Giới thiệu. Xử lý kết quả đo trong thực hành vật lý Phép đo và sai số đo Phân tích kết quả đo trực tiếp

Sai số ngẫu nhiên có các thuộc tính sau.

Với một số lượng lớn các phép đo, các sai số có cùng độ lớn nhưng ngược dấu xảy ra thường xuyên như nhau.

Các lỗi lớn thường ít xảy ra hơn các lỗi nhỏ. Từ quan hệ (1), viết lại chúng dưới dạng

X \ u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

và cộng lại trong một cột, bạn có thể xác định giá trị thực của giá trị đo được như sau:

hoặc
.

(2)

những thứ kia. Giá trị thực của đại lượng đo bằng giá trị trung bình cộng của các kết quả đo, nếu chúng có vô số giá trị. Với số lượng giới hạn, và thậm chí nhiều hơn với một số lượng nhỏ các phép đo, mà chúng ta thường xử lý trong thực tế, thì đẳng thức (2) là gần đúng.

Gọi đại lượng đo X có giá trị nào sau đây là kết quả của một số lần đo: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1. Hãy xây dựng một biểu đồ về sự phân bố của các kết quả này, vẽ biểu đồ số đọc của thiết bị dọc theo trục abscissa theo thứ tự tăng dần. Khoảng cách giữa các điểm liền kề dọc theo trục abscissa bằng hai lần sai số đọc tối đa trên thiết bị. Trong trường hợp của chúng tôi, đếm ngược được thực hiện đến 0,1. Điều này bằng một phần của tỷ lệ được đánh dấu trên trục x. Trên trục tọa độ, chúng tôi vẽ biểu đồ các giá trị tỷ lệ với số lượng kết quả tương đối tương ứng với một số đọc cụ thể của thiết bị. Số tương đối, hoặc tần suất tương đối của kết quả bằng x k, sẽ được ký hiệu là W (x k). Trong trường hợp của chúng ta

Chúng tôi chỉ định mỗi x cho

(3)

trong đó A là hệ số tỉ lệ.

Biểu đồ, được gọi là biểu đồ, khác với biểu đồ thông thường ở chỗ các điểm không được nối với nhau bằng một đường cong trơn, nhưng các bước được vẽ qua chúng. Rõ ràng là diện tích của bước trên một số giá trị của x k tỷ lệ với tần suất xuất hiện tương đối của kết quả này. Bằng cách chọn hệ số tỷ lệ trong biểu thức (3) một cách thích hợp, diện tích này có thể được tính bằng tần số tương đối của kết quả x k. Sau đó, tổng diện tích của tất cả các bước, bằng tổng tần số tương đối của tất cả kết quả, phải bằng một

Từ đây ta tìm được A = 10. Điều kiện (4) được gọi là điều kiện chuẩn hóa cho hàm (3).

Nếu bạn thực hiện một loạt phép đo với n phép đo trong mỗi chuỗi, thì với n nhỏ, các tần số tương đối của cùng một giá trị x k được tìm thấy từ các chuỗi khác nhau có thể khác nhau đáng kể. Khi số lượng phép đo trong chuỗi tăng lên, sự dao động của các giá trị W (x k) giảm và các giá trị này tiến đến một số không đổi nhất định, được gọi là xác suất của kết quả x k và được ký hiệu là P (x k ).

Giả sử rằng, trong khi thực hiện thử nghiệm, chúng tôi không tính kết quả cho toàn bộ các phần của tỷ lệ hoặc phần của chúng, nhưng chúng tôi có thể sửa chữa điểm mà mũi tên dừng lại. Sau đó, đối với một số lượng lớn vô hạn các phép đo, mũi tên sẽ đến từng điểm trên thang đo. Sự phân bố kết quả đo trong trường hợp này thu được một ký tự liên tục và được mô tả bằng một đường cong liên tục y = f (x) thay vì một biểu đồ bậc. Dựa trên các tính chất của sai số ngẫu nhiên, có thể kết luận rằng đường cong phải đối xứng và do đó, giá trị lớn nhất của nó nằm trên giá trị trung bình cộng của kết quả đo, bằng giá trị thực của đại lượng đo. Trong trường hợp phân phối kết quả đo liên tục, không có

rất hợp lý khi nói về xác suất của bất kỳ giá trị nào của chúng, bởi vì có các giá trị gần với giá trị đang được xem xét một cách tùy ý. Bây giờ chúng ta nên đặt câu hỏi về xác suất gặp nhau trong các phép đo, kết quả trong một khoảng nhất định xung quanh giá trị của x k, bằng
,
. Cũng giống như trên biểu đồ tần suất tương đối của kết quả x bằng với diện tích của bước được xây dựng trên kết quả này, trên biểu đồ phân phối liên tục xác suất tìm thấy kết quả trong khoảng (
,
) bằng diện tích của hình thang lượn trên khoảng này và giới hạn bởi đường cong f (x). Kí hiệu toán học của kết quả này là

nếu
ít, tức là diện tích của hình thang cong được thay thế bằng diện tích gần đúng của hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao bằng f (xk). Hàm f (x) được gọi là mật độ xác suất của phân phối kết quả đo. Xác suất tìm thấy x trong khoảng nào đó bằng mật độ xác suất của khoảng đã cho nhân với độ dài của nó.

Đường cong phân bố của các kết quả đo thu được bằng thực nghiệm đối với một phần nhất định của thang đo dụng cụ, nếu nó được tiếp tục, xấp xỉ một cách tiệm cận với trục abscissa từ trái và phải, được mô tả tốt về mặt giải tích bằng một hàm có dạng

(5)

Cũng giống như tổng diện tích của tất cả các bước trên biểu đồ bằng một, toàn bộ diện tích giữa đường cong f (x) và trục abscissa, có ý nghĩa về xác suất đáp ứng ít nhất một giá trị nào đó của x trong thời gian số đo, cũng bằng một. Phân phối được mô tả bởi hàm này được gọi là phân phối chuẩn. Tham số chính của phân phối chuẩn là phương sai  2. Giá trị gần đúng của độ phân tán có thể được tìm thấy từ kết quả đo bằng công thức

(6)

Công thức này chỉ cung cấp độ phân tán gần với giá trị thực cho một số lượng lớn các phép đo. Ví dụ, σ 2 được tìm thấy từ kết quả của 100 phép đo có thể có độ lệch so với giá trị thực là 15%, được tìm thấy từ 10 phép đo đã là 40%. Phương sai xác định hình dạng của đường cong phân phối chuẩn. Khi sai số ngẫu nhiên nhỏ, độ phân tán, như sau từ (6), là nhỏ. Đường cong f (x) trong trường hợp này hẹp hơn và sắc nét hơn gần giá trị thực của X và có xu hướng về 0 nhanh hơn khi di chuyển ra xa nó so với sai số lớn. Hình sau đây sẽ cho thấy dạng của đường cong f (x) đối với phân phối chuẩn thay đổi như thế nào tùy thuộc vào σ.

Trong lý thuyết xác suất, người ta chứng minh rằng nếu chúng ta không coi sự phân bố của các kết quả đo mà là sự phân bố của các giá trị trung bình cộng được tìm thấy từ một dãy n phép đo trong mỗi dãy, thì nó cũng tuân theo luật chuẩn, nhưng có độ phân tán. nhỏ hơn n lần.

Xác suất tìm thấy kết quả đo trong một khoảng thời gian nhất định (
) gần giá trị thực của giá trị đo được bằng diện tích của hình thang cong được dựng trên khoảng này và giới hạn từ phía trên bởi đường cong f (x). Giá trị khoảng thời gian
thường được đo bằng đơn vị tỷ lệ với căn bậc hai của phương sai
Tùy thuộc vào giá trị của k trên mỗi khoảng thời gian
có một hình thang cong có diện tích lớn hơn hoặc nhỏ hơn, tức là

trong đó F (k) là một số hàm của k. Các phép tính cho thấy rằng đối với

k = 1,

k = 2,

k = 3,

Điều này cho thấy rằng trong khoảng
chiếm khoảng 95% diện tích dưới đường cong f (x). Thực tế này hoàn toàn đồng ý với thuộc tính thứ hai của sai số ngẫu nhiên, trong đó nói rằng sai số lớn khó có thể xảy ra. Lỗi lớn hơn
, xảy ra với xác suất nhỏ hơn 5%. Biểu thức (7) được viết lại để phân phối trung bình cộng của n phép đo có dạng

(8)

Giá trị trong (7) và (8) có thể được xác định trên cơ sở kết quả đo chỉ xấp xỉ bằng công thức (6)

Thay thế giá trị này vào biểu thức (8), chúng ta sẽ nhận được ở bên phải không phải F (k), mà là một số hàm mới, không chỉ phụ thuộc vào kích thước của khoảng giá trị X được xem xét, mà còn vào số phép đo được thực hiện
Và

tại vì chỉ đối với một số lượng rất lớn các phép đo thì công thức (6) mới đủ chính xác.

Sau khi giải hệ hai bất phương trình trong ngoặc ở vế trái của biểu thức này với giá trị thực của X, chúng ta có thể viết lại nó dưới dạng

Biểu thức (9) xác định xác suất mà giá trị thực của X nằm trong một khoảng độ dài nhất định về giá trị . Xác suất này trong lý thuyết về sai số được gọi là độ tin cậy, và khoảng tương ứng với nó cho giá trị thực được gọi là khoảng tin cậy. Hàm số
được tính toán tùy thuộc vào t n và n và một bảng chi tiết đã được biên soạn cho nó. Bảng có 2 đầu vào: pt n và n. Với sự trợ giúp của nó, đối với một số phép đo n cho trước, có thể tìm được, cho trước một giá trị độ tin cậy Р, giá trị của t n, được gọi là hệ số Student.

Phân tích bảng cho thấy rằng đối với một số phép đo nhất định với yêu cầu tăng độ tin cậy, chúng ta thu được các giá trị ngày càng tăng của t n, tức là tăng khoảng tin cậy. Độ tin cậy bằng một sẽ tương ứng với khoảng tin cậy bằng vô hạn. Với một độ tin cậy nhất định, chúng ta có thể làm cho khoảng tin cậy của giá trị thực thu hẹp hơn bằng cách tăng số lượng phép đo, vì S n không thay đổi nhiều, và giảm cả khi giảm tử số và tăng mẫu số. Sau khi thực hiện đủ số lượng thử nghiệm, có thể tạo ra khoảng tin cậy có giá trị nhỏ bất kỳ. Nhưng đối với n lớn, việc tăng thêm số lượng thí nghiệm rất chậm sẽ làm giảm khoảng tin cậy và khối lượng công việc tính toán tăng lên nhiều. Đôi khi trong công việc thực tế, rất tiện lợi khi sử dụng quy tắc gần đúng: để giảm khoảng tin cậy tìm được từ một số lượng nhỏ phép đo đi vài lần, cần phải tăng số lần đo theo cùng một hệ số.

VÍ DỤ VỀ QUÁ TRÌNH XỬ LÝ KẾT QUẢ ĐO LƯỜNG TRỰC TIẾP

Hãy lấy làm dữ liệu thực nghiệm ba kết quả đầu tiên trong số 12 kết quả, theo đó biểu đồ X được xây dựng: 13,4; 13,2; 13.3.

Chúng ta hãy tự hỏi độ tin cậy, thường được chấp nhận trong phòng thí nghiệm giáo dục, P = 95%. Từ bảng cho P = 0,95 và n = 3 ta tìm được t n = 4,3.

hoặc

với độ tin cậy 95%. Kết quả cuối cùng thường được viết dưới dạng đẳng thức

Nếu khoảng tin cậy của một giá trị như vậy không phù hợp (ví dụ, trong trường hợp sai số của thiết bị là 0,1) và chúng ta muốn giảm một nửa nó, chúng ta nên tăng gấp đôi số phép đo.

Ví dụ: nếu chúng tôi lấy 6 giá trị cuối cùng của 12 kết quả giống nhau (đối với 6 giá trị đầu tiên, bạn nên tự tính toán)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1,

sau đó

Giá trị của hệ số t n được tìm thấy từ bảng cho Р = 0,95 và n = 6; tn = 2,6.

Trong trường hợp này
Hãy vẽ đồ thị khoảng tin cậy cho giá trị thực trong trường hợp thứ nhất và thứ hai trên trục số.

Khoảng thời gian được tính toán từ 6 phép đo, như mong đợi, nằm trong khoảng thời gian được tìm thấy từ 3 lần đo.

Sai số công cụ đưa một sai số hệ thống vào kết quả, mở rộng khoảng tin cậy được mô tả trên trục thêm 0,1. Do đó, kết quả được viết có tính đến lỗi của thiết bị có dạng

1)
2)

Trong trường hợp chung, quy trình xử lý kết quả của các phép đo trực tiếp như sau (giả định rằng không có sai số hệ thống).

Trường hợp 1 Số lượng phép đo nhỏ hơn năm.

1) Theo công thức (6), kết quả trung bình là x, được định nghĩa là trung bình cộng của kết quả của tất cả các phép đo, tức là

2) Theo công thức (12), sai số tuyệt đối của các phép đo riêng lẻ được tính

.

3) Theo công thức (14), sai số tuyệt đối trung bình được xác định

.

4) Theo công thức (15), sai số tương đối trung bình của kết quả đo được tính

.

5) Ghi lại kết quả cuối cùng trong biểu mẫu sau:

, tại
.

Trường hợp 2. Số lượng phép đo là hơn năm.

1) Theo công thức (6), kết quả trung bình là

.

2) Theo công thức (12), sai số tuyệt đối của các phép đo riêng lẻ được xác định

.

3) Theo công thức (7), sai số bình phương trung bình của một phép đo đơn lẻ được tính

.

4) Tính độ lệch chuẩn cho giá trị trung bình của giá trị đo được theo công thức (9).

.

5) Kết quả cuối cùng được ghi lại dưới dạng sau

.

Đôi khi sai số đo ngẫu nhiên có thể nhỏ hơn giá trị mà thiết bị đo (dụng cụ) có thể đăng ký. Trong trường hợp này, đối với bất kỳ số lượng phép đo nào cũng cho kết quả tương tự. Trong những trường hợp như vậy, như sai số tuyệt đối trung bình
lấy một nửa số chia tỷ lệ của dụng cụ (công cụ). Giá trị này đôi khi được gọi là sai số giới hạn hoặc sai số công cụ và được ký hiệu là
(đối với dụng cụ vernier và đồng hồ bấm giờ
bằng độ chính xác của dụng cụ).

Đánh giá độ tin cậy của kết quả đo

Trong bất kỳ thí nghiệm nào, số lần đo của một đại lượng vật lý luôn bị giới hạn vì lý do này hay lý do khác. Quá hạn vớiđây có thể là nhiệm vụ đánh giá độ tin cậy của kết quả. Nói cách khác, xác định với xác suất có thể lập luận rằng sai số thực hiện trong trường hợp này không vượt quá giá trị định trước ε. Xác suất này được gọi là xác suất tin cậy. Hãy biểu thị nó bằng một chữ cái.

Một bài toán nghịch đảo cũng có thể được đặt ra: xác định ranh giới của khoảng
để với một xác suất nhất định có thể lập luận rằng giá trị thực của các phép đo đại lượng sẽ không vượt quá khoảng tin cậy được chỉ định.

Khoảng tin cậy đặc trưng cho độ chính xác của kết quả thu được và khoảng tin cậy đặc trưng cho độ tin cậy của nó. Các phương pháp giải hai nhóm vấn đề này đều có sẵn và đã được phát triển cụ thể chi tiết cho trường hợp sai số đo được phân phối theo quy luật thông thường. Lý thuyết xác suất cũng cung cấp các phương pháp xác định số lượng thí nghiệm (các phép đo lặp lại) cung cấp độ chính xác nhất định và độ tin cậy của kết quả mong đợi. Trong công việc này, các phương pháp này không được xem xét (chúng tôi sẽ hạn chế đề cập đến chúng), vì các nhiệm vụ như vậy thường không được đặt ra khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm.

Tuy nhiên, mối quan tâm đặc biệt là trường hợp đánh giá độ tin cậy của kết quả phép đo các đại lượng vật lý với một số lượng rất nhỏ các phép đo lặp lại. Ví dụ,
. Đây chính xác là trường hợp mà chúng ta thường gặp trong việc thực hiện các công việc trong phòng thí nghiệm trong vật lý. Khi giải các bài toán dạng này, nên sử dụng phương pháp dựa trên phân phối của Student (định luật).

Để thuận tiện cho việc áp dụng thực tế của phương pháp đang được xem xét, có các bảng mà bạn có thể xác định khoảng tin cậy
tương ứng với một mức độ tin cậy cho trước hoặc giải bài toán nghịch đảo.

Dưới đây là các phần của bảng được đề cập có thể được yêu cầu khi đánh giá kết quả của các phép đo trong các lớp trong phòng thí nghiệm.

Ví dụ, để sản xuất các phép đo bằng nhau (trong cùng điều kiện) của một số đại lượng vật lý và tính toán giá trị trung bình của nó . Nó được yêu cầu để tìm khoảng tin cậy tương ứng với mức độ tin cậy đã cho . Vấn đề thường được giải quyết theo cách sau đây.

Theo công thức tính đến (7), tính

Sau đó, đối với các giá trị đã cho N và tìm theo bảng (Bảng 2) giá trị . Giá trị bạn đang tìm kiếm được tính toán dựa trên công thức

(16)

Khi giải bài toán nghịch đảo, tham số được tính trước tiên bằng công thức (16). Giá trị mong muốn của xác suất tin cậy được lấy từ bảng (Bảng 3) cho một số nhất định và tham số được tính toán .

Ban 2. Giá trị tham số cho một số thử nghiệm nhất định

và mức độ tự tin

bàn số 3 Giá trị của xác suất tin cậy cho một số thử nghiệm nhất định N và tham số ε

Các quy định chính của các phương pháp xử lý kết quả của các phép đo trực tiếp với nhiều quan sát được định nghĩa trong GOST 8.207-76.

Lấy làm kết quả đo lường trung bình dữ liệu N các quan sát, từ đó các lỗi hệ thống được loại trừ. Giả định rằng kết quả của các quan sát sau khi loại trừ các sai số hệ thống khỏi chúng thuộc về phân phối chuẩn. Để tính toán kết quả của phép đo, cần phải loại trừ sai số hệ thống khỏi mỗi lần quan sát và do đó, thu được kết quả đã hiệu chỉnh tôi-quan sát thứ. Sau đó, giá trị trung bình cộng của các kết quả đã hiệu chỉnh này được tính toán và lấy làm kết quả đo. Giá trị trung bình số học là ước tính nhất quán, không thiên vị và hiệu quả của đại lượng đo trong phân phối chuẩn của dữ liệu quan sát.

Cần lưu ý rằng đôi khi trong tài liệu, thay vì thuật ngữ kết quả quan sát thuật ngữ này đôi khi được sử dụng kết quả đo đơn lẻ, từ đó các lỗi hệ thống được loại trừ. Đồng thời, giá trị trung bình cộng được hiểu là kết quả đo trong chuỗi một số phép đo này. Điều này không làm thay đổi bản chất của các quy trình xử lý kết quả được trình bày dưới đây.

Khi xử lý thống kê các nhóm kết quả quan sát, cần thực hiện những điều sau: hoạt động :

1. Loại bỏ sai số hệ thống đã biết từ mỗi lần quan sát và thu được kết quả đã hiệu chỉnh của lần quan sát riêng lẻ x.

2. Tính giá trị trung bình cộng của các kết quả quan sát đã hiệu chỉnh, lấy làm kết quả đo:

3. Tính ước lượng độ lệch chuẩn

các nhóm quan sát:

Sẵn sàng kiểm tra lỗi nặng - có bất kỳ giá trị nào vượt quá ± 3 không S. Với luật phân phối chuẩn có xác suất thực tế bằng 1 (0,997), không giá trị nào của sự khác biệt này vượt quá giới hạn đã chỉ định. Nếu đúng như vậy thì các giá trị tương ứng cần được loại trừ khỏi việc xem xét và các phép tính cũng như đánh giá phải được lặp lại một lần nữa. S.

4. Tính toán ước lượng RMS của kết quả đo (trung bình

Môn số học)

5. Kiểm định giả thuyết về phân phối chuẩn của các kết quả quan sát.

Có nhiều phương pháp gần đúng khác nhau để kiểm tra tính chuẩn mực của sự phân bố các kết quả quan sát. Một số trong số chúng được đưa ra trong GOST 8.207-76. Nếu số lượng quan sát nhỏ hơn 15, theo GOST này, việc thuộc về phân phối chuẩn của chúng sẽ không được kiểm tra. Giới hạn tin cậy của sai số ngẫu nhiên chỉ được xác định nếu biết trước rằng kết quả của các quan sát thuộc phân phối này. Một cách gần đúng, bản chất của sự phân bố có thể được đánh giá bằng cách xây dựng một biểu đồ về các kết quả quan sát. Các phương pháp toán học để kiểm tra tính chuẩn tắc của một phân phối đã được thảo luận trong các tài liệu chuyên ngành.

6. Tính giới hạn tin cậy e của sai số ngẫu nhiên (thành phần ngẫu nhiên của sai số) của kết quả đo

ở đâu tq- Hệ số của sinh viên, phụ thuộc vào số lần quan sát và mức độ tin cậy. Ví dụ, khi N= 14, P= 0,95 tq= 2,16. Các giá trị của hệ số này được nêu trong phụ lục của tiêu chuẩn quy định.

7. Tính các giới hạn của tổng sai số hệ thống không loại trừ (TSE) của kết quả đo Q (theo công thức ở Mục 4.6).

8. Phân tích tỷ số của Q và:

Nếu, thì NSP bị bỏ qua so với các lỗi ngẫu nhiên và giới hạn sai số của kết quả D = e .. Nếu> 8, thì lỗi ngẫu nhiên có thể được bỏ qua và giới hạn sai số của kết quả D =Θ . Nếu cả hai bất đẳng thức đều không được thỏa mãn, thì biên sai số của kết quả được tìm thấy bằng cách xây dựng thành phần phân bố của sai số ngẫu nhiên và NSP theo công thức:, trong đó Đến- hệ số phụ thuộc vào tỷ lệ sai số ngẫu nhiên và NSP; S e- đánh giá tổng độ lệch chuẩn của kết quả đo. Ước tính của tổng độ lệch chuẩn được tính theo công thức:

.

Hệ số K được tính theo công thức kinh nghiệm:

.

Mức độ tin cậy để tính toán và phải giống nhau.

Sai số do áp dụng công thức cuối cùng cho thành phần của phân bố đồng nhất (đối với NSP) và bình thường (đối với lỗi ngẫu nhiên) đạt 12% ở mức độ tin cậy là 0,99.

9. Ghi lại kết quả đo. Có hai lựa chọn để viết kết quả đo, vì cần phải phân biệt giữa các phép đo, khi lấy giá trị của đại lượng đo là mục tiêu cuối cùng và phép đo, kết quả của chúng sẽ được sử dụng để tính toán hoặc phân tích thêm.

Trong trường hợp đầu tiên, chỉ cần biết tổng sai số của kết quả đo là đủ, và với sai số tin cậy đối xứng, kết quả đo được trình bày dưới dạng:, ở đâu

kết quả đo ở đâu.

Trong trường hợp thứ hai, cần biết các đặc điểm của các thành phần của sai số đo - ước tính độ lệch chuẩn của kết quả đo, các ranh giới của NSP, số lượng quan sát được thực hiện. Trong trường hợp không có dữ liệu về dạng hàm phân phối của các thành phần sai số của kết quả và cần xử lý thêm kết quả hoặc phân tích sai số, kết quả đo được trình bày dưới dạng:

Nếu các ranh giới của NSP được tính theo điều 4.6, thì xác suất tin cậy P được chỉ ra thêm.

Các ước lượng và đạo hàm của giá trị của chúng có thể được biểu thị ở cả dạng tuyệt đối, nghĩa là, bằng đơn vị của đại lượng đo và tương đối, tức là tỷ số giữa giá trị tuyệt đối của một đại lượng nhất định với kết quả đo. Trong trường hợp này, các phép tính theo công thức của phần này nên được thực hiện bằng cách sử dụng các đại lượng chỉ biểu thị ở dạng tuyệt đối hoặc tương đối.

Vật lý là một môn khoa học thực nghiệm, có nghĩa là các quy luật vật lý được thiết lập và kiểm tra bằng cách tích lũy và so sánh các dữ liệu thực nghiệm. Mục tiêu của hội thảo vật lý là để học sinh trải nghiệm các hiện tượng vật lý cơ bản, học cách đo chính xác các giá trị số của các đại lượng vật lý và so sánh chúng với các công thức lý thuyết.

Tất cả các phép đo có thể được chia thành hai loại - thẳng và gián tiếp.

Tại trực tiếp Trong các phép đo, giá trị của đại lượng mong muốn nhận được trực tiếp từ các số đọc của dụng cụ đo. Vì vậy, ví dụ, chiều dài được đo bằng thước, thời gian bằng đồng hồ, v.v.

Nếu đại lượng vật lý mong muốn không thể đo trực tiếp bằng thiết bị mà được biểu thị qua công thức thông qua các đại lượng đo được thì các phép đo đó được gọi là gián tiếp.

Phép đo bất kỳ đại lượng nào cũng không cho giá trị chính xác tuyệt đối của đại lượng này. Mỗi phép đo luôn chứa một số sai số (error). Sai số là sự khác biệt giữa giá trị đo được và giá trị thực.

Các lỗi được chia thành có hệ thống và ngẫu nhiên.

Có hệ thốngđược gọi là sai số không đổi trong toàn bộ chuỗi phép đo. Những sai số như vậy là do sự không hoàn hảo của dụng cụ đo (ví dụ, độ lệch 0 của thiết bị) hoặc phương pháp đo và về nguyên tắc có thể bị loại khỏi kết quả cuối cùng bằng cách đưa ra hiệu chỉnh thích hợp.

Sai số hệ thống cũng bao gồm cả sai số của các dụng cụ đo lường. Độ chính xác của bất kỳ thiết bị nào đều có giới hạn và được đặc trưng bởi cấp độ chính xác của nó, thường được chỉ định trên thang đo.

Ngẫu nhiênđược gọi là sai số, thay đổi trong các thử nghiệm khác nhau và có thể là tích cực và tiêu cực. Sai số ngẫu nhiên là do các nguyên nhân phụ thuộc cả vào thiết bị đo (ma sát, khe hở, v.v.) và điều kiện bên ngoài (rung động, dao động điện áp trong mạng, v.v.).

Không thể loại trừ sai số ngẫu nhiên theo kinh nghiệm, nhưng ảnh hưởng của chúng đến kết quả có thể được giảm bớt bằng các phép đo lặp lại.

Tính toán sai số trong các phép đo trực tiếp, giá trị trung bình và sai số tuyệt đối trung bình.

Giả sử rằng chúng ta đang thực hiện một loạt các phép đo X. Do sự hiện diện của các lỗi ngẫu nhiên, chúng ta thu được N những nghĩa khác nhau:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Theo kết quả đo, giá trị trung bình thường được lấy

Sự khác biệt giữa giá trị trung bình và kết quả tôi- phép đo thứ được gọi là sai số tuyệt đối của phép đo này

Là một phép đo sai số của giá trị trung bình, người ta có thể lấy giá trị trung bình của sai số tuyệt đối của một phép đo đơn lẻ

(2)

Giá trị
được gọi là sai số trung bình số học (hoặc trung bình tuyệt đối).

Khi đó kết quả đo cần được viết dưới dạng

(3)

Để mô tả độ chính xác của các phép đo, sai số tương đối được sử dụng, thường được biểu thị bằng phần trăm

(4)

Trong trường hợp chung, quy trình xử lý kết quả của các phép đo trực tiếp như sau (giả định rằng không có sai số hệ thống).

Trường hợp 1 Số lượng phép đo nhỏ hơn năm.

x, được định nghĩa là trung bình cộng của kết quả của tất cả các phép đo, tức là

2) Theo công thức (12), sai số tuyệt đối của các phép đo riêng lẻ được tính

3) Theo công thức (14), sai số tuyệt đối trung bình được xác định

.

4) Theo công thức (15), sai số tương đối trung bình của kết quả đo được tính

5) Ghi lại kết quả cuối cùng trong biểu mẫu sau:

Trường hợp 2. Số lượng phép đo là hơn năm.

1) Theo công thức (6), kết quả trung bình là

2) Theo công thức (12), sai số tuyệt đối của các phép đo riêng lẻ được xác định

3) Theo công thức (7), sai số bình phương trung bình của một phép đo đơn lẻ được tính

.

4) Tính độ lệch chuẩn cho giá trị trung bình của giá trị đo được theo công thức (9).

5) Kết quả cuối cùng được ghi lại dưới dạng sau

Đôi khi sai số đo ngẫu nhiên có thể nhỏ hơn giá trị mà thiết bị đo (dụng cụ) có thể đăng ký. Trong trường hợp này, đối với bất kỳ số lượng phép đo nào cũng cho kết quả tương tự. Trong những trường hợp như vậy, một nửa giá trị phân chia của thang đo của thiết bị (công cụ) được lấy làm sai số tuyệt đối trung bình. Giá trị này đôi khi được gọi là sai số giới hạn hoặc sai số của thiết bị và được ký hiệu (đối với dụng cụ vernier và đồng hồ bấm giờ, nó bằng với độ chính xác của thiết bị).

Đánh giá độ tin cậy của kết quả đo

Trong bất kỳ thí nghiệm nào, số lần đo của một đại lượng vật lý luôn bị giới hạn vì lý do này hay lý do khác. Về vấn đề này, nhiệm vụ có thể được đặt ra để đánh giá độ tin cậy của kết quả. Nói cách khác, xác định với xác suất có thể lập luận rằng sai số thực hiện trong trường hợp này không vượt quá giá trị định trước ε. Xác suất này được gọi là xác suất tin cậy. Hãy biểu thị nó bằng một chữ cái.

Một bài toán nghịch đảo cũng có thể được đặt ra: xác định các ranh giới của khoảng, sao cho với một xác suất cho trước, có thể lập luận rằng giá trị thực của các phép đo đại lượng sẽ không vượt ra ngoài khoảng tin cậy được chỉ định.

Khoảng tin cậy đặc trưng cho độ chính xác của kết quả thu được và khoảng tin cậy đặc trưng cho độ tin cậy của nó. Các phương pháp giải hai nhóm vấn đề này đều có sẵn và đã được phát triển cụ thể chi tiết cho trường hợp sai số đo được phân phối theo quy luật thông thường. Lý thuyết xác suất cũng cung cấp các phương pháp xác định số lượng thí nghiệm (các phép đo lặp lại) cung cấp độ chính xác nhất định và độ tin cậy của kết quả mong đợi. Trong công việc này, các phương pháp này không được xem xét (chúng tôi sẽ hạn chế đề cập đến chúng), vì các nhiệm vụ như vậy thường không được đặt ra khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm.

Tuy nhiên, mối quan tâm đặc biệt là trường hợp đánh giá độ tin cậy của kết quả phép đo các đại lượng vật lý với một số lượng rất nhỏ các phép đo lặp lại. Ví dụ, . Đây chính xác là trường hợp mà chúng ta thường gặp trong việc thực hiện các công việc trong phòng thí nghiệm trong vật lý. Khi giải các bài toán dạng này, nên sử dụng phương pháp dựa trên phân phối của Student (định luật).

Để thuận tiện cho việc áp dụng thực tế của phương pháp đang được xem xét, có các bảng mà bạn có thể xác định khoảng tin cậy tương ứng với một xác suất tin cậy cho trước hoặc giải bài toán nghịch đảo.

Dưới đây là các phần của bảng được đề cập có thể được yêu cầu khi đánh giá kết quả của các phép đo trong các lớp trong phòng thí nghiệm.

Ví dụ, giả sử các phép đo có độ chính xác như nhau (trong cùng điều kiện) của một đại lượng vật lý nhất định được thực hiện và giá trị trung bình của nó được tính. Yêu cầu tìm khoảng tin cậy tương ứng với mức tin cậy đã cho. Vấn đề thường được giải quyết theo cách sau đây.

Theo công thức tính đến (7), tính

Sau đó, đối với các giá trị đã cho N và tìm giá trị theo bảng (Bảng 2). Giá trị bạn đang tìm kiếm được tính toán dựa trên công thức

Khi giải bài toán nghịch đảo, tham số đầu tiên được tính bằng công thức (16). Giá trị mong muốn của xác suất tin cậy được lấy từ bảng (Bảng 3) cho số đã cho và tham số được tính toán.

Ban 2. Giá trị tham số cho một số thử nghiệm nhất định

và mức độ tự tin

N	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

bàn số 3 Giá trị của xác suất tin cậy cho một số thử nghiệm nhất định N và tham số ε

N		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Xử lý kết quả của các phép đo gián tiếp

Rất hiếm khi nội dung của một công việc trong phòng thí nghiệm hoặc một thí nghiệm khoa học được giảm bớt để thu được kết quả của phép đo trực tiếp. Đối với hầu hết các phần, đại lượng mong muốn là một hàm của một số đại lượng khác.

Nhiệm vụ của xử lý thực nghiệm với phép đo gián tiếp là tính toán giá trị có thể xảy ra nhất của giá trị mong muốn và ước tính sai số của phép đo gián tiếp dựa trên kết quả của phép đo trực tiếp của một số đại lượng (đối số) gắn với giá trị mong muốn bằng một phụ thuộc hàm nhất định.

Có một số cách để xử lý các phép đo gián tiếp. Hãy xem xét hai phương pháp sau đây.

Để xác định một số đại lượng vật lý bằng phương pháp đo gián tiếp.

Kết quả của phép đo trực tiếp các đối số x, y, z của nó được đưa ra trong Bảng. 4.

Bảng 4

Số kinh nghiệm	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
N				…

Cách đầu tiên để xử lý kết quả như sau. Sử dụng công thức được tính toán (17), giá trị mong muốn được tính toán dựa trên kết quả của mỗi thử nghiệm

(17)

Về nguyên tắc, phương pháp xử lý kết quả được mô tả có thể áp dụng trong mọi trường hợp đo gián tiếp, không có ngoại lệ. Tuy nhiên, nó phù hợp nhất để sử dụng khi số lần đo lặp lại của các đối số là nhỏ và công thức tính toán cho giá trị đo gián tiếp tương đối đơn giản.

Trong phương pháp thứ hai để xử lý kết quả thí nghiệm, đầu tiên, sử dụng kết quả của các phép đo trực tiếp (Bảng 4), giá trị trung bình cộng của từng đối số, cũng như sai số của phép đo của chúng, trước tiên sẽ được tính toán. Thay thế , , , ... vào công thức tính (17), xác định giá trị có thể xảy ra nhất của đại lượng đo

(17*)