Các phép biến đổi đồng dạng của biểu thức logarit là ví dụ. Chuyển đổi biểu thức bằng các thuộc tính của logarit, ví dụ, giải pháp

Đại học bang Pridnestrovian

họ. T.G. Shevchenko

Khoa Vật lý và Toán học

Khoa Giải tích Toán học

và phương pháp dạy học toán

KHÓA HỌC LÀM VIỆC

"Biến đổi bản sắc

mũ và logarit

biểu thức"

Công việc đã hoàn thành:

học sinh của nhóm ______

Khoa Vật lý và Toán học

_________________________

Công việc đã kiểm tra:

_________________________

Tiraspol, 2003

Giới thiệu………………………………………………………………………2

Chương 1. Phép dời hình và phương pháp dạy học trong chương trình đại số và giải tích ở trường phổ thông……………………………………..4

§một. Hình thành kĩ năng vận dụng các dạng biến đổi cụ thể………………………………………………………………………………………….4

§2. Đặc điểm tổ chức hệ thống kiến thức trong nghiên cứu phép biến hình đồng dạng.…….………………………….………..…………….5

§3. Chương trình Toán ……………………………………….11

chương 2 Các phép biến đổi đồng nhất và tính toán biểu thức mũ và logarit……………………………...…………………13

§một. Khái quát về khái niệm bậc……………..13

§2. Hàm mũ…………………………………………..15

§3. Hàm logarit………………………………………….16

Chương 3 Các phép biến đổi đồng dạng biểu thức mũ, logarit trong thực tế..........................................................................19

Kết luận………………………………………………………………..24

Danh mục tài liệu đã sử dụng…….25
Giới thiệu

Công việc khóa học này sẽ xem xét các phép biến đổi giống hệt nhau của các hàm mũ và logarit, xem xét phương pháp giảng dạy chúng trong khóa học đại số ở trường và bắt đầu phân tích.

Chương đầu tiên của tác phẩm này mô tả phương pháp giảng dạy các phép biến đổi đồng nhất trong khóa học toán ở trường, nó cũng bao gồm chương trình toán trong khóa học "Đại số và bước đầu giải tích" với nghiên cứu về hàm mũ và logarit.

Chương thứ hai đề cập trực tiếp đến bản thân các hàm mũ và hàm logarit, các tính chất chính của chúng được sử dụng trong các phép biến đổi đồng nhất.

Chương thứ ba là giải các ví dụ và bài toán sử dụng phép biến đổi đồng dạng của hàm mũ và hàm logarit.

Việc nghiên cứu các phép biến đổi khác nhau của biểu thức và công thức chiếm một phần đáng kể thời lượng học tập trong quá trình học toán ở trường. Các phép biến đổi đơn giản nhất, dựa trên các tính chất của phép toán số học, đã được thực hiện ở trường tiểu học và lớp IV-V. Nhưng gánh nặng chính đối với việc hình thành các kỹ năng và khả năng thực hiện các phép biến đổi là do quá trình học đại số ở trường. Điều này liên quan đến sự gia tăng mạnh về số lượng và sự đa dạng của các phép biến đổi được thực hiện, cũng như sự phức tạp của các hoạt động chứng minh chúng và làm rõ các điều kiện áp dụng, với việc xác định và nghiên cứu các khái niệm tổng quát về đồng nhất, phép biến đổi đồng nhất, phép biến đổi tương đương, hệ quả logic.

Văn hóa thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau phát triển giống như văn hóa điện toán, dựa trên kiến thức vững chắc về các thuộc tính của phép toán trên các đối tượng (số, vectơ, đa thức, v.v.) và các thuật toán để thực hiện chúng. Nó thể hiện không chỉ ở khả năng chứng minh chính xác các phép biến đổi mà còn ở khả năng tìm ra con đường ngắn nhất để chuyển từ biểu thức phân tích ban đầu sang biểu thức phù hợp nhất với mục đích của phép biến đổi, ở khả năng theo dõi các thay đổi trong lĩnh vực định nghĩa các biểu thức phân tích trong một chuỗi các phép biến đổi giống hệt nhau, trong tốc độ và việc thực hiện các phép biến đổi không có lỗi. .

Đảm bảo một nền văn hóa tính toán cao và các phép biến đổi đồng nhất là một vấn đề quan trọng trong dạy toán. Tuy nhiên, vấn đề này còn lâu mới được giải quyết thỏa đáng. Bằng chứng về điều này là dữ liệu thống kê của các cơ quan giáo dục công lập, trong đó các lỗi và phương pháp tính toán và biến đổi không hợp lý được xác định hàng năm do học sinh các lớp thực hiện khi thực hiện các bài kiểm tra. Điều này được xác nhận bởi các đánh giá của các tổ chức giáo dục đại học về chất lượng kiến thức và kỹ năng toán học của ứng viên. Người ta không thể không đồng ý với kết luận của các cơ quan giáo dục công lập và các trường đại học rằng trình độ văn hóa máy tính chưa đủ cao và các phép biến đổi giống hệt nhau ở trường trung học là hệ quả của chủ nghĩa hình thức trong tri thức của học sinh, tách rời lý thuyết khỏi thực tiễn.

Chương 1.

Biến đổi bản sắc và phương pháp dạy học

trong khóa học đại số và bắt đầu giải tích ở trường.

§một. Hình thành kỹ năng vận dụng

các loại chuyển đổi cụ thểtiêu đề.

Hệ thống các kỹ thuật và quy tắc để thực hiện các phép biến đổi, được sử dụng ở giai đoạn bắt đầu của đại số, có phạm vi ứng dụng rất rộng: nó được sử dụng trong nghiên cứu toàn bộ khóa học toán học. Tuy nhiên, chính vì tính đặc hiệu thấp, hệ thống này cần các phép biến đổi bổ sung có tính đến các đặc thù về cấu trúc của các biểu thức được chuyển đổi và các thuộc tính của các hoạt động và chức năng mới được giới thiệu. Sự phát triển của các loại biến đổi tương ứng bắt đầu bằng việc đưa ra các công thức nhân rút gọn. Sau đó, chúng tôi xem xét các phép biến đổi liên quan đến hoạt động nâng lên lũy thừa, với các loại hàm cơ bản khác nhau - hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác. Mỗi loại biến đổi này đều trải qua một giai đoạn nghiên cứu, trong đó sự chú ý tập trung vào việc đồng hóa các tính năng đặc trưng của chúng.

Với sự tích lũy tài liệu, có thể chọn ra các đặc điểm chung của tất cả các phép biến đổi đang được xem xét và trên cơ sở đó, đưa ra các khái niệm về các phép biến đổi giống hệt nhau và tương đương.

Cần lưu ý rằng khái niệm về một phép biến đổi giống hệt nhau được đưa ra trong khóa học đại số ở trường không hoàn toàn tổng quát, mà chỉ áp dụng cho các biểu thức. Phép biến hình được chia thành hai lớp: phép biến đổi đồng dạng là phép biến đổi biểu thức và phép biến đổi tương đương là phép biến đổi căn thức. Trong trường hợp cần đơn giản hóa một phần của công thức, một biểu thức được tô sáng trong công thức này, biểu thức này đóng vai trò là đối số cho phép biến đổi giống hệt nhau được áp dụng. vị từ tương ứng được coi là không thay đổi.

liên quan tổ chức của một hệ thống biến đổi mạch lạc(tổng hợp), sau đó mục tiêu chính của nó là hình thành một linh hoạt và mạnh mẽ; thiết bị phù hợp để sử dụng trong việc giải quyết các nhiệm vụ giáo dục khác nhau.

Trong quá trình đại số và bắt đầu phân tích, một hệ thống biến đổi tích phân, đã được hình thành trong các tính năng chính của nó, tiếp tục được cải thiện dần dần. Một số loại biến đổi mới cũng được thêm vào nó, nhưng chúng chỉ làm phong phú thêm, mở rộng khả năng của nó chứ không thay đổi cấu trúc của nó. Phương pháp nghiên cứu các phép biến đổi mới này trên thực tế không khác với phương pháp được sử dụng trong quá trình đại số.

§2. Tính năng tổ chứchệ thống công việc

trong nghiên cứu về phép biến hình đồng dạng.

Nguyên tắc cơ bản của việc tổ chức bất kỳ hệ thống nhiệm vụ nào là trình bày chúng từ đơn giản đến phức tạp, có tính đến nhu cầu học sinh vượt qua những khó khăn khả thi và tạo ra các tình huống có vấn đề. Nguyên tắc cơ bản được chỉ định yêu cầu cụ thể hóa liên quan đến các tính năng của tài liệu giáo dục này. Để mô tả các hệ thống nhiệm vụ khác nhau trong phương pháp toán học, khái niệm này được sử dụng chu kỳ tập thể dục. Chu kỳ của các bài tập được đặc trưng bởi sự kết hợp trong chuỗi các bài tập của một số khía cạnh của nghiên cứu và phương pháp sắp xếp tài liệu. Liên quan đến phép biến hình đồng dạng, có thể đưa ra ý tưởng về chu trình như sau.

Chu kỳ của các bài tập được kết nối với việc nghiên cứu về một bản sắc, xung quanh đó các bản sắc khác được nhóm lại, có mối liên hệ tự nhiên với nó. Thành phần của chu trình, cùng với các nhiệm vụ điều hành, bao gồm các nhiệm vụ yêu cầu công nhận khả năng ứng dụng của danh tính được xem xét. Danh tính đang được nghiên cứu được sử dụng để thực hiện các phép tính trên các miền số khác nhau. Tính đặc hiệu của danh tính được tính đến; đặc biệt, các lượt lời nói liên quan đến nó được tổ chức.

Các nhiệm vụ trong mỗi chu kỳ được chia thành hai nhóm. Đầu tiên bao gồm các nhiệm vụ được thực hiện trong lần đầu làm quen với danh tính. Chúng dùng làm tài liệu giảng dạy cho một số bài học liên tiếp, thống nhất theo một chủ đề. Nhóm bài tập thứ hai liên quan đến danh tính đang nghiên cứu với các ứng dụng khác nhau. Nhóm này không tạo thành một sự thống nhất về thành phần - các bài tập ở đây nằm rải rác trên nhiều chủ đề khác nhau.

Cấu trúc được mô tả của chu trình đề cập đến giai đoạn hình thành các kỹ năng để áp dụng các loại phép biến đổi cụ thể. Ở giai đoạn cuối cùng - giai đoạn tổng hợp, các chu trình được sửa đổi. Đầu tiên, cả hai nhóm nhiệm vụ được kết hợp, tạo thành một chu kỳ "mở ra" và đơn giản nhất về mặt từ ngữ hoặc độ phức tạp của việc thực hiện nhiệm vụ được loại trừ khỏi nhóm đầu tiên. Các loại nhiệm vụ còn lại trở nên khó khăn hơn. Thứ hai, có sự hợp nhất của các chu kỳ liên quan đến các danh tính khác nhau, do đó vai trò của các hành động nhằm nhận ra khả năng ứng dụng của danh tính này hoặc danh tính khác tăng lên.

Chúng tôi lưu ý các tính năng của chu kỳ nhiệm vụ liên quan đến danh tính cho các chức năng cơ bản. Những đặc điểm này là do, thứ nhất, các đặc điểm nhận dạng tương ứng được nghiên cứu liên quan đến nghiên cứu về vật liệu chức năng và thứ hai, chúng xuất hiện muộn hơn so với các đặc điểm nhận dạng của nhóm đầu tiên và được nghiên cứu bằng cách sử dụng các kỹ năng đã được hình thành để thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau .

Mỗi chức năng cơ bản mới được giới thiệu mở rộng đáng kể phạm vi số có thể được chỉ định và đặt tên riêng. Do đó, nhóm nhiệm vụ đầu tiên của các chu trình nên bao gồm các nhiệm vụ thiết lập kết nối giữa các vùng số mới này và vùng số hữu tỷ ban đầu. Chúng tôi đưa ra ví dụ về các nhiệm vụ như vậy.

ví dụ 1 . Tính toán:

Bên cạnh mỗi biểu thức, có một danh tính, trong các chu kỳ mà các nhiệm vụ được đề xuất có thể xuất hiện. Mục đích của những nhiệm vụ như vậy là để nắm vững các đặc điểm của bản ghi, bao gồm các biểu tượng của các hoạt động và chức năng mới, đồng thời phát triển các kỹ năng diễn đạt toán học.

Một phần quan trọng của việc sử dụng các phép biến đổi đồng nhất liên quan đến các hàm cơ bản nằm ở nghiệm của các phương trình vô tỷ và siêu việt. Các chu trình liên quan đến việc đồng nhất các đặc tính chỉ bao gồm các phương trình đơn giản nhất, nhưng ở đây, bạn nên thực hiện công việc nắm vững phương pháp giải các phương trình đó: rút gọn nó bằng cách thay thế ẩn số thành phương trình đại số.

Trình tự các bước cho giải pháp này như sau:

a) tìm một hàm mà phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng ;

b) thay thế và giải phương trình;

c) giải từng phương trình , tập nghiệm của phương trình ở đâu .

Khi sử dụng phương pháp được mô tả, bước b) thường được thực hiện hoàn toàn mà không đưa ra ký hiệu cho . Ngoài ra, học sinh thường chọn trong số nhiều con đường dẫn đến tìm lời giải, để chọn con đường dẫn đến phương trình đại số nhanh hơn và dễ dàng hơn.

ví dụ 2 . Giải phương trình.

Cách đầu tiên:

Cách thứ hai:

Ở đây có thể thấy rằng bước a) trong phương pháp thứ nhất khó hơn so với bước thứ hai. Cách đầu tiên là "khó bắt đầu hơn", mặc dù quá trình tiếp theo của giải pháp dễ dàng hơn nhiều. Mặt khác, phương pháp thứ hai có những ưu điểm, bao gồm dễ dàng hơn, tinh tế hơn trong việc giảng dạy rút gọn thành một phương trình đại số.

Đối với một khóa học đại số ở trường, các nhiệm vụ điển hình trong đó việc chuyển sang một phương trình đại số thậm chí còn dễ dàng hơn trong ví dụ này. Gánh nặng chính của các nhiệm vụ như vậy liên quan đến việc lựa chọn bước c) như một phần độc lập của quy trình giải pháp liên quan đến việc sử dụng các thuộc tính của hàm cơ bản đang được nghiên cứu.

ví dụ 3 . Giải phương trình:

Các phương trình này được rút gọn thành các phương trình: a) hoặc ; b) hoặc. Để giải các phương trình này, chỉ cần kiến thức về các sự kiện đơn giản nhất về hàm mũ: tính đơn điệu, phạm vi giá trị của nó. Giống như ví dụ trước, các phương trình a) và b) có thể được quy vào nhóm đầu tiên của chu trình bài tập giải phương trình mũ bậc hai.

Như vậy, chúng ta đi đến việc phân loại các nhiệm vụ theo chu trình liên quan đến nghiệm của phương trình siêu việt, bao gồm cả hàm số mũ:

1) phương trình rút gọn về phương trình có dạng và có nghiệm đơn giản, dạng tổng quát: ;

2) phương trình rút gọn thành phương trình , đâu là số nguyên, hoặc , đâu ;

3) các phương trình rút gọn thành phương trình và yêu cầu phân tích rõ ràng về dạng viết số .

Các nhiệm vụ tương tự có thể được phân loại cho các chức năng cơ bản khác.

Một phần quan trọng của các bản sắc được nghiên cứu trong các khóa học về đại số và đại số và sự khởi đầu của phân tích được chứng minh trong chúng hoặc ít nhất là được giải thích. Mặt này của nghiên cứu về danh tính có tầm quan trọng lớn đối với cả hai khóa học, vì lý luận chứng cứ trong chúng được thực hiện một cách rõ ràng và chính xác nhất liên quan đến danh tính. Ngoài tài liệu này, bằng chứng thường kém hoàn chỉnh hơn, nó không phải lúc nào cũng được phân biệt với thành phần của các phương tiện biện minh được áp dụng.

Các thuộc tính của các phép tính số học được sử dụng như một sự hỗ trợ để xây dựng các bằng chứng về danh tính.

Tác động giáo dục của các phép tính và phép biến đổi giống hệt nhau có thể hướng đến sự phát triển tư duy logic, nếu chỉ học sinh được yêu cầu một cách có hệ thống để chứng minh các phép tính và phép biến đổi giống hệt nhau, hướng đến sự phát triển tư duy chức năng, đạt được bằng nhiều cách khác nhau. Tầm quan trọng của phép tính và phép biến hình giống hệt nhau trong sự phát triển ý chí, trí nhớ, sự khéo léo, tự chủ, chủ động sáng tạo là khá rõ ràng.

Yêu cầu thực hành tính toán công nghiệp hàng ngày đòi hỏi phải hình thành ở học sinh các kĩ năng mạnh mẽ, tự động về các phép tính hữu tỉ và phép biến đổi đồng dạng. Những kỹ năng này được phát triển trong quá trình thực hiện bất kỳ công việc tính toán nào, tuy nhiên, các bài tập huấn luyện đặc biệt là cần thiết trong các phép tính và biến đổi nhanh.

Vì vậy, nếu bài học liên quan đến việc giải các phương trình logarit bằng cách sử dụng đẳng thức logarit cơ bản, thì sẽ rất hữu ích khi đưa các bài tập miệng vào kế hoạch bài học để đơn giản hóa hoặc tính giá trị của các biểu thức: , , . Mục đích của các bài tập luôn được truyền đạt cho học sinh. Trong quá trình thực hiện, có thể cần yêu cầu học sinh chứng minh các biến đổi, hành động riêng lẻ hoặc giải quyết toàn bộ vấn đề, ngay cả khi điều này không được lên kế hoạch. Khi có thể có nhiều cách giải quyết vấn đề khác nhau, bạn luôn nên đặt câu hỏi: “Vấn đề đã được giải quyết theo cách nào?”, “Ai đã giải quyết vấn đề theo cách khác?”

Các khái niệm về đơn vị và phép biến đổi đồng nhất, chúng được giới thiệu rõ ràng trong khóa học đại số lớp VI. Trên thực tế, định nghĩa của các biểu thức giống hệt nhau không thể được sử dụng để chứng minh danh tính của hai biểu thức và để hiểu rằng bản chất của các phép biến đổi giống hệt nhau là áp dụng cho biểu thức các định nghĩa và tính chất của các hành động được chỉ định trong biểu thức hoặc thêm với nó một biểu thức giống hệt bằng 0, hoặc nhân nó với một biểu thức giống hệt bằng một. Tuy nhiên, ngay cả khi đã nắm vững các quy định này, học sinh thường không hiểu tại sao các phép biến đổi này lại cho phép chúng ta khẳng định rằng các biểu thức ban đầu và biểu thức kết quả là giống hệt nhau, tức là. lấy các giá trị giống nhau cho bất kỳ hệ thống (bộ) giá trị biến nào.

Điều quan trọng nữa là đảm bảo rằng học sinh hiểu rõ rằng những kết luận như vậy về các phép biến đổi giống hệt nhau là hệ quả của các định nghĩa và tính chất của các hành động tương ứng.

Bộ máy biến hình giống hệt tích luỹ từ những năm trước đang được mở rộng ở lớp 6. Phần mở rộng này bắt đầu bằng việc giới thiệu một đơn vị thể hiện tính chất của tích lũy thừa có cùng cơ số: , trong đó , là các số nguyên.

§3. Chương trình Toán học.

Trong khóa học "Đại số và sự khởi đầu của giải tích", học sinh nghiên cứu một cách có hệ thống các hàm mũ và logarit và các tính chất của chúng, các phép biến đổi đồng nhất của biểu thức logarit và hàm mũ và ứng dụng của chúng để giải các phương trình và bất phương trình tương ứng, làm quen với các khái niệm cơ bản, phát biểu .

Ở lớp 11, các bài đại số học 3 giờ một tuần, tổng cộng 102 giờ một năm. Học hàm số mũ, logarit, lũy thừa theo chương trình mất 36 giờ.

Chương trình bao gồm việc xem xét và nghiên cứu các vấn đề sau:

Khái niệm về hoành độ với số mũ hữu tỉ. Giải phương trình vô tỉ. Hàm số mũ, tính chất và đồ thị của nó. các phép biến đổi đồng dạng của biểu thức cấp số nhân. Giải phương trình mũ và bất phương trình. Lôgarit của một số. Tính chất cơ bản của logarit. Hàm logarit, tính chất và đồ thị của nó. Giải phương trình, bất phương trình logarit. Đạo hàm của hàm mũ. Số và logarit tự nhiên. Đạo hàm của một hàm lũy thừa.

Mục đích chính của phần tìm hiểu về hàm số mũ, logarit là giúp học sinh làm quen với hàm số mũ, logarit và lũy thừa; dạy học sinh giải phương trình mũ, logarit và bất phương trình.

Các khái niệm về căn bậc hai và bậc với số mũ hữu tỷ là sự tổng quát hóa của các khái niệm về căn bậc hai và bậc với số mũ nguyên. Học sinh cần lưu ý rằng các tính chất của căn và bậc với số mũ hữu tỷ được xem xét ở đây tương tự như các tính chất mà căn bậc hai và bậc với số mũ nguyên đã được nghiên cứu trước đây. Cần phải dành đủ thời gian để tìm ra các thuộc tính của độ và hình thành các kỹ năng cho các phép biến đổi giống hệt nhau. Khái niệm bậc với số mũ vô tỉ được giới thiệu trên cơ sở trực quan-trực quan. Tài liệu này đóng vai trò phụ trợ và được sử dụng khi giới thiệu hàm mũ.

Việc nghiên cứu các tính chất của hàm mũ, logarit và lũy thừa được xây dựng theo sơ đồ chung được chấp nhận để nghiên cứu các hàm. Trong trường hợp này, tổng quan về các thuộc tính được đưa ra tùy thuộc vào các giá trị tham số. Các bất phương trình mũ, logarit được giải dựa vào tính chất đã học của hàm số.

Một tính năng đặc trưng của khóa học là hệ thống hóa và khái quát hóa kiến \u200b\u200bthức của học sinh, củng cố và phát triển các kỹ năng và khả năng có được trong khóa học đại số, được thực hiện cả khi nghiên cứu tài liệu mới và khi tiến hành lặp lại khái quát hóa.
chương 2

Biến đổi nhận dạng và tính toán

biểu thức hàm mũ và logarit

§một. Khái quát về khái niệm độ.

Sự định nghĩa: Gốc của mức độ tinh khiết thứ là một số như vậy, mức độ thứ của nó bằng.

Theo định nghĩa này, căn bậc hai của một số là nghiệm của phương trình. Số nghiệm của phương trình này phụ thuộc vào và . Hãy xem xét một chức năng. Như đã biết, trên khoảng hàm này tăng đối với bất kỳ và lấy tất cả các giá trị từ khoảng . Theo định lý gốc, phương trình của bất kỳ có một gốc không âm và hơn nữa, chỉ có một. Ông được gọi là căn bậc hai của số và biểu thị ; số được gọi chỉ số gốc, và chính số đó biểu hiện cấp tiến. Dấu hiệu còn được gọi là căn.

Sự định nghĩa: Căn bậc hai của một số là một số không âm có lũy thừa thứ bằng .

Đối với số chẵn thì hàm số chẵn. Suy ra nếu , thì phương trình , ngoài nghiệm , còn có nghiệm . Nếu , thì chỉ có một gốc: ; nếu , thì phương trình này vô nghiệm, vì lũy thừa chẵn của bất kỳ số nào cũng không âm.

Đối với các giá trị lẻ, hàm tăng dọc theo toàn bộ trục số; phạm vi của nó là tập hợp tất cả các số thực. Áp dụng định lý nghiệm, chúng ta thấy rằng phương trình có một nghiệm đối với bất kỳ và đặc biệt đối với . Gốc này cho bất kỳ giá trị nào được biểu thị bằng .

Đối với nghiệm bậc lẻ thì đẳng thức đúng. Thật vậy, , tức là số - là gốc thứ của . Nhưng một gốc như vậy cho lẻ là duy nhất. Do đó, .

Lưu ý 1:Đối với bất kỳ thực tế

Nhắc lại các tính chất đã biết của căn bậc hai.

Đối với mọi số tự nhiên , số nguyên và mọi số nguyên không âm và đẳng thức đều đúng:

Bằng với số mũ hữu tỷ.

Biểu thức được xác định cho tất cả và , ngoại trừ trường hợp khi . Nhắc lại tính chất của các lũy thừa đó.

Đối với mọi số , và mọi số nguyên và đẳng thức đều đúng:

Cũng lưu ý rằng nếu , thì for và for .

Sự định nghĩa: Bậc của một số có số mũ hữu tỉ, là số nguyên, là số tự nhiên gọi là hợp số.

Vì vậy, theo định nghĩa.

Với định nghĩa công thức của một mức độ với số mũ hữu tỷ, các thuộc tính cơ bản của độ được bảo toàn, đúng với bất kỳ số mũ nào (sự khác biệt nằm ở chỗ các thuộc tính chỉ đúng với các cơ số dương).

§2. Hàm số mũ.

Sự định nghĩa: Hàm được cho bởi công thức (trong đó , ) được gọi là hàm số mũ với cơ số .

Hãy để chúng tôi xây dựng các tính chất chính của hàm mũ.

Đồ thị hàm số (Hình 1)

Các công thức này được gọi là tính chất cơ bản của độ.

Cũng có thể thấy rằng hàm số liên tục trên tập hợp các số thực.

§3. Hàm logarit.

Sự định nghĩa: logarit các số đối với cơ sở được gọi là số mũ mà cơ số phải được nâng lên. Để lấy số.

Công thức (trong đó , và ) được gọi là nhận dạng logarit cơ bản.

Khi làm việc với logarit, các thuộc tính sau được áp dụng, xuất phát từ các thuộc tính của hàm mũ:

Bất cứ gì( )và bất kỳ tích cực và bình đẳng được thỏa mãn:

5. đối với bất kỳ .

Các tính chất cơ bản của logarit được sử dụng rộng rãi trong quá trình biến đổi biểu thức chứa logarit. Ví dụ, công thức chuyển từ cơ số này sang cơ số khác thường được sử dụng:.

Gọi là số dương không bằng 1.

Sự định nghĩa: Hàm được cho bởi công thức được gọi là hàm logarit với cơ số .

Chúng tôi liệt kê các thuộc tính chính của hàm logarit.

1. Miền xác định của hàm số logarit là tập hợp tất cả các số dương, tức là .

2. Tập xác định của hàm số logarit là tập hợp tất cả các số thực.

3. Hàm số logarit trên toàn miền xác định tăng (đối với ) hoặc giảm (đối với ).

Đồ thị hàm số (Hình 2)

Đồ thị của hàm số mũ và logarit có cùng cơ số thì đối xứng qua một đường thẳng(Hình 3).

Chương 3

Các phép biến đổi đồng nhất của cấp số nhân và

biểu thức logarit trong thực tế.

Bài tập 1.

Tính toán:

Dung dịch:

Câu trả lời:; ; ; ; .; , chúng tôi hiểu điều đó

Xem xét các phương pháp hình thành kỹ năng ở học sinh trong nghiên cứu tài liệu này. Cô ấy cũng đã trình bày một chương trình toán học để nghiên cứu khóa học về hàm mũ và logarit trong khóa học "Đại số và sự khởi đầu của giải tích".

Công việc trình bày các nhiệm vụ, khác nhau về độ phức tạp và nội dung, sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau. Những nhiệm vụ này có thể được sử dụng để tiến hành điều khiển hoặc làm việc độc lập để kiểm tra kiến thức của học sinh.

Theo tôi, khóa học được thực hiện trong khuôn khổ phương pháp dạy toán ở các cơ sở giáo dục trung học và có thể được sử dụng như một công cụ hỗ trợ trực quan cho giáo viên trong trường, cũng như cho học sinh toàn thời gian và bán thời gian.

Danh sách tài liệu đã sử dụng:

Đại số và sự khởi đầu của giải tích. biên tập. Kolmogorova A.N. M.: Giác ngộ, 1991.
Chương trình cho các trường trung học, phòng tập thể dục, lyceums. Toán 5-11 ô. Mátxcơva: Bức tượng bán thân, 2002
NẾU. Sharygin, V.I. Golubev. Khóa học tùy chọn về toán học (giải quyết vấn đề). ừm. phụ cấp cho 11 chi bộ. M.: Giác ngộ, 1991.
V.A. Oganesyan và cộng sự Phương pháp dạy học toán ở trường trung học cơ sở: Phương pháp luận chung; Sách giáo khoa cho sinh viên Khoa Vật lý và Toán học của các Học viện Sư phạm. - Tái bản lần 2 có sửa đổi, bổ sung M.: Giáo dục, 1980.
Cherkasov R.S., Stolyar A.A. Phương pháp dạy học toán ở trường THCS. M.: Giác ngộ, 1985.
Tạp chí "Toán học ở trường".

MỞ BÀI ĐẠI SỐ LỚP 11 "b"

CHỦ ĐỀ BÀI HỌC

« CHUYỂN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC,

CHỨA LOGARITH"

Mục tiêu bài học:

nhắc lại định nghĩa lôgarit của một số, căn thức lôgarit;

củng cố các tính chất cơ bản của logarit;

tăng cường định hướng thực tế của chủ đề này để chuẩn bị chất lượng cao cho UNT;

góp phần vào sự đồng hóa vững chắc của vật liệu;

nhằm thúc đẩy sự phát triển các kỹ năng tự kiểm soát ở học sinh.

Loại bài học: kết hợp với việc sử dụng bài kiểm tra tương tác.

Thiết bị: máy chiếu, màn chiếu, áp phích có nhiệm vụ, phiếu trả lời.

Kế hoạch bài học:

Thời gian tổ chức.

Cập nhật kiến thức.

Kiểm tra tương tác.

"Giải đấu với logarit"

Giải toán SGK.

Tổng kết. Hoàn thành phiếu trả lời.

chấm điểm.

Trong các lớp học

1. Thời điểm tổ chức.

2. Xác định mục tiêu bài dạy.

Xin chào các bạn! Hôm nay chúng ta có một bài học bất thường, bài học là một trò chơi mà chúng ta sẽ chơi dưới hình thức giải đấu với logarit.

Hãy bắt đầu bài học với một bài kiểm tra tương tác.

3. Kiểm tra tương tác:

4. Giải với logarit:

Định nghĩa của logarit.

Danh tính logarit:

Đơn giản hóa:

Tìm giá trị của biểu thức:

Tính chất của logarit .

chuyển đổi:

Làm việc với sách giáo khoa.

Tổng kết.

Học sinh hoàn thành phiếu trả lời của riêng mình.

Cho điểm cho mỗi câu trả lời.

chấm điểm. Bài tập về nhà. Đính kèm 1.

Hôm nay bạn lao vào logarit,

Chúng phải được tính toán chính xác.

Tại kỳ thi, tất nhiên, bạn sẽ gặp họ,

Nó vẫn còn để chúc bạn thành công!

Tôi quyền mua

a) 9 ½ =3; b) 7 0 =1.

một)đăng nhập8=6; b)đăng nhập9=-2.

a) 1,7 đăng nhập 1,7 2 ; b) 2 đăng nhập 2 5 .

4. Tính:

một) lg8+lg125;

b) nhật ký 2 7 nhật ký 2 7/16

Trong)đăng nhập 3 16/nhật ký 3 4.

II quyền mua

1. Tìm logarit cơ số a của một số được biểu diễn dưới dạng lũy thừa cơ số a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Kiểm tra tính hợp lệ của đẳng thức:

một)đăng nhập27=-6; b)đăng nhập 0,5 4=-2.

3. Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng các đẳng thức logarit cơ bản:

a) 5 1+ đăng nhập 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Tính:

một) nhật ký 12 4+nhật ký 12 36;

b)lg13-lg130;

Trong) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III quyền mua

1. Tìm logarit cơ số a của một số được biểu diễn dưới dạng lũy thừa cơ số a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Kiểm tra tính hợp lệ của đẳng thức:

một)đăng nhập 2 128=;

b)đăng nhập 0,2 0,008=3.

3. Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng các đẳng thức logarit cơ bản:

a) 4 2 đăng nhập 4 3 ;

b) 5 -3 đăng nhập 5 1/2 .

4. Tính:

một) nhật ký 6 12+nhật ký 6 18;

b) nhật ký 7 14 nhật ký 7 6+nhật ký 7 21;

Trong) (đăng nhập 7 3/ đăng nhập 7 13)∙ đăng nhập 3 169.

IV quyền mua

1. Tìm logarit cơ số a của một số được biểu diễn dưới dạng lũy thừa cơ số a:

a) 81 3/4 =27; b) 125 2/3 =25.

2. Kiểm tra tính hợp lệ của đẳng thức:

một)đăng nhập √5 0,2=-2;

b)đăng nhập 0,2 125=-3.

3. Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng các đẳng thức logarit cơ bản:

a) (1/2) 4 đăng nhập 1/2 3 ;

b) 6 -2 đăng nhập 6 5 .

4. Tính:

một) nhật ký 14 42 nhật ký 14 3;

b) nhật ký 2 20-nhật ký 2 25+nhật ký 2 80;

Trong) nhật ký 7 48/ đăng nhập 7 4- 0,5 đăng nhập 2 3.

Biểu thức logarit, giải các ví dụ. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các bài toán liên quan đến giải logarit. Các nhiệm vụ đặt ra câu hỏi tìm giá trị của biểu thức. Cần lưu ý rằng khái niệm logarit được sử dụng trong nhiều nhiệm vụ và điều cực kỳ quan trọng là phải hiểu ý nghĩa của nó. Đối với SỬ DỤNG, logarit được sử dụng để giải phương trình, trong các bài toán ứng dụng và cả trong các nhiệm vụ liên quan đến nghiên cứu hàm số.

Dưới đây là các ví dụ để hiểu ý nghĩa của logarit:

Nhận dạng logarit cơ bản:

Các tính chất của logarit mà bạn phải luôn ghi nhớ:

* Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số.

* * *

* Lôgarit của thương (phân số) bằng hiệu của lôgarit các thừa số.

* * *

* Lôgarit của bậc bằng tích của số mũ và lôgarit của cơ số.

* * *

* Chuyển sang cơ sở mới

* * *

Thêm tài sản:

* * *

Tính toán logarit có liên quan chặt chẽ với việc sử dụng các thuộc tính của số mũ.

Chúng tôi liệt kê một số trong số họ:

Bản chất của tính chất này là khi chuyển tử số sang mẫu số và ngược lại thì dấu của số mũ đổi sang dấu ngược lại. Ví dụ:

Hậu quả của tài sản này:

* * *

Khi nâng lũy thừa lên lũy thừa, cơ số vẫn giữ nguyên, nhưng số mũ được nhân lên.

* * *

Như bạn có thể thấy, khái niệm logarit rất đơn giản. Điều chính là cần phải thực hành tốt, điều này mang lại một kỹ năng nhất định. Chắc chắn kiến thức về các công thức là bắt buộc. Nếu kỹ năng chuyển đổi logarit cơ bản không được hình thành, thì khi giải các nhiệm vụ đơn giản, người ta có thể dễ dàng mắc lỗi.

Thực hành, giải các ví dụ đơn giản nhất từ khóa học toán trước, sau đó chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn. Trong tương lai, tôi chắc chắn sẽ chỉ ra cách giải các logarit “xấu xí”, trong kỳ thi sẽ không có những bài như vậy, nhưng chúng rất thú vị, đừng bỏ lỡ!

Đó là tất cả! Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang này trên mạng xã hội.

Các đẳng thức được liệt kê khi chuyển đổi biểu thức với logarit được sử dụng cả từ phải sang trái và từ trái sang phải.

Điều đáng chú ý là không cần thiết phải ghi nhớ hệ quả của các thuộc tính: khi thực hiện các phép biến đổi, bạn có thể sử dụng các thuộc tính cơ bản của logarit và các sự kiện khác (ví dụ: đối với b≥0), từ đó tương ứng hậu quả kéo theo. "Tác dụng phụ" của phương pháp này chỉ là giải pháp sẽ lâu hơn một chút. Ví dụ, để làm mà không có hậu quả, được thể hiện bằng công thức và chỉ bắt đầu từ các thuộc tính cơ bản của logarit, bạn sẽ phải thực hiện một chuỗi các phép biến đổi có dạng sau: .

Điều tương tự cũng có thể nói về thuộc tính cuối cùng trong danh sách trên, tương ứng với công thức , vì nó cũng suy ra từ các tính chất cơ bản của logarit. Điều chính cần hiểu là bậc của một số dương với logarit trong số mũ luôn có thể hoán đổi cơ số của bậc và số dưới dấu của logarit. Công bằng mà nói, chúng tôi lưu ý rằng các ví dụ liên quan đến việc thực hiện các phép biến đổi kiểu này rất hiếm trong thực tế. Chúng tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ dưới đây.

Chuyển đổi biểu thức số với logarit

Chúng ta đã nhớ các tính chất của logarit, giờ là lúc học cách vận dụng chúng vào thực tế để biến đổi biểu thức. Điều tự nhiên là bắt đầu với việc chuyển đổi các biểu thức số chứ không phải các biểu thức có biến, vì sẽ thuận tiện hơn và dễ dàng hơn để tìm hiểu những điều cơ bản về chúng. Vì vậy, chúng tôi sẽ làm điều này và chúng tôi sẽ bắt đầu với các ví dụ rất đơn giản để tìm hiểu cách chọn thuộc tính mong muốn của logarit, nhưng chúng tôi sẽ dần dần làm phức tạp các ví dụ, cho đến khi một số thuộc tính sẽ cần được áp dụng trong một dòng để có được kết quả cuối cùng.

Chọn thuộc tính mong muốn của logarit

Không có quá ít thuộc tính của logarit và rõ ràng là bạn cần có khả năng chọn thuộc tính phù hợp từ chúng, trong trường hợp cụ thể này sẽ dẫn đến kết quả mong muốn. Thông thường, điều này không khó thực hiện bằng cách so sánh dạng của logarit hoặc biểu thức được chuyển đổi với các loại phần bên trái và bên phải của các công thức biểu thị tính chất của logarit. Nếu vế trái hoặc vế phải của một trong các công thức khớp với logarit hoặc biểu thức đã cho, thì rất có thể thuộc tính này sẽ được sử dụng trong quá trình chuyển đổi. Các ví dụ sau đây chứng minh rõ ràng điều này.

Hãy bắt đầu với các ví dụ về biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng định nghĩa của logarit, tương ứng với công thức a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Thí dụ.

Tính, nếu có thể: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Dung dịch.

Trong ví dụ, chữ cái a) thể hiện rõ ràng cấu trúc a log a b , trong đó a=5 , b=4 . Những số này thỏa mãn các điều kiện a>0 , a≠1 , b>0 , vì vậy bạn có thể yên tâm sử dụng đẳng thức a log a b =b . Chúng ta có 5 log 5 4=4 .

b) Ở đây a=10 , b=1+2 π , các điều kiện a>0 , a≠1 , b>0 được thỏa mãn. Trong trường hợp này, đẳng thức 10 lg(1+2 π) =1+2 π diễn ra.

c) Và trong ví dụ này, chúng ta đang xử lý một bậc có dạng a log a b , trong đó và b=ln15 . Vì thế .

Mặc dù thuộc cùng một dạng a log a b (ở đây a=2 , b=−7 ), biểu thức bên dưới chữ d) không thể được chuyển đổi bằng công thức a log a b =b . Lý do là nó không có ý nghĩa vì nó chứa một số âm dưới dấu logarit. Hơn nữa, số b=−7 không thỏa mãn điều kiện b>0 , khiến không thể sử dụng công thức a log a b =b , vì nó yêu cầu các điều kiện a>0 , a≠1 , b>0 . Vì vậy, chúng ta không thể nói về việc tính toán giá trị 2 log 2 (−7) . Trong trường hợp này, viết 2 log 2 (−7) = −7 sẽ là một lỗi.

Tương tự, trong ví dụ dưới chữ e), không thể đưa ra giải pháp có dạng , vì biểu thức ban đầu không có ý nghĩa.

Câu trả lời:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) các biểu thức không có nghĩa.

Thường hữu ích khi chuyển đổi một số dương thành lũy thừa của một số khác không dương với logarit theo số mũ. Nó dựa trên cùng một định nghĩa của logarit a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , nhưng công thức được áp dụng từ phải sang trái, tức là ở dạng b=a log a b . Ví dụ: 3=e ln3 hoặc 5=5 log 5 5 .

Hãy chuyển sang sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức.

Thí dụ.

Tìm giá trị của biểu thức: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Dung dịch.

Trong các ví dụ bên dưới các chữ cái a), b) và c), các biểu thức log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 được đưa ra, không có nghĩa vì cơ số của logarit không được chứa số âm, không hoặc một, bởi vì chúng ta đã xác định logarit chỉ cho cơ số dương và không đơn vị. Do đó, trong các ví dụ a) - c) không thể có câu hỏi tìm giá trị của biểu thức.

Trong tất cả các nhiệm vụ khác, rõ ràng, trong cơ số của logarit lần lượt có các số dương và không đơn vị 7, e, 10, 3,75 và 5 π 7, và các đơn vị ở khắp mọi nơi dưới các dấu của logarit. Và chúng ta biết tính chất của logarit đơn vị: log a 1=0 cho bất kỳ a>0 , a≠1 . Do đó, các giá trị của biểu thức b) - f) bằng không.

Câu trả lời:

a), b), c) các biểu thức vô nghĩa, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Thí dụ.

Tính: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Dung dịch.

Rõ ràng là chúng ta phải sử dụng thuộc tính logarit của cơ số, tương ứng với công thức log a a=1 cho a>0 , a≠1 . Thật vậy, trong các nhiệm vụ dưới tất cả các chữ cái, số dưới dấu logarit trùng với cơ số của nó. Vì vậy, tôi muốn nói ngay rằng giá trị của mỗi biểu thức đã cho là 1 . Tuy nhiên, đừng vội kết luận: trong các nhiệm vụ dưới các chữ cái a) - d) giá trị của các biểu thức thực sự bằng một và trong các nhiệm vụ e) và f) các biểu thức ban đầu không có ý nghĩa nên không thể được biết rằng giá trị của các biểu thức này bằng 1.

Câu trả lời:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) biểu thức không có nghĩa.

Thí dụ.

Tìm giá trị: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Dung dịch.

Rõ ràng, dưới các dấu của logarit là một số bậc cơ số. Dựa trên điều này, chúng ta hiểu rằng thuộc tính bậc của cơ số rất hữu ích ở đây: log a a p = p, trong đó a>0, a≠1 và p là một số thực bất kỳ. Xem xét điều này, chúng tôi có các kết quả sau: a) log 3 3 11 =11 , b) , Trong) . Có thể viết một đẳng thức tương tự cho ví dụ dưới chữ d) có dạng log −10 (−10) 6 =6 không? Không, bạn không thể, vì log −10 (−10) 6 không hợp lý.

Câu trả lời:

a) log 3 3 11 =11, b) , Trong) d) biểu thức không có nghĩa.

Thí dụ.

Biểu diễn biểu thức dưới dạng tổng hoặc hiệu của logarit cùng cơ số: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Dung dịch.

a) Tích dưới dấu của logarit và ta biết tính chất của logarit của tích log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Trong trường hợp của chúng tôi, số trong cơ số của logarit và số trong tích là dương, nghĩa là chúng thỏa mãn các điều kiện của thuộc tính đã chọn, do đó, chúng tôi có thể áp dụng nó một cách an toàn: .

b) Ở đây chúng ta sử dụng tính chất logarit của thương số , trong đó a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . Trong trường hợp của chúng ta, cơ số của logarit là một số dương e, tử số và mẫu số π đều dương, có nghĩa là chúng thỏa mãn các điều kiện của tính chất, vì vậy chúng ta có quyền sử dụng công thức đã chọn: .

c) Đầu tiên, lưu ý rằng biểu thức lg((−5) (−12)) có nghĩa. Nhưng đồng thời, chúng ta không có quyền áp dụng công thức logarit của tích log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , vì các số −5 và −12 đều âm và không thỏa mãn các điều kiện x>0 , y>0 . Đó là, không thể thực hiện chuyển đổi như vậy: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Nhưng phải làm sao? Trong những trường hợp như vậy, biểu thức ban đầu cần được chuyển đổi trước để tránh các số âm. Chúng tôi sẽ nói chi tiết về các trường hợp tương tự của việc chuyển đổi các biểu thức có số âm dưới dấu logarit thành một trong số đó, nhưng bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra giải pháp cho ví dụ này, rõ ràng trước và không cần giải thích: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Câu trả lời:

một) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Thí dụ.

Rút gọn biểu thức: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Dung dịch.

Ở đây chúng ta sẽ được trợ giúp bởi tất cả các thuộc tính tương tự của logarit tích và logarit của thương mà chúng ta đã sử dụng trong các ví dụ trước, chỉ bây giờ chúng ta sẽ áp dụng chúng từ phải sang trái. Nghĩa là, chúng ta chuyển đổi tổng của logarit thành logarit của tích và hiệu của các logarit thành logarit của thương. Chúng ta có
một) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Câu trả lời:

một) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Thí dụ.

Loại bỏ bậc dưới dấu của logarit: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Dung dịch.

Dễ thấy rằng chúng ta đang xử lý các biểu thức như log a b p . Tính chất tương ứng của logarit là log a b p =p log a b , trong đó a>0 , a≠1 , b>0 , p là một số thực bất kỳ. Tức là với các điều kiện a>0 , a≠1 , b>0 từ logarit của bậc log a b p ta có thể đi đến tích p·log a b . Hãy thực hiện phép biến đổi này với các biểu thức đã cho.

a) Trong trường hợp này a=0.7 , b=5 và p=11 . Vậy log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Đến đây thỏa mãn điều kiện a>0 , a≠1 , b>0 . đó là lý do tại sao

c) Biểu thức log 3 (−5) 6 có cùng cấu trúc log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Nhưng đối với b, điều kiện b>0 không được thỏa mãn nên không thể áp dụng công thức log a b p =p log a b . Vậy tại sao bạn không thể hoàn thành công việc? Có thể, nhưng cần phải chuyển đổi sơ bộ biểu thức, mà chúng ta sẽ thảo luận chi tiết bên dưới trong đoạn dưới tiêu đề . Giải pháp sẽ như thế này: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Câu trả lời:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Khá thường xuyên, công thức logarit của bậc khi thực hiện các phép biến đổi phải được áp dụng từ phải sang trái ở dạng p log a b \u003d log a b p (điều này đòi hỏi các điều kiện giống nhau đối với a, b và p). Ví dụ: 3 ln5=ln5 3 và lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Thí dụ.

a) Tính giá trị của log 2 5 nếu biết lg2≈0,3010 và lg5≈0,6990. b) Viết phân số dưới dạng logarit cơ số 3.

Dung dịch.

a) Công thức chuyển đổi sang cơ số mới của logarit cho phép chúng ta biểu diễn logarit này dưới dạng tỷ lệ của logarit thập phân, các giá trị của chúng được biết đến với chúng ta: . Nó chỉ còn lại để thực hiện các tính toán, chúng tôi có .

b) Ở đây chỉ cần sử dụng công thức chuyển sang cơ sở mới là đủ và áp dụng nó từ phải sang trái, tức là ở dạng . Chúng tôi nhận được .

Câu trả lời:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Ở giai đoạn này, chúng tôi đã xem xét khá kỹ lưỡng việc biến đổi các biểu thức đơn giản nhất bằng cách sử dụng các tính chất cơ bản của logarit và định nghĩa của logarit. Trong các ví dụ này, chúng tôi phải sử dụng một thuộc tính và không có thuộc tính nào khác. Bây giờ, với một lương tâm rõ ràng, bạn có thể chuyển sang các ví dụ mà phép biến đổi của chúng yêu cầu sử dụng một số tính chất của logarit và các phép biến đổi bổ sung khác. Chúng tôi sẽ giải quyết chúng trong đoạn tiếp theo. Nhưng trước đó, chúng ta hãy xem xét ngắn gọn các ví dụ về việc áp dụng các hệ quả từ các tính chất cơ bản của logarit.

Thí dụ.

a) Bỏ căn theo dấu của logarit. b) Chuyển phân số thành logarit cơ số 5. c) Bỏ lũy thừa dưới dấu của logarit và tại cơ số của nó. d) Tính giá trị của biểu thức . e) Thay biểu thức bằng một lũy thừa cơ số 3.

Dung dịch.

a) Nếu chúng ta nhớ lại hệ quả từ tính chất logarit của bậc , thì bạn có thể trả lời ngay: .

b) Ở đây ta dùng công thức từ phải sang trái, chúng ta có .

c) Trong trường hợp này, công thức dẫn đến kết quả . Chúng tôi nhận được .

d) Và ở đây chỉ cần áp dụng hệ quả mà công thức tương ứng . Vì thế .

e) Tính chất của logarit cho phép chúng tôi đạt được kết quả mong muốn: .

Câu trả lời:

một) . b) . Trong) . g) . e) .

Áp dụng nhất quán nhiều thuộc tính

Các nhiệm vụ thực tế để biến đổi các biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của logarit thường phức tạp hơn những nhiệm vụ mà chúng ta đã giải quyết trong đoạn trước. Trong đó, theo quy định, kết quả không thu được trong một bước, mà giải pháp đã bao gồm việc áp dụng tuần tự hết thuộc tính này đến thuộc tính khác, cùng với các phép biến đổi giống hệt bổ sung, chẳng hạn như mở ngoặc, rút gọn các số hạng giống nhau, rút gọn phân số, v.v. . Vì vậy, hãy đến gần hơn với những ví dụ như vậy. Không có gì phức tạp về điều này, điều chính là phải hành động cẩn thận và nhất quán, tuân thủ thứ tự thực hiện các hành động.

Thí dụ.

Tính giá trị của một biểu thức (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Dung dịch.

Sự khác biệt của logarit trong ngoặc bởi thuộc tính logarit của thương số có thể được thay thế bằng logarit log 3 (15:5) , sau đó tính giá trị của nó log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Và giá trị của biểu thức 7 log 7 5 theo định nghĩa của logarit là 5 . Thay thế các kết quả này vào biểu thức ban đầu, chúng tôi nhận được (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Đây là một giải pháp mà không cần giải thích:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Câu trả lời:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Thí dụ.

Giá trị của biểu thức số log 3 log 2 2 3 −1 là bao nhiêu?

Dung dịch.

Đầu tiên chúng ta hãy biến đổi logarit dưới dấu của logarit theo công thức của logarit bậc: log 2 2 3 =3. Vậy log 3 log 2 2 3 =log 3 3 và sau đó log 3 3=1 . Vậy log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Câu trả lời:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Thí dụ.

Đơn giản hóa biểu thức.

Dung dịch.

Công thức chuyển đổi sang cơ số mới của logarit cho phép tỷ lệ logarit trên một cơ số được biểu diễn dưới dạng log 3 5 . Trong trường hợp này, biểu thức ban đầu sẽ có dạng . Theo định nghĩa của logarit 3 log 3 5 =5 , nghĩa là , và giá trị của biểu thức kết quả, do định nghĩa tương tự của logarit, bằng hai.

Đây là một phiên bản ngắn của giải pháp, thường được đưa ra: .

Câu trả lời:

Để chuyển đổi suôn sẻ sang thông tin của đoạn tiếp theo, chúng ta hãy xem các biểu thức 5 2+log 5 3 và lg0.01 . Cấu trúc của chúng không phù hợp với bất kỳ thuộc tính nào của logarit. Vậy điều gì xảy ra nếu chúng không thể được chuyển đổi bằng các thuộc tính của logarit? Có thể thực hiện được nếu bạn thực hiện các phép biến đổi sơ bộ để chuẩn bị các biểu thức này cho việc áp dụng các tính chất của logarit. Vì thế 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, và lg0,01=lg10 −2 = −2 . Hơn nữa, chúng ta sẽ hiểu chi tiết cách thức chuẩn bị các biểu thức như vậy được thực hiện.

Chuẩn bị các biểu thức để áp dụng các tính chất của logarit

Logarit trong biểu thức được chuyển đổi rất thường khác nhau về cấu trúc của ký hiệu so với phần bên trái và bên phải của các công thức tương ứng với các thuộc tính của logarit. Nhưng thông thường, việc chuyển đổi các biểu thức này liên quan đến việc sử dụng các thuộc tính của logarit: việc sử dụng chúng chỉ cần chuẩn bị sơ bộ. Và sự chuẩn bị này bao gồm việc thực hiện một số phép biến đổi giống hệt nhau để đưa logarit về dạng thuận tiện cho việc áp dụng các thuộc tính.

Công bằng mà nói, chúng tôi lưu ý rằng hầu hết mọi phép biến đổi biểu thức đều có thể đóng vai trò là phép biến đổi sơ bộ, từ việc rút gọn tầm thường các thuật ngữ tương tự cho đến việc sử dụng các công thức lượng giác. Điều này có thể hiểu được, vì các biểu thức được chuyển đổi có thể chứa bất kỳ đối tượng toán học nào: dấu ngoặc, mô-đun, phân số, nghiệm, độ, v.v. Do đó, người ta phải chuẩn bị sẵn sàng để thực hiện bất kỳ phép biến đổi cần thiết nào để hưởng lợi nhiều hơn từ các thuộc tính của logarit.

Hãy nói ngay rằng trong đoạn này, chúng tôi không đặt cho mình nhiệm vụ phân loại và phân tích tất cả các phép biến đổi sơ bộ có thể tưởng tượng được, cho phép chúng tôi áp dụng các tính chất của logarit hoặc định nghĩa của logarit trong tương lai. Ở đây chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào bốn trong số chúng, đặc trưng nhất và thường gặp nhất trong thực tế.

Và bây giờ là chi tiết về từng người trong số họ, sau đó, trong khuôn khổ chủ đề của chúng tôi, nó chỉ còn lại để xử lý việc chuyển đổi các biểu thức với các biến dưới các dấu hiệu của logarit.

Lựa chọn lũy thừa theo dấu của logarit và trong cơ số của nó

Hãy bắt đầu ngay với một ví dụ. Hãy để chúng tôi có một logarit. Rõ ràng, ở dạng này, cấu trúc của nó không có lợi cho việc sử dụng các tính chất của logarit. Có thể bằng cách nào đó biến đổi biểu thức này để đơn giản hóa nó hoặc thậm chí tính toán giá trị của nó tốt hơn không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các số 81 và 1/9 trong ngữ cảnh ví dụ của chúng tôi. Dễ dàng nhận thấy ở đây rằng những số này có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 3 , thực tế là 81=3 4 và 1/9=3 −2 . Trong trường hợp này, logarit ban đầu được trình bày dưới dạng và có thể áp dụng công thức . Vì thế, .

Phân tích ví dụ đã phân tích làm nảy sinh ý tưởng sau: nếu có thể, bạn có thể cố gắng làm nổi bật mức độ dưới dấu của logarit và tại cơ sở của nó để áp dụng tính chất logarit của mức độ hoặc hệ quả của nó. Nó chỉ còn lại để tìm ra làm thế nào để chọn ra những mức độ này. Chúng tôi sẽ đưa ra một số khuyến nghị về vấn đề này.

Đôi khi, khá rõ ràng là số dưới dấu logarit và / hoặc trong cơ số của nó biểu thị một số lũy thừa nguyên, như trong ví dụ đã thảo luận ở trên. Gần như liên tục, bạn phải đối mặt với lũy thừa hai, chúng rất quen thuộc: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Điều tương tự cũng có thể nói về bậc của bộ ba: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Nói chung, sẽ không hại gì nếu có bảng lũy thừa các số tự nhiên trong vòng mười. Cũng không khó để làm việc với các số nguyên lũy thừa mười, trăm, nghìn, v.v.

Thí dụ.

Tính giá trị hoặc rút gọn biểu thức: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Dung dịch.

a) Rõ ràng, 216=6 3 , vì vậy log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Bảng lũy thừa của các số tự nhiên cho phép chúng ta biểu diễn các số 343 và 1/243 lần lượt là các lũy thừa của 7 3 và 3 −4. Do đó, phép biến đổi sau đây của logarit đã cho là có thể:

c) Vì 0,000001=10 −6 và 0,001=10 −3 nên log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Câu trả lời:

a) log 6 216=3, b) , c) nhật ký 0,000001 0,001=1/2 .

Trong những trường hợp phức tạp hơn, để làm nổi bật sức mạnh của các con số, bạn phải dùng đến.

Thí dụ.

Thay đổi biểu thức thành dạng đơn giản hơn log 3 648 log 2 3 .

Dung dịch.

Hãy xem phân tích của số 648 thành các thừa số nguyên tố là gì:

Đó là, 648=2 3 3 4 . Bằng cách này, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Bây giờ chúng tôi chuyển đổi logarit của sản phẩm thành tổng logarit, sau đó chúng tôi áp dụng các thuộc tính của logarit của mức độ:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Nhờ hệ quả tất yếu của thuộc tính logarit của bậc, tương ứng với công thức , tích log32 log23 là tích và nó được biết là bằng một. Xem xét điều này, chúng tôi nhận được 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Câu trả lời:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Rất thường xuyên, các biểu thức dưới dấu logarit và trong cơ số của nó là tích hoặc tỷ số của căn và / hoặc lũy thừa của một số số, ví dụ: , . Các biểu thức tương tự có thể được biểu diễn dưới dạng một mức độ. Để làm điều này, việc chuyển đổi từ gốc sang độ được thực hiện và được áp dụng. Các phép biến đổi này cho phép bạn chọn độ dưới dấu của logarit và trong cơ số của nó, sau đó áp dụng các thuộc tính của logarit.

Thí dụ.

Hãy tính: a) , b).

Dung dịch.

a) Biểu thức trong cơ số của logarit là tích của các lũy thừa có cùng cơ số, theo tính chất tương ứng của lũy thừa ta có 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Bây giờ, hãy chuyển đổi phân số theo dấu của logarit: hãy chuyển từ gốc sang độ, sau đó chúng ta sẽ sử dụng thuộc tính tỷ lệ giữa các độ có cùng cơ số: .

Nó vẫn còn để thay thế các kết quả thu được vào biểu thức ban đầu, sử dụng công thức và kết thúc quá trình chuyển đổi:

b) Vì 729=3 6 , và 1/9=3 −2 , biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành .

Tiếp theo, áp dụng thuộc tính căn của số mũ, chuyển từ căn sang số mũ và sử dụng thuộc tính tỷ lệ của lũy thừa để chuyển đổi cơ số của logarit thành lũy thừa: .

Tính đến kết quả cuối cùng, chúng tôi có .

Câu trả lời:

một) , b).

Rõ ràng là trong trường hợp tổng quát, để có được lũy thừa dưới dấu của logarit và cơ số của nó, có thể cần nhiều phép biến đổi khác nhau của các biểu thức khác nhau. Hãy đưa ra một vài ví dụ.

Thí dụ.

Giá trị của biểu thức là: a) , b) .

Dung dịch.

Hơn nữa, chúng tôi lưu ý rằng biểu thức đã cho có dạng log A B p , trong đó A=2 , B=x+1 và p=4 . Chúng tôi đã biến đổi các biểu thức số loại này theo thuộc tính logarit của bậc log a b p \u003d p log a b, do đó, với một biểu thức đã cho, tôi cũng muốn làm như vậy và chuyển từ log 2 (x + 1) 4 đến 4 log 2 (x + 1) . Và bây giờ hãy tính giá trị của biểu thức ban đầu và biểu thức thu được sau phép biến đổi, chẳng hạn với x=−2 . Chúng ta có log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 và 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- diễn đạt vô nghĩa. Điều này đặt ra một câu hỏi chính đáng: “Chúng ta đã làm gì sai”?

Và lý do như sau: chúng ta đã thực hiện phép biến đổi log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , dựa trên công thức log a b p =p log a b , nhưng chúng ta chỉ có quyền áp dụng công thức này nếu các điều kiện a >0 , a≠1 , b>0 , p - bất kỳ số thực nào. Nghĩa là, phép biến đổi mà chúng ta đã thực hiện diễn ra nếu x+1>0 , cũng chính là x>−1 (đối với A và p, các điều kiện được đáp ứng). Tuy nhiên, trong trường hợp của chúng tôi, ODZ của biến x cho biểu thức ban đầu không chỉ bao gồm khoảng x> −1 , mà còn bao gồm cả khoảng x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Sự cần thiết phải tính đến ODZ

Hãy tiếp tục phân tích phép biến đổi của biểu thức log 2 (x+1) 4 mà chúng ta đã chọn, và bây giờ hãy xem điều gì xảy ra với ODZ khi chuyển sang biểu thức 4 log 2 (x+1) . Trong đoạn trước, chúng ta đã tìm thấy ODZ của biểu thức ban đầu - đây là tập hợp (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Bây giờ chúng ta hãy tìm vùng giá trị chấp nhận được của biến x cho biểu thức 4 log 2 (x+1) . Nó được xác định bởi điều kiện x+1>0 , tương ứng với tập hợp (−1, +∞) . Rõ ràng là khi đi từ log 2 (x+1) 4 đến 4·log 2 (x+1), phạm vi của các giá trị được chấp nhận sẽ thu hẹp lại. Và chúng tôi đã đồng ý tránh những cải cách dẫn đến thu hẹp ODZ, vì điều này có thể dẫn đến nhiều hậu quả tiêu cực.

Ở đây, điều đáng chú ý là bạn nên kiểm soát ODZ ở mỗi bước chuyển đổi và không cho phép nó thu hẹp. Và nếu đột nhiên ở một giai đoạn nào đó của quá trình chuyển đổi, ODZ bị thu hẹp, thì cần phải xem xét rất kỹ xem liệu việc chuyển đổi này có được phép hay không và liệu chúng tôi có quyền thực hiện nó hay không.

Công bằng mà nói, chúng tôi nói rằng trong thực tế, chúng tôi thường phải làm việc với các biểu thức trong đó ODZ của các biến sao cho nó cho phép chúng tôi sử dụng các thuộc tính của logarit mà không bị hạn chế ở dạng chúng tôi đã biết, cả từ trái sang phải và từ phải sang trái khi thực hiện các phép biến hình. Bạn nhanh chóng quen với điều này và bạn bắt đầu thực hiện các phép biến đổi một cách máy móc mà không cần suy nghĩ xem liệu có thể thực hiện được hay không. Và tại những thời điểm như vậy, nếu may mắn xảy ra, các ví dụ phức tạp hơn sẽ xuất hiện, trong đó việc áp dụng không chính xác các thuộc tính của logarit dẫn đến sai sót. Vì vậy, bạn cần phải luôn cảnh giác và đảm bảo rằng ODZ không bị thu hẹp.

Sẽ không hại gì khi làm nổi bật riêng các phép biến đổi chính dựa trên các thuộc tính của logarit, việc này phải được thực hiện rất cẩn thận, điều này có thể dẫn đến việc thu hẹp DPV và kết quả là dẫn đến sai sót:

Một số phép biến đổi biểu thức theo thuộc tính của logarit cũng có thể dẫn đến điều ngược lại - sự mở rộng của ODZ. Ví dụ: đi từ 4 log 2 (x+1) đến log 2 (x+1) 4 mở rộng ODZ từ tập hợp (−1, +∞) thành (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Những biến đổi như vậy diễn ra nếu bạn vẫn ở trong ODZ cho biểu thức ban đầu. Vì vậy phép biến đổi vừa đề cập 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 diễn ra trên biến ODZ x cho biểu thức ban đầu 4 log 2 (x+1) , tức là khi x+1> 0 , cũng giống như (−1, +∞) .

Bây giờ chúng ta đã thảo luận về các sắc thái mà bạn cần chú ý khi chuyển đổi biểu thức bằng các biến bằng cách sử dụng các thuộc tính của logarit, vẫn còn phải tìm ra cách thực hiện chính xác các chuyển đổi này.

X+2>0 . Nó có hoạt động trong trường hợp của chúng tôi không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy xem DPV của biến x. Nó được xác định bởi hệ bất phương trình , tương đương với điều kiện x+2>0 (nếu cần xem bài viết giải hệ bất phương trình). Do đó, chúng ta có thể áp dụng thuộc tính logarit của bậc một cách an toàn.

Chúng ta có
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Bạn có thể hành động khác đi, vì ODZ cho phép bạn làm điều này, chẳng hạn như thế này:

Câu trả lời:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Và phải làm gì khi các điều kiện liên quan đến thuộc tính của logarit không được đáp ứng trên ODZ? Chúng tôi sẽ đối phó với điều này với các ví dụ.

Chúng ta hãy đơn giản hóa biểu thức lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Việc chuyển đổi biểu thức này, không giống như biểu thức từ ví dụ trước, không cho phép sử dụng miễn phí thuộc tính logarit của bậc. Tại sao? ODZ của biến x trong trường hợp này là hợp của hai khoảng x>−2 và x<−2 . При x>−2 chúng ta có thể áp dụng tính chất logarit của bậc một cách an toàn và tiến hành như trong ví dụ trên: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Nhưng ODZ chứa một khoảng khác x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 và hơn nữa, do tính chất lũy thừa của lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Biểu thức kết quả có thể được biến đổi theo thuộc tính logarit của bậc, vì |x+2|>0 cho bất kỳ giá trị nào của biến. Chúng ta có nhật ký|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Bây giờ bạn có thể thoát khỏi mô-đun vì nó đã hoàn thành công việc của mình. Vì chúng ta đang biến đổi tại x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Hãy xem xét thêm một ví dụ để làm việc với các mô-đun quen thuộc. Hãy để chúng tôi hình dung từ biểu thức chuyển sang tổng và hiệu của logarit của các nhị thức tuyến tính x−1 , x−2 và x−3 . Đầu tiên chúng tôi tìm thấy ODZ:

Trên khoảng (3, +∞) giá trị của các biểu thức x−1 , x−2 và x−3 đều dương nên ta yên tâm áp dụng tính chất logarit của tổng và hiệu:

Và trên khoảng (1, 2), giá trị của biểu thức x−1 là dương và giá trị của biểu thức x−2 và x−3 là âm. Do đó, trên khoảng đang xét, chúng ta biểu diễn x−2 và x−3 bằng modulo là −|x−2| và −|x−3| tương ứng. trong đó

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng các tính chất của logarit của tích và thương, vì trên khoảng đã xét (1, 2) giá trị của các biểu thức x−1 , |x−2| và |x−3| - tích cực.

Chúng ta có

Các kết quả thu được có thể được kết hợp:

Nói chung, lý luận tương tự cho phép, dựa trên các công thức logarit của sản phẩm, tỷ lệ và mức độ, để có được ba kết quả hữu ích thực tế khá thuận tiện để sử dụng:

Lôgarit của tích của hai biểu thức tùy ý X và Y có dạng log a (X·Y) có thể được thay thế bằng tổng các lôgarit log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
Logarit loga đặc biệt a (X:Y) có thể được thay thế bằng hiệu của logarit a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X và Y là các biểu thức tùy ý.
Từ logarit của biểu thức B nào đó thành lũy thừa p chẵn có dạng log a B p, người ta có thể chuyển sang biểu thức p log a |B| , trong đó a>0 , a≠1 , p là số chẵn và B là biểu thức tùy ý.

Ví dụ, các kết quả tương tự cũng được đưa ra trong hướng dẫn giải phương trình mũ và logarit trong tuyển tập các bài toán dành cho thí sinh đăng ký vào các trường đại học, do M. I. Skanavi biên tập.

Thí dụ.

Đơn giản hóa biểu thức .

Dung dịch.

Sẽ rất tốt nếu áp dụng các tính chất của logarit về bậc, tổng và hiệu. Nhưng chúng ta có thể làm điều đó ở đây không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần biết ODZ.

Hãy xác định nó:

Một điều khá hiển nhiên là các biểu thức x+4 , x−2 và (x+4)13 trên khoảng giá trị khả dĩ của biến x có thể nhận cả giá trị dương và âm. Do đó, chúng tôi sẽ phải làm việc thông qua các mô-đun.

Thuộc tính mô-đun cho phép bạn viết lại thành , vì vậy

Ngoài ra, không có gì ngăn cản bạn sử dụng thuộc tính logarit của bậc và sau đó đưa ra các thuật ngữ như sau:

Một chuỗi biến đổi khác dẫn đến kết quả tương tự:

và do biểu thức x−2 có thể nhận cả giá trị dương và âm trên ODZ nên khi lấy số mũ chẵn 14