Tìm nghiệm ma trận nghịch đảo. Ma trận nghịch đảo và các tính chất của nó

Ma trận nghịch đảo của một ma trận đã cho là một ma trận như vậy, phép nhân của ma trận ban đầu sẽ cho ma trận đồng nhất: Điều kiện bắt buộc và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo là bất đẳng thức của định thức của ma trận ban đầu (mà lần lượt hàm ý rằng ma trận phải là hình vuông). Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì nó được gọi là suy biến và ma trận như vậy không có nghịch đảo. Trong toán học cao hơn, ma trận nghịch đảo rất quan trọng và được sử dụng để giải một số bài toán. Ví dụ, trên tìm ma trận nghịch đảo một phương pháp ma trận để giải các hệ phương trình được xây dựng. Trang web dịch vụ của chúng tôi cho phép tính nghịch đảo ma trận trực tuyến hai phương pháp: phương pháp Gauss-Jordan và sử dụng ma trận của các phép cộng đại số. Cái đầu tiên ngụ ý một số lượng lớn các phép biến đổi cơ bản trong ma trận, cái thứ hai - phép tính định thức và phép cộng đại số cho tất cả các phần tử. Để tính định thức của ma trận trực tuyến, bạn có thể sử dụng dịch vụ khác của chúng tôi - Tính định thức của ma trận trực tuyến

.

Tìm ma trận nghịch đảo trên trang web

trang mạng cho phép bạn tìm ma trận nghịch đảo trực tuyến nhanh chóng và miễn phí. Trên trang web, các tính toán được thực hiện bởi dịch vụ của chúng tôi và kết quả được hiển thị cùng với giải pháp chi tiết để tìm ma trận nghịch đảo. Máy chủ luôn chỉ đưa ra câu trả lời chính xác và chính xác. Trong các nhiệm vụ theo định nghĩa ma trận nghịch đảo trực tuyến, điều cần thiết là yếu tố quyết định ma trận khác 0, ngược lại trang mạng sẽ báo cáo việc không thể tìm ma trận nghịch đảo do định thức của ma trận ban đầu bằng 0. Nhiệm vụ tìm kiếm ma trận nghịch đảođược tìm thấy trong nhiều ngành toán học, là một trong những khái niệm cơ bản nhất của đại số và là một công cụ toán học trong các bài toán ứng dụng. Độc lập định nghĩa ma trận nghịch đảođòi hỏi nhiều nỗ lực, nhiều thời gian, tính toán và hết sức cẩn thận để không mắc sai sót hay sai sót nhỏ trong tính toán. Vì vậy, dịch vụ của chúng tôi tìm ma trận nghịch đảo trực tuyến sẽ hỗ trợ rất nhiều cho công việc của bạn và sẽ trở thành một công cụ không thể thiếu để giải các bài toán. Ngay cả khi bạn tìm ma trận nghịch đảo bạn, chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra giải pháp của mình trên máy chủ của chúng tôi. Nhập ma trận ban đầu của bạn vào Tính toán ma trận nghịch đảo trực tuyến của chúng tôi và kiểm tra câu trả lời của bạn. Hệ thống của chúng tôi không bao giờ sai và tìm thấy ma trận nghịch đảo kích thước nhất định trong chế độ Trực tuyến ngay lập tức! trên trang web trang mạng các mục nhập ký tự được phép trong các phần tử ma trận, trong trường hợp này ma trận nghịch đảo trực tuyến sẽ được trình bày dưới dạng biểu tượng chung.

Đối với mọi ma trận không đơn điệu A, tồn tại một ma trận duy nhất A -1 sao cho

A*A -1 =A -1 *A = E,

trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A. Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A.

Nếu ai đó quên, trong ma trận đơn vị, ngoại trừ đường chéo được điền bằng số 1, tất cả các vị trí khác đều chứa số không, một ví dụ về ma trận đơn vị:

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp ma trận liên hợp

Ma trận nghịch đảo được xác định bởi công thức:

trong đó A ij - phần tử a ij .

Những thứ kia. Để tính nghịch đảo của ma trận, bạn cần tính định thức của ma trận này. Sau đó tìm các phép cộng đại số cho tất cả các phần tử của nó và tạo một ma trận mới từ chúng. Tiếp theo, bạn cần vận chuyển ma trận này. Và chia mỗi phần tử của ma trận mới cho định thức của ma trận ban đầu.

Hãy xem xét một vài ví dụ.

Tìm A -1 cho ma trận

Lời giải Tìm A -1 bằng phương pháp ma trận liên hợp. Ta có det A = 2. Ta hãy tìm các phần bù đại số của các phần tử của ma trận A. Trong trường hợp này, các phần bù đại số của các phần tử của ma trận sẽ là các phần tử tương ứng của chính ma trận đó, được lấy dấu phù hợp với công thức

Ta có A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Ta lập ma trận liên hợp

Chúng tôi vận chuyển ma trận A *:

Ta tìm ma trận nghịch đảo theo công thức:

Chúng tôi nhận được:

Sử dụng phương pháp ma trận liên kết để tìm A -1 nếu

Lời giải Trước hết ta tính ma trận đã cho để đảm bảo tồn tại ma trận nghịch đảo. Chúng ta có

Ở đây, chúng ta đã thêm vào các phần tử của hàng thứ hai các phần tử của hàng thứ ba, nhân trước đó với (-1), rồi khai triển định thức cho hàng thứ hai. Vì định nghĩa của ma trận này khác 0, nên tồn tại ma trận nghịch đảo với nó. Để dựng ma trận liên hợp, ta tìm các phần bù đại số của các phần tử của ma trận này. Chúng ta có

Theo công thức

chúng tôi vận chuyển ma trận A *:

Khi đó theo công thức

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp

Ngoài phương pháp tìm ma trận nghịch đảo suy từ công thức (phương pháp ma trận liên thuộc) còn có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo gọi là phương pháp biến đổi sơ cấp.

Phép biến đổi ma trận sơ cấp

Các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi ma trận sơ cấp:

1) hoán vị hàng (cột);

2) nhân một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước đó đã nhân với một số nhất định.

Để tìm ma trận A -1, chúng ta xây dựng ma trận hình chữ nhật B \u003d (A | E) bậc (n; 2n), gán cho ma trận A ở bên phải ma trận đơn vị E thông qua đường phân chia:

Hãy xem xét một ví dụ.

Sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, tìm A -1 nếu

Giải pháp Chúng tôi lập ma trận B:

Biểu thị các hàng của ma trận B đến α 1 , α 2 , α 3 . Hãy thực hiện các phép biến đổi sau trên các hàng của ma trận B.

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo đối với ma trận A, nếu A * A -1 \u003d E, trong đó E là ma trận đơn vị bậc n. Ma trận nghịch đảo chỉ có thể tồn tại đối với ma trận vuông.

phân công dịch vụ. Sử dụng dịch vụ trực tuyến này, bạn có thể tìm thấy các phép cộng đại số, ma trận chuyển vị A T , ma trận hợp và ma trận nghịch đảo. Giải pháp được thực hiện trực tiếp trên trang web (trực tuyến) và miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày dưới dạng báo cáo ở định dạng Word và định dạng Excel (nghĩa là có thể kiểm tra lời giải). xem ví dụ thiết kế.

Hướng dẫn. Để có được một giải pháp, bạn phải chỉ định kích thước của ma trận. Tiếp theo, trong hộp thoại mới, điền vào ma trận A .

Kích thước ma trận 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xem thêm Ma trận nghịch đảo theo phương pháp Jordan-Gauss

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo

1. Tìm ma trận chuyển vị A T .
2. Định nghĩa phép cộng đại số. Thay thế mỗi phần tử của ma trận bằng phần bù đại số của nó.
3. Lập ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận kết quả được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là ma trận nghịch đảo của ma trận ban đầu.

Tiếp theo thuật toán ma trận nghịch đảo tương tự như bước trước, ngoại trừ một số bước: đầu tiên, các phần bù đại số được tính toán, sau đó xác định ma trận hợp C.

1. Xác định xem ma trận có vuông không. Nếu không, thì không có ma trận nghịch đảo cho nó.
2. Tính định thức của ma trận A . Nếu nó không bằng 0 thì ta tiếp tục giải, ngược lại ma trận nghịch đảo không tồn tại.
3. Định nghĩa phép cộng đại số.
4. Điền vào ma trận hợp (tương hỗ, liền kề) C .
5. Tổng hợp ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận liên hợp C được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là ma trận nghịch đảo của ma trận ban đầu.
6. Thực hiện kiểm tra: nhân ma trận ban đầu và kết quả. Kết quả phải là một ma trận nhận dạng.

Ví dụ 1. Ta viết ma trận dưới dạng:

Các phép cộng đại số.

A 1.1 = (-1)1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1)1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

Một 1,3 = (-1)1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2.1 = (-1)2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2.2 = (-1)2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1)2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

Một 3.1 = (-1)3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1)3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

Một 3,3 = (-1)3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
sau đó ma trận nghịch đảo có thể được viết như:

Một -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

Một -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Một thuật toán khác để tìm ma trận nghịch đảo

Chúng tôi trình bày một sơ đồ khác để tìm ma trận nghịch đảo.

1. Tìm định thức của ma trận vuông A đã cho.
2. Chúng tôi tìm thấy bổ sung đại số cho tất cả các phần tử của ma trận A .
3. Chúng tôi viết phần bù đại số của các phần tử của các hàng vào các cột (chuyển vị).
4. Chúng tôi chia từng phần tử của ma trận kết quả cho định thức của ma trận A .

Như bạn có thể thấy, phép toán chuyển vị có thể được áp dụng cả ở đầu, trên ma trận gốc và ở cuối, trên các phép cộng đại số thu được.

một trường hợp đặc biệt: Nghịch đảo, đối với ma trận đơn vị E , là ma trận đơn vị E .

Định nghĩa 1: Một ma trận được gọi là suy biến nếu định thức của nó bằng không.

Định nghĩa 2: Một ma trận được gọi là không suy biến nếu định thức của nó khác không.

Ma trận "A" được gọi là ma trận nghịch đảo, nếu điều kiện A*A-1 = A-1 *A = E (ma trận đơn vị) được thỏa mãn.

Một ma trận vuông chỉ khả nghịch nếu nó không đơn điệu.

Sơ đồ tính ma trận nghịch đảo:

1) Tính định thức của ma trận "A" nếu ∆ A = 0 thì không tồn tại ma trận nghịch đảo.

2) Tìm tất cả các phần bù đại số của ma trận "A".

3) Lập ma trận cộng đại số (Aij )

4) Chuyển vị ma trận các phần bù đại số (Aij )T

5) Nhân ma trận đã chuyển vị với nghịch đảo của định thức của ma trận này.

6) Chạy kiểm tra:

Thoạt nhìn có vẻ khó, nhưng thực tế mọi thứ rất đơn giản. Tất cả các giải pháp đều dựa trên các phép toán số học đơn giản, điều chính khi giải quyết là không nhầm lẫn với các dấu "-" và "+" và không để mất chúng.

Và bây giờ, hãy cùng bạn giải quyết một nhiệm vụ thực tế bằng cách tính ma trận nghịch đảo.

Nhiệm vụ: tìm ma trận nghịch đảo "A", được hiển thị trong hình bên dưới:

Chúng tôi giải quyết mọi thứ chính xác như được chỉ ra trong kế hoạch tính toán ma trận nghịch đảo.

1. Việc đầu tiên cần làm là tìm định thức của ma trận "A":

Giải trình:

Chúng ta đã đơn giản hóa định thức của mình bằng cách sử dụng các chức năng chính của nó. Đầu tiên, chúng tôi đã thêm vào hàng thứ 2 và thứ 3 các phần tử của hàng đầu tiên, nhân với một số.

Thứ hai, ta đổi cột thứ 2 và cột thứ 3 của định thức, và theo tính chất của nó, ta đổi dấu đằng trước nó.

Thứ ba, chúng tôi đã loại bỏ thừa số chung (-1) của hàng thứ hai, do đó đổi dấu một lần nữa và nó trở nên dương. Chúng tôi cũng đã đơn giản hóa dòng 3 giống như ở phần đầu của ví dụ.

Chúng ta có một định thức tam giác, trong đó các phần tử bên dưới đường chéo bằng 0 và theo tính chất 7, nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo. Kết quả là, chúng tôi đã nhận được ∆ A = 26, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Bước tiếp theo là biên dịch một ma trận từ các phép cộng kết quả:

5. Ta nhân ma trận này với nghịch đảo của định thức, tức là với 1/26:

6. Chà, bây giờ chúng ta chỉ cần kiểm tra:

Trong quá trình xác minh, chúng tôi đã nhận được một ma trận nhận dạng, do đó, quyết định được đưa ra hoàn toàn chính xác.

2 cách tính ma trận nghịch đảo.

1. Phép biến đổi sơ cấp ma trận

2. Nghịch đảo ma trận thông qua bộ chuyển đổi sơ cấp.

Biến đổi ma trận sơ cấp bao gồm:

1. Nhân một chuỗi với một số khác 0.

2. Cộng vào dòng bất kỳ của dòng khác, nhân với một số.

3. Hoán đổi các hàng của ma trận.

4. Áp dụng một chuỗi các phép biến đổi cơ bản, ta thu được một ma trận khác.

NHƯNG -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. Một -1*A=E

Hãy xem xét điều này trong một ví dụ thực tế với các số thực.

Tập thể dục: Tìm ma trận nghịch đảo.

Dung dịch:

Hãy kiểm tra:

Một chút làm rõ về giải pháp:

Trước tiên, chúng tôi hoán đổi hàng 1 và 2 của ma trận, sau đó chúng tôi nhân hàng đầu tiên với (-1).

Sau đó, hàng đầu tiên được nhân với (-2) và thêm vào hàng thứ hai của ma trận. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ 2 với 1/4.

Giai đoạn cuối cùng của phép biến đổi là phép nhân của hàng thứ hai với 2 và phép cộng từ hàng đầu tiên. Kết quả là, chúng ta có một ma trận đồng nhất ở bên trái, do đó, ma trận nghịch đảo là ma trận ở bên phải.

Sau khi kiểm tra, chúng tôi đã bị thuyết phục về tính đúng đắn của giải pháp.

Như bạn có thể thấy, việc tính toán ma trận nghịch đảo rất đơn giản.

Để kết thúc bài giảng này, tôi cũng muốn dành một chút thời gian cho các tính chất của một ma trận như vậy.

Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, . Xét một ma trận vuông

Kí hiệu Δ = det A .

Ma trận vuông A được gọi là không suy biến, hoặc không đặc biệt nếu định thức của nó khác không, và thoái hóa, hoặc đặc biệt, nếuΔ = 0.

Ma trận vuông B tồn tại cho ma trận vuông A cùng cấp nếu tích của chúng A B = B A = E, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A và B.

định lý . Để ma trận A có ma trận nghịch đảo, điều cần và đủ là định thức của nó khác 0.

Ma trận nghịch đảo thành ma trận A, ký hiệu là A- 1 nên B = A - 1 và được tính theo công thức

, (1)

trong đó А i j - phần bù đại số của các phần tử a i j của ma trận A. .

Việc tính A -1 theo công thức (1) cho ma trận bậc cao rất tốn công sức nên trong thực tế tìm A -1 bằng phương pháp biến đổi sơ cấp (EP) rất tiện lợi. Bất kỳ ma trận không đơn lẻ A nào cũng có thể được rút gọn bởi EP của chỉ các cột (hoặc chỉ các hàng) thành ma trận đơn vị E. Nếu các EP được thực hiện trên ma trận A được áp dụng theo cùng một thứ tự cho ma trận đơn vị E, thì kết quả là một ma trận nghịch đảo. Thật thuận tiện khi thực hiện đồng thời một EP trên ma trận A và E, viết cả hai ma trận cạnh nhau qua dòng. Một lần nữa chúng ta lưu ý rằng khi tìm dạng chính tắc của ma trận, để tìm được nó, người ta có thể sử dụng các phép biến đổi hàng và cột. Nếu cần tìm ma trận nghịch đảo thì trong quá trình biến đổi chỉ nên sử dụng các hàng hoặc chỉ các cột.

Ví dụ 2.10. Đối với ma trận tìm A -1 .

Dung dịch.Đầu tiên ta tìm định thức của ma trận A
vì vậy ma trận nghịch đảo tồn tại và chúng ta có thể tìm thấy nó theo công thức: , trong đó A i j (i,j=1,2,3) - phần bù đại số của các phần tử a i j của ma trận ban đầu.

Ở đâu .

Ví dụ 2.11. Dùng phương pháp biến đổi sơ cấp tìm A -1 cho ma trận: A=.

Dung dịch.Chúng tôi gán một ma trận đơn vị có cùng thứ tự cho ma trận ban đầu ở bên phải: . Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cột cơ bản, chúng tôi giảm "nửa" bên trái thành một bản sắc, đồng thời thực hiện chính xác các phép biến đổi như vậy trên ma trận bên phải.
Để thực hiện việc này, hoán đổi cột thứ nhất và cột thứ hai: ~ . Chúng tôi thêm cột đầu tiên vào cột thứ ba và cột đầu tiên nhân với -2 vào cột thứ hai: . Từ cột đầu tiên, chúng tôi trừ đi số thứ hai đã nhân đôi và từ cột thứ ba - số thứ hai nhân với 6; . Hãy thêm cột thứ ba vào cột thứ nhất và thứ hai: . Nhân cột cuối cùng với -1: . Ma trận vuông thu được ở bên phải của thanh dọc là ma trận nghịch đảo với ma trận A đã cho. Vì vậy,
.