Các tính chất của xác suất thống kê. xác suất thống kê

vé xác suất.

lý thuyết xác suất- một nhánh của toán học nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên: các sự kiện ngẫu nhiên, các biến ngẫu nhiên, các tính chất và phép toán của chúng đối với chúng

lý thuyết xác suất nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, hiện tượng ngẫu nhiên là những hiện tượng xảy ra trong tập hợp của một số lượng lớn hơn các đối tượng bằng nhau hoặc gần bằng nhau và được xác định bởi tính chất khối lượng của hiện tượng.

lý thuyết xác suất- phản ánh các mô hình vốn có trong các sự kiện ngẫu nhiên có tính chất đại chúng, và về cơ bản lý thuyết này dựa trên các khái niệm cơ bản.

Sự kiện và phân loại của họ.

Khả năng xác định của một biến cố được đặc trưng bởi xác suất của biến cố đó.

Trong đó - số lượng sự kiện quan tâm, - số lượng sự kiện được quan sát.

sự kiện đáng tin cậy nếu xác suất xuất hiện của nó là 1.

sự kiện không đáng tin cậyđược gọi nếu xác suất là 0.

sự kiện không tương thích- sự kiện mà 2 trong số chúng không thể xuất hiện trong thí nghiệm này.

Sự kiện có thể xảy ra như nhau- các sự kiện mà theo kinh nghiệm này, không có sự kiện nào có thể xảy ra một cách khách quan.

sự kiện ngược lại– các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh gồm 2 sự kiện.

sự kiện độc lập- những sự kiện trong đó mỗi sự kiện trong số 2 sự kiện là độc lập (Tương quan-không phụ thuộc)

sự kiện chung- những sự kiện như vậy trong đó sự xuất hiện của 1 trong số chúng không loại trừ sự xuất hiện của nhau trong cùng một trải nghiệm.

Định nghĩa cổ điển và thống kê về xác suất của một sự kiện

Mỗi kết quả kiểm tra (thí nghiệm) có thể xảy ra như nhau được gọi là kết quả sơ cấp. Chúng thường được biểu thị bằng các chữ cái. Ví dụ, một con xúc xắc được tung ra. Có thể có sáu kết quả cơ bản theo số điểm trên các mặt.

Từ các kết quả cơ bản, bạn có thể soạn một sự kiện phức tạp hơn. Vì vậy, sự kiện có số điểm chẵn được xác định bởi ba kết quả: 2, 4, 6.

Một thước đo định lượng về khả năng xảy ra sự kiện đang được xem xét là xác suất.

Hai định nghĩa về xác suất của một sự kiện được sử dụng rộng rãi nhất: cổ điển Và thống kê.

Định nghĩa cổ điển về xác suất có liên quan đến khái niệm về một kết quả thuận lợi.

Exodus được gọi là thuận lợi sự kiện này, nếu sự xuất hiện của nó kéo theo sự xuất hiện của sự kiện này.

Trong ví dụ đã cho, sự kiện đang được xem xét - một số điểm chẵn trên mặt bị bỏ rơi, có ba kết quả thuận lợi. Trong trường hợp này, tổng thể
số lượng các kết quả có thể. Vì vậy, ở đây bạn có thể sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện.

định nghĩa cổ điển. Xác suất của một sự kiện bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả có thể xảy ra

ở đâu là xác suất của sự kiện , là số kết quả thuận lợi cho sự kiện, là tổng số kết quả có thể xảy ra.

Trong ví dụ được xem xét

Định nghĩa thống kê về xác suất gắn liền với khái niệm về tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện trong các thí nghiệm.

Tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện được tính theo công thức

ở đâu là số lần xuất hiện của một sự kiện trong một loạt các thử nghiệm (thử nghiệm).

định nghĩa thống kê. Xác suất của một sự kiện là con số mà tần số tương đối được ổn định (được thiết lập) với số lượng thí nghiệm tăng không giới hạn.

Trong các bài toán thực tế, tần suất tương đối của một số lượng đủ lớn các phép thử được coi là xác suất của một sự kiện.

Từ các định nghĩa về xác suất của một biến cố, có thể thấy rằng bất đẳng thức luôn đúng

Để xác định xác suất của một biến cố dựa vào công thức (1.1), người ta thường dùng công thức tổ hợp để tìm số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra.

Ví dụ.Được biết, trong số 30 chiếc máy may được nhận, có 10 chiếc bị lỗi bên trong. Tính xác suất để trong một lô lấy ngẫu nhiên 5 chiếc thì có 3 chiếc không bị lỗi.

Giải pháp.Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi giới thiệu ký hiệu. Gọi - tổng số máy, - số máy không có lỗi, - số máy được chọn cho lô, - số máy không có lỗi trong lô được chọn.

Tổng số tổ hợp ô tô, tức là tổng số kết quả có thể xảy ra sẽ bằng với số tổ hợp các phần tử theo , tức là . Nhưng mỗi sự kết hợp được chọn phải chứa ba chiếc xe không có khiếm khuyết. Số lượng các kết hợp như vậy bằng với số lượng kết hợp các phần tử theo , tức là .

Với mỗi sự kết hợp như vậy trong lô đã chọn, các phần tử bị lỗi còn lại cũng tạo thành một tập hợp các kết hợp, số lượng kết hợp bằng số lượng kết hợp các phần tử dọc theo , tức là. .

Điều này có nghĩa là tổng số kết quả thuận lợi được quyết định bởi tích. chúng ta lấy ở đâu

Xác suất là mức độ (đo lường, định lượng) khả năng xảy ra của một sự kiện. Khi những lý do khiến một số sự kiện có thể thực sự xảy ra lớn hơn những lý do ngược lại, thì sự kiện này được gọi là có thể xảy ra, nếu không thì không thể xảy ra hoặc không thể xảy ra. Ưu thế của căn cứ tích cực so với tiêu cực và ngược lại, có thể ở các mức độ khác nhau, do đó xác suất (và khả năng xảy ra) lớn hơn hoặc thấp hơn. Do đó, xác suất thường được ước tính ở mức độ định tính, đặc biệt trong trường hợp việc đánh giá định lượng ít nhiều chính xác là không thể hoặc cực kỳ khó khăn. Có thể có nhiều mức độ khác nhau của "mức độ" xác suất.

Định nghĩa cổ điển về xác suất dựa trên khái niệm về các kết quả có khả năng xảy ra như nhau. Xác suất là tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho một sự kiện nhất định trên tổng số kết quả có khả năng xảy ra như nhau. Ví dụ, xác suất xuất hiện mặt ngửa hoặc mặt sấp khi tung đồng xu ngẫu nhiên là 1/2 nếu giả định chỉ có hai khả năng này xảy ra và chúng có khả năng xảy ra như nhau. "Định nghĩa" xác suất cổ điển này có thể được khái quát hóa cho trường hợp có vô số giá trị có thể xảy ra - ví dụ: nếu một số sự kiện có thể xảy ra với xác suất bằng nhau tại bất kỳ điểm nào (số điểm là vô hạn) trong một số khu vực giới hạn của không gian (mặt phẳng), thì xác suất nó sẽ xảy ra ở một phần nào đó của diện tích có thể chấp nhận này bằng tỷ lệ giữa thể tích (diện tích) của phần này với thể tích (diện tích) của tất cả các diện tích có thể điểm.

Mô tả xác suất của một số hiện tượng đã trở nên phổ biến trong khoa học hiện đại, đặc biệt là trong kinh tế lượng, vật lý thống kê của các hệ thống vĩ mô (nhiệt động lực học), trong đó ngay cả trong trường hợp mô tả tất định cổ điển về chuyển động của các hạt, mô tả tất định của toàn bộ hệ thống của các hạt là không thực tế có thể và thích hợp. Trong vật lý lượng tử, bản thân các quá trình được mô tả có tính chất xác suất.

Sự xuất hiện của khái niệm và lý thuyết xác suất

Những công trình đầu tiên về học thuyết xác suất có từ thế kỷ 17. Chẳng hạn như thư từ của các nhà khoa học Pháp B. Pascal, P. Fermat (1654) và nhà khoa học Hà Lan X. Huygens (1657), người đã đưa ra cách giải thích khoa học sớm nhất về xác suất]. Về bản chất, Huygens đã hoạt động với khái niệm kỳ vọng. Nhà toán học người Thụy Sĩ J. Bernoulli đã thiết lập luật số lớn cho một kế hoạch thử nghiệm độc lập với hai kết quả (sau khi qua đời, 1713). Vào thế kỷ XVIII. - đầu thế kỷ XIX. lý thuyết xác suất được phát triển trong các công trình của A. Moivre (Anh) (1718), P. Laplace (Pháp), C. Gauss (Đức) và S. Poisson (Pháp). Lý thuyết xác suất bắt đầu được áp dụng trong lý thuyết về lỗi quan sát, được phát triển liên quan đến nhu cầu trắc địa và thiên văn học, và trong lý thuyết bắn súng. Cần lưu ý rằng luật phân bố sai số về cơ bản được đề xuất bởi Laplace, đầu tiên là sự phụ thuộc hàm mũ vào sai số mà không tính đến dấu (năm 1774), sau đó là hàm mũ của bình phương sai số (năm 1778). Định luật thứ hai thường được gọi là phân phối Gaussian hoặc phân phối chuẩn. Bernoulli (1778) đưa ra nguyên tắc tích xác suất của các sự kiện xảy ra đồng thời. Adrien Marie Legendre (1805) đã phát triển phương pháp bình phương nhỏ nhất.

Trong nửa sau của thế kỷ XIX. Sự phát triển của lý thuyết xác suất gắn liền với công trình của các nhà toán học Nga P. L. Chebyshev, A. M. Lyapunov và A. A. Markov (cao cấp), cũng như công trình về thống kê toán học của A. Quetelet (Bỉ) và F. Galton (Anh) vật lý L. Boltzmann (ở Áo), người đã tạo cơ sở cho sự mở rộng đáng kể các vấn đề của lý thuyết xác suất. Sơ đồ logic (tiên đề) để xây dựng nền tảng của lý thuyết xác suất, phổ biến nhất hiện nay, được phát triển vào năm 1933 bởi nhà toán học Liên Xô A. N. Kolmogorov.

Định nghĩa cổ điển của xác suất là:

Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của biến cố ngẫu nhiên P(A) bằng tỷ số giữa số kết quả có lợi cho A trên tổng số kết quả tạo nên không gian các biến cố cơ bản, tức là

lý thuyết cổ điển tĩnh xác suất

Trong trường hợp này, việc tính toán xác suất được rút gọn thành việc đếm các phần tử của tập hợp này hoặc tập hợp khác và thường trở thành một bài toán tổ hợp thuần túy, đôi khi rất khó.

Định nghĩa cổ điển được chứng minh khi có thể dự đoán xác suất dựa trên tính đối xứng của các điều kiện mà thí nghiệm diễn ra, và do đó, tính đối xứng của các kết quả của phép thử, dẫn đến khái niệm về các kết quả "có khả năng xảy ra như nhau".

Ví dụ. Nếu một con xúc xắc đều đặn về mặt hình học làm bằng vật liệu đồng nhất được tung để nó có thời gian thực hiện một số vòng quay đủ lớn trước khi rơi xuống, thì việc mất bất kỳ mặt nào của nó được coi là một kết quả có thể xảy ra như nhau.

Vì những lý do đối xứng tương tự, kết quả của một thí nghiệm như lấy ra các quả bóng trắng và đen được trộn cẩn thận và không thể phân biệt khi chạm vào được coi là có thể xảy ra như nhau, do đó, sau khi màu được đăng ký, mỗi quả bóng được trả lại bình và sau đó trộn kỹ, quả bóng tiếp theo được lấy ra.

Thông thường, sự đối xứng như vậy được quan sát thấy trong các thí nghiệm được tổ chức nhân tạo, chẳng hạn như cờ bạc.

Do đó, định nghĩa xác suất cổ điển có liên quan đến khái niệm cơ hội bình đẳng và được sử dụng cho các thí nghiệm rút gọn thành sơ đồ các trường hợp. Đối với điều này, điều cần thiết là các sự kiện e1, e2, en không tương thích, nghĩa là không có hai sự kiện nào trong số chúng có thể xuất hiện cùng nhau; sao cho chúng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, nghĩa là chúng loại bỏ tất cả các kết quả có thể xảy ra (không thể có chuyện kết quả của thí nghiệm là không có kết quả nào xảy ra); khả thi như nhau, với điều kiện là thí nghiệm cung cấp khả năng xuất hiện của mỗi chúng như nhau.

Không phải mọi thí nghiệm đều thỏa mãn sơ đồ trường hợp. Nếu điều kiện đối xứng bị vi phạm, thì không có sơ đồ trường hợp.

Công thức (1.1), "công thức cổ điển", đã được sử dụng để tính xác suất của các sự kiện ngay từ khi bắt đầu xuất hiện khoa học về các hiện tượng ngẫu nhiên.

Những thí nghiệm không có tính đối xứng đã được "lắp" vào sơ đồ của các trường hợp. Hiện tại, cùng với "công thức cổ điển", còn có các phương pháp tính xác suất khi thí nghiệm không được rút gọn thành sơ đồ các trường hợp. Đối với điều này, định nghĩa thống kê về xác suất được sử dụng.

Khái niệm xác suất thống kê sẽ được giới thiệu sau, còn bây giờ chúng ta hãy quay lại công thức cổ điển.

Hãy xem xét các ví dụ sau đây.

Ví dụ 1. Một thí nghiệm bao gồm việc tung hai đồng xu. Tìm xác suất để có ít nhất một quân huy xuất hiện.

Giải pháp. Sự kiện ngẫu nhiên A - sự xuất hiện của ít nhất một quốc huy.

Không gian các biến cố cơ bản trong thí nghiệm này được xác định bởi các kết quả sau: E = (GG, GR, RG, RR) lần lượt được ký hiệu là e1, e2, e3, e4. Như vậy,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Cần xác định số kết quả từ E có lợi cho sự xuất hiện của A. Đó là e1, e2, e3; số của chúng là m=3.

Sử dụng công thức cổ điển để xác định xác suất của biến cố A, ta có

Ví dụ 2. Trong một cái hũ có 3 bi trắng và 4 bi đen. Một quả bóng được lấy từ chiếc bình. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.

Giải pháp. Biến cố ngẫu nhiên A - bi trắng xuất hiện. Không gian các biến cố sơ cấp E bao gồm các kết quả e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, trong đó ei là sự xuất hiện của một bi (trắng hoặc đen);

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.

Biến cố ngẫu nhiên A trong không gian E có 3 kết cục; m=3. Kể từ đây,

Ví dụ 3. Trong một cái hũ có 3 bi trắng và 4 bi đen. Hai quả bóng được rút ra từ cái bình. Tìm xác suất để cả hai đều là người da trắng.

Giải pháp. Biến cố ngẫu nhiên A - cả hai bi đều trắng.

Ví dụ 3 khác với Ví dụ 2 ở chỗ trong Ví dụ 3, các kết quả tạo thành không gian các kết quả cơ bản E sẽ không phải là các quả bóng riêng lẻ mà là tổ hợp của 7 quả bóng bằng 2. Tức là để xác định số chiều của E, cần để xác định số lượng kết hợp từ 7 đến 2. Để làm điều này, bạn phải sử dụng các công thức của tổ hợp, được đưa ra trong phần "Phương pháp tổ hợp". Trong trường hợp này, để xác định số lượng kết hợp từ 7 đến 2, công thức xác định số lượng kết hợp được sử dụng

vì sự lựa chọn được thực hiện mà không cần thay thế và thứ tự xuất hiện của các quả bóng là không quan trọng. Như vậy,

Số lượng kết hợp thuận lợi cho sự xuất hiện của sự kiện A được định nghĩa là

Kể từ đây, .

Định nghĩa thống kê về xác suất

Khi xem xét kết quả của các bài kiểm tra riêng lẻ, rất khó để tìm thấy bất kỳ mẫu nào. Tuy nhiên, trong một chuỗi các phép thử giống hệt nhau, người ta có thể tìm thấy sự ổn định của một số đặc tính trung bình. Tần suất của bất kỳ sự kiện nào trong một chuỗi n thử nghiệm nhất định là tỷ lệ m / n, số m của các thử nghiệm trong đó sự kiện A xảy ra, trên tổng số n thử nghiệm. Trong hầu hết mọi chuỗi thử nghiệm đủ dài, tần suất của sự kiện A được đặt ở một giá trị nhất định, giá trị này được coi là xác suất của sự kiện A. Sự ổn định của giá trị tần số được xác nhận bằng các thí nghiệm đặc biệt. Các quy tắc thống kê thuộc loại này lần đầu tiên được phát hiện trên ví dụ về cờ bạc, tức là trên ví dụ về những thử nghiệm được đặc trưng bởi các kết quả có thể xảy ra như nhau. Điều này đã mở đường cho một phương pháp thống kê để xác định xác suất bằng số khi điều kiện đối xứng thực nghiệm bị vi phạm. Tần suất của biến cố A được gọi là xác suất thống kê, kí hiệu là

trong đó mA là số thí nghiệm có sự kiện A xuất hiện;

n là tổng số thí nghiệm.

Công thức (1.1) và (1.2) để xác định xác suất có sự giống nhau bên ngoài, nhưng chúng khác nhau về bản chất. Công thức (1.1) được sử dụng để tính toán xác suất của một sự kiện theo lý thuyết trong các điều kiện thí nghiệm đã cho. Công thức (1.2) dùng để xác định tần suất của một biến cố bằng thực nghiệm. Để sử dụng công thức (1.2) cần có tài liệu thống kê thực nghiệm.

Cách tiếp cận tiên đề đối với định nghĩa xác suất

Cách thứ ba để định nghĩa xác suất là cách tiếp cận tiên đề, trong đó xác suất được đưa ra bằng cách liệt kê các thuộc tính của chúng.

Định nghĩa tiên đề được chấp nhận của xác suất được xây dựng vào năm 1933 bởi A. N. Kolmogorov. Trong trường hợp này, xác suất được đưa ra dưới dạng hàm số P(A) trên tập hợp tất cả các sự kiện được xác định bởi thí nghiệm này, thỏa mãn các tiên đề sau:

P(A)=1 nếu A là biến cố nào đó.

Nếu A và B xung khắc.

Các tính chất cơ bản của xác suất

Hơn nữa, đối với mỗi sự kiện ngẫu nhiên A, xác suất của nó được xác định.

Đối với biến cố U nhất định, đẳng thức P(U)=1 xảy ra.Tính chất 1 và 2 tuân theo định nghĩa xác suất.

Nếu các sự kiện A và B xung khắc thì xác suất của tổng các sự kiện bằng tổng các xác suất của chúng. Tính chất này được gọi là công thức cộng xác suất trong một trường hợp cụ thể (đối với các biến cố xung khắc).

Đối với các sự kiện tùy ý A và B

Tính chất này được gọi là công thức cộng xác suất trong trường hợp tổng quát.

Đối với biến cố A trái dấu và xảy ra đẳng thức.

Ngoài ra, một sự kiện không thể được giới thiệu, được biểu thị, không được thúc đẩy bởi bất kỳ kết quả nào từ không gian của các sự kiện cơ bản. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là 0, P()=0 .

Ví dụ. Xác suất để một gia đình được chọn ngẫu nhiên theo kết quả khảo sát có TV màu, đen trắng hoặc màu và đen trắng lần lượt là 0,86; 0,35; 0,29. Xác suất để gia đình đó có tivi màu hay đen trắng là bao nhiêu?

Giải pháp. Gọi biến cố A là gia đình đó có một chiếc tivi màu.

Biến cố B là gia đình đó có một chiếc tivi đen trắng.

Biến cố C là gia đình đó có tivi màu hoặc đen trắng. Biến cố C xác định qua A và B có dạng, A và B đồng quy, do đó

phương pháp tổ hợp

Trong nhiều bài toán xác suất, cần liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm hoặc các sự kiện cơ bản có thể xảy ra trong một tình huống nhất định hoặc tính toán số lượng của chúng. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng các quy tắc sau.

Quy tắc 1. Nếu một thao tác bao gồm hai bước, trong đó bước đầu tiên có thể được thực hiện theo n1 cách và bước thứ hai có thể được thực hiện theo n2 cách, thì toàn bộ thao tác có thể được thực hiện theo n1 n2 cách.

Từ "hoạt động" có nghĩa là bất kỳ quy trình, quy trình hoặc phương pháp lựa chọn nào.

Để xác nhận quy tắc này, hãy xem xét một hoạt động bao gồm các bước xi và yi, bước x có thể được thực hiện theo n1 cách, tức là. , bước y có thể được thực hiện theo n2 cách, tức là , thì chuỗi tất cả các cách có thể được biểu diễn bằng n1n2 cặp sau:

Ví dụ. Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra trong một thí nghiệm tung hai con xúc xắc.

Giải pháp. Trong trường hợp này, x và y có nghĩa là mất bất kỳ khuôn mặt nào trên xương thứ nhất và trên xương thứ hai. Có thể làm rơi một mặt trên xương đầu tiên theo sáu cách xi, ; thả mặt của xương thứ hai cũng có thể thực hiện theo sáu cách xj, .

Tổng số cách có thể 6.6=36.

Quy tắc 2. Nếu một thao tác bao gồm k bước, trong đó bước đầu tiên có thể được thực hiện theo n1 cách, bước thứ hai có n2 cách, bước thứ ba, v.v., k-th theo cách, thì toàn bộ thao tác có thể được thực hiện trong n1 n2…nk bước .

Ví dụ. Người kiểm tra chất lượng muốn chọn một bộ phận từ bốn thùng chứa lần lượt là 4, 3, 5 và 4 bộ phận. Trong bao nhiêu cách anh ta có thể làm điều này?

Giải pháp. Tổng số cách được xác định là 4·3·5·4=240.

Ví dụ. Có bao nhiêu cách có thể để một học sinh trả lời trong bài kiểm tra 20 câu hỏi nếu anh ta có thể trả lời "có" hoặc "không" cho mỗi câu hỏi?

Giải pháp. Tất cả các cách có thể 2·2...2=220=1048576.

Thông thường trong thực tế có một tình huống mà các đối tượng phải được đặt hàng.

Ví dụ: có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi quanh bàn? Sự sắp xếp khác nhau của chúng được gọi là hoán vị.

Ví dụ. Có bao nhiêu hoán vị cho các chữ cái a, b, c?

Giải pháp. Các vị trí có thể là abc, acb, bac, bca, cab, cba. Số cách sắp xếp có thể là sáu.

Tổng quát hóa ví dụ này, đối với n đối tượng có n (n-1)(n-2)…3 2 1 cách khác nhau hoặc n!, tức là số hoán vị n!=1 2 3... (n-2)( n-1)n, trong khi 0!=1.

Quy tắc 3. Số hoán vị của n đối tượng khác nhau là n!.

Ví dụ. Số các hoán vị của bốn chữ cái là 4!=24, nhưng bạn sẽ nhận được bao nhiêu hoán vị nếu chọn 2 trong số bốn chữ cái?

Giải pháp. Ta phải điền vào hai vị trí của bốn chữ cái. Đối với vị trí đầu tiên - 4 cách, đối với vị trí thứ hai - 3 cách. Do đó, sử dụng quy tắc 1, chúng ta có 4·3=12.

Tổng quát hóa ví dụ này cho n đối tượng khác nhau, từ đó r đối tượng được chọn mà không trả lại cho r > 0, có tổng cộng n(n-1)...(n-r+1) cách. Chúng tôi biểu thị số này và các kết hợp kết quả được gọi là vị trí.

Quy tắc 4. Số cách sắp xếp của n đối tượng theo r được định nghĩa là

(với r = 0,1,...,n).

Hoán vị khi các đối tượng được sắp xếp trong một vòng tròn được gọi là hoán vị vòng tròn. Hai hoán vị vòng tròn không khác nhau (nhưng chỉ được tính là một) nếu các đối tượng tương ứng trong hai cách sắp xếp có các đối tượng ở bên trái và bên phải giống nhau.

Ví dụ: nếu bốn người đang chơi cầu, chúng ta sẽ không nhận được các vị trí khác nhau nếu tất cả người chơi di chuyển một chiếc ghế sang bên phải.

Ví dụ. Có bao nhiêu hoán vị tròn có thể xảy ra trong số bốn người chơi cầu? Giải pháp. Nếu ta tùy ý lấy vị trí của một trong bốn người chơi là cố định, ta có thể xếp vị trí của ba người chơi còn lại là 3! nói cách khác, chúng ta có sáu hoán vị vòng tròn khác nhau.

Tổng quát hóa ví dụ này, chúng ta thu được quy tắc sau.

Quy tắc 5. Số hoán vị của n phần tử khác nhau xếp thành một đường tròn là (n-1)!.

Cho đến nay, người ta đã giả định rằng n đối tượng mà từ đó chúng ta chọn ra r đối tượng và tạo thành các hoán vị là khác biệt. Do đó, các công thức đã đề cập trước đó không thể được sử dụng để xác định số cách sắp xếp các chữ cái trong từ "cuốn sách" hoặc số cách mà ba bản sao của một cuốn tiểu thuyết và một bản sao của mỗi cuốn trong số bốn cuốn còn lại. tiểu thuyết có thể được sắp xếp trên kệ.

Ví dụ. Có bao nhiêu hoán vị khác nhau của các chữ cái trong từ "cuốn sách"?

Giải pháp. Nếu cần phân biệt các chữ cái O thì ta ký hiệu chúng là O1, O2 thì ta sẽ có 4!=24 hoán vị khác nhau của các chữ cái trong O1, O2 và K. Tuy nhiên nếu bỏ các chỉ số thì O1 O2 và O2, O1 không còn khác nhau thì tổng các số hoán vị là như nhau.

Ví dụ. Có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp ba cuốn tiểu thuyết này và một cuốn của bốn cuốn còn lại trên giá sách?

Giải pháp. Nếu chúng ta chỉ định ba bản sao của truyện ngắn đầu tiên là a1, a2, a3 và bốn truyện ngắn còn lại - b, c, d và e, thì trong trường hợp này chúng ta có 7! cách khác nhau và 3! cách sắp xếp a1, a2, a3.

Nếu bạn bỏ qua các mục lục, thì có nhiều cách khác nhau để sắp xếp các bản sao.

Tổng quát hóa những cân nhắc này, chúng tôi thu được quy tắc sau.

Quy tắc 6. Số hoán vị của n đối tượng, trong đó n1 cùng loại, n2 cùng loại, …, nk thuộc loại thứ k và n1+n2+...+nk=n,

Có nhiều bài toán cần xác định số cách chọn r đối tượng từ n đối tượng khác nhau, không phụ thuộc vào thứ tự chọn chúng. Những kết hợp như vậy được gọi là tổ hợp.

Ví dụ. Có bao nhiêu cách chọn 3 ứng cử viên từ 20 người để bỏ phiếu công khai?

Giải pháp. Nếu thứ tự là quan trọng đối với chúng tôi khi chọn ứng cử viên, thì số lượng kết hợp, nhưng mỗi hàng ba ứng cử viên có thể được chọn 3! cách; nếu thứ tự lựa chọn không quan trọng, thì tất cả các cách lựa chọn.

Các kết hợp mà không trả về r đối tượng từ n đối tượng khác nhau, khác nhau về bản thân các đối tượng nhưng không theo thứ tự của chúng được gọi là kết hợp.

Quy tắc 7. Số lượng kết hợp của r đối tượng từ n đối tượng khác nhau được xác định bằng số, số lượng kết hợp có thể được ký hiệu là.

Ví dụ. Có bao nhiêu cách khác nhau để bạn có thể nhận được 2 huy hiệu và 4 mặt sấp với 6 lần tung đồng xu?

Giải pháp. Vì thứ tự lấy huy hiệu và đuôi không quan trọng, nên khi áp dụng quy tắc 7, chúng ta sẽ có được.

Ví dụ. Có bao nhiêu ủy ban khác nhau gồm hai nhà hóa học và một nhà vật lý có thể được thành lập trong khoa của một trường đại học nhỏ với 4 nhà hóa học và 3 nhà vật lý.

Giải pháp. Số lượng kết hợp của bốn nhà hóa học bằng 2 có thể thu được bằng (sáu) cách.

Một trong ba nhà vật lý có thể được chọn theo (ba) cách.

Số lượng ủy ban, theo quy tắc 1, được xác định là 6·3=18.

Ví dụ. Có bao nhiêu cách chia một hàng gồm bốn đồ vật thành ba hàng lần lượt chứa hai, một và một đồ vật?

Giải pháp. Hãy ký hiệu bốn đối tượng này bằng các chữ cái a, b, c, d. Số lượng chia thành hai, một và một sẽ là 12:

Có thể thu được sự phân tách từ hai đối tượng theo những cách cho 6 khả năng. Số cách để tạo phân vùng thứ hai. Và đối với phân vùng thứ ba, số cách là 1.

Theo quy tắc 2, tổng số cách phân hoạch là (6 2 1)=12.

Tóm tắt ví dụ này, chúng ta thu được quy tắc sau.

Quy tắc 8. Số cách chia một dãy n đối tượng khác nhau thành k phần với n1 đối tượng ở phần thứ nhất, n2 ở phần thứ hai, … và nk ở phần thứ k, được xác định là

Ví dụ. Có bao nhiêu cách để 7 doanh nhân có thể ở trong một dãy phòng ba phòng và hai dãy phòng hai phòng trong một khách sạn?

Giải pháp. Theo Quy tắc 8, điều này có thể được thực hiện theo (hai trăm mười) cách.

Bằng chứng của Quy tắc 8

Vì có thể chọn n1 đối tượng theo một số cách nên có thể chọn n2 đối tượng

Theo quy tắc 2, tổng số cách sẽ được xác định là

Phân công công việc độc lập

1. Mười cuốn sách trên một kệ được đặt ngẫu nhiên. Xác định xác suất để ba cuốn sách cụ thể sẽ ở cạnh nhau.

Đáp số: 0,066.

2. Người ta rút ngẫu nhiên ba quân bài từ một bộ bài tây (52 quân). Tìm xác suất nó sẽ là ba, bảy và một con át.

Đáp số: 0,0029.

3. Có năm vé mỗi vé trị giá 1 rúp;

ba vé giá 3 rúp mỗi vé;

hai vé giá 5 rúp mỗi vé.

Ba vé được chọn ngẫu nhiên. Xác định xác suất sao cho:

a) ít nhất hai trong số các vé này có cùng giá.

Đáp số: 0,75;

b) cả ba vé đều có giá 7 rúp.

Đáp số: 0,29.

4. Có ba đồng xu 20 kopeck và bảy đồng xu 3 kopeck trong ví. Người ta lấy ngẫu nhiên một đồng xu, sau đó lấy đồng xu thứ hai trị giá 20 kopecks.

Xác định xác suất để đồng xu đầu tiên cũng có mệnh giá 20 kopecks.

Đáp số: 0,22.

• 5. Trong số mười tờ vé số, có hai tờ trúng thưởng. Xác định xác suất để trong số năm tấm vé được lấy ngẫu nhiên:
  • a) một chiến thắng;
  • b) hai chiến thắng;
  • c) ít nhất một người chiến thắng.

Trả lời: 0,55, 0,22, 0,78.

6. Trong rổ có n quả bóng được đánh số từ 1 đến n, người ta lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả, không đổi chỗ. Xác suất để trong k lần rút đầu tiên, số quả bóng trùng với số lần rút.

Trả lời: (n - k)!/n!

Người giới thiệu

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/cifts/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Ở trên đã lưu ý rằng định nghĩa xác suất cổ điển chỉ áp dụng cho những sự kiện có thể xuất hiện do kết quả của các thử nghiệm có tính đối xứng của các kết quả có thể xảy ra, tức là có thể rút gọn thành sơ đồ các trường hợp. Tuy nhiên, có một nhóm lớn các sự kiện mà xác suất của chúng không thể tính được bằng cách sử dụng định nghĩa cổ điển.

Trước hết, đây là những sự kiện không phải là kết quả có thể xảy ra như nhau của phép thử. Ví dụ: nếu đồng xu bị làm phẳng, thì rõ ràng, các sự kiện “xuất hiện huy hiệu” và “xuất hiện đồng xu” khi tung đồng xu không thể được coi là có thể xảy ra như nhau, và công thức ( 1. 1) để tính xác suất của bất kỳ trong số chúng sẽ không thể áp dụng được.

Nhưng có một cách tiếp cận khác trong việc đánh giá xác suất của các sự kiện, dựa trên tần suất xuất hiện của một sự kiện nhất định trong các thử nghiệm được thực hiện.

xác suất thống kê biến cố A được gọi là tần số tương đối (Tính thường xuyên) sự xuất hiện của sự kiện này trong n thử nghiệm được thực hiện, I E.

Ở đâu R(L)- xác suất thống kê của một sự kiện MỘT; w(A)- tần số tương đối (tần số) của sự kiện Tại- số lượng thử nghiệm trong đó sự kiện xảy ra a;p- tổng số lần thử nghiệm.

Ngược lại với xác suất "toán học" P(A), xem xét trong định nghĩa cổ điển ( 1. 1), xác suất thống kê P(L) là một đặc trưng có kinh nghiệm, thực nghiệm. Nếu như P(A) là tỷ lệ các trường hợp thuận lợi cho sự kiện A, được xác định trực tiếp mà không cần bất kỳ thử nghiệm nào, sau đó PIA) là tỷ lệ của những thử nghiệm thực sự được thực hiện trong đó sự kiện MỘTđã xuất hiện.

Theo định nghĩa thống kê xác suất sự kiện có một giới hạn 1 tần suất (tần suất) tương đối của một sự kiện với số lượng thử nghiệm tăng không giới hạn, I E.

Điều này có nghĩa là đối với một số lượng thử nghiệm đủ lớn P nó có thể được coi là

Định nghĩa thống kê về xác suất, cũng như các khái niệm và phương pháp của lý thuyết xác suất nói chung, không áp dụng cho bất kỳ sự kiện nào có kết quả không chắc chắn, được coi là ngẫu nhiên trong thực tế hàng ngày, mà chỉ áp dụng cho những sự kiện có tính chất và đặc điểm nhất định.

1. Các sự kiện được đề cập phải kết quả của chỉ những thử nghiệm có thể được sao chép không giới hạn số lần trong cùng một điều kiện. Vì vậy, chẳng hạn, thật vô nghĩa khi đặt ra câu hỏi xác định xác suất bùng nổ chiến tranh, sự xuất hiện của các tác phẩm nghệ thuật xuất sắc, v.v., vì chúng ta đang nói về các phép thử duy nhất trong cùng điều kiện, các sự kiện độc nhất. Hoặc, chẳng hạn, thật vô nghĩa khi nói rằng học sinh này sẽ vượt qua kỳ thi học kỳ về lý thuyết xác suất, vì chúng ta đang nói về một bài kiểm tra duy nhất, không thể lặp lại trong cùng điều kiện.

Và mặc dù các sự kiện có kết quả không chắc chắn được trích dẫn trong các ví dụ thuộc loại “có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra”, nhưng lý thuyết xác suất không giải quyết các sự kiện như vậy.

2. Sự kiện phải có cái gọi là ổn định thống kê, hoặc sự ổn định của tần số tương đối. Điều này có nghĩa là trong các chuỗi phép thử khác nhau, tần số tương đối (tần suất) của một biến cố thay đổi không đáng kể (càng nhỏ, số phép thử càng nhiều), dao động quanh một con số không đổi. Hóa ra hằng số này là xác suất của một sự kiện (điều này được thảo luận trong định lý Bernoulli, được đưa ra trong Chương 6).

Thực tế là tần số tương đối, hoặc tần suất, của một sự kiện tiến gần đến xác suất của nó (1.1) với sự gia tăng số lượng phép thử được giảm xuống thành sơ đồ các trường hợp được xác nhận bởi nhiều thí nghiệm hàng loạt do những người khác nhau thực hiện kể từ khi xuất hiện lý thuyết xác suất. Vì vậy, ví dụ, trong các thí nghiệm của Buffoia (thế kỷ XVIII), tần số tương đối (tần suất) của sự xuất hiện của quốc huy ở 4040 lần tung đồng xu hóa ra là 0,5069, trong các thí nghiệm của Pearson (thế kỷ XIX) ở 23.000 lần tung - 0,5005, thực tế không khác với xác suất của sự kiện này, bằng 0,5.

3. Số lượng thử nghiệm, kết quả là sự kiện L xuất hiện, phải đủ lớn, vì chỉ trong trường hợp này ta mới xét xác suất của biến cố P(A) xấp xỉ bằng tần số tương đối của nó.

Tóm lại, chúng ta có thể nói rằng lý thuyết xác suất chỉ nghiên cứu những sự kiện như vậy, liên quan đến điều đó không chỉ có ý nghĩa để khẳng định tính ngẫu nhiên của chúng, nhưng cũng có thể đánh giá khách quan về tần suất xuất hiện tương đối của chúng. Vì vậy, tuyên bố rằng trong một tập hợp các điều kiện nhất định? xác suất của một sự kiện là p, có nghĩa là không chỉ sự kiện ngẫu nhiên L, nhưng chắc chắn, đủ gần để r, tỷ lệ xuất hiện của sự kiện A với số lượng lớn các thử nghiệm; có nghĩa là nó thể hiện mục tiêu nhất định(mặc dù hơi) mối quan hệ giữa một tập hợp các điều kiện 5* và biến cố A(không phụ thuộc vào những đánh giá chủ quan về sự hiện diện của mối liên hệ này của một người cụ thể). Và thậm chí chỉ là sự tồn tại của một xác suất r(khi bản thân giá trị r chưa biết) giữ nguyên bản chất của tuyên bố này, được đánh dấu bằng chữ in nghiêng.

Dễ dàng kiểm tra rằng các thuộc tính của xác suất (xem (1.2)), theo định nghĩa cổ điển ( 1. 1), cũng được giữ nguyên trong định nghĩa xác suất thống kê (1.3").

Cùng với các định nghĩa cổ điển và thống kê về xác suất, các ứng dụng của toán học đôi khi xem xét cái gọi là xác suất chủ quan là mức độ tin cậy vào sự xuất hiện của một sự kiện dựa trên việc xử lý các ý kiến ​​chuyên gia. Với cách tiếp cận này, chúng ta có thể nói về xác suất chủ quan (hay đúng hơn là khả năng chủ quan) về sự xuất hiện của các sự kiện - kết quả (kết quả) duy nhất là duy nhất trong cùng điều kiện thử nghiệm. Ví dụ, xác suất chủ quan có thể được sử dụng để dự đoán lợi nhuận trên tài sản, lợi nhuận trên đầu tư, v.v.

• Khái niệm, tức là hội tụ, trong lý thuyết xác suất khác đáng kể so với lý thuyết cổ điển, được xem xét trong quá trình phân tích toán học (để biết thêm chi tiết, xem đoạn 6.3, 6.4).
• Trong tài liệu ứng dụng, việc hoàn thành các thuộc tính sau của các sự kiện với kết quả không chắc chắn trong thực tế được nghiên cứu đôi khi được gọi là điều kiện cho hành động của một tập hợp thống kê.

Khái niệm xác suất của một sự kiện là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Xác suất là thước đo định lượng về khả năng xảy ra một biến cố ngẫu nhiên A. Nó được ký hiệu là P(A) và có các tính chất sau.

Xác suất là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

Xác suất của một sự kiện không thể là bằng không

Xác suất của một biến cố nào đó bằng một

Định nghĩa cổ điển về xác suất. Gọi = ( 1 , 2 ,…, n ) là không gian các sự kiện cơ bản mô tả tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra và tạo thành một nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc và có thể xảy ra như nhau. Đặt sự kiện A tương ứng với một tập hợp con của m kết quả cơ bản

những kết quả này được gọi là thuận lợi cho sự kiện A. Theo định nghĩa cổ điển về xác suất, người ta cho rằng xác suất của bất kỳ kết quả cơ bản nào

và xác suất của một sự kiện A được ưa chuộng bởi m kết quả là

Do đó định nghĩa:

Xác suất của một sự kiện A là tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho sự kiện này với tổng số tất cả các kết quả cơ bản không tương thích có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Xác suất được xác định bởi công thức

trong đó m là số kết quả cơ bản có lợi cho sự kiện A và _ là số lượng tất cả các kết quả cơ bản có thể có của phép thử.

Định nghĩa cổ điển về xác suất giúp trong một số bài toán có thể tính toán xác suất của một sự kiện một cách phân tích.

Hãy để một thí nghiệm được thực hiện, do đó có thể xảy ra một số sự kiện nhất định. Nếu những sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo cặp và có khả năng xảy ra như nhau, thì trải nghiệm được cho là có sự đối xứng của các kết quả có thể xảy ra và được rút gọn thành một "sơ đồ các trường hợp". Đối với các thí nghiệm được rút gọn thành sơ đồ các trường hợp, công thức xác suất cổ điển được áp dụng.

Ví dụ 1.13. Xổ số rút thăm 1000 vé, trong đó có 5 vé trúng thưởng. Xác định xác suất để việc mua một vé xổ số sẽ dẫn đến trúng thưởng.

Sự kiện cơ bản của trải nghiệm này là mua vé. Mỗi vé xổ số là duy nhất, vì nó có số riêng và vé đã mua không được hoàn lại. Biến cố A là mua được vé trúng thưởng. Khi mua một trong 1000 vé cho tất cả các kết quả có thể xảy ra của trải nghiệm này, sẽ có = 1000 kết quả tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích. Số kết quả có lợi cho biến cố A sẽ bằng =5. Sau đó, xác suất chiến thắng bằng cách mua một vé bằng

P(A) = = 0,005

Để tính toán xác suất trực tiếp, thuận tiện là sử dụng các công thức tổ hợp. Hãy để chúng tôi chỉ ra điều này trên ví dụ về vấn đề kiểm soát chọn lọc.

Ví dụ 1.14 Cho một lô sản phẩm, trong số đó có một sản phẩm bị lỗi. Để kiểm soát, một phần của sản phẩm được chọn. Xác suất để trong số sản phẩm được chọn có đúng một sản phẩm bị lỗi là bao nhiêu?

Một sự kiện cơ bản trong thí nghiệm này là sự lựa chọn một tập con nguyên tố từ tập nguyên tố ban đầu. Việc lựa chọn bất kỳ phần nào của sản phẩm từ một lô sản phẩm có thể được coi là các sự kiện có thể xảy ra như nhau, vì vậy trải nghiệm này được rút gọn thành một sơ đồ các trường hợp. Để tính xác suất của sự kiện A = (trong số các sản phẩm bị lỗi, nếu chúng được chọn từ một lô sản phẩm bị lỗi), bạn có thể áp dụng công thức xác suất cổ điển. Số tất cả các kết quả có thể xảy ra của kinh nghiệm là số cách chọn ra sản phẩm từ lô c, nó bằng số cách tổ hợp các phần tử bằng: . Một biến cố có lợi cho biến cố A bao gồm tích của hai biến cố cơ bản: (được chọn từ các sản phẩm bị lỗi) (được chọn _ từ _ các sản phẩm tiêu chuẩn). Số lượng các sự kiện như vậy, theo quy tắc nhân của tổ hợp, sẽ là

Khi đó xác suất mong muốn

Ví dụ: đặt =100, =10, =10, =1. Khi đó xác suất để trong số 10 sản phẩm được chọn có đúng 1 sản phẩm bị lỗi bằng

Định nghĩa thống kê về xác suất. Để áp dụng định nghĩa xác suất cổ điển trong các điều kiện của một thí nghiệm nhất định, thí nghiệm cần phải tương ứng với sơ đồ các trường hợp và đối với hầu hết các bài toán thực tế, những yêu cầu này thực tế không thể đáp ứng được. Tuy nhiên, xác suất của một sự kiện là một thực tế khách quan tồn tại cho dù định nghĩa cổ điển có được áp dụng hay không. Cần có một định nghĩa khác về xác suất, có thể áp dụng khi kinh nghiệm không tương ứng với mô hình các trường hợp.

Hãy để thí nghiệm bao gồm việc tiến hành một loạt các thử nghiệm lặp lại cùng một thí nghiệm và để sự kiện A xảy ra một lần trong một loạt các thí nghiệm. Tần suất tương đối của sự kiện W(A) là tỷ lệ giữa số lượng thử nghiệm trong đó sự kiện A xảy ra với số lượng tất cả các thử nghiệm được thực hiện

Thực nghiệm đã chứng minh rằng tần số có đặc tính ổn định: nếu số lượng thí nghiệm trong một chuỗi đủ lớn, thì tần số tương đối của sự kiện A trong các chuỗi khác nhau của cùng một thí nghiệm khác nhau rất ít.

Xác suất thống kê của một sự kiện là con số mà tần số tương đối có xu hướng nếu số lượng thí nghiệm tăng vô hạn

Trái ngược với xác suất cổ điển tiên nghiệm (được tính trước khi thử nghiệm), xác suất thống kê là một hậu nghiệm (thu được sau khi thử nghiệm).

Ví dụ 1.15 Quan trắc khí tượng trong 10 năm ở một số khu vực cho thấy số ngày mưa trong tháng 7 bằng nhau: 2 năm khác nhau; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Xác định xác suất để một ngày cụ thể nào đó trong tháng 7 có mưa

Sự kiện A là vào một ngày nào đó trong tháng 7, chẳng hạn ngày 10 tháng 7, trời sẽ mưa. Số liệu thống kê ban hành không chứa thông tin về những ngày cụ thể trong tháng 7 trời mưa, vì vậy chúng tôi có thể giả định rằng tất cả các ngày đều có khả năng xảy ra sự kiện này như nhau. Hãy để một năm là một chuỗi thử nghiệm gồm 31 ngày. Có tổng cộng 10 chuỗi. Tần số tương đối của chuỗi là:

Các tần số khác nhau, nhưng nhóm của chúng gần số 0,1 được quan sát thấy. Con số này có thể được coi là xác suất của sự kiện A. Nếu chúng ta lấy tất cả các ngày của tháng 7 trong mười năm cho một loạt phép thử, thì xác suất thống kê của sự kiện A sẽ bằng

Định nghĩa hình học của xác suất. Định nghĩa xác suất này tổng quát hóa định nghĩa cổ điển cho trường hợp khi không gian các kết quả cơ bản bao gồm một tập hợp không đếm được các sự kiện cơ bản và khả năng xảy ra của mỗi sự kiện là như nhau. Xác suất hình học của một sự kiện A là tỷ lệ giữa số đo (A) của khu vực tạo điều kiện cho sự kiện xảy ra với số đo () của toàn bộ khu vực

Nếu diện tích là a) độ dài của các đoạn thẳng, b) diện tích của các hình, c) thể tích của các hình không gian, thì xác suất hình học lần lượt bằng

Ví dụ 1.16. Các quảng cáo được dán cách nhau 10 mét dọc theo trung tâm mua sắm. Chiều rộng xem của một số khách hàng là 3 mét. Xác suất để anh ta không chú ý đến quảng cáo là bao nhiêu nếu anh ta di chuyển vuông góc với trung tâm mua sắm và có thể băng qua hàng tại bất kỳ điểm nào?

Phần của trung tâm mua sắm, nằm giữa hai quảng cáo, có thể được biểu diễn dưới dạng đoạn thẳng AB (Hình 1.6). Sau đó, để người mua chú ý đến quảng cáo, anh ta phải đi qua các đoạn thẳng AC hoặc DV bằng 3m. Nếu anh ta băng qua hàng thương mại tại một trong các điểm của đoạn SD có chiều dài 4m thì anh ta sẽ không chú ý đến quảng cáo. Xác suất của sự kiện này sẽ là

Chỉ số tương quan xếp hạng của Kendall, kiểm tra giả thuyết tương ứng về tầm quan trọng của mối quan hệ.

2. Định nghĩa cổ điển về xác suất. tính chất xác suất.
Xác suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Có một số định nghĩa về khái niệm này. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa được gọi là cổ điển. Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra những nhược điểm của định nghĩa này và đưa ra những định nghĩa khác giúp khắc phục những thiếu sót của định nghĩa cổ điển.

Hãy xem xét một ví dụ. Cho một cái hộp chứa 6 quả bóng giống hệt nhau, được trộn đều, trong đó có 2 quả đỏ, 3 quả xanh và 1 quả trắng. Rõ ràng, khả năng rút ngẫu nhiên một quả bóng màu (tức là đỏ hoặc xanh) từ một chiếc bình lớn hơn khả năng rút được một quả bóng trắng. Cơ hội này có thể được đặc trưng bởi một con số? Hóa ra bạn có thể. Con số này được gọi là xác suất của một sự kiện (sự xuất hiện của một quả bóng màu). Như vậy, xác suất là con số đặc trưng cho mức độ khả năng xảy ra của một biến cố.

Chúng ta hãy đặt cho mình nhiệm vụ đưa ra một ước tính định lượng về khả năng một quả bóng được lấy ngẫu nhiên có màu. Sự xuất hiện của một quả bóng màu sẽ được coi là sự kiện A. Mỗi kết quả có thể xảy ra của phép thử (thử nghiệm bao gồm lấy một quả bóng ra khỏi bình) sẽ được gọi là kết quả cơ bản (sự kiện cơ bản). Biểu thị các kết quả cơ bản bằng w 1 , w 2 , w 3 , v.v. Trong ví dụ của chúng tôi, 6 kết quả cơ bản sau đây có thể xảy ra: w 1 - một quả bóng trắng đã xuất hiện; w 2 , w 3 - một quả bóng màu đỏ xuất hiện; w 4 , w 5 , w 6 - một quả bóng màu xanh đã xuất hiện. Dễ dàng nhận thấy rằng những kết quả này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo cặp (nhất thiết chỉ có một quả bóng xuất hiện) và chúng đều có thể xảy ra như nhau (quả bóng được lấy ra một cách ngẫu nhiên, các quả bóng giống nhau và được trộn kỹ).

Những kết quả cơ bản trong đó sự kiện quan tâm đến chúng tôi xảy ra, chúng tôi sẽ gọi thuận lợi sự kiện này. Trong ví dụ của chúng ta, 5 kết quả sau ủng hộ biến cố A (quả bóng màu xuất hiện): w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 .

Do đó, sự kiện A được quan sát nếu một trong những kết quả cơ bản có lợi cho A xảy ra trong thử nghiệm, bất kể kết quả nào; trong ví dụ của chúng tôi, A được quan sát thấy nếu w 2 hoặc w 3 hoặc w 4 hoặc w 5 hoặc w 6 xảy ra. Theo nghĩa này, sự kiện A được chia nhỏ thành một số sự kiện cơ bản (w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 ); sự kiện cơ bản không được chia nhỏ thành các sự kiện khác. Đây là sự khác biệt giữa sự kiện A và sự kiện cơ bản (kết quả cơ bản).

Tỷ lệ giữa số lượng các kết quả cơ bản có lợi cho sự kiện A trên tổng số của chúng được gọi là xác suất của sự kiện A và được ký hiệu là P (A). Trong ví dụ đang xem xét, có 6 kết quả cơ bản; trong số này, 5 sự kiện ưu tiên A. Do đó, xác suất quả bóng được lấy sẽ được tô màu bằng P (A) \u003d 5/6. Con số này đưa ra ước tính định lượng về mức độ khả năng xuất hiện của một quả bóng màu mà chúng tôi muốn tìm. Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa về xác suất.

Xác suất của biến cố A là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện này với tổng số tất cả các kết quả cơ bản không tương thích có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Vậy xác suất của biến cố A được xác định theo công thức

trong đó m là số kết quả cơ bản có lợi cho A; n là số lượng tất cả các kết quả kiểm tra cơ bản có thể.

Ở đây giả định rằng các kết quả cơ bản là không tương thích, có thể như nhau và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Các tính chất sau tuân theo định nghĩa xác suất:

Với trong khoảng y với t trong khoảng 1. Xác suất của một sự kiện nhất định là bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy, thì mỗi kết quả cơ bản của bài kiểm tra sẽ ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này, m = n, do đó,

P(A)=m/n=n/n=1.

Với trong khoảng y với t trong khoảng 2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.

Thật vậy, nếu sự kiện là không thể xảy ra, thì không có kết quả cơ bản nào của phép thử ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này, m = 0, do đó,

P (A) \u003d m / n \u003d 0 / n \u003d 0.

Với trong khoảng y với t trong khoảng 3. Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Thật vậy, chỉ một phần trong tổng số kết quả cơ bản của bài kiểm tra ủng hộ một sự kiện ngẫu nhiên. Trong trường hợp này 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Vì vậy, xác suất của bất kỳ sự kiện nào thỏa mãn bất đẳng thức kép

Ghi chú: Các khóa học nghiêm ngặt hiện đại về lý thuyết xác suất được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp. Chúng tôi giới hạn bản thân trong việc trình bày bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp về những khái niệm đã được xem xét ở trên.

Hãy để một và chỉ một trong các biến cố w i , (i = 1, 2, ..., n) xảy ra do phép thử. Sự kiện w tôi được gọi sự kiện cơ bản (kết quả cơ bản). Từ đó, các sự kiện cơ bản không tương thích theo cặp. Tập hợp tất cả các biến cố cơ bản có thể xuất hiện trong một phép thử được gọi là không gian sự kiện cơ bản W, và bản thân các sự kiện cơ bản - điểm không gian W.

Sự kiện A được xác định bằng một tập hợp con (của không gian W) có các phần tử là các kết quả cơ bản có lợi cho A; sự kiện B là một tập hợp con của W có các phần tử là kết quả có lợi cho B, v.v. Do đó, tập hợp tất cả các sự kiện có thể xảy ra trong phép thử là tập hợp tất cả các tập con W. W tự nó xảy ra với bất kỳ kết quả nào của phép thử nên W là biến cố chắc chắn; tập con rỗng của không gian W là biến cố không thể xảy ra (nó không xảy ra đối với bất kỳ kết quả nào của phép thử).

Lưu ý rằng các biến cố sơ cấp được phân biệt với mọi biến cố bởi thực tế là mỗi biến cố chỉ chứa một phần tử W.

Mỗi kết quả cơ bản w i được gán một số dương P i là xác suất của kết quả này, và

Theo định nghĩa, xác suất P(A) của một sự kiện A bằng tổng xác suất của các kết quả cơ bản có lợi cho A. Từ đó, dễ dàng suy ra rằng xác suất của một sự kiện đáng tin cậy bằng 1, không thể bằng 1 không, tùy ý là giữa không và một.

Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt quan trọng trong đó tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau. Số kết quả là n, tổng xác suất của tất cả các kết quả bằng một; do đó xác suất của mỗi kết quả là 1/n. Giả sử biến cố A có m kết quả. Xác suất của sự kiện A bằng tổng xác suất của các kết quả có lợi cho A:

P(A) = 1/n + 1/n + .. + 1/n.

Xét rằng số các số hạng bằng m, ta có

P (A) \u003d m / n.

Định nghĩa cổ điển của xác suất thu được.

Việc xây dựng một lý thuyết xác suất hoàn chỉnh về mặt logic dựa trên định nghĩa tiên đề của một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó. Trong hệ tiên đề do A. N. Kolmogorov đề xuất, biến cố cơ bản và xác suất là những khái niệm không thể định nghĩa được. Dưới đây là các tiên đề xác định xác suất:

1. Mỗi biến cố A được gán cho một số thực không âm P(A). Con số này được gọi là xác suất của biến cố A.

2. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một:

3. Xác suất xảy ra ít nhất một trong các sự kiện xung khắc theo cặp bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Dựa trên các tiên đề này, các tính chất của xác suất và các mối quan hệ giữa chúng được rút ra dưới dạng các định lý.

3. Định nghĩa tĩnh xác suất, tần suất tương đối.

Định nghĩa cổ điển không yêu cầu một thí nghiệm. Trong khi các bài toán ứng dụng thực tế có vô số kết quả và định nghĩa cổ điển trong trường hợp này không thể đưa ra câu trả lời. Vì vậy, trong những vấn đề như vậy, chúng tôi sẽ sử dụng xác định tĩnh xác suất, được tính toán sau khi thực nghiệm hoặc thí nghiệm.

xác suất tĩnh w(A) hoặc tần suất tương đối là tỷ lệ số kết quả có lợi cho một sự kiện nhất định trên tổng số thử nghiệm thực tế được tiến hành.

w(MỘT)=bước sóng

Tần suất tương đối của một sự kiện có tài sản ổn định:

lim N→∞P(∣ ∣ bước sóng−P∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

4. Xác suất hình học.

Tại phương pháp hình họcđể định nghĩa xác suất một tập hợp tùy ý được coi là không gian của các sự kiện cơ bản số đo Lebesgue hữu hạn trên đường thẳng, mặt phẳng hoặc không gian. Các sự kiện được gọi tất cả các loại có thể đo lường tập hợp con của tập hợp.

Xác suất của biến cố Ađược xác định bởi công thức

nơi biểu thị độ đo Lebesgue của tập hợp A. Với định nghĩa này của các sự kiện và xác suất, tất cả Tiên đề của A.N.Kolmogorov được ứng nghiệm.

Trong các nhiệm vụ cụ thể được giảm xuống ở trên sơ đồ xác suất, bài kiểm tra được hiểu là sự lựa chọn ngẫu nhiên một điểm trong một số khu vực và sự kiện MỘT- như cú đánh của điểm đã chọn trong một số tiểu vùng A của vùng. Điều này yêu cầu rằng tất cả các điểm trong khu vực có cơ hội được lựa chọn như nhau. Yêu cầu này thường được thể hiện dưới dạng "ngẫu nhiên", "ngẫu nhiên", v.v.