Bài học: Lượng giác. Lượng giác thực hiện đơn giản và rõ ràng Học lượng giác

Quay lại phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

1. Giới thiệu.

Đến gần trường, tôi nghe thấy giọng nói của các bạn trong phòng tập, tôi đi tiếp - họ hát, vẽ... cảm xúc và cảm xúc ở khắp mọi nơi. Văn phòng của tôi, bài học đại số, học sinh lớp mười. Đây là sách giáo khoa của chúng tôi, trong đó khóa học lượng giác chiếm một nửa khối lượng và có hai dấu trang trong đó - đây là nơi tôi tìm thấy những từ không liên quan đến lý thuyết lượng giác.

Trong số đó có những học sinh yêu thích toán học, cảm nhận được vẻ đẹp của nó và không hỏi vì sao phải học lượng giác, vận dụng kiến thức đã học vào đâu? Phần lớn là những người chỉ hoàn thành bài tập để không bị điểm kém. Và chúng tôi tin chắc rằng giá trị ứng dụng của toán học là thu thập đủ kiến thức để vượt qua kỳ thi Thống nhất và vào đại học (đăng ký và quên).

Mục tiêu chính của bài học đã trình bày là nêu giá trị ứng dụng của lượng giác trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người. Những ví dụ được đưa ra sẽ giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa phần toán này với các môn học khác được học ở trường. Nội dung bài học này là yếu tố rèn luyện nghiệp vụ cho sinh viên.

Kể điều gì đó mới về một sự thật dường như đã được biết đến từ lâu. Hiển thị mối liên hệ hợp lý giữa những gì chúng ta đã biết và những gì còn phải học. Hãy mở cửa ra một chút và nhìn xa hơn chương trình giảng dạy ở trường. Những nhiệm vụ bất thường, mối liên hệ với các sự kiện ngày nay - đây là những kỹ thuật mà tôi sử dụng để đạt được mục tiêu của mình. Xét cho cùng, toán học ở trường với tư cách là một môn học không đóng góp nhiều cho việc học mà vào sự phát triển của cá nhân, tư duy và văn hóa của anh ta.

2. Tóm tắt bài học đại số và nguyên lý giải tích (lớp 10).

Thời gian tổ chức: Xếp sáu bàn theo hình bán nguyệt (mẫu thước đo góc), bảng bài tập cho học sinh trên bàn (Phụ lục 1).

Thông báo chủ đề bài học: “Lượng giác đơn giản, rõ ràng”.

Trong quá trình đại số và giải tích cơ bản, chúng ta bắt đầu nghiên cứu lượng giác, tôi muốn nói về ý nghĩa ứng dụng của phần toán học này.

Luận văn bài học:

“Cuốn sách vĩ đại của tự nhiên chỉ có thể được đọc bởi những người biết ngôn ngữ viết ra nó, và ngôn ngữ đó là toán học.”
(G. Galileo).

Vào cuối bài học, chúng ta sẽ cùng nhau suy nghĩ xem liệu chúng ta có thể xem cuốn sách này và hiểu ngôn ngữ nó được viết hay không.

Lượng giác của một góc nhọn.

Lượng giác là một từ tiếng Hy Lạp và được dịch có nghĩa là “đo tam giác”. Sự xuất hiện của lượng giác gắn liền với các phép đo về trái đất, xây dựng và thiên văn học. Và lần đầu tiên bạn làm quen với nó là khi bạn cầm thước đo góc lên. Bạn có nhận thấy các bảng được định vị như thế nào không? Hãy suy nghĩ về điều đó: nếu chúng ta lấy một bảng làm hợp âm thì số đo của cung mà nó phụ thuộc là bao nhiêu?

Hãy nhớ số đo các góc: 1 ° = 1/360 một phần của hình tròn (“độ” - từ tiếng Latin grad - bước). Bạn có biết tại sao hình tròn được chia thành 360 phần, tại sao không chia thành 10, 100 hoặc 1000 phần, chẳng hạn như khi đo chiều dài? Tôi sẽ kể cho bạn nghe một trong những phiên bản.

Trước đây, người ta tin rằng Trái đất là trung tâm của Vũ trụ và nó bất động và Mặt trời thực hiện một vòng quay quanh Trái đất mỗi ngày, hệ địa tâm của thế giới, “địa” - Trái đất ( Hình số 1). Các linh mục người Babylon thực hiện các quan sát thiên văn đã phát hiện ra rằng vào ngày phân, Mặt trời, từ lúc mặt trời mọc đến lúc mặt trời lặn, mô tả một hình bán nguyệt trong vòm trời, trong đó đường kính (đường kính) nhìn thấy được của Mặt trời vừa đúng 180 lần, 1 ° - dấu vết của Mặt trời. ( Hình số 2).

Trong một thời gian dài, lượng giác có bản chất thuần túy là hình học. Trong phần bạn tiếp tục phần giới thiệu về lượng giác bằng cách giải các tam giác vuông. Các bạn biết rằng sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền, cosin là tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền, tiếp tuyến là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền và cotang là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối diện. Và hãy nhớ rằng trong một tam giác vuông có một góc cho trước thì tỉ số các cạnh không phụ thuộc vào kích thước của tam giác. Tìm hiểu các định lý sin và cosin để giải các tam giác tùy ý.

Năm 2010, tàu điện ngầm Moscow tròn 75 tuổi. Mỗi ngày chúng ta đi xuống tàu điện ngầm và không để ý rằng...

Nhiệm vụ số 1. Góc nghiêng của tất cả các thang cuốn trong tàu điện ngầm Moscow là 30 độ. Biết được điều này, số lượng đèn trên thang cuốn và khoảng cách gần đúng giữa các đèn, bạn có thể tính được độ sâu gần đúng của nhà ga. Có 15 đèn trên thang cuốn ở ga Đại lộ Tsvetnoy và 2 đèn ở ga Prazhskaya. Tính độ sâu của các trạm này nếu khoảng cách giữa các đèn, từ lối vào thang cuốn đến đèn đầu tiên và từ đèn cuối cùng đến lối ra thang cuốn, là 6 m ( Hình số 3). Đáp số: 48 m và 9 m

Bài tập về nhà. Ga sâu nhất của tàu điện ngầm Moscow là Công viên Chiến thắng. Độ sâu của nó là gì? Tôi khuyên bạn nên tự mình tìm những dữ liệu còn thiếu để giải quyết vấn đề bài tập về nhà của mình.

Tôi có một con trỏ laser trong tay, đây cũng là một công cụ tìm phạm vi. Ví dụ, hãy đo khoảng cách đến bảng.

Nhà thiết kế Trung Quốc Huân Qiaokun đoán rằng sẽ kết hợp hai máy đo khoảng cách laser và thước đo góc vào một thiết bị và thu được một công cụ cho phép bạn xác định khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng ( Hình số 4). Bạn nghĩ định lý nào giải quyết được vấn đề này? Hãy nhớ lại công thức của định lý cosine. Bạn có đồng ý với tôi rằng kiến thức của bạn đã đủ để tạo ra một phát minh như vậy không? Giải các bài toán hình học và thực hiện những khám phá nhỏ mỗi ngày!

Lượng giác cầu.

Ngoài hình học phẳng của Euclid (phép đo phẳng), có thể có các hình học khác trong đó các tính chất của hình được xem xét không phải trên một mặt phẳng, mà trên các bề mặt khác, chẳng hạn như trên bề mặt của một quả bóng ( Hình số 5). Nhà toán học đầu tiên đặt nền móng cho sự phát triển của hình học phi Euclid là N.I. Lobachevsky – “Copernicus của hình học”. Từ năm 1827 trong 19 năm, ông là hiệu trưởng của Đại học Kazan.

Lượng giác cầu, là một phần của hình học hình cầu, xem xét mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác trên một mặt cầu được hình thành bởi các cung của các đường tròn lớn trên một hình cầu ( Hình số 6).

Trong lịch sử, lượng giác cầu và hình học phát sinh từ nhu cầu của thiên văn học, trắc địa, điều hướng và bản đồ. Hãy nghĩ xem lĩnh vực nào trong số này đã nhận được sự phát triển nhanh chóng trong những năm gần đây đến mức kết quả của nó đã được sử dụng trong các thiết bị liên lạc hiện đại. ... Một ứng dụng điều hướng hiện đại là hệ thống định vị vệ tinh, cho phép bạn xác định vị trí và tốc độ của một vật thể từ tín hiệu từ máy thu của nó.

Hệ thống định vị toàn cầu (GPS). Để xác định vĩ độ và kinh độ của máy thu, cần thu tín hiệu từ ít nhất ba vệ tinh. Nhận tín hiệu từ vệ tinh thứ tư giúp xác định độ cao của vật thể so với bề mặt ( Hình số 7).

Máy tính nhận giải bốn phương trình với bốn ẩn số cho đến khi tìm được nghiệm vẽ tất cả các đường tròn đi qua một điểm ( Hình số 8).

Kiến thức về lượng giác góc cấp tính hóa ra không đủ để giải các bài toán thực tế phức tạp hơn. Khi nghiên cứu chuyển động quay, chuyển động tròn, giá trị của góc và cung tròn không bị giới hạn. Đã nảy sinh nhu cầu chuyển sang lượng giác của một lập luận tổng quát.

Lượng giác của một lập luận tổng quát.

Hình tròn ( Hình số 9). Góc dương được vẽ ngược chiều kim đồng hồ, góc âm được vẽ theo chiều kim đồng hồ. Bạn có quen thuộc với lịch sử của một thỏa thuận như vậy?

Như bạn đã biết, đồng hồ cơ và đồng hồ mặt trời được thiết kế sao cho kim của chúng quay “dọc theo mặt trời”, tức là. theo cùng hướng mà chúng ta thấy chuyển động biểu kiến của Mặt trời quanh Trái đất. (Nhớ mở đầu bài - Hệ địa tâm của thế giới). Nhưng với sự khám phá của Copernicus về chuyển động thực (dương) của Trái đất quanh Mặt trời, chuyển động của Mặt trời quanh Trái đất mà chúng ta nhìn thấy (tức là biểu kiến) là hư cấu (âm). Hệ nhật tâm của thế giới (helio - Sun) ( Hình số 10).

Ấm lên.

Mở rộng cánh tay phải của bạn về phía trước, song song với mặt bàn và thực hiện xoay vòng 720 độ.
Mở rộng cánh tay trái của bạn về phía trước, song song với mặt bàn và thực hiện xoay vòng tròn (–1080) độ.
Đặt tay lên vai và thực hiện 4 chuyển động tròn qua lại. Tổng các góc quay là bao nhiêu?

Năm 2010, Thế vận hội Olympic mùa đông được tổ chức tại Vancouver; chúng ta tìm hiểu các tiêu chí để chấm điểm bài tập của một vận động viên trượt băng được thực hiện bằng cách giải một bài toán.

Nhiệm vụ số 2. Nếu một vận động viên trượt băng thực hiện động tác xoay 10.800 độ trong khi thực hiện bài tập “đinh vít” trong 12 giây, thì anh ta sẽ nhận được đánh giá “xuất sắc”. Xác định xem vận động viên trượt băng sẽ thực hiện bao nhiêu vòng quay trong thời gian này và tốc độ quay của anh ta (vòng quay mỗi giây). Đáp án: 2,5 vòng/giây.

Bài tập về nhà. Vận động viên trượt băng sẽ quay ở góc nào, người nhận được đánh giá “không đạt yêu cầu”, nếu ở cùng thời gian quay tốc độ của anh ta là 2 vòng/giây.

Thước đo tiện lợi nhất của cung và góc liên quan đến chuyển động quay hóa ra là thước đo radian (bán kính), là đơn vị đo lớn hơn của góc hoặc cung ( Hình số 11). Biện pháp đo góc này đã đi vào khoa học thông qua các công trình đáng chú ý của Leonhard Euler. Sinh ra là người Thụy Sĩ, ông sống ở Nga trong 30 năm và là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Nhờ anh ấy mà chúng ta nợ cách giải thích “phân tích” của tất cả các lượng giác, anh ấy đã rút ra các công thức mà bạn đang nghiên cứu, đưa ra các dấu hiệu thống nhất: tội x,vì x, tg x,ctg x.

Nếu cho đến thế kỷ 17, học thuyết về hàm lượng giác được xây dựng trên cơ sở hình học thì bắt đầu từ thế kỷ 17, hàm lượng giác bắt đầu được áp dụng để giải các bài toán cơ học, quang học, điện học, mô tả các quá trình dao động và sóng. Lan truyền. Bất cứ ở đâu chúng ta phải giải quyết các quá trình và dao động tuần hoàn, các hàm lượng giác đều có ứng dụng. Các hàm biểu thị quy luật của các quá trình tuần hoàn có một thuộc tính đặc biệt chỉ có ở chúng: chúng lặp lại các giá trị của chúng trong cùng một khoảng thời gian thay đổi đối số. Những thay đổi trong bất kỳ chức năng nào đều được truyền tải rõ ràng nhất trên biểu đồ của nó ( Hình số 12).

Chúng tôi đã nhờ đến cơ thể của mình để được giúp đỡ khi giải quyết các vấn đề liên quan đến chuyển động quay. Hãy lắng nghe nhịp tim của chúng ta. Trái tim là một cơ quan độc lập. Bộ não kiểm soát bất kỳ cơ bắp nào của chúng ta ngoại trừ trái tim. Nó có trung tâm điều khiển riêng - nút xoang. Với mỗi cơn co bóp của tim, một dòng điện sẽ lan truyền khắp cơ thể - bắt đầu từ nút xoang (cỡ hạt kê). Nó có thể được ghi lại bằng điện tâm đồ. Anh ta vẽ điện tâm đồ (hình sin) ( Hình số 13).

Bây giờ hãy nói về âm nhạc. Toán học là âm nhạc, nó là sự kết hợp giữa trí tuệ và cái đẹp.
Âm nhạc là toán học trong tính toán, đại số trong trừu tượng, lượng giác trong vẻ đẹp. Dao động điều hòa (điều hòa) là dao động hình sin. Biểu đồ cho thấy áp suất không khí lên màng nhĩ của người nghe thay đổi như thế nào: lên xuống theo hình vòng cung, theo chu kỳ. Không khí ép lúc mạnh lúc yếu. Lực tác động rất nhỏ và rung động xảy ra rất nhanh: hàng trăm, hàng nghìn cú sốc mỗi giây. Chúng ta cảm nhận những rung động định kỳ như âm thanh. Việc bổ sung hai sóng hài khác nhau sẽ tạo ra rung động có hình dạng phức tạp hơn. Tổng của ba sóng hài thậm chí còn phức tạp hơn, âm thanh và âm thanh tự nhiên của nhạc cụ được tạo thành từ một số lượng lớn các sóng hài. ( Hình số 14.)

Mỗi sóng hài được đặc trưng bởi ba tham số: biên độ, tần số và pha. Tần số dao động cho biết có bao nhiêu cú sốc áp suất không khí xảy ra trong một giây. Tần số cao được coi là âm thanh “cao”, “mỏng”. Trên 10 KHz – rít, huýt sáo. Các tần số nhỏ được coi là âm thanh “thấp”, “âm trầm”, tiếng ầm ầm. Biên độ là phạm vi dao động. Phạm vi càng lớn thì tác động lên màng nhĩ càng lớn và âm thanh chúng ta nghe được càng to ( Hình số 15). Pha là độ dịch chuyển của dao động theo thời gian. Pha có thể được đo bằng độ hoặc radian. Tùy thuộc vào pha, điểm 0 trên đồ thị sẽ dịch chuyển. Để đặt sóng hài, chỉ cần chỉ định pha từ –180 đến +180 độ là đủ, vì ở các giá trị lớn, dao động được lặp lại. Hai tín hiệu hình sin có cùng biên độ và tần số nhưng khác pha được cộng đại số ( Hình số 16).

Tom tăt bai học. Bạn có nghĩ rằng chúng ta có thể đọc được một vài trang trong Cuốn sách vĩ đại về tự nhiên không? Sau khi tìm hiểu về ý nghĩa ứng dụng của lượng giác, vai trò của nó trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người có trở nên rõ ràng hơn với bạn không, bạn có hiểu tài liệu được trình bày không? Sau đó ghi nhớ và liệt kê các lĩnh vực ứng dụng của lượng giác mà hôm nay bạn đã gặp hoặc đã biết. Tôi hy vọng rằng mỗi bạn sẽ tìm thấy điều gì đó mới mẻ và thú vị trong bài học hôm nay. Có lẽ điều mới mẻ này sẽ cho bạn biết cách lựa chọn nghề nghiệp trong tương lai, nhưng dù bạn trở thành ai, việc học toán sẽ giúp bạn trở thành một người có chuyên môn và phát triển trí tuệ.

Bài tập về nhà. Đọc tóm tắt bài học (

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ ở Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

- -
Thông thường, khi họ muốn hù dọa ai đó bằng TOÁN HỌC ĐÁNG GIÁ, họ lấy đủ loại sin và cos làm ví dụ, như một thứ gì đó rất phức tạp và kinh tởm. Nhưng trên thực tế, đây là một phần hay và thú vị có thể hiểu và giải được.
Chủ đề bắt đầu từ lớp 9 và mọi thứ không phải lúc nào cũng rõ ràng ngay lần đầu tiên, có rất nhiều sự tinh tế và thủ thuật. Tôi đã cố gắng nói điều gì đó về chủ đề này.

Giới thiệu về thế giới lượng giác:
Trước khi lao đầu vào các công thức, bạn cần hiểu sin, cosin, v.v. từ hình học.
Sin của góc- tỷ lệ của cạnh đối diện (góc) với cạnh huyền.
Cô sin- tỷ lệ liền kề với cạnh huyền.
Đường tiếp tuyến- cạnh đối diện với cạnh kề
cotang- liền kề đối diện.

Bây giờ hãy xem xét một vòng tròn có bán kính đơn vị trên mặt phẳng tọa độ và đánh dấu một số góc alpha trên đó: (ít nhất là một số hình ảnh có thể nhấp được)
-
-
Các đường mảnh màu đỏ là đường vuông góc từ giao điểm của đường tròn và góc vuông trên trục ox và oy. X và y màu đỏ là giá trị của tọa độ x và y trên các trục (x và y màu xám chỉ để biểu thị rằng đây là các trục tọa độ chứ không chỉ là các đường).
Cần lưu ý rằng các góc được tính từ hướng dương của trục ox ngược chiều kim đồng hồ.
Hãy tìm sin, cos, v.v. của nó.
sin a: cạnh đối diện bằng y, cạnh huyền bằng 1.
tội lỗi a = y / 1 = y
Để làm rõ hoàn toàn việc tôi lấy y và 1 từ đâu, để rõ ràng, hãy sắp xếp các chữ cái và nhìn vào các hình tam giác.
- -
AF = AE = 1 - bán kính đường tròn.
Do đó AB = 1 là bán kính. AB - cạnh huyền.
BD = CA = y - là giá trị của oh.
AD = CB = x - là giá trị theo oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Tiếp theo là cosin:
cos a: cạnh kề - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Chúng tôi cũng xuất ra tiếp tuyến và côtang.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Đột nhiên chúng ta đã rút ra được công thức tiếp tuyến và côtang.

Chà, chúng ta hãy xem xét cụ thể cách giải quyết vấn đề này.
Ví dụ: a = 45 độ.
Chúng ta có được một tam giác vuông có một góc 45 độ. Một số người có thể hiểu ngay rằng đây là một tam giác đều, nhưng tôi vẫn sẽ mô tả nó.
Tìm góc thứ ba của tam giác (góc thứ nhất là 90, góc thứ hai là 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Nếu hai góc bằng nhau thì các cạnh của chúng bằng nhau, nghe giống như vậy.
Vì vậy, hóa ra nếu cộng hai hình tam giác như vậy chồng lên nhau, chúng ta sẽ có một hình vuông có đường chéo bằng bán kính = 1. Theo định lý Pythagore, chúng ta biết rằng đường chéo của hình vuông có cạnh a bằng một gốc của hai.
Bây giờ chúng tôi nghĩ. Nếu 1 (cạnh huyền hay còn gọi là đường chéo) bằng cạnh hình vuông nhân căn bậc hai, thì cạnh hình vuông sẽ bằng 1/sqrt(2) và nếu chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số này bằng căn bậc hai, chúng ta nhận được sqrt(2)/2 . Và vì tam giác cân nên AD = AC => x = y
Tìm các hàm lượng giác:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Bạn cần làm việc với các giá trị góc còn lại theo cách tương tự. Chỉ có các hình tam giác là không cân, nhưng các cạnh có thể được tìm thấy dễ dàng bằng cách sử dụng định lý Pythagore.
Bằng cách này, chúng ta có được một bảng giá trị của các hàm lượng giác từ các góc độ khác nhau:
-
-
Hơn nữa, cái bàn này còn gian lận và rất tiện lợi.
Cách tự soạn nó mà không gặp bất kỳ rắc rối nào: Hãy vẽ một bảng như thế này và viết các số 1 2 3 vào các ô.
-
-
Bây giờ từ 1 2 3 này bạn lấy căn và chia cho 2. Thì ra như thế này:
-
-
Bây giờ chúng ta gạch bỏ sin và viết cosin. Giá trị của nó là hình sin được nhân đôi:
-
-
Tiếp tuyến cũng dễ dàng suy ra - bạn cần chia giá trị của đường sin cho giá trị của đường cosin:
-
-
Giá trị cotang là giá trị nghịch đảo của tiếp tuyến. Kết quả là chúng ta nhận được một cái gì đó như thế này:
- -

ghi chú chẳng hạn, tiếp tuyến đó không tồn tại trong P/2. Hãy suy nghĩ về lý do tại sao. (Bạn không thể chia cho số 0.)

Điều bạn cần nhớ ở đây: sin là giá trị y, cosine là giá trị x. Tiếp tuyến là tỷ số của y và x, và cotang thì ngược lại. Vì vậy, để xác định các giá trị của sin/cos, chỉ cần vẽ bảng mà tôi đã mô tả ở trên và một đường tròn có các trục tọa độ là đủ (rất thuận tiện khi nhìn các giá trị ở các góc 0, 90, 180, 360).
- -

Vâng, tôi hy vọng rằng bạn có thể phân biệt khu phố:
- -
Dấu của sin, cosin, v.v. của nó phụ thuộc vào góc đó nằm ở phần tư nào. Mặc dù vậy, tư duy logic hoàn toàn nguyên thủy sẽ dẫn bạn đến câu trả lời đúng nếu bạn tính đến điều đó trong quý thứ hai và thứ ba x là âm, và y âm trong quý thứ ba và thứ tư. Không có gì đáng sợ hay đáng sợ.

Tôi nghĩ sẽ không sai nếu đề cập đến công thức khử ala ma, như mọi người đều nghe, có một chút sự thật. Không có công thức nào như vậy vì chúng không cần thiết. Ý nghĩa thực sự của toàn bộ hành động này: Chúng ta dễ dàng tìm thấy các giá trị góc chỉ trong phần tư đầu tiên (30 độ, 45, 60). Hàm lượng giác có tính tuần hoàn nên chúng ta có thể kéo bất kỳ góc lớn nào vào phần tư thứ nhất. Khi đó chúng ta sẽ thấy ngay ý nghĩa của nó. Nhưng chỉ kéo thôi là chưa đủ - bạn cần nhớ về biển báo. Đây chính là mục đích của các công thức rút gọn.
Vì vậy, chúng ta có một góc lớn, hay đúng hơn là hơn 90 độ: a = 120. Và chúng ta cần tìm sin và cos của nó. Để làm điều này, chúng ta sẽ phân tách 120 thành các góc sau mà chúng ta có thể làm việc với:
tội lỗi a = tội lỗi 120 = tội lỗi (90 + 30)
Ta thấy góc này nằm trong phần tư thứ hai, sin ở đó dương nên dấu + ở phía trước sin được giữ nguyên.
Để loại bỏ 90 độ, chúng ta đổi sin thành cosin. Vâng, đây là một quy tắc bạn cần nhớ:
sin(90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Hoặc bạn có thể tưởng tượng theo cách khác:
tội lỗi 120 = tội lỗi (180 - 60)
Để loại bỏ 180 độ, chúng tôi không thay đổi chức năng.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Chúng tôi có cùng giá trị, vì vậy mọi thứ đều chính xác. Bây giờ là cosin:
cos 120 = cos(90 + 30)
Cosine trong quý thứ hai là âm nên chúng ta đặt dấu trừ. Và chúng ta thay đổi hàm này thành hàm ngược lại, vì chúng ta cần loại bỏ 90 độ.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Hoặc:
cos 120 = cos(180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Những điều bạn cần biết, có thể làm và làm được để chuyển góc sang quý I:
- phân hủy góc thành các thuật ngữ dễ tiêu hóa;
- tính đến góc nằm trong một phần tư và đặt dấu thích hợp nếu hàm số trong phần tư này là âm hoặc dương;
- Loại bỏ những thứ không cần thiết:
*nếu bạn cần loại bỏ 90, 270, 450 và 90+180n còn lại, trong đó n là số nguyên bất kỳ, thì hàm sẽ bị đảo ngược (sin thành cosin, tiếp tuyến với cotang và ngược lại);
*nếu bạn cần loại bỏ 180 và 180+180n còn lại, trong đó n là số nguyên bất kỳ, thì hàm không thay đổi. (Ở đây có một đặc điểm nhưng khó diễn tả bằng lời nhưng ồ thôi).
Đó là tất cả. Tôi không nghĩ việc ghi nhớ các công thức là cần thiết khi bạn có thể nhớ một vài quy tắc và sử dụng chúng một cách dễ dàng. Nhân tiện, những công thức này rất dễ chứng minh:
-
-
Và họ còn biên soạn những bảng biểu rườm rà thì ta mới biết:
-
-

Các phương trình lượng giác cơ bản: bạn cần phải biết chúng rất, rất rõ, bằng trái tim.
Nhận dạng lượng giác cơ bản(bình đẳng):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Nếu bạn không tin, tốt hơn hết bạn nên tự mình kiểm tra và tự mình xem xét. Thay thế các giá trị của các góc khác nhau.
Công thức này rất hữu ích, các bạn nhớ nhé. sử dụng nó bạn có thể biểu diễn sin thông qua cosin và ngược lại, điều này đôi khi rất hữu ích. Tuy nhiên, giống như bất kỳ công thức nào khác, bạn cần biết cách xử lý nó. Luôn nhớ rằng dấu của hàm lượng giác phụ thuộc vào góc phần tư chứa góc đó. Đó là lý do tại sao khi bung root bạn cần biết tứ quý.

Tiếp tuyến và côtang: Chúng tôi đã rút ra những công thức này ngay từ đầu.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Tích của tiếp tuyến và côtang:
tg a * ctg a = 1
Bởi vì:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - phân số bị hủy.

Như bạn có thể thấy, tất cả các công thức đều là một trò chơi và một sự kết hợp.
Đây là hai kết quả nữa, thu được từ việc chia cho bình phương cosine và sin bình phương của công thức đầu tiên:
-
-
Xin lưu ý rằng hai công thức cuối cùng có thể được sử dụng với giới hạn về giá trị của góc a, vì bạn không thể chia cho 0.

Công thức cộng:được chứng minh bằng đại số vectơ.
- -
Hiếm khi được sử dụng, nhưng chính xác. Có các công thức trong quá trình quét nhưng chúng có thể không đọc được hoặc ở dạng kỹ thuật số dễ nhận biết hơn:
- -

Công thức góc đôi:
Chúng có được dựa trên các công thức cộng, ví dụ: cosin của một góc kép là cos 2a = cos (a + a) - nó có nhắc nhở bạn điều gì không? Họ chỉ thay thế cá betta bằng cá alpha.
- -
Hai công thức tiếp theo được suy ra từ phép thay thế thứ nhất sin^2(a) = 1 - cos^2(a) và cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sin của một góc đôi đơn giản hơn và được sử dụng thường xuyên hơn:
- -
Và những kẻ biến thái đặc biệt có thể suy ra tiếp tuyến và cotang của một góc đôi, cho rằng tan a = sin a / cos a, v.v.
-
-

Đối với những người nêu trên Công thức ba góc: chúng có được bằng cách cộng các góc 2a và a, vì chúng ta đã biết công thức tính hai góc.
-
-

Công thức nửa góc:
- -
Tôi không biết chúng có nguồn gốc như thế nào, hay chính xác hơn là giải thích thế nào... Nếu chúng ta viết ra những công thức này, thay thế đồng nhất thức lượng giác chính bằng a/2 thì câu trả lời sẽ hội tụ.

Công thức cộng, trừ hàm lượng giác:
-
-
Chúng thu được từ các công thức cộng, nhưng không ai quan tâm. Chúng không xảy ra thường xuyên.

Như bạn hiểu, vẫn còn rất nhiều công thức, việc liệt kê đơn giản là vô nghĩa, bởi vì tôi sẽ không thể viết gì đó đầy đủ về chúng và các công thức khô khan có thể tìm thấy ở bất cứ đâu và chúng là một trò chơi với các công thức hiện có trước đó. Mọi thứ đều cực kỳ logic và chính xác. Tôi sẽ chỉ nói với bạn lần cuối về phương pháp góc phụ:
Chuyển đổi biểu thức a cosx + b sinx sang dạng Acos(x+) hoặc Asin(x+) được gọi là phương pháp đưa ra một góc phụ (hoặc một đối số bổ sung). Phương pháp này được sử dụng khi giải phương trình lượng giác, khi ước lượng giá trị của hàm số, trong các bài toán cực trị và điều quan trọng cần lưu ý là một số bài toán không thể giải được nếu không đưa vào góc phụ.
Cho dù bạn có cố gắng giải thích phương pháp này như thế nào đi chăng nữa thì cũng không có kết quả gì, vì vậy bạn sẽ phải tự mình thực hiện:
-
-
Một điều đáng sợ, nhưng hữu ích. Nếu bạn giải quyết được vấn đề, nó sẽ giải quyết được.
Từ đây, ví dụ: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Tiếp theo trong khóa học là đồ thị của hàm lượng giác. Nhưng thế là đủ cho một bài học. Xem xét rằng ở trường họ dạy điều này trong sáu tháng.

Viết câu hỏi của bạn, giải quyết vấn đề, yêu cầu quét một số nhiệm vụ, tìm ra và thử.
Luôn là của bạn, Dan Faraday.

Sin, cos, tang - khi phát âm những từ này trước mặt học sinh trung học, bạn có thể chắc chắn rằng 2/3 trong số họ sẽ mất hứng thú khi trò chuyện tiếp. Lý do nằm ở chỗ những kiến thức cơ bản về lượng giác ở trường được dạy hoàn toàn tách biệt với thực tế, do đó học sinh không thấy được mục đích của việc nghiên cứu các công thức và định lý.

Trên thực tế, khi xem xét kỹ hơn, lĩnh vực kiến thức này hóa ra rất thú vị và có tính ứng dụng - lượng giác được sử dụng trong thiên văn học, xây dựng, vật lý, âm nhạc và nhiều lĩnh vực khác.

Chúng ta hãy làm quen với các khái niệm cơ bản và nêu một số lý do để nghiên cứu ngành khoa học toán học này.

Câu chuyện

Không rõ vào thời điểm nào loài người bắt đầu tạo ra lượng giác trong tương lai từ đầu. Tuy nhiên, có tài liệu cho rằng ngay từ thiên niên kỷ thứ hai trước Công nguyên, người Ai Cập đã quen thuộc với những kiến thức cơ bản của khoa học này: các nhà khảo cổ đã tìm thấy một tờ giấy cói với nhiệm vụ là tìm góc nghiêng của kim tự tháp ở hai mặt đã biết.

Các nhà khoa học của Babylon cổ đại đã đạt được những thành công nghiêm túc hơn. Qua nhiều thế kỷ, nghiên cứu thiên văn học, họ đã nắm vững một số định lý, giới thiệu các phương pháp đặc biệt để đo góc mà ngày nay chúng ta sử dụng: độ, phút và giây đã được khoa học châu Âu mượn trong văn hóa Hy Lạp-La Mã, trong đó những đơn vị này đến từ người Babylon.

Người ta cho rằng định lý Pythagore nổi tiếng, liên quan đến những điều cơ bản của lượng giác, đã được người Babylon biết đến gần bốn nghìn năm trước.

Tên

Theo nghĩa đen, thuật ngữ “lượng giác” có thể được dịch là “đo tam giác”. Đối tượng nghiên cứu chính trong phần khoa học này trong nhiều thế kỷ là tam giác vuông, hay chính xác hơn là mối quan hệ giữa độ lớn của các góc và độ dài các cạnh của nó (ngày nay, việc nghiên cứu lượng giác từ đầu bắt đầu từ phần này) . Trong cuộc sống thường có những tình huống khi thực tế không thể đo được tất cả các tham số cần thiết của một đối tượng (hoặc khoảng cách đến đối tượng), và khi đó cần phải lấy dữ liệu còn thiếu thông qua tính toán.

Ví dụ, trước đây, con người không thể đo khoảng cách đến các vật thể trong không gian, nhưng những nỗ lực tính toán những khoảng cách này đã diễn ra từ rất lâu trước khi kỷ nguyên của chúng ta ra đời. Lượng giác cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc điều hướng: với một số kiến thức, thuyền trưởng luôn có thể định hướng bằng các vì sao vào ban đêm và điều chỉnh hướng đi.

Các khái niệm cơ bản

Nắm vững lượng giác từ đầu đòi hỏi phải hiểu và ghi nhớ một số thuật ngữ cơ bản.

Sin của một góc nhất định là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền. Hãy để chúng tôi làm rõ rằng chân đối diện là cạnh nằm đối diện với góc mà chúng tôi đang xem xét. Do đó, nếu một góc bằng 30 độ thì sin của góc này sẽ luôn bằng ½ đối với bất kỳ kích thước nào của tam giác. Cosin của một góc là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.

Tiếp tuyến là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh liền kề (hoặc, tương tự, tỷ số giữa sin và cos). Cotang là đơn vị chia cho tiếp tuyến.

Điều đáng nói là số nổi tiếng Pi (3,14...), có chiều dài bằng nửa hình tròn có bán kính một đơn vị.

Những sai lầm phổ biến

Những người học lượng giác từ đầu mắc một số lỗi - chủ yếu là do không chú ý.

Đầu tiên, khi giải các bài toán hình học, bạn phải nhớ rằng việc sử dụng hàm sin và cosin chỉ có thể thực hiện được trong một tam giác vuông. Chuyện xảy ra là một học sinh “tự động” lấy cạnh dài nhất của tam giác làm cạnh huyền và nhận được kết quả tính toán không chính xác.

Thứ hai, lúc đầu rất dễ nhầm lẫn các giá trị của sin và cos cho góc đã chọn: hãy nhớ rằng sin 30 độ bằng số với cosin 60 và ngược lại. Nếu bạn thay thế một số không chính xác, tất cả các phép tính tiếp theo sẽ không chính xác.

Thứ ba, cho đến khi bài toán được giải quyết hoàn toàn, bạn không nên làm tròn bất kỳ giá trị nào, trích rút căn hoặc viết phân số chung dưới dạng số thập phân. Thông thường, học sinh cố gắng đạt được một số “đẹp” trong một bài toán lượng giác và ngay lập tức rút ra căn bậc ba, mặc dù sau đúng một hành động, căn số này có thể bị giảm đi.

Từ nguyên của từ "sine"

Lịch sử của từ “sine” thực sự rất khác thường. Thực tế là bản dịch theo nghĩa đen của từ này từ tiếng Latin có nghĩa là "rỗng". Điều này là do sự hiểu biết chính xác về từ này đã bị mất đi trong quá trình dịch từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác.

Tên của các hàm lượng giác cơ bản bắt nguồn từ Ấn Độ, nơi khái niệm sin được biểu thị bằng từ “chuỗi” trong tiếng Phạn - thực tế là đoạn đó, cùng với cung của vòng tròn mà nó nằm trên đó, trông giống như một cánh cung . Trong thời kỳ hoàng kim của nền văn minh Ả Rập, những thành tựu của Ấn Độ trong lĩnh vực lượng giác đã được mượn và thuật ngữ này được chuyển sang tiếng Ả Rập dưới dạng phiên âm. Điều đó đã xảy ra là ngôn ngữ này đã có một từ tương tự biểu thị trầm cảm, và nếu người Ả Rập hiểu sự khác biệt về ngữ âm giữa từ bản địa và từ mượn, thì người châu Âu, dịch các chuyên luận khoa học sang tiếng Latinh, đã dịch nhầm nghĩa đen của từ tiếng Ả Rập, không có gì liên quan đến khái niệm sin . Chúng tôi vẫn sử dụng nó cho đến ngày nay.

Bảng giá trị

Có các bảng chứa các giá trị số của sin, cosin và tiếp tuyến của mọi góc có thể. Dưới đây chúng tôi trình bày dữ liệu về các góc 0, 30, 45, 60 và 90 độ, những dữ liệu này phải được học như một phần lượng giác bắt buộc đối với “người giả”; may mắn thay, chúng khá dễ nhớ.

Nếu tình cờ giá trị số của sin hoặc cosin của một góc “vượt ra khỏi đầu bạn”, thì có một cách để bạn tự rút ra nó.

Biểu diễn hình học

Hãy vẽ một đường tròn và vẽ trục hoành và trục tọa độ đi qua tâm của nó. Trục hoành là trục nằm ngang, trục tọa độ là trục thẳng đứng. Chúng thường được ký hiệu lần lượt là "X" và "Y". Bây giờ chúng ta sẽ vẽ một đường thẳng từ tâm vòng tròn sao cho có được góc chúng ta cần giữa nó và trục X. Cuối cùng, từ điểm mà đường thẳng cắt đường tròn, chúng ta thả một hình vuông góc với trục X. Độ dài của đoạn thu được sẽ bằng giá trị số của sin của góc của chúng ta.

Phương pháp này rất phù hợp nếu bạn quên giá trị bắt buộc, chẳng hạn như trong một kỳ thi và bạn không có sẵn sách giáo khoa lượng giác. Bạn sẽ không nhận được con số chính xác theo cách này, nhưng chắc chắn bạn sẽ thấy sự khác biệt giữa ½ và 1,73/2 (sin và cosin của một góc 30 độ).

Ứng dụng

Một số chuyên gia đầu tiên sử dụng lượng giác là những thủy thủ không có điểm tham chiếu nào khác trên biển khơi ngoại trừ bầu trời phía trên đầu họ. Ngày nay, thuyền trưởng của các con tàu (máy bay và các phương thức vận tải khác) không tìm kiếm con đường ngắn nhất bằng cách sử dụng các ngôi sao mà chủ động sử dụng định vị GPS, điều này sẽ không thể thực hiện được nếu không sử dụng lượng giác.

Trong hầu hết mọi phần của vật lý, bạn sẽ tìm thấy các phép tính sử dụng sin và cosin: có thể là ứng dụng lực trong cơ học, tính toán đường đi của các vật thể trong động học, dao động, truyền sóng, khúc xạ ánh sáng - đơn giản là bạn không thể làm được nếu không có lượng giác cơ bản trong các công thức.

Một nghề khác không thể tưởng tượng được nếu không có lượng giác là trắc địa. Sử dụng máy kinh vĩ và thước đo hoặc một thiết bị phức tạp hơn - máy đo tốc độ, những người này đo lường sự chênh lệch độ cao giữa các điểm khác nhau trên bề mặt trái đất.

Độ lặp lại

Lượng giác không chỉ xử lý các góc và cạnh của một tam giác, mặc dù đây là nơi nó bắt đầu tồn tại. Trong tất cả các lĩnh vực có tính tuần hoàn (sinh học, y học, vật lý, âm nhạc, v.v.), bạn sẽ gặp một biểu đồ có tên có lẽ quen thuộc với bạn - đây là sóng hình sin.

Đồ thị như vậy là một vòng tròn trải dài dọc theo trục thời gian và trông giống như một làn sóng. Nếu bạn đã từng làm việc với máy hiện sóng trong lớp vật lý thì bạn sẽ biết chúng ta đang nói về điều gì. Cả bộ cân bằng âm nhạc và máy đo nhịp tim đều sử dụng công thức lượng giác trong công việc của chúng.

Cuối cùng

Khi nghĩ về cách học lượng giác, hầu hết học sinh cấp 2 và cấp 3 bắt đầu coi đây là một môn khoa học khó và không thực tế, vì các em chỉ làm quen với những thông tin nhàm chán trong sách giáo khoa.

Về tính không thực tế, chúng ta đã thấy rằng, ở mức độ này hay mức độ khác, khả năng xử lý các đường sin và tiếp tuyến là cần thiết trong hầu hết mọi lĩnh vực hoạt động. Về độ phức tạp... Hãy nghĩ xem: nếu mọi người sử dụng kiến thức này hơn hai nghìn năm trước, khi một người trưởng thành có ít kiến thức hơn học sinh trung học ngày nay, thì việc nghiên cứu lĩnh vực khoa học này ở mức cơ bản có thực tế không? Một vài giờ thực hành suy nghĩ kỹ để giải quyết vấn đề - và bạn sẽ đạt được mục tiêu của mình bằng cách nghiên cứu khóa học cơ bản, cái gọi là lượng giác dành cho người giả.

Trở lại năm 1905, độc giả Nga có thể đọc trong cuốn sách “Tâm lý học” của William James lý luận của ông về việc “tại sao học vẹt lại là một cách học tệ đến vậy?”

“Kiến thức có được thông qua việc học thuộc lòng đơn giản gần như chắc chắn bị lãng quên hoàn toàn không để lại dấu vết. Ngược lại, vật chất tinh thần, được trí nhớ tiếp thu dần dần, ngày này qua ngày khác, trong mối liên hệ với nhiều bối cảnh khác nhau, gắn liền với các sự kiện bên ngoài khác và được thảo luận nhiều lần, tạo thành một hệ thống như vậy, có mối liên hệ như vậy với các khía cạnh khác của cuộc sống chúng ta. trí tuệ, có thể dễ dàng được phục hồi trong trí nhớ bởi vô số sự kiện bên ngoài, điều này vẫn là một sự tiếp thu lâu dài trong một thời gian dài.”

Hơn 100 năm đã trôi qua kể từ đó, và những lời này vẫn còn mang tính thời sự một cách đáng kinh ngạc. Bạn bị thuyết phục về điều này mỗi ngày khi làm việc với học sinh. Khoảng cách kiến thức lớn đến mức có thể lập luận: khóa học toán ở trường theo thuật ngữ mô phạm và tâm lý học không phải là một hệ thống, mà là một loại thiết bị khuyến khích trí nhớ ngắn hạn và hoàn toàn không quan tâm đến trí nhớ dài hạn. .

Biết khóa học toán ở trường có nghĩa là nắm vững tài liệu của từng lĩnh vực toán học và có thể cập nhật bất kỳ lĩnh vực nào trong số đó bất kỳ lúc nào. Để đạt được điều này, bạn cần liên hệ với từng người một cách có hệ thống, điều này đôi khi không phải lúc nào cũng thực hiện được do khối lượng bài học quá nặng.

Có một cách khác để ghi nhớ lâu dài các sự kiện và công thức - đây là những tín hiệu tham khảo.

Lượng giác là một trong những môn học lớn của môn toán phổ thông, được học trong chương trình hình học lớp 8, 9 và trong chương trình đại số lớp 9, đại số và giải tích tiểu học lớp 10.

Khối lượng tài liệu lớn nhất được học về lượng giác rơi vào lớp 10. Hầu hết các tài liệu lượng giác này có thể được học và ghi nhớ trên vòng tròn lượng giác(một đường tròn có bán kính đơn vị có tâm ở gốc hệ tọa độ hình chữ nhật). Phụ lục1.ppt

Đây là những khái niệm lượng giác sau:

định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc;
đo góc radian;
miền định nghĩa và phạm vi giá trị của hàm lượng giác
giá trị của hàm lượng giác đối với một số giá trị của đối số số và góc;
tính tuần hoàn của hàm lượng giác;
tính chẵn và lẻ của hàm lượng giác;
tăng giảm các hàm lượng giác;
công thức khử;
giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo;
giải các phương trình lượng giác đơn giản;
giải các bất đẳng thức đơn giản;
các công thức lượng giác cơ bản.

Chúng ta hãy xem xét việc nghiên cứu các khái niệm này trên vòng tròn lượng giác.

1) Định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang.

Sau khi giới thiệu khái niệm đường tròn lượng giác (đường tròn có bán kính đơn vị có tâm ở gốc), bán kính ban đầu (bán kính của đường tròn theo phương trục Ox) và góc quay, học sinh độc lập rút ra định nghĩa. đối với sin, cosin, tiếp tuyến và côtang trên một đường tròn lượng giác, sử dụng các định nghĩa từ hình học của khóa học, nghĩa là xét một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1.

Cosin của một góc là hoành độ của một điểm trên đường tròn khi bán kính ban đầu quay một góc cho trước.

Sin của một góc là tọa độ của một điểm trên đường tròn khi bán kính ban đầu quay một góc cho trước.

2) Đo radian các góc trên đường tròn lượng giác.

Sau khi giới thiệu số đo radian của một góc (1 radian là góc ở tâm, ứng với độ dài cung tròn bằng độ dài bán kính hình tròn), học sinh kết luận rằng số đo radian của góc là giá trị bằng số của góc quay trên đường tròn, bằng chiều dài cung tương ứng khi bán kính ban đầu quay một góc cho trước. .

Đường tròn lượng giác được chia thành 12 phần bằng nhau theo đường kính của đường tròn. Biết rằng góc được tính bằng radian, bạn có thể xác định số đo radian cho các góc là bội số của .

Và phép đo radian của các góc, bội số, thu được tương tự:

3) Miền định nghĩa và phạm vi giá trị của hàm lượng giác.

Liệu sự tương ứng giữa các góc quay và giá trị tọa độ của một điểm trên đường tròn có phải là một hàm không?

Mỗi góc quay tương ứng với một điểm duy nhất trên đường tròn, có nghĩa sự tương ứng này là một hàm số.

Lấy các chức năng

Trên vòng tròn lượng giác, bạn có thể thấy miền định nghĩa của hàm số là tập hợp tất cả các số thực và phạm vi giá trị là .

Hãy nêu khái niệm tiếp tuyến, côtang trên đường tròn lượng giác.

1) Hãy để Chúng ta hãy giới thiệu một đường thẳng phụ song song với trục Oy, trên đó xác định các tiếp tuyến cho bất kỳ đối số số nào.

2) Tương tự, chúng ta thu được đường cotang. Đặt y=1 thì . Điều này có nghĩa là các giá trị cotang được xác định trên một đường thẳng song song với trục Ox.

Trên đường tròn lượng giác, bạn có thể dễ dàng xác định miền định nghĩa và phạm vi giá trị của các hàm lượng giác:

cho tiếp tuyến -

cho cotang -

4) Giá trị của hàm lượng giác trên đường tròn lượng giác.

Chân đối diện với góc trong bằng nửa cạnh huyền, tức là chân kia theo định lý Pythagore:

Điều này có nghĩa là bằng cách xác định sin, cos, tang, cotang, bạn có thể xác định giá trị cho các góc là bội số hoặc radian. Các giá trị sin được xác định dọc theo trục Oy, cosin dọc theo trục Ox và các giá trị tiếp tuyến và cotang có thể được xác định bằng cách sử dụng các trục bổ sung song song với trục Oy và Ox tương ứng.

Các giá trị được lập bảng của sin và cosin được đặt trên các trục tương ứng như sau:

Bảng giá trị của tiếp tuyến và cotang -

5) Tính tuần hoàn của hàm lượng giác.

Trên vòng tròn lượng giác, bạn có thể thấy rằng các giá trị của sin và cosin được lặp lại sau mỗi radian, và tiếp tuyến và cotang - mỗi radian.

6) Tính chẵn và lẻ của hàm lượng giác.

Thuộc tính này có thể thu được bằng cách so sánh các giá trị góc quay dương và góc quay của các hàm lượng giác. Chúng tôi hiểu điều đó

Điều này có nghĩa là cosine là hàm chẵn, tất cả các hàm khác đều là hàm lẻ.

7) Tăng và giảm các hàm lượng giác.

Đường tròn lượng giác chứng tỏ hàm sin tăng và giảm

Lập luận tương tự, chúng ta thu được các khoảng hàm tăng và giảm của cosin, tiếp tuyến và cotang.

8) Công thức rút gọn.

Đối với góc ta lấy giá trị nhỏ hơn của góc trên đường tròn lượng giác. Tất cả các công thức thu được bằng cách so sánh các giá trị của hàm lượng giác trên hai chân của các tam giác vuông đã chọn.

Thuật toán áp dụng công thức rút gọn:

1) Xác định dấu của hàm số khi quay một góc cho trước.

Khi rẽ vào một góc hàm được giữ nguyên khi quay một góc - một số nguyên, số lẻ, đồng hàm (

9) Giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo.

Chúng ta hãy giới thiệu các hàm nghịch đảo cho các hàm lượng giác bằng cách sử dụng định nghĩa của hàm.

Mỗi giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang trên đường tròn lượng giác chỉ tương ứng với một giá trị góc quay. Điều này có nghĩa là đối với một hàm thì miền định nghĩa là , phạm vi giá trị là - Đối với hàm miền định nghĩa là , phạm vi giá trị là . Tương tự, chúng ta thu được miền định nghĩa và phạm vi giá trị của các hàm nghịch đảo cho cosin và cotang.

Thuật toán tìm giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo:

1) tìm giá trị đối số của hàm lượng giác nghịch đảo trên trục tương ứng;

2) tìm góc quay của bán kính ban đầu, có tính đến phạm vi giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo.

Ví dụ:

10) Giải các phương trình đơn giản trên đường tròn lượng giác.

Để giải phương trình dạng , chúng ta tìm các điểm trên đường tròn có tọa độ bằng nhau và viết các góc tương ứng, có tính đến chu kỳ của hàm số.

Đối với phương trình, chúng ta tìm các điểm trên đường tròn có hoành độ bằng nhau và viết các góc tương ứng, có tính đến chu kỳ của hàm số.

Tương tự cho các phương trình dạng Các giá trị được xác định trên các đường tiếp tuyến và cotang và ghi lại các góc quay tương ứng.

Tất cả các khái niệm, công thức lượng giác đều được học sinh tự học dưới sự hướng dẫn rõ ràng của giáo viên bằng đường tròn lượng giác. Trong tương lai, “vòng tròn” này sẽ đóng vai trò là tín hiệu tham chiếu hoặc yếu tố bên ngoài để chúng tái tạo trong bộ nhớ các khái niệm và công thức lượng giác.

Nghiên cứu lượng giác trên đường tròn lượng giác giúp:

lựa chọn phong cách giao tiếp tối ưu cho một bài học nhất định, tổ chức hợp tác giáo dục;
mục tiêu bài học trở nên có ý nghĩa cá nhân đối với mỗi học sinh;
tài liệu mới dựa trên trải nghiệm cá nhân về hành động, suy nghĩ và cảm giác của học sinh;
bài học bao gồm nhiều hình thức làm việc và cách thức tiếp thu, tiếp thu kiến thức; có yếu tố tương hỗ và tự học; tự kiểm soát và kiểm soát lẫn nhau;
có phản hồi nhanh chóng đối với những hiểu lầm và sai sót (thảo luận chung, mẹo hỗ trợ, tư vấn lẫn nhau).