Ví dụ giải pháp excel phương pháp lặp. Sử dụng chế độ "Lặp đi lặp lại"

TẠI chương trình excel có một bộ công cụ mở rộng để giải quyết nhiều loại phương trình theo những cách khác nhau.

Hãy xem xét một số ví dụ về các giải pháp.

Giải phương trình bằng phương pháp chọn tham số Excel

Công cụ Tìm kiếm tham số được sử dụng trong trường hợp đã biết kết quả nhưng chưa biết đối số. Excel chọn các giá trị cho đến khi phép tính mang lại tổng số mong muốn.

Đường dẫn đến lệnh: "Dữ liệu" - "Làm việc với dữ liệu" - "Phân tích điều gì xảy ra nếu" - "Lựa chọn tham số".

Hãy cùng xem giải pháp phương trình bậc hai x 2 + 3x + 2 = 0. Thứ tự tìm nghiệm bằng Excel:

Chương trình sử dụng quy trình tuần hoàn để chọn tham số. Để thay đổi số lần lặp và lỗi, bạn cần vào tùy chọn Excel. Trên tab "Công thức", đặt giới hạn cho số lần lặp lại, sai số tương đối. Chọn hộp "kích hoạt phép tính lặp".

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận trong Excel

Hệ phương trình đã cho:

nghiệm thu được.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer trong Excel

Hãy lấy hệ phương trình từ ví dụ trước:

Để giải quyết chúng bằng phương pháp Cramer, chúng tôi tính các định thức của ma trận thu được bằng cách thay thế một cột trong ma trận A bằng ma trận cột B.

Để tính các định thức, chúng ta sử dụng hàm MOPRED. Đối số là một phạm vi với ma trận tương ứng.

Ta cũng tính định thức của ma trận A (mảng - dãy của ma trận A).

Định thức của hệ lớn hơn 0 - có thể tìm nghiệm bằng công thức Cramer (D x / |A|).

Để tính X 1: \u003d U2 / $ U $ 1, trong đó U2 - D1. Để tính X 2: =U3/$U$1. Vân vân. Chúng tôi nhận được gốc của các phương trình:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss trong Excel

Ví dụ, chúng ta hãy lấy hệ thống đơn giản nhất phương trình:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Chúng tôi viết các hệ số trong ma trận A. Số hạng tự do - trong ma trận B.

Để rõ ràng, chúng tôi đánh dấu các thành viên miễn phí bằng cách điền vào. Nếu ô đầu tiên của ma trận A là 0, bạn cần hoán đổi các hàng sao cho có giá trị khác 0.

Ví dụ về giải phương trình bằng phép lặp trong Excel

Các tính toán trong sổ làm việc phải được thiết lập như sau:

Điều này được thực hiện trên tab "Công thức" trong "Tùy chọn Excel". Hãy tìm nghiệm của phương trình x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) bằng cách lặp sử dụng tham chiếu tuần hoàn. Công thức:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M- gia trị lơn nhâtđạo hàm modulo. Để tìm M, hãy thực hiện các phép tính:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Giá trị kết quả nhỏ hơn 0. Do đó, hàm sẽ có dấu hiệu ngược lại: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Trong ô A3, nhập giá trị: a = 1. Độ chính xác - ba chữ số thập phân. Để tính giá trị hiện tại của x trong ô liền kề (B3), hãy nhập công thức: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

Tại ô C3, chúng ta kiểm soát giá trị của f(x): sử dụng công thức =B3-POWER(B3;3)+1.

Gốc của phương trình là 1,179. Nhập giá trị 2 vào ô A3, ta được kết quả như sau:

Chỉ có một gốc trên một khoảng nhất định.

gần đúng phương pháp số

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TÍNH với một ẩn số.

Một phương trình với một ẩn số có thể được viết ở dạng chính tắc

Giải pháp của phương trình là tìm các gốc, tức là các giá trị của x biến phương trình thành đẳng thức. Tùy thuộc vào những chức năng được bao gồm trong phương trình, hai lớp phương trình lớn được chia - đại số và siêu việt. Một hàm được gọi là đại số nếu, để có được giá trị của hàm từ giá trị nhất định x cần thực hiện các phép toán số học và lũy thừa. Các hàm siêu việt bao gồm hàm mũ, logarit, lượng giác trực tiếp và nghịch đảo, v.v.

Bạn chỉ có thể tìm thấy các giá trị chính xác của các gốc trong trường hợp đặc biệt. Theo quy định, các phương pháp tính toán gần đúng nghiệm với độ chính xác cho trước E. Điều này có nghĩa là nếu xác định được nghiệm mong muốn nằm trong khoảng , trong đó a là đường viền bên trái và b là đường viền bên phải của khoảng và độ dài của khoảng (b-a)<= E, то за приближенное значение корня можно принять любое число, находящееся внутри этого интервала.

Quá trình tìm giá trị gần đúng của nghiệm được chia thành hai giai đoạn: 1) tách nghiệm và 2) tinh chỉnh nghiệm đến một mức độ chính xác nhất định. Hãy xem xét các giai đoạn này chi tiết hơn.

1.1 Tách rễ.

Bất kỳ nghiệm nào của một phương trình được coi là tách rời trên một đoạn nếu phương trình đang nghiên cứu không có nghiệm nào khác trên đoạn này.

Để tách các gốc có nghĩa là chia toàn bộ phạm vi giá trị chấp nhận được của x thành các phân đoạn, mỗi phân đoạn chỉ chứa một gốc. Thao tác này có thể được thực hiện theo hai cách - đồ họa và dạng bảng.

Nếu hàm f (x) dễ dàng xây dựng một biểu đồ định tính về sự thay đổi của nó, thì theo biểu đồ này, hai số gần như được tìm thấy, giữa chúng có một giao điểm của hàm với trục x. Đôi khi, để thuận tiện cho việc xây dựng, nên biểu diễn phương trình chính tắc ban đầu ở dạng f 1 (x) = f 2 (x), sau đó vẽ đồ thị của các hàm này và trục hoành của giao điểm của các đồ thị đóng vai trò là nghiệm của phương trình này.

Với sự có mặt của máy tính, phương pháp tách rễ dạng bảng là phổ biến nhất. Nó bao gồm việc lập bảng hàm f(x) khi thay đổi x từ một giá trị nhất định của x ban đầu thành một giá trị của x cuối cùng với một bước là dx. Nhiệm vụ là tìm trong bảng này hai giá trị x liền kề mà hàm có dấu khác nhau. Giả sử rằng hai giá trị a và b=a+dx như vậy được tìm thấy, tức là f(a)*f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка , если функция f(x) непрерывна, существует точка с, в которой f(c)=0. EXCEL позволяет легко реализовать оба способа отделения корней. Рассмотрим их на примере.

Ví dụ 1.1.

Nó là cần thiết để tách các gốc của phương trình

Để làm điều này, bạn cần lập bảng hàm f (X) \u003d exp (X) - 10 * X, được viết theo quy tắc EXCEL và xây dựng biểu đồ của nó khi X thay đổi từ một số X bắt đầu sang X kết thúc bằng một bước dX . Để các giá trị này đầu tiên như sau: X start = 0, X end = 5, dX = 0,5. Nếu trong các giới hạn thay đổi này của X, chúng ta không tách được một gốc duy nhất, thì cần phải đặt các giá trị ban đầu và giá trị cuối cùng mới của x và có thể thay đổi bước.

Để xây dựng một bảng, nên sử dụng TABLE chương trình con đặc biệt. Để thực hiện việc này, trên một trang tính mới trong ô B1, hãy nhập văn bản: DEPARTMENT OF ROOTS. Sau đó, trong ô A2, nhập văn bản: x và trong ô B2 liền kề với nó, nhập văn bản: f (x). Tiếp theo, chúng ta để trống ô A3, nhưng ở ô B3, chúng ta nhập công thức của hàm đang nghiên cứu theo quy tắc EXCEL, cụ thể là

Sau đó điền dãy số thay đổi X vào các dòng A4:A14 từ 0 đến 5 với bước nhảy 0,5.

Chọn khối ô A3:B14. Bây giờ hãy đưa ra lệnh menu Bảng dữ liệu. Kết quả lập bảng sẽ được đặt trong khối ô B4:B14. Để làm cho chúng trực quan hơn, bạn cần định dạng khối B4:B14 để các số âm có màu đỏ. Trong trường hợp này dễ dàng tìm được hai giá trị kề nhau của X mà các giá trị hàm số có dấu khác nhau. Chúng nên được lấy làm điểm kết thúc của khoảng cách gốc. Trong trường hợp của chúng tôi, có hai khoảng thời gian như vậy, như có thể thấy từ bảng - và [3,5;4].

Tiếp theo, chúng ta vẽ đồ thị hàm bằng cách chọn khối A4:B14 và gọi Bậc thầy biểu đồ. Kết quả là, chúng tôi nhận được trên màn hình một sơ đồ về sự thay đổi của f (X), từ đó có thể nhìn thấy các khoảng sau đây để tách các gốc và.

Nếu bây giờ bạn thay đổi các giá trị số của x trong ô A4:A14 thì giá trị hàm số trong các ô B4:B14 và đồ thị sẽ tự động thay đổi.

1.2 Tinh chế rễ: phương pháp lặp.

Để tinh chỉnh gốc bằng phương pháp lặp, cần chỉ định những điều sau:

Bản thân phương pháp này có thể được chia thành hai giai đoạn:
a) chuyển từ dạng chính tắc viết phương trình f(X)=0 sang dạng lặp X = g(X),
b) thủ tục lặp tính toán để cập nhật gốc.

Bạn có thể chuyển từ dạng chính tắc của phương trình sang dạng lặp theo nhiều cách khác nhau, điều quan trọng là trong trường hợp này điều kiện đủ để phương trình hội tụ: çg’(X)ç<1 на , I E. mô đun của đạo hàm bậc nhất của hàm lặp phải nhỏ hơn 1 trên khoảng . Hơn nữa, mô đun này càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng lớn.

Quy trình tính toán của phương pháp như sau. Chúng tôi chọn xấp xỉ ban đầu, thường bằng X 0 = (a+b)/2. Sau đó, chúng tôi tính toán X 1 =g(X 0) và D= X 1 - X 0 . Nếu mô-đun D<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 =g(X 1) и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если g(X) выбрано правильно и удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура сойдется к корню. Следует отметить, что от знака g’(X) зависит характер сходимости: với g’(X)>0 sự hội tụ sẽ đơn điệu, I E. với số lần lặp tăng dần, D sẽ đơn điệu tiến đến E (không đổi dấu), trong khi cho g'(X)<0 сходимость будет колебательной , I E. D sẽ tiếp cận E theo modulo, đổi dấu ở mỗi lần lặp.

Xem xét việc triển khai phương pháp lặp trong EXCEL bằng một ví dụ.

Ví dụ 1.2

Hãy để chúng tôi tinh chỉnh bằng cách lặp lại giá trị của các gốc được phân tách trong Ví dụ 2.1. Vì vậy, đặt f(X)= exp(X) - 10*X, cho căn thứ nhất a=0 và b=0,5. Đặt E = 0,00001. Làm thế nào để chọn một chức năng lặp lại? Ví dụ: g(X)=0,1*exp(X). Trên khoảng çg’(X)ç<1 и достаточное условие сходимости выполняется. Кроме того, эта производная >1 trên khoảng và tính chất hội tụ sẽ là đơn điệu.

Hãy lập trình phương pháp lặp cho ví dụ này trên cùng một trang tính mà chúng ta đã thực hiện tách gốc. Trong ô A22, hãy nhập số bằng 0. Trong ô B22, hãy viết công thức =0,1*EXP(A22) và trong ô C22, hãy viết công thức =A22-B22. Do đó, dòng 22 chứa dữ liệu cho lần lặp đầu tiên. Để lấy dữ liệu ở lần lặp thứ hai trong dòng 23, chúng tôi sao chép nội dung của ô B22 vào ô A23, viết công thức =B22 trong A23. Tiếp theo, bạn cần sao chép công thức của ô B22 và C22 vào ô B23 và C23. Để lấy dữ liệu từ tất cả các lần lặp lại khác, hãy chọn các ô A23, B23, C23 và sao chép nội dung của chúng vào khối A24:C32. Sau đó, bạn nên phân tích thay đổi D \u003d X - g (X) ở cột C, tìm D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня.

Để rõ ràng hơn, bạn có thể xây dựng sơ đồ cho phương pháp lặp. Chọn khối A22:C32 và sử dụng Trình hướng dẫn biểu đồ, chúng tôi nhận được ba biểu đồ thay đổi trong X, g(X) và D tùy thuộc vào số lần lặp, trong đó bước 3/5 chọn định dạng 2 và bật bước 4/5Để xây dựng sơ đồ, bạn cần gán các cột 0 cho các nhãn của trục X. Bây giờ, bản chất đơn điệu của sự hội tụ D đã rõ ràng.

Để tinh chỉnh căn bậc hai của phương trình này trên khoảng , bạn cần chọn một hàm lặp khác sao cho đạo hàm bậc nhất của nó nhỏ hơn một giá trị tuyệt đối. Chọn g(X)= LN(X)+LN(10). Trong ô A22, chúng tôi sẽ nhập X0 mới = 3,75 và trong ô B22 - một công thức mới =LN(A22)+LN(10). Hãy sao chép công thức từ B22 sang khối B23:B32 và ngay lập tức nhận được dữ liệu mới và sơ đồ được xây dựng lại. Hãy để chúng tôi xác định giá trị gần đúng của gốc thứ hai.

1.3 Tinh chỉnh nghiệm: Phương pháp Newton.

Để tinh chỉnh gốc bằng phương pháp của Newton, cần đưa ra những điều sau:

1) phương trình f(X) = 0, và f(X) phải được cho dưới dạng công thức,

2) các số a - đường viền bên trái và b - đường viền bên phải của khoảng, bên trong có một gốc,

3) số E là độ chính xác đã cho để lấy gốc,

4) hàm f(X) phải khả vi hai lần và phải biết các công thức f’(X) và f”(X).

Phương pháp này bao gồm các tính toán lặp đi lặp lại của chuỗi

X i+1 = X i - f(X i)/f’(X i), trong đó i=0,1,2, ...,

xuất phát từ xấp xỉ ban đầu Х 0 thuộc khoảng và thỏa mãn điều kiện f(X 0)*f”(X 0)>0. Điều kiện đủ để hội tụ phương pháp là đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm đang nghiên cứu phải giữ nguyên dấu của chúng trên khoảng . Là một xấp xỉ ban đầu, a hoặc b thường được chọn, tùy thuộc vào cái nào trong số chúng tương ứng với công thức chọn X 0.

Phương pháp của Newton cho phép giải thích hình học đơn giản. Nếu một tiếp tuyến của đường cong f(X) được vẽ đi qua một điểm có tọa độ (X i ;f(X i)) thì trục hoành của giao điểm của tiếp tuyến này với trục 0X là xấp xỉ tiếp theo của gốc Х tôi+1 .

Phương pháp của Newton có thể được coi là một số sửa đổi của phương pháp lặp để cho hàm lặp tốt nhất g(X) tại mỗi bước lặp. Chúng ta hãy thực hiện các phép biến đổi sau với phương trình chính tắc ban đầu f(X)=0. Hãy nhân các phần bên trái và bên phải của nó với một số khác không l. Sau đó, chúng tôi thêm vào bên trái và bên phải dọc theo X. Sau đó, chúng tôi sẽ có

X \u003d g (X) \u003d X + l * f (X).

Đạo hàm g(X) ta được g'(X) = 1 + l*f'(X). Từ điều kiện đủ để phương trình lặp hội tụ çg’(X)ç<1. Потребуем, чтобы на i-том шаге итерации сходимость была самой быстрой, т.е. çg’(X i)ç =0. Тогда l=-1/ f’(X i) и мы пришли к методу Ньютона.

Quy trình tính toán của phương pháp như sau. Ta chọn xấp xỉ ban đầu X 0 , thường bằng a hoặc b. Sau đó tính X 1 = X 0 - f(X 0)/f’(X 0) và D= X 1 - X 0 . Nếu mô-đun D<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если X 0 выбрано правильно, а функция удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура быстро сойдется к корню.

Ví dụ 1.3.

Chúng ta hãy tinh chỉnh giá trị của căn được tách trong ví dụ 1.1 bằng phương pháp Newton. Vì vậy, đặt f(X)= exp(X) - 10*X, cho căn thứ nhất a=0 và b=0,5. Đặt E = 0,00001. Các công thức cho đạo hàm bậc nhất và bậc hai của f(X) như sau

f’(X) = exp(X) - 10 và f”(X) = exp(X).

Rõ ràng, X 0 = a = 0, vì f(0)*f”(0) = 1 >0.

Để lấy dữ liệu ở lần lặp thứ hai trong dòng 43, chúng tôi sao chép nội dung của ô D42 sang ô A43, viết công thức =D42 trong A43. Tiếp theo, bạn cần sao chép công thức của các ô B42, C42, D42, E42 vào các ô B43, C43, D43, E43. Để lấy dữ liệu của tất cả các lần lặp khác, cần chọn các ô trong dòng 43 và sao chép nội dung của chúng vào khối A44:E47. Sau đó, bạn hãy phân tích sự thay đổi của D ở cột E, tìm D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня. При правильно введенных формулах метод Ньютона сходится за 3 или 4 итерации. Поэтому строить диаграмму для этого метода нет необходимости.

1.4. Tinh chế rễ: phương pháp chia đôi (chia đôi đoạn).

Để tinh chỉnh gốc bằng phương pháp chia đôi, cần đưa ra những điều sau:

1) phương trình f(X) = 0, và f(X) phải được cho dưới dạng công thức,

2) các số a - đường viền bên trái và b - đường viền bên phải của khoảng, bên trong có một gốc,

3) số E - độ chính xác nhất định của việc lấy gốc.

Nhớ lại rằng hàm f(X) có dấu khác nhau ở cuối khoảng. Quy trình tính toán của phương pháp là tại mỗi bước lặp trên khoảng, một điểm trung gian c được chọn sao cho nó nằm ở giữa khoảng, tức là c=(a+b)/2. Sau đó, khoảng sẽ được chia bởi điểm này thành hai đoạn bằng nhau và , độ dài của chúng bằng (b-a)/2. Từ hai đoạn thu được, ta chọn đoạn ở hai đầu mà hàm f(X) lấy giá trị trái dấu. Hãy ký hiệu lại nó là . Điều này kết thúc lần lặp đầu tiên. Tiếp theo, chúng tôi lại chia đôi đoạn mới và thực hiện lần lặp thứ hai và các lần lặp tiếp theo. Quá trình chia đôi đoạn được thực hiện cho đến khi, tại bước thứ K nào đó, đoạn mới thu được trở nên nhỏ hơn hoặc bằng giá trị độ chính xác E. Giá trị của bước K có thể được tính dễ dàng từ công thức

(b-a)/2k<=E,

trong đó a và b là giá trị ban đầu của ranh giới bên trái và bên phải của khoảng.

Phương pháp chia đôi hội tụ cho bất kỳ hàm liên tục nào, kể cả hàm không khả vi.

Ví dụ 1.4.

Chúng ta hãy tinh chỉnh giá trị của căn được tách trong Ví dụ 1.1 bằng phương pháp chia đôi. Vì vậy, đặt f(X)= exp(X) - 10*X, cho căn thứ nhất a=0 và b=0,5. Đặt E = 0,00001.

Hãy lập trình phương pháp chia đôi cho ví dụ này trên cùng một trang tính mà chúng ta đã thực hiện tách gốc. Trong các ô A52 và B52, bạn phải nhập các giá trị số của a và b, trong ô C52 - công thức \u003d (A52 + B52)/2. Tiếp theo, trong ô D52, nhập công thức =EXP(A52)-10*A52, trong ô E52 - công thức =EXP(C52)-10*C52, trong ô F52 - công thức =D52*E52, và cuối cùng, trong ô G52, viết công thức =B52-A52. Trên dòng 52, chúng tôi đã tạo lần lặp đầu tiên. Ở lần lặp thứ hai, các giá trị trong ô A53 và B53 phụ thuộc vào dấu của số trong ô F52. Nếu F52>0 thì giá trị của A53 bằng C52. Còn không thì phải bằng A52. Trong ô B53, điều ngược lại là đúng: nếu F52<0, то значение В53 равно С52, иначе В52.

Hàm EXCEL có sẵn, được gọi là IF, sẽ giúp giải quyết khó khăn này. Hãy tạo ô hiện tại A53. Trong thanh công thức, bên cạnh dấu kiểm màu xanh lục, nhấp vào nút có hình ảnh f(x). Cái gọi là chức năng chủ. Trong hộp thoại xuất hiện, chọn trong trường Danh mục Chức năng thể loại trêu ghẹo não, và trong lĩnh vực này Tên chức năng- tên NẾU. Ở bước thứ hai của hộp thoại, hãy điền vào ba trường trống như sau: trong trường Boolean_expression nhập “F52>0” (tất nhiên, không có dấu ngoặc kép!), vào trường value_if_true nhập C52 và trong trường value_if_false- A52. Hãy bấm vào nút hoàn thành. Đó là tất cả.

Điều tương tự phải được thực hiện với ô B53. Chỉ có biểu thức boolean sẽ là “F52<0”, value_if_true sẽ là C52, và value_if_false tương ứng là B52.

Tiếp theo, bạn cần sao chép các công thức trong khối ô C52:G52 sang khối C53:G53. Sau đó, lần lặp thứ hai sẽ được thực hiện ở dòng 53. Để có được lần lặp tiếp theo, chỉ cần sao chép các công thức từ dòng 53 trong khối A53:E53 sang khối A54:E68 là đủ. Sau đó, như thường lệ, bạn nên tìm một hàng trong cột E mà giá trị của D sẽ nhỏ hơn E. Sau đó, số trong cột C của hàng này là giá trị gần đúng của gốc.

Bạn có thể vẽ biểu đồ thay đổi giá trị trong các cột A, B và C từ lần lặp đầu tiên đến lần lặp cuối cùng. Để thực hiện việc này, hãy chọn một khối ô A52:C68. Xem ví dụ 1.2 để biết thêm hướng dẫn.

Hãy xác định giá trị của căn được phân tách trong ví dụ 1.1. Vì vậy, đặt f(X)= exp(X) - 10*X. Hãy tìm một gốc nằm trên khoảng . Hãy để trống ô A70. Trong ô B70, viết công thức =EXP(A70)-10*A70. Chọn lệnh menu Dịch vụ- Lựa chọn thông số. Một hộp thoại sẽ mở ra Lựa chọn thông số, trong đó trong trường Đặt trong ô viết B70, trên cánh đồng Nghĩa nhập 0 (không) vào trường Thay đổi ô giả sử A70. Nhấp vào nút OK và một hộp thoại mới sẽ xuất hiện hiển thị kết quả của thao tác. Trong cửa sổ trạng thái quyết định giá trị tìm thấy sẽ được hiển thị. Bây giờ nếu bạn bấm vào nút OK, giá trị gốc tìm được sẽ được nhập vào ô A70 và giá trị của hàm sẽ được nhập vào ô B70.

Để tìm một gốc khác nằm trong khoảng, cần phải thay đổi giá trị gần đúng ban đầu, giá trị này trong bảng của chúng tôi nằm trong ô A70. Hãy viết vào ô này một trong các ranh giới của khoảng, chẳng hạn như 4 và thực hiện lại quy trình chọn tham số. Nội dung của các ô A70 và B70 sẽ thay đổi, lúc này tọa độ của gốc lớn hơn sẽ xuất hiện trong các ô này.

2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Nói chung, hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau: a 11 x 1 +a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2

......................

a n1 x n +a n2 x 2 +... +a nn x n = b n

Chúng tôi viết tập hợp các hệ số của hệ thống này dưới dạng ma trận vuông Một từ N dòng và N cột

một 11 một 12 ... một 1n

một 21 một 22 ... một 2n

một n1 một n2 ... một nn

Sử dụng phép tính ma trận, hệ phương trình ban đầu có thể được viết là

A * X \u003d B,

ở đâu X- vectơ cột có kích thước không xác định N, một TẠI- vector-cột của các thành viên miễn phí, cũng có kích thước N.

Hệ thống này được gọi là chung nếu nó có ít nhất một giải pháp, và chắc chắn nếu nó có một giải pháp duy nhất. Nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0, thì hệ thống được gọi là đồng nhất.

Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm duy nhất của hệ là điều kiện DET=0, trong đó DET là định thức của ma trận VÀ. Trong thực tế, khi tính toán trên máy tính, không phải lúc nào cũng có được đẳng thức chính xác của DET bằng 0. Khi DET gần bằng 0, hệ thống được cho là không ổn định. Khi chúng được giải trên máy tính, các lỗi nhỏ trong dữ liệu ban đầu có thể dẫn đến các lỗi lớn trong lời giải. Điều kiện DET~0 là cần thiết để hệ thống không có điều kiện, nhưng không đủ. Do đó, khi giải một hệ thống trên máy tính, cần ước tính lỗi liên quan đến giới hạn của lưới bit của máy tính.

Có hai đại lượng đặc trưng cho mức độ sai lệch của nghiệm thu được so với nghiệm chính xác. Cho phép HK là giải pháp thực sự của hệ thống, xc- giải pháp thu được bằng phương pháp này hay phương pháp khác trên máy tính, sau đó là lỗi của giải pháp:
E \u003d Xk - Xc. Giá trị thứ hai là sự khác biệt bằng R = B - A*Xc. Trong tính toán thực tế, độ chính xác được kiểm soát bằng cách sử dụng phần dư, mặc dù điều này không hoàn toàn chính xác.

2.1. phương pháp ma trận.

EXCEL giúp giải hệ phương trình đại số tuyến tính phương pháp ma trận, I E.

X \u003d A -1 * B.

Do đó, thuật toán giải hệ bằng phương pháp ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng trình tự các quy trình tính toán sau:

1) lấy ma trận Một -1, nghịch đảo của ma trận VÀ;

2) tìm nghiệm của hệ theo công thức Xc \u003d A -1 * B;

3) tính toán một véc tơ số hạng tự do mới Mặt trời \u003d A * Xs;

4) tính toán số dư R=B-Bc;

5) tìm nghiệm của hệ theo công thức dXc \u003d A -1 * R;

6) so sánh tất cả các thành phần vectơ dXc modulo với sai số E đã cho: nếu tất cả đều nhỏ hơn E thì hoàn thành phép tính, nếu không lặp lại phép tính từ mục 2, trong đó Xc = Xc + dXc.

Xem xét phương pháp ma trận để giải hệ bằng EXCEL bằng một ví dụ.

Ví dụ 2.1.

Giải một hệ phương trình

20,9x1 + 1,2x2 + 2,1x3 + 0,9x4 = 21,7

1,2x1 +21,2x2 + 1,5x3 + 2,5x4 = 27,46

2,1x1 + 1,5x2 +19,8x3 + 1,3x4 = 28,76

0,9x1 + 2,5x2 + 1,3x3 +32,1x4 = 49,72

EXCEL có các hàm dựng sẵn sau đây để thực hiện các phép tính ma trận:

a) MOBR - nghịch đảo ma trận,

b) MULTIP - nhân hai ma trận,

c) MOPRED - phép tính định thức của ma trận.

Khi sử dụng các hàm này, điều quan trọng là phải sắp xếp chính xác và gọn gàng các khối ô trên trang tính tương ứng với nguồn và ma trận làm việc và vectơ cột. Mở một trang tính mới bằng cách nhấp vào tab bạn chọn. Đi theo ma trận VÀ khối ô A3:D6. Để rõ ràng, chúng tôi đặt nó trong một khung màu đen. Để thực hiện việc này, hãy chọn khối A3:D6, đưa ra lệnh menu Định dạng - Ô và trong hộp thoại mở ra, hãy chọn tab Khung. Một hộp thoại mới sẽ mở ra, trong đó chúng tôi nhấp vào trường Khung - Phác thảo và chọn trong trường Khung- Phong cách chiều rộng dòng dày nhất. Xác nhận quyết định của bạn bằng cách nhấp vào nút OK. Bây giờ chọn khối A8:D11 cho ma trận Một -1 và cũng đặt nó trong một khung màu đen, làm theo các bước tương tự như khối ma trận VÀ. Tiếp theo, chọn các khối ô cho vectơ cột (viền ngoài chúng bằng khung màu đen): khối F8:F11 - cho vectơ TẠI, khối H8:H11 - dưới vectơ Xs A -1 *B, khối H3:H6 - dưới vectơ Mặt trời kết quả từ phép nhân A * X và để rõ ràng, chúng tôi chọn một khối bổ sung F3:F6, nơi chúng tôi sao chép các thành phần của vectơ Xs từ block H8:H11. Và cuối cùng, chúng ta sẽ nhập dấu nhân * vào các ô E4 và E9, và dấu bằng = vào các ô G4 và G9, sau đó lần lượt chọn các cột E và G, chúng ta sẽ đưa ra lệnh menu Định dạng - Cột - Vừa với chiều rộng. Vì vậy, chúng tôi đã chuẩn bị một bảng tính để giải quyết vấn đề của mình.

Hãy nhập dữ liệu ban đầu: số ma trận VÀ vào các ô của khối A3:D6, và số vectơ các phần tử tự do TẠI- trong các ô của khối F8:F11.

Chúng tôi bắt đầu thuật toán bằng cách đảo ngược ma trận VÀ. Để thực hiện việc này, hãy chọn khối A8:D11, nơi đặt kết quả của thao tác. Khối này sẽ chuyển sang màu đen, ngoại trừ ô A8. Hãy bấm vào nút f x trên bảng điều khiển Tiêu chuẩn bằng cách thực hiện cuộc gọi thuật sĩ chức năng. Một hộp thoại sẽ mở ra trong đó từ trường Thể loại tính năng chọn một hàng Chiếu. và lượng giác, và từ trường Tên chức năng- dòng MOBR. Hãy chuyển sang bước thứ hai của hộp thoại bằng cách nhấp vào nút Bước>. Ở đây trong lĩnh vực này mảng bạn cần gõ A3: D6 từ bàn phím, tương ứng với khối ô bị ma trận chiếm giữ VÀ. Bằng cách nhấp vào nút hoàn thành, bạn có thể thấy rằng trong khối A8:D11 chỉ có ô A8 được điền. Để hoàn thành thao tác gọi, EXCEL yêu cầu thêm hai bước nữa. Trước tiên, bạn cần kích hoạt thanh công thức bằng cách nhấp vào nó (ở bất kỳ đâu trong dòng!) - khi đó con trỏ chuột sẽ có dạng I. Kiểm tra tính đúng đắn của hành động của bạn sẽ xuất hiện bốn nút ở bên trái của công thức thanh, bao gồm cả dấu kiểm màu xanh lá cây. Sau đó, nhấn phím "Ctrl" trên bàn phím, sau đó không nhả phím - phím "Shift" và không nhả phím - phím "Enter", tức là. kết quả là, cả ba phím phải được nhấn cùng một lúc! Bây giờ toàn bộ khối A8:D11 sẽ được điền các số và bạn có thể chọn khối H8:H11 để bắt đầu phép nhân A -1 *B.

Với khối này được chọn, hãy gọi lại thuật sĩ chức năng và trong lĩnh vực này Tên chức năng- chọn chức năng MULTIP. Bằng cách nhấp vào nút Bước>, hãy chuyển sang bước thứ hai của hộp thoại, trong trường Mảng1 nhập địa chỉ А8:D11 và trong trường Mảng2- địa chỉ F8:F11. Hãy bấm vào nút hoàn thành và thấy rằng trong khối H8:H11 chỉ có ô H8 được lấp đầy. Kích hoạt thanh công thức (dấu kiểm màu xanh lục sẽ xuất hiện!) Và, sử dụng phương pháp được mô tả ở trên, nhấn đồng thời ba phím “Ctrl”-”Shift”-”Enter”. Kết quả của phép nhân sẽ xuất hiện ở khối H8:H11.

Để kiểm tra tính chính xác của nghiệm thu được của hệ, ta thực hiện thao tác tính toán Mặt Trời=A*Hs. Với mục đích này, chúng tôi sẽ chỉ sao chép các giá trị số (chứ không phải công thức!) Của các ô từ khối H8:H11 sang các ô F3:F6. Điều này phải được thực hiện theo cách sau. Chọn khối H8:H11. Đưa ra lệnh menu Chỉnh sửa- Sao chép. Chọn khối F3:F6. Đưa ra lệnh menu Chỉnh sửa- chèn đặc biệt. Một hộp thoại sẽ mở ra trong đó, trong trường Chèn chế độ phải được chọn giá trị. Xác nhận quyết định của bạn bằng cách nhấp vào nút OK.

Sau thao tác này, các khối A3:D6 và F3:F6 được điền các số. Hãy bắt đầu với phép nhân ma trận. VÀ mỗi vectơ Xs. Để làm điều này, chọn khối H3:H6, gọi chức năng chủ và, tiến hành theo cách tương tự như trong tính toán Xc \u003d A -1 * B, nhận được Mặt trời. Như có thể thấy từ bảng, các giá trị số của các vectơ TẠI và Mặt trời trùng khớp, cho thấy độ chính xác tốt của các phép tính, tức là phần dư trong ví dụ của chúng tôi bằng không.

Chúng tôi xác nhận điều kiện tốt của ma trận VÀ tính định thức của nó. Để làm điều này, hãy kích hoạt ô D13. Bằng cách sử dụng thuật sĩ chức năng gọi hàm MOPRED. Trong trường mảng, nhập địa chỉ của khối A3:D6. Bằng cách nhấp vào nút hoàn thành, ta lấy ở ô D13 giá trị số của định thức của ma trận VÀ. Như có thể thấy, nó lớn hơn nhiều so với 0, điều này cho thấy tình trạng tốt của ma trận.

2.2. Phương pháp tính gần đúng.

Một trong những phương pháp lặp phổ biến nhất để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, được đặc trưng bởi tính đơn giản và dễ lập trình, là phương pháp tính toán gần đúng hoặc phương pháp Jacobi.

Hãy để hệ thống được giải quyết

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

Giả sử rằng các phần tử đường chéo a 11, a 22, a 33 khác không. Nếu không, bạn có thể sắp xếp lại các phương trình. Chúng tôi biểu thị các biến từ phương trình thứ nhất, thứ hai và thứ ba, tương ứng. sau đó

x 1 = / a 11

x 2 \u003d / a 22

x 3 = / a 33

Hãy để chúng tôi thiết lập các xấp xỉ ban đầu của các ẩn số

Thay thế chúng vào phía bên phải của hệ thống biến đổi, chúng ta có được một xấp xỉ đầu tiên mới

Ví dụ 3.1 . Tìm nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (3.1) bằng phương pháp Jacobi.

Phương pháp lặp có thể được sử dụng cho một hệ thống nhất định, bởi vì điều kiện "sự chiếm ưu thế của các hệ số đường chéo",đảm bảo sự hội tụ của các phương pháp này.

Sơ đồ thiết kế của phương pháp Jacobi được thể hiện trong Hình (3.1).

Đưa hệ (3.1). để xem bình thường:

, (3.2)

hoặc ở dạng ma trận

, (3.3)

Hình.3.1.

Để xác định số lần lặp lại cần thiết để đạt được độ chính xác nhất định e, và một giải pháp gần đúng của hệ thống là hữu ích trong cột h Tải về Định dạng có điều kiện. Kết quả của việc định dạng như vậy có thể nhìn thấy trong Hình 3.1. ô cột H, các giá trị thỏa mãn điều kiện (3.4) được tô bóng.

(3.4)

Phân tích kết quả, chúng tôi lấy lần lặp thứ tư làm giải pháp gần đúng của hệ thống ban đầu với độ chính xác cho trước e=0,1,

những, cái đó. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Thay đổi giá trị e trong một tế bào H5 có thể thu được nghiệm gần đúng mới của hệ ban đầu với độ chính xác mới.

Phân tích sự hội tụ của quy trình lặp bằng cách vẽ biểu đồ thay đổi trong từng thành phần của giải pháp SLAE tùy thuộc vào số lần lặp.

Để thực hiện việc này, hãy chọn một khối ô A10:D20 và sử dụng Trình hướng dẫn biểu đồ, xây dựng đồ thị phản ánh sự hội tụ của quá trình lặp, Hình3.2.

Hệ phương trình đại số tuyến tính được giải tương tự bằng phương pháp Seidel.

Phòng thí nghiệm số 4

Chủ đề. Các phương pháp số giải phương trình vi phân thường tuyến tính có điều kiện biên. Phương pháp sai phân hữu hạn

Bài tập. Giải bài toán giá trị biên bằng phương pháp sai phân hữu hạn bằng cách xây dựng hai xấp xỉ (hai lần lặp) với bước h và bước h/2.

Phân tích kết quả. Các tùy chọn nhiệm vụ được đưa ra trong Phụ lục 4.

Trình tự công việc

1. Xây dựng thủ công xấp xỉ sai phân hữu hạn của bài toán giá trị biên (SLAE sai phân hữu hạn) với bước h , tùy chọn đã cho.

2. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, hãy lập dạng vượt trội hệ phương trình sai phân hữu hạn đại số tuyến tính cho bước h sự cố phân đoạn . Ghi lại SLAE này trên bảng tính của cuốn sách. vượt trội. Sơ đồ thiết kế được thể hiện trong Hình 4.1.

3. Giải kết quả SLAE bằng phương pháp quét.

4. Kiểm tra tính chính xác của giải pháp SLAE bằng tiện ích bổ sung Excel Tìm giải pháp.

5. Giảm bước lưới 2 lần và giải lại bài toán. Trình bày kết quả bằng đồ thị.

6. So sánh kết quả của bạn. Đưa ra kết luận về sự cần thiết phải tiếp tục hoặc chấm dứt tài khoản.

Giải bài toán giá trị biên bằng bảng tính Microsoft Excel.

Ví dụ 4.1. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tìm lời giải cho bài toán giá trị biên , y(1)=1, y’(2)=0,5 trên phân khúc xО với bước h=0,2 và với bước h=0,1. So sánh kết quả và rút ra kết luận về sự cần thiết phải tiếp tục hoặc chấm dứt tài khoản.

Sơ đồ tính toán cho bước h=0,2 được thể hiện trong Hình.4.1.

Giải pháp thu được (hàm lưới) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2) trong cột L và B có thể được coi là lần lặp đầu tiên (xấp xỉ đầu tiên) của bài toán ban đầu.

Để tìm lặp lại lần thứ hai làm cho lưới dày gấp đôi (n=10, sải chân h=0,1) và lặp lại thuật toán trên.

Điều này có thể được thực hiện trên cùng một trang hoặc trên một trang khác của cuốn sách. vượt trội. Giải pháp (xấp xỉ thứ hai) được thể hiện trong Hình 4.2.

So sánh các nghiệm gần đúng thu được. Để rõ ràng, bạn có thể xây dựng đồ thị của hai xấp xỉ này (hai hàm lưới), Hình.4.3.

Quy trình xây dựng đồ thị nghiệm gần đúng cho bài toán giá trị biên

1. Xây dựng đồ thị giải bài toán lưới chênh lệch có bước h=0,2 (n=5).

2. Kích hoạt biểu đồ đã được tạo sẵn và chọn lệnh menu Biểu đồ\Thêm dữ liệu

3. Trong cửa sổ Dữ liệu mới nhập dữ liệu x tôi , y tôiđối với lưới chênh lệch bước h/2 (n=10).

4. Trong cửa sổ chèn đặc biệtđánh dấu vào các ô trong các trường:

Ø hàng mới,

Như có thể thấy từ dữ liệu được trình bày, hai giải pháp gần đúng của bài toán giá trị biên (hai hàm lưới) khác nhau không quá 5%. Do đó, chúng tôi coi lần lặp thứ hai là một giải pháp gần đúng của vấn đề ban đầu, tức là

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Phòng thí nghiệm số 5

Bộ giáo dục phổ thông

Liên Bang Nga

Đại học Kỹ thuật Bang Ural-UPI

chi nhánh tại Krasnoturinsk

Khoa Kỹ thuật Máy tính

công việc khóa học

Bằng phương pháp số

Giải phương trình tuyến tính bằng phép lặp đơn giản

sử dụng Microsoft Excel

Trưởng Kuzmina N.V.

Sinh viên Nigmatzyanov T.R.

Nhóm M-177T

Chuyên đề: "Tìm nghiệm của phương trình F(x)=0 trên khoảng bằng phương pháp lặp đơn với độ chính xác cho trước."

Trường hợp thử nghiệm: 0,25-x+sinx=0

Điều kiện của bài toán: đối với một hàm số F(x) đã cho trên khoảng, tìm nghiệm của phương trình F(x)=0 bằng phép lặp đơn giản.

Gốc được tính hai lần (sử dụng tính toán tự động và thủ công).

Cung cấp cho việc xây dựng đồ thị của hàm số tại một khoảng nhất định.

Giới thiệu 4

1. Phần lý thuyết 5

2. Mô tả tiến độ công việc 7

3. Dữ liệu vào ra 8

Kết luận 9

Phụ lục 10

Tài liệu tham khảo 12

Giới thiệu.

Trong quá trình làm bài này, tôi cần làm quen với nhiều phương pháp giải phương trình và tìm nghiệm của phương trình phi tuyến 0,25-x + sin(x) \u003d 0 bằng phương pháp số - phương pháp lặp đơn giản. Để kiểm tra tính chính xác của việc tìm nghiệm, cần giải phương trình bằng đồ thị, tìm giá trị gần đúng và so sánh với kết quả thu được.

1. Phần lý thuyết.

Phương pháp lặp đơn giản.

Quá trình lặp đi lặp lại bao gồm việc sàng lọc liên tiếp giá trị gần đúng ban đầu x0 (nghiệm của phương trình). Mỗi bước như vậy được gọi là một lần lặp.

Để sử dụng phương pháp này, phương trình phi tuyến tính ban đầu được viết là: x=j(x), tức là x nổi bật; j(х) liên tục và khả vi trên khoảng (a; c). Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách:

Ví dụ:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Cách 1.

arcsin(2x+1)=x2

sin(arcsin(2x+1))=sin(x2)

x=0,5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Cách 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Cách 3.

x 2 =arcsin(2x+1)

x= (x=j(x)), dấu được lấy tùy thuộc vào khoảng [a;b].

Phép biến đổi phải sao cho ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Gọi gần đúng ban đầu của gốc x \u003d c 0. Thay giá trị này vào vế phải của phương trình x \u003d j (x), ta thu được một xấp xỉ mới của gốc: c \u003d j (c 0) .x), ta được dãy giá trị

c n =j(c n-1) n=1,2,3,…

Quá trình lặp phải được tiếp tục cho đến khi đáp ứng điều kiện sau đối với hai phép tính gần đúng liên tiếp: ½c n -c n -1 ½

Bạn có thể giải phương trình số bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình, nhưng Excel giúp bạn có thể giải quyết công việc này theo cách đơn giản hơn.

Excel thực hiện phương pháp lặp đơn giản theo hai cách, tính toán thủ công và điều khiển độ chính xác tự động.

y y=x

j (từ 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 gốc s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

Cơm. Đồ thị quá trình lặp

2. Mô tả tiến độ thực hiện công việc.

1. Ra mắt ME.

2. Tôi đã xây dựng một đồ thị của hàm y=x và y=0,25+sin(x) trên một đoạn có bước là 0,1 được gọi là trang tính "Đồ thị".

3. Chọn đội Dịch vụ ® Tùy chọn.
Đã mở một tab Tin học .
Đã bật chế độ thủ công .
hộp kiểm bị vô hiệu hóa Tính toán lại trước khi lưu . Tạo giá trị trường Giới hạn số lần lặp bằng 1, sai số tương đối là 0,001.

4. Đã nhập vào ô A1 dòng "Giải phương trình x \u003d 0,25 + sin (x) bằng phương pháp lặp đơn giản."

5. Đã nhập văn bản “Giá trị ban đầu” vào ô A3, văn bản “Cờ ban đầu” vào ô A4, giá trị 0,5 vào ô B3, từ TRUE vào ô B4.

6. Gán cho các ô B3 và B4 tên "start_value" và "start".
Ô B6 sẽ kiểm tra xem giá trị của ô "bắt đầu" có đúng bằng giá trị của ô không. 0,25 + sin x. Trong ô B7, 0,25 sin của ô B6 được tính toán và do đó, một tham chiếu tuần hoàn được sắp xếp.

7. Trong ô A6 đã nhập y=x, và trong ô A7 y=0,25+sin(x). Tại ô B6, công thức:
=IF(bắt đầu,giá trị_bắt đầu,B7).
Trong công thức ô B7: y=0,25+sin(B6).

8. Tại ô A9 nhập từ Error.

9. Trong ô B9, tôi đã nhập công thức: \u003d B7-B6.

10. Sử dụng lệnh định dạng-ô (chuyển hướng Số ) đã chuyển đổi ô B9 sang định dạng hàm mũ với hai chữ số thập phân.

11. Sau đó, tôi tổ chức một liên kết tuần hoàn thứ hai để đếm số lần lặp, trong ô A11, tôi đã nhập văn bản “Số lần lặp”.

12. Tại ô B11, tôi đã nhập công thức: \u003d IF (bắt đầu; 0; B12 + 1).

13. Trong ô B12 nhập =B11.

14. Để thực hiện phép tính, đặt con trỏ bảng tại ô B4 và nhấn phím F9 (Calculate) để bắt đầu giải bài toán.

15. Đã thay đổi giá trị của cờ ban đầu thành FALSE và nhấn lại F9. Mỗi lần nhấn F9, một lần lặp lại được thực hiện và giá trị gần đúng tiếp theo của x được tính toán.

16. Nhấn phím F9 cho đến khi giá trị x đạt độ chính xác yêu cầu.
Với tính toán tự động:

17. Đã chuyển sang trang tính khác.

18. Tôi lặp lại các điểm từ 4 đến 7, chỉ trong ô B4 tôi đã nhập giá trị FALSE.

19. Chọn một đội Dịch vụ ® Tùy chọn (chuyển hướng Tin học ).Đặt giá trị của trường Giới hạn số lần lặp bằng 100, sai số tương đối bằng 0,0000001. tự động .