Rút gọn biểu thức với số mũ hữu tỉ. Biểu thức lũy thừa (biểu thức có lũy thừa) và phép biến đổi của chúng

Biểu thức a n (lũy thừa với số mũ nguyên) sẽ được xác định trong mọi trường hợp, ngoại trừ trường hợp khi a = 0 và n nhỏ hơn hoặc bằng 0.

tính chất bằng cấp

Các thuộc tính chính của độ với số mũ nguyên:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n \u003d a (m-n) (với một không bằng 0);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n * b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (đối với b không bằng 0);

a 0 = 1 (khi một không bằng 0);

Các thuộc tính này sẽ có giá trị đối với mọi số a, b và mọi số nguyên m và n. Nó cũng đáng chú ý thuộc tính sau:

Nếu m>n, thì a m > a n , với a>1 và a m

Có thể khái quát khái niệm bậc của một số cho các trường hợp các số hữu tỉ đóng vai trò là số mũ. Đồng thời, tôi muốn tất cả các thuộc tính trên được đáp ứng, hoặc ít nhất là một số trong số chúng.

Ví dụ: nếu thuộc tính (a m) n = a (m*n) được thực thi, đẳng thức sau sẽ đúng:

(a (m/n)) n = a m .

Đẳng thức này có nghĩa là số a (m/n) phải là căn bậc n của số a m .

Luỹ thừa của một số a (lớn hơn 0) với số mũ hữu tỉ r = (m/n), trong đó m là một số nguyên, n là một số tự nhiên lớn hơn một, được gọi là số n√(a m). Dựa vào định nghĩa: a (m/n) = n√(a m).

Với mọi r dương, lũy thừa của 0 sẽ được xác định. Theo định nghĩa, 0 r = 0. Ta cũng lưu ý rằng với mọi số nguyên, m và n tự nhiên bất kỳ và dương mộtđẳng thức sau là đúng: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Ví dụ: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (12/9) .

Định nghĩa của một bậc với số mũ hữu tỷ ngụ ý trực tiếp một thực tế là với bất kỳ a dương nào và bất kỳ r hữu tỷ nào, số a r sẽ là tích cực.

Tính chất cơ bản của cấp có số mũ hữu tỷ

Với mọi số hữu tỉ p, q và a>0 và b>0 bất kì, các đẳng thức sau là đúng:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b)p = (ap)/(bp).

Những thuộc tính này theo sau từ các thuộc tính của rễ. Tất cả các tính chất này được chứng minh theo cách tương tự, vì vậy chúng tôi hạn chế chỉ chứng minh một trong số chúng, ví dụ: tính chất đầu tiên (a p)*(a q) = a (p + q) .

Cho p = m/n và q = k/l, trong đó n, l là các số tự nhiên và m, k là các số nguyên. Sau đó, bạn cần phải chứng minh rằng:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Đầu tiên, chúng ta đưa các phân số m/n k/l về mẫu số chung. Ta có các phân số (m*l)/(n*l) và (k*n)/(n*l). Chúng tôi viết lại phía bên trái của phương trình bằng cách sử dụng các ký hiệu này và nhận được:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Bài học video "Bằng cấp với một chỉ số hợp lý" chứa tài liệu giáo dục trực quan để dạy một bài học về chủ đề này. Video hướng dẫn chứa thông tin về khái niệm bậc với số mũ hữu tỷ, các tính chất của bậc đó, cũng như các ví dụ mô tả việc sử dụng tài liệu giáo dục để giải quyết các vấn đề thực tế. Nhiệm vụ của bài học video này là trình bày tài liệu giáo dục một cách trực quan và rõ ràng, tạo điều kiện cho học sinh phát triển và ghi nhớ, hình thành khả năng giải quyết vấn đề bằng các khái niệm đã học.

Ưu điểm chính của bài học video là khả năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán trực quan, khả năng sử dụng hiệu ứng hoạt hình để nâng cao hiệu quả học tập. Nhạc đệm giúp phát triển lời nói toán học chính xác, đồng thời có thể thay thế lời giải thích của giáo viên, giải phóng trẻ cho công việc cá nhân.

Video hướng dẫn bắt đầu bằng cách giới thiệu chủ đề. Liên kết nghiên cứu về một chủ đề mới với tài liệu đã nghiên cứu trước đó, nên nhớ lại rằng n √a được ký hiệu bằng 1/n đối với n tự nhiên và a dương. Biểu diễn này của n-root được hiển thị trên màn hình. Hơn nữa, đề xuất xem xét ý nghĩa của biểu thức a m / n, trong đó a là một số dương và m / n là một số phân số. Định nghĩa của bậc được đánh dấu trong hộp được đưa ra với số mũ hữu tỷ là a m/n = n √ a m . Cần lưu ý rằng n có thể là một số tự nhiên và m - một số nguyên.

Sau khi xác định mức độ với số mũ hữu tỷ, ý nghĩa của nó được tiết lộ bằng các ví dụ: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Một ví dụ cũng được hiển thị trong đó một lũy thừa được biểu thị bằng số thập phân được chuyển đổi thành phân số chung để được biểu diễn dưới dạng căn: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 và một ví dụ với số mũ âm: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Một cách riêng biệt, một tính năng của một trường hợp cụ thể được chỉ định khi cơ sở của độ bằng không. Cần lưu ý rằng mức độ này chỉ có ý nghĩa với số mũ phân số dương. Trong trường hợp này, giá trị của nó bằng 0: 0 m/n = 0.

Một tính năng khác của mức độ với số mũ hữu tỷ được ghi nhận - đó là mức độ với số mũ phân số không thể được xem xét với số mũ phân số. Ví dụ về ký hiệu không chính xác của độ được đưa ra: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Hơn nữa trong bài học video, các thuộc tính của một mức độ với số mũ hợp lý được xem xét. Cần lưu ý rằng các thuộc tính của một mức độ với số mũ nguyên cũng sẽ có giá trị đối với một mức độ với số mũ hữu tỉ. Đề xuất gọi lại danh sách các thuộc tính cũng có giá trị trong trường hợp này:

Khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số, các chỉ số của chúng được cộng lại: a p a q \u003d a p + q.
Phép chia độ có cùng cơ số được rút gọn thành một độ với cơ số cho trước và sự khác biệt về số mũ: a p:a q =a p-q .
Nếu chúng ta nâng lũy thừa lên một lũy thừa nhất định, thì kết quả là chúng ta có được lũy thừa với cơ số đã cho và tích của các số mũ: (a p) q =a pq .

Tất cả các tính chất này đúng cho các lũy thừa với số mũ hữu tỉ p, q và cơ số dương a>0. Ngoài ra, các phép biến đổi độ vẫn đúng khi mở ngoặc đơn:

(ab) p =a p b p - nâng tích của hai số lên một luỹ thừa nhất định với một số mũ hữu tỉ được rút gọn thành tích của các số, mỗi số được nâng lên một luỹ thừa cho trước.
(a/b) p =a p /b p - lũy thừa với số mũ hữu tỷ của một phân số được rút gọn thành một phân số có tử số và mẫu số được nâng lên lũy thừa đã cho.

Hướng dẫn bằng video thảo luận về giải pháp của các ví dụ sử dụng các thuộc tính được xem xét của độ với số mũ hữu tỷ. Trong ví dụ đầu tiên, đề xuất tìm giá trị của một biểu thức chứa các biến x lũy thừa phân số: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Bất chấp sự phức tạp của biểu thức, sử dụng các thuộc tính của độ, nó được giải quyết khá đơn giản. Giải pháp của nhiệm vụ bắt đầu bằng việc đơn giản hóa biểu thức, trong đó sử dụng quy tắc nâng bậc với số mũ hữu tỷ thành lũy thừa, cũng như nhân các lũy thừa có cùng cơ số. Sau khi thay giá trị đã cho x=8 vào biểu thức rút gọn x 1/3 +48, ta dễ dàng nhận được giá trị - 50.

Trong ví dụ thứ hai, yêu cầu rút gọn một phân số có tử số và mẫu số chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Sử dụng các thuộc tính của mức độ, chúng tôi chọn thừa số x 1/3 từ hiệu, sau đó rút gọn ở tử số và mẫu số, đồng thời sử dụng công thức hiệu bình phương, tử số được phân tách thành các thừa số, giúp giảm nhiều hơn cho cùng thừa số ở tử số và mẫu số. Kết quả của các phép biến đổi như vậy là một phân số ngắn x 1/4 +3.

Có thể sử dụng video bài học “Bằng chỉ số hữu tỉ” thay cho việc giáo viên giải thích chủ đề mới của bài học. Ngoài ra, sách hướng dẫn này chứa đầy đủ thông tin để học sinh tự học. Tài liệu này có thể hữu ích trong việc học từ xa.

Một biểu thức có dạng a (m/n) , trong đó n là một số tự nhiên, m là một số nguyên và cơ số của bậc a lớn hơn 0, được gọi là một bậc với một số mũ phân số. Hơn nữa, đẳng thức sau là đúng. n√(a m) = a (m/n) .

Như chúng ta đã biết, các số có dạng m/n, trong đó n là một số tự nhiên và m là một số nguyên, được gọi là phân số hoặc số hữu tỉ. Từ những điều trên, chúng ta nhận được rằng bậc được xác định, đối với bất kỳ số mũ hữu tỉ nào và bất kỳ cơ số dương nào của bậc.

Với mọi số hữu tỉ p,q và a>0 và b>0 bất kì, các đẳng thức sau là đúng:

1. (ap)*(aq) = a (p+q)
2. (a p): (b q) = a (p-q)
3. (a p) q = a (p*q)
4. (a*b)p = (ap)*(bp)
5. (a/b)p = (ap)/(bp)

Các thuộc tính này được sử dụng rộng rãi khi chuyển đổi các biểu thức khác nhau có chứa độ với số mũ phân số.

Ví dụ về phép biến đổi biểu thức chứa bậc với số mũ phân số

Hãy xem xét một số ví dụ minh họa cách sử dụng các thuộc tính này để biến đổi biểu thức.

1. Tính 7 (1/4) * 7 (3/4) .

7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Tính 9 (2/3) : 9 (1/6) .

9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Tính (16 (1/3)) (9/4) .

(16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Tính 24 (2/3) .

24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Tính (27/8) (1/3) .

(8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Rút gọn biểu thức ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Tính (25 (1/5))*(125 (1/5)).

(25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Đơn giản hóa biểu thức

(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
= ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/((a (-1/3))*(1+a)) =
= 1 + a - (1-a) = 2*a.

Như bạn có thể thấy, bằng cách sử dụng các thuộc tính này, bạn có thể đơn giản hóa rất nhiều một số biểu thức chứa độ với số mũ phân số.

Bài #30 (Đại số và bước đầu giải tích, lớp 11)

Chủ đề bài học: Bằng với số mũ hữu tỷ.

Mục tiêu bài học: 1 . Mở rộng khái niệm về độ, đưa ra khái niệm về độ với chỉ số hữu tỉ; dạy cách dịch một bằng có chỉ số hợp lý về gốc và ngược lại; tính luỹ thừa với số mũ hữu tỉ.

2. Phát triển trí nhớ, tư duy.

3. Hình thành hoạt động.

"Hãy để ai đó cố gắng gạch bỏ

từ một mức độ toán học và anh ta sẽ thấy

Bạn sẽ không tiến xa được nếu không có chúng." M.V.Lômonosov

Trong các buổi học.

I. Truyền đạt chủ đề, mục đích của bài học.

II. Sự lặp lại và hợp nhất của tài liệu được bảo hiểm.

1. Phân tích các ví dụ về nhà chưa được giải quyết.

2. Kiểm soát công việc độc lập:

Lựa chọn 1.

1. Giải phương trình: √(2x - 1) = 3x - 12

2. Giải bất phương trình: √(3x - 2) ≥ 4 - x

Lựa chọn 2.

1. Giải phương trình: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)

2. Giải bất phương trình: √(3x + 1) ≥ x - 1

III. Học tài liệu mới.

1 . Nhắc lại phần mở rộng của khái niệm số: N є Z є Q є R.

Điều này được thể hiện tốt nhất như sơ đồ dưới đây:

Tự nhiên (N)

Số không

số không âm

số âm

số phân số

Số nguyên (Z)

Không hợp lý

Hợp Lý (Q)

Số thực

2. Ở các lớp dưới, khái niệm về bậc của một số với số mũ nguyên đã được xác định. a) Nhắc lại định nghĩa hoành độ a) với số tự nhiên, b) với số nguyên âm, c) với số mũ bằng không.Nhấn mạnh rằng biểu thức a N có nghĩa với mọi số nguyên n và mọi giá trị của a, ngoại trừ a=0 và n≤0.

b) Nêu các tính chất của độ với số mũ nguyên.

3 . công việc miệng.

một). Tính: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (7/3) -1 .

2). Viết dưới dạng số mũ âm:

1/4 5 ;21/1 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .

3).So sánh với đơn vị: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Bây giờ bạn cần hiểu ý nghĩa của các biểu thức 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 vân vân. Để làm điều này, cần phải khái quát hóa khái niệm về mức độ sao cho tất cả các thuộc tính được liệt kê của mức độ đều được đáp ứng. Xét đẳng thức (a m/n ) n = m . Sau đó, theo định nghĩa của căn thứ n, thật hợp lý khi giả định rằng a m/n sẽ là gốc thứ n của một tôi . Định nghĩa của bậc với một số mũ hữu tỷ được đưa ra.

5. Xét ví dụ 1 và 2 trong sách giáo khoa.

6. Hãy nêu một số nhận xét liên quan đến khái niệm hoành độ với số mũ hữu tỉ.

Ghi chú 1 : Với mọi a>0 và số hữu tỉ r thì số a r>0

Ghi chú 2 : Theo tính chất cơ bản của phân số, một số hữu tỉ m/n có thể viết dưới dạng mk/nk với mọi số tự nhiên k. sau đógiá trị của hoành độ không phụ thuộc vào dạng viết số hữu tỉ, vì a mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n

Lưu ý 3: Khi một Hãy giải thích điều này với một ví dụ. Cân nhắc (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Mặt khác: 1/3 = 2/6 và sau đó (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Ta có mâu thuẫn.