ابحث عن الحد حسب التعريف عبر الإنترنت. حدود

عند حل مسائل إيجاد النهايات يجب أن تتذكر بعض النهايات حتى لا تعيد حسابها في كل مرة. ومن خلال الجمع بين هذه الحدود المعروفة، سنجد حدودًا جديدة باستخدام الخصائص المشار إليها في الفقرة 4. من أجل التيسير، نقدم الحدود الأكثر شيوعًا: الحدود 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a)، إذا كانت f (x) متصلة x a إذا كان من المعروف أن الدالة متصلة، فبدلاً من إيجاد النهاية، نحسب قيمة الدالة. مثال 1. ابحث عن lim (x*-6l:+ 8). نظرًا لوجود الكثير - X->2

دالة العضو متصلة، ثم lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 مثال 2. ابحث عن lim -r. . أولًا، نوجد نهاية المقام: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; لا يساوي X-Y1 صفر، مما يعني أنه يمكننا تطبيق الخاصية 4 § 4، ثم x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. حد المقام X X يساوي الصفر، لذلك لا يمكن تطبيق الخاصية 4 من الفقرة 4 نظرًا لأن البسط هو رقم ثابت والمقام هو [x2x) -> -0 لـ x - - 1، فإن الكسر بأكمله يزيد إلى أجل غير مسمى. بالقيمة المطلقة، أي lim " 1 X - * - - 1 x* + x مثال 4. أوجد lim\-ll*"!"" "نهاية المقام هي صفر: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0، لذا فإن خاصية X 4 § 4 غير قابلة للتطبيق. لكن نهاية البسط تساوي أيضًا الصفر: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. لذا، فإن حدي البسط والمقام يساويان الصفر في نفس الوقت. ومع ذلك، فإن الرقم 2 هو جذر كل من البسط والمقام، لذلك يمكن اختزال الكسر بالفرق x-2 (وفقًا لنظرية بيزوت). في الواقع، x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" لذلك، xr- - f- 6 g x-3 -1 1 مثال 5. أوجد lim xn (n عدد صحيح، موجب). X مع لدينا xn = X* X . . X, n مرات حيث أن كل عامل ينمو بلا حدود، فإن المنتج ينمو أيضًا بلا حدود، أي lim xn=oo. x oo مثال 6. أوجد lim xn(n عدد صحيح، موجب). X -> - CO لدينا xn = x x...x. نظرًا لأن كل عامل ينمو في القيمة المطلقة مع بقائه سالبًا، ففي حالة الدرجة الزوجية، سينمو المنتج بشكل غير محدود مع بقائه موجبًا، أي lim *n = + oo (حتى n). *-* -о في حالة الدرجة الفردية، تزداد القيمة المطلقة للناتج ولكنها تظل سالبة، أي lim xn = - oo (بالنسبة لـ n فردي). ع -- 00 مثال 7. ابحث عن lim . x x-*- co * إذا كانت m>pu فيمكننا أن نكتب: m = n + kt حيث k>0. لذلك xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu وصلنا إلى المثال 6. إذا ti uTL xm I lim lim lim t X - O x-* yu L X ->co هنا يظل البسط ثابتًا، ويزداد المقام في القيمة المطلقة، لذلك lim -ь = 0. Х-*оо X* يوصى بتذكر نتيجة هذا المثال بالشكل التالي: دالة الطاقة تنمو بشكل أسرع، كلما زاد الأس. $xв_Зхг+7

أمثلة

مثال 8. أوجد lim g L -g-=. في هذا المثال x-*® "J* "G bX -ox-o والبسط والمقام يزيدان بلا حدود. دعونا نقسم كلاً من البسط والمقام على أعلى قوة x، أي على xb، ثم 3 7_ مثال 9. أوجد ليرة. بإجراء التحويلات، نحصل على ليرة ^ = lim X CO + 3 7 3 بما أن lim -5 = 0، lim -، = 0، فإن نهاية المقام rad-*® X X-+-CD X يساوي صفرًا، بينما نهاية البسط هي 1. وبالتالي، فإن الكسر بأكمله يزيد بدون حد، أي t 7x hm X-+ ω مثال 10. أوجد lim لنحسب النهاية S المقام، مع تذكر أن دالة cos*- متصلة: lira (2 + cos x) = 2 + cosy =2. ثم x->- S lim (l-fsin*) مثال 15. أوجد lim *<*-e>2 و lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO اضغط (l: - a)2 = z; نظرًا لأن (l;-a)2 ينمو دائمًا بشكل غير سلبي وبدون حدود مع x، فمن أجل x - ±oo المتغير الجديد z-*oc. لذلك نحصل على كيو تي جنيه استرليني<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (انظر الملاحظة إلى الفقرة 5). g -*■ co بالمثل lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q، حيث أن x ± oo g m - (x- a)z يتناقص بلا حدود كـ x ->±oo (انظر الملاحظة إلى §

عند حساب الحدود، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار القواعد الأساسية التالية:

1. نهاية مجموع (فرق) الدوال يساوي مجموع (فرق) حدود الحدود:

2. نهاية منتج الدوال يساوي منتج حدود العوامل:

3. حد النسبة بين دالتين يساوي نسبة حدود هذه الدوال:

.

4. يمكن أخذ العامل الثابت خارج علامة الحد:

.

5. نهاية الثابت تساوي الثابت نفسه:

6. بالنسبة للوظائف المستمرة، يمكن تبديل رموز الحد والوظيفة:

.

يجب أن يبدأ العثور على نهاية الدالة عن طريق استبدال القيمة في تعبير الدالة. علاوة على ذلك، إذا تم الحصول على القيمة العددية 0 أو ¥، فقد تم العثور على الحد المطلوب.

مثال 2.1.احسب الحد.

حل.

.

تسمى التعبيرات من النموذج , , , عدم اليقين.

إذا حصلت على عدم يقين في النموذج، للعثور على النهاية التي تحتاجها لتحويل الدالة للكشف عن عدم اليقين هذا.

عادةً ما يتم الحصول على عدم اليقين في الشكل عند تحديد حد النسبة بين كثيرتي الحدود. في هذه الحالة، لحساب النهاية، يوصى بتحليل كثيرات الحدود وتقليلها بعامل مشترك. هذا المضاعف هو صفر عند القيمة الحدية X .

مثال 2.2.احسب الحد.

حل.

بالتعويض نحصل على عدم اليقين:

.

دعونا نحلل البسط والمقام:

;

دعونا نختصر بعامل مشترك ونحصل على

.

يتم الحصول على عدم اليقين في النموذج عندما يتم إعطاء حد نسبة اثنين من كثيرات الحدود عند . في هذه الحالة، لحسابها، يوصى بتقسيم كل من كثيرات الحدود على X في الدرجة العليا.

مثال 2.3.احسب الحد.

حل.عند التعويض بـ ∞، نحصل على عدم يقين في الشكل، لذلك نقسم جميع حدود التعبير على × 3.

.

ويراعى هنا أن .

عند حساب حدود دالة تحتوي على جذور، يوصى بضرب الدالة وتقسيمها على مرافقها.

مثال 2.4.حساب الحد

حل.

عند حساب النهايات للكشف عن عدم اليقين في الشكل أو (1) ∞، غالباً ما يتم استخدام الحدين الملحوظين الأول والثاني:

العديد من المشاكل المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكمية تؤدي إلى الحد الملحوظ الثاني.

دعونا نفكر في مثال Ya. I. Perelman، مع إعطاء تفسير للرقم هفي مسألة الفائدة المركبة. وفي بنوك الادخار، تضاف أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويا. إذا تم الانضمام في كثير من الأحيان، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع، حيث يشارك مبلغ أكبر في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية.

دع 100 منكر تودع في البنك. وحدات على أساس 100% سنويا. إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت فقط بعد عام، ففي هذه الفترة 100 دن. وحدات سوف تتحول إلى 200 وحدة نقدية.

الآن دعونا نرى ما سيتحول إليه 100 إنكار. وحدات، إذا تم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. وبعد ستة أشهر 100 دن. وحدات سوف تنمو بمقدار 100 × 1.5 = 150، وبعد ستة أشهر أخرى - بمقدار 150 × 1.5 = 225 (دن. وحدة). إذا تم الانضمام كل ثلث العام، فبعد عام 100 دن. وحدات سيتحول إلى 100 × (1 +1/3) 3 »237 (الوحدات).

سوف نقوم بزيادة شروط إضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة، 0.01 سنة، 0.001 سنة، وما إلى ذلك. ثم من أصل 100 دن. وحدات وبعد عام يصبح:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (الوحدات)،

100 × (1+1/100) 100 » 270 (الوحدات)،

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (الوحدات).

ومع التخفيض غير المحدود في شروط إضافة الفائدة، فإن رأس المال المتراكم لا ينمو إلى أجل غير مسمى، بل يقترب من حد معين يساوي 271 تقريبًا. ولا يمكن لرأس المال المودع بنسبة 100% سنويًا أن يزيد بأكثر من 2.71 مرة، حتى لو كانت الفائدة المستحقة تمت إضافتها إلى العاصمة كل ثانية فقط بسبب

مثال 2.5.احسب نهاية الدالة

حل.

مثال 2.6.احسب نهاية الدالة .

حل.استبدال نحصل على عدم اليقين:

.

باستخدام الصيغة المثلثية، نحول البسط إلى حاصل الضرب:

ونتيجة لذلك نحصل

وهنا يؤخذ في الاعتبار الحد الملحوظ الثاني.

مثال 2.7.احسب نهاية الدالة

حل.

.

للكشف عن عدم اليقين في النموذج أو، يمكنك استخدام قاعدة L'Hopital، والتي تعتمد على النظرية التالية.

نظرية.نهاية النسبة بين دالتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي يساوي نهاية النسبة بين مشتقاتهما

لاحظ أنه يمكن تطبيق هذه القاعدة عدة مرات متتالية.

مثال 2.8.يجد

حل.عند الاستبدال، لدينا عدم يقين في النموذج. وبتطبيق قاعدة لوبيتال نحصل على

استمرارية الوظيفة

خاصية مهمة للوظيفة هي الاستمرارية.

تعريف.تعتبر الوظيفة مستمر، إذا كان التغيير الطفيف في قيمة الوسيطة يستلزم تغييرًا صغيرًا في قيمة الدالة.

رياضيا يتم كتابة هذا على النحو التالي: متى

ويقصد بـ و زيادة المتغيرات، أي الفرق بين القيم اللاحقة والسابقة: ، (الشكل 2.3)

الشكل 2.3 - زيادة المتغيرات

من تعريف الدالة المستمرة عند النقطة يتبع ذلك . وهذه المساواة تعني توافر ثلاثة شروط:

حل.للوظيفة النقطة مشبوهة بالنسبة للانقطاع، دعونا نتحقق من ذلك ونجد الحدود من جانب واحد

لذلك، ، وسائل - نقطة الاستراحة

مشتق من وظيفة

حد الوظيفة- رقم أسيكون حدًا لبعض الكمية المتغيرة إذا اقتربت هذه الكمية المتغيرة إلى أجل غير مسمى أثناء عملية تغييرها أ.

أو بمعنى آخر العدد أهو الحد من الوظيفة ص = و(س)عند هذه النقطة × 0، إذا كان لأي تسلسل من النقاط من مجال تعريف الدالة، لا يساوي × 0، والذي يتقارب إلى هذه النقطة × 0 (ليم × ن = ×0)، فإن تسلسل قيم الوظائف المقابلة يتقارب مع الرقم أ.

الرسم البياني للدالة التي يكون حدها يساوي ل:

معنى أيكون الحد (القيمة الحدية) للوظيفة و (خ)عند هذه النقطة × 0في حالة وجود أي تسلسل من النقاط ، الذي يتقارب × 0ولكن الذي لا يحتوي × 0كأحد عناصرها (أي في الجوار المثقوب × 0)، تسلسل قيم الوظائف يتقارب ل أ.

نهاية الدالة حسب كوشي

معنى أسوف يكون حد الوظيفة و (خ)عند هذه النقطة × 0إذا كان لأي رقم غير سالب تم أخذه مسبقًا ε سيتم العثور على الرقم المقابل غير السالب δ = δ(ε) بحيث لكل حجة س، استيفاء الشرط 0 < | x - x0 | < δ ، سيتم تلبية عدم المساواة | و(خ)أ |< ε .

سيكون الأمر بسيطًا جدًا إذا فهمت جوهر الحد والقواعد الأساسية للعثور عليه. ما هو الحد من الدالة F (س)في سنسعى جاهدين لإجل أيساوي أ، مكتوب هكذا:

علاوة على ذلك القيمة التي يميل إليها المتغير س، لا يمكن أن يكون رقمًا فحسب، بل قد يكون أيضًا ما لا نهاية (∞)، وأحيانًا +∞ أو -∞، أو قد لا يكون هناك حد على الإطلاق.

لفهم كيف العثور على حدود وظيفةفمن الأفضل أن ننظر إلى أمثلة الحلول.

من الضروري العثور على حدود الوظيفة F (س) = 1/سفي:

س→ 2, س→ 0, س→ ∞.

دعونا نجد حل للحد الأول. للقيام بذلك، يمكنك ببساطة استبدال سالعدد الذي يميل إليه، أي. 2 نحصل على:

دعونا نجد الحد الثاني للدالة. هنا استبدل النقي 0 بدلاً من ذلك سفمن المستحيل، لأنه لا يمكنك القسمة على 0. ولكن يمكننا أن نأخذ القيم القريبة من الصفر، على سبيل المثال 0.01؛ 0.001; 0.0001; 0.00001 وهكذا، وقيمة الدالة F (س)سيزيد: 100؛ 1000؛ 10000؛ 100.000 وهكذا. وهكذا يمكن أن نفهم أنه متى س→ 0 قيمة الدالة الموجودة تحت علامة الحد ستزداد بلا حدود، أي. نسعى نحو اللانهاية. وهو ما يعني:

فيما يتعلق بالحد الثالث. نفس الوضع كما في الحالة السابقة، فمن المستحيل أن يحل محل ∞ في أنقى صوره. نحن بحاجة إلى النظر في حالة الزيادة غير المحدودة س. نعوض بـ 1000 واحدًا تلو الآخر؛ 10000؛ 100000 وهكذا، لدينا قيمة الدالة F (س) = 1/سسوف تنخفض: 0.001؛ 0.0001; 0.00001; وهكذا، تميل إلى الصفر. لهذا السبب:

من الضروري حساب حد الوظيفة

وبالبدء في حل المثال الثاني، نرى عدم اليقين. من هنا نجد أعلى درجة للبسط والمقام - هذه هي × 3، نخرجها من الأقواس في البسط والمقام ثم نختصرها بالآتي:

إجابة

الخطوة الأولى في العثور على هذا الحد، استبدل القيمة 1 بدلاً من ذلك س، مما أدى إلى عدم اليقين. لحلها، دعونا نحلل البسط ونقوم بذلك باستخدام طريقة إيجاد جذور المعادلة التربيعية × 2 + 2س - 3:

د = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ د =√16 = 4

× 1.2 = (-2±4) / 2→ س 1 = -3؛× 2= 1.

لذلك سيكون البسط:

إجابة

وهذا هو تعريف قيمته المحددة أو منطقة معينة تقع فيها الدالة، وهي محدودة بالحد.

لحل الحدود، اتبع القواعد:

بعد أن فهمت الجوهر والرئيسي قواعد حل الحد، سوف تحصل على فهم أساسي لكيفية حلها.

حل

حل

حل

حل

حل

حل

حل

حل

حل

حل

حل

2. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

3. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

4. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

5. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

6. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

7. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

8. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

9. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

10. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

11. احسب نهاية التسلسل الرقمي:

1) من البسط والمقام، حدد العامل الذي يقدم أكبر مساهمة وقم بالتقليل منه

2) في هذا النوع من الأمثلة تحتاج إلى إزالة العامل إلى أقصى حد من تحت الجذر في المقام

3) من الضروري التوسع إلى العامل المشترك الأكبر

4) في هذا المثال ينمو بشكل أسرع بكثير، لذلك نفرده باعتباره العامل الأكبر

5) الكميات وتميل إلى الصفر عند . وعلى هذا الأساس نحسب الحد

الحل لمعظم هذه الأمثلة هو إيجاد العامل المهيمن. إذا كان في البسط، فإن الحدود تذهب إلى ما لا نهاية، في المقام - إلى الصفر. وفقط عندما يكون هنا وهناك يمكنك تقليل الكسر بهذا العامل والحصول على النهاية في صورة ثابت.

يمارس:

1. تحليل حلول الأمثلة المدروسة

2. احسب الحدود التالية:

القسم 2. بدايات التحليل الرياضي

(العمل المستقل 48 ساعة).

2.1. مشتقة دالة ضمنية (4 ساعات).

مثال 1. أوجد مشتقة دالة ضمنية

حل.بما أن y هي دالة لـ X، ثم سننظر ذ 2كوظيفة معقدة ل X. لذلك، . التفريق بواسطة Xكلا طرفي هذه المعادلة نحصل عليها، أي.

مثال 2. أوجد مشتقة دالة ضمنية

حل.التفريق بواسطة X

مثال 3. أوجد مشتقة دالة ضمنية

حل.التفريق بواسطة Xكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل عليها

1. أوجد المشتقة f '(x).

2. ابحث عن النقاط الثابتة لهذه الوظيفة، أي. النقاط التي

3. أوجد المشتقة الثانية f ’’(x).

4. تحقق من إشارة المشتقة الثانية عند كل نقطة من النقاط الثابتة. إذا تبين أن المشتق الثاني سالب، فإن الدالة عند هذه النقطة لها قيمة عظمى، وإذا كانت موجبة، فلها قيمة صغرى. إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فيجب إيجاد الحد الأقصى للدالة باستخدام المشتقة الأولى.

5. احسب قيم الدالة عند النقاط القصوى.

مثال. افحص الحد الأقصى باستخدام المشتق الثاني للدالة: f(x) = x 2 - 2x - 3.
الحل: أوجد المشتقة: f '(x) = 2x - 2.
وبحل المعادلة f ’(x) = 0، نحصل على نقطة ثابتة x =1. دعونا الآن نوجد المشتقة الثانية: f ’’(x) = 2.
بما أن المشتقة الثانية عند) = x 2 – 2x - 3. عند النقطة الثابتة تكون موجبة، f''(1) = 2 > 0، عند x = 1 يكون للدالة حد أدنى: f min = f(1) = -4.
الإجابة: النقطة الدنيا لها إحداثيات (1؛ -4).

مهام.

1. مراجعة وتحليل الحلول المدروسة لأمثلة حول هذه المواضيع.

2. ابحث عن القيمة القصوى باستخدام المشتقة الثانية للدالة:

أ) و(س) = 1 - س 4؛

ب) و(س) = س 3 - 1؛

2.3. تطبيق المشتق لحل المشكلات الفيزيائية (11 ساعة).

2.4. تجميع الأعداد المتقاطعة في موضوع "التكامل المحدد"

2.5 حساب حجم الجسم وطول قوس المنحنى (12 ساعة)

من المقالة أعلاه، يمكنك معرفة ما هو الحد الأقصى وما يتم تناوله به - وهذا مهم جدًا. لماذا؟ قد لا تفهم ما هي المحددات وتحلها بنجاح؛ وقد لا تفهم على الإطلاق ما هي المشتقة وتجدها بالحرف "A". ولكن إذا كنت لا تفهم ما هو الحد، فسيكون من الصعب حل المهام العملية. سيكون من الجيد أيضًا أن تتعرف على نماذج الحلول وتوصيات التصميم الخاصة بي. يتم تقديم جميع المعلومات في شكل بسيط ويمكن الوصول إليه.

ولأغراض هذا الدرس سنحتاج إلى المواد التعليمية التالية: حدود رائعةو الصيغ المثلثية. يمكن العثور عليها على الصفحة. من الأفضل طباعة الأدلة - فهي أكثر ملاءمة، بالإضافة إلى ذلك، سيتعين عليك في كثير من الأحيان الرجوع إليها دون الاتصال بالإنترنت.

ما الذي يميز الحدود الرائعة؟ الشيء اللافت للنظر في هذه الحدود هو أنها تم إثباتها من قبل أعظم العقول من علماء الرياضيات المشهورين، ولا يتعين على الأحفاد الممتنين أن يعانوا من الحدود الرهيبة مع كومة من الدوال المثلثية واللوغاريتمات والقوى. أي أننا عند إيجاد الحدود سنستخدم النتائج الجاهزة التي تم إثباتها نظريا.

هناك العديد من الحدود الرائعة، ولكن من الناحية العملية، فإن الطلاب غير المتفرغين في 95٪ من الحالات لديهم حدين رائعين: أول حد رائع, الحد الثاني الرائع. وتجدر الإشارة إلى أن هذه أسماء ثابتة تاريخياً، وعندما يتحدثون مثلاً عن «الحد الأول الملحوظ» فإنهم يقصدون بهذا شيئاً محدداً جداً، وليس حداً عشوائياً مأخوذاً من السقف.

أول حد رائع

خذ بعين الاعتبار الحد التالي: (بدلاً من الحرف الأصلي "هو" سأستخدم الحرف اليوناني "ألفا"، وهذا أكثر ملاءمة من وجهة نظر تقديم المادة).

وفقًا لقاعدتنا لإيجاد الحدود (انظر المقالة حدود. أمثلة على الحلول) نحاول استبدال الصفر في الدالة: في البسط نحصل على صفر (جيب الصفر هو صفر)، وفي المقام، من الواضح أن هناك أيضًا صفر. وبالتالي، نحن نواجه عدم اليقين بشأن النموذج، والذي، لحسن الحظ، لا يحتاج إلى الكشف عنه. وفي سياق التحليل الرياضي ثبت أن:

هذه الحقيقة الرياضية تسمى أول حد رائع. لن أقدم برهانًا تحليليًا للنهاية، لكننا سننظر إلى معناها الهندسي في الدرس الذي يتحدث عن النهاية وظائف متناهية الصغر.

في كثير من الأحيان في المهام العملية يمكن ترتيب الوظائف بشكل مختلف، وهذا لا يغير شيئا:

- نفس الحد الأول الرائع.

لكن لا يمكنك إعادة ترتيب البسط والمقام بنفسك! إذا كانت النهاية معطاة في الصورة، فيجب حلها بنفس الصورة، دون إعادة ترتيب أي شيء.

في الممارسة العملية، ليس فقط المتغير، ولكن أيضا وظيفة أولية أو وظيفة معقدة يمكن أن تكون بمثابة معلمة. من المهم فقط أن يميل إلى الصفر.

أمثلة:
, , ,

هنا ، ، ​​، وكل شيء على ما يرام - الحد الأول الرائع قابل للتطبيق.

لكن الإدخال التالي بدعة:

لماذا؟ ولأن كثيرة الحدود لا تميل إلى الصفر، فإنها تميل إلى خمسة.

بالمناسبة سؤال سريع: ما هو الحد؟ ؟ الجواب يمكن العثور عليه في نهاية الدرس.

في الممارسة العملية، ليس كل شيء على نحو سلس للغاية؛ لا يُعرض على الطالب أبدًا حل الحد الحر والحصول على تمريرة سهلة. هممم... أنا أكتب هذه السطور، وتبادر إلى ذهني فكرة مهمة للغاية - بعد كل شيء، من الأفضل أن تتذكر التعريفات والصيغ الرياضية "المجانية" عن ظهر قلب، وهذا يمكن أن يوفر مساعدة لا تقدر بثمن في الاختبار، عندما يكون السؤال يتم الاختيار بين "اثنين" و"ثلاثة"، ويقرر المعلم أن يطرح على الطالب بعض الأسئلة البسيطة أو يعرض حل مثال بسيط ("ربما لا يزال يعرف ماذا؟!").

دعنا ننتقل إلى النظر في الأمثلة العملية:

مثال 1

العثور على الحد

إذا لاحظنا وجود جيب في النهاية، فيجب أن يقودنا هذا على الفور إلى التفكير في إمكانية تطبيق النهاية الملحوظة الأولى.

أولاً، نحاول استبدال 0 في التعبير الموجود أسفل علامة الحد (نقوم بذلك ذهنيًا أو في مسودة):

إذن، لدينا حالة عدم يقين بشأن الصورة تأكد من الإشارةفي اتخاذ القرار. التعبير تحت علامة الحد يشبه الحد الرائع الأول، لكن هذا ليس هو بالضبط، فهو تحت جيب الجيب، ولكن في المقام.

في مثل هذه الحالات، نحتاج إلى تنظيم الحد الأول الرائع بأنفسنا، باستخدام تقنية اصطناعية. يمكن أن يكون خط الاستدلال كما يلي: "تحت جيب الزاوية لدينا، مما يعني أننا نحتاج أيضًا إلى إدخال المقام".
ويتم ذلك بكل بساطة:

أي أن المقام يُضرب بشكل مصطنع في هذه الحالة بـ 7 ويقسم على نفس السبعة. الآن اتخذ تسجيلنا شكلاً مألوفًا.
عندما يتم رسم المهمة يدويًا، يُنصح بوضع علامة على الحد الأول الملحوظ بقلم رصاص بسيط:

ماذا حدث؟ في الواقع، تحول تعبيرنا المحاط بدائرة إلى وحدة واختفى في العمل:

الآن كل ما تبقى هو التخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:

من نسي تبسيط الكسور متعددة المستويات، يرجى تحديث المادة الموجودة في الكتاب المرجعي الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية .

مستعد. الجواب النهائي:

إذا كنت لا تريد استخدام علامات القلم الرصاص، فيمكن كتابة الحل على النحو التالي:

“

دعونا نستخدم الحد الرائع الأول

“

مثال 2

العثور على الحد

مرة أخرى، نرى كسرًا وجيبًا في النهاية. نحاول التعويض بالصفر في البسط والمقام:

في الواقع، لدينا عدم يقين، وبالتالي، نحتاج إلى محاولة تنظيم الحد الرائع الأول. في الدرس حدود. أمثلة على الحلوللقد وضعنا في الاعتبار القاعدة التي تنص على أنه عندما يكون لدينا عدم يقين، علينا تحليل البسط والمقام. هنا الأمر نفسه، سنمثل الدرجات كحاصل ضرب (مضاعفات):

وكما في المثال السابق، نرسم بقلم رصاص حول الحدود الملحوظة (هنا يوجد حدان منها)، ونشير إلى أنها تميل إلى الوحدة:

في الواقع الجواب جاهز:

في الأمثلة التالية، لن أقوم بالفن في الرسام، وأعتقد أن كيفية رسم حل بشكل صحيح في دفتر ملاحظات - أنت تفهم بالفعل.

مثال 3

العثور على الحد

نعوض بالصفر في التعبير الموجود تحت علامة الحد:

تم الحصول على عدم اليقين الذي يجب الكشف عنه. إذا كان هناك ظل في النهاية، فسيتم تحويله دائمًا تقريبًا إلى جيب التمام وجيب التمام باستخدام الصيغة المثلثية المعروفة (بالمناسبة، يفعلون نفس الشيء تقريبًا مع ظل التمام، راجع المادة المنهجية الصيغ المثلثية الساخنةعلى الصفحة الصيغ الرياضية والجداول والمواد المرجعية).

في هذه الحالة:

جيب تمام الصفر يساوي واحدًا، ومن السهل التخلص منه (لا تنس الإشارة إلى أنه يميل إلى الواحد):

وبالتالي، إذا كان جيب التمام في الحد هو المضاعف، فتحدث تقريبًا، يجب تحويله إلى وحدة تختفي في المنتج.

هنا أصبح كل شيء أسهل، دون أي مضاعفات أو قسمة. يتحول الحد الأول الملحوظ أيضًا إلى حد واحد ويختفي في المنتج:

ونتيجة لذلك، يتم الحصول على اللانهاية، ويحدث هذا.

مثال 4

العثور على الحد

دعونا نحاول استبدال الصفر في البسط والمقام:

يتم الحصول على عدم اليقين (جيب التمام صفر، كما نتذكر، يساوي واحد)

نحن نستخدم الصيغة المثلثية. خذ ملاحظة! لسبب ما، الحدود التي تستخدم هذه الصيغة شائعة جدًا.

دعونا ننقل العوامل الثابتة إلى ما وراء أيقونة الحد:

دعونا ننظم الحد الرائع الأول:

هنا لدينا حد ملحوظ واحد فقط، والذي يتحول إلى حد واحد ويختفي في المنتج:

دعونا نتخلص من الهيكل المكون من ثلاثة طوابق:

تم حل النهاية بالفعل، ونشير إلى أن الجيب المتبقي يميل إلى الصفر:

مثال 5

العثور على الحد

هذا المثال أكثر تعقيدًا، حاول أن تكتشفه بنفسك:

يمكن تخفيض بعض الحدود إلى الحد الأول الملحوظ عن طريق تغيير متغير، يمكنك أن تقرأ عن هذا لاحقًا في المقالة طرق حل الحدود.

الحد الثاني الرائع

ثبت في نظرية التحليل الرياضي أن:

هذه الحقيقة تسمى الحد الثاني الرائع.

مرجع: هو عدد غير عقلاني.

لا يمكن أن تكون المعلمة متغيرًا فحسب، بل يمكن أن تكون أيضًا وظيفة معقدة. الشيء الوحيد المهم هو أنها تسعى إلى اللانهاية.

مثال 6

العثور على الحد

عندما يكون التعبير الموجود أسفل علامة الحد بدرجة، فهذه هي العلامة الأولى التي تحتاج إلى محاولة تطبيق الحد الرائع الثاني.

لكن أولاً، كما هو الحال دائمًا، نحاول التعويض بعدد كبير لا نهائي في التعبير، وقد تمت مناقشة المبدأ الذي يتم من خلاله القيام بذلك في الدرس حدود. أمثلة على الحلول.

من السهل ملاحظة ذلك عندما أساس الدرجة هو ، والأس هو أي أن هناك عدم يقين في الشكل:

يتم الكشف عن عدم اليقين هذا بدقة بمساعدة الحد الثاني الرائع. ولكن، كما يحدث في كثير من الأحيان، فإن الحد الرائع الثاني لا يقع على طبق من فضة، ويجب تنظيمه بشكل مصطنع. يمكنك التفكير على النحو التالي: في هذا المثال المعلمة هي، مما يعني أننا بحاجة أيضًا إلى التنظيم في المؤشر. وللقيام بذلك نرفع القاعدة إلى القوة، وحتى لا يتغير التعبير نرفعها إلى القوة:

عند الانتهاء من المهمة باليد، نضع علامة بقلم رصاص:

كل شيء جاهز تقريبًا، لقد تحولت الدرجة الرهيبة إلى رسالة لطيفة:

في هذه الحالة، نقوم بنقل أيقونة الحد نفسها إلى المؤشر:

مثال 7

العثور على الحد

انتباه! يحدث هذا النوع من الحدود في كثير من الأحيان، يرجى دراسة هذا المثال بعناية شديدة.

دعونا نحاول استبدال عدد كبير بلا حدود في التعبير الموجود أسفل علامة الحد:

والنتيجة هي عدم اليقين. لكن الحد الملحوظ الثاني ينطبق على عدم اليقين في النموذج. ما يجب القيام به؟ نحن بحاجة لتحويل قاعدة الدرجة. نحن نفكر بهذه الطريقة: في المقام لدينا، مما يعني أننا بحاجة أيضًا إلى التنظيم في البسط.