết quả của thử nghiệm. Các giá trị này sẽ được gọi là các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. Vì biến ngẫu nhiên đặc trưng về mặt định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của một phép thử nên có thể coi nó là đặc trưng định lượng của biến cố ngẫu nhiên.

Các biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa của bảng chữ cái Latinh, ví dụ: X..Y..Z và các giá trị có thể có của chúng bằng các chữ cái nhỏ tương ứng.

Có ba loại biến ngẫu nhiên:

rời rạc; Tiếp diễn; Trộn.

rời rạc một biến ngẫu nhiên như vậy được gọi là số lượng giá trị có thể có của nó tạo thành một tập hợp có thể đếm được. Đổi lại, một tập hợp đếm được là một tập hợp có các phần tử có thể được đánh số. Từ "rời rạc" xuất phát từ tiếng Latin discretus, có nghĩa là "không liên tục, bao gồm các phần riêng biệt."

Ví dụ 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là số bộ phận X bị lỗi trong một lô nfl. Thật vậy, các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên này là một dãy số nguyên từ 0 đến n.

Ví dụ 2. Biến ngẫu nhiên rời rạc là số lần bắn trước lần bắn trúng mục tiêu đầu tiên. Ở đây, như trong Ví dụ 1, các giá trị khả dĩ có thể được đánh số, mặc dù trong trường hợp giới hạn, giá trị khả dĩ là một số lớn vô hạn.

tiếp diễnđược gọi là biến ngẫu nhiên, các giá trị có thể có của nó liên tục lấp đầy một khoảng nào đó của trục số, đôi khi được gọi là khoảng tồn tại của biến ngẫu nhiên này. Như vậy, trên một khoảng tồn tại hữu hạn bất kỳ, số giá trị khả dĩ của biến ngẫu nhiên liên tục là lớn vô hạn.

Ví dụ 3. Biến ngẫu nhiên liên tục là điện năng tiêu thụ tại doanh nghiệp trong một tháng.

Ví dụ 4. Biến ngẫu nhiên liên tục là sai số trong phép đo độ cao bằng máy đo độ cao. Giả sử từ nguyên lý hoạt động của máy đo độ cao thì sai số nằm trong khoảng từ 0 đến 2 m, do đó khoảng tồn tại của biến ngẫu nhiên này là khoảng từ 0 đến 2 m.

Quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên.

Một biến ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu các giá trị có thể có của nó được chỉ ra trên trục số và luật phân phối được thiết lập.

Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên được gọi là hệ thức thiết lập mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng.

Một biến ngẫu nhiên được gọi là phân phối theo một quy luật nhất định hoặc tuân theo một quy luật phân phối nhất định. Một số xác suất, hàm phân phối, mật độ xác suất, hàm đặc trưng được sử dụng làm luật phân phối.

Luật phân phối đưa ra một mô tả hoàn chỉnh có thể xảy ra của một biến ngẫu nhiên. Theo luật phân phối, có thể đánh giá trước kinh nghiệm những giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên sẽ xuất hiện thường xuyên hơn và những giá trị nào ít thường xuyên hơn.

Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, luật phân phối có thể được đưa ra dưới dạng bảng, giải tích (dưới dạng công thức) và đồ thị.

Hình thức đơn giản nhất để xác định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc là một bảng (ma trận), liệt kê theo thứ tự tăng dần tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng của chúng, tức là

Một bảng như vậy được gọi là một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc. một

Các biến cố X 1 , X 2 ,..., X n , bao gồm việc khi thực hiện phép thử, biến ngẫu nhiên X sẽ nhận các giá trị lần lượt là x 1 , x 2 ,... x n , không nhất quán và là những giá trị duy nhất có thể (vì bảng liệt kê tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên), tức là tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Do đó, tổng xác suất của chúng bằng 1. Như vậy, đối với mọi biến ngẫu nhiên rời rạc

(Đơn vị này bằng cách nào đó được phân phối giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên, do đó có thuật ngữ "phân phối").

Một chuỗi phân phối có thể được hiển thị bằng đồ họa nếu các giá trị của một biến ngẫu nhiên được vẽ dọc theo trục hoành và xác suất tương ứng của chúng dọc theo trục tung độ. Sự kết nối của các điểm thu được tạo thành một đường đứt quãng, được gọi là đa giác hoặc đa giác của phân phối xác suất (Hình 1).

Thí dụ Chơi xổ số: một chiếc ô tô trị giá 5000 den. đơn vị, 4 TV trị giá 250 den. đơn vị, 5 VCR trị giá 200 den. các đơn vị Tổng cộng có 1000 vé được bán với giá 7 den. các đơn vị Hãy xây dựng quy luật phân phối số tiền thắng ròng mà người tham gia xổ số đã mua một vé nhận được.

Dung dịch. Các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X - số tiền thắng ròng trên mỗi vé - là 0-7 = -7 den. các đơn vị (nếu vé không trúng), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. các đơn vị (nếu vé trúng VCR, TV hoặc ô tô tương ứng). Cho rằng trong số 1000 vé, số người không trúng giải là 990 và số tiền thắng cược được chỉ định lần lượt là 5, 4 và 1, và sử dụng định nghĩa xác suất cổ điển, chúng ta có được.

Như được biết, biến ngẫu nhiên được gọi là một biến có thể nhận các giá trị nhất định tùy trường hợp. Các biến ngẫu nhiên được biểu thị bằng các chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh (X, Y, Z) và các giá trị của chúng - bằng các chữ cái viết thường tương ứng (x, y, z). Các biến ngẫu nhiên được chia thành không liên tục (rời rạc) và liên tục.

Biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một tập giá trị hữu hạn hoặc vô hạn (đếm được) với xác suất khác không nhất định.

Luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc là hàm nối các giá trị của một biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng của chúng. Luật phân phối có thể được chỉ định theo một trong các cách sau.

1 . Luật phân phối có thể được đưa ra bởi bảng:

trong đó λ>0, k = 0, 1, 2, … .

Trong) bằng cách sử dụng hàm phân phối F(x) , xác định cho mỗi giá trị x xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, tức là F(x) = P(X< x).

Các tính chất của hàm F(x)

3 . Luật phân phối có thể được thiết lập bằng đồ họa – đa giác phân phối (đa giác) (xem vấn đề 3).

Lưu ý rằng để giải quyết một số vấn đề, không cần thiết phải biết luật phân phối. Trong một số trường hợp, chỉ cần biết một hoặc nhiều số phản ánh các đặc điểm quan trọng nhất của luật phân phối là đủ. Nó có thể là một con số mang ý nghĩa "giá trị trung bình" của một biến ngẫu nhiên, hoặc một con số cho thấy kích thước trung bình của độ lệch của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó. Các số loại này được gọi là số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.

Các đặc trưng số cơ bản của biến ngẫu nhiên rời rạc :

kỳ vọng toán học (giá trị trung bình) của một biến ngẫu nhiên rời rạc M(X)=Σ x i p i.
Đối với phân phối nhị thức M(X)=np, đối với phân phối Poisson M(X)=λ
phân tán biến ngẫu nhiên rời rạc D(X)=M2 hoặc D(X) = M(X 2) − 2. Hiệu X–M(X) được gọi là độ lệch của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó.
Đối với phân phối nhị thức D(X)=npq, đối với phân phối Poisson D(X)=λ
Độ lệch chuẩn (độ lệch chuẩn) σ(X)=√D(X).

Ví dụ giải bài tập về chủ đề "Quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc"

Nhiệm vụ 1.

1.000 vé số đã được phát hành: 5 người trong số họ sẽ giành được 500 rúp, 10 người sẽ giành được 100 rúp, 20 người sẽ giành được 50 rúp và 50 người sẽ giành được 10 rúp. Hãy xác định luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X - số tiền trúng thưởng trên mỗi vé.

Dung dịch. Theo điều kiện của bài toán, biến ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị sau: 0, 10, 50, 100 và 500.

Số lượng vé không trúng thưởng là 1000 - (5+10+20+50) = 915, khi đó P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Tương tự, chúng tôi tìm thấy tất cả các xác suất khác: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Chúng tôi trình bày luật kết quả dưới dạng bảng:

Tìm kỳ vọng toán học của X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Nhiệm vụ 3.

Thiết bị bao gồm ba yếu tố hoạt động độc lập. Xác suất thất bại của mỗi yếu tố trong một thí nghiệm là 0,1. Vẽ luật phân phối cho số phần tử không đạt trong một thí nghiệm, xây dựng đa giác phân phối. Tìm hàm phân phối F(x) và vẽ đồ thị của nó. Tìm kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Dung dịch. 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc X=(số phần tử bị lỗi trong một lần thử nghiệm) có các giá trị có thể như sau: x 1 = 0 (không có phần tử nào của thiết bị bị lỗi), x 2 =1 (một phần tử bị lỗi), x 3 =2 ( hai phần tử không thành công ) và x 4 \u003d 3 (ba phần tử không thành công).

Hỏng hóc của các phần tử là độc lập với nhau, xác suất hỏng hóc của từng phần tử là bằng nhau nên có thể áp dụng công thức Bernoulli . Cho rằng, theo điều kiện, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, chúng tôi xác định xác suất của các giá trị:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Kiểm tra: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Do đó, luật phân phối nhị thức mong muốn X có dạng:

Trên trục hoành, chúng tôi vẽ các giá trị có thể có x i và trên trục tọa độ, các xác suất tương ứng р i . Hãy dựng các điểm M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Kết nối các điểm này với các đoạn thẳng, chúng tôi thu được đa giác phân phối mong muốn.

3. Tìm hàm phân phối F(x) = P(X

Với x ≤ 0 ta có F(x) = P(X<0) = 0;
cho 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
Cho 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
dành cho 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
với x > 3 nó sẽ là F(x) = 1, vì sự kiện là chắc chắn.

Đồ thị của hàm F(x)

4. Đối với phân phối nhị thức X:
- kỳ vọng toán học М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- độ phân tán D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- độ lệch chuẩn σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

phân công dịch vụ. Máy tính trực tuyến được sử dụng để xây dựng bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X - số lượng thí nghiệm được thực hiện và tính toán tất cả các đặc điểm của chuỗi: kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn. Báo cáo với quyết định được soạn thảo ở định dạng Word. Ví dụ 1. Ba đồng xu được tung ra. Xác suất để một huy hiệu rơi ra trong một lần tung là 0,5. Hãy lập luật phân phối cho biến ngẫu nhiên X - số quốc huy đã rơi.
Dung dịch.
Xác suất không có huy hiệu nào rơi ra: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Xác suất để ba huy hiệu rơi ra: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Luật phân phối của biến ngẫu nhiên X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Kiểm tra: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Ví dụ #2. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một người bắn bằng một phát đối với người bắn thứ nhất là 0,8, đối với người bắn thứ hai - 0,85. Các xạ thủ đã bắn một phát vào mục tiêu. Giả sử các xạ thủ bắn trúng mục tiêu là các sự kiện độc lập, hãy tìm xác suất của biến cố A - đúng một lần trúng mục tiêu.
Dung dịch.
Hãy xem xét sự kiện A - một cú đánh vào mục tiêu. Các khả năng xảy ra của sự kiện này như sau:

Người bắn đầu tiên trúng đích, người bắn thứ hai trượt: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
Người thứ nhất bắn trượt, người thứ hai bắn trúng mục tiêu: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
Người bắn thứ nhất và thứ hai bắn trúng mục tiêu một cách độc lập: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Sau đó, xác suất của sự kiện A - trúng đúng một mục tiêu, sẽ bằng: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Ví dụ giải bài toán về chủ đề “Biến ngẫu nhiên”.

Một nhiệm vụ 1 . Có 100 vé được phát hành trong xổ số. Một chiến thắng 50 USD đã được chơi. và mười trận thắng $10 mỗi trận. Tìm quy luật phân phối của giá trị X - chi phí của một lợi ích có thể.

Dung dịch. Các giá trị có thể có của X: x 1 = 0; x 2 = 10 và x 3 = 50. Vì có 89 vé “trống” nên p 1 = 0,89, xác suất thắng là 10 c.u. (10 vé) – p 2 = 0,10 và để thắng 50 c.u. -P 3 = 0,01. Theo cách này:


	0,89	0,10	0,01

Dễ dàng kiểm soát: .

Một nhiệm vụ 2. Xác suất người mua đã biết trước về quảng cáo sản phẩm là 0,6 (p = 0,6). Kiểm soát chất lượng quảng cáo có chọn lọc được thực hiện bằng cách thăm dò ý kiến người mua trước người đầu tiên đã nghiên cứu trước quảng cáo. Thực hiện một loạt các phân phối của số lượng người mua được phỏng vấn.

Dung dịch. Theo điều kiện bài toán p = 0,6. Từ: q=1 -p = 0,4. Thay thế các giá trị này, chúng tôi nhận được: và xây dựng một chuỗi phân phối:


số Pi		0,24

Một nhiệm vụ 3. Một máy tính bao gồm ba yếu tố hoạt động độc lập: đơn vị hệ thống, màn hình và bàn phím. Với một lần tăng điện áp mạnh, xác suất hỏng hóc của từng phần tử là 0,1. Dựa trên phân phối Bernoulli, hãy xây dựng luật phân phối cho số lượng phần tử bị lỗi trong quá trình tăng công suất trong mạng.

Dung dịch. Xem xét phân bố Bernoulli(hoặc nhị thức): xác suất mà trong N kiểm tra, sự kiện A sẽ xuất hiện chính xác k Một lần: , hoặc:


	q N					P N

TẠI chúng ta hãy trở lại với nhiệm vụ.

Các giá trị có thể có của X (số lần thất bại):

x 0 =0 - không có phần tử nào bị lỗi;

x 1 =1 - hỏng một phần tử;

x 2 =2 - suy hai phần tử;

x 3 =3 - lỗi của tất cả các yếu tố.

Vì, theo điều kiện, p = 0,1, thì q = 1 – p = 0,9. Sử dụng công thức Bernoulli, chúng tôi nhận được

, ,

, .

Điều khiển: .

Do đó, luật phân phối mong muốn:


	0,729	0,243	0,027	0,001

nhiệm vụ 4. Đã sản xuất 5000 viên đạn. Xác suất mà một hộp mực bị lỗi . Xác suất để có đúng 3 hộp mực bị lỗi trong cả lô là bao nhiêu?

Dung dịch. Áp dụng phân phối độc tố: phân phối này được sử dụng để xác định xác suất mà, với một lượng rất lớn

số lần thử nghiệm (thử nghiệm hàng loạt), trong mỗi lần xác suất của sự kiện A là rất nhỏ, sự kiện A sẽ xảy ra k lần: , ở đâu .

Ở đây n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Chúng tôi tìm thấy , sau đó là xác suất mong muốn: .

Nhiệm vụ 5. Khi bắn trước phát đầu tiên với xác suất trúng p = 0,6 cho một lần bắn, bạn cần tìm xác suất trúng đích ở lần bắn thứ ba.

Dung dịch. Chúng ta hãy áp dụng phân bố hình học: thực hiện các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó sự kiện A có xác suất xảy ra p (và xác suất không xảy ra q = 1 - p). Thử nghiệm kết thúc ngay sau khi sự kiện A xảy ra.

Trong điều kiện như vậy, xác suất để biến cố A xảy ra ở phép thử thứ k được xác định theo công thức: . Ở đây p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Do đó, .

nhiệm vụ 6. Cho luật phân phối của biến ngẫu nhiên X:

Tìm kỳ vọng toán học.

Dung dịch. .

Lưu ý rằng ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.

nhiệm vụ 7. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X có luật phân phối sau:

Dung dịch. Nơi đây .

Quy luật phân phối bình phương của X 2 :

X 2

Phương sai yêu cầu: .

Độ phân tán đặc trưng cho mức độ sai lệch (tán xạ) của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó.

nhiệm vụ 8. Đặt biến ngẫu nhiên được cho bởi phân phối:

			10m

Tìm đặc điểm số của nó.

Lời giải: m, m 2 ,

m 2 , m.

Về một biến ngẫu nhiên X, người ta có thể nói một trong hai - kỳ vọng toán học của nó là 6,4 m với phương sai là 13,04 m 2 , hoặc - kỳ vọng toán học của nó là 6,4 m với độ lệch là m. Công thức thứ hai rõ ràng là rõ ràng hơn.

Một nhiệm vụ 9. Giá trị ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối:
.

Tìm xác suất để kết quả của phép thử là giá trị X sẽ nhận một giá trị chứa trong khoảng .

Dung dịch. Xác suất mà X sẽ nhận một giá trị từ một khoảng đã cho bằng với số gia của hàm tích phân trong khoảng này, nghĩa là . Trong trường hợp của chúng tôi và , do đó