Định nghĩa kinh điển của lý thuyết xác suất. Xác suất cổ điển và tính chất của nó

Xác suất của một sự kiện được hiểu là một số đặc điểm số về khả năng xảy ra sự kiện này. Có một số cách tiếp cận để xác định xác suất.

Xác suất của một sự kiện NHƯNG là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện này với tổng số tất cả các kết quả cơ bản không tương thích có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Vậy xác suất của biến cố NHƯNGđược xác định bởi công thức

ở đâu tôi là số lượng các kết quả cơ bản ủng hộ NHƯNG, N- số lượng tất cả các kết quả sơ cấp có thể có của phép thử.

Ví dụ 3.1. Trong thí nghiệm tung con súc sắc, số các kết quả N là 6 và chúng đều khả dĩ như nhau. Hãy để sự kiện NHƯNG có nghĩa là sự xuất hiện của một số chẵn. Thì đối với biến cố này, kết quả khả quan sẽ là sự xuất hiện của các số 2, 4, 6. Số của chúng là 3. Do đó, xác suất của biến cố NHƯNG bằng

Ví dụ 3.2. Xác suất mà các chữ số trong một số có hai chữ số được chọn ngẫu nhiên giống nhau là gì?

Các số có hai chữ số là các số từ 10 đến 99, có tất cả các số như vậy là 90. 9 số có các chữ số giống nhau (đó là các số 11, 22, ..., 99). Vì trong trường hợp này tôi=9, N=90 thì

ở đâu NHƯNG- sự kiện, "một số có cùng chữ số."

Ví dụ 3.3. Có 7 phần chuẩn trong lô 10 phần. Tìm xác suất để có 4 bộ phận tiêu chuẩn trong số 6 bộ phận được chọn ngẫu nhiên.

Tổng số kết quả sơ cấp có thể có của phép thử bằng số cách lấy 6 phần từ 10, tức là số tổ hợp 10 phần tử của 6 phần tử. Xác định số lượng kết quả có lợi cho sự kiện quan tâm đến chúng tôi NHƯNG(trong số sáu phần được chụp, 4 phần là tiêu chuẩn). Bốn phần tiêu chuẩn có thể được lấy từ bảy phần tiêu chuẩn theo các cách; đồng thời, 6-4=2 phần còn lại phải là không chuẩn, nhưng bạn có thể lấy hai phần không chuẩn từ 10-7=3 phần không chuẩn theo những cách khác nhau. Do đó, số lượng các kết quả thuận lợi là .

Sau đó, xác suất mong muốn bằng

Các tính chất sau tuân theo định nghĩa xác suất:

1. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy, thì mỗi kết quả cơ bản của bài kiểm tra sẽ ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m=n, do đó

2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra bằng không.

Thật vậy, nếu sự kiện là không thể xảy ra, thì không có kết quả cơ bản nào của phép thử ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này nó có nghĩa là

3. Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Thật vậy, chỉ một phần trong tổng số kết quả cơ bản của bài kiểm tra ủng hộ một sự kiện ngẫu nhiên. Trong trường hợp này< tôi< n, có nghĩa là 0 < m/n < 1, tức là 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Việc xây dựng một lý thuyết xác suất hoàn chỉnh về mặt logic dựa trên định nghĩa tiên đề của một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó. Trong hệ thống các tiên đề do A. N. Kolmogorov đề xuất, các khái niệm không xác định là một sự kiện và xác suất cơ bản. Dưới đây là các tiên đề xác định xác suất:

1. Mọi sự kiện NHƯNGđược gán một số thực không âm P(A). Con số này được gọi là xác suất của biến cố. NHƯNG.

2. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một.

3. Xác suất xảy ra ít nhất một trong các sự kiện xung khắc theo cặp bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Dựa trên các tiên đề này, các tính chất của xác suất và các mối quan hệ giữa chúng được rút ra dưới dạng các định lý.

Câu hỏi tự kiểm tra

1. Tên của đặc trưng số về khả năng xảy ra của một biến cố là gì?

2. Thế nào gọi là xác suất của một biến cố?

3. Xác suất của một sự kiện nào đó là gì?

4. Xác suất của biến cố không thể xảy ra là bao nhiêu?

5. Giới hạn xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là gì?

6. Giới hạn xác suất của bất kỳ sự kiện nào là gì?

7. Định nghĩa xác suất nào được gọi là cổ điển?

CƠ SỞ GIÁO DỤC THÀNH PHỐ

PHÒNG THỂ DỤC SỐ 6

về chủ đề "Định nghĩa xác suất cổ điển".

Hoàn thành bởi một học sinh lớp 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Giáo viên toán: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Nhiều trò chơi sử dụng xúc xắc. Xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có số điểm khác nhau - từ 1 đến 6. Người chơi tung xúc xắc và xem mặt bị rơi (mặt nằm trên cùng) có bao nhiêu điểm. Rất thường xuyên, các chấm trên mép của con súc sắc được thay thế bằng số tương ứng và sau đó chúng nói về một lần tung 1, 2 hoặc 6. Việc ném một con súc sắc có thể được coi là một trải nghiệm, một thử nghiệm, một bài kiểm tra và kết quả thu được. là kết quả của bài kiểm tra hoặc một sự kiện cơ bản. Mọi người quan tâm đến việc đoán sự khởi đầu của một sự kiện, dự đoán kết quả của nó. Họ có thể đưa ra dự đoán gì khi gieo xúc xắc? Ví dụ:

1) sự kiện A - số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 rơi ra;

2) sự kiện B - số 7, 8 hoặc 9 rơi ra;

3) biến cố C - số 1 rơi ra.

Sự kiện A, được dự đoán trong trường hợp đầu tiên, chắc chắn sẽ xảy ra. Nói chung, một sự kiện chắc chắn xảy ra trong một trải nghiệm nhất định được gọi là Sự kiện nhất định .

Sự kiện B, được dự đoán trong trường hợp thứ hai, sẽ không bao giờ xảy ra, đơn giản là không thể xảy ra. Nói chung, một sự kiện không thể xảy ra trong một thí nghiệm nhất định được gọi là sự kiện không thể .

Liệu sự kiện C, dự đoán trong trường hợp thứ ba, có xảy ra hay không? Chúng tôi không thể trả lời câu hỏi này một cách hoàn toàn chắc chắn, vì 1 có thể rơi ra hoặc không. Một sự kiện mà trong một trải nghiệm nhất định có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra được gọi là sự kiện ngẫu nhiên .

Nghĩ về sự khởi đầu của một sự kiện nào đó, rất có thể chúng ta sẽ không sử dụng từ “có lẽ”. Ví dụ: nếu hôm nay là thứ Tư, thì ngày mai là thứ Năm, đây là một sự kiện nhất định. Vào thứ Tư, chúng tôi sẽ không nói: "Có lẽ ngày mai là thứ Năm", chúng tôi sẽ nói ngắn gọn và rõ ràng: "Ngày mai là thứ Năm." Đúng vậy, nếu chúng ta thiên về những cụm từ hoa mỹ, thì chúng ta có thể nói thế này: "Với xác suất một trăm phần trăm, tôi nói rằng ngày mai là thứ Năm." Ngược lại, nếu hôm nay là thứ Tư, thì việc ngày mai thứ Sáu đến là một sự kiện không thể xảy ra. Đánh giá sự kiện này vào thứ Tư, chúng ta có thể nói thế này: "Tôi chắc chắn rằng ngày mai không phải là thứ Sáu." Hay như thế này: "Thật không thể tin được rằng ngày mai là thứ Sáu." Chà, nếu chúng ta thiên về những cụm từ hoa mỹ, thì chúng ta có thể nói thế này: “Xác suất ngày mai là thứ Sáu bằng không.” Vì vậy, một sự kiện nhất định là một sự kiện xảy ra trong những điều kiện nhất định. chắc chắn 100%(tức là đến 10 trường hợp trên 10 trường hợp, 100 trường hợp trên 100 trường hợp, v.v.). Biến cố không thể xảy ra là biến cố không bao giờ xảy ra với những điều kiện đã cho, biến cố với xác suất bằng không .

Nhưng, thật không may (và có thể may mắn thay), không phải mọi thứ trong cuộc sống đều rõ ràng và rành mạch như vậy: nó sẽ luôn như vậy (sự kiện nào đó), điều này sẽ không bao giờ xảy ra (sự kiện không thể xảy ra). Thông thường, chúng ta phải đối mặt với các sự kiện ngẫu nhiên, một số sự kiện có nhiều khả năng xảy ra hơn, một số khác lại ít xảy ra hơn. Thông thường, mọi người sử dụng các từ "nhiều khả năng" hoặc "ít khả năng hơn", như họ nói, theo ý thích bất chợt, dựa trên những gì được gọi là lẽ thường. Nhưng rất thường những ước tính như vậy hóa ra là không đủ, vì điều quan trọng là phải biết bao nhiêu phần trăm có khả năng là một sự kiện ngẫu nhiên hoặc bao nhiêu lần một sự kiện ngẫu nhiên có nhiều khả năng hơn một sự kiện khác. Nói cách khác, chúng ta cần chính xác định lượngđặc điểm, bạn cần có khả năng mô tả xác suất bằng một con số.

Chúng tôi đã thực hiện những bước đầu tiên theo hướng này. Chúng tôi đã nói rằng xác suất của một sự kiện nhất định xảy ra được đặc trưng là một trăm phần trăm, và xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là số không. Cho rằng 100% bằng 1, mọi người đã đồng ý như sau:

1) xác suất của một sự kiện nhất định được coi là bằng 1;

2) xác suất của một sự kiện không thể được coi là bằng 0.

Làm thế nào để bạn tính toán xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên? Rốt cuộc, nó đã xảy ra tình cờ, nghĩa là nó không tuân theo các định luật, thuật toán, công thức. Hóa ra một số quy luật vận hành trong thế giới ngẫu nhiên, cho phép bạn tính toán các xác suất. Đây là nhánh của toán học được gọi là - lý thuyết xác suất .

Toán học liên quan đến người mẫu một số hiện tượng của thực tế xung quanh chúng ta. Trong tất cả các mô hình được sử dụng trong lý thuyết xác suất, chúng tôi sẽ giới hạn ở mô hình đơn giản nhất.

Sơ đồ xác suất cổ điển

Để tìm xác suất của một sự kiện A trong một số thí nghiệm, người ta nên:

1) tìm số N của tất cả các kết quả có thể xảy ra của trải nghiệm này;

2) chấp nhận giả định rằng tất cả các kết quả này đều có thể xảy ra như nhau (có thể xảy ra như nhau);

3) tìm số N(A) các kết quả của trải nghiệm mà sự kiện A xảy ra;

4) tìm một tư nhân ; nó sẽ bằng xác suất của biến cố A.

Người ta thường chỉ định xác suất của một sự kiện A là P(A). Giải thích cho cách gọi này rất đơn giản: từ "xác suất" trong tiếng Pháp là xác suất, bằng tiếng Anh- xác suất.Ký hiệu sử dụng chữ cái đầu tiên của từ.

Sử dụng ký hiệu này, xác suất của một sự kiện A theo sơ đồ cổ điển có thể được tìm thấy bằng công thức

P(A)=.

Thông thường, tất cả các điểm của lược đồ xác suất cổ điển nhất định được diễn đạt bằng một cụm từ khá dài.

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Xác suất của một sự kiện A trong một phép thử nhất định là tỷ lệ giữa số kết quả, do sự kiện A xảy ra, trên tổng số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của phép thử này.

ví dụ 1. Tìm xác suất để trong một lần gieo súc sắc: a) 4; b) 5; c) số điểm chẵn; d) số điểm lớn hơn 4; e) số điểm không phải là bội số của ba.

Dung dịch. Tổng cộng, có N=6 kết quả có thể xảy ra: thả một mặt của khối lập phương có số điểm bằng 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Chúng tôi tin rằng không có kết quả nào có lợi thế hơn những kết quả khác, tức là, chúng tôi chấp nhận giả định về sự giống nhau của những kết quả này.

a) Chính xác ở một trong các kết quả, sự kiện A mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra - mất số 4. Do đó, N (A) \u003d 1 và

P ( Một )= =.

b) Giải pháp và câu trả lời giống như trong đoạn văn trước.

c) Biến cố B mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra chính xác trong ba trường hợp khi số điểm là 2, 4 hoặc 6. Do đó,

N ( b )=3 và P ( b )==.

d) Biến cố C mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra chính xác trong hai trường hợp khi số điểm là 5 hoặc 6. Do đó,

N ( C ) =2 và P(C)=.

e) Trong sáu số có thể rút ra, bốn số (1, 2, 4 và 5) không phải là bội của ba và hai số còn lại (3 và 6) chia hết cho ba. Điều này có nghĩa là sự kiện mà chúng ta quan tâm xảy ra chính xác ở bốn trong số sáu khả năng có thể xảy ra và có khả năng xảy ra ngang nhau giữa chúng và khả năng xảy ra ngang nhau giữa các kết quả của trải nghiệm. Vì vậy, câu trả lời là

. ; b) ; Trong) ; g) ; e).

Một con xúc xắc chơi thực sự có thể khác với một con xúc xắc (mô hình) lý tưởng, do đó, để mô tả hành vi của nó, cần có một mô hình chi tiết và chính xác hơn, có tính đến những lợi thế của mặt này so với mặt khác, sự hiện diện có thể có của nam châm, v.v. Nhưng “ma quỷ ở trong các chi tiết”, và độ chính xác cao hơn có xu hướng dẫn đến sự phức tạp hơn và việc nhận được câu trả lời trở thành một vấn đề. Chúng tôi giới hạn bản thân trong việc xem xét mô hình xác suất đơn giản nhất, trong đó tất cả các kết quả có thể xảy ra đều có thể xảy ra như nhau.

=0,5, tức là, ba điểm của sơ đồ xác suất được tính đến, nhưng việc thực hiện điểm 2) là đáng nghi ngờ. Tất nhiên, xét trên quan điểm pháp lý thuần túy, chúng ta có quyền tin rằng thua gấp ba thì khả năng thất bại ngang nhau. Nhưng chúng ta có thể nghĩ như vậy mà không vi phạm các giả định tự nhiên của chúng ta về "sự giống nhau" của các khuôn mặt không? Dĩ nhiên là không! Ở đây chúng ta đang xử lý lý luận chính xác trong một số mô hình. Chỉ có bản thân mô hình này là “sai”, không tương ứng với hiện tượng thực tế.

Ghi chú 2. Khi thảo luận về xác suất, đừng quên tình huống quan trọng sau đây. Nếu chúng ta nói rằng khi tung một con súc sắc, xác suất để được một điểm là

, điều này hoàn toàn không có nghĩa là khi gieo xúc xắc 6 lần, bạn sẽ nhận được đúng một điểm, khi gieo xúc xắc 12 lần, bạn sẽ nhận được một điểm chính xác hai lần, khi gieo xúc xắc 18 lần, bạn sẽ nhận được một điểm đúng ba lần , v.v... Từ chắc có tính chất phỏng đoán. Chúng tôi cho rằng điều đó có khả năng xảy ra. Có lẽ nếu chúng ta tung xúc xắc 600 lần, một điểm sẽ xuất hiện 100 lần, hoặc khoảng 100.

lý thuyết ngắn gọn

Để so sánh định lượng các sự kiện theo mức độ khả năng xảy ra của chúng, một phép đo số được đưa ra, được gọi là xác suất của một sự kiện. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên một con số được gọi là biểu thức của thước đo khả năng xảy ra khách quan của một sự kiện.

Các giá trị xác định mức độ quan trọng của các cơ sở khách quan để tính vào sự xuất hiện của một sự kiện được đặc trưng bởi xác suất của sự kiện. Cần phải nhấn mạnh rằng xác suất là một đại lượng khách quan tồn tại độc lập với người nhận thức và được quy định bởi tổng thể các điều kiện góp phần vào sự xuất hiện của một sự kiện.

Những giải thích mà chúng tôi đã đưa ra cho khái niệm xác suất không phải là một định nghĩa toán học, vì chúng không định nghĩa khái niệm này một cách định lượng. Có một số định nghĩa về xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên, được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán cụ thể (cổ điển, tiên đề, thống kê, v.v.).

Định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện làm giảm khái niệm này thành một khái niệm cơ bản hơn về các sự kiện có thể xảy ra như nhau, không còn tùy thuộc vào định nghĩa và được giả định là rõ ràng bằng trực giác. Ví dụ, nếu một con xúc xắc là một khối lập phương đồng nhất, thì sự xuất hiện của bất kỳ mặt nào của khối lập phương này sẽ là những biến cố có thể xảy ra như nhau.

Hãy để một sự kiện nhất định được chia thành các trường hợp có thể xảy ra như nhau, tổng của chúng mang lại cho sự kiện. Đó là, các trường hợp từ , mà nó chia tay, được gọi là thuận lợi cho sự kiện, vì sự xuất hiện của một trong số chúng đảm bảo sự tấn công.

Xác suất của một sự kiện sẽ được biểu thị bằng ký hiệu .

Xác suất của một sự kiện bằng tỷ lệ giữa số trường hợp có lợi cho nó, trên tổng số trường hợp duy nhất, có thể xảy ra như nhau và không tương thích, với số, tức là

Đây là định nghĩa cổ điển của xác suất. Do đó, để tìm xác suất của một sự kiện, sau khi xem xét các kết quả khác nhau của phép thử, cần phải tìm một tập hợp các trường hợp duy nhất có thể, có thể như nhau và không tương thích, tính tổng số n của chúng, số trường hợp m sao cho thích sự kiện này, rồi thực hiện phép tính theo công thức trên.

Xác suất của một sự kiện bằng tỷ số giữa số kết quả của kinh nghiệm có lợi cho sự kiện đó trên tổng số kết quả của kinh nghiệm được gọi là xác suất cổ điển sự kiện ngẫu nhiên.

Các tính chất sau của xác suất suy ra từ định nghĩa:

Tính chất 1. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một.

Tính chất 2. Xác suất của sự kiện không thể xảy ra bằng không.

Tính chất 3. Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Tính chất 4. Xác suất xuất hiện các biến cố tạo thành một nhóm hoàn chỉnh bằng một.

Tính chất 5. Xác suất xuất hiện biến cố ngược lại được định nghĩa giống như xác suất xuất hiện biến cố A.

Số lần xuất hiện có lợi cho sự xuất hiện của sự kiện ngược lại. Do đó, xác suất xảy ra biến cố ngược lại bằng hiệu giữa 1 và xác suất xảy ra biến cố A:

Một lợi thế quan trọng của định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện là với sự trợ giúp của nó, xác suất của một sự kiện có thể được xác định mà không cần dùng đến kinh nghiệm mà dựa trên cơ sở suy luận logic.

Khi một tập hợp các điều kiện được đáp ứng, một sự kiện nhất định sẽ xảy ra và điều không thể chắc chắn sẽ không xảy ra. Trong số các sự kiện, khi một tập hợp các điều kiện được tạo ra, có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra, thì sự xuất hiện của một số sự kiện có thể được tính đến với nhiều lý do hơn, sự xuất hiện của những sự kiện khác có ít lý do hơn. Ví dụ, nếu có nhiều bóng trắng trong bình hơn bóng đen, thì có nhiều lý do để hy vọng về sự xuất hiện của một quả bóng trắng khi lấy ngẫu nhiên ra khỏi bình hơn là sự xuất hiện của một quả bóng đen.

Ví dụ giải quyết vấn đề

ví dụ 1

Một hộp chứa 8 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen và 7 quả cầu đỏ. 3 quả bóng được rút ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau: - lấy được ít nhất 1 bi đỏ, - có ít nhất 2 bi cùng màu, - có ít nhất 1 bi đỏ và 1 bi trắng.

Giải pháp của vấn đề

Chúng tôi tìm thấy tổng số kết quả kiểm tra là số lượng kết hợp của 19 (8 + 4 + 7) phần tử của 3 mỗi phần tử:

Tìm xác suất của biến cố– rút được ít nhất 1 bi đỏ (1,2 hoặc 3 bi đỏ)

Xác suất bắt buộc:

Hãy để sự kiện- có ít nhất 2 bi cùng màu (2 hoặc 3 bi trắng, 2 hoặc 3 bi đen và 2 hoặc 3 bi đỏ)

Số kết quả ủng hộ sự kiện:

Xác suất bắt buộc:

Hãy để sự kiện- Có ít nhất 1 bi đỏ và 1 bi trắng

(1 đỏ, 1 trắng, 1 đen hoặc 1 đỏ, 2 trắng hoặc 2 đỏ, 1 trắng)

Số kết quả ủng hộ sự kiện:

Xác suất bắt buộc:

Câu trả lời: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(Đ)=0,6068

ví dụ 2

Hai con xúc xắc được tung ra. Tìm xác suất để tổng số điểm ít nhất là 5.

Dung dịch

Đặt biến cố là tổng các điểm không nhỏ hơn 5

Hãy sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất:

Tổng số kết quả thử nghiệm có thể

Số lượng thử nghiệm có lợi cho sự kiện mà chúng tôi quan tâm

Trên mặt thả xúc xắc thứ nhất có thể xuất hiện một điểm, hai điểm..., sáu điểm. tương tự, sáu kết quả có thể xảy ra trên lần tung xúc xắc thứ hai. Mỗi kết quả của lần chết đầu tiên có thể được kết hợp với từng kết quả của lần thứ hai. Do đó, tổng số kết quả cơ bản có thể có của phép thử bằng với số lần sắp xếp có lặp lại (lựa chọn có sắp xếp 2 phần tử từ bộ tập 6):

Tìm xác suất của biến cố ngược lại - tổng điểm nhỏ hơn 5

Các kết hợp điểm rơi sau đây sẽ có lợi cho sự kiện:

№

xương thứ nhất

xương thứ 2

Định nghĩa hình học của xác suất được trình bày và giải pháp cho vấn đề gặp gỡ nổi tiếng được đưa ra.

Lý thuyết xác suất là một khoa học toán học nghiên cứu các khuôn mẫu trong các hiện tượng ngẫu nhiên. Sự xuất hiện của lý thuyết bắt nguồn từ giữa thế kỷ 17 và gắn liền với tên tuổi của Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.

Kết quả bất khả quy,… của một phép nghiệm nào đó sẽ được gọi là biến cố sơ cấp và tính tổng của chúng

không gian (hữu hạn) của các sự kiện cơ bản, hoặc không gian của các kết quả.

Ví dụ 21. a) Khi tung một con súc sắc, không gian các biến cố cơ bản gồm sáu điểm:

b) Tung đồng xu hai lần liên tiếp, sau đó

trong đó G - "huy hiệu", R - "mạng" và tổng số kết quả

c) Chúng tôi tung đồng xu cho đến khi "quốc huy" xuất hiện lần đầu tiên, sau đó

Trong trường hợp này được gọi là không gian rời rạc của các biến cố sơ cấp.

Thông thường, người ta không quan tâm đến kết quả cụ thể nào xảy ra do kết quả của phép thử, mà quan tâm đến việc liệu kết quả đó thuộc về một hay một tập hợp con khác của tất cả các kết quả. Tất cả các tập hợp con mà theo các điều kiện của thí nghiệm, có thể có phản ứng thuộc một trong hai loại: "kết quả" hoặc "kết quả", chúng tôi sẽ gọi các sự kiện.

Trong ví dụ 21 b), tập hợp = (ГГ, СР, РТ) là biến cố có ít nhất một "quốc huy" rơi ra ngoài. Một sự kiện bao gồm ba kết quả cơ bản của không gian, do đó

Tổng của hai biến cố được gọi là biến cố gồm trong việc thực hiện biến cố hay biến cố.

Một sản phẩm của các sự kiện là một sự kiện bao gồm việc thực hiện chung một sự kiện và một sự kiện.

Đối lập với một sự kiện là một sự kiện bao gồm sự không xuất hiện và do đó, bổ sung cho nó trước đó.

Một tập hợp gọi là biến cố chắc chắn, tập hợp rỗng gọi là biến cố không thể.

Nếu mỗi lần xuất hiện của một sự kiện đi kèm với một lần xuất hiện, thì họ viết và nói điều gì xảy ra trước hoặc kéo theo.

Biến cố và được gọi là tương đương nếu và .

Sự định nghĩa. Xác suất của một sự kiện là một số bằng tỷ lệ giữa số kết quả cơ bản tạo nên sự kiện với số lượng tất cả các kết quả cơ bản

Trường hợp các sự kiện có thể xảy ra như nhau, (được gọi là "cổ điển", do đó xác suất

được gọi là "cổ điển".

Các sự kiện cơ bản (kết quả của kinh nghiệm) bao gồm trong sự kiện được gọi là "thuận lợi".

Các tính chất của xác suất cổ điển:

Nếu (và là các sự kiện không tương thích).

Ví dụ 22 (Bài toán Huygens). Một hộp đựng 2 bi trắng và 4 bi đen. Một con bạc đặt cược với một người khác rằng trong số 3 quả bóng được rút ra sẽ có đúng một quả màu trắng. Tỷ lệ cơ hội của những người tranh chấp là gì?

Giải pháp 1 (truyền thống). Trong trường hợp này, bài kiểm tra = (rút 3 quả bóng) và sự kiện có lợi cho một trong các bên tranh chấp:

= (lấy đúng một bi trắng).

Vì thứ tự rút ba quả bóng không quan trọng, nên

Có thể lấy một quả bóng trắng trong hộp và hai quả bóng đen - , sau đó theo quy tắc cơ bản của tổ hợp. Do đó a theo tính chất thứ năm của xác suất Do đó,

Giải pháp 2. Hãy tạo một cây xác suất của các kết quả:

Ví dụ 23. Xét một con heo đất trong đó còn lại bốn đồng xu - ba đồng xu 2 rúp. và một cho 5 rúp. Chúng tôi trích xuất hai đồng xu.

Dung dịch. a) Hai lần khai thác liên tiếp (có quay lại) có thể dẫn đến các kết quả sau:

Xác suất của mỗi kết quả này là gì?

Bảng hiển thị tất cả mười sáu trường hợp có thể.

Do đó,

Cây sau đây dẫn đến kết quả tương tự:

b) Hai lần chiết liên tiếp (không lặp lại) có thể dẫn đến ba kết quả sau:

Bảng hiển thị tất cả các kết quả có thể xảy ra:

Do đó,

Cây tương ứng dẫn đến kết quả tương tự:

Ví dụ 24 (bài toán de Mere). Hai chơi "tung" đến năm trận thắng. Trò chơi kết thúc khi người đầu tiên thắng bốn ván và ván thứ hai thắng ba. Nên chia tiền cược ban đầu như thế nào trong trường hợp này?

Dung dịch. Đặt sự kiện = (người chơi đầu tiên giành giải thưởng). Sau đó, cây hoàn trả xác suất cho người chơi đầu tiên là:

Do đó, ba phần tiền cược nên được trao cho người chơi đầu tiên và một phần cho người thứ hai.

Hãy để chúng tôi chỉ ra hiệu quả của việc giải các bài toán xác suất với sự trợ giúp của đồ thị bằng ví dụ sau mà chúng ta đã xem xét trong Phần 1 (Ví dụ 2).

Ví dụ 25. Lựa chọn có sự trợ giúp của "đếm" có công bằng không?

Dung dịch. Hãy tạo một cây kết quả xác suất:

và do đó, khi chơi "đếm" thì đứng nhì sẽ có lợi hơn.

Trong giải pháp cuối cùng, các diễn giải trên đồ thị của các định lý cộng và nhân xác suất được sử dụng:

và đặc biệt

Nếu và là các sự kiện không tương thích

và, nếu và là các biến cố độc lập.

xác suất tĩnh

Định nghĩa cổ điển, khi xem xét các vấn đề phức tạp, gặp phải những khó khăn không thể vượt qua. Đặc biệt, trong một số trường hợp, có thể không xác định được các trường hợp có khả năng xảy ra như nhau. Ngay cả trong trường hợp của một đồng xu, như đã biết, rõ ràng là không có khả năng xảy ra như nhau về việc một "cạnh" rơi ra, điều này không thể ước tính được từ những cân nhắc lý thuyết (người ta chỉ có thể nói rằng điều đó khó xảy ra và sự cân nhắc này khá thực tế ). Do đó, vào buổi bình minh của sự hình thành lý thuyết xác suất, một định nghĩa xác suất "tần suất" thay thế đã được đề xuất. Cụ thể, chính thức, xác suất có thể được định nghĩa là giới hạn tần suất quan sát của sự kiện A, giả sử tính đồng nhất của các quan sát (nghĩa là tính giống nhau của tất cả các điều kiện quan sát) và sự độc lập của chúng với nhau:

ở đâu là số lượng quan sát và là số lần xuất hiện của sự kiện.

Mặc dù thực tế là định nghĩa này chỉ ra một cách ước tính xác suất chưa biết - bằng một số lượng lớn các quan sát đồng nhất và độc lập - tuy nhiên, định nghĩa này phản ánh nội dung của khái niệm xác suất. Cụ thể, nếu một xác suất nhất định được quy cho một sự kiện, như một thước đo khách quan về khả năng của nó, thì điều này có nghĩa là trong các điều kiện cố định và nhiều lần lặp lại, chúng ta sẽ nhận được tần suất xuất hiện của nó gần với (càng gần, càng nhiều quan sát). Trên thực tế, đây là ý nghĩa ban đầu của khái niệm xác suất. Nó dựa trên quan điểm khách quan về các hiện tượng tự nhiên. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét cái gọi là quy luật số lớn, cung cấp cơ sở lý thuyết (trong khuôn khổ của phương pháp tiếp cận tiên đề hiện đại được trình bày dưới đây), bao gồm ước tính tần suất của xác suất.

CƠ SỞ GIÁO DỤC THÀNH PHỐ

PHÒNG THỂ DỤC SỐ 6

về chủ đề "Định nghĩa xác suất cổ điển".

Hoàn thành bởi một học sinh lớp 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Giáo viên toán: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Nhiều trò chơi sử dụng xúc xắc. Xúc xắc có 6 mặt, trên mỗi mặt có đánh dấu một số điểm khác nhau - từ 1 đến 6. Người chơi tung xúc xắc và xem có bao nhiêu điểm trên mặt bị rơi (mặt nằm trên cùng). Rất thường xuyên, các chấm trên mép của con súc sắc được thay thế bằng số tương ứng và sau đó chúng nói về một lần tung 1, 2 hoặc 6. Việc ném một con súc sắc có thể được coi là một trải nghiệm, một thử nghiệm, một bài kiểm tra và kết quả thu được. là kết quả của bài kiểm tra hoặc một sự kiện cơ bản. Mọi người quan tâm đến việc đoán sự khởi đầu của một sự kiện, dự đoán kết quả của nó. Họ có thể đưa ra dự đoán gì khi gieo xúc xắc? Ví dụ:

sự kiện A - số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 rơi ra;
sự kiện B - số 7, 8 hoặc 9 rơi ra;
biến cố C - số 1 rơi ra.

Nghĩ về sự khởi đầu của một sự kiện nào đó, rất có thể chúng ta sẽ không sử dụng từ “có lẽ”. Ví dụ: nếu hôm nay là thứ Tư, thì ngày mai là thứ Năm, đây là một sự kiện nhất định. Vào thứ Tư, chúng tôi sẽ không nói: "Có lẽ ngày mai là thứ Năm", chúng tôi sẽ nói ngắn gọn và rõ ràng: "Ngày mai là thứ Năm." Đúng vậy, nếu chúng ta thiên về những cụm từ hoa mỹ, thì chúng ta có thể nói thế này: "Với xác suất một trăm phần trăm, tôi nói rằng ngày mai là thứ Năm." Ngược lại, nếu hôm nay là thứ Tư, thì ngày mai là thứ Sáu - một sự kiện không thể xảy ra. Đánh giá sự kiện này vào thứ Tư, chúng ta có thể nói thế này: "Tôi chắc chắn rằng ngày mai không phải là thứ Sáu." Hay như thế này: "Thật không thể tin được rằng ngày mai là thứ Sáu." Chà, nếu chúng ta thiên về những cụm từ hoa mỹ, thì chúng ta có thể nói thế này: “Xác suất ngày mai là thứ Sáu bằng không.” Vì vậy, một sự kiện nhất định là một sự kiện xảy ra trong những điều kiện nhất định. chắc chắn 100%(tức là đến 10 trường hợp trên 10 trường hợp, 100 trường hợp trên 100 trường hợp, v.v.). Biến cố không thể xảy ra là biến cố không bao giờ xảy ra với những điều kiện đã cho, biến cố với xác suất bằng không.

xác suất của một sự kiện nhất định được coi là bằng 1;
xác suất của một sự kiện không thể được coi là bằng 0.

Sơ đồ xác suất cổ điển

Để tìm xác suất của một sự kiện A trong một số thí nghiệm, người ta nên:

1) tìm số N của tất cả các kết quả có thể xảy ra của trải nghiệm này;

2) chấp nhận giả định rằng tất cả các kết quả này đều có thể xảy ra như nhau (có thể xảy ra như nhau);

3) tìm số N(A) các kết quả của trải nghiệm mà sự kiện A xảy ra;

4) tìm một tư nhân ; nó sẽ bằng xác suất của biến cố A.

Sử dụng ký hiệu này, xác suất của một sự kiện A theo sơ đồ cổ điển có thể được tìm thấy bằng công thức

P(A)=.

Thông thường, tất cả các điểm của lược đồ xác suất cổ điển nhất định được diễn đạt bằng một cụm từ khá dài.

Định nghĩa cổ điển về xác suất

ví dụ 1. Tìm xác suất để trong một lần gieo súc sắc: a) 4; b) 5; c) số điểm chẵn; d) số điểm lớn hơn 4; e) số điểm không phải là bội số của ba.

a) Chính xác ở một trong các kết quả, sự kiện A mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra - mất số 4. Do đó, N (A) \u003d 1 và

P(Một)= =.

b) Giải pháp và câu trả lời giống như trong đoạn văn trước.

c) Biến cố B mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra chính xác trong ba trường hợp khi số điểm là 2, 4 hoặc 6. Do đó,

N(b)=3 vàP(b)==.

d) Biến cố C mà chúng ta quan tâm sẽ xảy ra chính xác trong hai trường hợp khi số điểm là 5 hoặc 6. Do đó,

N(C) =2 và P(C)=.

Trả lời: a); b) ; Trong) ; g) ; e).

Ghi chú 1. Hãy xem xét một ví dụ khác. Câu hỏi được đặt ra: "Xác suất để được ba mặt trên một lần tung xúc xắc là bao nhiêu?" Học sinh trả lời như thế này: "Xác suất là 0,5." Và anh ấy giải thích câu trả lời của mình: “Cả ba sẽ rơi ra ngoài hoặc không. Điều này có nghĩa là tổng cộng có hai kết quả và trong đúng một trường hợp, sự kiện mà chúng ta quan tâm xảy ra. Theo sơ đồ xác suất cổ điển, chúng tôi nhận được câu trả lời 0,5. Có một lỗi trong lập luận này? Thoạt nhìn, không. Tuy nhiên, nó vẫn ở đó, và trong một thời điểm cơ bản. Vâng, thực sự, bộ ba sẽ rơi ra ngoài hoặc không, nghĩa là với định nghĩa như vậy về kết quả của cú ném, N = 2. Cũng đúng là N(A)=1 và, tất nhiên, đúng là =0, 5, tức là, ba điểm của lược đồ xác suất được tính đến, nhưng việc thực hiện điểm 2) là điều đáng nghi ngờ. Tất nhiên, xét trên quan điểm pháp lý thuần túy, chúng ta có quyền tin rằng thua gấp ba thì khả năng thất bại ngang nhau. Nhưng chúng ta có thể nghĩ như vậy mà không vi phạm các giả định tự nhiên của chúng ta về "sự giống nhau" của các khuôn mặt không? Dĩ nhiên là không! Ở đây chúng ta đang xử lý lý luận chính xác trong một số mô hình. Chỉ có bản thân mô hình này là “sai”, không tương ứng với hiện tượng thực tế.

Ghi chú 2. Khi thảo luận về xác suất, đừng quên tình huống quan trọng sau đây. Nếu chúng ta nói rằng khi tung xúc xắc, xác suất được một điểm bằng , điều này hoàn toàn không có nghĩa là khi tung xúc xắc 6 lần, bạn sẽ được một điểm đúng một lần, bằng cách ném xúc xắc 12 lần, bạn sẽ được một điểm chính xác hai lần, bằng cách tung con súc sắc 18 lần, bạn được một điểm đúng ba lần, v.v.. Từ này có thể là suy đoán. Chúng tôi cho rằng điều đó có khả năng xảy ra. Có lẽ nếu chúng ta tung xúc xắc 600 lần, một điểm sẽ xuất hiện 100 lần, hoặc khoảng 100.

Lý thuyết xác suất nảy sinh vào thế kỷ 17 khi phân tích các trò chơi cờ bạc khác nhau. Do đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi những ví dụ đầu tiên có tính chất vui tươi. Từ các ví dụ về xúc xắc, chúng ta hãy chuyển sang phần rút bài ngẫu nhiên từ bộ bài.

ví dụ 2. Từ một bộ bài 36 quân bài, người ta rút ngẫu nhiên đồng thời 3 quân bài. Xác suất không có Nữ hoàng Spades trong số họ là gì?

Dung dịch. Ta có một tập hợp gồm 36 phần tử. Chúng tôi chọn ba yếu tố, thứ tự không quan trọng. Do đó, có thể thu được kết quả N=C. Chúng ta sẽ hành động theo sơ đồ xác suất cổ điển, nghĩa là chúng ta sẽ giả định rằng tất cả những kết quả này đều có thể xảy ra như nhau.

Nó vẫn còn để tính toán xác suất cần thiết theo định nghĩa cổ điển:

Và xác suất để trong số ba quân bài được chọn có quân Bích là bao nhiêu? Số lượng của tất cả các kết quả như vậy không khó để tính toán, bạn chỉ cần trừ từ tất cả các kết quả N tất cả các kết quả trong đó không có quân hậu bích, tức là trừ đi số N(A) tìm thấy trong Ví dụ 3. Sau đó, sự khác biệt này N - N (A) theo sơ đồ xác suất cổ điển phải được chia cho N. Đây là những gì chúng ta nhận được:

Chúng tôi thấy rằng có một mối quan hệ nhất định giữa xác suất của hai sự kiện. Nếu sự kiện A bao gồm sự vắng mặt của Nữ hoàng Spades và sự kiện B bao gồm sự hiện diện của cô ấy trong số ba quân bài đã chọn, thì

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Thật không may, trong đẳng thức P(A)+P(B)=1 không có thông tin về mối quan hệ giữa các sự kiện A và B; chúng ta phải ghi nhớ mối liên hệ này. Sẽ thuận tiện hơn nếu đặt tên và chỉ định trước cho sự kiện B, chỉ rõ mối liên hệ của nó với A.

định nghĩa 1. sự kiện B gọi là ngược lại với biến cố A và biểu thị B=Ā nếu sự kiện B xảy ra khi và chỉ khi sự kiện A không xảy ra.

tĐịnh lý 1. Để tìm xác suất của biến cố ngược lại, hãy lấy đơn vị trừ xác suất của chính biến cố đó: Р(Ā)= 1—Р(А). Thật,

Trong thực tế, họ tính toán cái gì dễ tìm hơn: P(A) hoặc P(Ā). Sau đó, họ sử dụng công thức từ định lý và lần lượt tìm P(Ā)= 1-P(A) hoặc P(A)= 1-P(Ā).

Thường được sử dụng là phương pháp giải quyết một vấn đề cụ thể bằng cách "liệt kê các trường hợp", khi các điều kiện của vấn đề được chia thành các trường hợp loại trừ lẫn nhau, mỗi trường hợp được xem xét riêng. Chẳng hạn “đi bên phải thì mất ngựa, đi thẳng thì giải một bài toán theo lý thuyết xác suất, đi bên trái thì…”. Hoặc khi vẽ đồ thị của hàm y=│x+1│—│2x—5│, hãy xét các trường hợp của x

ví dụ 3. Trong số 50 chấm, 17 chấm màu xanh lam và 13 chấm màu cam. Tìm xác suất để một điểm được chọn ngẫu nhiên sẽ được tô bóng.

Dung dịch. Tổng cộng, 30 điểm trong số 50 điểm được tô đậm. Do đó, xác suất là = 0,6.

Đáp số: 0,6.

Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn ví dụ đơn giản này. Đặt sự kiện A là điểm được chọn có màu xanh lam và sự kiện B là điểm được chọn có màu cam. Theo quy ước, biến cố A và B không thể xảy ra đồng thời.

Chúng tôi biểu thị bằng chữ C sự kiện mà chúng tôi quan tâm. Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi nó xảy ra ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B. Rõ ràng là N(C)= N(A)+N(B).

Chúng ta hãy chia cả hai vế của đẳng thức này cho N, số lượng tất cả các kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm đã cho; chúng tôi nhận được

Chúng tôi đã phân tích một tình huống quan trọng và thường xuyên xảy ra bằng một ví dụ đơn giản. Có một cái tên đặc biệt cho cô ấy.

định nghĩa 2. Biến cố A và B được gọi là không tương thích nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc.

Định lý 2. Xác suất xảy ra ít nhất một trong hai sự kiện xung khắc bằng tổng xác suất của chúng.

Khi dịch định lý này sang ngôn ngữ toán học, cần phải bằng cách nào đó đặt tên và chỉ định một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong hai sự kiện A và B đã cho. Một sự kiện như vậy được gọi là tổng của các sự kiện A và B và được ký hiệu là A+B.

Nếu A và B xung khắc thì P(A+B)= P(A)+P(B).

Thật,

Sự không tương thích của các sự kiện A và B có thể được minh họa thuận tiện bằng một hình. Nếu tất cả các kết quả của trải nghiệm là một số tập hợp điểm trong hình, thì các sự kiện A và B là một số tập hợp con của một tập hợp nhất định. Sự không tương thích của A và B có nghĩa là hai tập hợp con này không giao nhau. Một ví dụ điển hình về các biến cố xung khắc là biến cố A bất kỳ và biến cố ngược lại Ā.

Tất nhiên, định lý này đúng cho ba, bốn và cho bất kỳ số lượng hữu hạn các sự kiện xung khắc theo cặp nào. Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích theo cặp bất kỳ bằng tổng xác suất của các sự kiện này. Tuyên bố quan trọng này hoàn toàn tương ứng với phương pháp giải quyết vấn đề bằng cách "liệt kê các trường hợp".

Giữa các sự kiện xảy ra do một số kinh nghiệm và giữa xác suất của các sự kiện này, có thể có một số mối quan hệ, phụ thuộc, kết nối, v.v. biến cố bằng tổng xác suất của chúng.

Để kết luận, chúng ta thảo luận về câu hỏi cơ bản sau: liệu có thể chứng tỏ, rằng xác suất nhận được "mặt ngửa" trong một lần tung đồng xu bằng

Câu trả lời là phủ định. Nói chung, bản thân câu hỏi không đúng, ý nghĩa chính xác của từ "chứng minh" không rõ ràng. Rốt cuộc, chúng tôi luôn chứng minh điều gì đó trong khuôn khổ của một số người mẫu, trong đó các quy tắc, định luật, tiên đề, công thức, định lý, v.v.. Nếu chúng ta đang nói về một đồng tiền tưởng tượng, “lý tưởng”, thì đó là lý do tại sao nó được coi là lý tưởng bởi vì, theo định nghĩa, xác suất được mặt ngửa bằng xác suất được mặt ngửa. Và, về nguyên tắc, chúng ta có thể xem xét một mô hình trong đó xác suất rơi "đuôi" lớn hơn hai lần so với xác suất rơi "đại bàng" hoặc ít hơn ba lần, v.v. Sau đó, câu hỏi đặt ra: vì lý do gì chúng ta chọn từ các mô hình tung đồng xu khả thi khác nhau mà trong đó cả hai kết quả của lần tung đều có khả năng xảy ra như nhau?

Một câu trả lời hoàn toàn thẳng thắn là: “Nhưng nó dễ dàng hơn, rõ ràng hơn và tự nhiên hơn đối với chúng tôi!” Nhưng cũng có nhiều tranh luận thực chất hơn. Chúng đến từ thực tiễn. Phần lớn các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất đều đưa ra ví dụ về nhà tự nhiên học người Pháp J. Buffon (thế kỷ 18) và nhà toán học-thống kê người Anh C. Pearson (cuối thế kỷ 19), người đã ném một đồng xu lần lượt là 4040 và 24000 lần, rồi đếm số lượng “ngửa” rơi ” hoặc “sấp”. "Đuôi" của họ lần lượt rơi ra vào năm 1992 và 11998 lần. nếu bạn đếm giảm tần suất“sấp” thì bạn nhận được = = 0,493069 ... cho Buffon và = 0,4995 cho Pearson. Phát sinh tự nhiên giả thiết rằng với sự gia tăng không giới hạn số lần tung đồng xu, tần suất rơi "đuôi", cũng như tần suất rơi "đại bàng", sẽ ngày càng tiến gần đến 0,5. Chính giả định này, dựa trên dữ liệu thực tế, là cơ sở để lựa chọn một mô hình với các kết quả khả dĩ.

Bây giờ chúng ta có thể tổng hợp. Khái niệm cơ bản là xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên, được tính toán trong khuôn khổ của mô hình đơn giản nhất— sơ đồ xác suất cổ điển. Khái niệm này rất quan trọng cả về lý thuyết và thực tiễn. sự kiện ngược lại và công thức Р(Ā)= 1—Р(А) để tìm xác suất của một sự kiện như vậy.

Cuối cùng, chúng tôi đã gặp nhau sự kiện không tương thích và với các công thức.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

cho phép tìm xác suất lượng những sự kiện như vậy.

Thư mục

1. Sự kiện. xác suất. Xử lý số liệu thống kê: Bổ sung. đoạn đến quá trình đại số 7-9 ô. cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—Tái bản lần thứ 4.—M.: Mnemozina, 2006.—112 tr.: bệnh.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Đại số. Các yếu tố của thống kê và lý thuyết xác suất.—Moscow, Khai sáng, 2006.