Công thức diễn đạt định nghĩa của đạo hàm. Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số là một trong những chủ đề khó nhất trong chương trình học ở trường. Không phải mọi sinh viên tốt nghiệp sẽ trả lời câu hỏi đạo hàm là gì.

Bài viết này giải thích đơn giản và rõ ràng công cụ phái sinh là gì và tại sao nó lại cần thiết.. Bây giờ chúng ta sẽ không cố gắng đạt được sự chính xác về mặt toán học khi trình bày. Điều quan trọng nhất là phải hiểu ý nghĩa.

Hãy nhớ định nghĩa:

Đạo hàm là tốc độ thay đổi của hàm.

Hình bên là đồ thị của ba hàm số. Cái nào bạn nghĩ phát triển nhanh nhất?

Câu trả lời là rõ ràng - thứ ba. Nó có tốc độ thay đổi cao nhất, nghĩa là đạo hàm lớn nhất.

Đây là một ví dụ khác.

Kostya, Grisha và Matvey có việc làm cùng một lúc. Hãy xem thu nhập của họ thay đổi như thế nào trong năm:

Bạn có thể thấy mọi thứ trên biểu đồ ngay lập tức, phải không? Thu nhập của Kostya đã tăng hơn gấp đôi sau sáu tháng. Và thu nhập của Grisha cũng tăng lên, nhưng chỉ một chút. Và thu nhập của Matthew giảm xuống bằng không. Các điều kiện bắt đầu giống nhau, nhưng tốc độ thay đổi của hàm, tức là phát sinh, - khác nhau. Đối với Matvey, đạo hàm thu nhập của anh ta nói chung là âm.

Bằng trực giác, chúng ta có thể dễ dàng ước lượng tốc độ thay đổi của một hàm. Nhưng làm thế nào để chúng ta làm điều đó?

Điều mà chúng ta đang thực sự quan tâm là độ dốc của đồ thị hàm số đi lên (hoặc đi xuống). Nói cách khác, y thay đổi nhanh như thế nào với x. Rõ ràng, cùng một chức năng tại các điểm khác nhau có thể có một giá trị đạo hàm khác nhau - nghĩa là nó có thể thay đổi nhanh hơn hoặc chậm hơn.

Đạo hàm của một hàm được ký hiệu là .

Hãy chỉ ra cách tìm bằng biểu đồ.

Vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Lấy một điểm trên nó với một abscissa. Vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này. Chúng ta muốn đánh giá độ dốc của đồ thị hàm số. Một giá trị hữu ích cho điều này là tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Xin lưu ý - là góc nghiêng của tiếp tuyến, chúng ta lấy góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục.

Đôi khi học sinh hỏi thế nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Đây là đường thẳng có điểm chung duy nhất với đồ thị trong phần này, hơn nữa, như hình vẽ của ta. Nó trông giống như một tiếp tuyến của một vòng tròn.

Hãy tìm . Chúng ta nhớ rằng tiếp tuyến của một góc nhọn trong một tam giác vuông bằng tỷ số của cạnh đối diện với cạnh liền kề. Từ tam giác:

Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm bằng cách sử dụng đồ thị mà không cần biết công thức của hàm. Những nhiệm vụ như vậy thường được tìm thấy trong các kỳ thi toán dưới số.

Có một mối tương quan quan trọng khác. Nhớ lại rằng đường thẳng được cho bởi phương trình

Đại lượng trong phương trình này được gọi là độ dốc của một đường thẳng. Nó bằng tang của góc nghiêng của đường thẳng với trục.

Chúng tôi hiểu điều đó

Hãy ghi nhớ công thức này. Nó thể hiện ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Nói cách khác, đạo hàm bằng với tang của hệ số góc của tiếp tuyến.

Chúng ta đã nói rằng cùng một chức năng có thể có các đạo hàm khác nhau tại các điểm khác nhau. Hãy xem đạo hàm có liên quan như thế nào đến hành vi của hàm.

Hãy vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Hãy để chức năng này tăng ở một số khu vực và giảm ở những khu vực khác và với các tỷ lệ khác nhau. Và để hàm này có điểm cực đại và cực tiểu.

Tại một thời điểm, chức năng đang tăng lên. Tiếp tuyến của đồ thị, được vẽ tại một điểm, tạo thành một góc nhọn; với hướng trục dương. Vậy đạo hàm dương tại điểm.

Tại thời điểm, chức năng của chúng tôi đang giảm dần. Tiếp tuyến tại điểm này tạo thành một góc tù; với hướng trục dương. Vì tiếp tuyến của một góc tù là âm nên đạo hàm tại điểm đó là âm.

Đây là những gì xảy ra:

Nếu một hàm đang tăng, thì đạo hàm của nó dương.

Nếu nó giảm, đạo hàm của nó âm.

Và điều gì sẽ xảy ra ở điểm cực đại và cực tiểu? Ta thấy tại (điểm cực đại) và (điểm cực tiểu) tiếp tuyến nằm ngang. Do đó, tang của hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm này bằng không và đạo hàm cũng bằng không.

Điểm là điểm tối đa. Tại thời điểm này, mức tăng của chức năng được thay thế bằng mức giảm. Do đó, dấu của đạo hàm thay đổi tại điểm từ "cộng" thành "trừ".

Tại điểm - điểm cực tiểu - đạo hàm cũng bằng 0, nhưng dấu của nó thay đổi từ "trừ" thành "cộng".

Kết luận: với sự trợ giúp của đạo hàm, bạn có thể tìm hiểu mọi thứ mà chúng ta quan tâm về hành vi của hàm.

Nếu đạo hàm dương thì hàm tăng.

Nếu đạo hàm âm thì hàm đang giảm.

Tại điểm cực đại, đạo hàm bằng 0 và đổi dấu từ cộng sang trừ.

Tại điểm cực tiểu, đạo hàm cũng bằng 0 và đổi dấu từ âm sang dương.

Chúng tôi viết những phát hiện này dưới dạng một bảng:

	tăng	điểm tối đa	giảm dần	điểm tối thiểu	tăng
+	0	-	0	+

Hãy làm rõ hai điều nhỏ. Bạn sẽ cần một trong số chúng khi giải quyết vấn đề. Khác - trong năm đầu tiên, với một nghiên cứu nghiêm túc hơn về các hàm và đạo hàm.

Một trường hợp có thể xảy ra khi đạo hàm của một hàm tại một số điểm bằng 0, nhưng hàm không có cực đại cũng như cực tiểu tại điểm này. Cái gọi là này :

Tại một điểm, tiếp tuyến của đồ thị nằm ngang và đạo hàm bằng không. Tuy nhiên, trước điểm, chức năng tăng - và sau điểm, nó tiếp tục tăng. Dấu hiệu của đạo hàm không thay đổi - nó vẫn dương như cũ.

Nó cũng xảy ra rằng tại điểm cực đại hoặc cực tiểu, đạo hàm không tồn tại. Trên đồ thị, điều này tương ứng với nét đứt, khi không thể vẽ tiếp tuyến tại một điểm cho trước.

Nhưng làm thế nào để tìm đạo hàm nếu hàm được cho không phải bằng đồ thị mà bằng công thức? Trong trường hợp này, nó được áp dụng

Ngày: 20/11/2014

Đạo hàm là gì?

Bảng đạo hàm.

Đạo hàm là một trong những khái niệm chính của toán học cao hơn. Trong bài học này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm này. Hãy làm quen, không có các công thức và bằng chứng toán học nghiêm ngặt.

Phần giới thiệu này sẽ cho phép bạn:

Hiểu bản chất của các nhiệm vụ đơn giản với đạo hàm;

Giải quyết thành công những nhiệm vụ rất đơn giản này;

Chuẩn bị cho các bài học đạo hàm nghiêm túc hơn.

Đầu tiên, một bất ngờ thú vị.

Định nghĩa chặt chẽ của đạo hàm dựa trên lý thuyết giới hạn, và điều này khá phức tạp. Thật khó chịu. Nhưng ứng dụng thực tế của đạo hàm, như một quy luật, không đòi hỏi kiến \u200b\u200bthức sâu và rộng như vậy!

Để hoàn thành xuất sắc hầu hết các nhiệm vụ ở trường và đại học, chỉ cần biết chỉ một vài thuật ngữ- để hiểu nhiệm vụ, và chỉ một vài quy tắc- để giải quyết nó. Và thế là xong. Điều này làm cho tôi hạnh phúc.

Chúng ta làm quen với nhau nhé?)

Điều khoản và chỉ định.

Có rất nhiều phép toán trong toán tiểu học. Cộng, trừ, nhân, lũy thừa, logarit, v.v. Nếu thêm một phép toán nữa vào các phép toán này, toán tiểu học trở nên cao hơn. Hoạt động mới này được gọi là phân hóa.Định nghĩa và ý nghĩa của hoạt động này sẽ được thảo luận trong các bài học riêng biệt.

Ở đây, điều quan trọng là phải hiểu rằng vi phân chỉ là một phép toán trên một hàm. Chúng tôi lấy bất kỳ chức năng nào và theo các quy tắc nhất định, biến đổi nó. Kết quả là một chức năng mới. Chức năng mới này được gọi là: phát sinh.

khác biệt hóa- hành động trên một chức năng.

Phát sinh là kết quả của hành động này.

Cũng giống như, ví dụ, Tổng là kết quả của phép cộng. Hoặc riêng là kết quả của phép chia.

Biết các thuật ngữ, ít nhất bạn có thể hiểu các nhiệm vụ.) Từ ngữ như sau: tìm đạo hàm của hàm số; lấy đạo hàm; phân biệt chức năng; tính đạo hàm vân vân. đó là tất cả tương tự. Tất nhiên, có nhiều nhiệm vụ phức tạp hơn, trong đó việc tìm đạo hàm (vi phân) sẽ chỉ là một trong các bước để giải quyết nhiệm vụ.

Đạo hàm được biểu thị bằng dấu gạch ngang ở trên cùng ngay phía trên hàm. Như thế này: y" hoặc f"(x) hoặc S"(t) và như thế.

đọc nét y, nét ef từ x, nét es từ te, bạn hiểu rồi...)

Một số nguyên tố cũng có thể biểu thị đạo hàm của một hàm cụ thể, ví dụ: (2x+3)", (x 3 )" , (tội lỗi)" vân vân. Thông thường, đạo hàm được biểu thị bằng vi phân, nhưng chúng ta sẽ không xem xét một ký hiệu như vậy trong bài học này.

Giả sử rằng chúng ta đã học để hiểu các nhiệm vụ. Không còn gì - để học cách giải quyết chúng.) Để tôi nhắc bạn một lần nữa: tìm đạo hàm là phép biến đổi của một hàm theo những quy luật nhất định. Những quy tắc này rất ít một cách đáng ngạc nhiên.

Để tìm đạo hàm của một hàm, bạn chỉ cần biết ba điều. Ba trụ cột mà tất cả sự khác biệt dựa trên. Đây là ba con cá voi:

1. Bảng đạo hàm (công thức vi phân).

3. Đạo hàm của hàm phức.

Hãy bắt đầu theo thứ tự. Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét bảng đạo hàm.

Bảng đạo hàm.

Thế giới có vô số chức năng. Trong số bộ này có các chức năng quan trọng nhất cho ứng dụng thực tế. Những chức năng này nằm trong tất cả các quy luật tự nhiên. Từ những chức năng này, cũng như từ những viên gạch, bạn có thể xây dựng tất cả những chức năng khác. Lớp hàm này được gọi là các hàm cơ bản.Đó là những chức năng được nghiên cứu ở trường - tuyến tính, bậc hai, hyperbola, v.v.

Sự khác biệt của các chức năng "từ đầu", tức là dựa trên định nghĩa của đạo hàm và lý thuyết giới hạn - một việc khá tốn thời gian. Và các nhà toán học cũng là con người, vâng, vâng!) Vì vậy, họ đã đơn giản hóa cuộc sống của họ (và chúng ta). Họ đã tính đạo hàm của các hàm cơ bản trước chúng ta. Kết quả là một bảng đạo hàm, nơi mọi thứ đã sẵn sàng.)

Đây rồi, tấm này cho các chức năng phổ biến nhất. Trái - hàm cơ bản, phải - đạo hàm của nó.

	Hàm số y	Đạo hàm của hàm y y"
1	C (không đổi)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n là số bất kỳ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	tội x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	vòng cung x
	vòng cung x
	vòng cung x
	vòng cung x
4	một x
4	e x
5	đăng nhập một x
5	ln x ( một = e)

Tôi khuyên bạn nên chú ý đến nhóm hàm thứ ba trong bảng đạo hàm này. Đạo hàm của hàm lũy thừa là một trong những công thức phổ biến nhất, nếu không muốn nói là phổ biến nhất! Gợi ý có rõ ràng không?) Có, bạn nên thuộc lòng bảng đạo hàm. Nhân tiện, điều này không khó như vẻ ngoài của nó. Cố gắng giải nhiều ví dụ hơn, bảng sẽ được ghi nhớ!)

Tìm giá trị dạng bảng của đạo hàm, như bạn hiểu, không phải là nhiệm vụ khó khăn nhất. Do đó, rất thường xuyên có các chip bổ sung trong các nhiệm vụ như vậy. Trong công thức của nhiệm vụ hoặc trong chức năng ban đầu, dường như không có trong bảng ...

Hãy xem xét một vài ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số y = x 3

Không có chức năng như vậy trong bảng. Nhưng có một đạo hàm tổng quát của hàm lũy thừa (nhóm thứ ba). Trong trường hợp của chúng tôi, n = 3. Vì vậy, chúng tôi thay thế bộ ba thay vì n và cẩn thận viết ra kết quả:

(x 3) " = 3 lần 3-1 = gấp 3 lần 2

Thats tất cả để có nó.

Câu trả lời: y" = 3x 2

2. Tìm giá trị đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x = 0.

Nhiệm vụ này có nghĩa là trước tiên bạn phải tìm đạo hàm của sin, sau đó thay thế giá trị x = 0đến cùng đạo hàm này. Đó là theo thứ tự đó! Mặt khác, họ ngay lập tức thay thế số 0 vào hàm ban đầu ... Chúng tôi được yêu cầu tìm không phải giá trị của hàm ban đầu, mà là giá trị dẫn xuất của nó.Để tôi nhắc bạn, đạo hàm đã là một hàm mới.

Trên tấm, chúng tôi tìm thấy sin và đạo hàm tương ứng:

y" = (sinx)" = cosx

Thay số 0 vào đạo hàm:

y"(0) = cos 0 = 1

Đây sẽ là câu trả lời.

3. Phân biệt chức năng:

Điều gì truyền cảm hứng?) Thậm chí không có một hàm như vậy trong bảng đạo hàm.

Để tôi nhắc bạn rằng để lấy đạo hàm của một hàm đơn giản là tìm đạo hàm của hàm này. Nếu bạn quên lượng giác cơ bản, việc tìm đạo hàm của hàm số của chúng ta khá rắc rối. Cái bàn không giúp được gì...

Nhưng nếu chúng ta thấy rằng chức năng của chúng ta là cosin của một góc đôi, sau đó mọi thứ ngay lập tức trở nên tốt hơn!

Vâng vâng! Hãy nhớ rằng sự chuyển đổi của chức năng ban đầu trước khi biệt hóa khá chấp nhận được! Và nó xảy ra để làm cho cuộc sống dễ dàng hơn rất nhiều. Theo công thức tính cosin của một góc kép:

Những thứ kia. chức năng phức tạp của chúng tôi không là gì ngoài y = cox. Và đây là một chức năng bảng. Chúng tôi ngay lập tức nhận được:

Câu trả lời: y" = - sin x.

Ví dụ cho sinh viên tốt nghiệp tiên tiến và sinh viên:

4. Tìm đạo hàm của hàm số:

Tất nhiên, không có chức năng như vậy trong bảng đạo hàm. Nhưng nếu bạn nhớ toán sơ cấp, các hành động có lũy thừa... Thì hoàn toàn có thể đơn giản hóa hàm này. Như thế này:

Và x lũy thừa 1/10 đã là một hàm dạng bảng! Nhóm thứ ba, n=1/10. Trực tiếp theo công thức và viết:

Đó là tất cả. Đây sẽ là câu trả lời.

Tôi hy vọng rằng với cá voi đầu tiên của sự khác biệt - bảng đạo hàm - mọi thứ đều rõ ràng. Nó vẫn còn để đối phó với hai con cá voi còn lại. Tiết sau chúng ta sẽ tìm hiểu quy luật phân thức.

Khi giải các bài toán khác nhau về hình học, cơ học, vật lý và các ngành kiến thức khác, cần phải sử dụng cùng một quy trình phân tích từ một hàm nhất định y=f(x) có được một chức năng mới được gọi là hàm đạo hàm(hoặc đơn giản đạo hàm) của hàm này f(x) và được tượng trưng

Quá trình mà một chức năng nhất định f(x) có được một chức năng mới f"(x), gọi là sự khác biệt và nó bao gồm ba bước sau: 1) chúng tôi đưa ra lập luận x tăng  x và xác định số gia tương ứng của hàm  y = f(x+ x)-f(x); 2) tạo nên mối quan hệ

3) đếm x vĩnh viễn và  x0, chúng tôi tìm thấy
, được ký hiệu là f"(x), như thể nhấn mạnh rằng hàm kết quả chỉ phụ thuộc vào giá trị x, tại đó chúng tôi vượt qua giới hạn. Sự định nghĩa: Đạo hàm y "=f" (x) đã cho hàm y=f(x) đưa ra xđược gọi là giới hạn của tỷ lệ số gia của hàm với số gia của đối số, với điều kiện là số gia của đối số có xu hướng bằng 0, tất nhiên, nếu giới hạn này tồn tại, tức là có hạn. Bằng cách này,
, hoặc

Lưu ý rằng nếu đối với một số giá trị x, ví dụ khi x=a, quan hệ
tại  x0 không tiến tới giới hạn hữu hạn thì trong trường hợp này ta nói rằng hàm số f(x) tại x=a(hoặc tại điểm x=a) không có đạo hàm hoặc không khả vi tại một điểm x=a.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Xét đồ thị của hàm y \u003d f (x), khả vi ở lân cận điểm x 0

f(x)

Xét một đường thẳng tùy ý đi qua điểm thuộc đồ thị hàm số - điểm A (x 0, f (x 0)) và cắt đồ thị tại một điểm B (x; f (x)). Đường thẳng (AB) như vậy được gọi là cát tuyến. Từ ∆ABC có: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Vì AC || Ox thì ALO = BAC = β (song song tương ứng). Nhưng ALO là góc nghiêng của cát tuyến AB so với chiều dương của trục Ox. Do đó tgβ = k là hệ số góc của đoạn thẳng AB.

Bây giờ chúng ta sẽ giảm ∆x, tức là ∆x→ 0. Trong trường hợp này, điểm B sẽ tiếp cận điểm A theo đồ thị và cát tuyến AB sẽ quay. Vị trí giới hạn của cát tuyến AB tại ∆x → 0 sẽ là đường thẳng (a), gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y \u003d f (x) tại điểm A.

Nếu chúng ta chuyển sang giới hạn là ∆х → 0 trong đẳng thức tgβ =∆y/∆x, thì chúng ta nhận được
hoặc tg \u003d f "(x 0), vì
-góc nghiêng của tiếp tuyến với chiều dương của trục Ox
, theo định nghĩa của đạo hàm. Nhưng tg \u003d k là hệ số góc của tiếp tuyến, nghĩa là k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Vì vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau:

Đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số vẽ tại điểm có hoành độ x 0 .

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.

Xét chuyển động của một điểm dọc theo một đường thẳng. Đặt tọa độ điểm bất kỳ tại thời điểm x(t) được cho trước. Người ta biết (từ quá trình vật lý) rằng tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian bằng tỷ lệ giữa quãng đường đi được trong khoảng thời gian này với thời gian, tức là

Vav = ∆x/∆t. Chúng ta chuyển sang giới hạn trong đẳng thức cuối cùng là ∆t → 0.

lim Vav(t) = (t 0) - vận tốc tức thời tại thời điểm t 0, ∆t → 0.

và lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (theo định nghĩa đạo hàm).

Vì vậy, (t) = x"(t).

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm như sau: đạo hàm của hàm sốy = f(x) tại điểmx 0 là tốc độ thay đổi của chức năngf(x) tại điểmx 0

Đạo hàm được sử dụng trong vật lý để tìm tốc độ từ một hàm tọa độ đã biết theo thời gian, gia tốc từ một hàm tốc độ đã biết theo thời gian.

 (t) \u003d x "(t) - tốc độ,

a(f) = "(t) - gia tốc, hoặc

Nếu biết quy luật chuyển động của một điểm vật chất dọc theo một đường tròn, thì có thể tìm được vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động quay:

φ = φ(t) - góc thay đổi theo thời gian,

ω \u003d φ "(t) - vận tốc góc,

ε = φ"(t) - gia tốc góc, hoặc ε = φ"(t).

Nếu định luật phân bố cho khối lượng của một thanh không đồng nhất được biết, thì mật độ tuyến tính của thanh không đồng nhất có thể được tìm thấy:

m \u003d m (x) - khối lượng,

x  , l - chiều dài thanh,

p \u003d m "(x) - mật độ tuyến tính.

Với sự trợ giúp của đạo hàm, các vấn đề từ lý thuyết đàn hồi và dao động điều hòa được giải quyết. Đúng, theo định luật Hooke

F = -kx, x – tọa độ biến thiên, k – hệ số đàn hồi của lò xo. Đặt ω 2 \u003d k / m, ta thu được phương trình vi phân của con lắc lò xo x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

trong đó ω = √k/√m là tần số dao động (l/c), k là tốc độ lò xo (H/m).

Phương trình dạng y "+ ω 2 y \u003d 0 được gọi là phương trình dao động điều hòa (cơ, điện, điện từ). Nghiệm của phương trình đó là hàm

y = Asin(ωt + φ 0) hoặc y = Acos(ωt + φ 0), trong đó

A - biên độ dao động, ω - tần số tuần hoàn,

φ 0 - pha ban đầu.

Đạo hàm là gì?
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm của hàm số

Nhiều người sẽ ngạc nhiên bởi vị trí bất ngờ của bài viết này trong khóa học của tác giả tôi về đạo hàm của hàm một biến và các ứng dụng của nó. Rốt cuộc, giống như ở trường học: một cuốn sách giáo khoa tiêu chuẩn, trước hết, đưa ra định nghĩa về đạo hàm, ý nghĩa hình học, cơ học của nó. Tiếp theo, học sinh tìm đạo hàm của các hàm theo định nghĩa, và trên thực tế, chỉ khi đó kỹ thuật vi phân mới được hoàn thiện bằng cách sử dụng bảng phái sinh.

Nhưng theo quan điểm của tôi, cách tiếp cận sau đây thực dụng hơn: trước hết, nên HIỂU RÕ chức năng giới hạn, và đặc biệt vô hạn. Sự thật là định nghĩa của đạo hàm dựa trên khái niệm giới hạn, được coi là kém trong khóa học ở trường. Đó là lý do tại sao một bộ phận đáng kể người tiêu dùng trẻ có kiến thức về đá granit kém hiểu được bản chất của phái sinh. Vì vậy, nếu bạn chưa rành về phép tính vi phân, hoặc bộ óc thông thái đã trút bỏ thành công gánh nặng này bao năm qua, hãy bắt đầu với chức năng giới hạn. Đồng thời làm chủ/ghi nhớ quyết định của họ.

Ý nghĩa thực tế tương tự cho thấy rằng nó có lợi nhuận đầu tiên học cách tìm đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm phức. Lý thuyết là lý thuyết, nhưng, như người ta nói, bạn luôn muốn tạo ra sự khác biệt. Về vấn đề này, tốt hơn hết là bạn nên tìm ra những bài học cơ bản được liệt kê và có thể trở thành bậc thầy khác biệt thậm chí không nhận ra bản chất của hành động của họ.

Tôi khuyên bạn nên bắt đầu tìm tài liệu trên trang này sau khi đọc bài báo. Các bài toán đơn giản nhất với đạo hàm, cụ thể là xét bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Nhưng nó có thể bị trì hoãn. Thực tế là nhiều ứng dụng của đạo hàm không đòi hỏi phải hiểu nó, và không có gì ngạc nhiên khi bài học lý thuyết xuất hiện khá muộn - khi tôi cần giải thích tìm khoảng tăng/giảm và cực trị chức năng. Hơn nữa, anh ấy đã ở trong chủ đề này khá lâu " Hàm và đồ thị”, cho đến khi tôi quyết định đưa nó vào sớm hơn.

Vì thế, hỡi những ấm trà thân yêu, đừng vội hấp thụ tinh túy của phái sinh, như những con thú đói, vì sự bão hòa sẽ vô vị và không trọn vẹn.

Khái niệm tăng, giảm, cực đại, cực tiểu của hàm số

Nhiều hướng dẫn dẫn đến khái niệm đạo hàm với sự trợ giúp của một số bài toán thực tế, và tôi cũng nghĩ ra một ví dụ thú vị. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta phải đi đến một thành phố có thể đến được bằng nhiều cách khác nhau. Chúng tôi ngay lập tức loại bỏ các đường cong quanh co và chúng tôi sẽ chỉ xem xét các đường thẳng. Tuy nhiên, chỉ đường theo đường thẳng cũng khác: bạn có thể đến thành phố dọc theo xa lộ bằng phẳng. Hoặc trên đường cao tốc đồi núi - lên và xuống, lên và xuống. Một con đường khác chỉ lên dốc, và một con đường khác luôn luôn xuống dốc. Những người thích cảm giác mạnh sẽ chọn con đường xuyên qua hẻm núi với vách đá dựng đứng và đường đi lên dốc.

Nhưng bất kể sở thích của bạn là gì, bạn nên biết khu vực này hoặc ít nhất là có bản đồ địa hình về khu vực đó. Nếu không có thông tin đó thì sao? Rốt cuộc, bạn có thể chọn, chẳng hạn như một con đường bằng phẳng, nhưng kết quả là, bạn sẽ vấp phải một dốc trượt tuyết với những người Phần Lan vui tính. Không phải thực tế là bộ điều hướng và thậm chí cả hình ảnh vệ tinh sẽ cung cấp dữ liệu đáng tin cậy. Do đó, sẽ rất tốt nếu chính thức hóa việc giải tỏa con đường bằng toán học.

Xem xét một số con đường (xem bên):

Để đề phòng, tôi xin nhắc bạn về một sự thật cơ bản: cuộc hành trình diễn ra từ trái sang phải. Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng hàm tiếp diễn trong khu vực đang được xem xét.

Các tính năng của biểu đồ này là gì?

Trong khoảng thời gian hàm số tăng, nghĩa là, mỗi giá trị tiếp theo của nó hơn cái trước đó. Đại khái là lịch trình đi trở lên(chúng tôi leo lên đồi). Và trên khoảng hàm giảm dần- mỗi giá trị tiếp theo ít hơn cái trước, và lịch trình của chúng tôi đi từ trên xuống(đi xuống dốc).

Hãy cũng chú ý đến những điểm đặc biệt. Tại điểm chúng tôi đạt được tối đa, đó là tồn tại một phần của đường dẫn mà giá trị sẽ là lớn nhất (cao nhất). Đồng thời, tối thiểu, và tồn tại như vậy vùng lân cận của nó, trong đó giá trị là nhỏ nhất (thấp nhất).

Các thuật ngữ và định nghĩa chặt chẽ hơn sẽ được xem xét trong bài học. về cực trị của hàm số, nhưng bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu một tính năng quan trọng hơn: trên các khoảng thời gian chức năng đang tăng, nhưng nó đang tăng ở các tốc độ khác nhau. Và điều đầu tiên thu hút sự chú ý của bạn là biểu đồ tăng vọt trên khoảng thời gian mát mẻ hơn nhiều hơn trên khoảng. Có thể đo độ dốc của đường bằng các công cụ toán học không?

tỷ lệ thay đổi chức năng

Ý tưởng là thế này: lấy một số giá trị (đọc "delta x"), mà chúng ta sẽ gọi tăng đối số và hãy bắt đầu "thử" đến các điểm khác nhau trên đường dẫn của chúng tôi:

1) Hãy nhìn vào điểm ngoài cùng bên trái: bỏ qua khoảng cách , chúng ta leo dốc lên độ cao (đường màu xanh lá cây). Giá trị được gọi là tăng chức năng và trong trường hợp này, số gia này là dương (chênh lệch của các giá trị dọc theo trục lớn hơn 0). Hãy tạo tỷ lệ , đây sẽ là thước đo độ dốc của con đường của chúng ta. Rõ ràng, là một số rất cụ thể và vì cả hai số gia đều dương, nên .

Chú ý! chỉ định là MỘT biểu tượng, tức là bạn không thể “xé” “delta” khỏi “x” và xem xét các chữ cái này một cách riêng biệt. Tất nhiên, nhận xét cũng áp dụng cho biểu tượng gia số của hàm.

Hãy cùng tìm hiểu tính chất để phân số có ý nghĩa hơn. Giả sử ban đầu chúng ta đang ở độ cao 20 mét (ở chấm đen bên trái). Sau khi vượt qua khoảng cách mét (đường màu đỏ bên trái), chúng ta sẽ ở độ cao 60 mét. Sau đó, số gia của hàm sẽ là mét (đường màu xanh lá cây) và: . Bằng cách này, trên mỗi métđoạn đường này tăng chiều cao trung bình bằng 4 mét…bạn có quên thiết bị leo núi của mình không? =) Nói cách khác, tỷ lệ được xây dựng đặc trưng cho TỶ LỆ THAY ĐỔI TRUNG BÌNH (trong trường hợp này là mức tăng trưởng) của hàm.

Ghi chú : Các giá trị số của ví dụ được đề cập chỉ tương ứng với tỷ lệ của bản vẽ.

2) Bây giờ chúng ta hãy đi cùng một khoảng cách từ chấm đen ngoài cùng bên phải. Ở đây, mức tăng nhẹ nhàng hơn, do đó mức tăng (đường màu đỏ thẫm) tương đối nhỏ và tỷ lệ so với trường hợp trước sẽ khá khiêm tốn. Nói một cách tương đối, mét và tốc độ tăng trưởng chức năng Là . Tức là ở đây cứ mỗi mét đường lại có trung bình lên nửa mét.

3) Một cuộc phiêu lưu nho nhỏ trên sườn núi. Hãy nhìn vào chấm đen trên cùng nằm trên trục y. Giả sử rằng đây là mốc 50 mét. Một lần nữa, chúng tôi vượt qua khoảng cách, kết quả là chúng tôi thấy mình thấp hơn - ở mức 30 mét. Kể từ khi phong trào đã được thực hiện từ trên xuống(theo hướng "ngược lại" của trục), sau đó là cuối cùng mức tăng của hàm (chiều cao) sẽ âm: mét (đường màu nâu trong bản vẽ). Và trong trường hợp này chúng ta đang nói về tốc độ phân hủy Tính năng, đặc điểm: , tức là cứ mỗi mét đường đi của đoạn này thì chiều cao giảm đi trung bình bằng 2 mét. Chăm sóc quần áo trên điểm thứ năm.

Bây giờ chúng ta hãy đặt câu hỏi: giá trị tốt nhất của "tiêu chuẩn đo lường" để sử dụng là gì? Rõ ràng là 10 mét là rất gồ ghề. Một tá da gà tốt có thể dễ dàng phù hợp với chúng. Tại sao lại có những khúc cua, có thể có một hẻm núi sâu bên dưới, và sau vài mét - phía bên kia của nó có độ dốc cao hơn. Do đó, với một mét mười, chúng ta sẽ không nhận được một đặc điểm dễ hiểu của các phần như vậy của con đường thông qua tỷ lệ.

Từ các cuộc thảo luận ở trên, kết luận sau đây: giá trị càng nhỏ, chúng tôi sẽ mô tả sự nhẹ nhõm của con đường càng chính xác. Hơn nữa, các sự kiện sau đây là đúng:

– Bất cứ gìđiểm nâng bạn có thể chọn một giá trị (mặc dù là một giá trị rất nhỏ) phù hợp với ranh giới của mức tăng này hay mức tăng khác. Và điều này có nghĩa là mức tăng chiều cao tương ứng sẽ được đảm bảo là dương và bất đẳng thức sẽ biểu thị chính xác mức tăng của hàm tại mỗi điểm của các khoảng này.

- Tương tự như vậy, bất cứ gìđiểm dốc, có một giá trị sẽ hoàn toàn phù hợp với độ dốc này. Do đó, mức tăng chiều cao tương ứng rõ ràng là âm và bất đẳng thức sẽ hiển thị chính xác mức giảm của hàm tại mỗi điểm của khoảng đã cho.

– Quan tâm đặc biệt là trường hợp khi tốc độ thay đổi của hàm bằng không: . Đầu tiên, độ tăng chiều cao bằng 0 () là dấu hiệu của một đường chẵn. Và thứ hai, có những tình huống gây tò mò khác, ví dụ mà bạn nhìn thấy trong hình. Hãy tưởng tượng rằng số phận đã đưa chúng ta đến đỉnh đồi với những con đại bàng bay vút lên hay đáy vực sâu với tiếng ếch kêu. Nếu bạn thực hiện một bước nhỏ theo bất kỳ hướng nào, thì sự thay đổi về chiều cao sẽ không đáng kể và chúng ta có thể nói rằng tốc độ thay đổi của hàm thực sự bằng không. Mô hình tương tự được quan sát tại các điểm.

Vì vậy, chúng tôi đã tiếp cận một cơ hội tuyệt vời để mô tả chính xác hoàn hảo tốc độ thay đổi của một chức năng. Xét cho cùng, phân tích toán học cho phép chúng ta hướng số gia của đối số về 0: nghĩa là làm cho nó vô cùng nhỏ.

Do đó, một câu hỏi hợp lý khác được đặt ra: liệu có thể tìm thấy con đường và lịch trình của nó không chức năng khác, cái mà sẽ nói với chúng tôi về tất cả các bằng phẳng, lên dốc, xuống dốc, đỉnh, vùng thấp, cũng như tốc độ tăng / giảm tại mỗi điểm của đường dẫn?

Đạo hàm là gì? Định nghĩa đạo hàm.
Ý nghĩa hình học của đạo hàm và vi phân

Vui lòng đọc kỹ và không đọc quá nhanh - tài liệu đơn giản và dễ tiếp cận với mọi người! Sẽ không sao nếu ở một số chỗ có vẻ không rõ ràng lắm, bạn luôn có thể quay lại bài viết sau. Tôi sẽ nói thêm, sẽ rất hữu ích nếu bạn học lý thuyết nhiều lần để hiểu một cách định tính tất cả các điểm (lời khuyên đặc biệt phù hợp với sinh viên “kỹ thuật”, những người mà toán học cao hơn đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giáo dục).

Đương nhiên, trong chính định nghĩa của đạo hàm tại một điểm, chúng ta sẽ thay thế nó bằng:

Chúng ta đã đến đâu? Và chúng tôi đi đến kết luận rằng đối với một hàm theo luật được căn chỉnh chức năng khác, được gọi là hàm đạo hàm(hoặc đơn giản phát sinh).

Đạo hàm đặc trưng tỉ giá hối đoái chức năng . Làm sao? Ý nghĩ đó cứ như sợi chỉ đỏ ngay từ đầu bài viết. Hãy xem xét một số điểm tên miền chức năng . Cho hàm số khả vi tại một điểm cho trước. Sau đó:

1) Nếu thì hàm số tăng tại điểm . Và rõ ràng là có khoảng thời gian(thậm chí nếu rất nhỏ) chứa điểm tại đó hàm tăng dần và đồ thị của nó đi “từ dưới lên trên”.

2) Nếu thì hàm số giảm tại điểm . Và có một khoảng chứa một điểm tại đó hàm số giảm dần (đồ thị đi “từ trên xuống dưới”).

3) Nếu , thì gần vô hạn gần điểm, chức năng giữ cho tốc độ của nó không đổi. Điều này xảy ra, như đã lưu ý, đối với hằng hàm và tại các điểm tới hạn của hàm, đặc biệt tại điểm cực tiểu và cực đại.

Một số ngữ nghĩa. Động từ "phân biệt" có nghĩa là gì theo nghĩa rộng? Để phân biệt có nghĩa là chọn ra một tính năng. Vi phân hàm , chúng tôi "chọn" tốc độ thay đổi của nó dưới dạng đạo hàm của hàm . Và nhân tiện, từ "phái sinh" có nghĩa là gì? Hàm số đã xảy ra từ chức năng.

Các thuật ngữ diễn giải rất thành công ý nghĩa cơ học của đạo hàm :
Hãy xét quy luật biến đổi tọa độ của vật phụ thuộc vào thời gian và hàm của vận tốc chuyển động của vật đã cho. Hàm đặc trưng cho tốc độ thay đổi của tọa độ cơ thể, do đó nó là đạo hàm bậc nhất của hàm theo thời gian: . Nếu khái niệm “chuyển động của cơ thể” không tồn tại trong tự nhiên, thì sẽ không tồn tại phát sinh khái niệm “vận tốc”.

Gia tốc của một cơ thể là tốc độ thay đổi của tốc độ, do đó: . Nếu các khái niệm ban đầu về “chuyển động của cơ thể” và “tốc độ chuyển động của cơ thể” không tồn tại trong tự nhiên, thì sẽ không có phát sinh khái niệm gia tốc của vật.

Khi một người đã thực hiện những bước độc lập đầu tiên trong nghiên cứu về giải tích toán học và bắt đầu đặt ra những câu hỏi khó chịu, thì việc loại bỏ cụm từ "phép tính vi phân được tìm thấy trong bắp cải" sẽ không còn dễ dàng như vậy nữa. Vì vậy, đã đến lúc phải xác định và giải quyết bí ẩn về sự ra đời của bảng đạo hàm và quy tắc vi phân. Bắt đầu trong bài viết về ý nghĩa của đạo hàm, mà tôi thực sự khuyên bạn nên nghiên cứu, bởi vì ở đó chúng tôi chỉ xem xét khái niệm đạo hàm và bắt đầu thực hiện các nhiệm vụ về chủ đề này. Bài học tương tự có định hướng thực tế rõ rệt, hơn nữa,

các ví dụ được xem xét dưới đây, về nguyên tắc, có thể được làm chủ hoàn toàn chính thức (ví dụ: khi không có thời gian / mong muốn đi sâu vào bản chất của đạo hàm). Cũng rất mong muốn (nhưng lại không cần thiết) để có thể tìm đạo hàm bằng phương pháp "thông thường" - ít nhất là ở cấp độ của hai lớp cơ bản: Làm thế nào để tìm đạo hàm? và Đạo hàm của một hàm phức tạp.

Nhưng không có thứ gì đó, mà bây giờ chắc chắn là không thể thiếu, đó là không có chức năng giới hạn. Bạn phải HIỂU giới hạn là gì và có thể giải quyết chúng, ít nhất là ở trình độ trung cấp. Và tất cả vì đạo hàm

hàm số tại một điểm được xác định bởi công thức:

Tôi nhắc bạn về các tên gọi và thuật ngữ: họ gọi tăng đối số;

– tăng chức năng;

- đây là những ký hiệu DUY NHẤT (“delta” không thể bị “xé” khỏi “X” hoặc “Y”).

Hiển nhiên, là biến "động", là hằng số và là kết quả của phép tính giới hạn - con số (đôi khi - vô cực "cộng" hoặc "trừ").

Như một điểm, bạn có thể xem xét BẤT KỲ giá trị nào thuộc về tên miền một hàm có đạo hàm.

Lưu ý: mệnh đề "trong đó đạo hàm tồn tại" - nói chung là đáng kể.! Vì vậy, ví dụ, điểm, mặc dù nó đi vào miền của hàm, nhưng đạo hàm

không tồn tại ở đó. Do đó công thức

không áp dụng tại điểm

và một từ rút gọn mà không có đặt trước sẽ không chính xác. Các sự kiện tương tự cũng có giá trị đối với các hàm khác có "điểm ngắt" trong biểu đồ, đặc biệt là đối với arcsine và arccosine.

Do đó, sau khi thay thế , chúng tôi thu được công thức làm việc thứ hai:

Hãy chú ý đến một tình huống ngấm ngầm có thể gây nhầm lẫn cho ấm trà: trong giới hạn này, "x", bản thân nó là một biến độc lập, đóng vai trò là biến phụ và "động" lại được đặt theo mức tăng. Kết quả tính giới hạn

là hàm đạo hàm.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, chúng tôi xây dựng các điều kiện của hai vấn đề điển hình:

- Tìm thấy đạo hàm tại một điểm sử dụng định nghĩa đạo hàm.

- Tìm thấy hàm đạo hàm sử dụng định nghĩa đạo hàm. Phiên bản này, theo quan sát của tôi, xảy ra thường xuyên hơn nhiều và sẽ được chú ý chính.

Sự khác biệt cơ bản giữa các nhiệm vụ là trong trường hợp đầu tiên, cần phải tìm số (tùy chọn vô cùng), và trong lần thứ hai

hàm số . Ngoài ra, đạo hàm có thể không tồn tại.

Làm sao ?

Lập tỉ số và tính giới hạn.

đã làm ở đâu bảng đạo hàm và quy tắc vi phân ? Với một giới hạn duy nhất

Có vẻ như ma thuật, nhưng

thực tế - khéo léo của bàn tay và không gian lận. trong bài học Đạo hàm là gì? Tôi bắt đầu xem xét các ví dụ cụ thể, trong đó, sử dụng định nghĩa, tôi tìm thấy các đạo hàm của hàm tuyến tính và hàm bậc hai. Với mục đích khởi động nhận thức, chúng tôi sẽ tiếp tục làm phiền bảng đạo hàm, mài giũa thuật toán và các giải pháp kỹ thuật:

Trong thực tế, cần phải chứng minh một trường hợp đặc biệt của đạo hàm của hàm lũy thừa, thường xuất hiện trong bảng: .

Giải pháp được chính thức hóa về mặt kỹ thuật theo hai cách. Hãy bắt đầu với cách tiếp cận đầu tiên, vốn đã quen thuộc: bậc thang bắt đầu bằng một tấm ván và hàm đạo hàm bắt đầu bằng một đạo hàm tại một điểm.

Hãy xem xét một số điểm (cụ thể) thuộc về tên miền một hàm có đạo hàm. Đặt mức tăng tại thời điểm này (tất nhiên không ngoài o / o - z) và soạn số gia tương ứng của hàm:

Hãy tính giới hạn:

Độ không đảm bảo 0:0 được loại bỏ bằng một kỹ thuật tiêu chuẩn được coi là có từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. nhân

tử số và mẫu số trên mỗi biểu thức liền kề :

Kỹ thuật để giải một giới hạn như vậy được thảo luận chi tiết trong bài học giới thiệu. về giới hạn của hàm số.

Vì BẤT KỲ điểm nào của khoảng có thể được chọn là

Sau đó, bằng cách thay thế, chúng tôi nhận được:

Một lần nữa, hãy vui mừng với logarit:

Tìm đạo hàm của hàm sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Giải pháp: Hãy xem xét một cách tiếp cận khác để hoàn thành cùng một nhiệm vụ. Nó hoàn toàn giống nhau, nhưng hợp lý hơn về mặt thiết kế. Ý tưởng là để thoát khỏi

chỉ số dưới và sử dụng một chữ cái thay vì một chữ cái.

Xét một điểm tuỳ ý thuộc tên miền chức năng (khoảng) và đặt gia số trong đó. Và ở đây, nhân tiện, như trong hầu hết các trường hợp, bạn có thể thực hiện mà không cần đặt trước, vì hàm logarit khả vi tại bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa.

Sau đó, gia số chức năng tương ứng là:

Hãy tìm đạo hàm:

Sự đơn giản của thiết kế được cân bằng bởi sự lộn xộn, có thể

phát sinh ở người mới bắt đầu (và không chỉ). Rốt cuộc, chúng ta đã quen với việc chữ “X” thay đổi theo giới hạn! Nhưng ở đây mọi thứ đều khác: - một bức tượng cổ, và - một vị khách còn sống, nhanh nhẹn đi dọc hành lang của bảo tàng. Nghĩa là, “x” là “giống như một hằng số”.

Tôi sẽ bình luận về việc loại bỏ sự không chắc chắn từng bước:

(1) Sử dụng tính chất của logarit.

(2) Chia tử số cho mẫu số trong ngoặc đơn.

(3) Ở mẫu số, chúng ta nhân và chia một cách giả tạo cho "x" sao cho

tận dụng điều tuyệt vời , trong khi như vô cùng nhỏ biểu diễn.

Trả lời: Theo định nghĩa đạo hàm:

Hoặc trong ngắn hạn:

Tôi đề xuất xây dựng độc lập hai công thức dạng bảng khác:

Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Trong trường hợp này, số gia được biên dịch ngay lập tức thuận tiện để giảm xuống mẫu số chung. Một mẫu gần đúng của bài tập ở cuối bài học (phương pháp đầu tiên).

Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Và ở đây mọi thứ phải được giảm đến một giới hạn đáng chú ý. Giải pháp được đóng khung theo cách thứ hai.

Tương tự, một số khác dẫn xuất dạng bảng. Bạn có thể tìm thấy danh sách đầy đủ trong sách giáo khoa ở trường, hoặc tập 1 của Fichtenholtz chẳng hạn. Tôi không thấy nhiều điểm khi viết lại từ sách và bằng chứng về các quy tắc phân biệt - chúng cũng được tạo ra

công thức .

Hãy chuyển sang các nhiệm vụ thực tế: Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm , sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Giải pháp: sử dụng kiểu đầu tiên. Hãy xem xét một số điểm thuộc về và đặt số gia của đối số trong đó. Sau đó, gia số chức năng tương ứng là:

Có lẽ một số độc giả vẫn chưa hiểu đầy đủ về nguyên tắc thực hiện gia tăng. Chúng tôi lấy một điểm (số) và tìm giá trị của hàm trong đó: , tức là vào hàm

thay vì "x" nên được thay thế. Bây giờ chúng tôi lấy

Gia tăng chức năng tổng hợp nó có lợi để ngay lập tức đơn giản hóa. Để làm gì? Tạo thuận lợi và rút gọn nghiệm của giới hạn xa hơn.

Chúng tôi sử dụng công thức, mở ngoặc và giảm tất cả những gì có thể giảm:

Gà tây bị rút ruột, không có vấn đề gì với món nướng:

Sau cùng:

Vì bất kỳ số thực nào cũng có thể được chọn làm chất lượng, chúng tôi thực hiện thay thế và nhận được .

Câu trả lời : theo định nghĩa.

Đối với mục đích xác minh, chúng tôi tìm đạo hàm bằng cách sử dụng các quy tắc

sự khác biệt và bảng:

Việc biết trước câu trả lời đúng luôn hữu ích và dễ chịu, vì vậy tốt hơn hết là bạn nên phân biệt chức năng được đề xuất một cách “nhanh chóng” trong đầu hoặc trên bản nháp ngay từ đầu giải pháp.

Tìm đạo hàm của hàm số theo định nghĩa của đạo hàm

Đây là một ví dụ tự làm. Kết quả nằm trên bề mặt:

Quay lại Phong cách #2: Ví dụ 7

Hãy tìm hiểu ngay những gì sẽ xảy ra. Qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:

Quyết định: xem xét một điểm tùy ý thuộc về, đặt số gia của đối số trong đó và thực hiện số gia

Hãy tìm đạo hàm:

(1) Ta dùng công thức lượng giác

(2) Dưới sin, chúng tôi mở ngoặc, dưới cosin, chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự.

(3) Theo sin ta rút gọn các số hạng, theo cosin ta chia tử số cho mẫu số theo số hạng.

(4) Do sự kỳ lạ của sin, chúng tôi loại bỏ "điểm trừ". Theo cosin

chỉ ra rằng thuật ngữ .

(5) Chúng tôi nhân mẫu số một cách giả tạo để sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Do đó, sự không chắc chắn được loại bỏ, chúng tôi lược kết quả.

Trả lời: theo định nghĩa Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của vấn đề đang được xem xét nằm ở

sự phức tạp của chính giới hạn + một chút độc đáo của bao bì. Trong thực tế, cả hai phương pháp thiết kế đều gặp phải, vì vậy tôi mô tả cả hai phương pháp càng chi tiết càng tốt. Chúng tương đương nhau, tuy nhiên, theo ấn tượng chủ quan của tôi, sẽ tốt hơn nếu những người mới bắt đầu sử dụng tùy chọn đầu tiên với “X zero”.

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số

Đây là một nhiệm vụ cho quyết định độc lập. Mẫu được định dạng theo tinh thần giống như ví dụ trước.

Hãy phân tích một phiên bản hiếm hơn của vấn đề:

Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm.

Đầu tiên, điểm mấu chốt nên là gì? Số Tính toán câu trả lời theo cách tiêu chuẩn:

Quyết định: từ quan điểm rõ ràng, nhiệm vụ này đơn giản hơn nhiều, vì trong công thức thay vì

được coi là một giá trị cụ thể.

Chúng tôi đặt một gia số tại điểm và soạn gia số tương ứng của hàm:

Tính đạo hàm tại một điểm:

Chúng tôi sử dụng một công thức rất hiếm cho sự khác biệt của tiếp tuyến và lần thứ mười một, chúng tôi giảm giải pháp xuống lần đầu tiên

giới hạn tuyệt vời:

Trả lời: theo định nghĩa của đạo hàm tại một điểm.

Nhiệm vụ này không quá khó để giải quyết và “nói chung” - chỉ cần thay đinh hoặc đơn giản là đủ, tùy thuộc vào phương pháp thiết kế. Tất nhiên, trong trường hợp này, bạn không nhận được một số, mà là một hàm đạo hàm.

Ví dụ 10 Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số tại điểm

Đây là một ví dụ tự làm.

Nhiệm vụ phần thưởng cuối cùng chủ yếu dành cho sinh viên nghiên cứu sâu về phân tích toán học, nhưng nó cũng sẽ không ảnh hưởng đến những người khác:

Hàm có thể khả vi không tại điểm?