Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc. Làm thế nào để giải một hệ phương trình vi phân bằng phương pháp hoạt động? Phương pháp chung giải sôđa với hệ số không đổi

Chúng tôi quyết định dành phần này để giải các hệ phương trình vi phân dạng đơn giản nhất d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , trong đó a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 là một số thực. Hiệu quả nhất để giải các hệ phương trình đó là phương pháp tích phân. Chúng ta cũng hãy xem xét một giải pháp ví dụ về chủ đề này.

Giải pháp cho hệ phương trình vi phân sẽ là một cặp hàm x (t) và y (t) , có khả năng biến cả hai phương trình của hệ thành một đơn vị.

Xét phương pháp tích phân hệ phương trình d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Chúng tôi biểu thị x từ phương trình thứ 2 của hệ thống để loại trừ hàm x (t) chưa biết khỏi phương trình thứ nhất:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Hãy để chúng tôi phân biệt phương trình thứ 2 đối với t và giải phương trình của nó cho d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Bây giờ, hãy thay thế kết quả của các tính toán trước đó vào phương trình đầu tiên của hệ thống:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Như vậy, ta đã loại hàm x(t) chưa biết và thu được DE không thuần nhất tuyến tính bậc 2 với hệ số hằng. Hãy tìm nghiệm của phương trình y(t) này và thế vào phương trình bậc 2 của hệ. Hãy tìm x(t). Chúng tôi giả định rằng điều này hoàn thành giải pháp của hệ phương trình.

ví dụ 1

Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Dung dịch

Hãy bắt đầu với phương trình đầu tiên của hệ thống. Hãy giải quyết nó đối với x:

x = d y d t - 2 y + 3

Bây giờ hãy thực hiện vi phân phương trình thứ 2 của hệ, sau đó chúng ta giải nó theo d x d t:

Chúng ta có thể thay thế kết quả thu được trong quá trình tính toán vào phương trình thứ nhất của hệ DE:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta thu được phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc 2 với các hệ số không đổi d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Nếu tìm được nghiệm tổng quát của nó thì ta được hàm y(t).

Ta có thể tìm nghiệm tổng quát của LODE y 0 tương ứng bằng cách tính các nghiệm của phương trình đặc trưng k 2 - 3 k + 2 = 0:

D \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

Rễ chúng tôi đã nhận được là hợp lệ và khác biệt. Về vấn đề này, giải pháp chung cho LODE sẽ có dạng y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Bây giờ hãy tìm nghiệm cụ thể của hàm tuyến tính không thuần nhất DE y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Vế phải của phương trình là một đa thức bậc 0. Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ tìm một nghiệm cụ thể ở dạng y ~ = A , trong đó A là một hệ số không xác định.

Chúng ta có thể xác định hệ số không xác định từ đẳng thức d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Do đó, y ~ = 1 và y(t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Chúng tôi đã tìm thấy một chức năng chưa biết.

Bây giờ chúng ta thay hàm tìm được vào phương trình thứ 2 của hệ DE và giải phương trình mới đối với x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Vì vậy, chúng tôi đã tính hàm ẩn số thứ hai x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Đáp số: x(t) = - C 1 e t + 1 y(t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Nhiều hệ phương trình vi phân, cả thuần nhất và không thuần nhất, có thể rút gọn thành một phương trình đối với một hàm chưa biết. Hãy chỉ ra phương pháp với các ví dụ.

Ví dụ 3.1. Giải quyết hệ thống

Dung dịch. 1) Phân biệt đối với t phương trình thứ nhất và sử dụng phương trình thứ hai và thứ ba để thay thế và , chúng ta tìm thấy

Phương trình kết quả là khả vi đối với lại

1) Chúng tôi tạo ra một hệ thống

Từ hai phương trình đầu tiên của hệ thống, chúng tôi biểu thị các biến và xuyên qua
:

Hãy để chúng tôi thay thế các biểu thức được tìm thấy cho và vào phương trình thứ ba của hệ

Vì vậy, để tìm hàm
thu được phương trình vi phân cấp ba với hệ số không đổi

2) Ta tích phân phương trình cuối theo phương pháp chuẩn: ta lập phương trình đặc trưng
, tìm nguồn gốc của nó
và xây dựng một giải pháp chung dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các số mũ, có tính đến bội số của một trong các nghiệm:.

3) Tiếp theo để tìm hai tính năng còn lại
và
, chúng tôi phân biệt chức năng thu được hai lần

Sử dụng các kết nối (3.1) giữa các chức năng của hệ thống, chúng tôi khôi phục các ẩn số còn lại

Câu trả lời. ,
,.

Nó có thể chỉ ra rằng tất cả các chức năng đã biết, ngoại trừ một chức năng, đều bị loại khỏi hệ thống bậc ba ngay cả sau một lần phân biệt. Trong trường hợp này, thứ tự của phương trình vi phân để tìm nó sẽ ít hơn số hàm chưa biết trong hệ ban đầu.

Ví dụ 3.2. Tích hợp hệ thống

(3.2)

Dung dịch. 1) Phân biệt đối với phương trình đầu tiên, chúng tôi tìm thấy

Loại trừ các biến và từ các phương trình

chúng ta sẽ có một phương trình bậc hai đối với

(3.3)

2) Từ phương trình thứ nhất của hệ (3.2) ta có

(3.4)

Thay thế vào phương trình thứ ba của hệ thống (3.2) các biểu thức tìm được (3.3) và (3.4) cho và , ta thu được phương trình vi phân cấp một để xác định hàm

Tích hợp phương trình không thuần nhất này với các hệ số bậc nhất không đổi, chúng tôi tìm thấy
Sử dụng (3.4), ta tìm được hàm

Câu trả lời.
,,
.

Nhiệm vụ 3.1. Giải hệ thuần nhất bằng cách rút gọn về một phương trình vi phân.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bằng cách tìm hệ nghiệm cơ bản

Nghiệm tổng quát của một hệ phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính có thể được tìm thấy dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các nghiệm cơ bản của hệ. Trong trường hợp hệ có hệ số không đổi, có thể sử dụng phương pháp đại số tuyến tính để tìm nghiệm cơ bản.

Ví dụ 3.3. Giải quyết hệ thống

(3.5)

Dung dịch. 1) Viết lại hệ dưới dạng ma trận

. (3.6)

2) Ta sẽ tìm nghiệm cơ bản của hệ dưới dạng véc tơ
. chức năng thay thế
trong (3.6) và giảm bởi , chúng tôi nhận được

, (3.7)

đó là số phải là giá trị riêng của ma trận
, và véc tơ vectơ riêng tương ứng.

3) Từ bài toán đại số tuyến tính, ta biết hệ (3.7) có nghiệm không tầm thường nếu định thức của nó bằng 0

đó là . Từ đây, chúng tôi tìm thấy các giá trị riêng
.

4) Tìm các vectơ riêng tương ứng. Thay thế vào (3.7) giá trị đầu tiên
, chúng tôi có được một hệ thống để tìm vector riêng đầu tiên

Từ đây ta có được mối liên hệ giữa những ẩn số
. Nó là đủ để chúng tôi chọn một giải pháp không tầm thường. Giả định
, sau đó
, tức là vectơ là giá trị riêng cho giá trị riêng
, và vectơ hàm
nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân (3.5) đã cho. Tương tự, khi thay thế căn thứ hai
trong (3.7) ta có phương trình ma trận cho vectơ riêng thứ hai
. Chúng ta lấy kết nối giữa các thành phần của nó ở đâu
. Như vậy, chúng ta có giải pháp cơ bản thứ hai

5) Nghiệm tổng quát của hệ (3.5) được dựng dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm cơ bản thu được

hoặc ở dạng tọa độ

Câu trả lời.

.

Nhiệm vụ 3.2. Giải hệ bằng cách tìm hệ nghiệm cơ bản.

Ký hiệu ma trận cho một hệ phương trình vi phân thông thường (SODE) với các hệ số không đổi

SODE thuần nhất tuyến tính với các hệ số không đổi $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

trong đó $y_(1) \left(x\right),\; y_(2) \left(x\phải),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- hàm mong muốn của biến độc lập $x$, hệ số $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- chúng ta biểu diễn các số thực đã cho dưới dạng ký hiệu ma trận:

ma trận của các hàm mong muốn $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
ma trận quyết định đạo hàm $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
Ma trận hệ số SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Bây giờ, dựa trên quy tắc nhân ma trận, SODE này có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Phương pháp chung để giải SODE với hệ số không đổi

Giả sử có một ma trận gồm một số số $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(mảng)\right)$.

Giải pháp SODE được tìm thấy ở dạng sau: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Ở dạng ma trận: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(mảng)\right)$.

Từ đây chúng tôi nhận được:

Bây giờ phương trình ma trận của SODE này có thể có dạng:

Phương trình kết quả có thể được biểu diễn như sau:

Đẳng thức cuối cùng cho thấy vectơ $\alpha $ được biến đổi với sự trợ giúp của ma trận $A$ thành vectơ $k\cdot \alpha $ song song với nó. Điều này có nghĩa là vectơ $\alpha $ là một vectơ riêng của ma trận $A$ tương ứng với giá trị riêng $k$.

Số $k$ có thể được xác định từ phương trình $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Phương trình này được gọi là đặc trưng.

Đặt tất cả nghiệm $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ của phương trình đặc trưng là khả vi. Đối với mỗi giá trị $k_(i)$ từ $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ ma trận giá trị có thể được định nghĩa $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Một trong các giá trị trong ma trận này được chọn tùy ý.

Cuối cùng, giải pháp của hệ thống này ở dạng ma trận được viết như sau:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(mảng)\right)$,

trong đó $C_(i) $ là các hằng số tùy ý.

Một nhiệm vụ

Giải hệ $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

Viết ma trận hệ thống: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

Ở dạng ma trận, SODE này được viết như sau: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (mảng)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( mảng)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(mảng)\right)$.

Ta được phương trình đặc trưng:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$ i.e. $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.

Nghiệm của phương trình đặc trưng: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Chúng tôi soạn một hệ thống để tính toán $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right))) \end(array)\right)$ cho $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (mảng)\right)=0,\]

tức là $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$.

Đặt $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, chúng ta nhận được $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Chúng tôi soạn một hệ thống để tính toán $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ phải))) \end(mảng)\phải)$ cho $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (mảng)\right)=0, \]

tức là $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$.

Đặt $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, chúng ta nhận được $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Chúng tôi thu được giải pháp SODE ở dạng ma trận:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

Ở dạng thông thường, nghiệm SODE là: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (mảng )\right.$.

phương trình.

Giới thiệu.

Trong nhiều bài toán, vật lý và công nghệ, cần phải xác định một số hàm được liên kết với nhau bằng một số phương trình vi phân.

Đối với điều này, nói chung, cần phải có cùng một số phương trình. Nếu mỗi phương trình này là vi phân, nghĩa là, nó có dạng quan hệ kết nối các hàm chưa biết và đạo hàm của chúng, thì chúng nói về hệ phương trình vi phân.

1. Hệ phương trình vi phân cấp 1 thông thường. bài toán Cauchy.

Sự định nghĩa. Một hệ phương trình vi phân là một tập hợp các phương trình chứa một số hàm chưa biết và đạo hàm của chúng, và mỗi phương trình bao gồm ít nhất một đạo hàm.

Một hệ phương trình vi phân được gọi là tuyến tính nếu các hàm chưa biết và đạo hàm của chúng chỉ đi vào mỗi phương trình ở cấp độ đầu tiên.

Hệ thống tuyến tính được gọi là thông thường, nếu nó được phép đối với tất cả các đạo hàm

Trong một hệ thống thông thường, vế phải của các phương trình không chứa đạo hàm của các hàm mong muốn.

Quyết định hệ phương trình vi phân được gọi là một tập hợp các hàm https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> được gọi là điều kiện ban đầu của hệ phương trình vi phân.

Thông thường các điều kiện ban đầu được viết dưới dạng

Giải pháp chung (tích phân ) hệ phương trình vi phân được gọi là tập hợp « N» hàm của biến độc lập x và « N» hằng số tùy ý C1 , C2 , …, cn:

..……………………..

thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ này.

Để có được một giải pháp cụ thể của hệ thống thỏa mãn các điều kiện ban đầu đã cho, https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> sẽ lấy các giá trị đã cho .

Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân chuẩn tắc được viết như sau

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.

Đối với hệ phương trình vi phân chuẩn (1), định lý Cauchy về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm được phát biểu như sau:

định lý.Đặt các phần bên phải của các phương trình của hệ thống (1), tức là các hàm , (tôi=1,2,…, N) liên tục theo mọi biến trong miền nào đó Đ. và có các đạo hàm riêng liên tục https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24"> thuộc về khu vực Đ., chỉ có một giải pháp hệ thống (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử.

Để giải một hệ phương trình vi phân thông thường, người ta sử dụng phương pháp khử ẩn số hoặc phương pháp Cauchy.

Hãy để một hệ thống bình thường được đưa ra

Phân biệt đối với X phương trình đầu tiên của hệ

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> biểu thức của chúng từ hệ phương trình (1), ta sẽ có

Chúng tôi phân biệt phương trình kết quả và tiến hành tương tự như phương trình trước, chúng tôi tìm thấy

Vì vậy, chúng tôi đã có hệ thống

(2)

Từ đầu tiên n-1 phương trình chúng tôi xác định y2 , y3 , … , có , thể hiện chúng thông qua

Và

(3)

Thay các biểu thức này vào phương trình cuối cùng (2), chúng ta thu được các phương trình thứ nđể xác định y1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Phân biệt biểu thức cuối cùng n-1 thời gian, tìm đạo hàm

như là một chức năng của . Thay thế các chức năng này vào phương trình (4), chúng tôi xác định y2 , y3 , … , có .

Vậy ta được nghiệm tổng quát của hệ (1)

(6)

Để tìm một giải pháp cụ thể cho hệ thống (1) thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho

cần tìm từ phương trình (6) các giá trị tương ứng của hằng số tùy ý С1 , С2 , … , СN .

Thí dụ.

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

cho các tính năng mới chưa biết.

Sự kết luận.

Các hệ phương trình vi phân gặp phải khi nghiên cứu các quá trình mà một hàm không đủ để mô tả. Ví dụ, việc tìm các đường sức của vectơ yêu cầu giải một hệ phương trình vi phân. Việc giải các bài toán về động lực học của chuyển động cong dẫn đến một hệ gồm ba phương trình vi phân, trong đó các hàm chưa biết là hình chiếu của điểm chuyển động trên các trục tọa độ và biến độc lập là thời gian. Sau này bạn sẽ biết rằng việc giải các bài toán kỹ thuật điện cho hai mạch điện trong khớp nối điện từ sẽ yêu cầu giải một hệ hai phương trình vi phân. Số lượng các ví dụ như vậy có thể dễ dàng được tăng lên.

Các khái niệm và định nghĩa cơ bản Bài toán đơn giản nhất về động lực học của một chất điểm dẫn đến một hệ phương trình vi phân: các lực tác dụng lên một chất điểm đã cho; tìm quy luật chuyển động, tức là tìm các hàm x = x(t), y = y(t), z = z(t), biểu thị sự phụ thuộc của tọa độ của chất điểm chuyển động vào thời gian. Hệ thống thu được trong trường hợp này, trong trường hợp chung, có dạng Ở đây x, y, z là tọa độ của điểm chuyển động, t là thời gian, f, g, h là các hàm đã biết của các đối số của chúng. Một hệ thống có dạng (1) được gọi là chính tắc. Chuyển sang trường hợp tổng quát của một hệ gồm m phương trình vi phân với m hàm chưa biết của đối số t, chúng ta gọi một hệ có dạng được giải theo đạo hàm cấp cao là chính tắc. Hệ phương trình bậc nhất được giải theo đạo hàm của các hàm mong muốn được gọi là bình thường. Nếu lấy hàm bổ trợ mới làm hệ thức chính tắc tổng quát (2) có thể thay thế bằng một hệ chuẩn tắc tương đương gồm các phương trình. Do đó, chỉ cần xem xét các hệ thống bình thường là đủ. Ví dụ, một phương trình là một trường hợp đặc biệt của hệ thống chính tắc. Đặt ^ = y, theo phương trình ban đầu, chúng ta sẽ có Kết quả là, chúng ta thu được một hệ phương trình bình thường HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương pháp tích phân Phương pháp khử Phương pháp tổ hợp khả tích Hệ phương trình vi phân tuyến tính Ma trận cơ bản Phương pháp biến thiên hằng số Hệ của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng Phương pháp ma trận tương đương với phương trình ban đầu. Định nghĩa 1. Nghiệm của hệ chuẩn tắc (3) trên khoảng (a, b) biến đổi của đối số t là một hệ n hàm số bất kỳ “ khả vi trên khoảng biến các phương trình của hệ (3) thành các đẳng thức với đối với t trên khoảng (a, b) Bài toán Cauchy của hệ (3) được phát biểu như sau: Tìm nghiệm (4) của hệ thỏa mãn điều kiện ban đầu để t = với miền chiều D thay đổi trong các biến t, X\, x 2, ..., xn Nếu tồn tại một lân cận ft fine trong đó các hàm ft liên tục trong tập hợp các đối số và có các đạo hàm riêng có giới hạn đối với các biến X1, x2, . .., xn thì tồn tại khoảng - L0 biến thiên theo t mà trên đó có nghiệm duy nhất của hệ chuẩn tắc (3) thỏa mãn điều kiện ban đầu Định nghĩa 2. Một hệ gồm n hàm hằng số tùy ý phụ thuộc vào tun được gọi là một giải pháp chung của bình thường hệ (3) trong miền П nào đó về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, nếu 1) với mọi giá trị chấp nhận được, hệ hàm (6) biến phương trình (3) thành đẳng thức, 2) trong miền П hàm số (6) giải bất kỳ bài toán Cauchy nào. Nghiệm thu được từ cái chung cho các giá trị riêng của hằng số được gọi là nghiệm riêng. Để rõ ràng, chúng ta hãy chuyển sang hệ hai phương trình thông thường, chúng ta sẽ coi hệ giá trị t> X\, x2 là tọa độ Descartes vuông góc của một điểm trong không gian ba chiều gọi là hệ tọa độ Otx\x2. Nghiệm của hệ (7), nhận giá trị tại t - to, xác định trong không gian một đường thẳng nào đó đi qua một điểm) - Đường thẳng này gọi là đường cong tích phân của hệ pháp tuyến (7). Bài toán Ko-shi cho hệ (7) nhận được công thức hình học sau: trong không gian các biến t > X\, x2, tìm đường cong tích phân đi qua điểm đã cho Mo(to,x1,x2) (Hình 1) . Định lý 1 chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của một đường cong như vậy. Hệ thống bình thường (7) và giải pháp của nó cũng có thể được giải thích như sau: chúng ta sẽ coi biến độc lập t là một tham số và nghiệm của hệ thống là phương trình tham số của một đường cong trong mặt phẳng x\Ox2. Mặt phẳng chứa các biến X\X2 này được gọi là mặt phẳng pha. Trong mặt phẳng pha, nghiệm (0 của hệ (7), mà tại t = t0 nhận các giá trị ban đầu x°(, x2, được biểu diễn bằng đường cong AB đi qua điểm). Đường cong này được gọi là quỹ đạo của hệ (quỹ đạo pha).Quỹ đạo của hệ (7) là hình chiếu 2. Các phương pháp tích phân hệ phương trình vi phân 2.1 Phương pháp loại bỏ Một trong những phương pháp tích phân là phương pháp loại bỏ. đạo hàm, Đưa phương trình hàm số mới bằng hệ n phương trình chuẩn tắc sau: ta thay vào phương trình này một phương trình bậc n thì tương đương với hệ chuẩn tắc (1) Đây là cơ sở của phương pháp khử để lấy tích phân hệ phương trình vi phân . Nó được thực hiện như thế này. Giả sử chúng ta có một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc Hãy để chúng ta vi phân phương trình đầu tiên (2) theo t. Ta có Thay thế ở vế phải của tích hay nói ngắn gọn là Phương trình (3) lại khả vi đối với t. Tính đến hệ (2), ta thu được hoặc Tiếp tục quá trình này, ta thấy Giả sử định thức (Jacobian của hệ hàm khác 0 đối với các giá trị đã xét Khi đó hệ phương trình gồm phương trình thứ nhất của hệ ( 2) và các phương trình sẽ giải được đối với ẩn số sẽ được thể hiện thông qua việc Đưa các biểu thức tìm được vào phương trình, ta được một phương trình bậc n. Từ chính phương pháp xây dựng của nó, suy ra rằng nếu) có nghiệm của hệ (2) thì hàm X\(t) sẽ là nghiệm của phương trình (5). Ngược lại, gọi là nghiệm của phương trình (5). Vi phân nghiệm này đối với t, ta tính và thế các giá trị tìm được dưới dạng các hàm đã biết, theo giả thiết hệ này giải được đối với xn là một hàm của t. Có thể chỉ ra rằng hệ hàm được xây dựng theo cách này tạo thành một nghiệm của hệ phương trình vi phân (2). Thí dụ. Cần tích phân hệ. Lấy vi phân phương trình thứ nhất của hệ, ta có từ đó, sử dụng phương trình thứ hai, ta thu được - một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với các hệ số không đổi với một hàm chưa biết. Giải pháp chung của nó có dạng Nhờ phương trình đầu tiên của hệ thống, chúng tôi tìm thấy chức năng. Các hàm được tìm thấy x(t), y(t), vì nó dễ kiểm tra, cho bất kỳ giá trị nào của С| và C2 thỏa mãn hệ thức đã cho. Các hàm có thể được biểu diễn dưới dạng mà từ đó có thể thấy rằng các đường cong tích phân của hệ thống (6) là các đường xoắn ốc có bước có trục chung x = y = 0, cũng là một đường cong tích phân (Hình 3) . Loại bỏ tham số trong công thức (7), ta thu được phương trình sao cho quỹ đạo pha của một hệ đã cho là các đường tròn có tâm tại gốc tọa độ - hình chiếu của các đường xoắn ốc lên một mặt phẳng. Tại A = 0, quỹ đạo pha bao gồm một điểm, gọi là điểm nghỉ của hệ. “. Nó có thể chỉ ra rằng các chức năng không thể được biểu thị dưới dạng Sau đó, các phương trình của bậc n, tương đương với hệ thống ban đầu, chúng ta sẽ không nhận được. Đây là một ví dụ đơn giản. Hệ phương trình không thể được thay thế bằng một phương trình bậc hai tương đương cho x\ hoặc x2. Hệ thống này bao gồm một cặp phương trình bậc 1, mỗi phương trình được tích hợp độc lập, điều này mang lại cho Phương pháp tổ hợp khả tích Việc tích hợp các hệ phương trình vi phân thông thường dXi đôi khi được thực hiện bằng phương pháp tổ hợp khả tích. Một tổ hợp khả tích là một phương trình vi phân là hệ quả của các phương trình (8), nhưng đã có thể tích phân dễ dàng. Thí dụ. Tích phân hệ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG Các phương pháp tích phân Phương pháp khử Phương pháp tổ hợp khả tích Hệ phương trình vi phân tuyến tính Ma trận cơ số Phương pháp biến thiên hằng Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Phương pháp ma trận 4 Cộng từng hạng tử các phương trình này, ta tìm được một tổ hợp khả tích: tổ hợp khả tích thứ hai: từ đó Ta tìm được hai phương trình hữu hạn từ đó dễ dàng xác định được nghiệm chung của hệ: Một tổ hợp khả tích cho phép thu được một phương trình liên quan đến biến độc lập t và các hàm chưa biết. Phương trình hữu hạn như vậy được gọi là tích phân bậc nhất của hệ (8). Nói cách khác: tích phân bậc nhất của một hệ phương trình vi phân (8) là một hàm khả vi không đồng nhất với hằng số, nhưng giữ lại một giá trị không đổi trên bất kỳ đường cong tích phân nào của hệ này. Nếu tìm thấy n tích phân đầu tiên của hệ (8) và chúng đều độc lập, nghĩa là Jacobian của hệ hàm khác 0: Hệ phương trình vi phân được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với các hàm chưa biết và đạo hàm của chúng đưa vào phương trình. Một hệ gồm n phương trình tuyến tính bậc nhất, viết dưới dạng chuẩn tắc, có dạng hoặc, ở dạng ma trận, Định lý 2. Nếu tất cả các hàm số liên tục trên một khoảng thì trong một lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm, xn), trong đó), các điều kiện của định lý tồn tại được thỏa mãn và tính duy nhất của nghiệm của bài toán Cauchii, do đó, một đường cong tích phân duy nhất của hệ thống (1) đi qua mỗi điểm như vậy. Thật vậy, trong trường hợp này, vế phải của hệ (1) liên tục trong tập hợp các đối số t)x\,x2)..., xn, và các đạo hàm riêng của chúng đối với, bị chặn, vì các đạo hàm này bằng hệ số liên tục trên khoảng Ta đưa vào toán tử tuyến tính Khi đó hệ (2) viết dưới dạng Nếu ma trận F bằng 0 trên khoảng (a, 6) thì hệ (2) gọi là thuần nhất tuyến tính và có dạng Hãy trình bày một số định lý thiết lập tính chất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Định lý 3. Nếu X(t) là một nghiệm của một hệ thuần nhất tuyến tính trong đó c là một hằng số tùy ý, thì nó là một nghiệm của cùng một hệ. Định lý 4. Tổng hai nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của cùng một hệ. Hậu quả. Một tổ hợp tuyến tính, với các hệ số hằng số tùy ý c, của các nghiệm của một hệ phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính là một nghiệm của cùng một hệ. Định lý 5. Nếu X(t) là một nghiệm của một hệ không thuần nhất tuyến tính - một nghiệm của hệ thuần nhất tương ứng, thì tổng sẽ là một nghiệm của hệ không thuần nhất. chúng ta thu được Điều này có nghĩa là tổng là nghiệm của hệ phương trình không thuần nhất. Các vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính vào một khoảng nếu tồn tại các hằng số sao cho , và ít nhất một trong các số a khác không. Nếu đẳng thức (5) chỉ đúng với thì các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính trên (a, b). Lưu ý rằng một nhận dạng vectơ (5) tương đương với n nhận dạng: . Định thức được gọi là định thức Wronsky của hệ vectơ. Sự định nghĩa. Giả sử hệ tuyến tính thuần nhất là ma trận có các phần tử Hệ gồm n nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất (6) độc lập tuyến tính trên khoảng gọi là cơ bản. Định lý 6. Định thức Wronsky W(t) của hệ nghiệm cơ bản trên khoảng của hệ tuyến tính thuần nhất (6) với các hệ số liên tục a-ij(t) trên đoạn a b khác không tại mọi điểm của khoảng (a , 6). Định lý 7 (về cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất). Nghiệm tổng quát trong miền của hệ tuyến tính thuần nhất với các hệ số liên tục trên khoảng là tổ hợp tuyến tính n nghiệm của hệ (6) độc lập tuyến tính trên khoảng a: hằng số tùy ý). Thí dụ. Hệ thống, vì dễ kiểm tra, nghiệm của các nghiệm Esh là độc lập tuyến tính, vì định thức Wronsky khác 0: "Nghiệm thức tổng quát của hệ có dạng hoặc là các hằng số tùy ý). 3.1. Ma trận vuông có các cột là nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (6), dễ dàng kiểm tra ma trận cơ bản thỏa mãn phương trình ma trận Nếu X(t) là ma trận cơ bản của hệ (6) thì nghiệm tổng quát của hệ có thể biểu diễn dưới dạng một ma trận cột hằng với các phần tử tùy ý. Ma trận đó được gọi là ma trận Cauchy. Với sự trợ giúp của nó, nghiệm của hệ (6) có thể biểu diễn như sau: Định lý 8 (về cấu trúc của nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất). Nghiệm tổng quát trong miền của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với các hệ số liên tục trên khoảng và vế phải fi(t) bằng tổng của nghiệm tổng quát hệ đồng thể tương ứng và một nghiệm riêng X(t) nào đó của hệ không thuần nhất (2): 3.2. Phương pháp biến thiên của hằng số Nếu đã biết nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất (6) thì có thể tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên của hằng số (phương pháp Lagrange). Để có nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất (6) thì dXk và các nghiệm độc lập tuyến tính. Ta sẽ tìm nghiệm cụ thể của một hệ không thuần nhất trong đó hàm t chưa biết. Đạo hàm, ta có Thay thế, ta thu được Vì, đối với định nghĩa, ta thu được một hệ hay, ở dạng khai triển, Hệ (10) là một hệ đại số tuyến tính đối với 4(0 > có định thức là định thức Wronsky W(t) của hệ nghiệm cơ bản Định thức này khác 0 ở mọi nơi trên khoảng sao cho hệ) có nghiệm duy nhất trong đó MO là các hàm liên tục đã biết. Tích hợp các mối quan hệ cuối cùng, chúng tôi tìm thấy Thay thế các giá trị này, chúng tôi tìm thấy một giải pháp cụ thể của hệ thống (2): Tổng cộng, một hệ thống như vậy được tích hợp bằng cách rút gọn nó thành một phương trình bậc cao hơn và phương trình này cũng sẽ tuyến tính với hệ số không đổi. Một phương pháp hiệu quả khác để tích phân các hệ có hệ số hằng là phương pháp biến đổi Laplace. Chúng ta cũng sẽ xem xét phương pháp Euler để tích phân các hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng. Nó bao gồm các phần sau: Hệ phương pháp Euler (3) tuyến tính thuần nhất x phương trình đại số có n ẩn số an có nghiệm không tầm thường thì cần và đủ định thức của nó bằng 0: Phương trình (4) được gọi là đặc trưng. Vế trái của nó có một đa thức đối với A bậc n, từ phương trình này xác định được các giá trị đó của A để hệ (3) có nghiệm không tầm thường a\ Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (4) khác không, khi đó thay chúng lần lượt vào hệ ( 3), ta tìm được các nghiệm không tầm thường tương ứng với chúng, của hệ này và do đó, ta tìm được n nghiệm của hệ phương trình vi phân ban đầu (1 ) ở dạng trong đó chỉ số thứ hai cho biết số nghiệm và chỉ số đầu tiên cho biết số lượng hàm chưa biết. N nghiệm riêng của hệ thuần nhất tuyến tính (1) được xây dựng theo cách này, như có thể được xác minh, hệ nghiệm cơ bản của hệ này. Do đó, nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân thuần nhất (1) có dạng - hằng số tùy ý. Trường hợp phương trình đặc trưng có nhiều nghiệm sẽ không được xét. M Ta đang tìm nghiệm ở dạng Phương trình đặc trưng Hệ (3) để xác định 01.02 có dạng như sau: Thay vào ta được từ Do đó, Giả sử ta tìm được Do đó Lời giải tổng quát của hệ này: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI Phân Phương pháp tích phân Phương pháp loại bỏ Tổ hợp tích phân phương pháp Hệ phương trình vi phân tuyến tính Ma trận cơ bản Phương pháp biến thiên hằng Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Phương pháp ma trận Chúng ta hãy mô tả phương pháp ma trận để tích phân một hệ thuần nhất (1). Ta viết hệ (1) dưới dạng ma trận với các phần tử thực a,j không đổi. Chúng ta hãy nhớ lại một số khái niệm từ đại số tuyến tính. Vectơ g F O được gọi là vectơ riêng của ma trận A, nếu số A được gọi là giá trị riêng của ma trận A, tương ứng với vectơ riêng g và là nghiệm của phương trình đặc trưng với I là ma trận đơn vị. Chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả các giá trị riêng An của ma trận A đều khác không. Trong trường hợp này, các vectơ riêng độc lập tuyến tính và có một ma trận T cấp n x n làm giảm ma trận A về dạng đường chéo, tức là sao cho các cột của ma trận T là tọa độ của các vectơ riêng. các khái niệm. Cho B(t) là một ma trận n x n, các phần tử 6,;(0 trong số đó là các hàm của đối số t, được xác định trên tập hợp. Ma trận B(f) được gọi là liên tục trên Π nếu tất cả các phần tử của nó 6, j(f) liên tục trên Q Một ma trận B(*) được gọi là khả vi trên Π nếu tất cả các phần tử của ma trận này khả vi trên Q. Trong trường hợp này, đạo hàm của ma trận ^p B(*) là ma trận có các phần tử là đạo hàm của -các phần tử tương ứng của ma trận B(*).vector cột Xét các quy tắc của đại số ma trận, bằng cách kiểm tra trực tiếp, chúng tôi xác minh tính hợp lệ của công thức có dạng trong đó các vectơ riêng-cột của ma trận các số không đổi tùy ý. Chúng tôi giới thiệu một vectơ cột chưa biết mới theo công thức rằng T 1 AT \u003d A, chúng ta đến hệ thống Chúng ta đã thu được một hệ gồm n phương trình độc lập, có thể tích phân dễ dàng: (12) Đây là các hằng số tùy ý. Đưa vectơ cột đơn vị n chiều, nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng Vì các cột của ma trận T là vectơ riêng của ma trận nên vectơ riêng của ma trận A. Do đó thay (13) vào (11) ta được công thức ( 10): Như vậy, nếu ma trận A của hệ phương trình vi phân (7) có các giá trị riêng khác nhau thì để có nghiệm tổng quát của hệ này: 1) ta tìm các giá trị riêng „ của ma trận là các nghiệm của phương trình đại số 2) chúng tôi tìm thấy tất cả các vectơ riêng 3) chúng tôi viết ra nghiệm chung của hệ phương trình vi phân (7) theo công thức (10 ). Ví dụ 2. Giải hệ Phương pháp ma trận 4 Ma trận A của hệ có dạng 1) Lập phương trình đặc trưng Các nghiệm của phương trình đặc trưng. 2) Ta tìm các véc tơ riêng Với A = 4 ta được hệ từ đâu = 0|2 sao cho Tương tự với A = 1 ta tìm được I 3) Sử dụng công thức (10) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân Các nghiệm của phương trình đặc tính có thể là thực và phức tạp. Vì theo giả thiết các hệ số ay của hệ (7) là thực nên phương trình đặc trưng sẽ có hệ số thực. Do đó, cùng với căn phức A, nó cũng sẽ có một căn \*, phức liên hợp với A. Dễ dàng chứng minh rằng nếu g là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng A, thì A* cũng là một giá trị riêng tương ứng đến véc tơ riêng g*, phức liên hợp với g. Đối với phức A, nghiệm của hệ (7) taioKe sẽ là phức. Phần thực và phần ảo của nghiệm này là nghiệm của hệ (7). Giá trị riêng A* sẽ tương ứng với một cặp nghiệm thực. cùng một cặp với giá trị riêng A. Như vậy, cặp A, A* của các giá trị riêng liên hợp phức tương ứng với một cặp nghiệm thực của hệ (7) phương trình vi phân. Cho các giá trị riêng thực, các giá trị riêng phức tạp. Khi đó mọi nghiệm thực của hệ (7) đều có dạng trong đó c, là các hằng số tùy ý. Ví dụ 3. Giải hệ -4 Ma trận của hệ 1) Phương trình đặc trưng của hệ Các nghiệm của nó Các vectơ riêng của ma trận 3) Nghiệm của hệ với các hằng số phức tùy ý. Hãy tìm nghiệm thực của hệ. Sử dụng công thức Euler, ta có Do đó mọi nghiệm thực của hệ đều có dạng là các số thực tùy ý. Bài tập Tích phân hệ thức bằng phương pháp khử: Tích phân hệ thức bằng phương pháp tổ hợp khả tích: Tích phân hệ thức bằng phương pháp ma trận: Đáp án