hàm tương quan.

1. Kỳ vọng toán học của một quá trình phi ngẫu nhiên j( t) bằng với quá trình không ngẫu nhiên nhất:

Từ biểu thức (1.9) suy ra rằng mọi hàm không ngẫu nhiên có tâm đều bằng 0, vì

2. Nếu biến ngẫu nhiên Y(t) là tổ hợp tuyến tính của các hàm tôi(t):

, (1.11)

các hàm không ngẫu nhiên ở đâu t, Cái đó

. (1.12)

Mối quan hệ cuối cùng xuất phát từ thực tế là hoạt động xác định kỳ vọng toán học là tuyến tính.

3. Hàm tương quan của một quá trình không ngẫu nhiên đồng biến bằng không. Tính chất này suy trực tiếp từ (1.10).

4. Hàm tương quan không thay đổi từ việc thêm bất kỳ hàm không ngẫu nhiên nào vào hàm ngẫu nhiên. Thật vậy, nếu , Cái đó

Từ đó suy ra các hàm tương quan của các quá trình ngẫu nhiên và

Phù hợp. Do đó, khi xác định các hàm tương quan, chúng ta luôn có thể giả định rằng quá trình đang được xem xét là trung tâm.

5. Nếu một quá trình ngẫu nhiên Y(t) là tổ hợp tuyến tính của các quá trình ngẫu nhiên tôi(t):

,

các hàm không ngẫu nhiên ở đâu, sau đó

, (1.14)

đâu là chức năng tương quan riêng của quá trình tôi(t), là hàm tương quan lẫn nhau của các quá trình và .

Thật sự:

, =

.

Nếu các quá trình ngẫu nhiên không tương quan theo cặp, thì

. (1.15)

Giả sử trong (1.14), ta thu được biểu thức cho sự phân tán của tổ hợp tuyến tính của các quá trình ngẫu nhiên:

Trong trường hợp đặc biệt của các quá trình ngẫu nhiên không tương quan

. (1.17)

6. Hàm tương quan là hàm xác định không âm:

. (1.18)

Thật vậy, ta biểu diễn (1.18) dưới dạng:

.

Vì tích phân là giới hạn của tổng tích phân, nên biểu thức cuối cùng có thể được biểu diễn dưới dạng giới hạn của tổng các kỳ vọng toán học, do đó, bằng với kỳ vọng toán học của tổng. Do đó, các phép toán tích phân và kỳ vọng toán học có thể hoán đổi cho nhau. Kết quả là, chúng tôi nhận được:

7. Hàm tương quan đối xứng với các đối số của nó. Hàm tương quan chéo không có thuộc tính này.

Tính đối xứng của hàm tương quan trực tiếp theo định nghĩa của nó:

Đồng thời, đối với hàm tương quan chéo, chúng ta có:

Hàm tương quan chéo thỏa mãn mối quan hệ sau:

8. Hàm tương quan và hàm tương quan chéo thỏa mãn các bất đẳng thức sau:

Thông thường, thay vì các chức năng nội tại và tương quan chéo, người ta xem xét hàm tương quan chuẩn hóa :

, (1.23)

. (1.24)

Dựa trên (1.21) và (1.22), các bất đẳng thức sau đúng với các hàm tương quan chuẩn hóa:

. (1.25)

Ví dụ Quá trình ngẫu nhiên đã cho là tổng của các quá trình ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên: . Yêu cầu , định nghĩa

Sử dụng (1.9) và (1.12) ta có:

Theo (1.15)

và cuối cùng theo (1.17) .

PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

quy trình văn phòng phẩm

Quá trình ngẫu nhiên được gọi là đứng im , nếu luật phân phối nhiều chiều của nó chỉ phụ thuộc vào sự sắp xếp lẫn nhau của các điểm thời gian t 1 , t 2 , . . .t n, I E. không thay đổi với sự dịch chuyển đồng thời của những thời điểm này theo cùng một giá trị:

Nếu biểu thức (2.1) thỏa mãn với mọi N, thì quá trình này được gọi là cố định theo nghĩa hẹp.

Tại N=1 biểu thức (2.1) có dạng:

Và tại , 2.2)

những thứ kia. luật phân bố một chiều của quá trình đứng yên không phụ thuộc vào thời gian. Do đó, các đặc điểm của một quá trình ngẫu nhiên sẽ không phụ thuộc vào thời gian, mà phụ thuộc vào luật phân phối một chiều: kỳ vọng toán học và phương sai của một quá trình ngẫu nhiên:

, . (2.3)

Tại N=2 biểu thức (2.1) được viết lại như sau:

Do đó, hàm tương quan của quá trình dừng, được xác định bởi luật phân bố hai chiều, sẽ chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian t

Theo định nghĩa của A.Ya.Khinchin, quá trình là cố định theo nghĩa rộng nếu điều kiện dừng (2.1) chỉ được thỏa mãn đối với n= 1 và 2.

Do đó, các điều kiện cho tính dừng của quá trình theo nghĩa rộng có thể được xây dựng như sau:

kỳ vọng và phương sai của một quá trình như vậy không phụ thuộc vào thời gian - và D X;

· Hàm tương quan của quá trình chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian giữa các phần - .

KXX(t) là một hàm chẵn của đối số của nó:

Cần nhớ rằng hàm tương quan chéo là một hàm lẻ:

, (). (2.7)

quy trình bình thường

Quá trình ngẫu nhiên là Bình thường , nếu bất kỳ luật đa chiều là bình thường:

× ), (2.8)

Ở đâu (2.9)

Hàm riêng tương đối và hàm tương quan lẫn nhau và hai giá trị của một biến ngẫu nhiên y-y 1 và y 2. Có thể thấy từ hình vẽ rằng kỳ vọng toán học của việc thực hiện tại Y=y 1 bằng y 1 , trong khi Y=y 2 – y 2 .

Hình.2.1. Một ví dụ về một quy trình phi ergodic cố định

Do đó, không thể đánh giá các đặc điểm của toàn bộ quy trình từ một lần thực hiện duy nhất một quy trình đứng yên nhưng không theo công thái học.

quá trình Markov

Nếu các tính chất xác suất của một quá trình ngẫu nhiên hoàn toàn được xác định bởi giá trị của hoành độ của nó tại một thời điểm nhất định và không phụ thuộc vào các giá trị của hoành độ của quá trình tại các thời điểm trước đó, thì quá trình ngẫu nhiên đó là gọi điện Markovsky. Đôi khi các quy trình này được gọi là quy trình. không có hậu quả.

Sự can thiệp trong các hệ thống thông tin liên lạc được mô tả bằng các phương pháp của lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên.

Một hàm được gọi là ngẫu nhiên nếu do kết quả của thí nghiệm, nó có dạng này hay dạng khác, không biết trước là dạng nào. Một quá trình ngẫu nhiên là một hàm ngẫu nhiên của thời gian. Hình thức cụ thể mà một quá trình ngẫu nhiên có được do kết quả của một phép thử được gọi là sự thực hiện của một quá trình ngẫu nhiên.

Trên hình. 1.19 cho thấy một tập hợp vài (ba) triển khai của một quy trình ngẫu nhiên , , . Một tập hợp như vậy được gọi là một tập hợp các triển khai. Với một giá trị cố định của thời điểm trong thí nghiệm đầu tiên, chúng ta thu được một giá trị cụ thể , trong lần thứ hai - , trong lần thứ ba - .

Quá trình ngẫu nhiên có một nhân vật kép. Một mặt, trong mỗi thí nghiệm cụ thể, nó được thể hiện bằng cách thực hiện của chính nó - một hàm không ngẫu nhiên của thời gian. Mặt khác, một quá trình ngẫu nhiên được mô tả bởi một tập hợp các biến ngẫu nhiên.

Thật vậy, hãy xem xét một quá trình ngẫu nhiên tại một thời điểm cố định Sau đó, trong mỗi thí nghiệm, lấy một giá trị và không biết trước giá trị nào. Như vậy, một quá trình ngẫu nhiên xét tại một thời điểm cố định là một biến ngẫu nhiên. Nếu hai thời điểm và cố định thì trong mỗi thí nghiệm ta sẽ thu được hai giá trị và . Trong trường hợp này, việc xem xét chung các giá trị này dẫn đến một hệ thống gồm hai biến ngẫu nhiên. Khi phân tích các quá trình ngẫu nhiên tại N thời điểm, chúng ta đi đến một tập hợp hoặc hệ thống của N biến ngẫu nhiên .

Kỳ vọng toán học, phương sai và hàm tương quan của một quá trình ngẫu nhiên Vì một quá trình ngẫu nhiên được xét tại một thời điểm cố định là một biến ngẫu nhiên, nên chúng ta có thể nói về kỳ vọng toán học và phương sai của một quá trình ngẫu nhiên:

, .

Cũng như đối với một biến ngẫu nhiên, phương sai đặc trưng cho sự lan truyền của các giá trị của một quá trình ngẫu nhiên so với giá trị trung bình. Càng lớn, khả năng xảy ra các giá trị quá trình dương và âm càng lớn. Một đặc điểm thuận tiện hơn là độ lệch bình phương trung bình gốc (MSD), có cùng kích thước với chính quá trình ngẫu nhiên.

Ví dụ, nếu một quá trình ngẫu nhiên mô tả sự thay đổi khoảng cách đến một đối tượng, thì kỳ vọng toán học là khoảng cách trung bình tính bằng mét; phương sai được đo bằng mét vuông và Sco - tính bằng mét và đặc trưng cho sự lan rộng của các giá trị phạm vi có thể so với mức trung bình.

Giá trị trung bình và phương sai là những đặc điểm rất quan trọng giúp có thể đánh giá hành vi của một quá trình ngẫu nhiên tại một thời điểm cố định. Tuy nhiên, nếu cần ước tính "tốc độ" của sự thay đổi trong quá trình, thì các quan sát tại một thời điểm là không đủ. Để làm điều này, hãy sử dụng hai biến ngẫu nhiên được xem xét cùng nhau. Cũng giống như đối với các biến ngẫu nhiên, một đặc điểm của mối liên hệ hoặc sự phụ thuộc giữa và được đưa vào. Đối với một quá trình ngẫu nhiên, đặc tính này phụ thuộc vào hai thời điểm và được gọi là hàm tương quan: .

Các quá trình ngẫu nhiên dừng. Nhiều quy trình trong các hệ thống điều khiển tiến hành thống nhất theo thời gian. Các đặc tính cơ bản của chúng không thay đổi. Các quá trình như vậy được gọi là văn phòng phẩm. Một định nghĩa chính xác có thể được đưa ra như sau. Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng nếu bất kỳ đặc điểm xác suất nào của nó không phụ thuộc vào sự dịch chuyển của tham chiếu thời gian. Đối với một quá trình ngẫu nhiên dừng, kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn là không đổi: , .

Hàm tương quan của quá trình dừng không phụ thuộc vào gốc tọa độ t, tức là chỉ phụ thuộc vào sự khác biệt về thời gian:

Hàm tương quan của một quá trình ngẫu nhiên dừng có các tính chất sau:

1) ; 2) ; 3) .

Thông thường các hàm tương quan của các quá trình trong các hệ thống truyền thông có dạng như trong Hình. 1,20.

Cơm. 1,20. Các hàm tương quan quá trình

Khoảng thời gian mà hàm tương quan, tức là độ lớn của mối liên hệ giữa các giá trị của một quá trình ngẫu nhiên giảm đi M lần gọi là khoảng hay thời gian tương quan của quá trình ngẫu nhiên. Thông thường hoặc . Chúng ta có thể nói rằng các giá trị của một quá trình ngẫu nhiên khác nhau về thời gian theo khoảng tương quan có liên quan yếu với nhau.

Do đó, kiến ​​thức về hàm tương quan giúp đánh giá tốc độ thay đổi của một quá trình ngẫu nhiên.

Một đặc điểm quan trọng khác là phổ năng lượng của một quá trình ngẫu nhiên. Nó được định nghĩa là biến đổi Fourier của hàm tương quan:

.

Rõ ràng, phép biến đổi ngược lại cũng đúng:

.

Phổ năng lượng cho thấy sự phân bố năng lượng của một quá trình ngẫu nhiên, chẳng hạn như tiếng ồn, trên trục tần số.

Khi phân tích ACS, điều rất quan trọng là xác định các đặc điểm của quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra của một hệ thống tuyến tính với các đặc điểm đã biết của quá trình ở đầu vào ACS. Giả sử rằng hệ thống tuyến tính được đưa ra bởi đáp ứng xung. Sau đó, tín hiệu đầu ra tại thời điểm được xác định bởi tích phân Duhamel:

,

đâu là quá trình ở đầu vào của hệ thống. Để tìm hàm tương quan, chúng ta viết và sau khi nhân, chúng tôi tìm thấy kỳ vọng toán học

9. Hàm tương quan và các tính chất chính của nó.

Để mô tả đầy đủ các quá trình ngẫu nhiên, khái niệm tương quan f-i được giới thiệu.

bằng với kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn

Chúng tôi giả định rằng quy luật phân phối là bình thường. Các biểu đồ cho thấy sự khác biệt rõ rệt giữa các quy trình, mặc dù các đặc điểm xác suất của chúng như nhau.

			(t)m				(t) ,
			(t)D				(t) ,
			(t)			(t) .

Ví dụ, theo dõi máy bay. Nếu anh ta đảm nhận vị trí 1 tại thời điểm t, thì vị trí 2 có thể có của anh ta tại thời điểm tiếp theo t 2 bị giới hạn, tức là các biến cố (x 1 ,t 1 ) và (x 2 ,t 2 ) sẽ không độc lập. Đối tượng nghiên cứu càng quán tính thì sự phụ thuộc lẫn nhau hay tương quan này càng lớn. Corr f-i biểu thị một cách toán học mối tương quan của hai hàm hoặc mối tương quan của một hàm với chính nó (hàm tự động hiệu chỉnh). Chức năng được mô tả dưới dạng sau:

trong đó t 1 và t 2 là bất kỳ thời điểm nào, tức là t 1 và t 2 T

Tương quan là mối quan hệ thống kê giữa hai hay nhiều biến ngẫu nhiên.

hàm tương quan- một hàm không ngẫu nhiên R x (t 1 ,t 2 ) của hai đối số, đối với bất kỳ cặp giá trị cố định nào của các đối số t 1 và t 2 bằng với thời điểm tương quan tương ứng với các phần biến ngẫu nhiên này x (t 1 ) và x (t 2 ).

Hàm tương quan là một hàm thời gian xác định mối tương quan trong các hệ thống với các quá trình ngẫu nhiên.

Khi các thời điểm t 1 và t 2 trùng nhau, hàm tương quan bằng độ phân tán. Hàm tương quan chuẩn hóa được tính theo công thức:

) 1,

trong đó x (t 1 ) và x (t 2 ) s.c.o. hàm ngẫu nhiên x (t) lần lượt tại t \u003d t 1 và t \u003d t 2. Tính toán

chức năng tương quan là bắt buộc

mật độ (hai chiều)

xác suất

(x ,x

; t, t

) dx dx

Tính chất của hàm tương quan

1. hàm tương quan R x (t 1 ,t 2 ) đối xứng với các đối số của nó:

R x (t 1 ,t 2 ) =R x (t 2 ,t 1 )

theo định nghĩa của hàm tương quan X(t).

2. Khi được thêm vào một chức năng ngẫu nhiên X(t) của một số hạng không ngẫu nhiên tùy ý

(t ), hàm tương quan Z (t ) X (t ) (t ),

thì R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. Khi nhân một hàm ngẫu nhiên X(t) với một hệ số phi ngẫu nhiên tùy ý ψ(t) thì hàm tương quan R x (t 1 ,t 2 ) được nhân với ψ(t 1 )ψ(t 2 ).

Khi nghiên cứu câu hỏi phụ thuộc hoặc độc lập hai hoặc nhiều phần của quá trình ngẫu nhiên kiến ​​thức chỉ về kỳ vọng toán học và phương sai của r.p. không đủ.

Để xác định mối quan hệ giữa các quá trình ngẫu nhiên khác nhau, người ta sử dụng khái niệm hàm tương quan - một dạng tương tự của khái niệm hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên (xem T.8)

Tương quan (hiệp phương sai, tự động hiệp phương sai, tự tương quan) chức năng quá trình ngẫu nhiên
gọi điện chức năng không ngẫu nhiên hai đối số

bằng với thời điểm tương quan của các phần tương ứng
Và
:

hoặc (có tính đến ký hiệu của hàm ngẫu nhiên trung tâm
) chúng ta có

Đây là những điều chính tính chất hàm tương quan
quá trình ngẫu nhiên
.

1. Hàm tương quan cho các giá trị giống nhau của các đối số bằng phương sai của các sp.

Thật sự,

Thuộc tính đã được chứng minh cho phép chúng tôi tính toán m.r. và hàm tương quan, là những đặc điểm chính của một quá trình ngẫu nhiên, không cần tính phương sai.

2. Hàm tương quan không thay đổi đối với sự thay đổi của các đối số, tức là là một hàm đối xứng đối với các đối số của nó: .

Thuộc tính này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm tương quan.

3. Nếu một hàm không ngẫu nhiên được thêm vào một quá trình ngẫu nhiên, thì hàm tương quan không thay đổi, tức là Nếu như
, Cái đó. Nói cách khác

là một hàm tuần hoàn đối với mọi hàm không ngẫu nhiên.

Thật vậy, từ chuỗi suy luận

theo đó. Từ đó, chúng tôi có được tài sản cần thiết 3.

4. Mô đun của hàm tương quan không vượt quá tích của rms, tức là

Việc chứng minh tài sản 4. được thực hiện tương tự như mục 12.2. (Định lý 12..2), có tính đến tính chất đầu tiên của hàm tương quan của sp.
.

5. Khi nhân r.p.
đến một số nhân không ngẫu nhiên
hàm tương quan của nó sẽ được nhân với tích
, tức là, nếu
, Cái đó

5.1. Hàm tương quan chuẩn hóa

Cùng với chức năng tương quan, r.p. cũng được coi là hàm tương quan chuẩn hóa(hoặc tự tương quanchức năng)
được xác định bởi bình đẳng

.

Kết quả. Dựa vào tính chất 1 ta có đẳng thức

.

Theo nghĩa của riêng bạn
tương tự như hệ số tương quan cho r.v., nhưng không phải là một giá trị không đổi mà phụ thuộc vào các đối số Và .

Hãy liệt kê tính chất của hàm tương quan chuẩn hóa:

1.

2.

3.
.

Ví dụ 4 Hãy để s.p. được xác định bởi công thức, tức là
r.v.,

phân phối theo quy luật chuẩn với

Tìm các chức năng tương quan và chuẩn hóa của một quá trình ngẫu nhiên

Giải pháp. Theo định nghĩa, chúng ta có

những thứ kia.
Do đó, có tính đến định nghĩa của hàm tương quan chuẩn hóa và kết quả giải các ví dụ trước, chúng tôi thu được
= 1, tức là
.

5.2. Chức năng tương quan chéo của một quá trình ngẫu nhiên

Xác định mức độ phụ thuộc phần hai quá trình ngẫu nhiên sử dụng hàm tương quan liên kết hoặc hàm tương quan chéo.

Hàm tương quan lẫn nhau của hai quá trình ngẫu nhiên
Và
được gọi là hàm không ngẫu nhiên
hai đối số độc lập Và , mà cho mỗi cặp giá trị Và bằng với thời điểm tương quan của hai phần
Và

Hai sp
Và
gọi điện không tương quan nếu hàm tương quan lẫn nhau của chúng hoàn toàn bằng 0, tức là nếu vì bất kỳ Và xảy ra
nếu vì bất kỳ Và sẽ là
, thì các quá trình ngẫu nhiên
Và
gọi điện tương quan(hoặc có liên quan).

Xem xét các thuộc tính của hàm tương quan chéo, được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của nó và các thuộc tính của thời điểm tương quan (xem 12.2):

1. Với sự hoán vị đồng thời các chỉ số và đối số, hàm tương quan lẫn nhau không thay đổi, nghĩa là

2. Môđun của hàm tương quan chéo của hai quá trình ngẫu nhiên không vượt quá tích các độ lệch chuẩn của chúng, nghĩa là

3. Hàm tương quan sẽ không thay đổi nếu các quá trình ngẫu nhiên
Và
thêm các tính năng không ngẫu nhiên
Và
tương ứng, đó là
, nơi tương ứng
Và

4. Số nhân không ngẫu nhiên
có thể được đưa ra khỏi dấu hiệu tương quan, nghĩa là, nếu
và sau đó

5. Nếu
, Cái đó.

6. Nếu quá trình ngẫu nhiên
Và
không tương quan, thì hàm tương quan của tổng của chúng bằng tổng của các hàm tương quan của chúng, tức là

Để ước tính mức độ phụ thuộc của các mặt cắt ngang của hai sp. cũng sử dụng chức năng tương quan chéo chuẩn hóa
được xác định bởi đẳng thức:

Chức năng
có cùng tính chất với hàm
, nhưng thuộc tính 2

được thay thế bằng bất đẳng thức kép sau
, I E. mô đun của hàm tương quan chéo chuẩn hóa không vượt quá đơn vị.

Ví dụ 5 Tìm hàm tương quan lẫn nhau của hai sp.
Và
, Ở đâu
biến ngẫu nhiên, trong khi

Giải pháp. Bởi vì,.

Để mô tả ở một mức độ nào đó cấu trúc bên trong của một quá trình ngẫu nhiên, tức là xét đến mối quan hệ giữa các giá trị của một quá trình ngẫu nhiên tại các thời điểm khác nhau, hay nói cách khác là xét đến mức độ biến thiên của một quá trình ngẫu nhiên, đưa ra khái niệm hàm tương quan (tự tương quan) của một quá trình ngẫu nhiên.

Hàm tương quan (hoặc tự tương quan) của một quá trình ngẫu nhiên là một hàm không ngẫu nhiên của hai đối số, đối với mỗi cặp giá trị được chọn tùy ý của các đối số (điểm thời gian) và bằng với kỳ vọng toán học của tích của hai biến ngẫu nhiên các phần tương ứng của quá trình ngẫu nhiên:

Hàm tương quan cho thành phần ngẫu nhiên trung tâm được gọi là tâm và được xác định từ quan hệ

(1.58)

Thường hàm này được gọi là hiệp phương sai, và – tự tương quan .

Các quá trình ngẫu nhiên khác nhau, tùy thuộc vào cách các đặc điểm thống kê của chúng thay đổi theo thời gian, được chia thành đứng im Và không cố định. Phân biệt giữa dừng theo nghĩa hẹp và dừng theo nghĩa rộng.

Cố định theo nghĩa hẹp được gọi là một quá trình ngẫu nhiên, nếu các hàm phân phối theo chiều và mật độ xác suất của nó đối với bất kỳ đừng phụ thuộc từ vị trí bắt đầu đếm ngược. Điều này có nghĩa là hai quá trình có cùng các thuộc tính thống kê đối với bất kỳ, nghĩa là các đặc tính thống kê của một quá trình ngẫu nhiên đứng yên không thay đổi theo thời gian. Một quá trình ngẫu nhiên dừng là một loại tương tự của một quá trình ổn định trong các hệ thống động.

Cố định theo nghĩa rộng được gọi là một quá trình ngẫu nhiên, có kỳ vọng toán học là hằng số:

và hàm tương quan chỉ phụ thuộc vào một biến - sự khác biệt của các đối số:

Khái niệm về một quá trình ngẫu nhiên, dừng theo nghĩa rộng, được đưa ra khi chỉ kỳ vọng toán học và hàm tương quan được sử dụng làm đặc trưng thống kê của một quá trình ngẫu nhiên. Phần lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên mô tả các thuộc tính của một quá trình ngẫu nhiên thông qua hàm tương quan và kỳ vọng toán học của nó được gọi là lý thuyết tương quan.

Đối với một quá trình ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn, kỳ vọng toán học và hàm tương quan hoàn toàn xác định nó N mật độ xác suất -thứ nguyên. đó là lý do tại sao đối với các quá trình ngẫu nhiên thông thường, các khái niệm về tính dừng theo nghĩa rộng và nghĩa hẹp trùng khớp với nhau.

Lý thuyết về các quá trình dừng đã được phát triển đầy đủ nhất và làm cho việc tính toán trong nhiều trường hợp thực tế trở nên tương đối dễ dàng. Do đó, đôi khi cũng nên đưa ra giả định về tính dừng cho những trường hợp khi quá trình ngẫu nhiên, mặc dù không cố định, không có thời gian để thay đổi các đặc tính thống kê của tín hiệu trong khoảng thời gian được xem xét của hoạt động hệ thống.

Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên, hai khái niệm về giá trị trung bình được sử dụng. Khái niệm đầu tiên về ý nghĩa là thiết lập ý nghĩa (hoặc kỳ vọng toán học), được xác định trên cơ sở quan sát một tập hợp các triển khai của một quy trình ngẫu nhiên tại cùng một thời điểm. Giá trị trung bình trên tập hợp thường được biểu thị Dợn sóng đặc điểm trên một biểu thức mô tả một chức năng ngẫu nhiên:

Nói chung, giá trị trung bình của tập hợp là một hàm của thời gian.

Một khái niệm khác về ý nghĩa là thời gian trung bình , được xác định trên cơ sở quan sát sự thực hiện riêng biệt của một quá trình ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian đủ dài. Thời gian trung bình được biểu thị thẳng đặc điểm trên biểu thức tương ứng của một hàm ngẫu nhiên và được xác định bởi công thức

, (1.62)

nếu giới hạn này tồn tại.

Giá trị trung bình theo thời gian nói chung là khác nhau đối với các triển khai riêng lẻ của tập xác định quy trình ngẫu nhiên.

Nói chung, đối với cùng một quy trình ngẫu nhiên, giá trị trung bình đã đặt và giá trị trung bình của thời gian là khác nhau, nhưng đối với cái gọi là quá trình ngẫu nhiên tĩnh ergodic giá trị trung bình trên tập hợp trùng với giá trị trung bình theo thời gian:

Theo định lý ergodic cho một quá trình ngẫu nhiên đứng yên, hàm tương quan có thể được định nghĩa là trung bình thời gian của một lần thực hiện

(1.64)

Ở đâu - bất kỳ thực hiện của một quá trình ngẫu nhiên.

Hàm tương quan tập trung của một quá trình ngẫu nhiên cố định ergodic

Từ biểu thức (1.65) có thể thấy rằng phương sai của một quá trình ngẫu nhiên dừng bằng giá trị ban đầu của hàm tương quan trung tâm: