Теперь мы рассмотрим более глубоко законы эйнштейновской кинематики. При этом мы преимущественно будем ограничиваться плоскостью Получаемые при этом выводы совсем нетрудно обобщить на случай четырехмерного -пространства, поэтому мы будем лишь упоминать о нем по ходу дела.

Фиг. 125. Четырехмерные отрезки. а - временно-подобное расстояние пространственно-подобное расстояние

Световые линии, определяемые уравнением Делят плоскость на четыре квадранта (фиг. 116). Очевидно, сохраняет один и тот же знак в каждом квадранте, причем в двух противоположных квадрантах, содержащих ветви гиперболы в двух противоположных квадрантах, которые содержат ветви . Прямую мировую линию, проходящую через начало координат О, можно взять в качестве оси или оси соответственно тому, лежит ли она в квадранте или в квадранте Соответственно этому мы подразделяем мировые линии на «пространственно-подобные» и на «временно-подобные» (фиг. 125,а).

Во всякой инерциальной системе ось отделяет мировые точки «прошлого» от мировых точек «будущего» Но это подразделение различно в каждой инерциальной системе, поскольку при ином положении оси мировые точки, которые раньше лежали выше нее, т. е. в будущем, могут

оказаться ниже оси в прошлом, и наоборот. Лишь те события, которые представляются мировыми точками, лежащими в квадрантах единственным образом принадлежат либо к «прошлому», либо к «будущему» в любой инерциальной системе. Для такой мировой точки (фиг. 125, а) мы имеем в любой допустимой системе отсчета два события разделены интервалом времени, большим того времени, за которое свет покрывает путь от одной из этих точек до другой. Следовательно, мы всегда можем выбрать инерциальную систему так, что ее ось проходит через точку т. е. такую систему, в которой представляет событие, происходящее в пространственном начале отсчета. С точки зрения другой инерциальной системы наша инерциальная система будет двигаться равномерно и прямолинейно таким образом, что ее начало точно совпадает с событиями Тогда, очевидно, мы должны для события в системе положить

Во всякой инерциальной системе ось представляет геометрическое место мировых точек, соответствующих событиям, происходящим в пространственном начале координат на оси X (т. е. в точке и разделяет (на двумерной фигуре) точки, лежащие слева от начала, и точки, лежащие справа от него. Но в другой инерциальной системе с иной осью это разграничение будет иным. Оно определено единственным образом только для мировых точек, лежащих в квадрантах независимо от того, лежат ли они «до» или «после» пространственного начала координат. Для такой точки (фиг. 125,б) т. е. в любой допустимой системе отсчета временной интервал между событиями меньше того времени, которое затрачивает свет на прохождение расстояния от точки О до точки Таким образом, можно ввести подходящим образом выбранную движущуюся инерциальную систему с осью проходящей через в которой оба события, оказываются одновременными. В этой системе для события очевидно, следовательно,

Отсюда следует, что инвариант для любой мировой точки представляет собой измеримую величину, имеющую легко интерпретируемый наглядный смысл. Вводя подходящую систему отсчета мировую точку можно либо перевести «в то же самое место», в котором произошло событие О, и тогда разность времен между событиями происходящими в одной и той же пространственной точке в системе либо можно перевести «в тот же момент времени», в который произошло событие О, и тогда пространственное расстояние между двумя событиями в системе

Во всякой системе координат световые линии представляют движения, происходящие со скоростью света. В соответствии с этим каждая временно-подобная мировая линия представляет движение со скоростью, меньшей скорости света с. Или, подходя к вопросу с другой стороны, всякое движение, происходящее со скоростью, меньшей скорости света, можно «перевести в состояние покоя», поскольку существует временно-подобная мировая линия, соответствующая этому движению.

А как насчет движений, происходящих со скоростью, большей скорости света? В свете высказанных выше суждений казалось бы очевидным, что теория относительности Эйнштейна должна объявить такие движения невозможными. В самом деле, новая кинематика потеряла бы весь свой смысл, если бы существовали сигналы, позволяющие нам контролировать одновременность хода часов с помощью средств, включающих скорости, превышающие скорость света. По-видимому, здесь какая-то трудность.

Пусть система движется со скоростью относительно другой системы и пусть тело К движется относительно системы со скоростью и. Согласно обычной кинематике, относительная скорость тела К в системе равна

Теперь, если каждая превышает половину скорости Света, то и больше скорости света с, а это должно быть невозможным, согласно теории относительности.

Этот софизм, конечно, связан с тем обстоятельством, что скорости в релятивистской кинематике невозможно просто суммировать, ибо каждая система отсчета имеет собственные единицы длины и времени.

Необходимость учета этого обстоятельства с очевидностью Вытекает из того факта, что в любых двух системах, движущихся одна относительно другой, скорость света предполагается всегда одинаковой, - факта, уже использованного ранее при выводе преобразования Лоренца (гл. VI, § 2, стр. 230). Истинный закон сложения скоростей можно вывести из этого преобразования [формулы (70)]. Рассмотрим движущееся тело в системе Его движение может происходить в плоскости х, у, и, таким образом, его скорость будет иметь две компоненты их, и и движение может начаться в момент времени из начала координат. Мировая линия тела задается тогда уравнениями

Можно предвидеть, что движение окажется прямолинейным и в системе причем скорость будет иметь две постоянные компоненты Мировая линия движущегося тела в системе будет задаваться уравнениями

Для того чтобы получить соотношение между скоростями тела в системах введем выражения для в уравнения и с помощью формул преобразования Лоренца (70а). Вместо первого уравнения мы получаем

Сравнивая этот результат с уравнением получаем

который и выражает теорему о постоянстве скорости света. Более того, мы видим, что для любого тела, движущегося вдоль пространственной оси, до тех пор, пока . В самом деле, деля формулу (77а) на с, мы можем преобразовать результат к виду

Из этой формулы прямо следует наше утверждение, так как при указанных выше условиях второй член справа всегда меньше 1 (знаменатель больше 1, а каждый множитель в числителе меньше 1). Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для движений, происходящих поперек пространственной оси, и для движений в любом направлении.

Итак, скорость света кинематически есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Этот постулат теории Эйнштейна встретил упорную оппозицию. Он казался неоправданным ограничением планов исследователей, которые ждали в будущем открытий скоростей, превышающих скорость света.

Мы знаем, что -лучи радиоактивных веществ представляют собой электроны, движущиеся со скоростями, близкими к скорости света. Почему же невозможно ускорить их так, чтобы они двигались со скоростями больше скорости света?

Теория Эйнштейна, однако, утверждает, что это невозможно в принципе, поскольку лнерциальное сопротивление, или масса тела, возрастает по мере того, как его скорость приближается к скорости света. Таким образом, мы приходим к новой динамике, базирующейся на кинематике Эйнштейна.

. Релятивистская механика

Урок 2/69

Тема. Релятивистский закон сложения скоростей

Цель урока: ознакомить учащихся с релятивістським законом сложения скоростей

Тип урока: изучение нового материала

План урока

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Вопрос к ученикам во время изложения нового материала

1. Что вы понимаете под инерциальными системами отсчета? Приведите примеры.

2. Принцип относительности классической физики.

3. В чем заключаются различия в формулировке принципа относительности Галилея и принцип относительности Эйнштейна?

4. Сравните понятия одновременности в классической физике и в теории относительности.

5. В каком случае понятия «раньше» и «позже» являются относительными, а в каком - абсолютными?

6. Два события в некоторой инерциальной системе отсчета происходят в одной точке одновременно. Будут ли эти события одновременными в другой инерциальной системе отсчета?

7. Можно утверждать, что пространственно разделенные события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, одновременные и во всех других инерциальных системах отсчета?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Что мы узнали на уроке

Во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково.

Классический закон сложения скоростей:

Релятивистский закон сложения скоростей:

Событие - это упрощенная модель такого явления, которое в заданной системе отсчета можно считать таким, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени.

События, одновременные в одной системе отсчета, оказываются неодновременным в другой системе отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно первой, то есть одновременность - понятие относительное.

г1 ) - 22.5; 22.6;

р2) - 22.7; 22.20; 22.21;

г3 ) - 22.33, 22.34; 22.39.

Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Пусть относительно системы К′ материальная точка движется со скоростью u′ (Рис. 2.3.2). Найдем скоростьu материальной точки относительно системы К . Проекции скоростей u и u ′ на оси координат в системах К и К′ соответственно можно представить следующим образом:

, , , , , . (2.3.10)

Согласно преобразованиям Лоренца (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

Подставив выражения (2.3.11) в (2.3.10), поcле преобразований получим релятивистский закон сложения скоростей:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Если скорости v и u малы по сравнению со скоростью света, то выражения (2.3.12) – (2.3.14) переходят в закон сложения скоростей в классической механике:

, , . (2.3.15)

Пусть материальная точка движется параллельно оси х .

Тогда и релятивистский закон сложения скоростей (2.3.12) принимает вид:

. (2.3.16)

Если в системе К′ , то в системе К ,

т.е. при сложении двух скоростей результирующая скорость оказалась равной скорости света в вакууме, что является подтверждением второго постулата Эйнштейна.

Интервал

Пусть в системе отсчета К происходят два события: первое – в точке с координатами x 1 , y 1 , z 1 в момент времени t 1,

второе – в точке с координатами x 2 , y 2 , z 2 в момент времени t 2 . Каждому событию в четырехмерном пространстве-времени соответствует точка (x ,y ,z ,t ), которую называют мировой точкой. Величину

называют интервалом между этими событиями или интервалом между двумя точками (x 1 ,y 1 ,z 1 ,t 1 ) и (x 2 ,y 2 ,z 2 ,t 2 ) в четырехмерном пространстве-времени. Можно показать, используя преобразования Лоренца, что эта величина имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, т.е. является инвариантом преобразований Лоренца.

Обозначим промежуток времени между событиями t 2 – t 1 = =t 12 , а пространственное расстояние между точками, в кото-рых происходят события .

Тогда интервал примет вид .

Пусть первое событие состоит в том, что в момент времени t 1 из точки (x 1 ,y 1 ,z 1 ) испускается световой сигнал, а второе – в том, что в момент времени t 2 этот сигнал принимается в точке (x 2 ,y 2 ,z 2 ). Сигнал распространяется со скоростью света, поэтому l 12 = ct 12 . Интервал для этого случая s 12 = 0. Такой интервал называется нулевым. Нулевой интервал существует между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света. При нулевом интервале события могут быть связаны между собой причинно-следственной связью в любой системе отсчета.

Если l 12 > ct 12 , то рассматриваемые события не могут оказывать влияния друг на друга, т.е. между ними не может существовать причинно-следственной связи, так как никакой сигнал, никакое воздействие не могут распространяться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Интервал в этом случае будет мнимым. Мнимые интервалы называются пространственноподобными . События, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить в одной точке, так как в этом случае в этой системе отсчета интервал стал бы вещественным (l 12 = 0). А в силу инвариантности интервал во всех системах отсчета должен оставаться мнимым. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, можно найти систему отсчета, в которой они происходят в одно время (t 12 =0).

Если l 12 < ct 12 , то интервал оказывается вещественным. Такие интервалы называются времениподобными . События, разделенные времениподобным интервалом, могут быть причинно связанными друг с другом. Такие события ни в одной системе отсчета не могут происходить в одно и то же время (t 12 = 0), так как в этом случае интервал стал бы мнимым. Но для этих событий существует система отсчета, в которой они происходят в одной точке (l 12 = 0).

Пусть тело в системе отсчета K" обладает скоростью v", направленной по оси x" (и x): . В системе отсчетаK скорость этого тела будет
. Выясним каково соотношение между скоростямиv" и v. Рассмотрим производную как отношение дифференциалов dx и dt, которые найдем, используя преобразования Лоренца:

Разделим числитель и знаменатель правой части на dt" и получим

т.е. в отличие от преобразований Галилея суммарная скорость не равна сумме скоростей, а в
раз ниже. Пусть тело движется в ракете со скоростью светаv" x = c, а ракета движется со скоростью света относительно неподвижной системы координат v 0 = c. С какой скоростью v x движется тело относительно неподвижной системы координат?

По преобразованию Галилея эта скорость v = v" x + v 0 = 2c. По преобразованию Лоренца

Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид

где m 0 – масса покоя.

Если v = 300 км/с, то v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 и m > m 0 на величину 5 ∙ 10 -7 m 0 .

Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид

Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv) равно импульсу силы Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.

В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.

Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим

Подставляем сюда

Умножив левую и правую части полученного равенства на dt , получим

Из выражения для массы
определим

.

Продифференцируем выражение v 2 .

Подставим v 2 и d(v 2) в выражение для dE

Интегрируя это выражение, получим E = mc 2 .

Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением

которое легко получить математически: E=mc 2 ,p=mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с 2

E 2 = m 2 c 4 , p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2 .

Вычтем почленно из первого равенства второе

E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

Учитывая, что
получим

Так как масса покоя m 0 и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E 2 - p 2 c 2) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии

Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод:

энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.

Из приведенных выше преобразований получили dE=c 2 dm. Интегрирование левой части в пределах от E 0 до Е, а правой от m 0 до m, дает

E – E 0 = c 2 (m – m 0) = mc 2 – m 0 c 2 ,

где E = mc 2 - полная энергия материальной точки,

E 0 =m 0 c 2 - энергия покоя материальной точки.

Разность Е – Е 0 есть кинетическая энергия Т материальной точки.

При скоростях v « c , разложим
в ряд:

=
.

Учитывая, что v « c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.

Тогда

т.е. при скоростях v много меньших скорости света в вакууме релятивистская формула кинетической энергии обращается в классическую формулу для кинетической энергии
.