А. Гравитационный дрейф

Лекция № 3.
Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение - условия применимости, дрейфовая скорость. Дрейфы в неоднородном магнитном поле. Адиабатический инвариант. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях. Общий случай скрещенных поля любой силы и магнитного поля.
III. Дрейфовое движение заряженных частиц
§3.1. Движение в скрещенных однородных полях.
Рассмотрим движение заряженных частиц в скрещенных полях
в дрейфовом приближении. Дрейфовое приближение применимо в случае, если можно выделить некоторую одинаковую для всех частиц одного сорта постоянную скорость дрейфа, не зависящую от направления скоростей частиц:
, где
- скорость дрейфа. Покажем, что это можно сделать для движения заряженных частиц в скрещенных
полях. Как было показано ранее, магнитное поле не влияет на движение частиц в направлении магнитного поля. Поэтому скорость дрейфа может быть направлена только перпендикулярно магнитному, т. е. пусть:
, причем
, где
. Уравнение движения:
(по-прежнему в СГС пишем множитель ). Тогда для поперечной составляющей скорости:
, подставляем разложение через скорость дрейфа:
, т.е.
. Заменим это уравнение на два для каждой компоненты и с учетом
, т.е.,
, получим уравнение для скорости дрейфа:
. Домножим векторно на магнитное поле, получим:
. С учетом правила , получим
, откуда:

- скорость дрейфа. (3.1)

.
Скорость дрейфа не зависит от знака заряда и от массы, т.е. плазма смещается как целое. Из соотношения (3.1) видно, что при
скорость дрейфа становится больше скорости света, а значит, теряет смысл. И дело не в том, что необходимо учитывать релятивистские поправки. При
будет нарушено условие дрейфового приближения. Условие дрейфового приближения для дрейфа заряженных частиц в магнитном поле заключается в том, что влияние силы, вызывающей дрейф, должно быть незначительно в течение периода обращения частицы в магнитном поле, только в этом случае скорость дрейфа будет постоянна. Это условие можно записать в виде:
, откуда получим условие применимости дрейфового движения в
полях:
.

Для определения возможных траекторий заряженных частиц в
полях рассмотрим уравнение движения для вращающейся компоненты скорости :
, откуда
. Пусть плоскость (x ,y ) перпендикулярна магнитному полю. Вектор вращается с частотой
(электрон и ион вращаются в разные стороны) в плоскости (x ,y ), оставаясь постоянным по модулю.

Если начальная скорость частицы попадет в этот круг, то частица будет двигаться по эпициклоиде.

Область 2. Окружность, задаваемая уравнением
, соответствует циклоиде. При вращении вектора вектор скорости на каждом периоде будет проходит через начало координат, то есть, скорость будет равна нулю. Эти моменты соответсвуют точкам в основании циклоиды. Траектория аналогична той, что описывает точка, находящаяся на ободе колеса радиуса
. Высота циклоиды равна , то есть пропорциональна массе частицы, поэтому ионы будут двигаться по гораздо более высокой циклоиде, чем электроны, что не соответствует схематическому изображению на рис.3.2.

Область 3. Область вне круга, в которой
, соответсвует трохоиде с петлями (гипоциклоида), высота которой
. Петли соответствуют отрицательным значениям компоненты скорости , когда частицы движутся в обратном направлении.

Область 4: Точка
(
) соответсвует прямой. Ели запустить частицу с начальной скоростью
, то сила действие электрической и магнитной силы в каждый момент времени уравновешено, поэтому частица движется прямолинейно. Можно представить, что все эти траектории соответствуют движению точек находящихся на колесе радиуса
, поэтому для всех траекторий продольный пространственный период
. За период
для всех траекторий происходит взаимная компенсация действия электрического и магнитного поля. Средняя кинетическая энергия частицы остается постоянной
. Важно еще раз отметить, что

Рис. 3.2. Характерные траектории частиц в
полях: 1) трохоида без петель; 2) циклоида; 3) трохоида с петлями; 4) прямая.
не зависимо от траектории, скорость дрейфа одинакова, следовательно, плазма в
полях дрейфует как целое в направлении, перпендикулярном полям. В случае невыполнения условия дрейфового приближения, то есть при

действие электрического поля не компенсируется действием магнитного, поэтому частица переходит в режим непрерывного ускорения (рис.3.3). Направляющая движения будет являться параболой. В случае наличия у электрического поля продольной (вдоль магнитного поля) составляющей дрейфовое движение также нарушается, и заряженная частица будет ускоряться в направлении, параллельном магнитному полю. Направляющая движения будет также параболой.

Все выводы, сделанные выше, верны, если вместо электрической силы
использовать произвольную силу , действующую на частицу, причем
. Скорость дрейфа в поле произвольной силы:

(3.2)

зависит от заряда. Например, для гравитационной силы
:
- скорость гравитационного дрейфа.

§3.2. Дрейфовое движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле.

Если магнитное поле медленно меняется в пространстве, то движущаяся в нем частица совершит множество ларморовских оборотов, навиваясь на силовую линию магнитного поля с медленно меняющимся ларморовским радиусом. Можно рассматривать движение не собственно частицы, а её мгновенного центра вращения, так называемого ведущего центра. Описание движения частицы как движение ведущего центра, т.е. дрейфовое приближение, применимо, если изменение ларморовского радиуса на одном обороте будет существенно меньше самого ларморовского радиуса. Это условие, очевидно, будет выполнено, если характерный пространственный масштаб изменения полей будет значительно превышать ларморовский радиус:
, что равносильно условию:
. Очевидно, это условие выполняется тем лучше, чем больше величина напряженности магнитного поля, так как ларморовский радиус убывает обратно пропорционально величине магнитного поля. Рассмотрим некоторые случаи, представляющие общий интерес, так как к ним можно свести многие виды движения заряженных частиц в неоднородных магнитных полях.

п. 3.2.1. Дрейф заряженных частиц вдоль плоскости скачка магнитного поля. Градиентный дрейф.

Рассмотрим задачу о движении заряженной частицы в магнитном поле со скачком, слева и справа от плоскости которого магнитное поле однородно и одинаково направлено, но имеет разную величину (см. рис. 3.5), пусть справа будет H 2 > H 1 . При движении частицы её ларморовская окружность пересекает плоскость скачка. Траектория состоит из ларморовских окружностей с переменным ларморовским радиусом, в результате чего происходит «снос» частицы вдоль плоскости скачка. Как видно из рисунка 3.5, дрейф перпендикулярен направлению магнитного поля и его градиента, причем, разноименно заряженные частицы дрейфуют в разные стороны. Пусть для простоты частица пересекает плоскость скачка по нормали. Тогда за время, равное сумме ларморовских полупериодов

Рис.3.5. Градиентный дрейф на границе со скачком величины магнитного поля.

для области слева и справа:

частица смещается вдоль этой плоскости на длину

Скорость дрейфа можно определить как

. где  H  H 2  H 1  величина скачка магнитного поля, а  H  H 2 + H 1   его среднее значение.

Дрейф возникает и том случае, когда слева и справа от некоторой плоскости магнитное поле по величине не меняется, но изменяет направление (см. рис.3.6). Слева и справа от границы частицы вращаются по ларморовским окружностям одинакового радиуса, но с противоположным направлением вращения. Дрейф возникает, когда ларморовская окружность пересекает плоскость раздела. Пусть пересечение плоскости слоя частицей происходит по нормали, тогда ларморовскую окружность следует «разрезать» вдоль

Рис.3.6. Градиентный дрейф при смене направления магнитного поля

вертикального диаметра и затем, правую половину следует отразить зеркально вверх для электрона, и вниз для иона, как это изображено на рис.3.6. При этом за ларморовский период смещение вдоль слоя, очевидно, составляет два ларморовских диаметра, так что скорость дрейфа для этого случая:
.

§3.3. Дрейф в магнитном поле прямого тока.
Дрейф заряженных частиц в неоднородном магнитном поле прямого проводника тока связан, прежде всего с тем, что магнитное поле обратно пропорционально расстоянию от тока, поэтому будет существовать градиентный дрейф движущейся в нем заряженной частицы. Кроме этого дрейф связан с кривизной магнитных силовых линий. Рассмотрим две составляющие этой силы, вызывающей дрейф, и соответственно получим две составляющие дрейфа.
п. 3.3.1. Диамагнитный (градиентный) дрейф.
Механизм градиентного дрейфа состоит в том, что частица имеет различные радиусы вращения в разных точках траектории: часть времени она проводит в более сильном поле, часть в более слабом поле. Изменение радиуса вращения и создает дрейф (рис.3.7). Вращающуюся вокруг силовой линии заряженную частицу можно рассматривать как магнитный диполь эквивалентного кругового тока. Выражение для скорости градиентного дрейфа можно получить из известного выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном поле:
- диамагнитная сила, выталкивающая магнитный диполь из сильного поля, где
,
, где поперечная к магнитному полю составляющая кинетической энергии частицы. Для магнитного поля, как можно показать, справедливо соотношение:
, где R кр - радиус кривизны силовой линии, - единичный вектор нормали.

Скорость диамагнитного (градиентного) дрейфа, где - бинормаль к силовой линии. Направление дрейфа по бинормали различно для электронов и ионов.

ДРЕЙФ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ в плазме, относительно медленное направленное перемещение заряженных частиц под действием различных причин, налагающееся на их основное движение (регулярное или беспорядочное). Дрейф заряженных частиц возникает под действием сил электрического поля и обычно накладывается на тепловое (беспорядочное) движение частиц. Средняя скорость υ ср теплового движения гораздо больше скорости дрейфа υ д. Отношение υ д /υ ср характеризует степень направленности движения заряженных частиц и зависит от типа заряженных частиц и величины сил, вызывающих дрейф.

Для плазмы, находящейся в магнитном поле, характерен дрейф заряженных частиц в скрещенных магнитном и каком-либо другом (электрическом, гравитационном) полях. Заряженная частица, находящаяся в однородном магнитном поле при отсутствии других сил, описывает так называемую ларморовскую окружность радиусом r H = υ/ω Н = cm υ/qH, здесь Н - напряжённость магнитного поля, q - заряд частицы, m и υ - масса и скорость частицы, ω Н - ларморовская (циклотронная) частота, с - скорость света. При наличии каких-либо внешних сил F (электрических, гравитационных, градиентных) на быстрое ларморовское вращение накладывается плавное смещение орбиты в направлении, перпендикулярном магнитному полю и действующей силе. Скорость дрейфа υ д = c/qH 2 .

Т.к. в знаменателе выражения стоит заряд q частицы, то если сила F действует одинаково на ионы и электроны, они будут дрейфовать под действием этой силы в противоположных направлениях - возникает дрейфовый ток плотностью j д = nqυ д = nc/H 2 , где n - концентрация частиц.

В зависимости от вида сил различают несколько типов дрейфа заряженных частиц: электрический, гравитационный, градиентный. Электрическим дрейфом называется дрейф заряженных частиц в однородном постоянном электрическом поле Е, перпендикулярном магнитному полю (скрещенные электрическое и магнитное поля). В случае электрического дрейфа F = qE отсюда υ д Е = c/H 2 т. е. скорость электрического дрейфа не зависит ни от знака и величины заряда, ни от массы частицы и одинакова для ионов и электронов. Таким образом, электрический дрейф заряженных частиц в магнитном поле приводит к движению всей плазмы и не возбуждает дрейфовых токов. Однако сила тяжести и центробежная сила, которые при отсутствии магнитного поля действуют одинаково на все частицы независимо от их заряда, в магнитном поле заставляют электроны и ионы дрейфовать в разные стороны, приводя к появлению дрейфовых токов.

В скрещенных гравитационном и магнитном полях возникает гравитационный дрейф со скоростью υ д г = /gH 2 где g - ускорение силы тяжести. Т. к. υ дг зависит от массы и знака заряда, возникают дрейфовые токи и неустойчивости.

В неоднородном магнитном поле могут возникнуть два вида дрейфа заряженных частиц. Поперечная неоднородность магнитного поля приводит к так называемому градиентному дрейфу со скоростью υ дгр = r H υ ⊥ ∇ H/2H, где υ ⊥ - скорость частицы поперёк магнитного поля. При движении частицы со скоростью υ | вдоль искривлённой магнитной силовой линии с радиусом кривизны R возникает дрейф под действием центробежной силы инерции mυ | 2 /R (так называемый центробежный дрейф) со скоростью υ дц = υ | 2 /Rω Н.

Скорости градиентного и центробежного дрейфа заряженных частиц имеют противоположные направления для ионов и электронов, т. е. возникают дрейфовые токи.

Дрейф в неоднородном магнитном поле затрудняет удержание плазмы в тороидальной магнитной ловушке, поскольку он приводит к разделению зарядов, и возникающее электрическое поле заставляет всю плазму двигаться к наружной стенке тора (так называемый тороидальный дрейф).

Лит.: Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы. М., 1963. Вып. 1; Франк-Каменецкий Д. А. Плазма - четвертое состояние вещества. 4-е изд. М., 1975; Павлов Г. А. Процессы переноса в плазме с сильным кулоновским взаимодействием. М., 1995.

Дрейф заряженных частиц, относительно медленное направленное перемещение заряженных частиц под действием различных причин, налагающееся на основное движение. Так, например, при прохождении электрического тока через ионизованный газ электроны, помимо скорости их беспорядочного теплового движения, приобретают небольшую скорость, направленную вдоль электрического поля. В этом случае говорят о токовой дрейфовой скорости. Вторым примером может служить Д. з. ч. в скрещённых полях, когда на частицу действуют взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Скорость такого дрейфа численно равна cE/H , где с - скорость света, Е - напряжённость электрического поля в СГС системе единиц , Н - напряжённость магнитного поля в эрстедах . Эта скорость направлена перпендикулярно к Е и Н и накладывается на тепловую скорость частиц.

Л. А. Арцимович.

Большая Советская Энциклопедия М.: "Советская энциклопедия", 1969-1978

А. Гравитационный дрейф.

В этом случае сила - сила тяжести и выражение для скорости дрейфа превращается в следующую формулу:

В этом виде дрейфа скорость его зависит от заряда и массы частицы. Важно, что в случае гравитационного дрейфа ионы и электроны дрейфуют в противоположных направлениях и, тем самым, создается электрический ток, плотность которого выражается формулой (ионы считаем однозарядными):

(2.1.11)

б. Градиентный дрейф .

Здесь нам придется столкнуться с пространственной неоднородностью, сильно затрудняющей получение точных решений. Приближенные же ответы получают обычно, применяя так называемый подход слабой неоднородности, то есть проводя разложение по параметру (полагаемому малым) , где L – характерный масштаб неоднородности.

По-прежнему считаем магнитное поле направленным вдоль оси z, а градиент его пусть, для определенности, будет направлен по оси y. Качественно можно сразу сказать, что ларморовский радиус в области больших y будет больше, чем в области меньших y. Это приведет к тому, что дрейф ионов и электронов будет происходить в противоположных направлениях и перпендикулярно, как , так и . Итак, для нахождения скорости дрейфа мы должны получать силу, усредненную по периоду вращения частицы. В случае градиентного дрейфа усреднять нужно пространственно неоднородную силу Лоренца, . Приближенность нашего рассмотрения обусловлена усреднением по невозмущенной орбите частицы. Такое усреднение даст 0 для x компоненты силы Лоренца, =0 (частица движется вверх столько же времени, сколько и вниз). Выражение же для y – компоненты:

где использовано разложение поля в ряд Тейлора , дает при усреднении:

(2.1.13)

Таким образом, с учетом произвола при выборе направления градиента магнитного поля, получаем для скорости градиентного дрейфа:

(2.1.14)

Формула дает противоположные направления дрейфа ионов и электронов, что приводит к появлению электрического тока ^ магнитному полю.

в. Центробежный дрейф.

При движении плазмы в магнитном поле с искривленными силовыми линиями возникает центробежная сила, которая может быть рассматриваема, как некоторый аналог гравитации. Здесь также оказывается применимой дрейфовая трактовка движения заряженных частиц. Положим для простоты, что радиус кривизны силовых линий магнитного поля постоянен и равен R c . По той же причине считаем постоянным модуль магнитного поля B=const . Пусть также - средний квадрат скорости хаотического движения вдоль магнитного поля. Тогда выражение для средней центробежной силы, действующей на частицу

и, в соответствии с общим выражением для дрейфовой скорости (2.1.9) получаем выражение для центробежного дрейфа:

(2.1.16)

2.1.4. Магнитная пробка.

Этот случай соответствует условию: . Направим, как и прежде, магнитное поле вдоль оси z, положим его аксиально-симметричным с модулем напряженности, зависящем от z. В этом случае оно будет состоять из двух компонент: продольной B z и радиальной B r . Связь между этими компонентами вытекает из условия равенства нулю дивергенции магнитного поля, которое для оговоренного случая выглядит следующим образом:

(2.1.17)

Пусть производная задана на оси (при r = 0) и слабо зависит от радиуса. Тогда, проинтегрировав (2.1.17), получаем:

(2.1.18)

Для анализа движения частицы в принятых условиях удобно выписать компоненты лоренцевой силы:

Для нашего случая: () имеем:

Первое из уравнений совместно с первым членом второго описывает ларморовское вращение, изученное нами ранее. Второй член второго уравнения (азимутальная составляющая силы Лоренца), обращаясь в 0 на оси, вызывает дрейф в радиальном направлении, приводящий в результате к движению ведущих центров частиц вдоль кривых силовых линий магнитного поля. Особый интерес представляет для нас в данном случае третье из выражений (2.1.20). Подставив в него B r из (2.1.18), получим:

2.1.21)

Усредним теперь полученное выражение по периоду вращения частицы, ведущий центр которой находится на оси (для простоты). При этом r = r L и скорость u q постоянна. Получаем, что для данного случая, средняя сила, действующая на частицу, описывается выражением:

где величина определяется как магнитный момент частицы. Для общего случая выражение (2.1.22) может быть переписано, как F êê = -m êê B .

Магнитный момент частицы, движущейся в неоднородном магнитном поле, не изменяется, являясь инвариантом движения. Это легко можно показать, рассмотрев проекцию уравнения движения на направление магнитного поля:

(2.1.23)

Помножив (2.1.23) слева на u êê , а справа на равную величину ds/dt , получаем:

(2.1.23)

Здесь dB/dt – изменение поля в системе координат движущейся частицы. Запишем теперь закон сохранения полной кинетической энергии частицы:

Откуда, используя (2.1.23), получаем:

, и, следовательно, (2.1.25)

На сохранении магнитного момента движущейся в магнитном поле заряженной частицы основывается идея магнитной пробки. Частица, двигаясь в область сильного магнитного поля при сохранении магнитного момента, увеличивает скорость поперечного вращения. В соответствии с законом сохранения энергии, скорость продольного движения должна уменьшатся.

Рис. 2.3. Магнитная пробка (зеркало).

При достаточно большом поле в «пробке», найдется место, где продольная скорость обратится в нуль и произойдет отражение частицы. Расположив две «пробки» одну напротив другой, получим магнитную ловушку, называемую обычно «пробкотроном» или зеркальной ловушкой.

Рис.2.4. Магнитная конфигурация «пробкотрона»

2.1.5. Движение в неоднородном электрическом поле.

Рассмотрим теперь влияние неоднородности электрического поля. Магнитное поле пусть будет однородным и постоянным; сохраним за ним прежнее направление – вдоль оси z.

Электрическое поле зададим в виде поля плоской стоячей электростатической волны длиной , волновой вектор которой направлен вдоль оси x.:

(2.1.26)

Поскольку движение вдоль магнитного поля здесь нас не интересует, выпишем сразу поперечные компоненты уравнения движения частицы:

а) ; б) (2.1.27)

Или, продифференцировав вторично по времени, перепишем их в виде:

а) ; б) (2.1.28)

Чтобы знать величину электрического поля в месте нахождения частицы, нужно знать ее траекторию. В нулевом приближении по электрическому полю эта траектория нам известна – ларморовское вращение в однородном магнитном поле вокруг ведущего центра: . Используем ее.Подставив электрическое поле из (2.1.26) в уравнение (2.1.28.б) , получим с учетом невозмущенной траектории частицы:

Поскольку нас интересует дрейфовая составляющая скорости, усредним уравнения движения по периоду циклотронного вращения частицы. Все осциллирующие члены при этом «зануляются». Поэтому из уравнения (2.1.28а) видно, что средняя составляющая x – компоненты скорости оказывается равной нулю, а из уравнения для y-компоненты скорости получается следующее выражение:

Отсюда нетрудно выразить среднюю скорость по направлению y :

(2.1.30)

Далее, воспользовавшись тригонометрическими преобразованиями и возможностью ограничиться малыми значениями ларморовского радиуса (kr L <<1 ; при этом используем старшие члены разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора: sina @ a , cosa @ 1-(1/2) a 2), получаем, помня об исчезновении при усреднении осциллирующих членов, следующее выражение:

, (2.1.31)

которое, в общем виде, может быть переписано следующим образом:

. (2.1.32)

Если пространственная неоднородность поля имеет произвольный вид, то оно трансформируется (k меняется на ):

. (2.1.33)

Итак, при наличии неоднородности электрического поля обычное выражение для скорости дрейфа в скрещенных полях (см.(2.1.8)) изменяется с учетом поправки, величина которой зависит от соотношения характерного размера неоднородности и ларморовского радиуса. Таким образом поправка учитывает эффект конечного ларморовского радиуса при дрейфовом движении. Очевидно, что при этом возникает различие в дрейфе электронной и ионной компонент плазмы, что ведет к разделению зарядов. Это значит, что наличие неоднородного электрического поля в плазме запускает в действие механизм возникновения вторичного электрического поля, что может явиться причиной, как развития неустойчивости, так и ее стабилизации в зависимости от знака возникающего вторичного поля.

2.1.6. Нестационарное электрическое поле.

Пусть теперь, при пространственной однородности электрического и магнитного полей, магнитное поле постоянно, а электрическое поле меняется во времени по синусоидальному закону и имеет только x-компоненту:

При этом компоненты дрейфового движения может быть записаны в виде:

, (2.1.35)

Если ввести теперь величины:

то интересующие нас компоненты уравнения движения принимают вид:

, .(2.1.37)

Решение системы.(2.1.37) ищем в виде:

, . (2.1.38)

Для этого дважды продифференцируем выражения (2.1.38) по времени и сравним с.(2.1.37). Дифференцирование дает:

Выражения (2.1.39) совпадают с.(2.1.37), если w 2 мало по сравнению с .Это означает, что предложенная нами модель решения – быстрое вращение, наложенное на сравнительно медленный дрейф ведущего центра может быть принята при сравнительно медленных изменениях электрического поля. Трактовка введенных нами в (2.1.36) величин такова: скорость дрейфа ведущего центра может быть представлена двумя медленно (по сравнению с циклотронным вращением) осциллирующими составляющими. В направлении y - это обычный дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях, а в направлении x – новый тип дрейфового движения – вдоль электрического поля. Это, так называемый, поляризационный дрейф, возникающий при любом изменении электрического поля. Обобщенное выражение для скорости поляризационного дрейфа получается посредством замены в первой из формул (2.1.36) на :

(2.1.40)

Скорости поляризационного дрейфа для электронов и ионов направлены в противоположные стороны, следовательно, дрейфовое движение этого типа вызывает поляризационный ток:

(2.1.41)

2.1.7. Движение в нестационарном магнитном поле

Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает появление электрического поля

которое способно (в отличие от магнитного) изменять энергию частицы:

, (2.1.43)

Рассматриваем здесь только поперечное движение; ; - элемент траектории частицы. Изменение энергии частицы за один оборот получим, проинтегрировав (2.1.43) по периоду вращения:

, (2.1.44)

Считая, что поле меняется достаточно медленно, будем интегрировать вдоль невозмущенной орбиты:

Здесь учтено, что - изменение за один оборот. Так как. приращение кинетической энергии частицы тождественно равно , то из (2.1.45) следует

Таким образом, мы получаем инвариантность магнитного момента в медленно меняющемся магнитном поле . Отсюда следует еще одно утверждение: Магнитный поток через поверхность, ограниченную ларморовской окружностью, постоянен. Действительно:

Где , поэтому (2.1.47)

откуда видно, что если , то и

2.1.8 .Адиабатические инварианты.

Как известно, в классической системе при наличии периодического движения сохраняется интеграл , взятый по периоду движения. (p и q –обобщенные импульс и координата). Если движение системы не является строго периодическим, но изменения достаточно медленны (происходят за времена, много большие периода), то выписанный выше интеграл движения по-прежнему сохраняется; в этом случае он называется адиабатическим инвариантом. В физике плазмы адиабатические инварианты, связанные с различными типами периодических движений, играют важную роль. Укажем на некоторые из них.

а) Первый адиабатический инвариант. Это уже рассматривавшийся нами магнитный момент вращающейся частицы:

Этот инвариант соответствует ларморовскому вращению и, как было показано выше, сохраняется в нестационарных и неоднородных магнитных полях. Условием адиабатичности в данном случае является неравенство <<1.

б) Второй адиабатический инвариант.. Другим периодическим движением, важным для изучения движений плазмы в магнитных ловушках, является осцилляция частиц, захваченных между двумя пробками. В этом случае интегралом движения является интеграл , где ds – элемент длины дуги при движении ведущего центра вдоль силовой линии. Этом интеграл называется продольным инвариантом J и вычисляется между точками отражения:

Условием адиабатичности здесь является медленность изменений по сравнению с баунс-периодом . <<1. Здесь w b - Баунс-частота – частота осцилляций между пробками.

в) Третий адиабатический инвариант. Нестрогость периодичности осцилляций между пробками связана, в частности, с азимутальным дрейфом частиц в пробкотроне. Это движение, в свою очередь, является периодическим и с ним связывается третий адиабатический инвариант – полный магнитный поток, охватываемый дрейфовой поверхностью Ф . Этот инвариант обычно менее полезен в технических приложениях. Дело в том, что он связан с относительно медленным движением; многие, интересные с точки зрения удержания плазмы в ловушке процессы, протекают быстрее, чем нужно для сохранения адиабатичности процесса. Однако, скажем, в геофизике его удобно использовать при изучении движения заряженных частиц в радиационных поясах Земли

2.2. Гидродинамический подход.

2.2.1. Одножидкостная гидродинамика.

В рамках этой модели плазма рассматривается как проводящая жидкость. При этом в обычное гидродинамическое уравнение движения среды кроме силы, связанной с градиентом давления, вязкостью и т.д., добавляется пондеромоторная сила:

где плотность тока, напряженность магнитного поля.

Если пренебречь вязкостью и другими диссипативными силами, то уравнение движения проводящей жидкости имеет вид:

(2.2.2)

где ускорение рассматриваемого «элемента жидкости». Уравнение(2.2.2) написано в представлении Лагранжа, когда движение жидкости изучается путем слежения за траекторией выбранного элемента и, выписанная выше производная, является производной вдоль траектории; ее называют лагранжевой производной. Существует альтернативный подход, называемый представлением Эйлера, при котором рассматривается изменение скорости среды в выбранной точке пространства: эйлерова производная. Хотя она и является производной скорости по времени, но не имеет физического смысла ускорения. Связь между лагранжевой и эйлеровой производными дается выражением:

Поэтому уравнение (2.2.2) в представлении Эйлера будет выглядеть следующим образом:

Плотность тока задается законом Ома:

(2.2.3)

где напряженность электрического поля в системе отсчета, движущейся вместе с плазмой, проводимость плазмы, напряженность электрического поля в лабораторной системе координат.

Задание плотности тока с помощью закона Ома, при том, что проводимость плазмы считается константой - главный недостаток одно-жидкостной МГД теории. Во многих случаях этот подход неприменим, однако имеется достаточно много практически интересных случаев, когда такое упрощение является оправданным.

Система уравнений (2.2.2) – (2.2.3), описывающая движение плазмы, должна быть дополнена уравнениями Максвелла. Совместное их решение и составляет обсуждаемый подход к исследованию плазмы. Дополнительное существенное упрощение модели получается, если иметь в виду относительную медленность процессов, описываемых данным приближением, что позволяет пренебречь токами смещения. Тогда из всей системы уравнений Максвелла остается лишь:

и уравнение (2.2.2) принимает вид

(2.2.5)

Используя известное соотношение векторного анализа:

(2.2.6)

получим из него:

и, подставив затем (2.2.7) в (2.2.5), имеем:

(2.2.8)

Правая часть уравнения (2.2.8) содержит три члена, описывающие действие сил, связанных с градиентом давления, кривизной силовых линий и пространственным изменением модуля напряженности магнитного поля. Если магнитное поле меняется только в направлении, поперечном по отношению к силовым линиям, то второй член в правой части, связанный с кривизной силовых линий, обращается в нуль и уравнение может быть переписано в следующем виде:

(2.2.9)

Здесь ускорение в направлении поперек силовых линий магнитного поля. Член входит в формулу на равных основаниях с газокинетическим давлением (поперечным) , поэтому его также можно интерпретировать как давление – давление магнитного поля. Таким образом, полученное выражение позволяет сделать практически важный вывод о возможности оказывать давление на плазму (проводящую среду) с помощью магнитного поля.

А. Гравитационный дрейф

Читайте также в БСЭ:

А. Гравитационный дрейф.