Giải phương trình lượng giác cho người giả. Giải phương trình lượng giác

Khi giải quyết nhiều Bài toán, đặc biệt là những trường hợp xảy ra trước lớp 10, thứ tự các hành động được thực hiện sẽ dẫn đến mục tiêu được xác định rõ ràng. Những vấn đề như vậy bao gồm, ví dụ, phương trình tuyến tính và bậc hai, bất phương trình tuyến tính và bậc hai, phương trình phân số và phương trình rút gọn về phương trình bậc hai. Nguyên tắc giải quyết thành công từng nhiệm vụ được đề cập như sau: cần xác định loại vấn đề đang được giải quyết thuộc về loại nào, hãy nhớ chuỗi hành động cần thiết sẽ dẫn đến kết quả mong muốn, tức là. trả lời và làm theo các bước sau.

Rõ ràng, thành công hay thất bại trong việc giải một bài toán cụ thể chủ yếu phụ thuộc vào cách xác định chính xác loại phương trình đang được giải, trình tự của tất cả các bước giải của nó được tái tạo chính xác như thế nào. Tất nhiên, trong trường hợp này, cần phải có kỹ năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán giống hệt nhau.

Một tình huống khác xảy ra với phương trình lượng giác. Không khó để thiết lập một thực tế rằng phương trình là lượng giác. Khó khăn phát sinh khi xác định chuỗi hành động sẽ dẫn đến câu trả lời đúng.

Đôi khi rất khó để xác định loại của nó bằng sự xuất hiện của một phương trình. Và nếu không biết loại phương trình, gần như không thể chọn đúng phương trình từ hàng chục công thức lượng giác.

Để giải phương trình lượng giác, chúng ta phải thử:

1. đưa tất cả các hàm có trong phương trình về "các góc giống nhau";
2. Đưa phương trình về "các hàm số trùng nhau";
3. phân tích vế trái của phương trình, v.v.

Coi như các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác.

I. Rút gọn về phương trình lượng giác đơn giản nhất

sơ đồ giải pháp

Bước 1. Biểu diễn hàm lượng giác theo các thành phần đã biết.

Bước 2 Tìm đối số chức năng bằng cách sử dụng công thức:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Bước 3 Tìm một biến chưa biết.

Ví dụ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Giải pháp.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Trả lời: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. thay thế biến

sơ đồ giải pháp

Bước 1.Đưa phương trình về dạng đại số đối với một trong các hàm lượng giác.

Bước 2 Biểu thị hàm kết quả bằng biến t (nếu cần, đưa ra các hạn chế đối với t).

Bước 3 Viết ra và giải phương trình đại số thu được.

Bước 4 Thực hiện một sự thay thế ngược lại.

Bước 5 Giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Ví dụ.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Giải pháp.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Đặt sin (x/2) = t, trong đó |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 hoặc e = -3/2 không thỏa mãn điều kiện |t| ≤ 1.

4) tội lỗi (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z .

Trả lời: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Phương pháp rút gọn bậc phương trình

sơ đồ giải pháp

Bước 1. Thay thế phương trình này bằng một phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng các công thức giảm công suất:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2(1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x)/(1 + cos 2x).

Bước 2 Giải phương trình thu được bằng phương pháp I và II.

Ví dụ.

cos2x + cos2x = 5/4.

Giải pháp.

1) cos 2x + 1/2(1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Trả lời: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. phương trình thuần nhất

sơ đồ giải pháp

Bước 1.Đưa phương trình này về dạng

a) a sin x + b cos x = 0 (phương trình thuần nhất bậc nhất)

hoặc để xem

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (phương trình thuần nhất bậc hai).

Bước 2 Chia cả hai vế của phương trình cho

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

và nhận được phương trình cho tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Bước 3 Giải phương trình bằng các phương pháp đã biết.

Ví dụ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Giải pháp.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Đặt tg x = t thì

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 hoặc t = -4, vậy

tg x = 1 hoặc tg x = -4.

Từ phương trình đầu tiên x = π/4 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = -arctg 4 + πk, k Є Z .

Trả lời: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Phương pháp biến đổi phương trình bằng công thức lượng giác

sơ đồ giải pháp

Bước 1. Sử dụng các loại công thức lượng giác, đưa phương trình này về một phương trình giải được bằng các phương pháp I, II, III, IV.

Bước 2 Giải phương trình kết quả bằng các phương pháp đã biết.

Ví dụ.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Giải pháp.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x(2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 hay 2cos x + 1 = 0;

Từ phương trình đầu tiên 2x = π/2 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai cos x = -1/2.

Ta có x = π/4 + πn/2, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Kết quả là x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trả lời: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Khả năng và kĩ năng giải phương trình lượng giác rất quan trọng, sự phát triển của chúng đòi hỏi nỗ lực đáng kể, cả về phía học sinh và giáo viên.

Nhiều bài toán về hình học lập thể, vật lý,… gắn liền với việc giải phương trình lượng giác, quá trình giải các bài toán như vậy có thể nói chứa đựng nhiều kiến ​​thức và kỹ năng thu được khi nghiên cứu các yếu tố của lượng giác.

Phương trình lượng giác chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình dạy học toán và phát triển nhân cách nói chung.

Bạn có câu hỏi nào không? Không biết làm thế nào để giải phương trình lượng giác?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Khóa học video "Đạt điểm A" bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua thành công kỳ thi môn toán với số điểm 60-65. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Hồ sơ SỬ DỤNG trong toán học. Cũng thích hợp để vượt qua SỬ DỤNG Cơ bản trong toán học. Nếu bạn muốn vượt qua kỳ thi với 90-100 điểm, bạn cần giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!

Khóa học luyện thi vào lớp 10-11, cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải quyết phần 1 của bài kiểm tra môn toán (12 bài đầu tiên) và bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước, và không một học sinh trăm điểm hay một nhà nhân văn nào có thể làm được nếu không có chúng.

Tất cả các lý thuyết cần thiết. Giải pháp nhanh, bẫy và bí mật của kỳ thi. Tất cả các nhiệm vụ liên quan của phần 1 từ các nhiệm vụ của Ngân hàng FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của USE-2018.

Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.

Hàng trăm nhiệm vụ thi. Bài toán chữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán giải bài toán đơn giản, dễ nhớ. hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích tất cả các loại nhiệm vụ SỬ DỤNG. lập thể. Các thủ thuật tinh vi để giải quyết, các mánh gian lận hữu ích, phát triển trí tưởng tượng không gian. Lượng giác từ đầu - đến nhiệm vụ 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích trực quan về các khái niệm phức tạp. Đại số học. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Cơ sở để giải quyết các vấn đề phức tạp của phần 2 của kỳ thi.

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Những thông tin cá nhân nào chúng tôi thu thập:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác cũng như các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn các thông báo và tin nhắn quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến các dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết - theo luật pháp, trình tự tư pháp, thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các lý do lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được an toàn, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các thông lệ về quyền riêng tư.

Bài vận dụng kiến ​​thức tổng hợp.

Mục tiêu bài học.

1. Xem xét các phương pháp khác nhau để giải phương trình lượng giác.
2. Phát triển năng lực sáng tạo của học sinh qua giải phương trình.
3. Khuyến khích học sinh tự chủ, kiểm soát lẫn nhau, tự phân tích các hoạt động giáo dục của mình.

Thiết bị: màn chiếu, máy chiếu, tài liệu tham khảo.

Trong các lớp học

Cuộc trò chuyện giới thiệu.

Phương pháp chính để giải các phương trình lượng giác là rút gọn đơn giản nhất của chúng. Trong trường hợp này, các phương pháp thông thường được sử dụng, chẳng hạn như phân tích thừa số, cũng như các kỹ thuật chỉ được sử dụng để giải các phương trình lượng giác. Có khá nhiều thủ thuật này, chẳng hạn như các phép thế lượng giác khác nhau, phép biến đổi góc, phép biến đổi hàm lượng giác. Việc áp dụng bừa bãi bất kỳ phép biến đổi lượng giác nào thường không đơn giản hóa phương trình mà còn làm phức tạp hóa nó một cách tai hại. Để xây dựng phương án giải phương trình một cách tổng quát, vạch ra cách rút gọn phương trình về dạng đơn giản nhất, trước hết cần phân tích các góc - đối số của các hàm lượng giác có trong phương trình.

Hôm nay chúng ta sẽ nói về các phương pháp giải phương trình lượng giác. Một phương pháp được chọn chính xác thường cho phép đơn giản hóa đáng kể giải pháp, vì vậy tất cả các phương pháp chúng ta đã nghiên cứu phải luôn được chúng ta chú ý để giải phương trình lượng giác theo cách phù hợp nhất.

II. (Sử dụng máy chiếu, chúng tôi lặp lại các phương pháp giải phương trình.)

1. Phương pháp rút gọn phương trình lượng giác về phương trình đại số.

Cần phải biểu diễn tất cả các hàm lượng giác thông qua một, với cùng một đối số. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản và các hệ quả của nó. Chúng tôi nhận được một phương trình với một hàm lượng giác. Coi nó như một ẩn số mới, ta thu được một phương trình đại số. Chúng tôi tìm ra gốc rễ của nó và trở về ẩn số cũ, giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.

2. Phương pháp đưa ra thừa số.

Để thay đổi các góc, các công thức rút gọn, tổng và hiệu của các đối số, cũng như các công thức chuyển đổi tổng (hiệu) của các hàm lượng giác thành tích và ngược lại thường hữu ích.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Phương pháp giới thiệu một góc bổ sung.

4. Phương pháp dùng phép thế vạn năng.

Các phương trình dạng F(sinx, cosx, tgx) = 0 được rút gọn thành phương trình đại số bằng cách sử dụng phép thế lượng giác phổ quát

Biểu diễn sin, cosin và tiếp tuyến theo tiếp tuyến của nửa góc. Thủ thuật này có thể dẫn đến một phương trình bậc cao hơn. Quyết định đó là khó khăn.