Môđun của số là gì 2. Môđun của số (giá trị tuyệt đối của số), định nghĩa, ví dụ, tính chất
Môđun của một số là khoảng cách từ số này đến số 0 trên đường tọa độ.
Mô-đun được ký hiệu: | |
- Bản ghi | 6 | đọc là "mô-đun của số 6", hoặc "mô-đun của số sáu".
- Ghi âm | 8 | đọc "mô-đun 8".
Để hiểu rõ hơn về chủ đề: “môđun của một số”, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng phương pháp kết hợp.
Hãy tưởng tượng rằng môđun của một số là một bồn tắm, và dấu trừ là bụi bẩn.
Nằm dưới dấu hiệu mô-đun (nghĩa là trong “bồn tắm”), số âm là “rửa”, và xuất hiện không có dấu “trừ” - sạch.
Trong bồn tắm có thể "rửa" (có nghĩa là, đứng dưới dấu hiệu của mô-đun) và số âm, và số dương, và số không. Tuy nhiên, là các số dương "thuần túy" và số 0 không thay đổi dấu hiệu của chúng khi rời khỏi "bồn tắm" (nghĩa là từ dưới dấu hiệu của mô-đun)!
Lịch sử của môđun của số hoặc 6 sự thật thú vị về môđun của số
1. Từ "mô-đun" xuất phát từ tên tiếng Latinh là modulus, có nghĩa là từ "biện pháp" trong bản dịch.
2. Thuật ngữ này được đưa ra bởi học trò của Isaac Newton, nhà toán học và triết học người Anh Roger Cotes (1682 - 1716).
3. Nhà vật lý, nhà phát minh, nhà toán học và triết học vĩ đại người Đức Gottfried Leibniz trong các tác phẩm và bài viết của mình đã sử dụng hàm mô-đun mà ông đã chỉ định mod x.
4. Việc chỉ định mô-đun được đưa ra vào năm 1841 bởi một nhà toán học người Đức
Karl Weierstrass (1815 - 1897).
5. Khi viết môđun, nó được ký hiệu bằng ký hiệu: | |
6. Một phiên bản khác của thuật ngữ "mô-đun" được giới thiệu vào năm 1806 bởi người Pháp
một nhà toán học tên là Jean Robert Argan (1768-1822). Nhưng nó không phải là như vậy.
Nhà toán học đầu thế kỷ XIX Jean Robert Argán (1768 - 1822)
và Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) đưa ra khái niệm "môđun của một số phức",
được nghiên cứu trong quá trình toán học cao hơn.
Giải các bài toán về chủ đề "Môđun của số"
Nhiệm vụ số 1. Sắp xếp các biểu thức: - | 12 |, 0, 54, | - (- 2) |, -17 theo thứ tự tăng dần.
— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2
17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.
Trả lời: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.
Nhiệm vụ số 2. Cần sắp xếp các biểu thức: - | -14 |, - | 30 |, | -16 |, -21, | - (- 9) |
thứ tự giảm dần.
Đầu tiên, hãy mở dấu ngoặc và mô-đun:
— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9
16> 9> -14> - 21> - 30 sẽ tương đương với:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.
Trả lời: | -16 | > | - (- 9) | > - | - 14 | > - 21> - | 30 |
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết giá trị tuyệt đối của một số. Chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa khác nhau về môđun của một số, giới thiệu ký hiệu và đưa ra các hình ảnh minh họa đồ họa. Trong trường hợp này, chúng tôi xem xét các ví dụ khác nhau về việc tìm môđun của một số theo định nghĩa. Sau đó, chúng tôi liệt kê và xác minh các thuộc tính chính của mô-đun. Ở phần cuối của bài viết, chúng ta sẽ nói về cách xác định và tìm môđun của một số phức.
Điều hướng trang.
Mô đun của số - định nghĩa, ký hiệu và ví dụ
Đầu tiên chúng tôi giới thiệu chỉ định mô-đun. Mô-đun của số a sẽ được viết dưới dạng, nghĩa là ở bên trái và bên phải của số, chúng ta sẽ đặt các đường thẳng đứng tạo thành dấu hiệu của mô-đun. Hãy đưa ra một vài ví dụ. Ví dụ, modulo -7 có thể được viết là; mô-đun 4,125 được viết là, và mô-đun được viết là.
Định nghĩa sau đây của mô-đun đề cập đến, và do đó, tới, và tới số nguyên, và số hữu tỉ và vô tỉ, cũng như các phần cấu thành của tập hợp các số thực. Chúng ta sẽ nói về môđun của một số phức trong.
Sự định nghĩa.
Mô-đun của một là chính số a, nếu a là số dương hoặc số −a, ngược lại với số a, nếu a là số âm hoặc 0, nếu a = 0.
Định nghĩa môđun của một số thường được viết dưới dạng sau 
, ký hiệu này có nghĩa là nếu a> 0, nếu a = 0 và nếu a<0
.
Bản ghi có thể được trình bày dưới dạng nhỏ gọn hơn 
. Ký hiệu này có nghĩa là nếu (a lớn hơn hoặc bằng 0), và nếu a<0
.
Cũng có một kỷ lục 
. Ở đây, trường hợp a = 0 nên được giải thích riêng. Trong trường hợp này, chúng ta có, nhưng −0 = 0, vì số 0 được coi là một số đối nghịch với chính nó.
Hãy mang ví dụ về việc tìm môđun của một số với một định nghĩa cho trước. Ví dụ, chúng ta hãy tìm các mô-đun của số 15 và. Hãy bắt đầu với việc tìm kiếm. Vì số 15 là số dương, theo định nghĩa, môđun của nó bằng chính số này, nghĩa là. Môđun của một số là gì? Vì là một số âm, nên môđun của nó bằng số đối diện với số, tức là số 
. Vì vậy,.
Kết luận của đoạn này, chúng tôi đưa ra một kết luận, rất thuận tiện để áp dụng trong thực tế khi tìm môđun của một số. Từ định nghĩa của môđun của một số, nó theo sau rằng môđun của một số bằng số dưới dấu của môđun, bất kể dấu của nó là gì, và từ các ví dụ được thảo luận ở trên, có thể thấy điều này rất rõ ràng. Câu lệnh được lồng tiếng giải thích tại sao mô đun của một số còn được gọi là giá trị tuyệt đối của số. Vì vậy, môđun của một số và giá trị tuyệt đối của một số là một và như nhau.
Môđun của một số dưới dạng khoảng cách
Về mặt hình học, môđun của một số có thể được hiểu là khoảng cách. Hãy mang xác định môđun của một số theo khoảng cách.
Sự định nghĩa.
Mô-đun của một là khoảng cách từ gốc tọa độ trên đường tọa độ đến điểm ứng với số a.
Định nghĩa này phù hợp với định nghĩa về môđun của một số đã cho trong đoạn đầu tiên. Hãy giải thích điểm này. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm ứng với một số dương bằng chính số này. Số không tương ứng với điểm gốc, vì vậy khoảng cách từ điểm gốc đến điểm có tọa độ 0 bằng 0 (không có đoạn đơn và không có đoạn nào tạo nên bất kỳ phần nào của đoạn đơn vị cần được hoãn lại để đi từ điểm O đến điểm với tọa độ 0). Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm có tọa độ âm bằng số đối diện với tọa độ của điểm đã cho, vì nó bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm có tọa độ là số ngược lại.
Ví dụ, môđun của số 9 là 9, vì khoảng cách từ điểm gốc đến điểm có tọa độ 9 là chín. Hãy lấy một ví dụ khác. Điểm có tọa độ −3,25 cách điểm O một đoạn bằng 3,25 nên 
.
Định nghĩa đúng đắn về môđun của một số là một trường hợp đặc biệt của việc xác định môđun của hiệu của hai số.
Sự định nghĩa.
Môđun hiệu của hai số a và b bằng khoảng cách giữa các điểm thuộc đường tọa độ có tọa độ a và b.
Nghĩa là, nếu cho các điểm trên đường tọa độ A (a) và B (b) thì khoảng cách từ điểm A đến điểm B bằng môđun của hiệu số giữa hai số a và b. Nếu chúng ta lấy điểm O (điểm tham chiếu) là điểm B, thì chúng ta sẽ nhận được định nghĩa về môđun của một số được cho ở đầu đoạn này.
Xác định môđun của một số thông qua căn bậc hai số học
Đôi khi được tìm thấy xác định môđun thông qua căn bậc hai số học.
Ví dụ, hãy tính mô-đun của các số −30 và dựa trên định nghĩa này. Chúng ta có . Tương tự, chúng tôi tính toán mô-đun của hai phần ba: 
.
Định nghĩa môđun của một số theo căn bậc hai số học cũng phù hợp với định nghĩa được đưa ra trong đoạn đầu của bài viết này. Hãy thể hiện nó. Gọi a là một số dương và −a là số âm. sau đó 
và 
, nếu a = 0, thì 
.
Thuộc tính mô-đun
Mô-đun có một số kết quả đặc trưng: thuộc tính mô-đun. Bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra những điều chính và được sử dụng phổ biến nhất trong số chúng. Khi chứng minh các thuộc tính này, chúng ta sẽ dựa vào định nghĩa môđun của một số theo khoảng cách.
Hãy bắt đầu với thuộc tính mô-đun rõ ràng nhất - môđun của một số không được là số âm. Ở dạng chữ, thuộc tính này có dạng cho bất kỳ số a nào. Tính chất này rất dễ chứng minh: môđun của một số là khoảng cách, và khoảng cách không thể được biểu thị dưới dạng số âm.
Hãy chuyển sang thuộc tính tiếp theo của mô-đun. Môđun của một số bằng 0 nếu và chỉ khi số này bằng 0. Theo định nghĩa, môđun của 0 là 0. Số không tương ứng với điểm gốc, không có điểm nào khác trên đường tọa độ tương ứng với số không, vì mỗi số thực được liên kết với một điểm duy nhất trên đường tọa độ. Vì lý do tương tự, bất kỳ số nào khác 0 đều tương ứng với một điểm khác với điểm gốc. Và khoảng cách từ gốc tọa độ đến bất kỳ điểm nào khác ngoài điểm O đều không bằng 0, vì khoảng cách giữa hai điểm bằng 0 nếu và chỉ khi hai điểm này trùng nhau. Lập luận trên chứng minh rằng chỉ có môđun của không mới bằng không.
Tiến lên. Các số đối nhau có môđun bằng nhau, nghĩa là đối với bất kỳ số nào a. Thật vậy, hai điểm trên đường tọa độ, có tọa độ là các số đối nhau, ở cùng một khoảng cách từ gốc tọa độ, có nghĩa là môđun của các số đối nhau bằng nhau.
Thuộc tính mô-đun tiếp theo là: môđun của tích của hai số bằng tích của môđun của những số này, I E, . Theo định nghĩa, môđun của tích của các số a và b là a b nếu hoặc - (a b) nếu. Theo quy tắc nhân các số thực, tích của các số a và b bằng a b, hoặc - (a b), nếu, điều này chứng tỏ tính chất đã xét.
Môđun của thương số của phép chia a cho b bằng thương của phép chia môđun của a cho môđun của b, I E, . Hãy để chúng tôi chứng minh thuộc tính này của mô-đun. Vì thương bằng tích nên. Nhờ tài sản trước đó, chúng tôi có 
. Nó vẫn chỉ để sử dụng bình đẳng, có giá trị do định nghĩa của mô-đun của số.
Thuộc tính mô-đun sau được viết dưới dạng bất đẳng thức: 
, a, b và c là các số thực tùy ý. Sự bất bình đẳng được viết ra chỉ là bất đẳng thức tam giác. Để làm rõ điều này, chúng ta hãy lấy các điểm A (a), B (b), C (c) trên đường tọa độ và xét tam giác ABC suy biến, có các đỉnh nằm trên cùng một đường thẳng. Theo định nghĩa, môđun của sự khác biệt bằng độ dài của đoạn thẳng AB, - độ dài đoạn thẳng AC và - độ dài đoạn thẳng CB. Vì độ dài của bất kỳ cạnh nào của tam giác không vượt quá tổng độ dài của hai cạnh còn lại nên bất đẳng thức 
, do đó, sự bất bình đẳng cũng tồn tại.
Bất đẳng thức vừa chứng minh phổ biến hơn nhiều ở dạng 
. Bất đẳng thức đã viết thường được coi là thuộc tính riêng biệt của mô-đun với công thức: “ Môđun của tổng hai số không vượt quá tổng môđun của các số này". Nhưng bất đẳng thức tiếp sau trực tiếp từ bất đẳng thức, nếu chúng ta đặt −b thay vì b vào nó, và lấy c = 0.
Mô đun số phức
Hãy cung cấp cho xác định môđun của một số phức. Hãy để chúng tôi được cho số phức, được viết dưới dạng đại số, trong đó x và y là một số số thực, lần lượt đại diện cho phần thực và phần ảo của một số phức z cho trước, và là một đơn vị ảo.
Giá trị tuyệt đối của một số một là khoảng cách từ điểm gốc đến điểm NHƯNG(một).
Để hiểu định nghĩa này, chúng tôi thay thế thay vì một biến một bất kỳ số nào, ví dụ 3 và thử đọc lại:
Giá trị tuyệt đối của một số 3 là khoảng cách từ điểm gốc đến điểm NHƯNG(3 ).
Rõ ràng là mô-đun không hơn gì khoảng cách thông thường. Hãy thử xem khoảng cách từ điểm gốc đến điểm A ( 3 )
Khoảng cách từ gốc toạ độ đến điểm A ( 3 ) bằng 3 (ba đơn vị hoặc ba bước).
Mô đun của một số được biểu thị bằng hai đường thẳng đứng, ví dụ:
Môđun của số 3 được ký hiệu như sau: | 3 |
Môđun của số 4 được ký hiệu như sau: | 4 |
Môđun của số 5 được ký hiệu như sau: | 5 |
Chúng tôi đã tìm kiếm môđun của số 3 và phát hiện ra rằng nó bằng 3. Vì vậy, chúng tôi viết:
Đọc như: "Mô-đun của ba là ba"
Bây giờ chúng ta hãy thử tìm môđun của số -3. Một lần nữa, chúng ta quay lại định nghĩa và thay số -3 vào đó. Chỉ thay vì một dấu chấm Một sử dụng điểm mới B. chỉ Một chúng tôi đã sử dụng trong ví dụ đầu tiên.
Mô đun của số là 3 gọi khoảng cách từ điểm gốc đến điểm B(—3 ).
Khoảng cách từ điểm này đến điểm khác không thể âm. Do đó, môđun của bất kỳ số âm nào, là một khoảng cách, cũng sẽ không âm. Môđun của số -3 sẽ là số 3. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm B (-3) cũng bằng ba đơn vị:
Đọc như: "Môđun của một số trừ ba là ba"
Môđun của số 0 là 0, vì điểm có tọa độ 0 trùng với điểm gốc, tức là khoảng cách từ điểm gốc đến điểm O (0) bằng 0:
"Môđun của 0 là 0"
Chúng tôi rút ra kết luận:
- Môđun của một số không được âm;
- Đối với một số dương và số 0, môđun bằng chính số đó và đối với một số âm, bằng số đối diện;
- Các số đối nhau có môđun bằng nhau.
Số đối lập
Các số chỉ khác nhau về dấu hiệu được gọi là đối nghịch. Ví dụ, các số −2 và 2 đối nghịch nhau. Chúng chỉ khác nhau về dấu hiệu. Số −2 có dấu trừ và số 2 có dấu cộng, nhưng chúng ta không thấy nó, bởi vì dấu cộng, như chúng ta đã nói trước đó, theo truyền thống không được viết.
Các ví dụ khác về các số đối nghịch:
Các số đối nhau có môđun bằng nhau. Ví dụ, hãy tìm mô-đun cho −2 và 2
Hình bên cho thấy khoảng cách từ điểm gốc đến điểm A (−2) và B (2) bằng hai bước.
Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm Vkontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới
Hướng dẫn
Nếu môđun được biểu diễn dưới dạng một hàm liên tục, thì giá trị của đối số của nó có thể là dương hoặc âm: | х | = x, x ≥ 0; | x | = - x, x
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2);
Dễ dàng nhận thấy rằng phép cộng và phép trừ các số phức cũng tuân theo quy tắc tương tự như phép cộng và.
Tích của hai số phức là:
z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.
Vì i ^ 2 = -1, kết quả cuối cùng là:
(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).
Các phép toán nâng lên lũy thừa và rút gốc cho số phức được định nghĩa theo cách tương tự như đối với các số thực. Tuy nhiên, trong miền phức, với một số bất kỳ, có đúng n số b sao cho b ^ n = a, tức là n căn bậc n.
Đặc biệt, điều này có nghĩa là bất kỳ phương trình đại số bậc n trong một biến có đúng n nghiệm phức, một số trong đó có thể là và.
Các video liên quan
Nguồn:
- Bài giảng "Số phức" năm 2019
Gốc là một biểu tượng biểu thị phép toán tìm một số như vậy, việc nâng số đó lên mức được chỉ ra trước dấu căn sẽ cho số được chỉ dưới chính dấu này. Thông thường, để giải quyết các vấn đề trong đó có gốc rễ, nó không đủ nếu chỉ tính giá trị. Chúng ta phải thực hiện các phép toán bổ sung, một trong số đó là giới thiệu một số, biến hoặc biểu thức dưới dấu căn.
Hướng dẫn
Xác định số mũ của căn. Một chỉ số là một số nguyên cho biết lũy thừa mà kết quả của phép tính căn phải được nâng lên để có được một biểu thức căn (số mà từ căn này được trích ra). Số mũ của gốc, được chỉ định dưới dạng chỉ số trên trước biểu tượng gốc. Nếu điều này không được chỉ định, nó là một căn bậc hai có lũy thừa là hai. Ví dụ, số mũ gốc √3 là hai, số mũ ³√3 là ba, số mũ gốc ⁴√3 là bốn, v.v.
Nâng số bạn muốn thêm dưới dấu căn lên lũy thừa bằng số mũ của căn này, mà bạn đã xác định ở bước trước. Ví dụ, nếu bạn cần nhập số 5 dưới dấu của căn ⁴√3, thì số mũ của căn là bốn và bạn cần kết quả của việc nâng 5 lên lũy thừa thứ tư 5⁴ = 625. Bạn có thể thực hiện việc này theo bất kỳ cách nào thuận tiện cho bạn - trong suy nghĩ của bạn, sử dụng máy tính hoặc các dịch vụ tương ứng đã đăng.
Nhập giá trị thu được ở bước trước dưới dấu căn dưới dạng cấp số nhân của biểu thức căn. Đối với ví dụ được sử dụng ở bước trước với việc thêm vào dưới gốc ⁴√3 5 (5 * ⁴√3), hành động này có thể được thực hiện như sau: 5 * ⁴√3 = ⁴√ (625 * 3).
Đơn giản hóa biểu thức gốc kết quả, nếu có thể. Với ví dụ từ các bước trước, bạn chỉ cần nhân các số dưới dấu căn: 5 * ⁴√3 = ⁴√ (625 * 3) = ⁴√1875. Điều này hoàn thành thao tác thêm một số dưới gốc.
Nếu có các biến chưa biết trong bài toán, thì các bước được mô tả ở trên có thể được thực hiện một cách tổng quát. Ví dụ: nếu bạn muốn giới thiệu một biến chưa biết x dưới căn bậc 4 và biểu thức căn là 5 / x³, thì toàn bộ chuỗi hành động có thể được viết như sau: x * ⁴√ (5 / x³) = ⁴ √ (x⁴ * 5 / x³) = ⁴√ (x * 5).
Nguồn:
- dấu hiệu gốc được gọi là gì
Số thực không đủ để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào. Đơn giản nhất của phương trình bậc hai không có nghiệm nguyên giữa các số thực là x ^ 2 + 1 = 0. Khi giải nó, kết quả là x = ± sqrt (-1), và theo luật của đại số sơ cấp, lấy căn bậc chẵn từ một âm con số nó bị cấm.
Tư liệu thông tin "góc bạn đọc trẻ"
Tiến sĩ xa để tiêu diệt
Mua axit sunfuric ở đâu?