Chương trình giảng dạy của trường quy định việc dạy hình học cho trẻ em ngay từ khi còn nhỏ. Một trong những kiến ​​thức cơ bản nhất của lĩnh vực này là tìm diện tích của các hình khác nhau. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra tất cả các cách có thể để đạt được giá trị này, từ đơn giản nhất đến phức tạp nhất.

nền tảng

Công thức đầu tiên mà trẻ học ở trường liên quan đến việc tìm diện tích của một hình tam giác theo chiều dài của chiều cao và đáy của nó. Chiều cao là một đoạn được vẽ từ đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện, sẽ là đáy. Làm thế nào để tìm diện tích của một hình tam giác từ các giá trị này?

Nếu V là chiều cao và O là đáy thì diện tích là S=V*O:2.

Một tùy chọn khác để có được giá trị mong muốn yêu cầu chúng ta biết độ dài của hai cạnh cũng như góc giữa chúng. Nếu chúng ta có L và M - độ dài của các cạnh và Q - góc giữa chúng, thì bạn có thể tính diện tích bằng công thức S=(L*M*sin(Q))/2.

Công thức Heron

Ngoài tất cả các câu trả lời khác cho câu hỏi làm thế nào để tính diện tích của một hình tam giác, có một công thức cho phép chúng ta lấy giá trị chúng ta cần, chỉ biết độ dài của các cạnh. Nghĩa là, nếu chúng ta biết độ dài của tất cả các cạnh, thì chúng ta không cần vẽ chiều cao và tính độ dài của nó. Chúng ta có thể sử dụng cái gọi là công thức Heron.

Nếu M, N, L là độ dài của các cạnh, thì chúng ta có thể tìm diện tích của tam giác, như sau. P \u003d (M + N + L) / 2, thì giá trị chúng ta cần S 2 \u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N). Kết quả là, chúng ta chỉ phải tính gốc.

Đối với một tam giác vuông, công thức của Heron được đơn giản hóa một chút. Nếu M, L là hai chân thì S=(P-M)*(P-L).

hình tròn

Một cách khác để tìm diện tích của một tam giác là sử dụng các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Để có được giá trị chúng ta cần bằng cách sử dụng đường tròn nội tiếp, chúng ta cần biết bán kính của nó. Hãy chỉ định nó là "r". Sau đó, công thức mà chúng ta sẽ thực hiện các phép tính sẽ có dạng sau: S \u003d r * P, trong đó P bằng một nửa tổng độ dài của tất cả các cạnh.

Trong một tam giác vuông, công thức này được biến đổi một chút. Tất nhiên, bạn có thể sử dụng cách trên, nhưng tốt hơn là sử dụng một biểu thức khác để tính toán. S=E*W, trong đó E và W là độ dài của các đoạn mà cạnh huyền được chia cho tiếp tuyến của đường tròn.

Nói về đường tròn ngoại tiếp, việc tìm diện tích tam giác cũng không khó. Nhập ký hiệu R làm bán kính của đường tròn ngoại tiếp, bạn có thể nhận được công thức cần thiết sau đây để tính giá trị mong muốn: S= (M*N*L):(4*R). Trong đó ba đại lượng đầu tiên là các cạnh của tam giác.

Nói về một tam giác đều, do một số phép biến đổi toán học đơn giản, người ta có thể thu được các công thức được sửa đổi một chút:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r2.

Trong mọi trường hợp, bất kỳ công thức nào cho phép bạn tìm diện tích của một hình tam giác đều có thể được thay đổi theo bài toán đã cho. Vì vậy, tất cả các biểu thức bằng văn bản không phải là tuyệt đối. Khi giải quyết vấn đề, hãy suy ngẫm để tìm ra cách giải quyết phù hợp nhất.

tọa độ

Khi học các trục tọa độ, nhiệm vụ của học sinh trở nên phức tạp hơn. Tuy nhiên, không đủ để hoảng sợ. Để tìm diện tích của một tam giác theo tọa độ của các đỉnh, bạn có thể sử dụng công thức Heron tương tự nhưng được sửa đổi một chút. Đối với tọa độ, nó có dạng sau:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Tuy nhiên, không ai cấm sử dụng tọa độ để tính độ dài các cạnh của một tam giác và sau đó sử dụng các công thức đã viết ở trên để tính diện tích. Để chuyển đổi tọa độ thành độ dài, hãy sử dụng công thức sau:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

ghi chú

Bài báo đã sử dụng ký hiệu tiêu chuẩn cho các đại lượng được sử dụng trong các điều kiện của hầu hết các vấn đề. Trong trường hợp này, mức độ "1/2" có nghĩa là bạn cần trích xuất gốc từ toàn bộ biểu thức trong ngoặc.

Khi chọn một công thức, hãy cẩn thận. Một số trong số chúng mất đi sự liên quan tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu. Ví dụ, công thức của đường tròn ngoại tiếp. Nó có thể tính toán kết quả cho bạn trong mọi trường hợp, tuy nhiên, có thể xảy ra trường hợp tam giác với các tham số đã cho hoàn toàn không tồn tại.

Nếu bạn đang ngồi ở nhà và làm bài tập về nhà, thì bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến. Nhiều trang web cung cấp khả năng tính toán các giá trị khác nhau cho các tham số nhất định và không quan trọng đó là giá trị nào. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu ban đầu vào các trường và máy tính (trang web) sẽ tính toán kết quả cho bạn. Vì vậy, bạn có thể tránh những sai lầm do thiếu chú ý.

Chúng tôi hy vọng bài viết của chúng tôi đã trả lời tất cả các câu hỏi của bạn về cách tính diện tích của các hình tam giác khác nhau và bạn không cần phải tìm kiếm thêm thông tin ở nơi khác. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Để xác định diện tích của một hình tam giác, bạn có thể sử dụng các công thức khác nhau. Trong tất cả các phương pháp, cách dễ nhất và thường được sử dụng nhất là nhân chiều cao với chiều dài của đáy, sau đó chia kết quả cho hai. Tuy nhiên, phương pháp này không phải là phương pháp duy nhất. Dưới đây bạn có thể đọc cách tìm diện tích hình tam giác bằng các công thức khác nhau.

Một cách riêng biệt, chúng tôi sẽ xem xét các phương pháp tính diện tích của các loại hình tam giác cụ thể - hình chữ nhật, cân và đều. Chúng tôi đi kèm với mỗi công thức với một lời giải thích ngắn gọn sẽ giúp bạn hiểu được bản chất của nó.

Những cách phổ biến để tìm diện tích của một hình tam giác

Các công thức dưới đây sử dụng ký hiệu đặc biệt. Chúng tôi sẽ giải mã từng người trong số họ:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của hình đang xét;
• r là bán kính của một đường tròn có thể được ghi trong tam giác của chúng tôi;
• R là bán kính của đường tròn có thể mô tả xung quanh nó;
• α - giá trị của góc tạo bởi các cạnh b và c;
• β là góc giữa a và c;
• γ - giá trị của góc tạo bởi các cạnh a và b;
• h là chiều cao của tam giác hạ từ góc α xuống cạnh a;
• p là một nửa tổng của các cạnh a, b và c.

Rõ ràng về mặt logic tại sao bạn có thể tìm diện tích của một hình tam giác theo cách này. Tam giác có thể dễ dàng hoàn thành thành hình bình hành, trong đó một cạnh của tam giác sẽ đóng vai trò là một đường chéo. Diện tích của hình bình hành được tìm bằng cách nhân chiều dài của một trong các cạnh của nó với giá trị của chiều cao được vẽ cho nó. Đường chéo chia hình bình hành có điều kiện này thành 2 tam giác giống nhau. Do đó, rõ ràng là diện tích của tam giác ban đầu của chúng ta phải bằng một nửa diện tích của hình bình hành phụ trợ này.

S=½ a b sin γ

Theo công thức này, diện tích của một tam giác được tìm bằng cách nhân độ dài của hai cạnh của nó, tức là a và b, với sin của góc mà chúng tạo thành. Công thức này có nguồn gốc logic từ công thức trước đó. Nếu ta hạ chiều cao từ góc β xuống cạnh b, thì theo tính chất của tam giác vuông, khi nhân độ dài cạnh a với sin của góc γ, ta được chiều cao của tam giác, tức là h.

Diện tích của hình đang xét được tìm bằng cách nhân một nửa bán kính của hình tròn có thể nội tiếp được với chu vi của hình đó. Nói cách khác, chúng tôi tìm thấy sản phẩm của nửa chu vi và bán kính của vòng tròn được đề cập.

S= a b c/4R

Theo công thức này, giá trị chúng ta cần có thể được tìm thấy bằng cách chia tích của các cạnh của hình cho 4 bán kính của đường tròn bao quanh nó.

Các công thức này là phổ quát, vì chúng giúp bạn có thể xác định diện tích của bất kỳ tam giác nào (tỷ lệ, cân, đều, vuông). Điều này có thể được thực hiện với sự trợ giúp của các phép tính phức tạp hơn mà chúng tôi sẽ không đề cập chi tiết.

Diện tích tam giác có tính chất cụ thể

Làm thế nào để tìm diện tích của một tam giác vuông? Một đặc điểm của hình này là hai cạnh của nó đồng thời là chiều cao của nó. Nếu a và b là hai cạnh và c là cạnh huyền, thì diện tích được tính như sau:

Làm thế nào để tìm diện tích của một tam giác cân? Nó có hai cạnh có chiều dài a và một cạnh có chiều dài b. Do đó, diện tích của nó có thể được xác định bằng cách chia cho 2 tích của bình phương cạnh a cho sin của góc γ.

Cách tìm diện tích tam giác đều? Trong đó, độ dài của tất cả các cạnh là a và giá trị của tất cả các góc là α. Chiều cao của nó bằng một nửa tích của độ dài cạnh a nhân với căn bậc hai của 3. Để tìm diện tích của một tam giác đều, bạn cần bình phương cạnh a nhân với căn bậc hai của 3 và chia cho 4.

Diện tích tam giác - công thức và ví dụ giải toán

Dưới đây là công thức tìm diện tích tam giác tùy ý phù hợp để tìm diện tích của bất kỳ hình tam giác nào, bất kể tính chất, góc hoặc kích thước của nó. Các công thức được trình bày dưới dạng hình ảnh, đây là giải thích cho ứng dụng hoặc biện minh cho tính đúng đắn của chúng. Ngoài ra, một hình riêng biệt cho thấy sự tương ứng của các ký hiệu chữ cái trong công thức và các ký hiệu đồ họa trong bản vẽ.

Ghi chú . Nếu tam giác có các tính chất đặc biệt (cân, hình chữ nhật, đều), bạn có thể sử dụng các công thức bên dưới, cũng như các công thức đặc biệt bổ sung chỉ đúng cho tam giác có các tính chất này:

• "Công thức tính diện tích tam giác đều"

công thức diện tích tam giác

Giải thích cho các công thức:
một, b, c- độ dài các cạnh của tam giác có diện tích mà chúng ta muốn tìm
r- bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
r- bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
h- chiều cao của tam giác, hạ xuống một bên
P- nửa chu vi của một tam giác, 1/2 tổng các cạnh của nó (chu vi)
α - góc đối diện với cạnh a của tam giác
β - góc đối diện với cạnh b của tam giác
γ - góc đối diện với cạnh c của tam giác
h một, h b , h c- chiều cao của tam giác, hạ xuống cạnh a, b, c

Xin lưu ý rằng ký hiệu đã cho tương ứng với hình trên, để khi giải một bài toán thực tế trong hình học, bạn sẽ dễ dàng thay thế các giá trị chính xác vào đúng vị trí trong công thức một cách trực quan.

• Diện tích của tam giác là một nửa tích của chiều cao của một tam giác và độ dài của cạnh mà chiều cao này bị hạ xuống(Công thưc 1). Tính đúng đắn của công thức này có thể được hiểu một cách logic. Chiều cao hạ xuống đáy sẽ chia một hình tam giác tùy ý thành hai hình chữ nhật. Nếu chúng ta hoàn thành mỗi hình chữ nhật có kích thước b và h, thì rõ ràng, diện tích của các hình tam giác này sẽ bằng đúng một nửa diện tích của hình chữ nhật (Spr = bh)
• Diện tích của tam giác là nửa tích hai cạnh của nó và sin của góc giữa chúng(Công thức 2) (xem ví dụ giải bài toán sử dụng công thức này bên dưới). Mặc dù thực tế là nó có vẻ khác với cái trước, nhưng nó có thể dễ dàng biến thành nó. Nếu chúng ta hạ thấp chiều cao từ góc B xuống cạnh b, thì hóa ra tích của cạnh a và sin của góc γ, theo tính chất của sin trong một tam giác vuông, bằng chiều cao của tam giác được vẽ bởi us, cái sẽ cung cấp cho chúng ta công thức trước đó
• Diện tích của một tam giác tùy ý có thể được tìm thấy xuyên qua công việc một nửa bán kính của một đường tròn được ghi trong nó bằng tổng độ dài của tất cả các cạnh của nó(Công thức 3), hay nói cách khác, bạn cần nhân nửa chu vi tam giác với bán kính đường tròn nội tiếp (cách này dễ nhớ hơn)
• Diện tích của một tam giác tùy ý có thể được tìm thấy bằng cách chia tích của tất cả các cạnh của nó cho 4 bán kính của đường tròn ngoại tiếp nó (Công thức 4)
• Công thức 5 là tìm diện tích của một tam giác theo độ dài các cạnh và nửa chu vi của nó (một nửa tổng của tất cả các cạnh của nó)
• Công thức Heron(6) là biểu diễn của cùng một công thức mà không sử dụng khái niệm nửa chu vi, chỉ thông qua độ dài của các cạnh
• Diện tích của một tam giác tùy ý bằng tích của bình phương cạnh của tam giác và sin của các góc kề với cạnh này chia cho sin kép của góc đối diện với cạnh này (Công thức 7)
• Diện tích của một tam giác tùy ý có thể được tìm thấy dưới dạng tích của hai hình vuông của một hình tròn bao quanh nó và các sin của mỗi góc của nó. (Công thức 8)
• Nếu biết độ dài của một cạnh và độ lớn của hai góc kề với nó thì diện tích của tam giác có thể tính bằng bình phương của cạnh này chia cho tổng gấp đôi các cotang của các cạnh này góc (Công thức 9)
• Nếu chỉ biết độ dài của mỗi chiều cao của một tam giác (Công thức 10), thì diện tích của một tam giác như vậy tỷ lệ nghịch với độ dài của các chiều cao này, như theo Công thức Heron
• Công thức 11 cho phép bạn tính toán diện tích tam giác theo tọa độ các đỉnh của nó, được đưa ra dưới dạng giá trị (x;y) cho mỗi đỉnh. Xin lưu ý rằng giá trị kết quả phải được lấy theo modulo, vì tọa độ của các đỉnh riêng lẻ (hoặc thậm chí tất cả) có thể nằm trong vùng giá trị âm

Ghi chú. Sau đây là các ví dụ giải bài toán trong hình học tìm diện tích tam giác. Nếu bạn cần giải một bài toán hình học tương tự như bài không có ở đây - hãy viết về bài đó trong diễn đàn. Trong các giải pháp, hàm sqrt() có thể được sử dụng thay cho ký hiệu "căn bậc hai", trong đó sqrt là ký hiệu căn bậc hai và biểu thức căn được biểu thị trong ngoặc.Đôi khi ký hiệu có thể được sử dụng cho các biểu thức cấp tiến đơn giản √

Một nhiệm vụ. Tìm diện tích hai cạnh đã cho và góc giữa chúng

Các cạnh của tam giác là 5 và 6 cm, góc giữa chúng là 60 độ. Tìm diện tích tam giác.

Dung dịch.

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng công thức số hai từ phần lý thuyết của bài học.
Diện tích của một tam giác có thể được tìm thấy thông qua độ dài của hai cạnh và sin của góc giữa chúng và sẽ bằng
S=1/2 ab sin γ

Vì chúng tôi có tất cả các dữ liệu cần thiết cho giải pháp (theo công thức), chúng tôi chỉ có thể thay thế các giá trị từ báo cáo vấn đề vào công thức:
S=1/2*5*6*sin60

Trong bảng giá trị của các hàm lượng giác, chúng ta tìm và thay vào biểu thức giá trị của sin 60 độ. Nó sẽ bằng căn của ba nhân hai.
S = 15 √3 / 2

Câu trả lời: 7.5 √3 (tùy theo yêu cầu của thầy, có thể để 15 √3/2)

Một nhiệm vụ. Tìm diện tích tam giác đều

Tìm diện tích tam giác đều cạnh 3 cm.

Dung dịch .

Diện tích của một tam giác có thể được tìm thấy bằng công thức của Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Vì a \u003d b \u003d c nên công thức tính diện tích tam giác đều sẽ có dạng:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Câu trả lời: 9 √3 / 4.

Một nhiệm vụ. Thay đổi diện tích khi thay đổi độ dài các cạnh

Hỏi diện tích tam giác tăng lên bao nhiêu lần nếu cạnh tăng gấp bốn lần?

Dung dịch.

Vì chúng ta chưa biết kích thước của các cạnh của tam giác, nên để giải bài toán, chúng ta sẽ giả sử rằng độ dài của các cạnh lần lượt bằng các số tùy ý a, b, c. Sau đó, để trả lời câu hỏi của bài toán, chúng ta tìm diện tích của tam giác này, và sau đó chúng ta tìm diện tích của một tam giác có cạnh lớn hơn bốn lần. Tỷ lệ diện tích của các tam giác này sẽ cho chúng ta câu trả lời cho vấn đề.

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một lời giải thích bằng văn bản về giải pháp của vấn đề theo các bước. Tuy nhiên, cuối cùng, giải pháp tương tự được trình bày dưới dạng đồ họa thuận tiện hơn cho nhận thức. Những người muốn có thể thả xuống giải pháp ngay lập tức.

Để giải, ta sử dụng công thức Heron (xem ở phần lý thuyết của bài học ở trên). Nó trông như thế này:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(xem dòng đầu tiên của hình bên dưới)

Độ dài các cạnh của một tam giác tùy ý được cho bởi các biến a, b, c.
Nếu tăng các cạnh lên 4 lần thì diện tích của tam giác c mới sẽ là:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(xem dòng thứ hai trong hình bên dưới)

Như bạn có thể thấy, 4 là thừa số chung có thể được đặt trong ngoặc của cả bốn biểu thức theo các quy tắc chung của toán học.
sau đó

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - trên dòng thứ ba của hình ảnh
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dòng thứ tư

Từ số 256, căn bậc hai được trích xuất hoàn hảo, vì vậy chúng tôi sẽ lấy nó từ dưới gốc
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(xem dòng thứ năm của hình bên dưới)

Để trả lời câu hỏi đặt ra trong bài toán, chúng ta chỉ cần chia diện tích của tam giác thu được cho diện tích của tam giác ban đầu.
Chúng tôi xác định tỷ lệ diện tích bằng cách chia các biểu thức cho nhau và giảm phân số kết quả.

Hình tam giác là một con số nổi tiếng. Và điều này, mặc dù có nhiều hình thức phong phú. Hình chữ nhật, đều, nhọn, cân, tù. Mỗi người trong số họ là hơi khác nhau. Nhưng đối với bất kỳ, cần phải biết diện tích của tam giác.

Công thức chung cho tất cả các hình tam giác sử dụng độ dài của các cạnh hoặc chiều cao

Các ký hiệu được thông qua trong chúng: các bên - a, b, c; độ cao ở các cạnh tương ứng trên a, n in, n s.

1. Diện tích của một hình tam giác được tính bằng tích của ½ cạnh và chiều cao hạ xuống nó. S = ½ * a * n a. Tương tự, người ta nên viết công thức cho hai bên còn lại.

2. Công thức của Heron, trong đó nửa chu vi xuất hiện (theo thông lệ, nó được biểu thị bằng một chữ p nhỏ, trái ngược với chu vi đầy đủ). Bán chu vi phải được tính như sau: cộng tất cả các cạnh lại và chia cho 2. Công thức bán chu vi: p \u003d (a + b + c) / 2. Sau đó, tính bằng nhau cho diện tích \ u200b\u200bhình này trông như thế này: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Nếu bạn không muốn sử dụng nửa chu vi, thì công thức như vậy sẽ rất hữu ích, trong đó chỉ có độ dài của các cạnh: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nó dài hơn một chút so với phần trước, nhưng sẽ hữu ích nếu bạn quên cách tìm bán chu vi.

Công thức tổng quát về các góc của tam giác

Ký hiệu cần thiết để đọc các công thức: α, β, γ - góc. Chúng lần lượt nằm đối diện a, b, c.

1. Theo đó, một nửa tích của hai cạnh và sin của góc giữa chúng bằng diện tích tam giác. Đó là: S = ½ a * b * sin γ. Các công thức cho hai trường hợp còn lại nên được viết theo cách tương tự.

2. Diện tích tam giác tính được từ một cạnh và ba góc đã biết. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Cũng có đẳng thức biết một cạnh và hai góc kề với nó. Có vẻ như thế này: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Hai công thức cuối cùng không phải là đơn giản nhất. Thật khó để nhớ chúng.

Các công thức chung cho tình huống khi biết bán kính của các đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp

Ký hiệu bổ sung: r, R — bán kính. Cái đầu tiên được sử dụng cho bán kính của đường tròn nội tiếp. Thứ hai là cho một trong những mô tả.

1. Công thức đầu tiên tính diện tích tam giác có liên quan đến nửa chu vi. S = r * r. Theo một cách khác, nó có thể được viết như sau: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Trong trường hợp thứ hai, bạn sẽ cần nhân tất cả các cạnh của tam giác và chia chúng cho bán kính gấp bốn lần của hình tròn ngoại tiếp. Theo nghĩa đen, nó trông như thế này: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Tình huống thứ ba cho phép bạn thực hiện mà không cần biết các cạnh, nhưng bạn cần giá trị của cả ba góc. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Trường hợp đặc biệt: tam giác vuông

Đây là tình huống đơn giản nhất, vì chỉ cần chiều dài của cả hai chân. Chúng được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh a và b. Diện tích tam giác vuông bằng nửa diện tích hình chữ nhật thêm vào nó.

Về mặt toán học, nó trông như thế này: S = ½ a * b. Cô ấy là người dễ nhớ nhất. Bởi vì nó trông giống như công thức tính diện tích hình chữ nhật, chỉ xuất hiện một phân số, biểu thị một nửa.

Trường hợp đặc biệt: tam giác cân

Vì hai cạnh của nó bằng nhau, nên một số công thức tính diện tích của nó trông hơi đơn giản. Ví dụ: công thức Heron, tính diện tích của một tam giác cân, có dạng sau:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Nếu bạn chuyển đổi nó, nó sẽ trở nên ngắn hơn. Trong trường hợp này, công thức Heron cho tam giác cân được viết như sau:

S = ¼ trong √(4 * a 2 - b 2).

Công thức diện tích có vẻ đơn giản hơn một chút so với một tam giác tùy ý nếu biết các cạnh và góc giữa chúng. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Trường hợp đặc biệt: tam giác đều

Thông thường, trong các vấn đề về anh ta, một bên được biết đến hoặc có thể được công nhận bằng cách nào đó. Sau đó, công thức tìm diện tích của một tam giác như sau:

S = (a 2 √3)/4.

Nhiệm vụ tìm diện tích nếu tam giác được vẽ trên giấy ca rô

Tình huống đơn giản nhất là khi một tam giác vuông được vẽ sao cho các chân của nó trùng với các đường kẻ của tờ giấy. Sau đó, bạn chỉ cần đếm số ô vừa với chân. Sau đó nhân chúng và chia cho hai.

Khi tam giác nhọn hoặc tù thì phải vẽ thành hình chữ nhật. Sau đó, trong hình kết quả sẽ có 3 hình tam giác. Một là cái được đưa ra trong nhiệm vụ. Và hai cái còn lại là phụ trợ và hình chữ nhật. Các khu vực của hai cuối cùng phải được xác định bằng phương pháp được mô tả ở trên. Sau đó tính diện tích của hình chữ nhật và trừ đi diện tích được tính cho các hình phụ trợ. Diện tích của tam giác được xác định.

Khó hơn nhiều là tình huống không có cạnh nào của tam giác trùng với đường kẻ của tờ giấy. Khi đó nó phải được nội tiếp trong một hình chữ nhật sao cho các đỉnh của hình ban đầu nằm trên các cạnh của nó. Trong trường hợp này, sẽ có ba hình tam giác vuông phụ trợ.

Một ví dụ về một vấn đề trên công thức của Heron

Tình trạng. Một số tam giác có cạnh. Chúng bằng 3, 5 và 6 cm, bạn cần biết diện tích của nó.

Bây giờ bạn có thể tính diện tích hình tam giác bằng công thức trên. Dưới căn bậc hai là tích của bốn số: 7, 4, 2 và 1. Tức là diện tích là √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Nếu bạn không cần độ chính xác cao hơn, thì bạn có thể lấy căn bậc hai của 14. Nó là 3,74. Khi đó diện tích sẽ bằng 7,48.

Câu trả lời. S \u003d 2 √14 cm 2 hoặc 7,48 cm 2.

Ví dụ về bài toán tam giác vuông

Tình trạng. Một cạnh của tam giác vuông dài hơn cạnh thứ hai là 31 cm, cần tính độ dài của chúng nếu diện tích của tam giác là 180 cm 2.
Dung dịch. Bạn phải giải một hệ hai phương trình. Đầu tiên phải làm với khu vực. Thứ hai là với tỷ lệ của các chân, được đưa ra trong bài toán.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Đầu tiên, giá trị của "a" phải được thay thế vào phương trình đầu tiên. Hóa ra: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Nó chỉ có một ẩn số nên rất dễ giải. Sau khi mở ngoặc, một phương trình bậc hai thu được: in 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Nó cho hai giá trị cho "in": 9 và - 40. Số thứ hai không phù hợp làm câu trả lời , vì độ dài cạnh của tam giác không thể là giá trị âm.

Nó vẫn còn để tính toán chặng thứ hai: thêm 31 vào số kết quả, hóa ra là 40. Đây là những đại lượng cần tìm trong bài toán.

Câu trả lời. Chân của hình tam giác là 9 và 40 cm.

Nhiệm vụ tìm cạnh thông qua diện tích, cạnh và góc của một tam giác

Tình trạng. Diện tích của một số tam giác là 60 cm2. Cần phải tính toán một trong các cạnh của nó nếu cạnh thứ hai là 15 cm và góc giữa chúng là 30º.

Dung dịch. Dựa trên các ký hiệu được chấp nhận, cạnh mong muốn là “a”, “b” đã biết, góc đã cho là “γ”. Khi đó công thức diện tích có thể viết lại như sau:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ở đây sin của 30 độ là 0,5.

Sau khi biến đổi, "a" hóa ra bằng 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Đó là 16.

Câu trả lời. Cạnh mong muốn là 16 cm.

Bài toán về hình vuông nội tiếp tam giác vuông

Tình trạng. Đỉnh của hình vuông có cạnh 24 cm trùng với góc vuông của tam giác. Hai người còn lại nằm trên chân. Thứ ba thuộc về cạnh huyền. Chiều dài của một trong hai chân là 42 cm, diện tích tam giác vuông là bao nhiêu?

Dung dịch. Xét hai tam giác vuông. Cái đầu tiên được chỉ định trong nhiệm vụ. Cái thứ hai dựa trên chân đã biết của tam giác ban đầu. Chúng giống nhau vì chúng có một góc chung và được tạo bởi các đường thẳng song song.

Khi đó tỉ số của hai chân bằng nhau. Các cạnh của hình tam giác nhỏ hơn là 24 cm (cạnh hình vuông) và 18 cm (đã cho cạnh 42 cm trừ đi cạnh hình vuông 24 cm). Các cạnh tương ứng của tam giác lớn là 42 cm và x cm, đây là chữ "x" cần thiết để tính diện tích của tam giác.

18/42 \u003d 24 / x, tức là x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Sau đó, diện tích bằng tích của 56 và 42, chia cho hai, nghĩa là 1176 cm 2.

Câu trả lời. Diện tích mong muốn là 1176 cm 2 .

Bạn có thể tìm thấy hơn 10 công thức tính diện tích hình tam giác trên Internet, nhiều công thức trong số đó được sử dụng trong các bài toán biết cạnh và góc của tam giác. Tuy nhiên, có một số ví dụ phức tạp trong đó, theo điều kiện của bài tập, chỉ biết một cạnh và các góc của tam giác, hoặc bán kính của đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp và một đặc điểm nữa. Trong những trường hợp như vậy, một công thức đơn giản không thể được áp dụng.

Các công thức dưới đây sẽ giải quyết 95 phần trăm các vấn đề mà bạn cần tìm diện tích của một tam giác.
Hãy chuyển sang xem xét các công thức diện tích chung.
Hãy xem xét tam giác được mô tả trong hình dưới đây

Trong hình và hơn nữa trong các công thức, các ký hiệu cổ điển của tất cả các đặc điểm của nó được giới thiệu
a, b, c là các cạnh của tam giác,
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp,
r là bán kính đường tròn nội tiếp,
h[b],h[a],h[c] - chiều cao được vẽ theo các cạnh a,b,c.
alpha, beta, hamma - góc gần đỉnh.

Các công thức cơ bản về diện tích tam giác

1. Diện tích bằng nửa tích của cạnh tam giác với chiều cao hạ xuống cạnh này. Trong ngôn ngữ công thức, định nghĩa này có thể được viết là

Như vậy, nếu biết cạnh và chiều cao thì mỗi học sinh sẽ tìm được diện tích.
Nhân tiện, một mối quan hệ hữu ích giữa các độ cao có thể được rút ra từ công thức này

2. Nếu tính rằng đường cao của tam giác qua cạnh kề được biểu thị bằng hệ thức

Sau đó, từ công thức đầu tiên của khu vực, hãy làm theo cùng loại thứ hai

Hãy xem kỹ các công thức - chúng rất dễ nhớ vì tác phẩm có hai cạnh và một góc giữa chúng. Nếu chúng ta chỉ định chính xác các cạnh và góc của tam giác (như trong hình trên), thì chúng ta có hai cạnh a, b và góc có liên quan đến thứ ba C (hamma).

3. Đối với các góc của một tam giác, hệ thức

Sự phụ thuộc cho phép bạn áp dụng các công thức sau cho diện tích tam giác trong tính toán

Các ví dụ về sự phụ thuộc này là cực kỳ hiếm, nhưng bạn phải nhớ rằng có một công thức như vậy.

4. Nếu biết cạnh và hai góc kề bù thì tính diện tích theo công thức

5. Công thức tính diện tích cạnh và cotang của các góc kề nhau như sau

Bằng cách sắp xếp lại các chỉ mục, bạn có thể nhận được các phụ thuộc cho các mặt khác.

6. Công thức tính diện tích dưới đây được sử dụng trong bài toán khi cho các đỉnh của một tam giác nằm trên mặt phẳng có tọa độ. Trong trường hợp này, diện tích bằng một nửa định thức modulo.

7. Công thức Heronđược sử dụng trong các ví dụ với các cạnh đã biết của một tam giác.
Đầu tiên tìm nửa chu vi của tam giác

Sau đó xác định diện tích theo công thức

hoặc

Nó thường được sử dụng trong mã của các chương trình máy tính.

8. Nếu biết tất cả các chiều cao của tam giác thì diện tích được xác định theo công thức

Rất khó để tính toán trên máy tính bỏ túi, tuy nhiên, trong các gói MathCad, Mathematica, Maple, diện tích là "một hai".

9. Các công thức sau sử dụng các bán kính đã biết của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

Đặc biệt, nếu biết bán kính và các cạnh của một tam giác hoặc chu vi của nó, thì diện tích được tính theo công thức

10. Trong các ví dụ khi biết các cạnh và bán kính hoặc đường kính của hình tròn ngoại tiếp, diện tích được tính theo công thức

11. Công thức sau đây tính diện tích tam giác tính theo cạnh và các góc của tam giác.

Và cuối cùng - trường hợp đặc biệt:
Diện tích tam giác vuông với chân a và b bằng một nửa sản phẩm của họ

Công thức diện tích tam giác đều (thường)=

\u003d một phần tư tích của bình phương cạnh và căn của ba.