ينص المنهج المدرسي على تعليم الهندسة للأطفال منذ سن مبكرة. ومن أهم المعارف الأساسية في هذا المجال إيجاد مساحة الأشكال المختلفة. وفي هذا المقال سنحاول تقديم كل الطرق الممكنة للحصول على هذه القيمة، من أبسطها إلى أكثرها تعقيدًا.

الاساسيات

تتضمن الصيغة الأولى التي يتعلمها الأطفال في المدرسة إيجاد مساحة المثلث من خلال طول ارتفاعه وقاعدته. الارتفاع هو قطعة مرسومة من رأس المثلث بزاوية قائمة إلى الجانب المقابل الذي سيكون القاعدة. كيف تجد مساحة المثلث باستخدام هذه الكميات؟

إذا كان V هو الارتفاع وO هي القاعدة، فإن المساحة هي S=V*O:2.

خيار آخر للحصول على القيمة المطلوبة يتطلب منا معرفة طولي الضلعين، وكذلك حجم الزاوية بينهما. إذا كان لدينا L وM - أطوال الجوانب، وQ - الزاوية بينهما، فيمكنك الحصول على المساحة باستخدام الصيغة S=(L*M*sin(Q))/2.

صيغة هيرون

بالإضافة إلى جميع الإجابات الأخرى على سؤال كيفية حساب مساحة المثلث، هناك صيغة تسمح لنا بالحصول على القيمة التي نحتاجها، بمعرفة أطوال الجوانب فقط. أي أننا إذا كنا نعرف أطوال جميع الأضلاع، فلن نحتاج إلى رسم الارتفاع وحساب طوله. يمكننا استخدام ما يسمى بصيغة هيرون.

إذا كانت M، N، L هي أطوال الأضلاع، فيمكننا إيجاد مساحة المثلث على النحو التالي. P=(M+N+L)/2، فالقيمة التي نحتاجها هي S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). في النهاية، كل ما علينا فعله هو حساب الجذر.

بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، تم تبسيط صيغة هيرون قليلًا. إذا كانت M وL أرجل، فإن S=(P-M)*(P-L).

الدوائر

هناك طريقة أخرى للعثور على مساحة المثلث وهي استخدام الدوائر الدائرية والدوائر المحيطة. للحصول على القيمة التي نحتاجها باستخدام دائرة منقوشة، علينا معرفة نصف قطرها. دعونا نشير إليها "ص". ثم الصيغة التي سنجري بها الحسابات ستكون على الشكل التالي: S=r*P، حيث P هي نصف مجموع أطوال جميع الأضلاع.

في المثلث الأيمن، تم تعديل هذه الصيغة قليلاً. بالطبع، يمكنك استخدام ما ورد أعلاه، ولكن من الأفضل استخدام تعبير مختلف للعمليات الحسابية. S=E*W، حيث E وW هما طول القطعة التي ينقسم إليها الوتر بنقطة تماس الدائرة.

عند الحديث عن الدائرة المقيدة، فإن العثور على مساحة المثلث ليس بالأمر الصعب أيضًا. من خلال إدخال التعيين R باعتباره نصف قطر الدائرة المقيدة، يمكنك الحصول على الصيغة التالية اللازمة لحساب القيمة المطلوبة: S= (M*N*L):(4*R). حيث الكميات الثلاثة الأولى هي أضلاع المثلث.

عند الحديث عن المثلث متساوي الأضلاع، من خلال عدد من التحولات الرياضية البسيطة، يمكنك الحصول على صيغ معدلة قليلاً:

ق=(3 1/2 *م 2)/4;

ق=(3*3 1/2 *ر2)/4;

ص=3*3 1/2 *ص 2 .

على أية حال، يمكن تغيير أي صيغة تسمح لك بإيجاد مساحة المثلث وفقًا لبيانات المهمة. لذا فإن جميع التعبيرات المكتوبة ليست مطلقة. عند حل المشكلات، فكر في العثور على الحل الأنسب.

الإحداثيات

عند دراسة المحاور الإحداثية، تصبح المهام التي تواجه الطلاب أكثر تعقيدًا. ومع ذلك، ليس بقدر الذعر. من أجل العثور على مساحة المثلث من إحداثيات القمم، يمكنك استخدام نفس صيغة هيرون، ولكن معدلة قليلا. بالنسبة للإحداثيات فهي تأخذ الشكل التالي:

س=((س 2 -س 1) 2 *(ص 2 -ص 1) 2 *(ض 2 -ض 1) 2) 1/2.

ومع ذلك، لا أحد يمنع استخدام الإحداثيات لحساب أطوال جوانب المثلث ثم باستخدام الصيغ المكتوبة أعلاه، حساب المنطقة. لتحويل الإحداثيات إلى الطول، استخدم الصيغة التالية:

ل=((س 2 -س 1) 2 +(ص 2 -ص 1) 2) 1/2.

ملحوظات

استخدمت المقالة الرموز القياسية للكميات المستخدمة في معظم المسائل. في هذه الحالة، تعني القوة "1/2" أنك بحاجة إلى استخراج جذر التعبير بأكمله الموجود بين قوسين.

كن حذرا عند اختيار الصيغة. البعض منهم يفقد أهميته اعتمادا على الظروف الأولية. على سبيل المثال، صيغة الدائرة المحيطة. إنه قادر على حساب النتيجة لك على أي حال، ولكن قد يكون هناك موقف قد لا يكون فيه المثلث ذو المعلمات المحددة موجودًا على الإطلاق.

إذا كنت تجلس في المنزل وتقوم بواجباتك المنزلية، فيمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. توفر العديد من المواقع القدرة على حساب الكميات المختلفة باستخدام معلمات معينة، ولا يهم أي منها. يمكنك ببساطة إدخال البيانات الأولية في الحقول، وسيقوم الكمبيوتر (موقع الويب) بحساب النتيجة لك. بهذه الطريقة يمكنك تجنب الأخطاء التي ارتكبت بسبب الإهمال.

نأمل أن يكون مقالنا قد أجاب على جميع أسئلتك المتعلقة بحساب مساحة مجموعة متنوعة من المثلثات، ولن تضطر إلى البحث عن معلومات إضافية في مكان آخر. حظا موفقا في دراستك!

لتحديد مساحة المثلث، يمكنك استخدام صيغ مختلفة. من بين جميع الطرق، الطريقة الأسهل والأكثر استخدامًا هي ضرب الارتفاع في طول القاعدة ثم قسمة النتيجة على اثنين. ومع ذلك، هذه الطريقة ليست الوحيدة. يمكنك أدناه قراءة كيفية العثور على مساحة المثلث باستخدام صيغ مختلفة.

بشكل منفصل، سننظر في طرق حساب مساحة أنواع معينة من المثلثات - مستطيلة، متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع. نرفق كل صيغة بشرح قصير يساعدك على فهم جوهرها.

طرق عالمية لإيجاد مساحة المثلث

تستخدم الصيغ أدناه تدوينًا خاصًا. سنقوم بفك رموز كل منهم:

• أ، ب، ج – أطوال الجوانب الثلاثة للشكل الذي ندرسه؛
• r هو نصف قطر الدائرة التي يمكن إدراجها في مثلثنا؛
• R هو نصف قطر الدائرة التي يمكن وصفها حولها؛
• α هو مقدار الزاوية التي يشكلها الجانبان b وc؛
• β هو حجم الزاوية بين a و c؛
• γ هو مقدار الزاوية التي يشكلها الجانبان a وb؛
• h هو ارتفاع مثلثنا، منخفضًا من الزاوية α إلى الجانب a؛
• ع - نصف مجموع الجوانب أ، ب، ج.

من الواضح منطقيًا سبب إمكانية العثور على مساحة المثلث بهذه الطريقة. يمكن بسهولة إكمال المثلث إلى متوازي أضلاع، حيث يكون أحد جوانب المثلث بمثابة قطري. يتم إيجاد مساحة متوازي الأضلاع بضرب طول أحد أضلاعه في قيمة الارتفاع المرسوم عليه. يقسم القطر متوازي الأضلاع الشرطي هذا إلى مثلثين متطابقين. لذلك، فمن الواضح تمامًا أن مساحة مثلثنا الأصلي يجب أن تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع المساعد هذا.

S=½ أ ب خطيئة γ

ووفقاً لهذه الصيغة، يتم إيجاد مساحة المثلث عن طريق ضرب طولي ضلعيه، أي a وb، في جيب الزاوية المتكونة منهما. هذه الصيغة مشتقة منطقيا من الصيغة السابقة. إذا قمنا بتخفيض الارتفاع من الزاوية β إلى الجانب b، فوفقًا لخصائص المثلث القائم، عندما نضرب طول الضلع a في جيب الزاوية γ، نحصل على ارتفاع المثلث، أي h .

يتم العثور على مساحة الشكل المعني عن طريق ضرب نصف نصف قطر الدائرة التي يمكن تسجيلها بمحيطها. بمعنى آخر، نجد حاصل ضرب نصف محيط الدائرة المذكورة ونصف قطرها.

S= أ ب ج/4R

وفقا لهذه الصيغة، يمكن إيجاد القيمة التي نحتاجها عن طريق قسمة منتج جوانب الشكل على 4 أنصاف أقطار الدائرة الموصوفة حوله.

هذه الصيغ عالمية، لأنها تجعل من الممكن تحديد مساحة أي مثلث (سكالين، متساوي الساقين، متساوي الأضلاع، مستطيل). يمكن القيام بذلك باستخدام حسابات أكثر تعقيدًا لن نتناولها بالتفصيل.

مساحات المثلثات ذات الخصائص المحددة

كيفية العثور على مساحة المثلث الأيمن؟ وتكمن خصوصية هذا الشكل في أن جانبيه متساويان في ارتفاعه في نفس الوقت. إذا كان a وb ساقين، وأصبح c الوتر، فإننا نجد المساحة كما يلي:

كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين؟ لها ضلعان بطول أ وضلع بطول ب. وبالتالي، يمكن تحديد مساحتها عن طريق القسمة على 2 منتج مربع الجانب أ على جيب الزاوية γ.

كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الأضلاع؟ فيه طول جميع الجوانب يساوي a وحجم جميع الزوايا هو α. ارتفاعه يساوي نصف منتج طول الضلع أ والجذر التربيعي لـ 3. للعثور على مساحة مثلث منتظم، عليك ضرب مربع الضلع أ في الجذر التربيعي لـ 3 والقسمة على 4.

مساحة المثلث - صيغ وأمثلة لحل المشكلات

هي أقل صيغ لإيجاد مساحة المثلث التعسفيوهي مناسبة لإيجاد مساحة أي مثلث بغض النظر عن خصائصه أو زواياه أو أحجامه. وتعرض الصيغ على شكل صورة مع شرح تطبيقها أو مبررات صحتها. كما يوضح شكل منفصل التطابق بين رموز الحروف في الصيغ والرموز الرسومية في الرسم.

ملحوظة . إذا كان للمثلث خصائص خاصة (متساوي الساقين، مستطيل، متساوي الأضلاع)، فيمكنك استخدام الصيغ الواردة أدناه، بالإضافة إلى صيغ خاصة إضافية صالحة فقط للمثلثات التي لها هذه الخصائص:

• "صيغة لمنطقة المثلث متساوي الأضلاع"

صيغ منطقة المثلث

شرح الصيغ:
أ، ب، ج- أطوال أضلاع المثلث الذي نريد إيجاد مساحته
ص- نصف قطر الدائرة المبينة في المثلث
ر- نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث
ح- ارتفاع المثلث المخفض إلى الجانب
ص- نصف محيط المثلث، 1/2 مجموع أضلاعه (المحيط)
α - الزاوية المقابلة للضلع أ من المثلث
β - الزاوية المقابلة للضلع ب من المثلث
γ - الزاوية المقابلة للضلع ج من المثلث
ح أ, ح ب , ح ج- ارتفاع المثلث المخفض للأطراف أ، ب، ج

يرجى ملاحظة أن الرموز المعطاة تتوافق مع الشكل أعلاه، بحيث عند حل مشكلة هندسية حقيقية، سيكون من الأسهل عليك بصريًا استبدال القيم الصحيحة في الأماكن الصحيحة في الصيغة.

• مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ارتفاع المثلث وطول الضلع الذي ينخفض ​​به هذا الارتفاع(فورمولا 1). يمكن فهم صحة هذه الصيغة منطقيا. سيؤدي الارتفاع المنخفض إلى القاعدة إلى تقسيم المثلث التعسفي إلى مثلثين مستطيلين. إذا قمت ببناء كل واحد منهم في مستطيل بأبعاد b و h، فمن الواضح أن مساحة هذه المثلثات ستكون مساوية لنصف مساحة المستطيل بالضبط (Spr = bh)
• مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ضلعيه وجيب الزاوية بينهما(الصيغة 2) (راجع مثالاً لحل مشكلة باستخدام هذه الصيغة أدناه). على الرغم من أنها تبدو مختلفة عن سابقتها، إلا أنه من السهل أن تتحول إليها. إذا خفضنا الارتفاع من الزاوية B إلى الضلع B، يتبين أن حاصل ضرب الضلع A وجيب الزاوية γ، وفقًا لخصائص الجيب في المثلث القائم، يساوي ارتفاع المثلث الذي رسمناه ، والذي يعطينا الصيغة السابقة
• يمكن العثور على مساحة المثلث التعسفي خلال عملنصف نصف قطر الدائرة المبينة فيها بمجموع أطوال جميع أضلاعها(الصيغة 3)، ببساطة، تحتاج إلى ضرب نصف محيط المثلث في نصف قطر الدائرة المنقوشة (يسهل تذكر ذلك)
• يمكن إيجاد مساحة المثلث التعسفي عن طريق قسمة ناتج جميع جوانبه على 4 أنصاف أقطار الدائرة المحيطة به (الصيغة 4)
• الصيغة 5 هي إيجاد مساحة المثلث من خلال أطوال أضلاعه ونصف محيطه (نصف مجموع جميع أضلاعه)
• صيغة هيرون(6) هو تمثيل لنفس الصيغة دون استخدام مفهوم نصف المحيط، فقط من خلال أطوال الأضلاع
• مساحة المثلث التعسفي تساوي حاصل ضرب مربع جانب المثلث وجيب الزوايا المجاورة لهذا الجانب مقسومًا على الجيب المزدوج للزاوية المقابلة لهذا الجانب (الصيغة 7)
• يمكن العثور على مساحة المثلث التعسفي كمنتج لمربعين من الدائرة المحاطة بجيب كل زاوية من زواياه. (الصيغة 8)
• إذا كان طول أحد الضلعين وقيمتي زاويتين متجاورتين معروفتين، فيمكن إيجاد مساحة المثلث كمربع هذا الضلع مقسومًا على المجموع المزدوج لظلال التمام لهذه الزوايا (الصيغة 9)
• إذا كان معروفا فقط طول كل ارتفاع من ارتفاعات المثلث (الصيغة 10)، فإن مساحة هذا المثلث تتناسب عكسيا مع أطوال هذه الارتفاعات، كما هو الحال وفقا لصيغة هيرون
• الصيغة 11 تسمح لك بالحساب مساحة المثلث بناءً على إحداثيات رؤوسه، والتي تم تحديدها كقيم (x;y) لكل من القمم. يرجى ملاحظة أن القيمة الناتجة يجب أن تؤخذ بشكل معياري، حيث أن إحداثيات القمم الفردية (أو حتى جميعها) قد تكون في منطقة القيم السالبة

ملحوظة. فيما يلي أمثلة على حل المسائل الهندسية لإيجاد مساحة المثلث. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير مشابهة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. في الحلول، بدلاً من رمز "الجذر التربيعي"، يمكن استخدام الدالة sqrt()، حيث يكون sqrt هو رمز الجذر التربيعي، ويتم الإشارة إلى التعبير الجذري بين قوسين.في بعض الأحيان يمكن استخدام الرمز للتعبيرات الجذرية البسيطة √

مهمة. أوجد المساحة بمعلومية الجانبين والزاوية بينهما

أضلاع المثلث 5 و 6 سم والزاوية بينهما 60 درجة. أوجد مساحة المثلث.

حل.

لحل هذه المشكلة نستخدم الصيغة رقم اثنين من الجزء النظري من الدرس.
يمكن إيجاد مساحة المثلث من خلال طولي الضلعين وجيب الزاوية بينهما وستكون مساوية
S=1/2 أب سين γ

نظرًا لأن لدينا جميع البيانات اللازمة للحل (وفقًا للصيغة)، فيمكننا فقط استبدال القيم من شروط المشكلة في الصيغة:
س = 1/2 * 5 * 6 * جا 60

في جدول قيم الدوال المثلثية، سنجد ونعوض بقيمة جيب الزاوية 60 درجة في التعبير. وسيكون مساويًا لجذر ثلاثة في اثنين.
س = 15 √3 / 2

إجابة: 7.5 √3 (حسب متطلبات المعلم، يمكنك على الأرجح ترك 15 √3/2)

مهمة. أوجد مساحة المثلث متساوي الأضلاع

أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 3 سم.

حل .

يمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون:

S = 1/4 جذر ((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))

بما أن a = b = c، فإن صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع تأخذ الشكل:

س = √3 / 4 * أ 2

س = √3 / 4 * 3 2

إجابة: 9 √3 / 4.

مهمة. التغيير في المساحة عند تغيير طول الجوانب

كم مرة ستزداد مساحة المثلث إذا زادت أضلاعه 4 مرات؟

حل.

بما أن أبعاد أضلاع المثلث غير معروفة لنا، لحل المشكلة سنفترض أن أطوال الأضلاع تساوي على التوالي أرقامًا عشوائية a، b، c. ثم، للإجابة على سؤال المشكلة، سنوجد مساحة المثلث المعطى، ثم سنجد مساحة المثلث الذي تكون أضلاعه أكبر بأربعة أضعاف. نسبة مساحات هذه المثلثات ستعطينا إجابة المسألة.

وفيما يلي نقدم شرح نصي لحل المشكلة خطوة بخطوة. ومع ذلك، في النهاية، يتم تقديم هذا الحل نفسه في شكل رسومي أكثر ملاءمة. يمكن للمهتمين النزول على الفور إلى الحلول.

لحل المشكلة، نستخدم صيغة هيرون (انظر أعلاه في الجزء النظري من الدرس). تبدو هكذا:

S = 1/4 جذر ((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
(انظر السطر الأول من الصورة أدناه)

يتم تحديد أطوال أضلاع المثلث بواسطة المتغيرات a، b، c.
إذا زادت أضلاعه 4 مرات فإن مساحة المثلث الجديد c ستكون:

S 2 = 1/4 جذر ((4أ + 4ب + 4ج)(4ب + 4ج - 4أ)(4أ + 4ج - 4ب)(4أ + 4ب -4ج))
(انظر السطر الثاني في الصورة أدناه)

كما ترون، 4 هو عامل مشترك يمكن إخراجه من الأقواس من جميع التعبيرات الأربعة وفقا للقواعد العامة للرياضيات.
ثم

S 2 = 1/4 جذر(4 * 4 * 4 * 4 (أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج)) - في السطر الثالث من الصورة
S 2 = 1/4 جذر(256 (أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج)) - السطر الرابع

تم استخراج الجذر التربيعي للرقم 256 بشكل مثالي، لذا دعونا نخرجه من تحت الجذر
S 2 = 16 * 1/4 جذر((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
S 2 = 4 جذر ((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
(انظر السطر الخامس من الصورة أدناه)

للإجابة على السؤال المطروح في المسألة، نحتاج فقط إلى قسمة مساحة المثلث الناتج على مساحة المثلث الأصلي.
دعونا نحدد نسب المساحة عن طريق قسمة التعبيرات على بعضها البعض وتقليل الكسر الناتج.

المثلث هو شخصية مألوفة لدى الجميع. وهذا على الرغم من التنوع الغني لأشكاله. مستطيل، متساوي الأضلاع، حاد، متساوي الساقين، منفرج. كل واحد منهم مختلف بطريقة ما. ولكن لأي شخص تحتاج إلى معرفة مساحة المثلث.

الصيغ المشتركة لجميع المثلثات التي تستخدم أطوال الأضلاع أو الارتفاعات

التسميات المعتمدة فيها: الجوانب - أ، ب، ج؛ الارتفاعات على الجوانب المقابلة على a، n in، n with.

1. يتم حساب مساحة المثلث على أنها حاصل ضرب ½ الضلع والارتفاع مطروحًا منه. ق = ½ * أ * ن أ. يجب كتابة الصيغ الخاصة بالجانبين الآخرين بالمثل.

2. صيغة هيرون، والتي يظهر فيها نصف المحيط (يشار إليه عادة بالحرف الصغير p، على عكس المحيط الكامل). يجب حساب نصف المحيط على النحو التالي: جمع جميع الجوانب وتقسيمها على 2. صيغة نصف المحيط هي: p = (a+b+c) / 2. ثم المساواة في مساحة ​يبدو الشكل كما يلي: S = √ (ص * (ص - أ) * ( Р - в) * (Р - с)).

3. إذا كنت لا تريد استخدام نصف المحيط، فستكون الصيغة التي تحتوي على أطوال الجوانب فقط مفيدة: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (أ + ج - ج) * (أ + ب - ج)). إنه أطول قليلاً من السابق، لكنه سيساعدك إذا نسيت كيفية العثور على نصف المحيط.

الصيغ العامة التي تتضمن زوايا المثلث

الرموز المطلوبة لقراءة الصيغ: α، β، γ - الزوايا. تقع على الجانبين المتقابلين أ، ب، ج، على التوالي.

1. ووفقا له، نصف منتج الجانبين وجيب الزاوية بينهما يساوي مساحة المثلث. أي: S = ½ أ * ب * الخطيئة γ. يجب كتابة الصيغ الخاصة بالحالتين الأخريين بطريقة مماثلة.

2. يمكن حساب مساحة المثلث من ضلع واحد وثلاث زوايا معروفة. S = (أ 2 * خطيئة β * خطيئة γ) / (2 خطيئة α).

3. هناك أيضًا صيغة ذات ضلع واحد معروف وزاويتين متجاورتين. يبدو كالتالي: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

الصيغتان الأخيرتان ليستا الأبسط. من الصعب جدًا تذكرهم.

الصيغ العامة للمواقف التي تكون فيها أقطار الدوائر المنقوشة أو المقيدة معروفة

تسميات إضافية: ص، ص - نصف القطر. يستخدم الأول لنصف قطر الدائرة المنقوشة. والثاني هو لمن وصفه.

1. الصيغة الأولى التي يتم من خلالها حساب مساحة المثلث تتعلق بنصف المحيط. ص = ص * ص. هناك طريقة أخرى لكتابتها وهي: S = ½ r * (a + b + c).

2. في الحالة الثانية، ستحتاج إلى ضرب جميع أضلاع المثلث وتقسيمها على أربعة أضعاف نصف قطر الدائرة المحددة. في التعبير الحرفي يبدو كما يلي: S = (a * b * c) / (4R).

3. الوضع الثالث يسمح لك بالاستغناء عن معرفة الجوانب، لكنك ستحتاج إلى قيم الزوايا الثلاث. S = 2 R 2 * الخطيئة α * الخطيئة β * الخطيئة γ.

حالة خاصة: المثلث القائم الزاوية

هذا هو الوضع الأبسط، حيث أن طول الساقين فقط هو المطلوب. تم تحديدها بالأحرف اللاتينية a و b. مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف مساحة المستطيل المضاف إليه.

رياضيا يبدو كما يلي: S = ½ أ * ب. إنه الأسهل للتذكر. لأنها تشبه صيغة مساحة المستطيل، يظهر فقط كسر يشير إلى النصف.

حالة خاصة: مثلث متساوي الساقين

نظرًا لأن له ضلعين متساويين، فإن بعض الصيغ الخاصة بمساحته تبدو مبسطة إلى حد ما. على سبيل المثال، صيغة هيرون، التي تحسب مساحة المثلث المتساوي الساقين، تأخذ الشكل التالي:

S = ½ بوصة √((أ + ½ بوصة)*(أ ​​- ½ بوصة)).

إذا قمت بتحويله، فسوف يصبح أقصر. في هذه الحالة، صيغة هيرون للمثلث متساوي الساقين مكتوبة على النحو التالي:

S = ¼ في √(4 * أ 2 - ب 2).

تبدو صيغة المساحة أبسط إلى حد ما من المثلث العشوائي إذا كانت الجوانب والزاوية بينهما معروفة. S = ½ أ 2 * الخطيئة β.

حالة خاصة: مثلث متساوي الأضلاع

عادةً ما يكون الجانب المتعلق بالمشاكل معروفًا أو يمكن اكتشافه بطريقة ما. ثم صيغة إيجاد مساحة هذا المثلث هي كما يلي:

س = (أ ٢ √٣) / ٤.

مشاكل في العثور على المنطقة إذا تم تصوير المثلث على ورق مربعات

أبسط موقف هو عندما يتم رسم مثلث قائم الزاوية بحيث تتطابق أرجله مع خطوط الورقة. ثم تحتاج فقط إلى حساب عدد الخلايا التي تتناسب مع الساقين. ثم اضربهم واقسمهم على اثنين.

عندما يكون المثلث حادًا أو منفرجًا، يجب رسمه على شكل مستطيل. ثم سيكون للشكل الناتج 3 مثلثات. واحد هو الذي ورد في المشكلة. والاثنان الآخران مساعدان ومستطيلان. يجب تحديد مناطق الأخيرين باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه. ثم احسب مساحة المستطيل واطرح منه تلك المحسوبة للمساعدين. يتم تحديد مساحة المثلث.

تبين أن الموقف الذي لا يتطابق فيه أي من أضلاع المثلث مع خطوط الورقة هو أكثر تعقيدًا. ثم يجب أن يُدرج في مستطيل بحيث تقع رؤوس الشكل الأصلي على جوانبه. في هذه الحالة، سيكون هناك ثلاثة مثلثات قائمة مساعدة.

مثال على مشكلة باستخدام صيغة هيرون

حالة. بعض المثلثات لها جوانب معروفة. وهي تساوي 3 و 5 و 6 سم، وتحتاج إلى معرفة مساحتها.

الآن يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة أعلاه. تحت الجذر التربيعي يوجد حاصل ضرب أربعة أرقام: 7، 4، 2 و1. أي أن المساحة هي √(4 * 14) = 2 √(14).

إذا لم تكن هناك حاجة إلى دقة أكبر، فيمكنك أخذ الجذر التربيعي لـ 14. وهو يساوي 3.74. ثم ستكون المساحة 7.48.

إجابة. ق = 2 √14 سم2 أو 7.48 سم2.

مثال على مشكلة المثلث القائم الزاوية

حالة. أحد أرجل المثلث القائم أكبر من الآخر بـ 31 سم، ويلزم معرفة أطوالهما إذا كانت مساحة المثلث 180 سم2.
حل. سيتعين علينا حل نظام من معادلتين. الأول يتعلق بالمنطقة. والثاني هو نسبة الساقين الواردة في المشكلة.
180 = ½ أ * ب؛

أ = ب + 31.
أولا، يجب استبدال قيمة "أ" في المعادلة الأولى. اتضح: 180 = ½ (في + 31) * في. لديها كمية واحدة غير معروفة فقط، لذلك من السهل حلها. وبعد فتح القوسين يتم الحصول على المعادلة التربيعية: 2 + 31 360 = 0. وهذا يعطي قيمتين لـ "في": 9 و - 40. الرقم الثاني غير مناسب كإجابة، لأن طول الضلع لا يمكن للمثلث أن يكون قيمة سالبة.

ويبقى حساب الضلع الثاني: أضف 31 إلى الرقم الناتج، وسيظهر 40. هذه هي الكميات المطلوبة في المشكلة.

إجابة. أرجل المثلث 9 و 40 سم.

مشكلة إيجاد الضلع من خلال مساحة المثلث وضلعه وزاويته

حالة. مساحة مثلث معين 60سم2. ومن الضروري حساب أحد أضلاعه إذا كان طول الضلع الثاني 15 سم والزاوية بينهما 30 درجة.

حل. بناءً على الترميز المقبول، فإن الجانب المطلوب هو "a"، والجانب المعروف هو "b"، والزاوية المعطاة هي "γ". ثم يمكن إعادة كتابة صيغة المنطقة على النحو التالي:

60 = ½ أ * 15 * خطيئة 30 درجة. هنا جيب 30 درجة يساوي 0.5.

بعد التحويلات، يصبح "أ" يساوي 60 / (0.5 * 0.5 * 15). هذا هو 16.

إجابة. الجانب المطلوب هو 16 سم.

مسألة حول المربع المدرج في المثلث القائم

حالة. يتطابق رأس مربع طول ضلعه ٢٤ سم مع الزاوية القائمة للمثلث. الاثنان الآخران يكمنان على الجانبين. والثالث ينتمي إلى الوتر. طول إحدى الأرجل 42 سم ما مساحة المثلث القائم؟

حل. النظر في اثنين من المثلثات الصحيحة. الأول هو المحدد في المهمة. والثاني مبني على الضلع المعروف للمثلث الأصلي. إنها متشابهة لأن لها زاوية مشتركة وتتكون من خطوط متوازية.

ثم تكون نسب أرجلهم متساوية. أرجل المثلث الأصغر تساوي 24 سم (ضلع المربع) و 18 سم (إذا كان طول الضلع 42 سم ناقص ضلع المربع 24 سم). الأرجل المقابلة لمثلث كبير هي 42 سم و x سم وهذا هو "x" المطلوب لحساب مساحة المثلث.

18/42 = 24/س، أي x = 24 * 42 / 18 = 56 (سم).

ثم المساحة تساوي حاصل ضرب 56 و 42 مقسوما على اثنين، أي 1176 سم2.

إجابة. المساحة المطلوبة 1176 سم2 .

يمكنك العثور على أكثر من 10 صيغ لحساب مساحة المثلث على الإنترنت، ويستخدم الكثير منها في المسائل المتعلقة بأضلاع وزوايا المثلث المعروفة. ومع ذلك، هناك عدد من الأمثلة المعقدة حيث، وفقًا لشروط المهمة، لا يُعرف سوى جانب واحد وزوايا المثلث، أو نصف قطر الدائرة المقيدة أو المنقوشة وخاصية أخرى. في مثل هذه الحالات، لا يمكن تطبيق صيغة بسيطة.

ستسمح لك الصيغ الواردة أدناه بحل 95 بالمائة من المشكلات التي تحتاج فيها إلى إيجاد مساحة المثلث.
دعنا ننتقل إلى النظر في صيغ المنطقة المشتركة.
خذ بعين الاعتبار المثلث الموضح في الشكل أدناه

في الشكل وأدناه في الصيغ، يتم تقديم التسميات الكلاسيكية لجميع خصائصها.
أ، ب، ج – أضلاع المثلث،
R - نصف قطر الدائرة المقيدة،
ص - نصف قطر الدائرة المنقوشة،
h[b],h[a],h[c] – الارتفاعات المرسومة وفقًا للجوانب a,b,c.
ألفا، بيتا، هاما - زوايا قريبة من القمم.

الصيغ الأساسية لمنطقة المثلث

1. المساحة تساوي نصف حاصل ضرب ضلع المثلث والارتفاع المخفض إلى هذا الضلع. في لغة الصيغ يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي

وبالتالي، إذا كان الضلع والارتفاع معروفين، فسيجد كل طالب المساحة.
بالمناسبة، من هذه الصيغة يمكن استخلاص علاقة مفيدة بين الارتفاعات

2. إذا أخذنا في الاعتبار أن ارتفاع المثلث عبر الجانب المجاور يتم التعبير عنه بالاعتماد

ثم تتبع صيغة المنطقة الأولى الصيغة الثانية من نفس النوع

انظر بعناية إلى الصيغ - فهي سهلة التذكر، حيث أن العمل يتضمن وجهين والزاوية بينهما. إذا قمنا بتعيين جوانب وزوايا المثلث بشكل صحيح (كما في الشكل أعلاه)، فسنحصل على الجانبين أ، ب والزاوية متصلة بالثالثةمع (حمة).

3. بالنسبة لزوايا المثلث، العلاقة صحيحة

يتيح لك الاعتماد استخدام الصيغ التالية لمنطقة المثلث في العمليات الحسابية:

أمثلة على هذا الاعتماد نادرة للغاية، ولكن عليك أن تتذكر أن هناك مثل هذه الصيغة.

4. إذا كان الضلع والزاويتان المجاورتان معروفتين، يتم إيجاد المساحة بالصيغة

5. صيغة المساحة من حيث الجانب وظل التمام للزوايا المجاورة هي كما يلي

من خلال إعادة ترتيب الفهارس يمكنك الحصول على تبعيات لأطراف أخرى.

6. يتم استخدام صيغة المساحة أدناه في المسائل عندما يتم تحديد رؤوس المثلث على المستوى بواسطة الإحداثيات. في هذه الحالة، المساحة تساوي نصف المحدد المأخوذ.

7. صيغة هيرونتستخدم في الأمثلة ذات الجوانب المعروفة للمثلث.
أولًا، أوجد نصف محيط المثلث

ثم حدد المساحة باستخدام الصيغة

أو

غالبًا ما يتم استخدامه في كود برامج الآلة الحاسبة.

8. إذا كانت جميع ارتفاعات المثلث معروفة، يتم تحديد المساحة بالصيغة

من الصعب إجراء الحساب باستخدام الآلة الحاسبة، ولكن في حزم MathCad وMathematica وMaple تكون المساحة هي "الزمن الثاني".

9. تستخدم الصيغ التالية نصف القطر المعروف للدوائر المنقوشة والمحددة.

على وجه الخصوص، إذا كان نصف قطر المثلث وأضلاعه أو محيطه معروفين، فسيتم حساب المساحة وفقًا للصيغة

10. في الأمثلة التي يتم فيها إعطاء الجوانب ونصف القطر أو قطر الدائرة المحددة، يتم العثور على المساحة باستخدام الصيغة

11. تحدد الصيغة التالية مساحة المثلث من حيث أضلاع المثلث وزواياه.

وأخيرا - حالات خاصة:
مساحة المثلث الأيمنمع الساقين أ و ب تساوي نصف منتجاتها

صيغة لمنطقة مثلث متساوي الأضلاع (منتظم).=

= ربع حاصل ضرب مربع الضلع وجذر ثلاثة.