Mô-đun 6: Giải thích tài liệu mới

Môđun số là một khái niệm mới trong toán học. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn mô-đun số là gì và cách làm việc với nó?

Hãy xem một ví dụ:

Chúng tôi rời nhà để đi đến cửa hàng. Chúng tôi đã đi bộ 300 m, về mặt toán học, biểu thức này có thể được viết là +300, ý nghĩa của số 300 tính từ dấu “+” sẽ không thay đổi. Khoảng cách hoặc mô đun của một số trong toán học là như nhau và có thể được viết như sau: |300|=300. Dấu mô đun của một số được biểu thị bằng hai đường thẳng đứng.

Và sau đó trong hướng ngược lạiđi bộ 200m. Về mặt toán học Chuyến trở về chúng ta có thể viết nó là -200. Nhưng chúng ta không nói “chúng ta đã đi âm hai trăm mét,” mặc dù chúng ta đã quay lại, bởi vì khoảng cách là một đại lượng vẫn dương. Với mục đích này, khái niệm mô-đun đã được đưa vào toán học. Bạn có thể viết khoảng cách hoặc mô đun của số -200 như thế này: |-200|=200.

Thuộc tính mô-đun.

Sự định nghĩa:
Mô đun của một số hoặc giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ điểm xuất phát đến điểm đích.

Mô đun của một số nguyên không bằng 0 luôn là số dương.

Mô-đun được viết như thế này:

1. Mô-đun số dương bằng chính số đó.
| một|=Một

2. Mô-đun số âm bằng số đối diện.
|- một|=Một

3. Mô-đun số 0 bằng 0.
|0|=0

4. Các mô-đun có số đối diện bằng nhau.
| một|=|-một|=Một

Câu hỏi liên quan:
Mô đun của một số là gì?
Trả lời: Mô đun là khoảng cách từ điểm xuất phát đến điểm đích.

Nếu bạn đặt dấu “+” trước một số nguyên thì điều gì sẽ xảy ra?
Trả lời: số sẽ không thay đổi ý nghĩa, ví dụ 4=+4.

Nếu bạn đặt dấu “-” trước một số nguyên thì điều gì sẽ xảy ra?
Trả lời: số sẽ thay đổi thành, ví dụ: 4 và -4.

Những số nào có cùng mô đun?
Trả lời: số dương và số 0 sẽ có cùng mô đun. Ví dụ: 15=|15|.

Những số nào có mô đun bằng số đối diện?
Trả lời: đối với số âm, mô đun sẽ bằng số đối diện. Ví dụ: |-6|=6.

Ví dụ 1:
Tìm mô đun của các số: a) 0 b) 5 c) -7?

Giải pháp:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Ví dụ #2:
Có hai không số khác nhau, mô-đun của ai bằng nhau?

Giải pháp:
|10|=10
|-10|=10

Mô-đun của các số đối diện bằng nhau.

Ví dụ #3:
Hai số đối diện nào có mô đun 9?

Giải pháp:
|9|=9
|-9|=9

Đáp án: 9 và -9.

Ví dụ #4:
Thực hiện theo các bước sau: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Giải pháp:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Ví dụ #5:
Tìm: a) mô đun của số 2 b) mô đun của số 6 c) mô đun của số 8 d) mô đun của số 1 e) mô đun của số 0.
Giải pháp:

a) mô đun của số 2 được ký hiệu là |2| hoặc |+2| Nó giống nhau.
|2|=2

b) mô đun của số 6 được ký hiệu là |6| hoặc |+6| Nó giống nhau.
|6|=6

c) mô đun của số 8 được ký hiệu là |8| hoặc |+8| Nó giống nhau.
|8|=8

d) mô đun của số 1 được ký hiệu là |1| hoặc |+1| Nó giống nhau.
|1|=1

e) mô đun của số 0 được ký hiệu là |0|, |+0| hoặc |-0| Nó giống nhau.
|0|=0

số nguyên âm

Nhiệt kế thể hiện trong hình. 3.1, cho thấy nhiệt độ 7°C. Nếu nhiệt độ giảm 4°, nhiệt kế sẽ hiển thị nhiệt độ 3°. Nhiệt độ giảm tương ứng với một tác dụng có số tự nhiên: 7-4 = 3.

Nếu nhiệt độ giảm 7° thì nhiệt kế sẽ hiển thị 0°: 7-7 = 0.

Nếu nhiệt độ giảm 9°, nhiệt kế sẽ hiển thị -2° (2° dưới 0). Nhưng kết quả của phép trừ 7-9 không được biểu thị dưới dạng số nguyên không âm, mặc dù nó có ý nghĩa thực sự.

Hãy để chúng tôi minh họa phép trừ bằng cách sử dụng một chuỗi các số nguyên không âm.

1) Từ số 7 đếm 4 số bên trái được 3:

2) Từ số 7 đếm 7 số bên trái tìm 0:

Không thể đếm được 9 số từ số 7 sang trái trong dãy số không âm. Để thực hiện hành động 7-9 khả thi, hãy mở rộng phạm vi số không âm. Để làm điều này, hãy viết các số 1, 2, 3 ở bên trái số 0 theo thứ tự, thêm vào mỗi số một dấu trừ (-), dấu này sẽ cho biết số này nằm ở bên trái số 0. Những số này được đọc như sau: “trừ một”, “trừ hai”, “trừ ba”, v.v.:

Bên phải số 0 là số nguyên cái đó còn được gọi là những số nguyên dương.

Bên trái số 0 là số nguyên âm.

Số 0 không phải là số dương cũng không phải số âm. Nó tách số dương và số âm.

Dãy số ta thu được gọi là dãy số nguyên. Do đó, số tự nhiên, số nguyên âm và số 0 tạo thành chuỗi số nguyên. Ở bên phải và bên trái hàng này có thể được tiếp tục vô thời hạn.

Quy tắc về dấu hiệu. Giá trị tuyệt đối của một số

Người ta tin rằng nếu bạn đặt dấu cộng (+) trước một số nguyên thì bản thân số đó sẽ không thay đổi. Ví dụ; 5 = +5, -5 = +(-5).

Một dãy số nguyên có thể được viết như sau:

Các số nguyên chỉ khác nhau về dấu được gọi là số đối nhau.

Ví dụ: 1 và -1, -5 và 5, 10 và -10 là các số đối nhau.

Nếu bạn đặt dấu trừ (-) trước một số nguyên, bạn sẽ nhận được số đối diện: -(+1) =-1, - (-2) =+2.

Số duy nhất không thay đổi nếu bạn đặt dấu “-” trước nó là số 0; 0 = -0 = +0. Zero được coi là đối nghịch với chính nó.

Số đối diện của a được ký hiệu là -a. Lưu ý rằng -a có thể là số dương, số âm hoặc số 0. Ví dụ: nếu a = + 2 thì -a = -2, vì - (+2) = -2; nếu a = -3 thì -a = +3, vì - (-3) = +3; nếu a - 0 thì -a = 0, vì -0 = 0.

Hãy giới thiệu một khái niệm mới - giá trị tuyệt đối của một số.

Mô đun của một số dương chính là số đó..

Ví dụ: mô đun của số +3 là +3. Họ viết: |+3| = +3.

Mô đun của số 0 là số 0. Họ viết:

Mô đun của số âm là số đối diện của nó. Ví dụ: mô đun của số -4 là số +4. Họ viết:

Do đó, mô đun của toàn bộ các số là số dương hoặc bằng không.

Mô đun của một số dương hoặc số âm cho biết từ 0 (sang phải hoặc sang trái) số này đứng trong một dãy số nguyên. Các số đối diện có độ lớn bằng nhau.

Mục đích của bài học:

• Nhập định nghĩa mô đun của một số, ký hiệu mô đun của một số. Tìm hiểu cách tìm mô đun của một số.
• Hình thành ở học sinh các kỹ năng giáo dục chung, khả năng tự tổ chức, rèn luyện tính tự chủ, kiểm soát lẫn nhau và lòng tự trọng.
• Phát triển và làm giàu lời nói của học sinh.

Trong các lớp học

1. Thời điểm tổ chức.

2. Chính tả toán học.

Học sinh viết câu trả lời của mình trên hai tờ giấy than. Các em đưa một tờ cho giáo viên kiểm tra, trên tờ thứ hai các em so sánh câu trả lời của mình với câu trả lời của giáo viên viết trước trên bảng. Họ tự cho mình điểm “+” cho mỗi nhiệm vụ được hoàn thành chính xác. Đếm số “+” và tự đánh giá. Đối với năm "+" điểm là "5", đối với bốn "+" điểm là "4", v.v.

Dữ liệu cho tùy chọn thứ hai được đưa ra trong dấu ngoặc vuông.

3. Giải thích tài liệu mới.

Hãy xây dựng một đường tọa độ; Điều gì là cần thiết để một dòng như vậy tồn tại? (nguồn gốc, chiều dương, đoạn đơn vị).

Bài tập 1. Chúng ta đánh dấu các điểm A(4), B(2), C(-6), K(-4) trên đường tọa độ. Hãy tìm khoảng cách từ gốc đến mỗi điểm.

dấu chấm	điều phối	đoạn đường	khoảng cách (theo đơn vị phân đoạn)
MỘT	4	viêm khớp	4
TRONG	2	OB	2
VỚI	- 6	hệ điều hành	6
ĐẾN	- 4	ĐƯỢC RỒI	4

Một cái tên đặc biệt đã được phát minh cho khoảng cách này - mô-đun.

mô-đun những số a được gọi là khoảng cách(tính theo đoạn đơn vị) từ điểm gốc đến điểm A(a).

Họ viết: =4; =2,=6, =4. Họ đọc: “Mô đun của số 4 là 4. Mô đun của số -6 là 6, v.v.”

Nhiệm vụ 2. Sử dụng mẫu đường tọa độ, tìm mô-đun của số 3; 2,5; số 8.

, .

Số 3; 2,5; 8 - cái nào? Còn các mô-đun của họ thì sao? Rút ra kết luận. ( Mô đun của một số dương bằng chính số đó, tức là nếu a dương thì =a).

Nhiệm vụ 3. Sử dụng mẫu đường tọa độ, tìm mô đun của các số -2;

Số -2; -3; -4.2 - cái nào? Còn các mô-đun của họ thì sao? Rút ra kết luận. (Mô đun của số âm bằng số đối diện của nó, tức là nếu a âm thì = - a).

Tại sao mô đun bằng nhau số không? = 0. (Mô đun của số 0 bằng 0.)

Nhiệm vụ 4. Với mỗi số trong một hàng, hãy tìm mô đun của số đó trong cột. Vẽ một mũi tên từ số đến mô-đun.

Số 4 và -4; 3 và -3; 2 và -2; 1 và -1 - cái nào? Còn mô đun của mỗi cặp số thì sao? Rút ra kết luận. ( Mô-đun của các số đối diện bằng nhau. Mô đun của bất kỳ số nào là số không âm).

Định nghĩa của một mô-đun có thể được viết như thế này:

4. Hợp nhất vật liệu mới.

"Hãy tự kiểm tra".

Hoàn thành nhiệm vụ và thực hiện đánh giá ngang hàng.

	-10		0	-1,28

Thực hiện bằng văn bản số 934; 937(1 cột); 938.

5. Tóm tắt bài học.

• Mô đun của một số là gì?
• Mô đun có thể là số âm không?
• Mô-đun của số 0 là gì?
• Một số âm được hình thành, mô đun của nó là 5. Số nào được hình thành?
• Một số dương được hình thành, mô đun của nó là 8. Số nào được hình thành?

Dựa trên bài tập trong suốt bài học, các câu trả lời của học sinh sẽ được nhận xét và chấm điểm.

Văn học.

1. Vilenkin N.Ya. v.v. Sách giáo khoa. Toán học. lớp 6.
2. Hướng dẫn cho giáo viên và học sinh về chủ đề “Số dương và số âm”, TGPI, 1988.
3. Shevrin L.N., A.G. Gein và cộng sự Toán học: Sách giáo khoa cho lớp 5-6.

Trong bài học này chúng ta sẽ nói về thực tế là một số bao gồm một dấu và một số lượng. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu khái niệm mô đun của một số, sẽ biểu thị số lượng mà không tính đến dấu của số đó. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về các thuộc tính của mô-đun và cách làm việc với nó.

Chúng tôi giới thiệu các số dương, số tự nhiên và sau đó là số phân số để biểu thị số lượng: gỗ, lít sữa (Hình 1).

Cơm. 1. Ví dụ sử dụng số dương

Sau đó, chúng tôi giới thiệu các số âm: ví dụ: . Bây giờ, con số, ngoài số lượng, còn có một dấu hiệu cho biết cần phải làm gì với số lượng này - cộng hoặc trừ. Nghĩa là, sau khi giới thiệu số âm, chúng ta có thể nói rằng bất kỳ số nào cũng bao gồm một đại lượng (thực sự tồn tại) và một dấu (do chúng tôi phát minh ra để đơn giản hóa ký hiệu các phép tính toán học).

Nhưng đôi khi chỉ có một đặc điểm quan trọng - số lượng và dấu hiệu đó không khiến chúng ta quan tâm.

Hãy xem xét ví dụ này. Đối với một tài xế taxi, điều quan trọng là anh ta phải đi cùng một hành khách trong bao lâu (Hình 2).

Cơm. 2. Km

Suy cho cùng, nếu khi kết thúc chuyến đi, hành khách được đưa về nhà, điều này không có nghĩa là anh ta không nợ tài xế taxi bất cứ điều gì, vì anh ta đã đi được một quãng đường kể từ khi bắt đầu chuyến đi (Hình 3).

Hình 3. Lộ trình xe taxi đi

Giả sử bây giờ xe taxi chỉ có thể chạy dọc theo đường thẳng (sang phải hoặc sang trái). Chúng tôi đã có một mô hình phù hợp - đường tọa độ (Hình 4).

Cơm. 4. Tương tự với đường tọa độ

Giả sử khách hàng lái xe một km sang trái, sau đó một km sang phải, rồi một km nữa sang phải, rồi một km nữa sang trái. Kết quả là ô tô di chuyển về bên trái một km so với điểm xuất phát: (Hình 5).

Cơm. 5. Xe đã đi được bao xa (ta tính bằng trục số)

Nhưng quãng đường mà xe taxi đi được còn dài hơn nhiều: km.

Để tính toán đường đi, chúng tôi chỉ thêm số lượng mà không tính đến dấu.

Phần số biểu thị số lượng được gọi là giá trị tuyệt đối(hoặc số modulo). Nghĩa là, chúng ta có thể nói thế này: bất kỳ số nào cũng bao gồm một dấu và giá trị tuyệt đối(mô-đun). Nếu dấu cộng thì để cho ngắn gọn, nó thường không được viết.

Ví dụ: một số có dấu trừ và mô đun, và một số có dấu cộng và mô đun (Hình 6).

Cơm. 6. Các số đối nhau được làm bằng gì?

Ví dụ: một chiếc ô tô đã đi được km dọc đường. Sử dụng nó cho tình huống này mô hình toán học- dòng số. Xe từ điểm đó có thể di chuyển sang phải hoặc trái. Bạn có thể nói thế này: di chuyển một km sang phải, di chuyển một km sang trái. Nhưng chúng ta có một công cụ hữu ích, đó là số âm. Vì vậy, tóm lại có thể nói thế này: chuyển vị hoặc chuyển động (Hình 7).

Cơm. 7. Khả năng chuyển động của máy

Độ dịch chuyển là khác nhau nhưng ô tô đã di chuyển ra xa điểm xuất phát (từ ) đến cùng một khoảng cách - km. Nhưng - đây là mô-đun (cả cho số và cho ).

Nghĩa là, chúng ta có thể nói về mô đun của một số theo cách này: mô đun là khoảng cách từ một số đến 0 (trên thực tế, định nghĩa này phổ biến hơn, nhưng bạn sẽ học về điều này ở trường trung học).

Trong vật lý, hai khái niệm này được gọi là:

• di chuyển: kết quả rất quan trọng đối với anh ta - họ đã ở đâu và đã kết thúc ở đâu;
• con đường: Điều quan trọng ở đây là quãng đường chúng ta đã đi và việc cuối cùng chúng ta đã đến đâu không quan trọng.

Vì vậy, nếu một ô tô di chuyển từ một điểm sang km bên phải, rồi sang km bên trái thì sẽ quay trở lại điểm xuất phát. Độ dịch chuyển bằng , nhưng quãng đường đi bằng km (Hình 8).

Cơm. 8. Chuyển động và con đường

Chuyển động từ điểm này sang điểm khác được thể hiện bằng một đoạn đường có mũi tên. Họ gọi Anh ấy vectơ(Hình 1).

Cơm. 9. Vectơ

Ở đây, tình huống giống như với các con số: có phần định lượng (độ dài) và có một hướng (số chỉ có hai trong số chúng ( và ), nhưng ở đây có thể có vô số hướng).

Bản thân vectơ được biểu thị bằng một mũi tên ở trên. Độ dài của vectơ được gọi là mô-đun (hãy nhớ, giống như một con số: mô-đun là phần định lượng) và được biểu thị bằng dấu ngoặc thẳng hoặc đơn giản là một đoạn (Hình 2).

Cơm. 10. Ký hiệu vectơ và độ dài của nó

Nếu chúng ta cần đi từ điểm này đến điểm khác, chúng ta không thể luôn đi theo đường thẳng. Ví dụ, chúng tôi di chuyển từ điểm này sang điểm khác, tránh bãi cỏ cấm đi bộ. Nghĩa là, chúng tôi đã di chuyển hai lần và... Chuyển vị cuối cùng (Hình 3).

Cơm. 11. Di chuyển

là tổng của hai chuyển động: . Điều này không đúng với đường dẫn. Độ dài của đoạn nhỏ hơn tổng độ dài của các đoạn và: . Đường thẳng ngắn hơn đường vòng.

Tất cả điều này có thể được viết bằng một bất đẳng thức: . Nó có nghĩa như sau: tổng của hai chuyển động là chuyển động cuối cùng. Độ dài của nó nhỏ hơn tổng độ dài của từng chuyển động riêng biệt: .

Hãy suy nghĩ xem liệu có thể có sự bằng nhau ở đây nếu các vectơ dịch chuyển có vị trí khác nhau không? MỘT dấu hiệu ngược lại, tức là một dấu hiệu?

Hãy xem xét ví dụ này. Một người đàn ông dắt chó đi dạo, anh ta di chuyển từ điểm này sang điểm khác theo một đường thẳng, trong khi con chó cũng di chuyển từ bên này sang bên kia, trong phạm vi dây xích cho phép (Hình 4).

Cơm. 12. Ví dụ minh họa

(Hình 5).

Cơm. 13. Di chuyển một người

Chuyển động của con chó được tạo thành từ các mảnh và cuối cùng cũng bằng nhau (Hình 6).

Cơm. 14. Di chuyển con chó

Nhưng nếu bạn thêm không phải chuyển động mà là đường dẫn, tức là. không phải vectơ, mà là mô-đun của chúng, hóa ra con chó đã đi được một đường dài hơn hai hoặc ba lần. Một con chó, thực hiện chuyển động giống như chủ của nó, có thể chạy một quãng đường dài hơn thế, mọi thứ đều bị giới hạn bởi hoạt động của nó.

Có một nhiệm vụ như vậy: đo chiều dài bờ biển. Mọi thứ đều rõ ràng khi di chuyển từ điểm này sang điểm khác dọc theo bờ biển. Đây là một vectơ (Hình 7).

Cơm. 15. Di chuyển

Nhưng con đường được tạo thành từ nhiều mảnh (Hình 8). Nó giống như với một con chó: bạn cần cộng các mô-đun của các chuyển động và vectơ như vậy.

Cơm. 16. Những mảnh ghép của con đường

Nhưng nếu bạn nhìn kỹ hơn, mỗi chuyển động như vậy còn bao gồm những chuyển động nhỏ hơn nữa. Đường đi tăng lên rất nhiều (Hình 9).

Cơm. 17. Đường tăng dần

Nhưng đó không phải là tất cả: nếu bạn nhìn chính xác hơn nữa, chúng sẽ được chia thành các chuyển động nhỏ. Đường bờ biển ngày càng bị lõm xuống (Hình 10). Và nó không bao giờ kết thúc.

Cơm. 18. Rách rưới bờ biển

Nghĩa là, chiều dài bờ biển không thể được đo chính xác theo cách này.

Đây là cách hóa ra, không cần di chuyển xa khỏi vectơ chuyển động chung, bạn có thể có được một con đường rất dài (như đường đi của chó) hoặc thậm chí là một con đường vô tận (như đường bờ biển).

Chúng tôi đã đồng ý biểu thị mô-đun của một số bằng dấu ngoặc dọc. Vậy mô đun của số dương bằng chính số đó, mô đun của số âm cũng bằng, tức là số đối diện: , .

Câu hỏi vẫn là: mô đun của số 0 là gì? Khoảng cách từ 0 đến 0 là bằng không. Do đó, mô-đun số 0 được coi là bằng 0: .

Vì vậy, chúng ta đã biết mọi thứ để cống hiến nhiều hơn Định nghĩa chính xác, mô đun của một số là gì.

Giá trị tuyệt đối của một số- đây là một số bằng chính nó nếu số đó dương, bằng số đối nếu nó âm và không có vấn đề gì (chính nó hoặc số ngược) nếu số đó bằng 0. Hãy để nó tự nó: .

Để làm cho mục này ngắn hơn, hãy kết hợp dòng đầu tiên và dòng thứ ba. Và định nghĩa bây giờ có vẻ như sau: mô đun của một số bằng chính số đó nếu nó không âm (dương hoặc 0) và bằng số ngược lại nếu nó âm: .

Định nghĩa này không giải thích bản chất của mô-đun là gì. Nhưng chúng ta đã nói về bản chất trước đó. Nó là một công cụ thuận tiện để thực hiện các phép tính số học. Định nghĩa này sẽ đặc biệt hữu ích khi chúng ta giải phương trình bằng mô đun.

Nếu chúng ta bỏ qua các vấn đề về đường đi và chuyển động thì việc tìm kiếm mô-đun sẽ thú vị vì lý do này. Trước đây, chúng ta đã thực hiện các phép toán trên hai hoặc nhiều số. Ví dụ: họ lấy hai số, cộng chúng lại, được một số mới, tổng: . Hoặc so sánh hai số: .