Mathcad là một công cụ phần mềm, một môi trường để thực hiện các phép tính toán học và kỹ thuật khác nhau trên máy tính, được trang bị giao diện đồ họa dễ học và dễ sử dụng, cung cấp cho người dùng các công cụ để làm việc với các công thức, số, đồ thị và văn bản. Hơn một trăm toán tử và các hàm logic có sẵn trong môi trường Mathcad, được thiết kế để giải các bài toán toán học có độ phức tạp khác nhau.

Để tự động hóa các phép tính toán học, kỹ thuật và khoa học, nhiều công cụ tính toán được sử dụng - từ máy vi tính có thể lập trình đến siêu máy tính. Và, tuy nhiên, những tính toán như vậy đối với nhiều người vẫn là một vấn đề khó khăn. Hơn nữa, việc sử dụng máy tính để tính toán đã tạo ra những khó khăn mới: trước khi bắt đầu tính toán, người dùng phải nắm vững các kiến ​​thức cơ bản về thuật toán, học một hoặc nhiều ngôn ngữ lập trình, cũng như các phương pháp tính toán số. Tình hình đã thay đổi đáng kể sau khi phát hành các hệ thống phần mềm chuyên dụng để tự động hóa các tính toán toán học và kỹ thuật.

Những tổ hợp như vậy bao gồm các gói phần mềm Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive,… Mathcad chiếm một vị trí đặc biệt trong loạt bài này.

Mathcad là một hệ thống tích hợp để giải quyết các vấn đề toán học, kỹ thuật và khoa học. Nó chứa một trình soạn thảo văn bản và công thức, một máy tính, các công cụ đồ họa khoa học và kinh doanh, cũng như một cơ sở dữ liệu khổng lồ về thông tin tham khảo, cả toán học và kỹ thuật, được thiết kế như một cuốn sách tham khảo được tích hợp trong Mathcad, một bộ sách điện tử và "giấy" thông thường "sách, bao gồm và bằng tiếng Nga

Trình soạn thảo văn bản được sử dụng để nhập và chỉnh sửa văn bản. Các văn bản là các chú thích và các biểu thức toán học có trong chúng không được thực thi. Văn bản có thể bao gồm các từ, ký hiệu toán học, biểu thức và công thức.

Bộ xử lý công thức cung cấp một tập hợp công thức "nhiều tầng" tự nhiên trong ký hiệu toán học quen thuộc (phép chia, phép nhân, căn bậc hai, tích phân, tổng, v.v.). Phiên bản mới nhất của Mathcad hỗ trợ đầy đủ các chữ cái Cyrillic trong nhận xét, công thức và đồ thị.

Máy tính cung cấp các phép tính bằng cách sử dụng các công thức toán học phức tạp, có một bộ lớn các hàm toán học được tích hợp sẵn, cho phép bạn tính chuỗi, tổng, tích, tích phân, đạo hàm, làm việc với số phức, giải phương trình tuyến tính và phi tuyến, cũng như phương trình vi phân và hệ thống, giảm thiểu và tối đa hóa các chức năng, thực hiện các phép toán vectơ và ma trận, phân tích thống kê, v.v. Bạn có thể dễ dàng thay đổi độ sâu bit và cơ số của các số (nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân), cũng như lỗi của các phương pháp lặp lại. Tự động kiểm soát kích thước và tính toán lại trong các hệ thống đo lường khác nhau (SI, GHS, Anh-Mỹ, cũng như tùy chỉnh).

Mathcad tích hợp sẵn các công cụ toán học biểu tượng cho phép bạn giải quyết các vấn đề thông qua các phép biến đổi phân tích trên máy tính.

GPU được sử dụng để tạo đồ thị và biểu đồ. Nó kết hợp sự dễ dàng giao tiếp với người dùng với sức mạnh của đồ họa khoa học và kinh doanh. Đồ họa là tập trung vào việc giải quyết các vấn đề toán học điển hình. Có thể nhanh chóng thay đổi kiểu và kích thước của đồ thị, phủ nhãn văn bản lên chúng và di chuyển chúng đến bất kỳ vị trí nào trong tài liệu.

Mathcad là một hệ thống phổ quát, tức là có thể được sử dụng trong bất kỳ lĩnh vực khoa học và công nghệ nào - bất cứ nơi nào các phương pháp toán học được áp dụng. Viết các lệnh trong hệ thống Mathcad bằng một ngôn ngữ rất gần với ngôn ngữ chuẩn của các phép tính toán học giúp đơn giản hóa việc xây dựng và giải các bài toán.

Mathcad được tích hợp với tất cả các hệ thống tính điểm máy tính khác.

Mathcad giúp bạn dễ dàng giải quyết các vấn đề như:

nhập các biểu thức toán học khác nhau trên máy tính (để tính toán thêm hoặc tạo tài liệu, bản trình bày, trang Web hoặc sách "giấy" điện tử và thông thường);

thực hiện các phép tính toán học (cả phương pháp phân tích và phương pháp số);

chuẩn bị đồ thị (cả hai chiều và ba chiều) với các kết quả của phép tính;

nhập dữ liệu ban đầu và xuất kết quả ra tệp văn bản hoặc tệp có cơ sở dữ liệu ở các định dạng khác;

chuẩn bị báo cáo công việc dưới dạng văn bản in;

chuẩn bị các trang Web và công bố kết quả trên Internet;

thu thập thông tin tham khảo khác nhau

và nhiều nhiệm vụ khác.

Kể từ phiên bản 14, Mathcad đã được tích hợp với Pro / ENGINEER (cũng như với SolidWorks). Tích hợp Mathcad và Pro / ENGINEER dựa trên giao tiếp hai chiều giữa các ứng dụng này. Người dùng của họ có thể dễ dàng liên kết bất kỳ tệp Mathcad nào với bộ phận và bộ phận lắp ráp của Pro / ENGINEER bằng cách sử dụng tính năng phân tích tính năng của Pro / ENGINEER.

Mathcad tạo ra một môi trường máy tính thuận tiện cho nhiều phép tính toán học và tài liệu về kết quả công việc theo các tiêu chuẩn đã được phê duyệt. Mathcad cho phép bạn tạo các công cụ tính toán được công ty và ngành công nghiệp chứng nhận trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ khác nhau, cung cấp một phương pháp luận duy nhất cho tất cả các tổ chức là một phần của tập đoàn hoặc ngành

Phiên bản mới nhất của Mathcad hỗ trợ 9 ngôn ngữ, cho phép tính toán mạnh mẽ hơn và rõ ràng hơn.

NEEDHAM (Massachusetts). Vào ngày 12 tháng 2 năm 2007, PTC (Nasdaq được liệt kê: PMTC), một công ty phát triển hệ thống CAD / CAM / CAE / PLM, đã công bố phát hành Mathcad 14.0, phiên bản mới nhất của hệ thống tự động hóa tính toán kỹ thuật phổ biến. Kể từ khi mua lại Mathsoft vào tháng 4 năm 2006, PTC đã tập trung nỗ lực để mở rộng hơn nữa phạm vi địa lý của công nghệ Mathcad và tăng đáng kể cơ sở người dùng của mình. Mathcad 14.0 mở rộng đáng kể khả năng của người dùng trong việc giải quyết các vấn đề tính toán ngày càng tăng, cải thiện tính liên kết của các tài liệu tính toán trong toàn bộ quá trình phát triển sản phẩm.

Trong sự phân chia toàn cầu của quá trình phát triển sản phẩm ngày nay, các tính toán khoa học và kỹ thuật đang trở nên cực kỳ quan trọng. Với việc phát hành Mathcad 14.0, PTC cung cấp hỗ trợ Unicode đầy đủ và sẽ sớm cung cấp sản phẩm bằng chín ngôn ngữ. Điểm mới trong số đó sẽ là các ngôn ngữ như tiếng Ý, tiếng Tây Ban Nha, tiếng Hàn và cả tiếng Trung - phồn thể và giản thể. Hỗ trợ ngôn ngữ mở rộng trong Mathcad 14.0 sẽ cho phép các nhóm phân tán về mặt địa lý thực hiện và ghi chép các phép tính bằng ngôn ngữ địa phương của họ và do đó, tăng năng suất bằng cách tăng tốc độ và độ chính xác, cũng như giảm lỗi xảy ra khi dịch từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác.

Mathcad 14.0 cũng cho phép bạn thực hiện các phép tính phức tạp hơn trong khi vẫn duy trì độ rõ ràng của chúng với các tính năng mới của WorkSheet (một tài liệu được mở trong môi trường Mathcad), các công cụ đánh giá số trực tuyến bổ sung và bộ ký tự mở rộng. Điều này sẽ giúp người dùng tìm ra công thức, hiển thị quá trình tính toán và ghi lại các phép tính. Cuối cùng, các tiện ích bổ sung chuyên dụng sẽ cho phép người dùng làm việc trên nhiều nhiệm vụ kỹ thuật hơn.

Tích hợp Mathcad và Pro / ENGINEER dựa trên giao tiếp hai chiều giữa các ứng dụng này. Người dùng của họ có thể dễ dàng liên kết bất kỳ tệp Mathcad nào với một bộ phận và tổ hợp Pro / ENGINEER bằng cách sử dụng tính năng phân tích tính năng Pro / ENGINEER. Các giá trị cơ bản được tính toán trong hệ thống Mathcad có thể được dịch thành các tham số và kích thước của mô hình CAD để điều khiển một đối tượng hình học. Các thông số từ mô hình Pro / ENGINEER cũng có thể được nhập vào Mathcad cho các tính toán kỹ thuật tiếp theo. Khi thay đổi các tham số, sự tích hợp lẫn nhau của hai hệ thống cho phép bạn cập nhật động các phép tính và bản vẽ của đối tượng. Hơn nữa, các mô hình Pro / ENGINEER điều khiển bằng Mathcad giờ đây có thể được xác thực bằng cách sử dụng các mô-đun mô phỏng Pro / ENGINEER như Pro / ENGINEER Mechanica®, Structural And Thermal Simulation, Fatique Advisor Option và Mechanism Dynamics Option.

Mathcad 14.0 có gì mới?

Song song mới của các toán tử giao diện ("Hai trong một")

Định dạng số trên biểu đồ

Tìm / Thay thế các thay đổi lệnh

So sánh lệnh

Mới trong việc giải quyết ODE

Phương tiện mới của toán học biểu tượng

Hỗ trợ bảng mã Unicode

Giao diện người dùng

Giao diện người dùng có nghĩa là một tập hợp các công cụ vỏ đồ họa Math CAD cung cấp khả năng điều khiển hệ thống dễ dàng, cả từ bàn phím và chuột. Kiểm soát được hiểu chỉ là một tập hợp các ký hiệu cần thiết, công thức, chú thích văn bản, v.v. và khả năng chuẩn bị hoàn chỉnh tài liệu (Bảng tính) và sách điện tử trong môi trường MathCAD với việc khởi chạy tiếp theo trong thời gian thực. Giao diện người dùng của hệ thống được thiết kế để người dùng có các kỹ năng cơ bản làm việc với các ứng dụng Windows có thể bắt đầu làm việc với MathCAD ngay lập tức.

Cửa sổ chỉnh sửa.

Menu chính của hệ thống.

Dòng thứ hai của cửa sổ hệ thống là menu chính. Mục đích của các lệnh của nó được đưa ra dưới đây:

Tệp (File) - làm việc với tệp, Internet và e-mail;

NGẮT TRANG--

Menu thả xuống chứa các lệnh tiêu chuẩn cho các ứng dụng Windows.

Edit (Chỉnh sửa) - chỉnh sửa tài liệu;

Menu thả xuống cũng chứa các lệnh tiêu chuẩn cho các ứng dụng Windows. Hầu hết chúng chỉ khả dụng nếu một hoặc nhiều vùng (văn bản, công thức, đồ thị, v.v.) được chọn trong tài liệu.

Xem (Tổng quan) - thay đổi phương tiện xem xét;

Thanh công cụ (Panels) - cho phép bạn hiển thị hoặc ẩn các thanh công cụ Standard (Chuẩn), Formatting (Định dạng), Math (Toán học).

Thanh trạng thái - Bật hoặc tắt hiển thị thanh trạng thái hệ thống.

Ruler (thước kẻ) - bật / tắt thước kẻ.

Vùng (Đường viền) - Hiển thị đường viền của các vùng (văn bản, đồ họa, công thức).

Zoom Zoom).

Làm mới - Làm mới nội dung của màn hình.

Hoạt hình (Animation) - Lệnh cho phép bạn tạo hoạt ảnh.

Phát lại (Trình phát) - Phát lại hoạt ảnh được lưu trữ trong tệp có phần mở rộng AVI.

Preferences (Cài đặt) - Một trong các tab của cửa sổ bật lên (General) cho phép bạn thiết lập một số thông số của chương trình không ảnh hưởng đến các phép tính, tab còn lại (Internet) dùng để nhập thông tin khi làm việc cùng với MathCAD -tài liệu qua Internet.

Chèn (Insert) - Các lệnh trên menu này cho phép bạn đặt đồ họa, hàm, siêu liên kết, thành phần và nhúng các đối tượng vào tài liệu MathCAD.

Định dạng - thay đổi định dạng của các đối tượng

Phương trình - Định dạng công thức và tạo kiểu của riêng bạn để biểu diễn dữ liệu

Kết quả (Result) - Cho phép thiết lập định dạng trình bày kết quả của các phép tính. (Xem mục 1.4 của bài giảng này)

Văn bản (Text) - Định dạng đoạn văn bản (phông chữ, kích thước, kiểu)

Paragraf (Đoạn văn) - Thay đổi định dạng của đoạn văn hiện tại (thụt lề, căn lề).

Tab (Lập bảng) - Đặt vị trí của các điểm đánh dấu bảng.

Phong cách (Style) - Định dạng đoạn văn bản.

Thuộc tính (Properties) - Tab Hiển thị (Display) cho phép bạn thiết lập màu nền cho các vùng văn bản và đồ họa quan trọng nhất; hình ảnh được chèn vào tài liệu (Chèn -> Hình ảnh) cho phép bạn đóng nó vào khung, trả lại kích thước ban đầu. Vkvadka Calculation (Tính toán) cho phép bạn bật và tắt tính toán cho công thức đã chọn; trong trường hợp thứ hai, một hình chữ nhật nhỏ màu đen xuất hiện ở góc trên bên phải của vùng công thức và công thức trở thành một chú thích.

Graf (Đồ thị) - Cho phép bạn thay đổi các tham số để hiển thị đồ thị

Các vùng riêng biệt - Cho phép bạn mở rộng các vùng chồng chéo.

Căn chỉnh các vùng - Căn chỉnh các vùng đã chọn theo chiều ngang hoặc chiều dọc.

Headers / Footers (Đầu trang và chân trang) - tạo và chỉnh sửa đầu trang và chân trang.

Repaganite Now (Đánh số lại các trang) - Tạo một bảng phân tích tài liệu hiện tại thành các trang.

Math (Toán học) - quản lý quá trình tính toán; Có hai chế độ tính toán trong MathCAD: tự động và thủ công. Ở chế độ tự động, kết quả tính toán được cập nhật hoàn toàn khi có bất kỳ thay đổi nào trong công thức.

Tính toán tự động - Cho phép bạn chuyển đổi chế độ tính toán.

Tính toán - Trong chế độ tính toán thủ công, cho phép bạn tính toán lại phần hiển thị của màn hình.

Tối ưu hóa (Optimization) - Sử dụng lệnh này, bạn có thể buộc MathCAD thực hiện các phép tính tượng trưng trước khi đánh giá bằng số của biểu thức và khi tìm thấy dạng nhỏ gọn hơn của biểu thức, hãy sử dụng lệnh này. Nếu biểu thức đã được tối ưu hóa, thì một dấu hoa thị nhỏ màu đỏ sẽ xuất hiện ở bên phải biểu thức. Nhấp đúp vào nó sẽ mở ra một cửa sổ chứa kết quả được tối ưu hóa.

Tùy chọn - cho phép bạn thiết lập các tùy chọn tính toán

Symbolik (Biểu tượng) - lựa chọn các hoạt động của bộ xử lý tượng trưng;

Các vị trí của menu này được thảo luận chi tiết trong Bài giảng 6, dành cho các phép tính ký hiệu trong hệ thống MathCAD.

Cửa sổ (Window) - quản lý các cửa sổ hệ thống;

Help (?) - làm việc với cơ sở dữ liệu tham chiếu về hệ thống;

Trợ giúp Mathcad (Trợ giúp cho MathCAD) - chứa ba tab: Nội dung - Trợ giúp được sắp xếp theo chủ đề; Index - mục lục môn học; Tìm kiếm - tìm khái niệm mong muốn khi nhập nó vào biểu mẫu.

Trung tâm tài nguyên - Trung tâm thông tin có tổng quan về khả năng tính toán của MathCAD (Tổng quan và Hướng dẫn), trợ giúp nhanh dưới dạng các ví dụ từ các lĩnh vực toán học khác nhau (Bảng tính và Bảng tham chiếu).

Mẹo trong ngày - Cửa sổ bật lên với các mẹo hữu ích (xuất hiện khi hệ thống khởi động).

Sách Mở - cho phép bạn mở tài liệu tham khảo hệ thống MathCAD.

About Mathcad (Về chương trình Mathcad) - thông tin về phiên bản của chương trình, bản quyền và người dùng.

Mỗi mục của menu chính có thể được kích hoạt. Để làm điều này, chỉ cần trỏ vào nó bằng con trỏ - mũi tên chuột và nhấn nút bên trái của nó. Bạn cũng có thể nhấn phím F10 và sử dụng các phím điều hướng bên phải và bên trái. Lựa chọn sau đó được sửa bằng cách nhấn phím Enter. Nếu bất kỳ vị trí nào của menu chính được kích hoạt, nó sẽ hiển thị menu con thả xuống với danh sách các thao tác khả dụng và không khả dụng (nhưng có thể trong tương lai). Di chuyển qua danh sách menu con và chọn thao tác mong muốn được thực hiện theo cách tương tự như được mô tả cho menu chính.

Thanh công cụ chuẩn.

Dòng thứ ba của cửa sổ hệ thống bị chiếm bởi Hộp công cụ. Nó chứa một số nhóm nút điều khiển với các biểu tượng, mỗi nhóm sao chép một trong những thao tác quan trọng nhất của menu chính. Ngay sau khi bạn dừng con trỏ chuột trên bất kỳ biểu tượng nào trong số này, văn bản sẽ xuất hiện trong hộp màu vàng giải thích chức năng của các biểu tượng. Xem xét hoạt động của các nút để điều khiển hệ thống nhanh chóng.

Các nút thao tác với tệp.

Tài liệu của hệ thống MathCAD là các tệp, tức là các đơn vị lưu trữ được đặt tên trên đĩa từ. Tệp có thể được tạo, tải xuống (mở), ghi và in trên máy in. Các thao tác có thể xảy ra với tệp được trình bày trên thanh công cụ bởi nhóm ba nút đầu tiên:

Bảng tính mới (Tạo) - tạo một tài liệu mới với việc xóa cửa sổ chỉnh sửa;

Mở Trang tính (Mở) - tải tài liệu đã tạo trước đó từ hộp thoại;

Lưu Worksheet - ghi lại tài liệu hiện tại với tên của nó.

In và kiểm soát tài liệu.

Print Worksheet (Bản in) - bản in tài liệu trên máy in;

Xem trước khi in (View) - bản xem trước của tài liệu;

Kiểm tra Chính tả - kiểm tra chính tả của tài liệu.

Các nút cho các thao tác chỉnh sửa.

Trong quá trình chuẩn bị tài liệu, chúng phải được chỉnh sửa, tức là sửa đổi và bổ sung.

Tiếp tục
--NGẮT TRANG--

Cắt (Cut) - chuyển phần đã chọn của tài liệu vào khay nhớ tạm với việc xóa phần này của tài liệu;

Sao chép (Copy) - sao chép phần đã chọn của tài liệu vào khay nhớ tạm trong khi lưu phần đã chọn của tài liệu;

Dán (Chèn) - chuyển nội dung của khay nhớ tạm sang cửa sổ chỉnh sửa tại vị trí được chỉ định bởi con trỏ chuột;

Hoàn tác - hủy thao tác chỉnh sửa trước đó;

Ba thao tác cuối cùng liên quan đến việc sử dụng khay nhớ tạm. Nó nhằm mục đích lưu trữ tạm thời dữ liệu và chuyển chúng từ phần này sang phần khác của tài liệu hoặc để tổ chức trao đổi dữ liệu giữa các ứng dụng khác nhau.

Các nút vị trí chặn.

Tài liệu bao gồm các khối khác nhau: văn bản, chính thức, đồ họa, v.v. Các khối được hệ thống xem, diễn giải và thực thi. Xem từ phải sang trái và từ dưới lên trên.

/> - Align Across (Căn chỉnh theo chiều ngang) - các khối được căn chỉnh theo chiều ngang.

/> - Align Down - các khối được căn chỉnh theo chiều dọc, từ trên xuống dưới.

Các biểu đồ tượng hình của các nút này mô tả các khối và các tùy chọn được chỉ định cho vị trí của chúng.

Các nút thao tác biểu đạt

Các khối công thức thường là các biểu thức được tính toán hoặc các biểu thức là một phần của các hàm mới do người dùng định nghĩa. Các biểu tượng được sử dụng để làm việc với các biểu thức.

Các nhóm nút sau đây dành riêng cho hệ thống MathCAD.

/> Chèn Hàm - chèn một hàm từ danh sách xuất hiện trong hộp thoại;

/> Insert Unit (Chèn đơn vị) - chèn đơn vị đo lường;

Tiếp cận các tính năng mới của MathCAD.

Bắt đầu từ phiên bản MathCAD 7.0, các nút mới đã xuất hiện cho phép truy cập vào các tính năng hệ thống mới:

/> Trình hướng dẫn thành phần - mở cửa sổ Trình hướng dẫn, cho phép dễ dàng truy cập vào tất cả các thành phần hệ thống;

/> Ran Math Connex (Chạy hệ thống Math Connex) - chạy hệ thống khuyến khích các thiết bị khối.

Các nút điều khiển tài nguyên.

/> Trung tâm tài nguyên - cấp quyền truy cập vào trung tâm tài nguyên;

/> Trợ giúp (Help) - cấp quyền truy cập vào các tài nguyên của cơ sở dữ liệu trợ giúp của hệ thống.

Bảng định dạng.

Dòng thứ tư ở đầu màn hình chứa các điều khiển phông chữ điển hình:

Phong cách - Công tắc chọn kiểu;

Phông chữ - Chuyển đổi để chọn bộ ký tự;

Kích thước điểm - Chuyển đổi để chọn kích thước ký tự;

Bold - Đặt các ký tự in đậm;

Italik - Đặt các ký tự in nghiêng;

Gạch chân - Đặt các ký tự được gạch chân;

Left Align - Đặt căn chỉnh bên trái;

Căn chỉnh giữa - Đặt căn chỉnh cho chính giữa;

Right Align - Đặt căn chỉnh phù hợp.

Cho đến khi tập hợp các phần tử tài liệu được khởi động, một số nút được mô tả và các đối tượng giao diện người dùng khác ở trạng thái bị động. Đặc biệt, không có nhãn trong các hộp chuyển đổi thanh định dạng. Các biểu tượng và công tắc sẽ hoạt động ngay khi có nhu cầu sử dụng.

Ở cuối màn hình, ngoài thanh cuộn ngang, còn có một dòng khác - thanh trạng thái. Nó hiển thị thông tin dịch vụ, nhận xét ngắn gọn, số trang, v.v ... Thông tin này rất hữu ích để đánh giá nhanh trạng thái của hệ thống trong khi làm việc với nó.

Sắp xếp các thanh công cụ toán học.

Để nhập các ký hiệu toán học trong MathCAD, bảng sắp chữ có thể di chuyển thuận tiện với các dấu hiệu được sử dụng. Chúng phục vụ để xuất ra các khoảng trống - các mẫu dấu hiệu toán học (số, dấu hiệu của phép tính số học, ma trận, dấu hiệu của tích phân, đạo hàm, v.v.). Để hiển thị bảng Math, thực hiện lệnh View -> Toolbar -> Math. Bảng sắp chữ xuất hiện trong cửa sổ chỉnh sửa tài liệu khi các biểu tượng tương ứng được kích hoạt - dòng đầu tiên của các biểu tượng điều khiển hệ thống. Sử dụng bảng sắp chữ chung, bạn có thể hiển thị tất cả các bảng cùng một lúc hoặc chỉ những bảng cần thiết cho công việc. Để đặt mẫu được yêu cầu với sự trợ giúp của họ, chỉ cần đặt con trỏ vào vị trí mong muốn của cửa sổ chỉnh sửa (dấu thập đỏ trên màn hình màu) và sau đó kích hoạt biểu tượng của mẫu mong muốn bằng cách đặt con trỏ chuột vào đó và nhấn nút bên trái của nó.

Nhiều chức năng và hoạt động được chèn vào tài liệu bằng bảng sắp chữ toán học có thể được đặt vào tài liệu bằng phím tắt. Đồng thời, công việc trong hệ thống MathCAD trở nên hiệu quả hơn. Chúng tôi khuyên bạn nên ghi nhớ các phím tắt cho ít nhất một số lệnh được sử dụng phổ biến nhất.

Chi tiết hơn về cách làm việc với các bảng bổ sung được kích hoạt bởi các nút của bảng Toán học sẽ được mô tả trong các phần liên quan.

1. Cửa sổ làm việc MathCAD

· Bảng điều khiển toán học(Hình 1.4).

Cơm. 1.4. Bảng toán học

Nhấp vào nút trên thanh công cụ toán học sẽ mở ra một thanh công cụ bổ sung:

2. Các yếu tố của ngôn ngữ MathCAD

Các phần tử cơ bản của biểu thức toán học MathCAD bao gồm toán tử, hằng số, biến, mảng và hàm.

2.1 Các nhà khai thác

Các nhà khai thác - các phần tử của MathCAD mà bạn có thể tạo các biểu thức toán học. Ví dụ, chúng bao gồm các ký hiệu cho các phép toán số học, các dấu hiệu để tính tổng, tích, đạo hàm, tích phân, v.v.

Toán tử định nghĩa:

a) hành động được thực hiện khi có các giá trị nhất định của toán hạng;

b) có bao nhiêu, ở đâu và những toán hạng nào nên được nhập vào toán tử.

Toán hạng - số hoặc biểu thức mà toán tử tác động lên. Ví dụ, trong biểu thức 5! +3, các số 5! và 3 là toán hạng của toán tử "+" (cộng), và số 5 là toán hạng của giai thừa (!).

Bất kỳ toán tử nào trong MathCAD đều có thể được nhập theo hai cách:

bằng cách nhấn một phím (tổ hợp phím) trên bàn phím;

sử dụng bảng toán học.

Các câu lệnh sau được sử dụng để gán hoặc hiển thị nội dung của vị trí bộ nhớ được liên kết với một biến:

Dấu hiệu chuyển nhượng (nhập bằng cách nhấn phím : trên bàn phím (dấu hai chấm trong bố cục bàn phím tiếng Anh) hoặc bằng cách nhấn vào nút tương ứng trên bảng điều khiển Máy tính );

Nhiệm vụ này được gọi là địa phương. Trước lần gán này, biến không được xác định và không thể được sử dụng.

Toán tử gán toàn cục. Bài tập này có thể được thực hiện ở bất kỳ đâu trong tài liệu. Ví dụ: nếu một biến được gán giá trị theo cách này ở cuối tài liệu, thì biến đó sẽ có cùng giá trị ở đầu tài liệu.

Toán tử bình đẳng gần đúng (x1). Dùng trong giải hệ phương trình. Vào bằng cách nhấn một phím ; trên bàn phím (dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh) hoặc bằng cách nhấn vào nút tương ứng trên Bảng Boolean.

Một toán tử (đơn giản bằng) được dành riêng để xuất ra giá trị của một hằng số hoặc biến.

Các phép tính đơn giản nhất

Quá trình tính toán được thực hiện bằng cách sử dụng:

Bảng Máy tính, Bảng Giải tích và Bảng Ước tính.

Chú ý. Nếu cần phải chia toàn bộ biểu thức trong tử số, thì trước tiên nó phải được chọn bằng cách nhấn phím cách trên bàn phím hoặc bằng cách đặt nó trong dấu ngoặc.

2.2 Hằng số

Hằng số - các đối tượng được đặt tên giữ một số giá trị không thể thay đổi.

Ví dụ, = 3,14.

Hằng số thứ nguyên là các đơn vị đo lường thông dụng. Ví dụ: mét, giây, v.v.

Để viết hằng số chiều, bạn phải nhập dấu * (nhân) sau số, chọn mục menu Chènđoạn dưới Đơn vị. Trong các phép đo, các loại được bạn biết đến nhiều nhất: Chiều dài - chiều dài (m, km, cm); Khối lượng - trọng lượng (g, kg, t); Time - thời gian (phút, giây, giờ).

2.3 Các biến

Biến là các đối tượng được đặt tên có một số giá trị có thể thay đổi khi chương trình chạy. Các biến có thể là số, chuỗi, ký tự, v.v. Các biến được gán giá trị bằng cách sử dụng dấu gán (: =).

Chú ý. MathCAD coi các chữ cái viết hoa và viết thường là các mã định danh khác nhau.

Các biến hệ thống

TẠI MathCAD chứa một nhóm nhỏ các đối tượng đặc biệt không thể được quy cho lớp hằng số hoặc lớp biến, giá trị của chúng được xác định ngay sau khi chương trình được khởi động. Tốt hơn là nên đếm chúng biến hệ thống. Ví dụ, đây là TOL - lỗi của phép tính số, ORIGIN - giới hạn dưới của giá trị chỉ số chỉ số của vectơ, ma trận, v.v. Nếu cần, bạn có thể đặt các giá trị khác cho các biến này.

Các biến được xếp hạng

Các biến này có một loạt các giá trị cố định, có thể là số nguyên hoặc thay đổi theo một bước nhất định từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối cùng.

Một biểu thức được sử dụng để tạo một biến phạm vi:

Tên = N bắt đầu ,(N bắt đầu + Bước) .N chấm dứt ,

trong đó Tên là tên của biến;

N begin - giá trị ban đầu;

Step - bước được chỉ định để thay đổi biến;

N end - giá trị cuối.

Các biến xếp hạng được sử dụng rộng rãi trong việc vẽ biểu đồ. Ví dụ, để vẽ đồ thị của một số hàm f(x) trước hết, bạn cần tạo một loạt các giá trị biến x- nó phải là một biến có phạm vi hoạt động.

Chú ý. Nếu bạn không chỉ định một bước trong phạm vi biến, chương trình sẽ tự động lấy nó bằng 1.

Ví dụ . Biến đổi x thay đổi trong phạm vi từ -16 đến +16 trong các bước 0,1

Để viết một biến có phạm vi, bạn sẽ nhập:

- tên biến ( x);

- dấu chỉ định (: =)

- giá trị đầu tiên của phạm vi (-16);

- dấu phẩy;

- giá trị thứ hai của phạm vi, là tổng của giá trị đầu tiên và bước (-16 + 0,1);

- dấu chấm lửng ( . ) - thay đổi biến trong giới hạn đã cho (dấu chấm lửng được nhập bằng cách nhấn dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh);

- giá trị cuối cùng của phạm vi (16).

Kết quả là, bạn sẽ nhận được: x := -16,-16+0.1.16.

Bảng đầu ra

Bất kỳ biểu thức nào có các biến được xếp hạng sau dấu bằng sẽ bắt đầu bảng đầu ra.

Bạn có thể chèn các giá trị số vào bảng đầu ra và sửa chúng.

Biến với chỉ mục

Biến với chỉ mục- là một biến được gán một tập hợp các số không liên quan, mỗi biến có một số (chỉ số) riêng.

Chỉ mục được nhập bằng cách nhấn vào dấu ngoặc vuông bên trái trên bàn phím hoặc sử dụng nút x N trên bảng điều khiển Máy tính.

Bạn có thể sử dụng hằng số hoặc biểu thức làm chỉ mục. Để khởi tạo một biến có chỉ mục, bạn phải nhập các phần tử của mảng, phân tách chúng bằng dấu phẩy.

Ví dụ. Nhập các biến chỉ số.

Các giá trị số được nhập vào bảng được phân tách bằng dấu phẩy;

Xuất giá trị của phần tử đầu tiên của vectơ S;

Xuất ra giá trị của phần tử 0 của vectơ S.

2.4 Mảng

mảng - một tập hợp được đặt tên duy nhất của một số hữu hạn các phần tử số hoặc ký tự, được sắp xếp theo một cách nào đó và có địa chỉ cụ thể.

Trong gói MathCAD mảng của hai loại phổ biến nhất được sử dụng:

một chiều (vectơ);

hai chiều (ma trận).

Bạn có thể xuất ma trận hoặc mẫu vectơ theo một trong các cách sau:

chọn mục menu Chèn - Ma trận;

nhấn tổ hợp phím Điều khiển + M;

nhấn nút trên bảng điều khiển và vectơ và ma trận.

Kết quả là, một hộp thoại sẽ xuất hiện trong đó số hàng và cột được yêu cầu được đặt:

Hàng- số dòng

cột- số cột Nếu một ma trận (vectơ) cần được đặt tên, thì tên của ma trận (vectơ) được nhập trước, sau đó là toán tử gán, rồi đến mẫu ma trận.

Ví dụ:

Ma trận - mảng hai chiều có tên M n, m, gồm n hàng và m cột.

Bạn có thể thực hiện các phép toán khác nhau trên ma trận.

2.5 Chức năng

Hàm số - một biểu thức mà theo đó một số phép tính được thực hiện với các đối số và giá trị số của nó được xác định. Ví dụ về hàm: tội(x), rám nắng(x) và vân vân.

Các hàm trong gói MathCAD có thể được tích hợp sẵn hoặc do người dùng định nghĩa. Các cách để chèn một hàm nội tuyến:

Chọn mục menu Chèn — Hàm số.

Nhấn tổ hợp phím Điều khiển + E.

Nhấp vào nút trên thanh công cụ.

Nhập tên của hàm trên bàn phím.

Các hàm người dùng thường được sử dụng khi cùng một biểu thức được đánh giá nhiều lần. Để đặt một chức năng người dùng:

Nhập tên của hàm với dấu hiệu bắt buộc của đối số trong ngoặc, ví dụ, f (x);

Nhập toán tử gán (: =);

Nhập một biểu thức được tính toán.

Ví dụ. f (z): = sin (2 z 2)

3. Định dạng số

Trong MathCAD, bạn có thể thay đổi định dạng đầu ra của các số. Thông thường các phép tính được thực hiện với độ chính xác là 20 chữ số, nhưng không phải tất cả các số liệu quan trọng đều được hiển thị. Để thay đổi định dạng số, hãy bấm đúp vào kết quả số mong muốn. Cửa sổ định dạng số sẽ xuất hiện, mở trên tab con số Sự sắp xếp (Định dạng Số) với các định dạng sau:

o Chung (Chính) - là mặc định. Các số được hiển thị theo thứ tự (ví dụ: 1.2210 5). Số lượng dấu hiệu của phần định trị được xác định trong trường số mũ Ngưỡng(Ngưỡng ký hiệu hàm mũ). Khi vượt quá ngưỡng, số lượng được hiển thị theo thứ tự. Số chữ số sau dấu thập phân thay đổi trong trường con số của số thập phân nơi.

o Số thập phân (Số thập phân) - Biểu diễn số thập phân của số dấu phẩy động (ví dụ: 12,2316).

o Thuộc về khoa học (Khoa học) - Các con số chỉ được hiển thị theo thứ tự.

o Kỹ thuật (Kỹ thuật) - các số chỉ được hiển thị dưới dạng bội số của ba (ví dụ: 1,2210 6).

Chú ý. Nếu, sau khi đặt định dạng mong muốn trong cửa sổ định dạng số, hãy chọn nút ĐƯỢC RỒI, định dạng sẽ chỉ được đặt cho số đã chọn. Và nếu bạn chọn nút Đặt làm Mặc định, định dạng sẽ được áp dụng cho tất cả các số trong tài liệu này.

Các số sẽ tự động được làm tròn xuống 0 nếu chúng nhỏ hơn ngưỡng đã đặt. Ngưỡng được đặt cho toàn bộ tài liệu, không phải cho một kết quả cụ thể. Để thay đổi ngưỡng làm tròn thành 0, hãy chọn mục menu Định dạng - Kết quả và trong tab sức chịu đựng , trong lĩnh vực Số không ngưỡng cửa nhập giá trị ngưỡng bắt buộc.

4. Làm việc với văn bản

Đoạn văn bản là các đoạn văn bản mà người dùng muốn xem trong tài liệu của họ. Đây có thể là giải thích, liên kết, nhận xét, v.v. Chúng được chèn bằng mục menu Chèn — Vùng văn bản.

Bạn có thể định dạng văn bản: thay đổi phông chữ, kích thước, kiểu, căn lề, v.v. Để thực hiện việc này, bạn cần chọn nó và chọn các tùy chọn thích hợp trên bảng phông chữ hoặc trong menu Định dạng — Bản văn.

5. Làm việc với đồ họa

Khi giải quyết nhiều vấn đề trong đó một hàm số đang được nghiên cứu, việc vẽ đồ thị của nó thường trở nên cần thiết, điều này sẽ phản ánh rõ ràng hoạt động của hàm số trên một khoảng nào đó.

Trong hệ thống MathCAD, có thể xây dựng nhiều dạng đồ thị khác nhau: trong hệ tọa độ Descartes và cực, đồ thị ba chiều, bề mặt của các vật thể cách mạng, khối đa diện, đường cong không gian, đồ thị trường vectơ. Chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng một số trong số chúng.

5.1 Vẽ các lô 2D

Để xây dựng đồ thị hai chiều của một hàm, bạn cần:

thiết lập một chức năng

· Đặt con trỏ vào nơi cần xây dựng đồ thị, trên bảng toán học chọn nút Graph (đồ thị) và trong bảng mở ra, nút X-Y Plot (đồ thị hai chiều);

Trong mẫu xuất hiện của biểu đồ hai chiều, là một hình chữ nhật trống có nhãn dữ liệu, hãy nhập tên của biến trong nhãn dữ liệu trung tâm dọc theo trục abscissa (trục X) và nhập tên của hàm vào vị trí của nhãn dữ liệu trung tâm dọc theo trục tọa độ (trục Y) (Hình 2.1);

Cơm. 2.1. Mẫu lô 2D

nhấp vào bên ngoài mẫu đồ thị - đồ thị của hàm sẽ được vẽ.

Phạm vi đối số bao gồm 3 giá trị: ban đầu, thứ hai và cuối cùng.

Để đồ thị hàm số cần vẽ trên khoảng [-2,2] có bậc là 0,2. Giá trị biến đổi tđược chỉ định dưới dạng một phạm vi như sau:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

trong đó: -2 - giá trị ban đầu của phạm vi;

1,8 (-2 + 0,2) - giá trị phạm vi thứ hai (giá trị ban đầu cộng với bước);

2 là giá trị cuối của phạm vi.

Chú ý. Dấu chấm lửng được nhập bằng cách nhấn dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh.

Ví dụ. Vẽ một chức năng y = x 2 trên khoảng [-5,5] với bước 0,5 (Hình 2.2).

Cơm. 2.2. Vẽ một chức năng y = x 2

Khi vẽ biểu đồ, hãy xem xét những điều sau:

° Nếu phạm vi của các giá trị đối số không được chỉ định, thì theo mặc định, biểu đồ được tạo trong phạm vi [-10,10].

° Nếu cần đặt nhiều đồ thị trong một mẫu, thì tên của các hàm được chỉ định cách nhau bằng dấu phẩy.

° Nếu hai hàm có các đối số khác nhau, chẳng hạn như f1 (x) và f2 (y), thì tên của các hàm được biểu thị trên trục tọa độ (Y), được phân tách bằng dấu phẩy và trên trục abscissa (X), tên của cả hai biến cũng được phân tách bằng dấu phẩy.

° Các dấu dữ liệu cực trị trên mẫu biểu đồ dùng để chỉ ra các giá trị giới hạn của các ô và bậc thang, tức là chúng thiết lập tỷ lệ của ô. Nếu bạn để trống các nhãn này, tỷ lệ sẽ được đặt tự động. Thang đo tự động không phải lúc nào cũng phản ánh biểu đồ ở dạng mong muốn, do đó, các giá trị giới hạn của abscissa và thứ tự phải được chỉnh sửa bằng cách thay đổi chúng theo cách thủ công.

Ghi chú. Nếu sau khi vẽ biểu đồ không có dạng mong muốn, bạn có thể:

Giảm bước.

· Thay đổi khoảng thời gian vẽ biểu đồ.

Giảm giá trị giới hạn của abscissas và thứ tự trên biểu đồ.

Ví dụ. Dựng đường tròn có tâm tại điểm (2,3) và bán kính R = 6.

Phương trình của đường tròn có tâm tại một điểm có tọa độ ( x 0 ,y 0) và bán kính Rđược viết là:

Biểu thị từ phương trình này y:

Như vậy, để dựng hình tròn cần thiết lập hai hàm: bán nguyệt trên và bán nguyệt dưới. Phạm vi đối số được tính như sau:

- giá trị ban đầu của phạm vi = x 0 — R;

- giá trị cuối cùng của phạm vi = x 0 + R;

- Tốt hơn là nên lấy bước bằng 0,1 (Hình 2.3.).

Cơm. 2.3. Xây dựng một vòng tròn

Đồ thị tham số của một hàm số

Đôi khi nó thuận tiện hơn thay vì một phương trình đường liên quan đến các tọa độ hình chữ nhật x và y, hãy coi cái gọi là phương trình đường tham số, cung cấp biểu thức cho tọa độ x và y hiện tại là hàm của một số biến t(tham số): x(t) và y(t). Khi xây dựng đồ thị tham số, tên các hàm của một đối số được chỉ ra trên trục tọa độ và trục hoành độ.

Ví dụ. Xây dựng một đường tròn có tâm tại một điểm có tọa độ (2,3) và bán kính R= 6. Để xây dựng, phương trình tham số của đường tròn được sử dụng

x = x 0 + R cos ( t) y = y 0 + R tội( t) (Hình 2.4.).

Cơm. 2.4. Xây dựng một vòng tròn

Định dạng biểu đồ

Để định dạng một biểu đồ, hãy nhấp đúp vào vùng biểu đồ. Hộp thoại Định dạng Đồ thị sẽ mở ra. Các tab trong cửa sổ định dạng biểu đồ được liệt kê bên dưới:

§ X- Y rìu- Định dạng các trục tọa độ. Bằng cách chọn các hộp thích hợp, bạn có thể:

· Nhật ký Tỉ lệ- đại diện cho các giá trị số trên các trục trên thang logarit (theo mặc định, các giá trị số được vẽ trên thang tuyến tính)

· Lưới điện dòng- vẽ một lưới các đường;

· đánh số- Sắp xếp các số dọc theo các trục tọa độ;

· Tự động Tỉ lệ- tự động lựa chọn các giá trị số giới hạn trên các trục (nếu hộp này không được chọn, các giá trị tính toán lớn nhất sẽ bị giới hạn);

· thể hiện đánh dấu- đánh dấu biểu đồ dưới dạng các đường chấm ngang hoặc dọc tương ứng với giá trị được chỉ định trên trục và bản thân các giá trị được hiển thị ở cuối các dòng (2 vị trí nhập xuất hiện trên mỗi trục, trong đó bạn có thể nhập các giá trị số, không nhập bất cứ thứ gì, nhập một số hoặc ký hiệu chữ cái của các hằng số);

· Tự động Gthoát khỏi- tự động lựa chọn số lượng đường lưới (nếu hộp này không được chọn, bạn phải chỉ định số lượng đường trong trường Number of Grids);

· vượt qua- trục abscissa đi qua điểm không của hoành độ;

· Đóng hộp- trục x chạy dọc theo cạnh dưới của đồ thị.

§ Dấu vết- định dạng đường của đồ thị hàm số. Đối với từng đồ thị riêng biệt, bạn có thể thay đổi:

ký hiệu (Symbol) trên đồ thị đối với các điểm nút (hình tròn, chữ thập, hình chữ nhật, hình thoi);

loại đường (Solid - nét liền, Dot - đường chấm, Dấu gạch ngang - nét, Dadot - đường chấm gạch ngang);

màu đường (Color);

Nhập (Ture) của biểu đồ (Đường - đường, Điểm - điểm, Var hoặc Solidbar - thanh, Biểu đồ bước - bước, v.v.);

độ dày dòng (Trọng lượng).

§ Nhãn -- tiêu đề trong khu vực đồ thị. Trong lĩnh vực Tiêu đề (Tiêu đề) bạn có thể viết văn bản của tiêu đề, chọn vị trí của tiêu đề - ở đầu hoặc cuối biểu đồ ( Bên trên -- đứng đầu, Phía dưới -- xuống bên dưới). Bạn có thể nhập, nếu cần, tên của đối số và hàm ( Nhãn trục ).

§ Mặc định - bằng cách sử dụng tab này, bạn có thể quay lại chế độ xem biểu đồ mặc định (Thay đổi thành mặc định) hoặc sử dụng các thay đổi bạn đã thực hiện trên biểu đồ theo mặc định cho tất cả các biểu đồ trong tài liệu này (Sử dụng cho Mặc định).

5.2 Xây dựng các ô địa cực

Để xây dựng đồ thị cực của một hàm, bạn cần:

· Thiết lập phạm vi giá trị đối số;

thiết lập một chức năng

· Đặt con trỏ vào nơi cần xây dựng đồ thị, trên bảng toán học chọn nút Graph (đồ thị) và trong bảng mở ra, nút Polar Plot (đồ thị cực);

· Ở những nơi mà mẫu xuất hiện, bạn phải nhập đối số góc của hàm (bên dưới) và tên của hàm (bên trái).

Ví dụ. Cấu tạo của lemniscate Bernoulli: (Hình 2.6.)

Cơm. 2.6. Một ví dụ về việc xây dựng một âm mưu cực

5.3 Các bề mặt vẽ đồ thị (3D hoặc 3D Plot)

Khi xây dựng đồ thị ba chiều, bảng điều khiển được sử dụng đồ thị(Đồ thị) bảng toán học. Bạn có thể xây dựng một biểu đồ ba chiều bằng cách sử dụng trình hướng dẫn được gọi từ menu chính; bạn có thể xây dựng một đồ thị bằng cách tạo một ma trận các giá trị của một hàm hai biến; bạn có thể sử dụng phương pháp xây dựng cấp tốc; bạn có thể gọi các hàm đặc biệt CreateMech và CreateSpase, được thiết kế để tạo một mảng các giá trị hàm và biểu đồ. Chúng ta sẽ xem xét một phương pháp tăng tốc để xây dựng một đồ thị ba chiều.

Vẽ đồ thị nhanh

Để nhanh chóng xây dựng đồ thị ba chiều của một hàm, bạn cần:

thiết lập một chức năng

đặt con trỏ vào nơi cần dựng biểu đồ, chọn nút trên bảng toán học đồ thị(Biểu đồ) và trong bảng điều khiển đã mở, nút ( biểu đồ bề mặt);

· Ở vị trí duy nhất của khuôn mẫu, nhập tên của hàm (mà không chỉ định biến);

· Nhấp vào bên ngoài mẫu biểu đồ - biểu đồ của hàm sẽ được xây dựng.

Ví dụ. Vẽ một chức năng z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (Hình 2.7).

Cơm. 2.7. Một ví dụ về một lô bề mặt nhanh

Biểu đồ đã xây dựng có thể được kiểm soát:

° quay của biểu đồ được thực hiện sau khi di con trỏ chuột lên nó bằng cách nhấn nút chuột trái;

° điều chỉnh tỷ lệ của biểu đồ được thực hiện sau khi đưa con trỏ chuột lên biểu đồ bằng cách nhấn đồng thời nút chuột trái và phím Ctrl (nếu bạn di chuyển chuột, biểu đồ sẽ phóng to hoặc thu nhỏ);

Hoạt ảnh biểu đồ ° được thực hiện theo cách tương tự, nhưng với phím Shift được nhấn thêm. Chỉ cần bắt đầu xoay biểu đồ bằng chuột, sau đó hoạt ảnh sẽ được thực hiện tự động. Để dừng xoay, hãy nhấp chuột trái vào bên trong vùng biểu đồ.

Có thể xây dựng nhiều bề mặt cùng một lúc trong một bản vẽ. Để thực hiện việc này, bạn cần đặt cả hai chức năng và chỉ định tên của các chức năng trên mẫu biểu đồ được phân tách bằng dấu phẩy.

Khi vẽ biểu đồ nhanh, các giá trị mặc định cho cả hai đối số nằm trong khoảng -5 đến +5 và số đường đồng mức là 20. Để thay đổi các giá trị này, bạn phải:

· Nhấp đúp vào biểu đồ;

· Chọn tab Dữ liệu Lô đất Nhanh trong cửa sổ đã mở;

· Nhập các giá trị mới vào vùng cửa sổ Range1 - cho đối số đầu tiên và Range2 - cho đối số thứ hai (bắt đầu - giá trị ban đầu, kết thúc - giá trị cuối cùng);

· Trong trường # of Grids, thay đổi số lượng đường lưới bao phủ bề mặt;

· Nhấp vào nút OK.

Ví dụ. Vẽ một chức năng z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2) (Hình 2.9).

Khi xây dựng đồ thị này, tốt hơn nên chọn các giới hạn thay đổi trong giá trị của cả hai đối số từ -2 đến +2.

Cơm. 2.9. Một ví dụ về vẽ đồ thị hàm số z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2)

phía trướcđồ thị 3D thảm

Để định dạng biểu đồ, hãy nhấp đúp vào vùng vẽ - một cửa sổ định dạng với một số tab sẽ xuất hiện: Xuất hiện, Chung, rìu, thắp sáng, Tiêu đề, Backplanes, Đặc biệt, Trình độ cao, Nhanh chóng Âm mưu Dữ liệu.

Mục đích của tab Nhanh chóng Âm mưu Dữ liệuđã được thảo luận ở trên (23, "https: // site").

Chuyển hướng Xuất hiện cho phép bạn thay đổi hình thức của biểu đồ. Đồng ruộng Lấp đầy Tùy chọn cho phép bạn thay đổi các thông số điền, trường đường kẻ Lựa chọn- tham số dòng, chỉ Tùy chọn- tham số điểm.

Trong tab Chung ( chung) trong nhóm lượt xem bạn có thể chọn các góc quay của bề mặt được mô tả xung quanh cả ba trục; trong một nhóm trưng bày như Bạn có thể thay đổi loại biểu đồ.

Trong tab thắp sáng(ánh sáng) bạn có thể kiểm soát ánh sáng bằng cách chọn hộp cho phép thắp sáng(bật đèn) và chuyển đổi Trên(bật). Một trong 6 phương án chiếu sáng khả thi được chọn từ danh sách thắp sáng cơ chế(sơ đồ chiếu sáng).

6. Các cách giải phương trình trong MathCAD

Trong phần này, chúng ta sẽ học cách lập phương trình đơn giản nhất dạng F ( x) = 0. Để giải một phương trình về mặt giải tích, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của nó, tức là các số như vậy, khi thay chúng vào phương trình ban đầu, chúng ta thu được đẳng thức đúng. Để giải phương trình bằng đồ thị có nghĩa là tìm các giao điểm của đồ thị của hàm số với trục x.

6. 1 Giải phương trình với gốc hàm (f (x), x)

Đối với các nghiệm của một phương trình với một ẩn số có dạng F ( x) = 0 có một chức năng đặc biệt

nguồn gốc(f(x), x) ,

ở đâu f(x) là một biểu thức bằng 0;

X-- lý lẽ.

Hàm này trả về, với một độ chính xác nhất định, giá trị của một biến mà biểu thức f(x) bằng 0.

Chú ýe. Nếu vế phải của phương trình bằng 0 thì cần đưa về dạng bình thường (chuyển tất cả về vế trái).

Trước khi sử dụng chức năng nguồn gốc phải được đưa ra cho đối số Xước lượng ban đầu. Nếu có một số gốc, thì để tìm mỗi gốc, bạn phải xác định giá trị gần đúng ban đầu của mình.

Chú ý. Trước khi giải, nên vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem có các nghiệm nguyên (đồ thị có cắt trục Ox không), và nếu có thì là bao nhiêu. Có thể chọn giá trị gần đúng ban đầu theo đồ thị gần giao điểm hơn.

Ví dụ. Giải một phương trình bằng một hàm nguồn gốcđược thể hiện trong Hình 3.1. Trước khi tiếp tục giải trong hệ thống MathCAD, trong phương trình chúng ta sẽ chuyển mọi thứ sang vế trái. Phương trình sẽ có dạng:.

Cơm. 3.1. Giải phương trình bằng hàm gốc

6. 2 Giải các phương trình bằng hàm Đa nguyên (v)

Để tìm đồng thời tất cả các nghiệm nguyên của một đa thức, hãy sử dụng hàm nhiều cây(v), trong đó v là vectơ hệ số của đa thức, bắt đầu từ số hạng tự do . Không thể bỏ qua hệ số 0. Không giống như chức năng nguồn gốc hàm số Polyo không yêu cầu ước lượng ban đầu.

Ví dụ. Giải một phương trình bằng một hàm nhiều câyđược thể hiện trong hình 3.2.

Cơm. 3.2. Giải một phương trình bằng cách sử dụng hàm đa cơ sở

6.3 Giải phương trình bằng hàm Find (x)

Hàm Find hoạt động cùng với từ khóa Given. Thiết kế Được cho — tìm thấy

Nếu phương trình đã cho f(x) = 0, sau đó nó có thể được giải quyết như sau bằng cách sử dụng khối Được cho - tìm thấy:

- đặt giá trị gần đúng ban đầu

- nhập một từ dịch vụ

- viết phương trình bằng dấu in đậm bằng

- viết một hàm tìm với một biến chưa biết dưới dạng tham số

Kết quả là sau dấu bằng, gốc tìm được sẽ được hiển thị.

Nếu có một số gốc, thì chúng có thể được tìm thấy bằng cách thay đổi giá trị gần đúng ban đầu x0 thành một giá trị gần với gốc mong muốn.

Ví dụ. Nghiệm của phương trình sử dụng hàm tìm được thể hiện trong Hình 3.3.

Cơm. 3.3. Giải một phương trình với hàm tìm

Đôi khi cần đánh dấu một số điểm trên đồ thị (ví dụ: giao điểm của một hàm số với trục Ox). Đối với điều này, bạn cần:

Xác định giá trị x của một điểm cho trước (dọc theo trục Ox) và giá trị của hàm số tại điểm này (theo trục Oy);

nhấp đúp vào biểu đồ và vào cửa sổ định dạng trong tab dấu vếtđối với đường tương ứng, hãy chọn loại đồ thị - điểm, độ dày đường - 2 hoặc 3.

Ví dụ.Đồ thị biểu diễn giao điểm của hàm số với trục x. Danh từ: Tọa độ Xđiểm này đã được tìm thấy trong ví dụ trước: X= 2,742 (căn của phương trình ) (Hình 3.4).

Cơm. 3.4. Đồ thị của một hàm với một giao điểm được đánh dấu Trong cửa sổ định dạng đồ thị, trong tab dấu vết vì dấu vết2 đã thay đổi: loại biểu đồ - điểm, độ dày đường - 3, màu - đen.

7. Giải hệ phương trình

7.1 Giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính có thể giải được m phương pháp ma trận (thông qua ma trận nghịch đảo hoặc sử dụng hàm lsolve(A, B)) và sử dụng hai hàm tìm thấy và các tính năng Thợ mỏ.

Phương pháp ma trận

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Nghiệm của hệ phương trình này bằng phương pháp ma trận được thể hiện trong hình 4.1.

Cơm. 4.1. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Chức năng sử dụng lsolve(Một, B)

Lgỡ rối(A, B) là một hàm tích hợp trả về một vectơ X cho một hệ phương trình tuyến tính cho trước một ma trận các hệ số, A và một vectơ gồm các số hạng tự do, B .

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Cách giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng hàm lsolve (A, B) được thể hiện trong Hình 4.2.

Cơm. 4.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm lsolve

Giải hệ phương trình tuyến tính qua chức năngvà tìm thấy

Với phương pháp này, các phương trình được nhập mà không cần sử dụng ma trận, tức là ở "dạng tự nhiên". Đầu tiên, cần chỉ ra các giá trị gần đúng ban đầu của các biến chưa biết. Nó có thể là bất kỳ số nào trong phạm vi của định nghĩa. Thường thì họ bị nhầm với một cột gồm các thành viên tự do.

Để giải một hệ phương trình tuyến tính sử dụng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy, cần thiết:

2) nhập một từ dịch vụ Được cho;

in đậm bằng();

4) viết một hàm tìm thấy,

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Giải pháp của hệ thống này bằng cách sử dụng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấyđược thể hiện trong Hình 4.3.

Cơm. 4.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm Tìm

Gần đúng pnghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm Thợ mỏ tương tự như giải pháp sử dụng hàm tìm thấy(sử dụng cùng một thuật toán), chỉ chức năng tìm thấyđưa ra giải pháp chính xác và Thợ mỏ- gần đúng. Nếu, do kết quả của việc tìm kiếm, không thể thu được thêm sự tinh chỉnh nào về giá trị gần đúng hiện tại đối với giải pháp, Thợ mỏr trả về giá trị gần đúng này. Hàm số tìm thấy trong trường hợp này trả về một thông báo lỗi.

Bạn có thể chọn một giá trị gần đúng ban đầu khác.

· Bạn có thể tăng hoặc giảm độ chính xác của phép tính. Để làm điều này, hãy chọn từ menu Toán học > Tùy chọn(Toán học - Tùy chọn), tab được xây dựng- Trong Biến(Các biến cài sẵn). Trong tab mở ra, bạn cần giảm sai số tính toán cho phép (Dung sai hội tụ (TOL)). TOL mặc định = 0,001.

TẠIchú ý. Với phương pháp giải ma trận cần sắp xếp lại các hệ số theo ẩn số tăng dần. X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Giải hệ phương trình phi tuyến

Hệ phương trình phi tuyến tính trong MathCAD được giải bằng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy.

Thiết kế Được cho - tìm thấy sử dụng kỹ thuật tính toán dựa trên việc tìm gốc gần điểm xấp xỉ ban đầu do người dùng chỉ định.

Để giải một hệ phương trình bằng cách sử dụng khối Được cho - tìm thấy cần thiết:

1) đặt giá trị gần đúng ban đầu cho tất cả các biến;

2) nhập một từ dịch vụ Được cho;

3) Viết hệ phương trình bằng dấu in đậm bằng();

4) viết một hàm tìm thấy, bằng cách liệt kê các biến chưa biết dưới dạng tham số hàm.

Kết quả của các phép tính, vectơ nghiệm của hệ thống sẽ được hiển thị.

Nếu hệ thống có một số giải pháp, thuật toán nên được lặp lại với các phỏng đoán ban đầu khác.

Ghi chú. Nếu đang giải hệ hai phương trình có hai ẩn số thì trước khi giải, ta nên vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem hệ có nghiệm nguyên hay không (đồ thị của các hàm số đã cho có cắt nhau hay không) và nếu có thì là bao nhiêu. Có thể chọn giá trị gần đúng ban đầu theo đồ thị gần giao điểm hơn.

Ví dụ. Cho một hệ phương trình

Trước khi giải hệ, ta xây dựng đồ thị của các hàm số: parabol (phương trình thứ nhất) và đường thẳng (phương trình thứ hai). Việc xây dựng đồ thị của một đường thẳng và một parabol trong một hệ trục tọa độ được thể hiện trong Hình 4.5:

Cơm. 4.5. Vẽ hai hàm số trong cùng một hệ trục tọa độ Một đường thẳng và một parabol cắt nhau tại hai điểm, nghĩa là hệ có hai nghiệm. Theo đồ thị, chúng tôi chọn các giá trị gần đúng ban đầu của các ẩn số x và y cho mọi giải pháp. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình được thể hiện trong hình 4.6.

Cơm. 4.6. Tìm nghiệm nguyên của một hệ phương trình phi tuyến X ) và dọc theo trục Oy (các giá trị tại ) cách nhau bằng dấu phẩy. Trong cửa sổ định dạng biểu đồ, trong tab dấu vết vì dấu vết3 và dấu vết4 thay đổi: loại biểu đồ - điểm, độ dày đường - 3, màu - đen (Hình 4.7).

Cơm. 4.7. Các đồ thị chức năng với các điểm giao nhau được đánh dấu

8 . Các ví dụ về cách sử dụng các tính năng chính MathCAD để giải quyết một số vấn đề toán học

Phần này cung cấp các ví dụ về giải các bài toán yêu cầu giải một phương trình hoặc một hệ phương trình.

8. 1 Tìm cực trị cục bộ của hàm

Điều kiện cần thiết để có cực trị (cực đại và / hoặc cực tiểu) của một hàm liên tục được xây dựng như sau: cực trị chỉ có thể diễn ra tại những điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại (đặc biệt, nó trở thành vô cùng) . Để tìm cực trị của một hàm số liên tục, trước hết phải tìm các điểm thỏa mãn điều kiện cần, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.

Nếu một đồ thị hàm được xây dựng, thì bạn có thể thấy ngay - cực đại hoặc cực tiểu đạt được tại một điểm nhất định X. Nếu không có biểu đồ, thì mỗi nghiệm nguyên tìm được sẽ được kiểm tra theo một trong các cách.

Ngày 1 với trợ cấp . Với cân bằng e dấu hiệu của đạo hàm . Dấu của đạo hàm được xác định trong vùng lân cận của điểm (tại các điểm cách cực trị của hàm số về các phía khác nhau với khoảng cách nhỏ). Nếu dấu của đạo hàm chuyển từ “+” thành “-” thì lúc này hàm số có cực đại. Nếu dấu chuyển từ "-" thành "+" thì lúc này hàm có cực tiểu. Nếu dấu của đạo hàm không thay đổi thì không có cực trị.

Giây thứ hai trợ cấp . TẠI tính toán e thứ hai phát sinh . Trong trường hợp này, đạo hàm cấp hai được tính tại điểm cực trị. Nếu nó nhỏ hơn 0 thì tại thời điểm này hàm có cực đại, nếu lớn hơn 0 thì là cực tiểu.

Ví dụ. Tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm.

Đầu tiên, hãy xây dựng một đồ thị của hàm (Hình 6.1).

Cơm. 6.1. Vẽ một chức năng

Hãy để chúng tôi xác định từ biểu đồ các giá trị gần đúng ban đầu X tương ứng với cực trị cục bộ của hàm f(x). Hãy tìm các điểm cực trị này bằng cách giải phương trình. Đối với giải pháp, chúng tôi sử dụng khối Cho - Tìm (Hình 6.2.).

Cơm. 6.2. Tìm cực trị địa phương

Hãy để chúng tôi xác định loại cực trị pervđường, kiểm tra sự thay đổi dấu của đạo hàm trong vùng lân cận của các giá trị tìm được (Hình 6.3).

Cơm. 6.3. Xác định loại cực trị

Từ bảng giá trị của đạo hàm và từ đồ thị có thể thấy dấu của đạo hàm trong vùng lân cận của điểm x 1 thay đổi từ cộng sang trừ, vì vậy hàm đạt cực đại tại thời điểm này. Và trong vùng lân cận của điểm x 2, dấu của đạo hàm đã chuyển từ trừ sang cộng nên lúc này hàm số đạt cực tiểu.

Hãy để chúng tôi xác định loại cực trị thứ haiđường, tính dấu của đạo hàm cấp hai (Hình 6.4).

Cơm. 6.4. Xác định loại cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp hai

Có thể thấy rằng ở thời điểm x 1 đạo hàm cấp hai nhỏ hơn 0, vì vậy điểm X 1 tương ứng với mức tối đa của hàm. Và ở điểm x 2 đạo hàm cấp hai lớn hơn 0, vì vậy điểm X 2 tương ứng với cực tiểu của hàm.

8.2 Xác định diện tích của các hình được giới hạn bởi các đường liên tục

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) , một đoạn trên trục Ox và hai phương thẳng đứng X = một và X = b, một < b, được xác định theo công thức:.

Ví dụ. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường f(x) = 1 — x 2 và y = 0.

Cơm. 6.5. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường f(x) = 1 — x 2 và y = 0

Diện tích của hình nằm giữa các đồ thị của hàm số f1(x) và f2(x) và trực tiếp X = một và X = b, được tính theo công thức:

Chú ý. Để tránh sai số khi tính diện tích, sự khác biệt của các hàm phải được lấy modulo. Do đó, khu vực này sẽ luôn tích cực.

Ví dụ. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường và. Giải pháp được hiển thị trong hình 6.6.

1. Ta xây dựng đồ thị của hàm số.

2. Chúng ta tìm các giao điểm của các hàm bằng cách sử dụng hàm gốc. Chúng tôi sẽ xác định các giá trị gần đúng ban đầu từ đồ thị.

3. Giá trị tìm thấy x được thay thế vào công thức như các giới hạn của tích phân.

8. 3 Xây dựng các đường cong bởi các điểm đã cho

Dựng đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( x 0,y 0) và B ( x 1,y 1), thuật toán sau được đề xuất:

ở đâu một và b là các hệ số của đoạn thẳng mà chúng ta cần tìm.

2. Hệ thống này là tuyến tính. Nó có hai biến không xác định: một và b

Ví dụ. Dựng đường thẳng đi qua điểm A (-2, -4) và B (5,7).

Ta thay tọa độ trực tiếp của các điểm này vào phương trình và nhận được hệ thức:

Giải pháp của hệ thống này trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.7.

Cơm. 6.7 Giải pháp hệ thống

Kết quả của việc giải quyết hệ thống, chúng tôi thu được: một = 1.57, b= -0,857. Vì vậy, phương trình của một đường thẳng sẽ có dạng: y = 1.57x- 0,857. Hãy dựng đường thẳng này (Hình 6.8).

Cơm. 6,8. Xây dựng một đường thẳng

Xây dựng một parabol, đi qua ba điểm nhất định

Để dựng một parabol đi qua ba điểm A ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) và C ( x 2,y 2), thuật toán như sau:

1. Parabol được cho bởi phương trình

y = cây rìu 2 + bX + với, ở đâu

một, b và với là các hệ số của parabol mà chúng ta cần tìm.

Chúng tôi thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình này và nhận được hệ thống:

2. Hệ thống này là tuyến tính. Nó có ba biến không xác định: một, b và với. Hệ thống có thể được giải quyết theo cách ma trận.

3. Chúng tôi thay thế các hệ số thu được vào phương trình và xây dựng một parabol.

Ví dụ. Dựng hình parabol đi qua các điểm A (-1, -4), B (1, -2) và C (3,16).

Ta thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình parabol và nhận được hệ thức:

Lời giải của hệ phương trình này trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.9.

Cơm. 6,9. Giải hệ phương trình

Kết quả là, các hệ số thu được: một = 2, b = 1, c= -5. Ta nhận được phương trình parabol: 2 x 2 +x -5 = y. Hãy xây dựng hình parabol này (Hình 6.10).

Cơm. 6.10. Xây dựng một parabol

Dựng đường tròn đi qua ba điểm cho trước

Dựng đường tròn đi qua ba điểm A ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) và C ( x 3,y 3), bạn có thể sử dụng thuật toán sau:

1. Đường tròn được cho bởi phương trình

trong đó x0, y0 là tọa độ của tâm đường tròn;

R là bán kính của hình tròn.

2. Thay tọa độ đã cho của điểm vào phương trình của đường tròn ta được hệ:

Hệ thống này là phi tuyến tính. Nó có ba biến không xác định: x 0, y 0 và R. Hệ thống được giải quyết bằng cách sử dụng đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy.

Ví dụ. Dựng đường tròn đi qua ba điểm A (-2.0), B (6.0) và C (2.4).

Ta thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình của đường tròn và được hệ thức:

Lời giải của hệ thống trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.11.

Cơm. 6.11. Giải pháp hệ thống

Kết quả của việc giải quyết hệ thống, thu được những điều sau: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Thay tọa độ thu được của tâm đường tròn và bán kính vào phương trình đường tròn. Chúng tôi nhận được:. Express từ đây y và xây dựng một đường tròn (Hình 6.12).

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA

Cơ sở giáo dục đại học chuyên nghiệp của Nhà nước

"ĐẠI HỌC NĂNG LƯỢNG NHÀ NƯỚC KAZAN"

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, R.A. ISHMURATOV

CƠ BẢN VỀ LÀM VIỆC TRONG MATHCAD

Hướng dẫn phương pháp làm bài tập thực hành

Kazan 2012

UDC 621.37 LBC 32.811.3

Người đánh giá:

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư Đại học Kỹ thuật Điện Bang Kazan E.A. Popov;

Ứng viên Khoa học Kỹ thuật, Phó Giáo sư Đại học Công nghệ Nghiên cứu Quốc gia Kazan M.Yu. Vasiliev

		Belyaeva L.R.
		Các nguyên tắc cơ bản về công việc trong MathCAD. Hướng dẫn phương pháp làm bài tập thực hành
		/ L.R. Belyaeva, R.S. Zaripova, R.A. Ishmuratov - Kazan: Kazan. trạng thái năng lượng un-t, 2012.
		Phần đầu tiên của sổ tay cung cấp thông tin cơ bản về
		Mathcad 13 và cách làm việc với văn bản, công thức và đồ họa của nó
		các biên tập viên. Đầu vào của nhiều loại dữ liệu khác nhau, những kiến ​​thức cơ bản về số và
		tính toán biểu tượng, vẽ các hàm toán học, thủ thuật
		tích hợp và phân hóa bằng MathCAD.
		Phần thứ hai cung cấp một ví dụ về việc sử dụng phần mềm trong thực tế
		Gói MathCAD khi giải quyết một nhiệm vụ thiết kế với tốc độ "Chuyển đổi
		tín hiệu đo lường ”. Thông tin lý thuyết cần thiết cho
		giải pháp của nhiệm vụ tính toán, một ví dụ về tính toán và các nhiệm vụ riêng lẻ cho
		sinh viên.
		Sổ tay phương pháp cũng bao gồm các câu hỏi kiểm soát về
		đã nghiên cứu tài liệu và các nhiệm vụ độc lập để củng cố các kiến ​​thức cơ bản về công việc trong
		Hội thảo dành cho sinh viên của chuyên ngành "Thông tin và
		thiết bị và công nghệ đo lường "hướng 200100 - Thiết bị đo và
		cũng như các sinh viên thuộc các chuyên ngành và lĩnh vực khác của KSUE, đang theo học
		các ngành "Tin học" và "Công nghệ thông tin".

© Đại học Kỹ thuật Điện Bang Kazan, 2012

Giới thiệu

MathCAD là một hệ thống toán học máy tính cho phép bạn thực hiện nhiều phép tính khoa học và kỹ thuật, từ số học cơ bản đến triển khai phức tạp của các phương pháp số. Người dùng MathCAD là sinh viên, nhà khoa học, kỹ sư, kỹ thuật viên.

MathCAD, không giống như hầu hết các ứng dụng toán học hiện đại khác, được xây dựng theo nguyên tắc

WYSIWYG ("Những gì bạn thấy là những gì bạn nhận được"). Do đó, nó rất dễ sử dụng, đặc biệt, vì trước tiên không cần phải viết một chương trình thực hiện các phép tính toán học nhất định, và sau đó chạy nó để thực thi. Thay vào đó, chỉ cần nhập các biểu thức toán học bằng trình soạn thảo công thức có sẵn và ngay lập tức nhận được kết quả.

MathCAD 13 bao gồm một số thành phần được tích hợp với nhau, sự kết hợp này tạo ra một môi trường tính toán thuận tiện cho nhiều phép tính toán học khác nhau và đồng thời ghi lại kết quả công việc:

− trình soạn thảo văn bản mạnh mẽ cho phép bạn nhập, chỉnh sửa

và định dạng cả văn bản và biểu thức toán học;

− một bộ xử lý máy tính có khả năng thực hiện các phép tính theo các công thức đã nhập bằng các phương pháp số tích hợp sẵn;

− một bộ xử lý tượng trưng, ​​là một hệ thống trí tuệ nhân tạo;

− một kho thông tin tham khảo khổng lồ, cả toán học và kỹ thuật, được thiết kế như một thư viện sách điện tử tương tác.

Để làm việc hiệu quả với trình soạn thảo MathCAD, chỉ cần có các kỹ năng sử dụng cơ bản là đủ. Theo các vấn đề trong cuộc sống thực, các kỹ sư phải giải quyết một hoặc nhiều nhiệm vụ sau:

− nhập các biểu thức toán học khác nhau trên máy tính (để tính toán thêm hoặc tạo tài liệu, bản trình bày, Trang web hoặc sách điện tử);

− thực hiện các phép tính toán học;

− chuẩn bị các đồ thị với các kết quả của các phép tính;

− nhập dữ liệu ban đầu và xuất kết quả ra tệp văn bản hoặc tệp có cơ sở dữ liệu ở các định dạng khác;

− chuẩn bị báo cáo công việc dưới dạng văn bản in;

- chuẩn bị các trang Web và công bố kết quả trên Internet;

− thu thập thông tin tham khảo khác nhau từ lĩnh vực toán học.

MathCAD 13 đối phó thành công với tất cả các nhiệm vụ sau:

− các biểu thức toán học và văn bản được nhập bằng trình chỉnh sửa công thức MathCAD, về mặt khả năng và tính dễ sử dụng, chẳng hạn như trình soạn thảo công thức được tích hợp sẵn

− các phép tính toán học được thực hiện ngay lập tức, phù hợp với các công thức đã nhập;

− các dạng biểu đồ do người dùng lựa chọn với nhiều tùy chọn định dạng phong phú được chèn trực tiếp vào tài liệu;

− có thể nhập và xuất dữ liệu ra các tệp ở nhiều định dạng khác nhau;

− tài liệu có thể được in trực tiếp trong MathCAD ở dạng mà người dùng nhìn thấy trên màn hình máy tính hoặc được lưu

trong Định dạng RTF để chỉnh sửa tiếp theo trong trình soạn thảo văn bản;

− có thể lưu đầy đủ các tài liệu MathCAD ở định dạng Các tài liệu RTF, cũng như các trang Web ở định dạng HTML và XML;

− có một tùy chọn để kết hợp các tài liệu do người dùng phát triển thành sách điện tử;

− các phép tính tượng trưng cho phép bạn thực hiện các phép biến đổi phân tích, cũng như ngay lập tức thu được nhiều thông tin toán học tham chiếu.

Viên ngọc quý thực sự của MathCAD, đã có trong các phiên bản đầu tiên, là sự hỗ trợ cho các biến rời rạc, cho phép tính toán đồng thời các hàm cho một số giá trị đối số, giúp bạn có thể xây dựng bảng và đồ thị mà không cần sử dụng toán tử lập trình. Các công cụ vẽ biểu đồ bề mặt đã gần như đạt đến mức hoàn hảo, cho phép bạn tạo ra các tác phẩm nghệ thuật từ đồ thị. Các tính toán kỹ thuật và công nghệ phức tạp trong môi trường MathCAD đơn giản hơn, rõ ràng hơn và nhanh hơn nhiều lần so với các chương trình khác.

Phần 1. THÔNG TIN LÝ THUYẾT

Chương 1. GIAO DIỆN MATHCAD

Giao diện của MathCAD tương tự như giao diện của các ứng dụng Windows khác. Sau khi khởi chạy, cửa sổ làm việc MathCAD xuất hiện trên màn hình với menu chính và ba thanh công cụ: Standard (Tiêu chuẩn), Formatting (Định dạng) và Math (Toán học).

Thanh menu nằm ở trên cùng của cửa sổ MathCAD. Nó chứa chín đề mục, nhấp vào mỗi đề mục sẽ hiển thị

đến sự xuất hiện của menu tương ứng với danh sách các lệnh:

- Tập tin (File) - các lệnh liên quan đến việc tạo, mở, lưu, gửi qua e-mail và in trên máy in các tập tin cùng tài liệu;

- Edit (Chỉnh sửa) - các lệnh liên quan đến chỉnh sửa văn bản (sao chép, dán, xóa các đoạn, v.v.);

- Chế độ xem (View) - các lệnh điều khiển sự xuất hiện của tài liệu trong cửa sổ trình soạn thảo MathCAD, cũng như các lệnh tạo tệp hoạt hình;

- Chèn (Insert) - các lệnh chèn nhiều đối tượng khác nhau vào tài liệu;

- Định dạng (Format) - các lệnh định dạng văn bản, công thức, đồ thị;

- Công cụ (Dịch vụ) - các lệnh để quản lý quá trình tính toán và các tính năng bổ sung;

- Symbolics (Biểu tượng) - các lệnh tính toán tượng trưng;

- Cửa sổ (Window) - các lệnh quản lý việc sắp xếp các cửa sổ với nhiều tài liệu khác nhau trên màn hình;

- Trợ giúp (Help) - các lệnh để gọi thông tin trợ giúp theo ngữ cảnh, thông tin về phiên bản của chương trình, cũng như quyền truy cập vào các tài nguyên và sách điện tử.

Để chọn một lệnh, bạn cần nhấp vào menu chứa lệnh đó và một lần nữa vào mục menu tương ứng. Một số lệnh không có trong các menu, mà nằm trong menu con, như trong Hình. 1.1. Để thực hiện một lệnh như vậy, ví dụ, lệnh gọi thanh công cụ Symbolic trên màn hình, bạn cần di con trỏ chuột qua mục Toolbars của menu thả xuống View và chọn Symbolic từ menu con xuất hiện.

Cơm. 1.1. Hoạt động menu

Ngoài menu trên cùng, menu bật lên thực hiện các chức năng tương tự (Hình 1.2). Chúng xuất hiện khi bạn nhấp chuột phải vào vị trí nào đó trong tài liệu. Đồng thời, thành phần của các menu này phụ thuộc vào nơi gọi của chúng, do đó chúng còn được gọi là menu ngữ cảnh. MathCAD tự nó “đoán”, tùy thuộc vào ngữ cảnh, những thao tác nào có thể được yêu cầu tại thời điểm hiện tại và đặt các lệnh tương ứng trên menu. Do đó, sử dụng menu ngữ cảnh dễ dàng hơn menu trên cùng.

Cơm. 1.2. Danh mục

1.2. Thanh công cụ

Thanh công cụ được sử dụng để thực hiện nhanh chóng (một cú nhấp chuột) các lệnh được sử dụng phổ biến nhất. Tất cả các hành động có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các thanh công cụ cũng có sẵn thông qua

Menu trên cùng. Trên hình. 1.3 hiển thị cửa sổ MathCAD với năm thanh công cụ chính nằm ngay bên dưới thanh menu. Các nút trong bảng được nhóm theo hành động tương tự của các lệnh:

- Tiêu chuẩn (Standard) - phục vụ cho việc thực hiện hầu hết các thao tác, chẳng hạn như các thao tác với tập tin, chỉnh sửa biên tập, chèn các đối tượng, truy cập hệ thống trợ giúp;

- Định dạng (Formatting) - phục vụ cho việc định dạng (thay đổi kiểu và kích thước của phông chữ, căn lề, v.v.) văn bản và công thức;

- Math (Toán học) - được sử dụng để chèn các ký hiệu toán học

và toán tử trong tài liệu;

- Tài nguyên (Resources) - dùng để gọi các tài nguyên của MathCAD;

- Điều khiển (Controls) - phục vụ để chèn các điều khiển giao diện người dùng tiêu chuẩn vào tài liệu;

- Debug - được sử dụng để quản lý việc gỡ lỗi của các chương trình MathCAD.

Cơm. 1.3. Các thanh công cụ cơ bản

Các nhóm nút trên thanh công cụ được phân định nghĩa bằng các đường thẳng đứng - dấu phân cách. Khi bạn di con trỏ chuột qua bất kỳ nút nào, một chú giải công cụ sẽ xuất hiện bên cạnh nút (Hình 1.4). Cùng với chú giải công cụ, bạn có thể tìm thấy giải thích chi tiết hơn về hoạt động sắp tới trên thanh trạng thái.

Cơm. 1.4. Sử dụng thanh công cụ Toán học và Máy tính

Bảng Math (Toán học) nhằm mục đích gọi trên màn hình thêm 9 bảng nữa (hình 1.5) bằng cách chèn các phép toán vào tài liệu. Để hiển thị bất kỳ biểu tượng nào trong số chúng, bạn cần nhấp vào nút tương ứng trên bảng Toán học (Hình 1.4).

Cơm. 1.5. Thanh công cụ toán học

Chúng tôi liệt kê mục đích của bảng toán học:

- Máy tính (Máy tính) - được sử dụng để chèn các phép toán cơ bản, có tên như vậy vì sự giống nhau của tập hợp các nút với các nút của một máy tính điển hình;

- Đồ thị (Graph) - để chèn đồ thị;

- Ma trận (Matrix) - để chèn ma trận và toán tử ma trận;

- Đánh giá - để chèn các tuyên bố kiểm soát đánh giá;

- Giải tích (Giải tích toán học) - để chèn các toán tử tích phân, phân biệt, tổng hợp, v.v.;

- Boolean (Các toán tử Boolean) - để chèn các toán tử logic (boolean);

- Lập trình (Programming) - để lập trình bằng MathCAD;

- Greek (các ký tự Hy Lạp) - để chèn các ký tự Hy Lạp;

- Symbolic - để chèn các toán tử tượng trưng. Điều quan trọng cần lưu ý là khi bạn di chuột qua nhiều

các nút của bảng toán học, một chú giải công cụ xuất hiện, cũng chứa một tổ hợp các "phím nóng", nhấn sẽ dẫn đến một hành động tương đương.

1.3. Thanh trạng thái

TẠI ở cuối cửa sổ MathCAD, bên dưới thanh cuộn ngang, là thanh trạng thái. Nó hiển thị thông tin cơ bản về chế độ chỉnh sửa (Hình 1.6), được phân cách bằng dấu phân cách (từ trái sang phải):

- gợi ý phù hợp với ngữ cảnh về hành động sắp tới;

- chế độ tính toán: tự động (AUTO) hoặc cài đặt bằng tay (Calc F9);

- chế độ hiện tại của bố cục bàn phím CAP; - chế độ bố trí bàn phím hiện tại NUM; - số trang mà con trỏ được đặt trên đó.

Cơm. 1.6. Thanh trạng thái

Chương 2. CƠ BẢN VỀ LÀM VIỆC TRONG MATHCAD

2.1. Điều hướng tài liệu

Thật thuận tiện khi xem tài liệu từ trên xuống và trái phải bằng cách sử dụng thanh cuộn dọc và ngang, di chuyển thanh trượt của chúng (trong trường hợp này, đảm bảo chuyển động trơn tru dọc tài liệu) hoặc bằng cách nhấp vào một trong hai mặt của thanh trượt (trong trường hợp này, việc di chuyển qua tài liệu sẽ rất nhanh). Bạn cũng có thể sử dụng các phím lật trang để di chuyển con trỏ xung quanh tài liệu. Và Trong tất cả các trường hợp này, vị trí của con trỏ không thay đổi, nhưng nội dung của tài liệu được xem. Ngoài ra, nếu tài liệu lớn, có thể xem nội dung của nó bằng menu rất tiện lợi.

Chỉnh sửa | Đi tới Trang (Chỉnh sửa | Đi tới trang). Khi bạn chọn mục này, một hộp thoại sẽ mở ra cho phép bạn chuyển đến trang có số đã chỉ định.

Để di chuyển qua tài liệu lên xuống và sang phải và trái, di chuyển con trỏ, bạn nên nhấn các phím con trỏ tương ứng. Đi vào khu vực của các vùng có công thức và văn bản, con trỏ sẽ biến thành hai dòng nhập - màu xanh lam dọc và ngang. Khi con trỏ di chuyển xa hơn trong vùng, các dòng nhập sẽ di chuyển một ký tự theo hướng tương ứng. Khi bạn rời khỏi vùng, con trỏ lại trở thành con trỏ đầu vào dưới dạng dấu thập đỏ. Bạn cũng có thể di chuyển con trỏ bằng cách nhấp vào vị trí thích hợp. Nếu bạn nhấp vào một không gian trống, thì một con trỏ đầu vào sẽ xuất hiện trong đó, và nếu trong vùng, thì các dòng nhập.

2.2. Nhập và chỉnh sửa công thức

Trình chỉnh sửa công thức MathCAD cho phép bạn nhập và sửa đổi các biểu thức toán học một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Hãy liệt kê một lần nữa các thành phần của giao diện của trình soạn thảo MathCAD:

− con trỏ chuột - đóng vai trò thông thường đối với các ứng dụng Windows, theo dõi chuyển động của chuột;

− con trỏ phải thuộc một trong ba loại:

– con trỏ đầu vào là một dấu thập đỏ đánh dấu vị trí trống trong tài liệu nơi bạn có thể nhập văn bản hoặc công thức;

– dòng nhập - các dòng màu xanh lam ngang và dọc đánh dấu một phần nhất định trong văn bản hoặc công thức;

– dòng nhập văn bản - một đường thẳng đứng, tương tự như dòng đầu vào cho các vùng văn bản;

− chỗ dành sẵn - xuất hiện bên trong các công thức chưa hoàn chỉnh ở những vị trí cần được điền bằng ký hiệu hoặc toán tử:

− trình giữ chỗ ký tự là một hình chữ nhật màu đen;

− trình giữ chỗ toán tử là một hộp hình chữ nhật màu đen. Bạn có thể nhập một biểu thức toán học vào bất kỳ khoảng trống nào

Tài liệu MathCAD. Để thực hiện việc này, bạn cần đặt con trỏ nhập vào vị trí mong muốn trong tài liệu bằng cách dùng chuột nhấp vào con trỏ và nhập công thức bằng cách nhấn các phím. Điều này tạo ra một vùng toán học trong tài liệu, được thiết kế để lưu trữ các công thức được giải thích bởi bộ xử lý MathCAD. Hãy chứng minh chuỗi hành động bằng cách sử dụng ví dụ nhập biểu thức x 5 + x (Hình 2.1):

1. Nhấp chuột để đánh dấu điểm vào.

1. Cửa sổ làm việc MathCAD

· Bảng điều khiển toán học(Hình 1.4).

Cơm. 1.4. Bảng toán học

Nhấp vào nút trên thanh công cụ toán học sẽ mở ra một thanh công cụ bổ sung:

2. Các yếu tố của ngôn ngữ MathCAD

Các phần tử cơ bản của biểu thức toán học MathCAD bao gồm toán tử, hằng số, biến, mảng và hàm.

2.1 Các nhà khai thác

Các nhà khai thác - các phần tử của MathCAD mà bạn có thể tạo các biểu thức toán học. Ví dụ, chúng bao gồm các ký hiệu cho các phép toán số học, các dấu hiệu để tính tổng, tích, đạo hàm, tích phân, v.v.

Toán tử định nghĩa:

a) hành động được thực hiện khi có các giá trị nhất định của toán hạng;

b) có bao nhiêu, ở đâu và những toán hạng nào nên được nhập vào toán tử.

Toán hạng - số hoặc biểu thức mà toán tử tác động lên. Ví dụ, trong biểu thức 5! +3, các số 5! và 3 là toán hạng của toán tử "+" (cộng), và số 5 là toán hạng của giai thừa (!).

Bất kỳ toán tử nào trong MathCAD đều có thể được nhập theo hai cách:

bằng cách nhấn một phím (tổ hợp phím) trên bàn phím;

sử dụng bảng toán học.

Các câu lệnh sau được sử dụng để gán hoặc hiển thị nội dung của vị trí bộ nhớ được liên kết với một biến:

Dấu hiệu chuyển nhượng (nhập bằng cách nhấn phím : trên bàn phím (dấu hai chấm trong bố cục bàn phím tiếng Anh) hoặc bằng cách nhấn vào nút tương ứng trên bảng điều khiển Máy tính );

Nhiệm vụ này được gọi là địa phương. Trước lần gán này, biến không được xác định và không thể được sử dụng.

Toán tử gán toàn cục. Bài tập này có thể được thực hiện ở bất kỳ đâu trong tài liệu. Ví dụ: nếu một biến được gán giá trị theo cách này ở cuối tài liệu, thì biến đó sẽ có cùng giá trị ở đầu tài liệu.

Toán tử bình đẳng gần đúng (x1). Dùng trong giải hệ phương trình. Vào bằng cách nhấn một phím ; trên bàn phím (dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh) hoặc bằng cách nhấn vào nút tương ứng trên Bảng Boolean.

Một toán tử (đơn giản bằng) được dành riêng để xuất ra giá trị của một hằng số hoặc biến.

Các phép tính đơn giản nhất

Quá trình tính toán được thực hiện bằng cách sử dụng:

Bảng Máy tính, Bảng Giải tích và Bảng Ước tính.

Chú ý. Nếu cần phải chia toàn bộ biểu thức trong tử số, thì trước tiên nó phải được chọn bằng cách nhấn phím cách trên bàn phím hoặc bằng cách đặt nó trong dấu ngoặc.

2.2 Hằng số

Hằng số - các đối tượng được đặt tên giữ một số giá trị không thể thay đổi.

Ví dụ, = 3,14.

Hằng số thứ nguyên là các đơn vị đo lường thông dụng. Ví dụ: mét, giây, v.v.

Để viết hằng số chiều, bạn phải nhập dấu * (nhân) sau số, chọn mục menu Chènđoạn dưới Đơn vị. Trong các phép đo, các loại được bạn biết đến nhiều nhất: Chiều dài - chiều dài (m, km, cm); Khối lượng - trọng lượng (g, kg, t); Time - thời gian (phút, giây, giờ).

2.3 Các biến

Biến là các đối tượng được đặt tên có một số giá trị có thể thay đổi khi chương trình chạy. Các biến có thể là số, chuỗi, ký tự, v.v. Các biến được gán giá trị bằng cách sử dụng dấu gán (: =).

Chú ý. MathCAD coi các chữ cái viết hoa và viết thường là các mã định danh khác nhau.

Các biến hệ thống

TẠI MathCAD chứa một nhóm nhỏ các đối tượng đặc biệt không thể được quy cho lớp hằng số hoặc lớp biến, giá trị của chúng được xác định ngay sau khi chương trình được khởi động. Tốt hơn là nên đếm chúng biến hệ thống.Điều này, ví dụ, TOL - lỗi của các phép tính số, ORIGIN - giới hạn dưới của giá trị chỉ số chỉ số của vectơ, ma trận, v.v. Nếu cần, bạn có thể đặt các giá trị khác cho các biến này.

Các biến được xếp hạng

Các biến này có một loạt các giá trị cố định, có thể là số nguyên hoặc thay đổi theo một bước nhất định từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối cùng.

Một biểu thức được sử dụng để tạo một biến phạm vi:

Tên = N bắt đầu ,(N bắt đầu + Bước) .. N chấm dứt ,

trong đó Tên là tên của biến;

N begin - giá trị ban đầu;

Step - bước được chỉ định để thay đổi biến;

N end - giá trị cuối.

Các biến xếp hạng được sử dụng rộng rãi trong việc vẽ biểu đồ. Ví dụ, để vẽ đồ thị của một số hàm f(x) trước hết, bạn cần tạo một loạt các giá trị biến x- nó phải là một biến có phạm vi hoạt động.

Chú ý. Nếu bạn không chỉ định một bước trong phạm vi biến, chương trình sẽ tự động lấy nó bằng 1.

Ví dụ . Biến đổi x thay đổi trong phạm vi từ -16 đến +16 trong các bước 0,1

Để viết một biến có phạm vi, bạn sẽ nhập:

Tên biến ( x);

Dấu hiệu chuyển nhượng (: =)

Giá trị đầu tiên của phạm vi (-16);

dấu phẩy;

Giá trị thứ hai của phạm vi, là tổng của giá trị đầu tiên và bước (-16 + 0,1);

dấu chấm lửng ( .. ) - thay đổi biến trong giới hạn đã cho (dấu chấm lửng được nhập bằng cách nhấn dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh);

Giá trị phạm vi cuối cùng (16).

Kết quả là, bạn sẽ nhận được: x := -16,-16+0.1..16.

Bảng đầu ra

Bất kỳ biểu thức nào có các biến được xếp hạng sau dấu bằng sẽ bắt đầu bảng đầu ra.

Bạn có thể chèn các giá trị số vào bảng đầu ra và sửa chúng.

Biến với chỉ mục

Biến với chỉ mục- là một biến được gán một tập hợp các số không liên quan, mỗi biến có một số (chỉ số) riêng.

Chỉ mục được nhập bằng cách nhấn vào dấu ngoặc vuông bên trái trên bàn phím hoặc sử dụng nút x N trên bảng điều khiển Máy tính.

Bạn có thể sử dụng hằng số hoặc biểu thức làm chỉ mục. Để khởi tạo một biến có chỉ mục, bạn phải nhập các phần tử của mảng, phân tách chúng bằng dấu phẩy.

Ví dụ. Nhập các biến chỉ số.

Các giá trị số được nhập vào bảng được phân tách bằng dấu phẩy;

Xuất giá trị của phần tử đầu tiên của vectơ S;

Xuất ra giá trị của phần tử 0 của vectơ S.

2.4 Mảng

mảng - một tập hợp được đặt tên duy nhất của một số hữu hạn các phần tử số hoặc ký tự, được sắp xếp theo một cách nào đó và có địa chỉ cụ thể.

Trong gói MathCAD mảng của hai loại phổ biến nhất được sử dụng:

một chiều (vectơ);

hai chiều (ma trận).

Bạn có thể xuất ma trận hoặc mẫu vectơ theo một trong các cách sau:

chọn mục menu Chèn - Ma trận;

nhấn tổ hợp phím Điều khiển + M;

nhấn nút trên bảng điều khiển và vectơ và ma trận.

Kết quả là, một hộp thoại sẽ xuất hiện trong đó số hàng và cột được yêu cầu được đặt:

Hàng- số dòng

cột-- số cột

Nếu một ma trận (vectơ) cần được đặt tên, thì tên của ma trận (vectơ) được nhập trước, sau đó là toán tử gán, rồi đến mẫu ma trận.

Ví dụ:

Ma trận - mảng hai chiều có tên M n, m, gồm n hàng và m cột.

Bạn có thể thực hiện các phép toán khác nhau trên ma trận.

2.5 Chức năng

Hàm số - một biểu thức mà theo đó một số phép tính được thực hiện với các đối số và giá trị số của nó được xác định. Ví dụ về hàm: tội(x), rám nắng(x) và vân vân.

Các hàm trong gói MathCAD có thể được tích hợp sẵn hoặc do người dùng định nghĩa. Các cách để chèn một hàm nội tuyến:

Chọn mục menu Chèn - Hàm số.

Nhấn tổ hợp phím Điều khiển + E.

Nhấp vào nút trên thanh công cụ.

Nhập tên của hàm trên bàn phím.

Các hàm người dùng thường được sử dụng khi cùng một biểu thức được đánh giá nhiều lần. Để đặt một chức năng người dùng:

· Nhập tên của hàm với dấu hiệu bắt buộc của đối số trong ngoặc, ví dụ, f (x);

Nhập toán tử gán (: =);

Nhập một biểu thức được tính toán.

Ví dụ. f (z): = sin (2 z 2)

3. Định dạng số

Trong MathCAD, bạn có thể thay đổi định dạng đầu ra của các số. Thông thường các phép tính được thực hiện với độ chính xác là 20 chữ số, nhưng không phải tất cả các số liệu quan trọng đều được hiển thị. Để thay đổi định dạng số, hãy bấm đúp vào kết quả số mong muốn. Cửa sổ định dạng số sẽ xuất hiện, mở trên tab con số Sự sắp xếp (Định dạng Số) với các định dạng sau:

o Chung (Chính) - là mặc định. Các số được hiển thị theo thứ tự (ví dụ: 1.2210 5). Số lượng dấu hiệu của phần định trị được xác định trong trường số mũ Ngưỡng(Ngưỡng ký hiệu hàm mũ). Khi vượt quá ngưỡng, số lượng được hiển thị theo thứ tự. Số chữ số sau dấu thập phân thay đổi trong trường con số của số thập phân nơi.

o Số thập phân (Số thập phân) - Biểu diễn số thập phân của số dấu phẩy động (ví dụ: 12,2316).

o Thuộc về khoa học (Khoa học) - Các con số chỉ được hiển thị theo thứ tự.

o Kỹ thuật (Kỹ thuật) - các số chỉ được hiển thị dưới dạng bội số của ba (ví dụ: 1,2210 6).

Chú ý. Nếu, sau khi đặt định dạng mong muốn trong cửa sổ định dạng số, hãy chọn nút ĐƯỢC RỒI, định dạng sẽ chỉ được đặt cho số đã chọn. Và nếu bạn chọn nút Đặt làm Mặc định, định dạng sẽ được áp dụng cho tất cả các số trong tài liệu này.

Các số sẽ tự động được làm tròn xuống 0 nếu chúng nhỏ hơn ngưỡng đã đặt. Ngưỡng được đặt cho toàn bộ tài liệu, không phải cho một kết quả cụ thể. Để thay đổi ngưỡng làm tròn thành 0, hãy chọn mục menu Định dạng - Kết quả và trong tab sức chịu đựng , trong lĩnh vực Số không ngưỡng cửa nhập giá trị ngưỡng bắt buộc.

4. Làm việc với văn bản

Đoạn văn bản là các đoạn văn bản mà người dùng muốn xem trong tài liệu của họ. Đây có thể là giải thích, liên kết, bình luận, v.v. Chúng được chèn bằng cách sử dụng mục menu Chèn - Vùng văn bản.

Bạn có thể định dạng văn bản: thay đổi phông chữ, kích thước, kiểu, căn lề, v.v. Để thực hiện việc này, hãy chọn nó và chọn các tùy chọn thích hợp trên bảng phông chữ hoặc trong menu Định dạng - Bản văn.

5. Làm việc với đồ họa

Khi giải quyết nhiều vấn đề trong đó một hàm số đang được nghiên cứu, việc vẽ đồ thị của nó thường trở nên cần thiết, điều này sẽ phản ánh rõ ràng hoạt động của hàm số trên một khoảng nào đó.

Trong hệ thống MathCAD, có thể xây dựng nhiều dạng đồ thị khác nhau: trong hệ tọa độ Descartes và cực, đồ thị ba chiều, bề mặt của các vật thể cách mạng, khối đa diện, đường cong không gian, đồ thị trường vectơ. Chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng một số trong số chúng.

5.1 Vẽ các lô 2D

Để xây dựng đồ thị hai chiều của một hàm, bạn cần:

thiết lập một chức năng

· Đặt con trỏ vào nơi cần xây dựng đồ thị, trên bảng toán học chọn nút Graph (đồ thị) và trong bảng mở ra, nút X-Y Plot (đồ thị hai chiều);

Trong mẫu xuất hiện của biểu đồ hai chiều, là một hình chữ nhật trống có nhãn dữ liệu, hãy nhập tên của biến trong nhãn dữ liệu trung tâm dọc theo trục abscissa (trục X) và nhập tên của hàm vào vị trí của nhãn dữ liệu trung tâm dọc theo trục tọa độ (trục Y) (Hình 2.1);

Cơm. 2.1. Mẫu lô 2D

nhấp vào bên ngoài mẫu đồ thị - đồ thị của hàm sẽ được vẽ.

Phạm vi đối số bao gồm 3 giá trị: ban đầu, thứ hai và cuối cùng.

Để đồ thị hàm số cần vẽ trên khoảng [-2,2] có bậc là 0,2. Giá trị biến đổi tđược chỉ định dưới dạng một phạm vi như sau:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

trong đó: -2 - giá trị ban đầu của phạm vi;

1,8 (-2 + 0,2) - giá trị phạm vi thứ hai (giá trị ban đầu cộng với bước);

2 là giá trị cuối của phạm vi.

Chú ý. Dấu chấm lửng được nhập bằng cách nhấn dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh.

Ví dụ. Vẽ một chức năng y = x 2 trên khoảng [-5,5] với bước 0,5 (Hình 2.2).

Cơm. 2.2. Vẽ một chức năng y = x 2

Khi vẽ biểu đồ, hãy xem xét những điều sau:

° Nếu phạm vi của các giá trị đối số không được chỉ định, thì theo mặc định, biểu đồ được tạo trong phạm vi [-10,10].

° Nếu cần đặt nhiều đồ thị trong một mẫu, thì tên của các hàm được chỉ định cách nhau bằng dấu phẩy.

° Nếu hai hàm có các đối số khác nhau, chẳng hạn như f1 (x) và f2 (y), thì tên của các hàm được biểu thị trên trục tọa độ (Y), được phân tách bằng dấu phẩy và trên trục abscissa (X), tên của cả hai biến cũng được phân tách bằng dấu phẩy.

° Các nhãn kết thúc của dữ liệu trên mẫu biểu đồ được sử dụng để chỉ ra các giá trị giới hạn của abscissa và sắp xếp, tức là họ thiết lập tỷ lệ của đồ thị. Nếu bạn để trống các nhãn này, tỷ lệ sẽ được đặt tự động. Thang đo tự động không phải lúc nào cũng phản ánh biểu đồ ở dạng mong muốn, do đó, các giá trị giới hạn của abscissa và thứ tự phải được chỉnh sửa bằng cách thay đổi chúng theo cách thủ công.

Ghi chú. Nếu sau khi vẽ biểu đồ không có dạng mong muốn, bạn có thể:

Giảm bước.

· Thay đổi khoảng thời gian vẽ biểu đồ.

Giảm giá trị giới hạn của abscissas và thứ tự trên biểu đồ.

Ví dụ. Dựng đường tròn có tâm tại điểm (2,3) và bán kính R = 6.

Phương trình của đường tròn có tâm tại một điểm có tọa độ ( x 0 ,y 0) và bán kính Rđược viết là:

Biểu thị từ phương trình này y:

Như vậy, để dựng hình tròn cần thiết lập hai hàm: bán nguyệt trên và bán nguyệt dưới. Phạm vi đối số được tính như sau:

Giá trị bắt đầu phạm vi = x 0 - R;

Giá trị cuối của dải ô = x 0 + R;

Tốt hơn là nên lấy bước bằng 0,1 (Hình 2.3.).

Cơm. 2.3. Xây dựng một vòng tròn

Đồ thị tham số của một hàm số

Đôi khi nó thuận tiện hơn thay vì một phương trình đường liên quan đến các tọa độ hình chữ nhật x và y, hãy coi cái gọi là phương trình đường tham số, cung cấp biểu thức cho tọa độ x và y hiện tại là hàm của một số biến t(tham số): x(t) và y(t). Khi xây dựng đồ thị tham số, tên các hàm của một đối số được chỉ ra trên trục tọa độ và trục hoành độ.

Ví dụ. Xây dựng một đường tròn có tâm tại một điểm có tọa độ (2,3) và bán kính R= 6. Để xây dựng, phương trình tham số của đường tròn được sử dụng

x = x 0 + R cos ( t) y = y 0 + R tội( t) (Hình 2.4.).

Hình.2.4. Xây dựng một vòng tròn

Định dạng biểu đồ

Để định dạng một biểu đồ, hãy nhấp đúp vào vùng biểu đồ. Hộp thoại Định dạng Đồ thị sẽ mở ra. Các tab trong cửa sổ định dạng biểu đồ được liệt kê bên dưới:

§ X- Y rìu- Định dạng các trục tọa độ. Bằng cách chọn các hộp thích hợp, bạn có thể:

· Nhật ký Tỉ lệ- đại diện cho các giá trị số trên các trục trên thang logarit (theo mặc định, các giá trị số được vẽ trên thang tuyến tính)

· Lưới điện dòng- vẽ một lưới các đường;

· đánh số- Sắp xếp các số dọc theo các trục tọa độ;

· Tự động Tỉ lệ- tự động lựa chọn các giá trị số giới hạn trên các trục (nếu hộp này không được chọn, các giá trị tính toán lớn nhất sẽ bị giới hạn);

· thể hiện đánh dấu- đánh dấu biểu đồ dưới dạng các đường chấm ngang hoặc dọc tương ứng với giá trị được chỉ định trên trục và bản thân các giá trị được hiển thị ở cuối các dòng (2 vị trí nhập xuất hiện trên mỗi trục, trong đó bạn có thể nhập các giá trị số, không nhập bất cứ thứ gì, nhập một số hoặc ký hiệu chữ cái của các hằng số);

· Tự động Gthoát khỏi- tự động lựa chọn số lượng đường lưới (nếu hộp này không được chọn, bạn phải chỉ định số lượng đường trong trường Number of Grids);

· vượt qua- trục abscissa đi qua điểm không của hoành độ;

· Đóng hộp- trục x chạy dọc theo cạnh dưới của đồ thị.

§ Dấu vết- định dạng đường của đồ thị hàm số. Đối với từng đồ thị riêng biệt, bạn có thể thay đổi:

ký hiệu (Symbol) trên đồ thị đối với các điểm nút (hình tròn, chữ thập, hình chữ nhật, hình thoi);

loại đường (Solid - nét liền, Dot - đường chấm, Dấu gạch ngang - nét, Dadot - đường chấm gạch ngang);

màu đường (Color);

Nhập (Ture) của biểu đồ (Đường - đường, Điểm - điểm, Var hoặc Solidbar - thanh, Biểu đồ bước - bước, v.v.);

độ dày dòng (Trọng lượng).

§ Nhãn -- tiêu đề trong khu vực đồ thị. Trong lĩnh vực Tiêu đề (Tiêu đề) bạn có thể viết văn bản của tiêu đề, chọn vị trí của tiêu đề - ở đầu hoặc cuối biểu đồ ( Bên trên -- đứng đầu, Phía dưới -- xuống bên dưới). Bạn có thể nhập, nếu cần, tên của đối số và hàm ( Nhãn trục ).

§ Mặc định - bằng cách sử dụng tab này, bạn có thể quay lại chế độ xem biểu đồ mặc định (Thay đổi thành mặc định) hoặc sử dụng các thay đổi bạn đã thực hiện trên biểu đồ theo mặc định cho tất cả các biểu đồ trong tài liệu này (Sử dụng cho Mặc định).

5.2 Xây dựng các ô địa cực

Để xây dựng đồ thị cực của một hàm, bạn cần:

· Thiết lập phạm vi giá trị đối số;

thiết lập một chức năng

· Đặt con trỏ vào nơi cần xây dựng đồ thị, trên bảng toán học chọn nút Graph (đồ thị) và trong bảng mở ra, nút Polar Plot (đồ thị cực);

· Ở những nơi mà mẫu xuất hiện, bạn phải nhập đối số góc của hàm (bên dưới) và tên của hàm (bên trái).

Ví dụ. Cấu tạo của lemniscate Bernoulli: (Hình 2.6.)

Hình.2.6. Một ví dụ về việc xây dựng một âm mưu cực

5.3 Các bề mặt vẽ đồ thị (3D hoặc 3D Plot)

Khi xây dựng đồ thị ba chiều, bảng điều khiển được sử dụng đồ thị(Đồ thị) bảng toán học. Bạn có thể xây dựng một biểu đồ ba chiều bằng cách sử dụng trình hướng dẫn được gọi từ menu chính; bạn có thể xây dựng một đồ thị bằng cách tạo một ma trận các giá trị của một hàm hai biến; bạn có thể sử dụng phương pháp xây dựng cấp tốc; bạn có thể gọi các hàm đặc biệt CreateMech và CreateSpase, được thiết kế để tạo một mảng các giá trị hàm và biểu đồ. Chúng ta sẽ xem xét một phương pháp tăng tốc để xây dựng một đồ thị ba chiều.

Vẽ đồ thị nhanh

Để nhanh chóng xây dựng đồ thị ba chiều của một hàm, bạn cần:

thiết lập một chức năng

đặt con trỏ vào nơi cần dựng biểu đồ, chọn nút trên bảng toán học đồ thị(Biểu đồ) và trong bảng điều khiển đã mở, nút ( biểu đồ bề mặt);

· Ở vị trí duy nhất của khuôn mẫu, nhập tên của hàm (mà không chỉ định biến);

· Nhấp vào bên ngoài mẫu biểu đồ - biểu đồ của hàm sẽ được xây dựng.

Ví dụ. Vẽ một chức năng z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (Hình 2.7).

Cơm. 2.7. Một ví dụ về một lô bề mặt nhanh

Biểu đồ đã xây dựng có thể được kiểm soát:

° quay của biểu đồ được thực hiện sau khi di con trỏ chuột lên nó bằng cách nhấn nút chuột trái;

° điều chỉnh tỷ lệ của biểu đồ được thực hiện sau khi đưa con trỏ chuột lên biểu đồ bằng cách nhấn đồng thời nút chuột trái và phím Ctrl (nếu bạn di chuyển chuột, biểu đồ sẽ phóng to hoặc thu nhỏ);

Hoạt ảnh biểu đồ ° được thực hiện theo cách tương tự, nhưng với phím Shift được nhấn thêm. Chỉ cần bắt đầu xoay biểu đồ bằng chuột, sau đó hoạt ảnh sẽ được thực hiện tự động. Để dừng xoay, hãy nhấp vào nút trái chuột bên trong vùng biểu đồ.

Có thể xây dựng nhiều bề mặt cùng một lúc trong một bản vẽ. Để thực hiện việc này, bạn cần đặt cả hai chức năng và chỉ định tên của các chức năng trên mẫu biểu đồ được phân tách bằng dấu phẩy.

Khi vẽ biểu đồ nhanh, các giá trị mặc định cho cả hai đối số nằm trong khoảng -5 đến +5 và số đường đồng mức là 20. Để thay đổi các giá trị này, bạn phải:

· Nhấp đúp vào biểu đồ;

· Chọn tab Dữ liệu Lô đất Nhanh trong cửa sổ đã mở;

· Nhập các giá trị mới vào vùng cửa sổ Range1 - cho đối số đầu tiên và Range2 - cho đối số thứ hai (bắt đầu - giá trị ban đầu, kết thúc - giá trị cuối cùng);

· Trong trường # of Grids, thay đổi số lượng đường lưới bao phủ bề mặt;

· Nhấp vào nút OK.

Ví dụ. Vẽ một chức năng z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2) (Hình 2.9).

Khi xây dựng đồ thị này, tốt hơn nên chọn các giới hạn thay đổi trong giá trị của cả hai đối số từ -2 đến +2.

Cơm. 2.9. Một ví dụ về vẽ đồ thị hàm số z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2)

phía trướcđồ thị 3D thảm

Để định dạng biểu đồ, hãy nhấp đúp vào vùng vẽ - một cửa sổ định dạng với một số tab sẽ xuất hiện: Xuất hiện, Chung, rìu, thắp sáng, Tiêu đề, Backplanes, Đặc biệt, Trình độ cao, Nhanh chóng Âm mưu Dữ liệu.

Mục đích của tab Nhanh chóng Âm mưu Dữ liệuđã được thảo luận ở trên.

Chuyển hướng Xuất hiện cho phép bạn thay đổi hình thức của biểu đồ. Đồng ruộng Lấp đầy Tùy chọn cho phép bạn thay đổi các thông số điền, trường đường kẻ Lựa chọn- tham số dòng, chỉ Tùy chọn- tham số điểm.

Trong tab Chung ( chung) trong nhóm lượt xem bạn có thể chọn các góc quay của bề mặt được mô tả xung quanh cả ba trục; trong một nhóm trưng bày như Bạn có thể thay đổi loại biểu đồ.

Trong tab thắp sáng(ánh sáng) bạn có thể kiểm soát ánh sáng bằng cách chọn hộp cho phép thắp sáng(bật đèn) và chuyển đổi Trên(bật). Một trong 6 phương án chiếu sáng khả thi được chọn từ danh sách thắp sáng cơ chế(sơ đồ chiếu sáng).

6. Các cách giải phương trình trong MathCAD

Trong phần này, chúng ta sẽ học cách lập phương trình đơn giản nhất dạng F ( x) = 0. Để giải một phương trình theo phương pháp giải tích, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của nó, tức là những số như vậy, khi thay chúng vào phương trình ban đầu, chúng ta thu được đẳng thức đúng. Để giải phương trình bằng đồ thị có nghĩa là tìm các giao điểm của đồ thị của hàm số với trục x.

6. 1 Giải phương trình sử dụng hàm root (f (x), x)

Đối với các nghiệm của một phương trình với một ẩn số có dạng F ( x) = 0 có một chức năng đặc biệt

nguồn gốc(f(x), x) ,

ở đâu f(x) là một biểu thức bằng 0;

X-- lý lẽ.

Hàm này trả về, với một độ chính xác nhất định, giá trị của một biến mà biểu thức f(x) bằng 0.

Chú ýe. Nếu vế phải của phương trình bằng 0 thì cần đưa về dạng bình thường (chuyển tất cả về vế trái).

Trước khi sử dụng chức năng nguồn gốc phải được đưa ra cho đối số Xước lượng ban đầu. Nếu có một số gốc, thì để tìm mỗi gốc, bạn phải xác định giá trị gần đúng ban đầu của mình.

Chú ý. Trước khi giải, nên vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem có các nghiệm nguyên (đồ thị có cắt trục Ox không), và nếu có thì là bao nhiêu. Có thể chọn giá trị gần đúng ban đầu theo đồ thị gần giao điểm hơn.

Ví dụ. Giải một phương trình bằng một hàm nguồn gốcđược thể hiện trong Hình 3.1. Trước khi tiếp tục giải trong hệ thống MathCAD, trong phương trình chúng ta sẽ chuyển mọi thứ sang vế trái. Phương trình sẽ có dạng:.

Cơm. 3.1. Giải phương trình bằng hàm gốc

6. 2 Giải các phương trình bằng hàm Đa thức (v)

Để tìm đồng thời tất cả các nghiệm nguyên của một đa thức, hãy sử dụng hàm nhiều cây(v), trong đó v là vectơ hệ số của đa thức, bắt đầu từ số hạng tự do . Không thể bỏ qua hệ số 0. Không giống như chức năng nguồn gốc hàm số Polyo không yêu cầu ước lượng ban đầu.

Ví dụ. Giải một phương trình bằng một hàm nhiều câyđược thể hiện trong hình 3.2.

Cơm. 3.2. Giải một phương trình bằng cách sử dụng hàm đa cơ sở

6.3 Giải phương trình với Tìm (x)

Hàm Find hoạt động cùng với từ khóa Given. Thiết kế Được cho - tìm thấy sử dụng kỹ thuật tính toán dựa trên việc tìm kiếm gốc gần điểm xấp xỉ ban đầu do người dùng chỉ định.

Nếu phương trình đã cho f(x) = 0, sau đó nó có thể được giải quyết như sau bằng cách sử dụng khối Được cho - tìm thấy:

Đặt ước lượng ban đầu

Nhập một từ dịch vụ

Viết phương trình bằng dấu in đậm bằng

Viết một hàm tìm với một biến không xác định dưới dạng tham số

Kết quả là sau dấu bằng, gốc tìm được sẽ được hiển thị.

Nếu có một số gốc, thì chúng có thể được tìm thấy bằng cách thay đổi giá trị gần đúng ban đầu x0 thành một giá trị gần với gốc mong muốn.

Ví dụ. Nghiệm của phương trình sử dụng hàm tìm được thể hiện trong Hình 3.3.

Cơm. 3.3. Giải một phương trình với hàm tìm

Đôi khi cần đánh dấu một số điểm trên đồ thị (ví dụ: giao điểm của một hàm số với trục Ox). Đối với điều này, bạn cần:

Xác định giá trị x của một điểm cho trước (dọc theo trục Ox) và giá trị của hàm số tại điểm này (theo trục Oy);

nhấp đúp vào biểu đồ và vào cửa sổ định dạng trong tab dấu vếtđối với đường tương ứng, hãy chọn loại đồ thị - điểm, độ dày đường - 2 hoặc 3.

Ví dụ.Đồ thị biểu diễn giao điểm của hàm số với trục x. Danh từ: Tọa độ Xđiểm này đã được tìm thấy trong ví dụ trước: X= 2,742 (căn của phương trình ) (Hình 3.4).

Cơm. 3.4. Đồ thị của một hàm có giao điểm được đánh dấu

Trong cửa sổ định dạng biểu đồ, trong tab dấu vết vì dấu vết2 đã thay đổi: loại biểu đồ - điểm, độ dày đường - 3, màu - đen.

7. Giải hệ phương trình

7.1 Giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính có thể giải được m phương pháp ma trận (thông qua ma trận nghịch đảo hoặc sử dụng hàm lsolve(A, B)) và sử dụng hai hàm tìm thấy và các tính năng Thợ mỏ.

Phương pháp ma trận

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Nghiệm của hệ phương trình này bằng phương pháp ma trận được thể hiện trong hình 4.1.

Cơm. 4.1. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Chức năng sử dụng lsolve(Một, B)

Lgỡ rối(A, B) là một hàm tích hợp trả về một vectơ X cho một hệ phương trình tuyến tính cho trước một ma trận các hệ số A và một vectơ gồm các số hạng tự do B .

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Cách giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng hàm lsolve (A, B) được trình bày trong Hình 4.2.

Cơm. 4.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm lsolve

Giải hệ phương trình tuyến tính qua chức năngvà tìm thấy

Với phương pháp này, các phương trình được nhập mà không cần sử dụng ma trận, tức là ở "dạng tự nhiên". Đầu tiên, cần chỉ ra các giá trị gần đúng ban đầu của các biến chưa biết. Nó có thể là bất kỳ số nào trong phạm vi của định nghĩa. Thường thì họ bị nhầm với một cột gồm các thành viên tự do.

Để giải một hệ phương trình tuyến tính sử dụng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy, cần thiết:

2) nhập một từ dịch vụ Được cho;

in đậm bằng();

4) viết một hàm tìm thấy,

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Giải pháp của hệ thống này bằng cách sử dụng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấyđược thể hiện trong Hình 4.3.

Cơm. 4.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm Tìm

Gần đúng pnghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm Thợ mỏ tương tự như giải pháp sử dụng hàm tìm thấy(sử dụng cùng một thuật toán), chỉ chức năng tìm thấyđưa ra giải pháp chính xác và Thợ mỏ- gần đúng. Nếu, do kết quả của việc tìm kiếm, không thể thu được thêm sự tinh chỉnh nào về giá trị gần đúng hiện tại đối với giải pháp, Thợ mỏr trả về giá trị gần đúng này. Hàm số tìm thấy trong trường hợp này trả về một thông báo lỗi.

Bạn có thể chọn một giá trị gần đúng ban đầu khác.

· Bạn có thể tăng hoặc giảm độ chính xác của phép tính. Để làm điều này, hãy chọn từ menu Toán học > Tùy chọn(Toán học - Tùy chọn), tab được xây dựng- Trong Biến(Các biến cài sẵn). Trong tab mở ra, bạn cần giảm sai số tính toán cho phép (Dung sai hội tụ (TOL)). TOL mặc định = 0,001.

TẠIchú ý. Với phương pháp giải ma trận cần sắp xếp lại các hệ số theo ẩn số tăng dần. X 1, X 2, X 3, X 4.

7.2 Giải hệ phương trình phi tuyến

Hệ phương trình phi tuyến tính trong MathCAD được giải bằng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy.

Thiết kế Được cho - tìm thấy sử dụng kỹ thuật tính toán dựa trên việc tìm gốc gần điểm xấp xỉ ban đầu do người dùng chỉ định.

Để giải một hệ phương trình bằng cách sử dụng khối Được cho - tìm thấy cần thiết:

1) đặt giá trị gần đúng ban đầu cho tất cả các biến;

2) nhập một từ dịch vụ Được cho;

3) Viết hệ phương trình bằng dấu in đậm bằng();

4) viết một hàm tìm thấy, bằng cách liệt kê các biến chưa biết dưới dạng tham số hàm.

Kết quả của các phép tính, vectơ nghiệm của hệ thống sẽ được hiển thị.

Nếu hệ thống có một số giải pháp, thuật toán nên được lặp lại với các phỏng đoán ban đầu khác.

Ghi chú. Nếu đang giải hệ hai phương trình có hai ẩn số thì trước khi giải, ta nên vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem hệ có nghiệm nguyên hay không (đồ thị của các hàm số đã cho có cắt nhau hay không) và nếu có thì là bao nhiêu. Có thể chọn giá trị gần đúng ban đầu theo đồ thị gần giao điểm hơn.

Ví dụ. Cho một hệ phương trình

Trước khi giải hệ, ta xây dựng đồ thị của các hàm số: parabol (phương trình thứ nhất) và đường thẳng (phương trình thứ hai). Việc xây dựng đồ thị của một đường thẳng và một parabol trong một hệ trục tọa độ được thể hiện trong Hình 4.5:

Cơm. 4.5. Vẽ hai hàm trong cùng một hệ tọa độ

Đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm, nghĩa là hệ có hai nghiệm. Theo đồ thị, chúng tôi chọn các giá trị gần đúng ban đầu của các ẩn số x và y cho mọi giải pháp. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình được thể hiện trong hình 4.6.

Cơm. 4.6. Tìm nghiệm nguyên của một hệ phương trình phi tuyến

Để đánh dấu trên đồ thị các giao điểm của parabol và đường thẳng, chúng tôi giới thiệu tọa độ của các điểm tìm được khi giải hệ dọc trục Ox (các giá trị X ) và dọc theo trục Oy (các giá trị tại ) cách nhau bằng dấu phẩy. Trong cửa sổ định dạng biểu đồ, trong tab dấu vết vì dấu vết3 và dấu vết4 thay đổi: loại biểu đồ - điểm, độ dày đường - 3, màu - đen (Hình 4.7).

Cơm. 4.7. Các đồ thị chức năng với các điểm giao nhau được đánh dấu

8 . Các ví dụ về cách sử dụng các tính năng chính MathCAD để giải quyết một số vấn đề toán học

Phần này cung cấp các ví dụ về giải các bài toán yêu cầu giải một phương trình hoặc một hệ phương trình.

8. 1 Tìm cực trị cục bộ của hàm

Điều kiện cần thiết để có cực trị (cực đại và / hoặc cực tiểu) của một hàm liên tục được xây dựng như sau: cực trị chỉ có thể diễn ra tại những điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại (đặc biệt, nó trở thành vô cùng) . Để tìm cực trị của một hàm số liên tục, trước hết phải tìm các điểm thỏa mãn điều kiện cần, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.

Nếu một đồ thị hàm được xây dựng, thì bạn có thể thấy ngay - cực đại hoặc cực tiểu đạt được tại một điểm nhất định X. Nếu không có biểu đồ, thì mỗi nghiệm nguyên tìm được sẽ được kiểm tra theo một trong các cách.

Ngày 1 với trợ cấp . Với cân bằng e dấu hiệu của đạo hàm . Dấu của đạo hàm được xác định trong vùng lân cận của điểm (tại các điểm cách cực trị của hàm số trên các cạnh đối diện một khoảng nhỏ). Nếu dấu của đạo hàm chuyển từ “+” thành “-” thì lúc này hàm số có cực đại. Nếu dấu chuyển từ "-" thành "+" thì lúc này hàm có cực tiểu. Nếu dấu của đạo hàm không thay đổi thì không có cực trị.

Giây thứ hai trợ cấp . TẠI tính toán e thứ hai phát sinh . Trong trường hợp này, đạo hàm cấp hai được tính tại điểm cực trị. Nếu nó nhỏ hơn 0 thì tại thời điểm này hàm có cực đại, nếu lớn hơn 0 thì là cực tiểu.

Ví dụ. Tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm.

Đầu tiên, hãy xây dựng một đồ thị của hàm (Hình 6.1).

Cơm. 6.1. Vẽ một chức năng

Hãy để chúng tôi xác định từ biểu đồ các giá trị gần đúng ban đầu X tương ứng với cực trị cục bộ của hàm f(x). Hãy tìm các điểm cực trị này bằng cách giải phương trình. Để giải quyết, chúng tôi sử dụng khối Given - Find (Hình 6.2.).

Cơm. 6.2. Tìm cực trị địa phương

Hãy để chúng tôi xác định loại cực trị pervđường, kiểm tra sự thay đổi dấu của đạo hàm trong vùng lân cận của các giá trị tìm được (Hình 6.3).

Cơm. 6.3. Xác định loại cực trị

Từ bảng giá trị của đạo hàm và từ đồ thị có thể thấy dấu của đạo hàm trong vùng lân cận của điểm x 1 thay đổi từ cộng sang trừ, vì vậy hàm đạt cực đại tại thời điểm này. Và trong vùng lân cận của điểm x 2, dấu của đạo hàm đã chuyển từ trừ sang cộng nên lúc này hàm số đạt cực tiểu.

Hãy để chúng tôi xác định loại cực trị thứ haiđường, tính dấu của đạo hàm cấp hai (Hình 6.4).

Cơm. 6.4. Xác định loại cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp hai

Có thể thấy rằng ở thời điểm x 1 đạo hàm cấp hai nhỏ hơn 0, vì vậy điểm X 1 tương ứng với mức tối đa của hàm. Và ở điểm x 2 đạo hàm cấp hai lớn hơn 0, vì vậy điểm X 2 tương ứng với cực tiểu của hàm.

8.2 Xác định diện tích của các hình được giới hạn bởi các đường liên tục

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) , một đoạn trên trục Ox và hai phương thẳng đứng X = một và X = b, một < b, được xác định theo công thức:.

Ví dụ. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường f(x) = 1 - x 2 và y = 0.

Cơm. 6.5. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường f(x) = 1 - x 2 và y = 0

Diện tích của hình nằm giữa các đồ thị của hàm số f1(x) và f2(x) và trực tiếp X = một và X = b, được tính theo công thức:

Chú ý. Để tránh sai số khi tính diện tích, sự khác biệt của các hàm phải được lấy modulo. Do đó, khu vực này sẽ luôn tích cực.

Ví dụ. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường và. Giải pháp được hiển thị trong hình 6.6.

1. Ta xây dựng đồ thị của hàm số.

2. Chúng ta tìm các giao điểm của các hàm bằng cách sử dụng hàm gốc. Chúng tôi sẽ xác định các giá trị gần đúng ban đầu từ đồ thị.

3. Giá trị tìm thấy x được thay thế vào công thức như các giới hạn của tích phân.

8. 3 Xây dựng các đường cong bởi các điểm đã cho

Dựng đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( x 0,y 0) và B ( x 1,y 1), thuật toán sau được đề xuất:

ở đâu một và b là các hệ số của đoạn thẳng mà chúng ta cần tìm.

2. Hệ thống này là tuyến tính. Nó có hai biến không xác định: một và b

Ví dụ. Dựng đường thẳng đi qua điểm A (-2, -4) và B (5,7).

Ta thay tọa độ trực tiếp của các điểm này vào phương trình và nhận được hệ thức:

Giải pháp của hệ thống này trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.7.

Cơm. 6.7 Giải pháp hệ thống

Kết quả của việc giải quyết hệ thống, chúng tôi thu được: một = 1.57, b= -0,857. Vì vậy, phương trình của một đường thẳng sẽ có dạng: y = 1.57x- 0,857. Hãy dựng đường thẳng này (Hình 6.8).

Cơm. 6,8. Xây dựng một đường thẳng

Xây dựng một parabol, đi qua ba điểm nhất định

Để dựng một parabol đi qua ba điểm A ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) và C ( x 2,y 2), thuật toán như sau:

1. Parabol được cho bởi phương trình

y = cây rìu 2 + bX + với, ở đâu

một, b và với là các hệ số của parabol mà chúng ta cần tìm.

Chúng tôi thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình này và nhận được hệ thống:

2. Hệ thống này là tuyến tính. Nó có ba biến không xác định: một, b và với. Hệ thống có thể được giải quyết theo cách ma trận.

3. Chúng tôi thay thế các hệ số thu được vào phương trình và xây dựng một parabol.

Ví dụ. Dựng hình parabol đi qua các điểm A (-1, -4), B (1, -2) và C (3,16).

Ta thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình parabol và nhận được hệ thức:

Lời giải của hệ phương trình này trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.9.

Cơm. 6,9. Giải hệ phương trình

Kết quả là, các hệ số thu được: một = 2, b = 1, c= -5. Ta nhận được phương trình parabol: 2 x 2 +x -5 = y. Hãy xây dựng hình parabol này (Hình 6.10).

Cơm. 6.10. Xây dựng một parabol

Dựng đường tròn đi qua ba điểm cho trước

Dựng đường tròn đi qua ba điểm A ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) và C ( x 3,y 3), bạn có thể sử dụng thuật toán sau:

1. Đường tròn được cho bởi phương trình

trong đó x0, y0 là tọa độ của tâm đường tròn;

R là bán kính của hình tròn.

2. Thay các tọa độ đã cho vào phương trình của đường tròn ...........

Gửi công việc tốt của bạn trong cơ sở kiến ​​thức là đơn giản. Sử dụng biểu mẫu bên dưới

Các sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng tri thức trong học tập và làm việc sẽ rất biết ơn các bạn.

1. Cửa sổ làm việc MathCAD

· Bảng điều khiển toán học(Hình 1.4).

Cơm. 1.4. Bảng toán học

Nhấp vào nút trên thanh công cụ toán học sẽ mở ra một thanh công cụ bổ sung:

2. Các yếu tố của ngôn ngữ MathCAD

Các phần tử cơ bản của biểu thức toán học MathCAD bao gồm toán tử, hằng số, biến, mảng và hàm.

2.1 Các nhà khai thác

Các nhà khai thác - các phần tử của MathCAD mà bạn có thể tạo các biểu thức toán học. Ví dụ, chúng bao gồm các ký hiệu cho các phép toán số học, các dấu hiệu để tính tổng, tích, đạo hàm, tích phân, v.v.

Toán tử định nghĩa:

a) hành động được thực hiện khi có các giá trị nhất định của toán hạng;

b) có bao nhiêu, ở đâu và những toán hạng nào nên được nhập vào toán tử.

Toán hạng - số hoặc biểu thức mà toán tử tác động lên. Ví dụ, trong biểu thức 5! +3, các số 5! và 3 là toán hạng của toán tử "+" (cộng), và số 5 là toán hạng của giai thừa (!).

Bất kỳ toán tử nào trong MathCAD đều có thể được nhập theo hai cách:

bằng cách nhấn một phím (tổ hợp phím) trên bàn phím;

sử dụng bảng toán học.

Các câu lệnh sau được sử dụng để gán hoặc hiển thị nội dung của vị trí bộ nhớ được liên kết với một biến:

- dấu chỉ định (nhập bằng cách nhấn phím : trên bàn phím (dấu hai chấm trong bố cục bàn phím tiếng Anh) hoặc bằng cách nhấn vào nút tương ứng trên bảng điều khiển Máy tính );

Nhiệm vụ này được gọi là địa phương. Trước lần gán này, biến không được xác định và không thể được sử dụng.

- toán tử gán toàn cục. Bài tập này có thể được thực hiện ở bất kỳ đâu trong tài liệu. Ví dụ: nếu một biến được gán giá trị theo cách này ở cuối tài liệu, thì biến đó sẽ có cùng giá trị ở đầu tài liệu.

- toán tử bình đẳng gần đúng (x1). Dùng trong giải hệ phương trình. Vào bằng cách nhấn một phím ; trên bàn phím (dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh) hoặc bằng cách nhấn vào nút tương ứng trên Bảng Boolean.

Toán tử = - (đơn giản bằng) dành riêng cho việc xuất ra giá trị của một hằng số hoặc một biến.

Các phép tính đơn giản nhất

Quá trình tính toán được thực hiện bằng cách sử dụng:

Bảng Máy tính, Bảng Giải tích và Bảng Ước tính.

Chú ý. Nếu cần phải chia toàn bộ biểu thức trong tử số, thì trước tiên nó phải được chọn bằng cách nhấn phím cách trên bàn phím hoặc bằng cách đặt nó trong dấu ngoặc.

2.2 Hằng số

Hằng số -- các đối tượng được đặt tên giữ một số giá trị không thể thay đổi.

Ví dụ, = 3,14.

Hằng số thứ nguyên là các đơn vị đo lường thông dụng. Ví dụ: mét, giây, v.v.

Để viết hằng số chiều, bạn phải nhập dấu * (nhân) sau số, chọn mục menu Chènđoạn dưới Đơn vị. Trong các phép đo, các loại được bạn biết đến nhiều nhất: Chiều dài - chiều dài (m, km, cm); Khối lượng - trọng lượng (g, kg, t); Time - thời gian (phút, giây, giờ).

2.3 Các biến

Biến là các đối tượng được đặt tên có một số giá trị có thể thay đổi khi chương trình chạy. Các biến có thể là số, chuỗi, ký tự, v.v. Các biến được gán giá trị bằng cách sử dụng dấu gán (: =).

Chú ý. MathCAD coi các chữ cái viết hoa và viết thường là các mã định danh khác nhau.

Các biến hệ thống

TẠI MathCAD chứa một nhóm nhỏ các đối tượng đặc biệt không thể được quy cho lớp hằng số hoặc lớp biến, giá trị của chúng được xác định ngay sau khi chương trình được khởi động. Tốt hơn là nên đếm chúng biến hệ thống. Ví dụ, đây là TOL - lỗi của phép tính số, ORIGIN - giới hạn dưới của giá trị chỉ số chỉ số của vectơ, ma trận, v.v. Nếu cần, bạn có thể đặt các giá trị khác cho các biến này.

Các biến được xếp hạng

Các biến này có một loạt các giá trị cố định, có thể là số nguyên hoặc thay đổi theo một bước nhất định từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối cùng.

Một biểu thức được sử dụng để tạo một biến phạm vi:

Tên = N bắt đầu,(N bắt đầu+ Bước) .. N chấm dứt,

trong đó Tên là tên của biến;

N begin - giá trị ban đầu;

Step - bước được chỉ định để thay đổi biến;

N end - giá trị cuối.

Các biến xếp hạng được sử dụng rộng rãi trong việc vẽ biểu đồ. Ví dụ, để vẽ đồ thị của một số hàm f(x) trước hết, bạn cần tạo một loạt các giá trị biến x- nó phải là một biến có phạm vi hoạt động.

Chú ý. Nếu bước không được chỉ định trong phạm vi của biến, thì gram sẽ tự động lấy nó bằng 1.

Ví dụ . Biến đổi x thay đổi trong phạm vi từ -16 đến +16 trong các bước 0,1

Để viết một biến có phạm vi, bạn sẽ nhập:

Tên biến ( x);

Dấu hiệu chuyển nhượng (: =)

Giá trị đầu tiên của phạm vi (-16);

dấu phẩy;

Giá trị thứ hai của phạm vi, là tổng của giá trị đầu tiên và bước (-16 + 0,1);

dấu chấm lửng ( .. ) - thay đổi biến trong giới hạn đã cho (dấu chấm lửng được nhập bằng cách nhấn dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh);

Giá trị phạm vi cuối cùng (16).

Kết quả là, bạn sẽ nhận được: x := -16,-16+0.1..16.

Bảng đầu ra

Bất kỳ biểu thức nào có các biến được xếp hạng sau dấu bằng sẽ bắt đầu bảng đầu ra.

Bạn có thể chèn các giá trị số vào bảng đầu ra và sửa chúng.

Biến với chỉ mục

Biến với chỉ mục- là một biến được gán một tập hợp các số không liên quan, mỗi biến có một số (chỉ số) riêng.

Chỉ mục được nhập bằng cách nhấn vào dấu ngoặc vuông bên trái trên bàn phím hoặc sử dụng nút x N trên bảng điều khiển Máy tính.

Bạn có thể sử dụng hằng số hoặc biểu thức làm chỉ mục. Để khởi tạo một biến có chỉ mục, bạn phải nhập các phần tử của mảng, phân tách chúng bằng dấu phẩy.

Ví dụ. Nhập các biến chỉ số.

Các giá trị số được nhập vào bảng được phân tách bằng dấu phẩy;

Xuất giá trị của phần tử đầu tiên của vectơ S;

Xuất ra giá trị của phần tử 0 của vectơ S.

2.4 Mảng

mảng -- một tập hợp được đặt tên duy nhất gồm một số hữu hạn các phần tử số hoặc ký tự, được sắp xếp theo một cách nào đó và có địa chỉ cụ thể.

Trong gói MathCAD mảng của hai loại phổ biến nhất được sử dụng:

một chiều (vectơ);

hai chiều (ma trận).

Bạn có thể xuất ma trận hoặc mẫu vectơ theo một trong các cách sau:

chọn mục menu Chèn - Ma trận;

nhấn tổ hợp phím Điều khiển+ M;

nhấn nút trên bảng điều khiển và vectơ và ma trận.

Kết quả là, một hộp thoại sẽ xuất hiện trong đó số hàng và cột được yêu cầu được đặt:

Hàng- số dòng

cột-- số cột

Nếu một ma trận (vectơ) cần được đặt tên, thì tên của ma trận (vectơ) được nhập trước, sau đó là toán tử gán, rồi đến mẫu ma trận.

Ví dụ:

Ma trận - mảng hai chiều có tên M n, m, gồm n hàng và m cột.

Bạn có thể thực hiện các phép toán khác nhau trên ma trận.

2.5 Chức năng

Hàm số - một biểu thức mà theo đó một số phép tính được thực hiện với các đối số và giá trị số của nó được xác định. Ví dụ về hàm: tội(x), rám nắng(x) và vân vân.

Các hàm trong gói MathCAD có thể được tích hợp sẵn hoặc do người dùng định nghĩa. Các cách để chèn một hàm nội tuyến:

Chọn mục menu Chèn- Hàm số.

Nhấn tổ hợp phím Điều khiển+ E.

Nhấp vào nút trên thanh công cụ.

Nhập tên của hàm trên bàn phím.

Các hàm người dùng thường được sử dụng khi cùng một biểu thức được đánh giá nhiều lần. Để đặt một chức năng người dùng:

· Nhập tên của hàm với dấu hiệu bắt buộc của đối số trong ngoặc, ví dụ, f (x);

Nhập toán tử gán (: =);

Nhập một biểu thức được tính toán.

Ví dụ. f (z): = sin (2 z 2)

3. Định dạng số

Trong MathCAD, bạn có thể thay đổi định dạng đầu ra của các số. Thông thường các phép tính được thực hiện với độ chính xác là 20 chữ số, nhưng không phải tất cả các số liệu quan trọng đều được hiển thị. Để thay đổi định dạng số, hãy bấm đúp vào kết quả số mong muốn. Cửa sổ định dạng số sẽ xuất hiện, mở trên tab con số Sự sắp xếp (Định dạng Số) với các định dạng sau:

o Chung (Chính) - là mặc định. Các số được hiển thị theo thứ tự (ví dụ: 1.2210 5). Số lượng dấu hiệu của phần định trị được xác định trong trường số mũ Ngưỡng(Ngưỡng ký hiệu hàm mũ). Khi vượt quá ngưỡng, số lượng được hiển thị theo thứ tự. Số chữ số sau dấu thập phân thay đổi trong trường con số của số thập phân nơi.

o Số thập phân (Số thập phân) - Biểu diễn số thập phân của số dấu phẩy động (ví dụ: 12,2316).

o Thuộc về khoa học (Khoa học) - Các con số chỉ được hiển thị theo thứ tự.

o Kỹ thuật (Kỹ thuật) - các số chỉ được hiển thị dưới dạng bội số của ba (ví dụ: 1,2210 6).

Chú ý. Nếu, sau khi đặt định dạng mong muốn trong cửa sổ định dạng số, hãy chọn nút ĐƯỢC RỒI, định dạng sẽ chỉ được đặt cho số đã chọn. Và nếu bạn chọn nút Đặt làm Mặc định, định dạng sẽ được áp dụng cho tất cả các số trong tài liệu này.

Các số sẽ tự động được làm tròn xuống 0 nếu chúng nhỏ hơn ngưỡng đã đặt. Ngưỡng được đặt cho toàn bộ tài liệu, không phải cho một kết quả cụ thể. Để thay đổi ngưỡng làm tròn thành 0, hãy chọn mục menu Định dạng - Kết quả và trong tab sức chịu đựng , trong lĩnh vực Số không ngưỡng cửa nhập giá trị ngưỡng bắt buộc.

4 . Làm việc với văn bản

Đoạn văn bản là các đoạn văn bản mà người dùng muốn xem trong tài liệu của họ. Đây có thể là giải thích, liên kết, bình luận, v.v. Chúng được chèn bằng cách sử dụng mục menu Chèn - Vùng văn bản.

Bạn có thể định dạng văn bản: thay đổi phông chữ, kích thước, kiểu, căn lề, v.v. Để thực hiện việc này, hãy chọn nó và chọn các tùy chọn thích hợp trên bảng phông chữ hoặc trong menu Định dạng - Bản văn.

5. Làm việc với đồ họa

Khi giải quyết nhiều vấn đề trong đó một hàm số đang được nghiên cứu, việc vẽ đồ thị của nó thường trở nên cần thiết, điều này sẽ phản ánh rõ ràng hoạt động của hàm số trên một khoảng nào đó.

Trong hệ thống MathCAD, có thể xây dựng nhiều dạng đồ thị khác nhau: trong hệ tọa độ Descartes và cực, đồ thị ba chiều, bề mặt của các vật thể cách mạng, khối đa diện, đường cong không gian, đồ thị trường vectơ. Chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng một số trong số chúng.

5.1 Xây dựng đồ thị hai chiều

Để xây dựng đồ thị hai chiều của một hàm, bạn cần:

thiết lập một chức năng

· Đặt con trỏ vào nơi cần xây dựng đồ thị, trên bảng toán học chọn nút Graph (đồ thị) và trong bảng mở ra, nút X-Y Plot (đồ thị hai chiều);

Trong mẫu xuất hiện của biểu đồ hai chiều, là một hình chữ nhật trống có nhãn dữ liệu, hãy nhập tên của biến trong nhãn dữ liệu trung tâm dọc theo trục abscissa (trục X) và nhập tên của hàm vào vị trí của nhãn dữ liệu trung tâm dọc theo trục tọa độ (trục Y) (Hình 2.1); \

Cơm. 2.1. Mẫu lô 2D

nhấp vào bên ngoài mẫu đồ thị - đồ thị của hàm sẽ được vẽ.

Phạm vi đối số bao gồm 3 giá trị: ban đầu, thứ hai và cuối cùng.

Để đồ thị hàm số cần vẽ trên khoảng [-2,2] có bậc là 0,2. Giá trị biến đổi tđược chỉ định dưới dạng một phạm vi như sau:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

trong đó: -2 - giá trị ban đầu của phạm vi;

-1,8 (-2 + 0,2) - giá trị phạm vi thứ hai (giá trị ban đầu cộng với số gia tăng);

2 - giá trị cuối của phạm vi.

Chú ý. Dấu chấm lửng được nhập bằng cách nhấn dấu chấm phẩy trong bố cục bàn phím tiếng Anh.

Ví dụ. Vẽ một chức năng y = x 2 trên khoảng [-5,5] với bước 0,5 (Hình 2.2).

Cơm. 2.2. Vẽ một chức năng y = x 2

Khi vẽ biểu đồ, hãy xem xét những điều sau:

° Nếu phạm vi của các giá trị đối số không được chỉ định, thì theo mặc định, biểu đồ được tạo trong phạm vi [-10,10].

° Nếu cần đặt nhiều đồ thị trong một mẫu, thì tên của các hàm được chỉ định cách nhau bằng dấu phẩy.

° Nếu hai hàm có các đối số khác nhau, chẳng hạn như f1 (x) và f2 (y), thì tên của các hàm được biểu thị trên trục tọa độ (Y), được phân tách bằng dấu phẩy và trên trục abscissa (X), tên của cả hai biến cũng được phân tách bằng dấu phẩy.

° Các nhãn kết thúc của dữ liệu trên mẫu biểu đồ được sử dụng để chỉ ra các giá trị giới hạn của abscissa và sắp xếp, tức là họ thiết lập tỷ lệ của đồ thị. Nếu bạn để trống các nhãn này, tỷ lệ sẽ được đặt tự động. Thang đo tự động không phải lúc nào cũng phản ánh biểu đồ ở dạng mong muốn, do đó, các giá trị giới hạn của abscissa và thứ tự phải được chỉnh sửa bằng cách thay đổi chúng theo cách thủ công.

Ghi chú. Nếu sau khi vẽ biểu đồ không có dạng mong muốn, bạn có thể:

Giảm bước.

· Thay đổi khoảng thời gian vẽ biểu đồ.

Giảm giá trị giới hạn của abscissas và thứ tự trên biểu đồ.

Ví dụ. Dựng đường tròn có tâm tại điểm (2,3) và bán kính R = 6.

Phương trình của đường tròn có tâm tại một điểm có tọa độ ( x 0 ,y 0) và bán kính Rđược viết là:

Biểu thị từ phương trình này y:

Như vậy, để dựng hình tròn cần thiết lập hai hàm: bán nguyệt trên và bán nguyệt dưới. Phạm vi đối số được tính như sau:

Giá trị bắt đầu phạm vi = x 0 - R;

Giá trị cuối của dải ô = x 0 + R;

Tốt hơn là nên lấy bước bằng 0,1 (Hình 2.3.).

Cơm. 2.3. Xây dựng một vòng tròn

Đồ thị tham số của một hàm số

Đôi khi nó thuận tiện hơn thay vì một phương trình đường liên quan đến các tọa độ hình chữ nhật x và y, hãy coi cái gọi là phương trình đường tham số, cung cấp biểu thức cho tọa độ x và y hiện tại là hàm của một số biến t(tham số): x(t) và y(t). Khi xây dựng đồ thị tham số, tên các hàm của một đối số được chỉ ra trên trục tọa độ và trục hoành độ.

Ví dụ. Xây dựng một đường tròn có tâm tại một điểm có tọa độ (2,3) và bán kính R= 6. Để xây dựng, phương trình tham số của đường tròn được sử dụng

x = x 0 + R cos ( t) y = y 0 + R tội( t) (Hình 2.4.).

Hình.2.4. Xây dựng một vòng tròn

Định dạng biểu đồ

Để định dạng một biểu đồ, hãy nhấp đúp vào vùng biểu đồ. Hộp thoại Định dạng Đồ thị sẽ mở ra. Các tab trong cửa sổ định dạng biểu đồ được liệt kê bên dưới:

§ X- Yrìu- định dạng trục tọa độ. Bằng cách chọn các hộp thích hợp, bạn có thể:

· Nhật kýTỉ lệ- đại diện cho các giá trị số trên các trục theo thang logarit (theo mặc định, các giá trị số được vẽ trên thang tuyến tính)

· Lưới điệndòng- áp dụng một lưới các đường;

· đánh số- sắp xếp các số dọc theo các trục tọa độ;

· Tự độngTỉ lệ- tự động lựa chọn các giá trị số giới hạn trên các trục (nếu hộp này không được chọn, các giá trị tính toán lớn nhất sẽ bị giới hạn);

· thể hiệnđánh dấu- đánh dấu biểu đồ dưới dạng các đường chấm ngang hoặc dọc tương ứng với giá trị được chỉ định trên trục và bản thân các giá trị được hiển thị ở cuối các dòng (2 vị trí nhập xuất hiện trên mỗi trục, trong đó bạn có thể nhập các giá trị số, không nhập bất cứ thứ gì, nhập một số hoặc ký hiệu chữ cái của các hằng số);

· Tự độngGthoát khỏi- tự động lựa chọn số lượng đường lưới (nếu hộp này không được chọn, bạn phải chỉ định số lượng đường trong trường Number of Grids);

· vượt qua- trục abscissa đi qua điểm không của hoành độ;

· Đóng hộp- trục x chạy dọc theo cạnh dưới của đồ thị.

§ Dấu vết- định dạng đường của đồ thị hàm số. Đối với từng đồ thị riêng biệt, bạn có thể thay đổi:

ký hiệu (Symbol) trên đồ thị đối với các điểm nút (hình tròn, chữ thập, hình chữ nhật, hình thoi);

loại đường (Solid - nét liền, Dot - đường chấm, Dấu gạch ngang - nét, Dadot - đường chấm gạch ngang);

màu đường (Color);

Nhập (Ture) của biểu đồ (Đường - đường, Điểm - điểm, Var hoặc Solidbar - thanh, Biểu đồ bước - bước, v.v.);

độ dày dòng (Trọng lượng).

§ Nhãn -- tiêu đề trong khu vực đồ thị. Trong lĩnh vực Tiêu đề (Tiêu đề) bạn có thể viết văn bản của tiêu đề, chọn vị trí của tiêu đề - ở đầu hoặc cuối biểu đồ ( Bên trên -- đứng đầu, Phía dưới -- xuống bên dưới). Bạn có thể nhập, nếu cần, tên của đối số và hàm ( Nhãn trục ).

§ Mặc định - bằng cách sử dụng tab này, bạn có thể quay lại chế độ xem biểu đồ mặc định (Thay đổi thành mặc định) hoặc sử dụng các thay đổi bạn đã thực hiện trên biểu đồ theo mặc định cho tất cả các biểu đồ trong tài liệu này (Sử dụng cho Mặc định).

5. 2 Xây dựng ô cực

Để xây dựng đồ thị cực của một hàm, bạn cần:

· Thiết lập phạm vi giá trị đối số;

thiết lập một chức năng

· Đặt con trỏ vào nơi cần xây dựng đồ thị, trên bảng toán học chọn nút Graph (đồ thị) và trong bảng mở ra, nút Polar Plot (đồ thị cực);

· Ở những nơi mà mẫu xuất hiện, bạn phải nhập đối số góc của hàm (bên dưới) và tên của hàm (bên trái).

Ví dụ. Cấu tạo của lemniscate Bernoulli: (Hình 2.6.)

Hình.2.6. Một ví dụ về việc xây dựng một âm mưu cực

5. 3 Vẽ đồ thị bề mặt (3D hoặc 3 D - đồ thị)

Khi xây dựng đồ thị ba chiều, bảng điều khiển được sử dụng đồ thị(Đồ thị) bảng toán học. Bạn có thể xây dựng một biểu đồ ba chiều bằng cách sử dụng trình hướng dẫn được gọi từ menu chính; bạn có thể xây dựng một đồ thị bằng cách tạo một ma trận các giá trị của một hàm hai biến; bạn có thể sử dụng phương pháp xây dựng cấp tốc; bạn có thể gọi các hàm đặc biệt CreateMech và CreateSpase, được thiết kế để tạo một mảng các giá trị hàm và biểu đồ. Chúng ta sẽ xem xét một phương pháp tăng tốc để xây dựng một đồ thị ba chiều.

Vẽ đồ thị nhanh

Để nhanh chóng xây dựng đồ thị ba chiều của một hàm, bạn cần:

thiết lập một chức năng

đặt con trỏ vào nơi cần dựng biểu đồ, chọn nút trên bảng toán học đồ thị(Biểu đồ) và trong bảng điều khiển đã mở, nút ( biểu đồ bề mặt);

· Ở vị trí duy nhất của khuôn mẫu, nhập tên của hàm (mà không chỉ định biến);

· Nhấp vào bên ngoài mẫu biểu đồ - biểu đồ của hàm sẽ được xây dựng.

Ví dụ. Vẽ một chức năng z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (Hình 2.7).

Cơm. 2.7. Một ví dụ về một lô bề mặt nhanh

Biểu đồ đã xây dựng có thể được kiểm soát:

° quay của biểu đồ được thực hiện sau khi di con trỏ chuột lên nó bằng cách nhấn nút chuột trái;

° điều chỉnh tỷ lệ của biểu đồ được thực hiện sau khi đưa con trỏ chuột lên biểu đồ bằng cách nhấn đồng thời nút chuột trái và phím Ctrl (nếu bạn di chuyển chuột, biểu đồ sẽ phóng to hoặc thu nhỏ);

Hoạt ảnh biểu đồ ° được thực hiện theo cách tương tự, nhưng với phím Shift được nhấn thêm. Chỉ cần bắt đầu xoay biểu đồ bằng chuột, sau đó hoạt ảnh sẽ được thực hiện tự động. Để dừng xoay, hãy nhấp chuột trái vào bên trong vùng biểu đồ.

Có thể xây dựng nhiều bề mặt cùng một lúc trong một bản vẽ. Để thực hiện việc này, bạn cần đặt cả hai chức năng và chỉ định tên của các chức năng trên mẫu biểu đồ được phân tách bằng dấu phẩy.

Khi vẽ biểu đồ nhanh, các giá trị mặc định cho cả hai đối số nằm trong khoảng -5 đến +5 và số đường đồng mức là 20. Để thay đổi các giá trị này, bạn phải:

· Nhấp đúp vào biểu đồ;

· Chọn tab Dữ liệu Lô đất Nhanh trong cửa sổ đã mở;

· Nhập các giá trị mới vào vùng cửa sổ Range1 - cho đối số đầu tiên và Range2 - cho đối số thứ hai (bắt đầu - giá trị ban đầu, kết thúc - giá trị cuối cùng);

· Trong trường # of Grids, thay đổi số lượng đường lưới bao phủ bề mặt;

· Nhấp vào nút OK.

Ví dụ. Vẽ một chức năng z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2) (Hình 2.9).

Khi xây dựng đồ thị này, tốt hơn nên chọn các giới hạn thay đổi trong giá trị của cả hai đối số từ -2 đến +2.

Cơm. 2.9. Một ví dụ về vẽ đồ thị hàm số z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2)

phía trướcđồ thị 3D thảm

Để định dạng biểu đồ, hãy nhấp đúp vào vùng vẽ - một cửa sổ định dạng với một số tab sẽ xuất hiện: Xuất hiện,Chung,rìu,thắp sáng,Tiêu đề,Backplanes,Đặc biệt, Trình độ cao, Nhanh chóngÂm mưuDữ liệu.

Mục đích của tab Nhanh chóngÂm mưuDữ liệuđã được thảo luận ở trên.

Chuyển hướng Xuất hiện cho phép bạn thay đổi hình thức của biểu đồ. Đồng ruộng Lấp đầy Tùy chọn cho phép bạn thay đổi các thông số điền, trường đường kẻ Lựa chọn- tham số dòng, chỉ Tùy chọn- tham số điểm.

Trong tab Chung ( chung) trong nhóm lượt xem bạn có thể chọn các góc quay của bề mặt được mô tả xung quanh cả ba trục; trong một nhóm trưng bàynhư Bạn có thể thay đổi loại biểu đồ.

Trong tab thắp sáng(ánh sáng) bạn có thể kiểm soát ánh sáng bằng cách chọn hộp cho phépthắp sáng(bật đèn) và chuyển đổi Trên(bật). Một trong 6 phương án chiếu sáng khả thi được chọn từ danh sách thắp sángcơ chế(sơ đồ chiếu sáng).

6. Các cách giải phương trình trong MathCAD

Trong phần này, chúng ta sẽ học cách lập phương trình đơn giản nhất dạng F ( x) = 0. Để giải một phương trình theo phương pháp giải tích, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của nó, tức là những số như vậy, khi thay chúng vào phương trình ban đầu, chúng ta thu được đẳng thức đúng. Để giải phương trình bằng đồ thị có nghĩa là tìm các giao điểm của đồ thị của hàm số với trục x.

6. 1 Giải phương trình bằng f chức năng và nguồn gốc ( f ( x ), x )

Đối với các nghiệm của một phương trình với một ẩn số có dạng F ( x) = 0 có một chức năng đặc biệt

nguồn gốc(f(x), x) ,

ở đâu f(x) là một biểu thức bằng 0;

X-- lý lẽ.

Hàm này trả về, với một độ chính xác nhất định, giá trị của một biến mà biểu thức f(x) bằng 0.

Chú ýe. Nếu vế phải của phương trình bằng 0 thì cần đưa về dạng bình thường (chuyển tất cả về vế trái).

Trước khi sử dụng chức năng nguồn gốc phải được đưa ra cho đối số Xước lượng ban đầu. Nếu có một số gốc, thì để tìm mỗi gốc, bạn phải xác định giá trị gần đúng ban đầu của mình.

Chú ý. Trước khi giải, nên vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem có các nghiệm nguyên (đồ thị có cắt trục Ox không), và nếu có thì là bao nhiêu. Có thể chọn giá trị gần đúng ban đầu theo đồ thị gần giao điểm hơn.

Ví dụ. Giải một phương trình bằng một hàm nguồn gốcđược thể hiện trong Hình 3.1. Trước khi tiếp tục giải trong hệ thống MathCAD, trong phương trình chúng ta sẽ chuyển mọi thứ sang vế trái. Phương trình sẽ có dạng:.

Cơm. 3.1. Giải phương trình bằng hàm gốc

6. 2 Giải phương trình bằng f chức năng và nhiều cây ( v )

Để tìm đồng thời tất cả các nghiệm nguyên của một đa thức, hãy sử dụng hàm nhiều cây(v), trong đó v là vectơ hệ số của đa thức, bắt đầu từ số hạng tự do . Không thể bỏ qua hệ số 0. Không giống như hàm nguồn gốc hàm số Polyo không yêu cầu ước lượng ban đầu.

Ví dụ. Giải một phương trình bằng một hàm nhiều câyđược thể hiện trong hình 3.2.

Cơm. 3.2. Giải một phương trình bằng cách sử dụng hàm đa cơ sở

6. 3 Giải phương trình bằng fchức năngvàtìm thấy(x)

Hàm Find hoạt động cùng với từ khóa Given. Thiết kế Được cho-tìm thấy

Nếu phương trình đã cho f(x) = 0, sau đó nó có thể được giải quyết như sau bằng cách sử dụng khối Được cho - tìm thấy:

Đặt ước lượng ban đầu

Nhập một từ dịch vụ

Viết phương trình bằng dấu in đậm bằng

Viết một hàm tìm với một biến không xác định dưới dạng tham số

Kết quả là sau dấu bằng, gốc tìm được sẽ được hiển thị.

Nếu có một số gốc, thì chúng có thể được tìm thấy bằng cách thay đổi giá trị gần đúng ban đầu x0 thành một giá trị gần với gốc mong muốn.

Ví dụ. Nghiệm của phương trình sử dụng hàm tìm được thể hiện trong Hình 3.3.

Cơm. 3.3. Giải một phương trình với hàm tìm

Đôi khi cần đánh dấu một số điểm trên đồ thị (ví dụ: giao điểm của một hàm số với trục Ox). Đối với điều này, bạn cần:

Xác định giá trị x của một điểm cho trước (dọc theo trục Ox) và giá trị của hàm số tại điểm này (theo trục Oy);

nhấp đúp vào biểu đồ và vào cửa sổ định dạng trong tab dấu vếtđối với đường tương ứng, hãy chọn loại đồ thị - điểm, độ dày đường - 2 hoặc 3.

Ví dụ.Đồ thị biểu diễn giao điểm của hàm số với trục x. Danh từ: Tọa độ Xđiểm này đã được tìm thấy trong ví dụ trước: X= 2,742 (căn của phương trình ) (Hình 3.4).

Cơm. 3.4. Đồ thị của một hàm có giao điểm được đánh dấu

Trong cửa sổ định dạng biểu đồ, trong tab dấu vết vì dấu vết2 đã thay đổi: loại biểu đồ - điểm, độ dày đường - 3, màu - đen.

7. Giải hệ phương trình

7. 1 Giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính có thể giải được m phương pháp ma trận (thông qua ma trận nghịch đảo hoặc sử dụng hàm lsolve(A, B)) và sử dụng hai hàm tìm thấy và các tính năng Thợ mỏ.

Phương pháp ma trận

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Nghiệm của hệ phương trình này bằng phương pháp ma trận được thể hiện trong hình 4.1.

Cơm. 4.1. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Chức năng sử dụnglsolve(Một, B)

Lgỡ rối(A, B) là một hàm tích hợp trả về một vectơ X cho một hệ phương trình tuyến tính cho trước một ma trận các hệ số A và một vectơ gồm các số hạng tự do B .

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Cách giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng hàm lsolve (A, B) được trình bày trong Hình 4.2.

Cơm. 4.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm lsolve

Giải hệ phương trình tuyến tínhquachức năngvàtìm thấy

Với phương pháp này, các phương trình được nhập mà không cần sử dụng ma trận, tức là ở "dạng tự nhiên". Đầu tiên, cần chỉ ra các giá trị gần đúng ban đầu của các biến chưa biết. Nó có thể là bất kỳ số nào trong phạm vi của định nghĩa. Thường thì họ bị nhầm với một cột gồm các thành viên tự do.

Để giải một hệ phương trình tuyến tính sử dụng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy, cần thiết:

2) nhập một từ dịch vụ Được cho;

in đậm bằng();

4) viết một hàm tìm thấy,

Ví dụ. Hệ phương trình đã cho là:

Giải pháp của hệ thống này bằng cách sử dụng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấyđược thể hiện trong Hình 4.3.

Cơm. 4.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm Tìm

Gần đúng pnghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng hàm Thợ mỏ tương tự như giải pháp sử dụng hàm tìm thấy(sử dụng cùng một thuật toán), chỉ chức năng tìm thấyđưa ra giải pháp chính xác và Thợ mỏ- gần đúng. Nếu, do kết quả của việc tìm kiếm, không thể thu được thêm sự tinh chỉnh nào về giá trị gần đúng hiện tại đối với giải pháp, Thợ mỏr trả về giá trị gần đúng này. Hàm số tìm thấy trong trường hợp này trả về một thông báo lỗi.

Bạn có thể chọn một giá trị gần đúng ban đầu khác.

· Bạn có thể tăng hoặc giảm độ chính xác của phép tính. Để làm điều này, hãy chọn từ menu Toán học > Tùy chọn(Toán học - Tùy chọn), tab được xây dựng- TrongBiến(Các biến cài sẵn). Trong tab mở ra, bạn cần giảm sai số tính toán cho phép (Dung sai hội tụ (TOL)). TOL mặc định = 0,001.

TẠIchú ý. Với phương pháp giải ma trận cần sắp xếp lại các hệ số theo ẩn số tăng dần. X 1, X 2, X 3, X 4.

7. 2 Giải hệ phương trình phi tuyến

Hệ phương trình phi tuyến tính trong MathCAD được giải bằng một đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy.

Thiết kế Được cho - tìm thấy sử dụng kỹ thuật tính toán dựa trên việc tìm gốc gần điểm xấp xỉ ban đầu do người dùng chỉ định.

Để giải một hệ phương trình bằng cách sử dụng khối Được cho - tìm thấy cần thiết:

1) đặt giá trị gần đúng ban đầu cho tất cả các biến;

2) nhập một từ dịch vụ Được cho;

3) Viết hệ phương trình bằng dấu in đậm bằng();

4) viết một hàm tìm thấy, bằng cách liệt kê các biến chưa biết dưới dạng tham số hàm.

Kết quả của các phép tính, vectơ nghiệm của hệ thống sẽ được hiển thị.

Nếu hệ thống có một số giải pháp, thuật toán nên được lặp lại với các phỏng đoán ban đầu khác.

Ghi chú. Nếu đang giải hệ hai phương trình có hai ẩn số thì trước khi giải, ta nên vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem hệ có nghiệm nguyên hay không (đồ thị của các hàm số đã cho có cắt nhau hay không) và nếu có thì là bao nhiêu. Có thể chọn giá trị gần đúng ban đầu theo đồ thị gần giao điểm hơn.

Ví dụ. Cho một hệ phương trình

Trước khi giải hệ, ta xây dựng đồ thị của các hàm số: parabol (phương trình thứ nhất) và đường thẳng (phương trình thứ hai). Việc xây dựng đồ thị của một đường thẳng và một parabol trong một hệ trục tọa độ được thể hiện trong Hình 4.5:

Cơm. 4.5. Vẽ hai hàm trong cùng một hệ tọa độ

Đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm, nghĩa là hệ có hai nghiệm. Theo đồ thị, chúng tôi chọn các giá trị gần đúng ban đầu của các ẩn số x và y cho mọi giải pháp. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình được thể hiện trong hình 4.6.

Cơm. 4.6. Tìm nghiệm nguyên của một hệ phương trình phi tuyến

Để đánh dấu trên đồ thị các giao điểm của parabol và đường thẳng, chúng tôi giới thiệu tọa độ của các điểm tìm được khi giải hệ dọc trục Ox (các giá trị X ) và dọc theo trục Oy (các giá trị tại ) cách nhau bằng dấu phẩy. Trong cửa sổ định dạng biểu đồ, trong tab dấu vết vì dấu vết3 và dấu vết4 thay đổi: loại biểu đồ - điểm, độ dày đường - 3, màu - đen (Hình 4.7).

Cơm. 4.7. Các đồ thị chức năng với các điểm giao nhau được đánh dấu

8 . Các ví dụ về cách sử dụng các tính năng chính MathCAD để giải quyết một số vấn đề toán học

Phần này cung cấp các ví dụ về giải các bài toán yêu cầu giải một phương trình hoặc một hệ phương trình.

8. 1 Tìm cực trị cục bộ của hàm

Điều kiện cần thiết để có cực trị (cực đại và / hoặc cực tiểu) của một hàm liên tục được xây dựng như sau: cực trị chỉ có thể diễn ra tại những điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại (đặc biệt, nó trở thành vô cùng) . Để tìm cực trị của một hàm số liên tục, trước hết phải tìm các điểm thỏa mãn điều kiện cần, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.

Nếu một đồ thị hàm được xây dựng, thì bạn có thể thấy ngay - cực đại hoặc cực tiểu đạt được tại một điểm nhất định X. Nếu không có biểu đồ, thì mỗi nghiệm nguyên tìm được sẽ được kiểm tra theo một trong các cách.

Ngày 1 với trợ cấp . Với cân bằng e dấu hiệu của đạo hàm . Dấu của đạo hàm lân cận của điểm được xác định (tại các điểm cách cực trị của hàm số trên các cạnh khác nhau với khoảng cách nhỏ). Nếu dấu của đạo hàm chuyển từ “+” thành “-” thì lúc này hàm số có cực đại. Nếu dấu chuyển từ "-" thành "+" thì lúc này hàm có cực tiểu. Nếu dấu của đạo hàm không thay đổi thì không có cực trị.

Giây thứ hai trợ cấp . TẠI tính toán e thứ hai phát sinh . Trong trường hợp này, đạo hàm cấp hai được tính tại điểm cực trị. Nếu nó nhỏ hơn 0 thì tại thời điểm này hàm có cực đại, nếu lớn hơn 0 thì là cực tiểu.

Ví dụ. Tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm.

Đầu tiên, hãy xây dựng một đồ thị của hàm (Hình 6.1).

Cơm. 6.1. Vẽ một chức năng

Hãy để chúng tôi xác định từ biểu đồ các giá trị gần đúng ban đầu X tương ứng với cực trị cục bộ của hàm f(x). Hãy tìm các điểm cực trị này bằng cách giải phương trình. Để giải quyết, chúng tôi sử dụng khối Given - Find (Hình 6.2.).

Cơm. 6.2. Tìm cực trị địa phương

Hãy để chúng tôi xác định loại cực trị pervđường, kiểm tra sự thay đổi dấu của đạo hàm trong vùng lân cận của các giá trị tìm được (Hình 6.3).

Cơm. 6.3. Xác định loại cực trị

Từ bảng giá trị của đạo hàm và từ đồ thị có thể thấy dấu của đạo hàm trong vùng lân cận của điểm x 1 thay đổi từ cộng sang trừ, vì vậy hàm đạt cực đại tại thời điểm này. Và trong vùng lân cận của điểm x 2, dấu của đạo hàm đã chuyển từ trừ sang cộng nên lúc này hàm số đạt cực tiểu.

Hãy để chúng tôi xác định loại cực trị thứ haiđường, tính dấu của đạo hàm cấp hai (Hình 6.4).

Cơm. 6.4. Xác định loại cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp hai

Có thể thấy rằng ở thời điểm x 1 đạo hàm cấp hai nhỏ hơn 0, vì vậy điểm X 1 tương ứng với mức tối đa của hàm. Và ở điểm x 2 đạo hàm cấp hai lớn hơn 0, vì vậy điểm X 2 tương ứng với cực tiểu của hàm.

8.2 Xác định diện tích của các hình được giới hạn bởi các đường liên tục

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) , một đoạn trên trục Ox và hai phương thẳng đứng X = một và X = b, một < b, được xác định theo công thức:.

Ví dụ. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường f(x) = 1 - x 2 và y = 0.

Cơm. 6.5. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường f(x) = 1 - x 2 và y = 0

Diện tích của hình nằm giữa các đồ thị của hàm số f1(x) và f2(x) và trực tiếp X = một và X = b, được tính theo công thức:

Chú ý. Để tránh sai số khi tính diện tích, sự khác biệt của các hàm phải được lấy modulo. Do đó, khu vực này sẽ luôn tích cực.

Ví dụ. Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường và. Giải pháp được hiển thị trong hình 6.6.

1. Ta xây dựng đồ thị của hàm số.

2. Chúng ta tìm các giao điểm của các hàm bằng cách sử dụng hàm gốc. Chúng tôi sẽ xác định các giá trị gần đúng ban đầu từ đồ thị.

3. Giá trị tìm thấy x được thay thế vào công thức như các giới hạn của tích phân.

8. 3 Xây dựng các đường cong bởi các điểm đã cho

Dựng đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( x 0,y 0) và B ( x 1,y 1), thuật toán sau được đề xuất:

1. Đường thẳng cho bởi phương trình y = cây rìu + b,

ở đâu một và b là các hệ số của đoạn thẳng mà chúng ta cần tìm.

2. Hệ thống này là tuyến tính. Nó có hai biến không xác định: một và b

Ví dụ. Dựng đường thẳng đi qua điểm A (-2, -4) và B (5,7).

Ta thay tọa độ trực tiếp của các điểm này vào phương trình và nhận được hệ thức:

Giải pháp của hệ thống này trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.7.

Cơm. 6.7 Giải pháp hệ thống

Kết quả của việc giải quyết hệ thống, chúng tôi thu được: một = 1.57, b= -0,857. Vì vậy, phương trình của một đường thẳng sẽ có dạng: y = 1.57x- 0,857. Hãy dựng đường thẳng này (Hình 6.8).

Cơm. 6,8. Xây dựng một đường thẳng

Xây dựng một parabol, đi qua ba điểm nhất định

Để dựng một parabol đi qua ba điểm A ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) và C ( x 2,y 2), thuật toán như sau:

1. Parabol được cho bởi phương trình

y = cây rìu 2 + bX + với, ở đâu

một, b và với là các hệ số của parabol mà chúng ta cần tìm.

Chúng tôi thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình này và nhận được hệ thống:

.

2. Hệ thống này là tuyến tính. Nó có ba biến không xác định: một, b và với. Hệ thống có thể được giải quyết theo cách ma trận.

3. Chúng tôi thay thế các hệ số thu được vào phương trình và xây dựng một parabol.

Ví dụ. Dựng hình parabol đi qua các điểm A (-1, -4), B (1, -2) và C (3,16).

Ta thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình parabol và nhận được hệ thức:

Lời giải của hệ phương trình này trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.9.

Cơm. 6,9. Giải hệ phương trình

Kết quả là, các hệ số thu được: một = 2, b = 1, c= -5. Ta nhận được phương trình parabol: 2 x 2 +x -5 = y. Hãy xây dựng hình parabol này (Hình 6.10).

Cơm. 6.10. Xây dựng một parabol

Dựng đường tròn đi qua ba điểm cho trước

Dựng đường tròn đi qua ba điểm A ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) và C ( x 3,y 3), bạn có thể sử dụng thuật toán sau:

1. Đường tròn được cho bởi phương trình

,

trong đó x0, y0 là tọa độ của tâm đường tròn;

R là bán kính của hình tròn.

2. Thay tọa độ đã cho của điểm vào phương trình của đường tròn ta được hệ:

.

Hệ thống này là phi tuyến tính. Nó có ba biến không xác định: x 0, y 0 và R. Hệ thống được giải quyết bằng cách sử dụng đơn vị tính toán Được cho - tìm thấy.

Ví dụ. Dựng đường tròn đi qua ba điểm A (-2.0), B (6.0) và C (2.4).

Ta thay các tọa độ đã cho của các điểm vào phương trình của đường tròn và được hệ thức:

Lời giải của hệ thống trong MathCAD được thể hiện trong Hình 6.11.

Cơm. 6.11. Giải pháp hệ thống

Kết quả của việc giải quyết hệ thống, thu được những điều sau: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Thay tọa độ thu được của tâm đường tròn và bán kính vào phương trình đường tròn. Chúng tôi nhận được: . Express từ đây y và xây dựng một đường tròn (Hình 6.12).

Cơm. 6.12. Xây dựng một vòng tròn

Tài liệu tương tự

Sử dụng các biến được xếp hạng trong gói phần mềm Mathcad. Tạo ma trận mà không cần sử dụng mẫu ma trận, mô tả toán tử để làm việc với vectơ và ma trận. Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến tính bằng các hàm Mathcad.

kiểm soát công việc, thêm 03/06/2011


Nhìn chung cửa sổ MathCad, menu thanh công cụ của chương trình đang học. Tài liệu MathCad, đặc điểm chung và phương pháp chỉnh sửa. Phân tách các khu vực và menu ngữ cảnh, biểu thức. Định nghĩa đối số rời rạc, biến và hằng số.

trình bày, thêm 29/09/2013


Khái niệm về mô hình toán học và mô hình hóa. Thông tin chung về hệ thống MathCad. Phân tích cấu trúc của bài toán trong MathCAD. Phương thức biến đổi kí hiệu liên tục. Tối ưu hóa các tab số thông qua các chuyển đổi tượng trưng. Tính toán phản ứng hỗ trợ.

hạn giấy, bổ sung 03/06/2014


Mục đích và thành phần của hệ thống MathCAD. Các đối tượng chính của ngôn ngữ đầu vào và ngôn ngữ thực thi. Đặc điểm của các phần tử giao diện người dùng, thiết lập thành phần của các thanh công cụ. Các bài toán về đại số tuyến tính và giải phương trình vi phân trong MathCAD.

khóa học, bổ sung 13/11/2010


Thông tin chung về hệ thống Mathcad. Cửa sổ chương trình Mathcad và các thanh công cụ. Tính toán của các hàm đại số. Nội suy các hàm bằng splines khối. Tính căn bậc hai. Phân tích phân biệt và tích phân số.

hạn giấy, bổ sung 25/12/2014


Nghiên cứu cấu trúc của tài liệu làm việc MathCad - một chương trình được thiết kế để tự động hóa các phép tính toán học. Làm việc với các biến, hàm và ma trận. Ứng dụng của MathCad để vẽ đồ thị, giải phương trình và tính toán ký hiệu.

trình bày, thêm 03/07/2013


Khái niệm về một mô hình toán học, các tính chất và phân loại. Đặc điểm của các phần tử của hệ thống Mathcad. Phân tích thuật toán của bài toán: mô tả mô hình toán học, sơ đồ đồ họa của thuật toán. Thực hiện mô hình cơ bản và mô tả của các nghiên cứu MathCAD.

tóm tắt, bổ sung 20/03/2014


Mathcad và các khái niệm cơ bản của nó. Các khả năng và chức năng của hệ thống trong phép tính ma trận. Các phép toán đơn giản nhất với ma trận. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Eigenvectors. Sự phân hủy Cholesky. Lý thuyết cơ bản về toán tử tuyến tính.

hạn giấy, bổ sung 25/11/2014


Các yếu tố chính của hệ thống MathCAD, tổng quan về khả năng của nó. Giao diện hệ thống, khái niệm xây dựng tài liệu. Các kiểu dữ liệu, ngôn ngữ đầu vào của hệ thống. Phân loại các chức năng tiêu chuẩn. Khả năng đồ họa của hệ thống MathCAD. Nghiệm của hệ phương trình.

khóa học, bổ sung 03/01/2015


Giới thiệu về trình soạn thảo văn bản Windows. Thiết lập trình soạn thảo Microsoft Word. Phát triển tài liệu MS Excel. Tạo trang Web trong môi trường MS Word. Xây dựng khung. Quản lý các tùy chọn phông chữ. Vẽ đồ thị trong gói toán học MathCad.