Система рациональных неравенств примеры. Рациональные неравенства и их системы

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Определение 1

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А вот неравенство вида 5 + x + 1 < x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Определение 2

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Определение 3

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Например, неравенства вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y) и 1: x + 3 > 0 – целыми.

Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r (x) < s (x) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r (x) и s (x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.

Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

вида r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥)

Мы знаем, что r (x) − s (x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r (x) − s (x) в h (x) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r (x) − s (x) и h (x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , которое будет равносильно исходному.

Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

Пример 1

Условие: решите целое рациональное неравенство x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1 .

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x · (x + 3) + 2 · x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

Ответ: x ≤ 2 3 .

Пример 2

Условие: найдите решение неравенства (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x) .

Решение

Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.

Ответ: любое действительно число.

Пример 3

Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0 .

Решение

Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:

x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен (− 0 , 5 , 6) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

Ответ: (− 0 , 5 , 6) .

Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h (x) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

Пример 4

Условие: вычислите (x 2 + 2) · (x + 4) < 14 − 9 · x .

Решение

Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.

Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0 может быть представлено как (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) < 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.

Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак < .

Нам осталось только записать готовый ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) к h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где h (x) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r (x) − s (x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h (x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.

Пример 5

Условие: найдите решение неравенства (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) .

Решение

Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.

Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:

Согласно рисунку, ответом будет - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Ответ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h (x) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h (x) < 0 (≤ , > , ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.

Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r (x) < s (x) (≤ , > , ≥) , где r (x) и s (x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:

Определяем область допустимых значений переменной x .
Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r (x) − s (x) представляем в виде дроби. При этом где p (x) и q (x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.

Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) , а как потом привести его к виду p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) ?

Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.

На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.

Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) равносильным по отношению к r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.

Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p (x) q (x) совпадет с областью значений выражения r (x) − s (x) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.

Но область значений для p (x) q (x) может оказаться шире, чем у r (x) − s (x) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 к x · x - 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:

x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3

Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

Пример 6

Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Решение

Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , решением которой будет множество (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x − 3) 2 · (x + 1) :

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

Областью допустимых значений получившегося выражения является (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.

Используем метод интервалов:

Видим решение { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) .

Ответ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Пример 7

Условие: вычислите решение x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

Решение

Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .

Переносим выражения из правой части в левую:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Учитывая получившийся результат, запишем:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

Для выражения - 1 x - 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.

Поскольку мы пришли к неравенству - 1 x - 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x - 1 < 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будут значения (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Ответ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

Пример 8

Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Решение

Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

Решений у этой системы нет, поскольку

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.

Ответ: решений нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Примеры:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\) \(\leq0\)

\(\frac{1}{2x}\) \(+\) \(\frac{x}{x+1}\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{6}{x+1}\) \(>\) \(\frac{x^2-5x}{x+1}\) .

При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по .

Как решать дробные рациональные неравенства:

Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.

Примеры:

Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

Определяем знак в самом крайнем правом интервале - берем число с этого интервала и подставляем его в неравенство вместо икса. После этого определяем знаки в скобках и результат перемножения этих знаков;

Примеры:

Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).

Примеры:

Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

Примеры:
Ответ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪}